2014年秋季新版苏科版八年级数学上学期2.4、线段、角的轴对称性同步练习8
苏科版八年级数学上册2.4 线段、角的轴对称性同步练习(含解析)
14．（2018•德州）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点 C 到射 3 / 21
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
线 OA 的距离为
．
15．（2017•常州）如图，已知在△ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，垂足为 E，交 AC 于
点 D，若 AB＝6，AC＝9，则△ABD 的周长是
且 AC＝8，BC＝5，则△BEC 的周长是（ ）
6 / 21
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A．12
Байду номын сангаасB．13
C．14
D．15
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 AE＝BE，进而得出答案．
【解答】解：∵DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
则点 D 到 AB 的距离等于（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．（2019•湖州）如图，已知在四边形 ABCD 中，∠BCD＝90°，BD 平分∠ABC，AB＝6，
BC＝9，CD＝4，则四边形 ABCD 的面积是（ ）
A．24
B．30
C．36
D．42
5．（2019•南充）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，若 BC
∵△ABO 的面积为 20，
11 / 21
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴△ACO 的面积为 15． 故选：B． 【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10．（2019•苏州模拟）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，连结 CF 和 DE，若∠A＝70°．∠DCF＝50°，BC＝8，则 DE 的长（ ）
初中数学苏科版八年级上册第二章2.4线段、角的轴对称性同步练习(解析版)
初中数学苏科版八年级上册第二章2.4线段、角的轴对称性同步练习一、选择题1.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB的度数为()A. 30°B. 35°C. 45°D.60°2.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC的度数为()A. 70°B. 120°C. 125°D. 130°3.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使AC=BC，则满足条件的格点C有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4.如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，下列作法不正确的是()A. 作∠APB的平分线PC交AB于点CB. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC. 取AB的中点C，连接PCD. 过点P作PC⊥AB，垂足为C5.如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD=PE=PF，则点P是△ABC()A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条中线交点6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=7，AC=6，则△ACE的周长为()A. 8B. 11C. 13D. 157.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数为()A. 24°B. 25°C. 30°D. 35°8.在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A=30°，∠BCE=50°，则∠B=()A. 60°B. 70°C. 80°D. 50°9.如图，C是线段AB垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论正确的是()①AD=BD②AC=BC③∠A=∠B④∠ACD=∠BCD⑤∠ADC=∠BDC=90°．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10.如图，在Rt△ABC中，AC=12，BC=18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为()A. 5B. 8C. 10D. 13二、填空题11.在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE=4，则AD+AE为________．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，请写出图中所有相等的线段：________________________________．13.已知MN是线段AB的垂直平分线，AB的长为16cm，则点A到MN的距离是________cm．14.如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长是______．三、解答题15.如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE、BF相交于点D，且BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上．16.如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．(1)判断AP是否平分∠BAC，请说明理由;(2)由此题你得到的结论是．17.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠EAC的平分线．18.如图，已知∠AOB内有一点P，分别在OA、OB上找点Q、R，使△PQR的周长最小。
2014年秋季新版苏科版八年级数学上学期2.4、线段、角的轴对称性课件8
线段、角的对称性（3）
AOB
2.4 线段、角的对称性（3）
做一做
在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O B
2.4 线段、角的对称性（3）
Байду номын сангаас
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.4 线段、角的对称性（3）
解： BP平分ABC ∵ PD AB PF BC PD PF
CP平分ACB ∵ PE AC PF BC PE PF PD PE PF
2.4 线段、角的对称性（3）
说说你本节课你有什么收获？
1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2、定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．
O E Q B
通过上述研究，你得到了什么结论？
画图，度量与分析
• • • • • 1、画三角形ABC; 2、画∠B，∠C的平分线，交于点P; 3、过点P作AB, AC,BC 的垂线段PD,PE,PF; 4、量出PD,PE,PF的长度； 看看，有何发现？看其他同学的结果是否一样？
A
B
C
结论
• 内容：对任意三角形，存在一个点，这个点到三 角形的三边距离相等；这个点是任意两个内角的 平分线的交点。
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
角平分线的性质定理
• 内容：角平分线上的点到角的两边距离相等； • 如何证明？ 解：
苏科版-数学-八年级上册-《2.4线段、角的轴对称性》练习题(2)
课题角、线段的轴对称性日期主备审核人一、选择题⒈下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ） A. 两条相交直线 B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段 ⒉到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点 ⒊ 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线上，DE ⊥AB ，F 为AC 上一点，且∠DFA=1000，则 （ ） A.DE>DF B.DE<DF C.DE=DF D.不能确定DE 、DF 的大小. 二、填空题⒋如图,△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ，∠C=150, ∠BAD=600，则△ABC 是__________三角形.⒌ 如图，△ABC 中，∠C=900，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ：∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.⒍如图，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2, 分别交OA 、OB 于点M 、N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为__________________.第4题图第5题图第6题图DE BC ADECAB OPA B三、解答题⒎如图，己知AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AC 、AB 于D 、E 两点，若AB=12cm ，BC=10cm,∠A=49º，求△BCE 的周长和∠EBC 的度数.⒏ 已知：如图，△ABC 中，BC 边中垂线ED 交BC 于E ，交BA 延长线于D ，过C 作CF ⊥BD 于F ，交DE 于G ，DF=21BC ，试说明∠FCB=21∠B四、探究活动如图，直线a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？EDABCGF E BCDA。
苏科版八年级数学上2.4线段、角的对称性(2)同步测试含答案
《2.4 线段、角的对称性》（2）一、选择1．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD 平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC的中点．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题3．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°，则△ABC是______三角形．4．如图，∠ABC=70°，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC=______°．5．如图，△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AC，则△ABD的周长是______．6．如图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=______度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=______度，∠BOC=______度．7．在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，则∠B的度数是______．三、作图题8．作图题：（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC；（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的______；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．四、解答题9．如图，已知AE=CE，BD⊥AC．求证：AB+CD=AD+BC．10．如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且∠OBC=∠OCB，求证：AO⊥BC．11．已知：如图∠ABC=∠ACB，AD平分∠BAC，点P在直线AD上，求证：PB=PC．《2.4 线段、角的对称性》（2）参考答案一、选择1．D；2．B；二、填空题3．直角；4．20；5．33；6．=；=；=；50；50；80；100；7．37.5°或67.5°；三、作图题8．内部；斜边的中点；外部；四、解答题9．10．11．。
