普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷2 文
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(二)(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
2022普通高等学校招生全国统一考试(新高考地区)仿真模拟训练(二)数学试题 (含答案)
2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝()A．{1，2} B.{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}2．已知a＋5i＝－2＋b i(a，b∈R)，则复数z＝a＋b i5＋2i＝()A．1 B.－iC．i D．－2＋5i3．函数f(x)＝sin xln（x2＋1）的大致图象是()4．已知(a＋2x)7的展开式中的常数项为－1，则x2的系数为()A．560 B.－560C．280 D．－2805．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝()A．6 B.8C．9 D．106．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a2＋2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m＝()A．1 B.9 761则实数a的最小值为()A．1－1e B.2－1eC．1－e D．2－e8．过点M(a，0)作双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为212(a2＋b2)，则该双曲线的离心率为()A．3 B.3或6 2C．62D． 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是()①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他A．2019年日常生活支出减少B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10．直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是()2C．m2＋m－12＜0 D．3m＞111．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A－CMN的体积的最大值为2 12D．AD与BC一定不垂直12．已知函数f(x)＝2x2－a|x|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．当a＝－1时，函数f(x)的值域为[4，＋∞)C．若方程f(x)＝14没有实数根，则a＜－1D．若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a＝－2i＋j，b＝m i－3j，c＝4i＋m j，若(2a＋b)∥c，则实数m＝________．14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．15．如图，圆锥的高为3，表面积为3π，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝30，c ＝20，若b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，则sin(2C －B )＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，△ABD 的面积是△BCD 的面积的3倍，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ.(1)若∠ABC ＝π2，求sin Asin C 的值； (2)若BC ＝2，AB ＝3，求AC 的长．18．(本小题满分12分)给出以下三个条件：(1)S n ＋1＝4S n ＋2；(2)3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )；(3)3S n ＝a n ＋1－2.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足________，记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1D 1，A 1B ＝AB ＝BB 1＝4，AD ＝2，A 1C ＝2 5.(1)(一题多解)求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A -CA 1B 的余弦值．20．(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t 缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t 亏损500元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进了100 t 缙云土面，用x (单位：t ，70≤x ≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y (单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润．(1)将y 表示为x 的函数；(2)根据直方图估计利润y 不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x ∈[80，90)，则取x ＝85，且x ＝85的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y 的分布列和期望．21．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆短轴的端点B 1，B 2与椭圆的左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，MN 是经过椭圆右焦点F 2(1，0)的椭圆的一条弦，点P 是椭圆上一点，且OP ⊥MN (O 为坐标原点)．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求|MN |·|OP |2的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2ln x，函数f(x)的导函数为f′(x)，h(x)＝f′(x)－12x－mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h′(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：e x1x22＞1.2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1．解析：选B.因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B.2．解析：选C.由a ＋5i ＝－2＋b i(a ，b ∈R )及复数相等的定义可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝ 5.所以z ＝a ＋b i5＋2i ＝－2＋5i 5＋2i ＝（－2＋5i ）（5－2i ）（5＋2i ）（5－2i ）＝9i9＝i ，故选C. 3．解析：选 B.由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＝sin （－x ）ln[（－x ）2＋1]＝－sin xln （x 2＋1）＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以C 不正确；又f (k π)＝0(k ∈Z ，k ≠0)，所以A 不正确；当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，故D 不正确．故选B.4．解析：选B.由题意可知(a ＋2x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎪⎫2x 12r a 7－r＝C r 72r a 7－rx r 2.因为展开式中的常数项为－1，所以令r ＝0，得C 0720a 7＝－1，所以a ＝－1.令r ＝4，得x 2的系数为C 47×24×(－1)7－4＝－560.5．解析：选D.分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P 1P |＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选D.6．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，易知a 1≠0，所以2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1或q ＝12.当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾；当q ＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1·mS 3，即94a 21＝m ·74a 21，所以m ＝97.故选B.7．解析：选C.f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1.对任意的x ∈[1，＋∞)，f ′(x )≤a ＋e x 恒成立，即a ≥ln x ＋1－e x 对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x ＋1－e x (x ≥1)，则g ′(x )＝1x －e x ＜0，因而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，g (x )≤ln 1＋1－e ＝1－e ，所以实数a 的最小值为1－e.8．