2.4 线段、角的轴对称性 苏科版数学八年级上册同步习题(含答案)
BDN＝ BN•DG，
∴ BM•DE+ BN•DG＝ AM•DE+ AC•DF+ NC•DG，
∴BM+BN＝AM+AC+NC， ∵MN＝MN， ∴BM+BN+MN＝AM+AC+NC+MN，
∴
，
即这条直线分成的两个图形的周长比是：1：1． 故选：B． 2．解：过 P 点作 PD⊥OB 于 D，如图， ∵点 P 在∠AOB 的角平分线上，PC⊥OA， ∴PD＝PC＝8， 即 P 到 OB 的距离为 8． 故选：C．
P 到 OB 的距离为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
3．如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠BCD，AD 过点 P，且与 AB 垂直，若 BP
＝5，CP＝12，则 AD 的长为（ ）
A．12
B．13
C．
D．
4．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，高 AD 与角平分线 BE 相交于点 F，∠DAC 的平分 线 4G 分别交 BC、BE 于点 G、O，连接 FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE ＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（ ）
15．如图，线段 AC，AB 的垂直平分线交于点 O，连接 OA、OB、OC，已知 OC＝2cm，则 OB 等于 cm．
16．如图，已知 EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是 EF 的中点，只需添加 ，就可 使 CM，AM 分别为∠ACD 和∠CAB 的平分线．
二．解答题（共 7 小题，满分 56 分） 17．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 上一点，BD＝BC，过点 D 作 AB 的垂线
苏科版八年级数学上册 第二章 2.4 线段、角的轴对称性 同步测试题
2.4 线段、角的轴对称性同步测试题（满分120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！题号一二三总分得分一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 如图，在中，，．的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.2. 和三角形三个顶点的距离相等的点是( )A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点3. 如图，中，，，，边的垂直平分线交于点，则的周长是（）A. B. C. D.4. 已知，求作一点，使点到两边的距离相等，且，下列确定点的方法，正确的是（）A.为，两角平分线的交点B.为，两边的垂直平分线的交点C.为，两边上的高的交点D.为的平分线与边的垂直平分线的交点5. 在中，如图所示，，，平分，点到的距离，则等于（）A. B. C. D.6. 如图，在中，，的中垂线交于，的中垂线交于，则的周长等于（）A. B. C. D.7. 已知：中，的垂直平分线分别交、于点、．，，．则的周长（）A. B. C. D.8. 在中，是边上的高，平分交于点，，，则的面积是（）A. B. C. D.9. 如图，是的平分线，于点，，则点到的距离是（）A. B. C. D.10. 如图，中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知，的周长为，则的长为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为________．12. 如图，已知是的角平分线，于点，，，，则________．13. 如图，在中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则________度．14. 如图，在中，，的平分线交于，，，，，则的周长为________．15. 如图，是的角平分线，若．则________．16. 已知中，，平分交于点，若，且，则到的距离为________．17. 如图，中，，是的垂直平分线，，则的度数是________．18. 如图，的角平分线、交于点，点到边的距离为，那么点到边的距离为________．19. 如图，在中，，平分，，．则点到的距离为________．20. 如图，中，，的中垂线交于于，的中垂线交于，则的周长是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区、，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）22. 如图，中，外角和外角的平分线，交于点．求证：点到三边，，所在直线的距离相等．23. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于．（1）求证：；（2）若，，求的长．24. 中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．25. 如图，是的平分线上一点，，，垂足分别是、．求证：，是线段的垂直平分线．26. 如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、．（1）求证：；（2）求证：是线段的垂直平分线．。
【最新】苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性同步练习
新苏科版八年级数学上册2.4线段、角的轴对称性同步练习【基础训练】1．线段是轴对称图形，它的对称轴是_______；角是轴对称图形，它的对称轴是_______．2．角平分线上的任意一点到这个角的两边的_______相等；线段垂直平分线上的点到_______的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到_______的所有点的集合；角平分线可以看作是到_______的所有点的集合．3．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM ＝2 cm，则PN＝________cm．4．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．(1)若BE＝10 cm，则EC＝________cm；(2)若AB＋AC＝8 cm，则△ACE的周长是_______．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．(1)若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是_______；(2)若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是_______．6．已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．7．如图，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E．已知PE－3，则点．P 到AB的距离是( )．A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为()．A．30° B 40°C．50°D．60°9．如图，在△ABC中，边BC上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_______．10．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD ∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_______cm．11．已知∠AOB和C、D两点，求作点P，使PC＝PD，且点P到∠AOB的两边OA、OB 的距离相等．【提优拔尖】12．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，要求使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．13．如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的点A'处，DE为折痕，作DF平分∠A'DB，试猜想∠FDE的度数，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．(1)图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；(2)任选(1)中的一对全等三角形加以证明．15．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是_______．16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为_______．17．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝_______．18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的中点为O ，过点O 作AC 的垂直平分线分别与AD 、BC 相交于点E 、F ，连接AF ．求证：AE ＝AF ．19．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A ．15°或30°B ．30°或45°C ．45°或60°D ．30°或60°20．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB =3，AD =4，则ED 的长为（ ）A ．23 B ．3 C ．1 D ．34参考答案1．线段的垂直平分线或线段本身所在的直线角的平分线2．距离线段两端点线段两端点距离相等角两边距离相等3．2 4．(1)10 (2)8 cm5．(1)3 (2)156．P是△ABC任意两边垂直平分线的交点7．A 8．B9．6 10．511．点P是CD的垂直平分线与∠AOB的角平分线的交点，图略．12．围成的图形正好是三角形，三角形角平分线的交点即为小亭的中心位置．13．90°．14．(1)3对，△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC，△ABC≌△ADC．(2)略15．BD＝CD(答案不唯一)16．4 17．4：5：618．略19．D20．A。
苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》同步练习含答案解析
2.4 线段、角的轴对称性一、选择题1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求对于两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48° B．36° C．30° D．24°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80° B．60° C．50° D．40°5．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．116．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（）A．B．2 C．D．37．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（）A．14 B．13 C．12 D．119．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABCC ．S △BCD =S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm11．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数为（ ）A ．70°B ．80°C ．40°D ．30°12．如图，在△ABC 中，AC=4cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7cm ，则BC 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）A．4 B．4 C．8 D．814．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24° B．30° C．32° D．36°二、填空题15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB=______．16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为______．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=______°．18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=______°．19．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=______．20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=______．21．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为______cm．22．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为______．23．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为______．2.4 线段、角的轴对称性参考答案与试题解析一、选择题1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．【解答】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，EB=DE，∴∠BCE=∠DCE，在Rt△BCE和Rt△DCE中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），故选：C．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．2．如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求对于两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【考点】线段垂直平分线的性质；圆的认识；作图—基本作图．【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．【解答】解：甲：如图1，∵MN是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠ABC，∴甲正确；乙：如图2，∵AB=BP，∴∠BAP=∠APB，∵∠APC=∠BAP+∠B，∴∠APC≠2∠ABC，∴乙错误；故选C．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A．48° B．36° C．30° D．24°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选：A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80° B．60° C．50° D．40°【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，故选D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．5．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC．【解答】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=2，AC=4，则BD=（）A．B．2 C．D．3【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】设BD=x，先根据线段垂直平分线的性质可得BD=AD=x，则CD=4﹣x，然后在△BCD中根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得BD的长．【解答】解：设BD=x，∵AB垂直平分线交AC于D，∴BD=AD=x，∵AC=4，∴CD=AC﹣AD=4﹣x，在△BCD中，根据勾股定理得x2=22+（4﹣x）2，解得x=．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，同时考查了勾股定理．7．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】应用题．【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选A．【点评】此题考查了三角形的外心的概念和性质．熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是解题的关键．8．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（）A．14 B．13 C．12 D．11【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】计算题．【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故选D．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ，下列结论错误的是（ ）A ．∠C=2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD =S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割．【分析】求出∠C 的度数即可判断A ；求出∠ABC 和∠ABD 的度数，求出∠DBC 的度数，即可判断B ；根据三角形面积即可判断C ；求出△DBC ∽△CAB ，得出BC 2=BC •AC ，求出AD=BC ，即可判断D ．【解答】解：A 、∵∠A =36°，AB=AC ，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A ，正确，B 、∵DO 是AB 垂直平分线，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD=36°，∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD ，∴BD是∠ABC的角平分线，正确，C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，∴=，∴BC2=CD•AC，∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C，∴BC=BD，∵AD=BD，∴AD=BC，∴AD2=CD•AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN=BC﹣BM﹣CN求出即可．【解答】解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，∴AB==2cm=AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE=AB=cm同理CF=cm，∴BM==2cm，同理CN=2cm，∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A．70° B．80° C．40° D．30°【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．【解答】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选：C．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）A．4 B．4 C．8 D．8【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴∠A=30°．∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=2+4=6，在△BCD中，由勾股定理得：CB=2，在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．14．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24° B．30° C．32° D．36°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．二、填空题15．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= 7 ．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，∴PB=PA=7，故答案为：7．【点评】本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可得∠ABE=∠A=36°，然后可计算出∠EBC的度数．【解答】解：∵等腰△ABC的底角为72°，∴∠A=180°﹣72°×2=36°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°．故答案为：36°．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= 15 °．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=65°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°，故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中．18．如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= 87 °．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据DE垂直平分BC，求证∠DBE=∠C，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠A的度数．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案为：87．【点评】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，关键是根据角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点进行分析．19．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC= ．【考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cosC．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．20．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= 6 ．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．21．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6 cm．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】数形结合．【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．【解答】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故答案为：6．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．22．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为m+n ．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，推出∠A=∠ABD=40°，求出∠ABC=∠C，推出AC=AB=m，求出△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC，代入求出即可．【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=40°，∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°，∴∠ABC=∠C，∴AC=AB=m，∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n，故答案为：m+n．【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．23．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为8 ．【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据平行四边形的性质，得知AO=OC，由于OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可知AE=EC，则△CDE的周长为CD与AD之和，即可得解．【解答】解：根据平行四边形的性质，∴AO=OC，∵OE⊥AC，∴OE为AC的垂直平分线，∴AE=EC，∴△CDE的周长为：CD+AD=5+3=8，故答案为：8．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟记各性质与定理是解题的关键．。
苏科版八年级上册 第二章 2.4 线段、角的轴对称性 测试练习(答案)
八上第二章2.4线段、角的轴对称性测试练习【答案】班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD=2，则DE的长为()A. 2B. 3C. 4D. 52.如图，在ΔABC中，∠B=70∘，∠C=30∘，分别以点A和AC长为半径画弧，两弧相交于点点C为圆心，大于12，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为()A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘3.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC长为()A. １３B. １４C. １５D. １６4.如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为()A. 14cmB. 13cmC. 11cmD. 9cm5.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是()A. ∠COP=∠DOPB. PC=PDC. OC=ODD. ∠CPD=2∠COD6.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD:∠BAD=5:2，则∠BAC=()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°7.如图所示，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C、D分别落在点C′、D′处，C′E交AF于点G，∠CEF=70°，则∠GFD′=()A. 20°B. 40°C. 70°D. 110°二、填空题8.如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9.如图，将△ABC沿EF，DE翻折，顶点A，C均落在点M处，且CE与AE重合于线段EM.若∠FMD=145°，则∠B的大小为________．10.如图，△ABC中，∠C=90°，AC的垂直平分线交AB于D，如果∠BCD︰∠DCA=5︰2，则∠A=________．11.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AB=15，CD=4.△ABD的面积为．12.将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，其中BC、CD为折痕，则∠BCD的度数为_______．13.如图所示，已知∠MOS=∠NOS，PA⊥OM，垂足是A，如果AP=8cm，那么点P到ON的距离等于_____cm．三、解答题14.如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC位于第二象限．(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；(2)在y轴上找一点P，使△ACP的周长最小(保留作图痕迹)．(3)计算△A1B1C1的面积．15.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=AD，CB=CD.求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)AC垂直平分BD．16.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E，F分别在三边上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点．求证：DG垂直平分EF．17.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，OC平分∠ACD，OA平分∠BAC．(1)求证：点O为BD的中点(2)求证：OA⊥OC；(3)若AB=3，CD=5，求AC的长．。
专题2.4 线段、角的轴对称性(备作业)八年级数学上册同步备课系列(苏科版)
第二章轴对称图形2.4 线段、角的轴对称性一、单选题（共8小题）1.如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，连接BD，△ABC的周长为20cm，边AB的长为7cm，则△BCD的周长为（）A．12cm B．13cm C．26cm D．27cm【解答】解：∵△ABC的周长为20，∴AB+AC+BC＝20，∵AB＝7，∴AC+BC＝13，∵线段AB的垂直平分线与AC相交于点D，∴DA＝DB，∴AC＝AD+CD＝BD+CD，∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AC+BC＝13（cm），故选：B．【知识点】线段垂直平分线的性质2.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（）A．PQ＜m B．PQ＞m C．PQ≤m D．PQ≥m【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，∴点P到OB的距离等于m，∵点Q是OB边上的一个动点，∴PQ≥m．故选：D．【知识点】角平分线的性质、垂线段最短3.如图，AD∥BC，BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，则AD与BC之间的距离是（）A．5B．8C．10D．15【解答】解：作GE⊥AD于E，EG的延长线交BC于F，如图，∵AD∥BC，GE⊥AD，∴EF⊥BC，∵BG，AG分别平分∠ABC与∠BAD，∴GE＝GH＝5，GF＝GH＝5，∴EF＝5+5＝10，即AD与BC之间的距离为10．故选：C．【知识点】平行线之间的距离、角平分线的性质4.如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长等于（）A．12B．10C．8D．6【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，由题意得，BC+CE+BE＝18，则BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，∴AC＝10，故选：B．【知识点】线段垂直平分线的性质5.如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，做法如下：①在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【解答】解：由作法得OE＝OD，CE＝CD，而OC＝OC，所以△EOC≌△DOC（SSS），所以∠EOC＝∠DOC，即射线OC就是∠AOB的角平分线．故选：A．【知识点】全等三角形的判定、角平分线的性质、作图—基本作图6.如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P在线段AB的垂直平分线上，故选：C．【知识点】作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质7.如图，OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，垂足分别为A、B，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．1.5D．2.5【解答】解：∵OP平分∠MON，P A⊥ON，PB⊥OM，∴PB＝P A＝3，故选：B．【知识点】角平分线的性质8.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．故选：B．【知识点】角平分线的性质二、填空题（共8小题）9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，DE∥BC，点P为线段BD上任意一点，PM⊥BE于点M，PN⊥DE于点N，CD＝4.8，则PM+PN＝．【解答】解：连接EP．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EDB，∴EB＝ED∵S△EDB＝S△EBP+S△EDP，即＝+＝ED•（PM+PN）∴PM+PN＝CD＝4.8．故答案为4.8．【知识点】等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质10.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．【知识点】线段垂直平分线的性质11.平面上有三条直线两两相交且不共点，那么平面上到此三条直线距离相等的点的个数是．【解答】解：到三条直线的距离相等的点应该有A、B、C、D共4个，故答案为：4．【知识点】角平分线的性质12.如图，已知△ABC的周长是10cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝0.8cm，△ABC的面积为cm2．【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，用OF⊥AC于点F，∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝0.8cm，∴OD＝OE＝OF＝0.8cm，∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC＝＝＝故答案为4．【知识点】角平分线的性质13.如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，AE＝7cm，AP＝4cm，则P点到直线AB的距离是．【解答】解：过点P作PM⊥AB与点M，∵BD垂直平分线段AC，∴AB＝CB，∴∠ABD＝∠DBC，即BD为角平分线，∵AE＝7cm，AP＝4cm，∴AE﹣AP＝3cm，又PM⊥AB，PE⊥CB，∴PM＝PE＝3（cm）．故答案为：3cm．【知识点】线段垂直平分线的性质、点到直线的距离14.在△ABC中，∠C＝80°，∠A＝40°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点D，则∠CBD的度数是．【解答】解：∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠CBD＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20°．【知识点】线段垂直平分线的性质15.如图，在△ABC中，AC＝15，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴EA＝EB，∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC＝15+8＝23．故答案为23．【知识点】线段垂直平分线的性质16.如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，若BE＝2，AC＝5，则△ACE的面积为．【解答】解：作EF⊥AC于F，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点E，∴EF＝EB＝2，∴△ACE的面积＝×2×5＝5．故答案为5．【知识点】角平分线的性质三、解答题（共6小题）17.已知∠AOB内部有三条射线，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD．（1）若∠AOB＝150°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝x°，直接写出∠EOC的度数为度．【解答】解：（1）∵OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，∴∠COD＝∠AOD，∠EOD＝∠BOD，∴∠EOC＝∠COD+∠EOD＝（∠AOD+∠BOD）＝∠AOB＝75°；（2）由（1）得，∠EOC＝∠AOB＝x°，故答案为：x．【知识点】角的计算、角平分线的性质18.如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：DC＝2DB．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+30°＝60°；（2）∵∠ADC＝60°，∠C＝30°，∴∠DAC＝90°，∴AD＝CD，∠BAD＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD，∴DC＝2DB．【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质19.如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．（1）求证：OC是∠AOB的平分线．（2）若PF∥OB，且PF＝8，∠AOB＝30°，求PE的长．【解答】解：（1）证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．（2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°，∴∠PFD＝∠AOB＝30°，在Rt△PDF中，．【知识点】角平分线的性质、全等三角形的判定与性质20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，求CD的长．【解答】解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，在Rt△ACD中，∠C＝90°，AD2＝AC2+CD2，∴x2＝32+（5﹣x）2，解得x＝，∴CD＝BC﹣DB＝5﹣＝，故答案为．【知识点】勾股定理、线段垂直平分线的性质21.如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积为14，求DE的长．【解答】解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，∴DF＝DE．∵△ABC的面积为14，∴S△BCD+S△ACD＝14，∴×DE×10+×DF×4＝14，即5DE+2DE＝14，∴DE＝2．【知识点】角平分线的性质22.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△ADE（其中点B，C的对称点分别为点D、E）；（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△FGH（其中A、B、C的对称点分别为点F，G，H）．【解答】解：如图所示：（1）△ADE即为所求作的图形；（2）△FGH即为所求作的图形．【知识点】线段垂直平分线的性质、作图-轴对称变换、作图-旋转变换。
苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》同步练习题(附答案)
苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》同步练习题(附答案）姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm2．已知点P在△ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（）A．B．C．D．3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=8，ED=2，AC=3，则AB的长是（）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，在中平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（）A．B．1 C．2 D．65．如图，在△ABC中AB的垂直平分线交AB于点D，交线段BC于点E．BC=6，AC=5，则△ACE的周长是（）A．14 B．13 C．12 D．116．如图，在中，AB=BC，∠A=36°，AB的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（）A．5 B．8 C．10 D．7．如图，AD垂直平分BC，垂足为D，∠BAC＝45°，CE⊥AB于E，交AD于F，BD＝2，则AF等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是（）A．25 B．84 C．42 D．21二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．在中，两条角平分线，所在直线所成的角的度数是．10．如图，在中，是的垂直平分线，且分别交于点和，则等于度．11．如图，在中，平分交于点，过点作，垂足为点．若DE=7，AC=16，则的长度为．12．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长等于．13．如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．作图题：（保留作图痕迹，不必写作法）如图，已知△ABC中，AB＝2AC，作一条射线AD交线段BC于点D，使△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．15．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F求证：AF=ED．16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+17．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=65°，AB=12，BC=10，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点。
苏科版八年级数学上2.4线段、角的轴对称性同步练习含答案初中数学试题.docx
第二章2.4线段、角的轴对称性一.选择题（共10小题）1. （2016*湖州）如图,AB/7CD, BP 和CP 分别平分ZABC 和ZDCB, AD 过点P,且与分别交AC, AB 于点M, N,再分别以点M, N 为圆心，大于2MN 的长为半径画弧，两弧交 于点P,作射线AP 交边BC 于点D,若CD=4, AB=15,则Z\ABD 的面积是（ ）A. 15B. 30C. 45D. 603. （2016*德州）如图，在厶ABC 中，ZB=55°, ZC=30°,分别以点A 和点C 为圆心，大于 12 AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M, N,作直线MN,交BC 于点D,连接AD,则Z BAD 的度数为（ ）A. 65°B. 60°C. 55°D. 45°4. 如图，己知点P 是ZAOB 角平分线上的一点，ZAOB=60°, PD 丄OA, M 是OP 的中点, DM=4cm,如果点C 是OB 上一个动点，则PC 的最小值为（ ）A. 2B. 2^3C. 4D. 4^3① 分别以B, C 为圆心，以大于2BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M, N ；AB 垂直.若AD=8,则点P 到BC 的距离是（以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧,C②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD二AC, ZA=50°,则ZACB的度数为（6. 如图，锐角三角形ABC 中，直线1为BC 的垂直平分线，射线m 平分ZABC, 1与m 相交 于 P 点.若ZA=60°, ZACP=24°,则ZABP 等于（ ）A. 24°B. 30°C. 32°D. 42°7. 如图，AABC 中，AB 边的垂直平分线交AB 于点E,交BC 于点D,已知AC=5cim △ ADC 的周长为17cm,则BC 的长为（ ）A. 11B. 5.5C. 7 D ・ 3.510.如图所示，点P 为AABC 三边垂直平分线的交点，PA=6,则点P 到点C 的距离为PC 满 足（ ）13. 如图所示，已知AABC 的周长是20, OB 、OC 分别平分ZABC 和ZACB, OD 丄BC 于 D,且OD=3,则AABC 的面积是 ________ •A. 7cmB. 10cm B8. 三角形ABC 的三条内角平分线为AE 、BF 、CG,下面的说法中正确的个数有（ ） ©AABC 的内角平分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角平分线交于一点⑥三角形的内角平分线位于三角形的内部⑥三角形的任一内角平分线将三角形分成血积相等的两部分.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图，AD 是Z\ABC 的角平分线，DF 丄AB,垂足为F, DE=DG, AADG 和Z\AED 的面积 分别为50和39,则AEDF 的面积为（ ）A. PC<6B. PC=6C. PC>6D.以上都不对二 11. 则PD=填空题（共6小题）（2016・西宁）如OP 平分 ZAOB, ZAOP=15°, PC 〃OA, PD 丄OA 于点D, PC=4, ,AB 的垂直平分线DE 交ACC. 12cmD. 22cm14. ______________ 如图，Z\ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm, AABD的周长为14cm,则厶ABC的周长为.15.如图，AABC中，AB=AC, D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、0、F,则图中全等的三角形的対数是_______ •16.如图AABC中，ZC=90°, AD半分ZBAC, DE丄AB于E,给出下列结论：①DC=DE；②DA 平分ZCDE；③DE平分ZADB；④BE+AC二AB；⑤ZBAC二ZBDE.其中正确的是 (写序号) 三・解答题(共5小题)17.如图，在RtAABC中，ZC=90°, AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证：ZCAB=ZAED.18.如图，已知：AB//CD, ZBAE=ZDCF, AC, EF 相交于点有AM二CM.(1)求证：AE〃CF；(2)若AM平分ZFAE,求证：FE垂直平分AC.19.在AABC中，AB边的垂直平分线h交BC于D, AC边的垂直平分线匕交BC于E, h与b相交于点0. AADE的周长为6cm.(1)求BC的长；(2)分别连结OA、OB、0C,若△0BC的周长为16cm,求OA的长.20-如图，点P 为AABC 三边垂直平分线的交点，若ZPAC=20\ 数.21.如图，AD 为AABC 的角平分线，DE 丄AB 于点E, DF 丄AC 于点F,连接EF 交AD 于 点G.(1) 求证：AD 垂直平分EF ；(2) 若ZBAC=60°,猜测DG 与AG 间有何数量关系？请说明理由.参考答案一.选择题（共10小题）1. （2016*湖州）如图，AB//CD, BP 和CP 分另怦分ZABC 和ZDCB, AD 过点P,且与 AB 垂直.若AD=8,则点P 到BC 的距离是（ ）【分析】过点P 作PE 丄BC 于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA 二PE, PD=PE,那么 PE 二PA 二PD,又 AD=8,进而求出 PE 二4.【解答】解：过点P 作PE 丄BC 于E,•・・AB 〃CD, PA 丄AB,APD 丄 CD,VBP 和CP 分别平分ZABC 和ZDCB,・・・PA 二PE, PD 二PE,.\PE=PA=PD,•・・PA+PD 二 AD 二 8,APA=PD=4,・・・PE=4.故选C.D C【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键.2.（2016*淮安）如图，在RtAABC ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，1分别交AC, AB于点M, N,再分别以点M, N为圆心，大于？MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D,若CD=4, AB=15,则AABD的面积是（）A. 15B. 30C. 45D. 60【分析】判断出AP是ZBAC的平分线，过点D作DE丄AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.【解答】解：由题意得AP是ZBAC的平分线，过点D作DE丄AB于E,又V ZC=90°,ADE=CD,A A ABD 的面积二2A B・DE二2 X 15X4=30.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键.3.（2016・德州）如图，在AABC中，ZB=55°, ZC=30°,分别以点A和点C为圆心，大于12 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M, N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则Z BAD的度数为（）A. 65°B. 60°C. 55°D. 45°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD二DC,根据等腰三角形的性质得到ZC=ZDAC, 求得ZDAO30。
苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的对称性》(第1课时)练习.doc
1 D C B A （第1题图） （第2题图） D C E
B A 图921D E B
C A B E A
D C B A
E D C
F B A E
C
2.4线段、角的轴对称性
1.已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC, AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= .
2.如图，△ABC 中，A B=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 .
3.已知如图，四边形ABCD 关于直线M N 对称，其中A 、C 是对称点，则直线MN 与线段AC 的关系是_______.
4.如图所示，在ABC ∆中，︒=∠90C ，AB 的垂直平分线交AC 于D 点，垂足为E ，且221∠=∠，A ∠= .
5.在Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE 垂直平分线段AB ，
试找出图中相等的线段，并说明理由。
若DE=1cm ，BD=2cm ，求AC 的长。
6. 已知：如图，AB=AC=12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△A BD 的周长等
于29 cm ，求DC 的长.
7．已知，如图在△ABC 中，AB,AC 的垂直平分线分别交BC 于点E,F ，若BC =10，你能求出
△AEF 的周长吗？
8.市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.
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C B A。
苏科版数学八年级上册 2.4 《 线段、角的轴对称性》同步练习
苏科版数学八年级上册 2.4 《 线段、角的轴对称性》同步练习1 / 11 2-4《线段、角的轴对称性》一、选择题1. 如图，三角形纸片ABC 中， ， ，将纸片的角折叠，使点C 落在 内，若 ，则 等于A.B.C.D. 以上都不对2. 如图所示，已知在三角形纸片ABC 中， ， ， ，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为A. 8B. 4C.D. 3. 如图，有一张直角三角形纸片ABC ，边 ， ， ，将该直角三角形纸片沿DE 折叠，使点C 与点B 重合，则四边形ABDE 的周长为A. 16B. 17C. 18D. 194. 如图，ABCD 是矩形纸片，翻折 ， ，使 ， 边与对角线AC 重叠，且顶点 ， 恰好落在同一点O 上，折痕分别是 ， ，则等于A. B. 2 C. D.5. 如图，把 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示 若 ， ，则的度数为A.B.C.D.6. 一张矩形纸片 ， ， ，将纸片沿ED 折叠，A 点刚好落在BC 边上的处，如图，这时AE 的长应该是A.B.C.D.7. 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，已知，则 的大小是 A. B. C. D.苏科版数学八年级上册 2.4 《 线段、角的轴对称性》同步练习3 / 118. 如图，小明同学在将一张矩形纸片ABCD 的四个角向内折起时，发现恰好能拼成一个无缝隙无重叠的四边形 于是他测量出， ，根据这两个数据他很快求出了边AD 的长，则边AD 的长是A. 12cmB. 16cmC. 20cmD.28cm 9. 如图，将宽为1cm 的纸条沿AC 折叠，使 ，则折叠后重叠部分三角形的周长为A. B.C.D. 10. 如图，在 中，点 ， 分别是 ， 边的中点，沿DE 折叠，点A 落在BC 边上的点P 处，若 ，则的度数为A. B.C.D. 11. 直角三角形纸片的两直角边长分别为 ， ，现将 如上右图那样折叠，使点A与点B 重合，则BE 的长是A. B. C. D.二、解答题12.如图，直线，的夹角为，相交于点O，作出关于直线m的对称；作出关于直线n的对称；还可以由经过一次怎样的变换得到．苏科版数学八年级上册 2.4 《 线段、角的轴对称性》同步练习5 / 1113. 在直角坐标系内如所示．分别写出 ， ， 的坐标；请在这个坐标系内画出 ，使 与 关于y 轴对称，并写出 的坐标；请在这个坐标系内画出 ，使 与 关于x 轴对称，并写出 的坐标．14. 如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ．求证：；若的面积与的面积比为3：1，且，求线段MN的长．15.如图，在三角形纸片ABC中，，，，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，求CE的长．苏科版数学八年级上册 2.4 《 线段、角的轴对称性》同步练习7 / 1116. 如图矩形ABCD 中， ， ，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，求折痕EF 的长．17. 如图 ，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A 落在 处，BC 为折痕图 中，若 ，求 的度数；如果又将活页的另一角斜折过去，使BD 边与 重合，折痕为BE ，如图 所示， ，求 以及 的度数；如果在图 中改变 的大小，则 的位置也随之改变，那么问题 中 的大小是否改变？请说明理由．苏科版数学八年级上册 2.4 《 线段、角的轴对称性》同步练习9 / 11【答案】1. B2. C3. C4. B5. B6. A7. C8. C 9. B 10. B 11. A 12. 解： 关于直线m 的对称 如图所示．关于直线n 的对称 如图所示．还可以由 绕点O 逆时针旋转得到．13. 解：， ， ， ， ， ；如图所示：的坐标 ， ；如图所示：的坐标 ， ．14. 证明：由折叠的性质可得： ． 四边形ABCD 是矩形，，，，；解：过点N作于点H，则四边形NHCD是矩形．，．的面积与的面积比为3：1，．．设，则，，，在中，，．．在中，．15. 解：，，，，根据将其三角形纸片ABC对折后点A落在BC的延长线上，则，，，，．苏科版数学八年级上册 2.4 《 线段、角的轴对称性》同步练习 11 / 11 16. 解：如图，连接 ， ；由题意得： 设为 ， ；四边形ABCD 为矩形，， ， ；由勾股定理得： ，解得： ； ．同理可求： ．四边形 ， ．17. 解： ，，．．， ，，．结论： 不变．， ， ，．即 ．。
苏科版八年级上册数学同步练习 2.4 线段、角的轴对称性
2.4 线段、角的轴对称性一．选择题1．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处2．下列说法中正确的是（）A．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等B．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等C．三角形三条中线的交点到三个顶点的距离相等D．三角形三条中线的交点到三边的距离相等3．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE ≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③4．到一个三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三边中垂线的交点D．三条角平分线的交点5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边BC上；②在∠CAB的角平分线上；③在斜边AB的垂直平分线上，那么∠B为（）A．15°B．30°C．45°D．60°二．填空题6．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40，其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝．7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．8．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点E，G，若∠B+∠C＝70°，则∠EAG＝．9．已知：如图，AB＝AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC 的周长是15，那么BC＝．10．如图，已知在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，且∠CBD：∠ABD ＝4：3，那么∠A＝度．11．在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为．（用含α的代数式表示）12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC 的面积为．13．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为．三．解答题14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．15．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．16．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：AD⊥EF．17．如图，△ABC的外角平分线BP、CP相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．D．4．C．5．B．二．填空题6．2：3：4．7．3．8．40°．9．5．10．27．11．2α﹣180°或180°﹣2α．12．3．13．130°三．解答题14．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．15．证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．16．解：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE＝DF，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD⊥EF．17．解：如图，过点P作PM⊥AD、PN⊥BC、PQ⊥AE，垂足分别为M、N、Q，∵∠ABC、∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P．∴PM＝PN，PQ＝PN，∴PM＝PQ，∴P在∠A的平分线上．18．解：①相等，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，∴∠NFE＝15°，∴∠NEF＝75°＝∠MDF，在△DMF和△ENF中，，∴△DMF≌△ENF（AAS），∴FE＝FD；②成立．过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，∵F是角平分线交点，∴BF也是角平分线，∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，∴四边形BNFM是圆内接四边形，∵∠ABC＝60°，∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，∵∠CF A＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠DFE＝∠CF A＝∠MFN＝120°．又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，∴∠DFM＝∠NFE，在△DMF和△ENF中，∴△DMF≌△ENF（ASA），∴FE＝FD．。
苏科版初中数学八年级上册《2.4 线段、角的轴对称性》同步练习卷
苏科新版八年级上学期《2.4 线段、角的轴对称性》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．2．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．3．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．4．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA 平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．5．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD＝∠EDC；（2）OC＝OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE＝AC．8．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D 作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE＝1，求AD的长．9．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE ⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．12．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B＝180°求证：2AE＝AB+AD．13．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．14．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．16．已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？17．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．18．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．19．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN 分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．21．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．22．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．23．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，P A＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB．25．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD＝∠EDC；（2）OE是CD的垂直平分线．26．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF，求证：AD是BC的中垂线．27．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+＝2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．28．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB＝∠OBA．29．如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠1＝∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE＝CF．30．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF＝∠ACF．31．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，已知AB+BD ＝DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．32．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB＝AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE＝DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．33．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．34．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．35．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC 的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．（1）若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；（2）若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：．36．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．37．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE＝EO．（1）说明OF与CF的大小关系；（2）若BC＝12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．38．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．39．已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，PC和PD有怎样的数量关系，请说明理由．40．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．41．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F 在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．42．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE＝∠A+∠ACB．43．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．44．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使P A＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）45．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．46．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．47．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．48．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．49．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．50．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．求证：AB＝AC．苏科新版八年级上学期《2.4 线段、角的轴对称性》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即CD＝DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC＝AE，再将线段AB进行转化．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE．在Rt△ADC与Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离＝点D到AC的距离，即CD＝DE，是解答本题的关键．2．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM，即M为BC的中点．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，【分析】BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．4．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA 平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后证明即可．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．5．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD＝∠EDC；（2）OC＝OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．【分析】（1）根据角平分线性质可证ED＝EC，从而可知△CDE为等腰三角形，可证∠ECD＝∠EDC；（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE＝OE，可证△OED≌△OEC，可得OC＝OD；（3）根据ED＝EC，OC＝OD，可证OE是线段CD的垂直平分线．【解答】证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED＝EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD＝∠EDC；（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE＝∠COE，∠ODE＝∠OCE＝90°，OE＝OE，∴△OED≌△OEC（AAS），∴OC＝OD；（3）∵OC＝OD，且DE＝EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．【点评】本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相关知识．关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【分析】（1）根据相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED ≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE＝AF，∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE＝AC．【分析】根据角平分线性质得出CE＝DE，根据线段垂直平分线性质得出AE＝BE，代入AC＝AE+CE求出即可．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AC＝AE+CE，∴BE+DE＝AC．【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．8．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D 作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE＝1，求AD的长．【分析】（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE＝DF，如果证得EA＝F A，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA＝F A是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD＝∠F AD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA＝AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE 或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC＝90°，∠EAD＝45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．【解答】（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD＝∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA＝∠DF A＝90°又AD＝AD，∴△DEA≌△DF A．∴EA＝F A∵ED＝FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA＝∠F AE＝90°．又∠DF A＝90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA＝F A，∴四边形EAFD是正方形．∵DE＝1，∴AD＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．9．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE ≌△OCE，可得出OD＝OC，DE＝CE，OE＝OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°可得出∠AOE＝∠BOE＝30°，由直角三角形的性质可得出OE＝2DE，同理可得出DE＝2EF即可得出结论．【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．【点评】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE ⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）．（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC+CF，∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC+AD（等量代换）．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．12．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B＝180°求证：2AE＝AB+AD．【分析】过C作CF⊥AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件∠ADC+∠B＝180°证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF＝EB，问题可得解．【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC＝∠CEB＝90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF＝AE，CF＝CE，∵∠ADC+∠B＝180°∴∠FDC＝∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF＝EB，∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE∴2AE＝AB+AD【点评】本题考查了全等三角形的判断和性质，常用的判断方法为：SAS，SSS，AAS，ASA．常用到的性质是：对应角相等，对应边相等．有时还需要证“两步”全等．13．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．【解答】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．14．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键．16．已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？【分析】先作出两条公路相交的角平分线OC，再连接ED，作出ED的垂直平分线FG，则OC与FG的交点H即为工厂的位置．【解答】解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；②分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；④FG与OC相交于点H，则H即为工厂的位置．同法可得H′也满足条件，故点H或H′即为工厂的位置．【点评】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，是一道比较简单的题目．17．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【分析】首先过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由AD＝CD，即可判定Rt△CDE≌Rt△ADF，则可证得：∠A+∠C＝180°．【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠F AD＝∠C，∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠F AD＝180°．【点评】此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．18．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式得出关于DE 的方程，求出即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，＝28，AB＝BC＝8，∵S△ABC∴×8×DE+×8×DF＝28，∴8DE＝28．∴DE＝3.5．【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE＝DF 是解此题的关键．19．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．求证：OC是∠AOB的平分线．【分析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，，∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），∴PD＝PE，∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN 分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM＝BM，再求出∠B＝30°，∠CAM ＝90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM＝AM＝CA即CM＝2BM．【解答】证法1：如答图所示，连接AM，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵MN是AB的垂直平分线，∴BM＝AM，∴∠BAM＝∠B＝30°，∴∠MAC＝90°，∴CM＝2AM，∴CM＝2BM．证法二：如答图所示，过A作AD∥MN交BC于点D．∵MN是AB的垂直平分线，∴N是AB的中点．∵AD∥MN，∴M是BD的中点，即BM＝MD．∵AC＝AB，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠BAD＝∠BNM＝90°，∴AD＝BD＝BM＝MD，又∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝DC，BM＝MD＝DC，∴CM＝2BM．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．21．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键．22．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．【分析】先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF＝CD，然后又D为BC中点，根据中点定义得到CD＝BD，等量代换得到BF＝BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．【解答】证明：连接DF，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCE＝∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD＝∠CBF＝90°，∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．∴△BFD为等腰直角三角形．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°．∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°．∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF．【点评】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．23．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，P A＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．【分析】过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE＝PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠P AE＝∠PCB，再根据平角的定义解答．【解答】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1＝∠2，PF⊥BC于F，∴PE＝PF，∠PEA＝∠PFB＝90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠P AE＝∠PCB，∵∠BAP+∠P AE＝180°，∴∠PCB+∠BAP＝180°．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB．【分析】过点K作MK∥BC，根据AE是∠BAC的平分线及∠ACB＝90°，CD⊥AB可求出∠DKA＝∠CEA，再由对顶角的性质知∠DKA＝∠CKE，故CK ＝BF，由MK∥BC可知∠B＝∠AMK，∠AMK＝∠DCA，由全等三角形的判定定理可知△AMK≌△ACK，根据全等三角形的性质可知，CK＝MK，MK＝BF，MK∥BF，故四边形BFKM是平行四边形，所以FK∥AB．【解答】证明：过点K作MK∥BC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，又∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BAE+∠DKA＝∠CAE+∠CEA＝90°，∴∠DKA＝∠CEA，又∵∠DKA＝∠CKE，∴∠CEA＝∠CKE，∴CE＝CK，又CE＝BF，∴CK＝BF（4分）而MK∥BC，∴∠B＝∠AMK，∴∠BCD+∠B＝∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠AMK＝∠DCA，在△AMK和△ACK中，∴∠AMK＝∠ACK，AK＝AK，∠MAK＝∠CAK，∴△AMK≌△ACK，（4分）∴CK＝MK，∴MK＝BF，MK∥BF，四边形BFKM是平行四边形，（2分）∴FK∥AB．（2分）【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．25．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD＝∠EDC；（2）OE是CD的垂直平分线．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC＝DE，再根据等边对等角证明即可；（2）利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC＝OD，然后根据等腰三角形三线合一证明．【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝DE，∴∠ECD＝∠EDC；（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴OC＝OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．26．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF，求证：AD是BC的中垂线．【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，继而证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得∠B＝∠C，证得AB＝AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（SAS），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴AD是BC的中垂线．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用．27．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+AN＝2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．。
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一、选择题
1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A ．三条角平分线的交点
B ．中线的交点
C ．三条高的交点
D ．三条边的垂直平分线的交点
2．在△ABC 中，BC =10，AB 的垂直平分线与AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、E ，且DE =4，则AD +AE 为 （ ）
A ．6
B ．10
C ． 6或14
D ．6或10
二、填空题
3．如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ， ∠C =150， ∠BAD =600，则△ABC 是__________三角形．
4．如图，△ABC 中，∠C =900，DE 是AB 的垂直平分线，且∠BAD ：∠CAD =4：1，则 ∠B ＝_______．
5．如图，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2，分别交OA 、OB 于点M 、N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为__________________．
6．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的21
AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB =7，则△ABC 的周长为__________．
7．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =4，AB =5，BC =10，CD 的垂直平分线交BC 于E ，连接DE ，则四边形ABED 的周长等于__________．
三、解答题
8．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，
D 为线段C
E 的中点，∠CAD =20°，∠ACB =70°，求证：BE =AC ．
9．如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，点P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、AC 上，且PB =QC ，QB =RC
第4题图
第5题图
第8题图
第6题图
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
10．如图，已知线段AB．
（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）；（2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方），连接AM、AN、BM、BN．
求证：∠MAN=∠MBN．
四、拓展题
11．在△ABC中，AB=AC，OB=OC，且点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为3，求AO的长．。