解析：选D.不妨设点N 在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN 是以∠ONM 为顶角的等腰三角形．因为△OMN 是锐角三角形，所以∠1＞45°，即有b a ＞1，进而e 2＝1＋b 2a 2＞2.由y ＝b a x 与y ＝－b a (x －a )，得y N ＝b 2，所以12×a ×b 2＝212(a 2＋b 2)，即9a 2(c 2－a 2)＝2c 4，所以2e 4－9e 2＋9＝0，得e 2＝32(舍)或e 2＝3，所以e ＝ 3.9．解析：选BD.设2018年的总支出为x ，则2019年的总支出为1.5x ，2018年日常生活支出为0.35x ，2019年日常生活支出为0.34×1.5x ＝0.51x ，故2019年日常生活支出增加，A 错误；2018年保险支出为0.05x ，2019年保险支出为0.07×1.5x ＝0.105x ，B 正确；2018年其他支出为0.05x ，2019年其他支出为0.09×1.5x ＝0.135x ，(0.135x －0.05x )÷0.05x ＝1.7，故C 错误；由题图可知，D 正确．10．解析：选BC.若直线2x －y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交，则|2×1－2＋m |22＋（－1）2＜1，解5＜m ＜ 5.A 项中，由m 2≤1，得－1≤m ≤1，因为{m |－1≤m ≤1}⊆{m |－5＜m ＜5}，所以m 2≤1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件；B 项中，因为{m |m ≥－3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m ≥－3是－5＜m ＜5的必要不充分条件；C 项中，由m 2＋m －12＜0，得－4＜m ＜3，因为{m |－4＜m ＜3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m 2＋m －12＜0是－5＜m ＜5的必要不充分条件；D 项中，由3m ＞1，得0＜m ＜3，所以3m ＞1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件．11．解析：选ABD.设AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ，且MN ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A －CMN 最大，最大值V A －CMN ＝V N －ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，因为AB ⊥BC ，AD ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．12．解析：选BD.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2（－x ）2－a|－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误；当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由f (x )＝14，得x 2－a |x |＝－2，得x 2＋2|x |－a ＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x 2＋2|x |－a ＝0没有实数根．令|x |＝t (t ＞0)，则方程t 2＋2t －a ＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎨⎧Δ≥0，－2≤0，－a ≥0，即4＋4a ＜0或⎩⎨⎧4＋4a ≥0，－2≤0，－a ≥0，解得a ＜－1或－1≤a ≤0，综上，a ≤0，故C 选项错误；要使函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需g (x )＝x 2－a |x |在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x )＝x 2－a x ＝x －a x 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x )＝1＋ax 2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a ≥0，故D 选项正确．13．解析：方法一：因为a ＝－2i ＋j ，b ＝m i －3j ，所以2a ＋b ＝(m －4)i －j .因为(2a ＋b )∥c ，所以(2a ＋b )＝λc ，所以(m －4)i －j ＝4λi ＋mλj ，所以⎩⎨⎧m －4＝4λ，－1＝mλ，所以m ＝2.方法二：不妨令i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则a ＝(－2，1)，b ＝(m ，－3)，c ＝(4，m )，所以2a ＋b ＝(m －4，－1)．因为(2a ＋b )∥c ，所以m (m －4)＝－4，所以m ＝2.答案：214．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：25 15.解析：如图，连接OD ，OC ，BC ，OP ，设圆锥的底面半径为r ，由题意得，πr 2＋12×2πr ×3＋r 2＝3π，得r ＝1，则OC ＝1，PA ＝2.因为点O ，D 分别为AB ，PB 的中点，所以OD ∥PA ，且OD ＝12PA ＝1，所以∠ODC 为异面直线PA 与CD 所成的角(或其补角)．过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，连接HC ，易得DH ⊥HC ，DH ＝12PO ＝32.由弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，得△OCB 为等边三角ODC ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－12×1×62＝64，所以异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104.答案：10416．解析：在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得b sin C ＝c sin B ．又b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以c sin B ＝c cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝202＋302－2×20×30×cos π3＝700，所以b ＝107，由b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin C ＝217.因为a ＞c ，所以cos C ＝277，所以sin(2C －B )＝sin 2C cos B －cos 2C sinB ＝2sinC cos C cos π3－(cos 2C －sin 2C )sin π3＝2×217×277×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2772－⎝ ⎛⎭⎪⎫2172×32＝3314. 答案：331417．解：(1)因为∠ABC ＝π2，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ，所以θ＝π6. 所以12AB ·BD sin π3＝3×12BC ·BD sin π6， 所以BC AB ＝sin A sin C ＝33.(2)因为12AB ·BD sin 2θ＝3×12BC ·BD sin θ， 即2AB cos θ＝3BC ，所以cos θ＝22，所以θ＝π4，∠ABC ＝3θ＝3π4，AC 2＝9＋2－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝17，所以AC ＝17.18．解：方案一：选(1)，已知S n ＋1＝4S n ＋2 ①， 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2 ②，①－②得，a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2， 所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n （n ＋1）n 2（n ＋1）2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.方案二：选(2)，已知3S n ＝22n ＋1＋λ ③， 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ ④， ③－④得，3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1， 下同方案一．方案三：选(3)，已知3S n ＝a n ＋1－2 ⑤， 当n ≥2时，3S n －1＝a n －2 ⑥，⑤－⑥得，3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ＝1时，3a 1＝a 2－a 1，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1.下同方案一．19．解：(1)证明：方法一：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC .在△A 1BC 中，A 1B ＝4，BC ＝AD ＝2，A 1C ＝25， 所以A 1B 2＋BC 2＝A 1C 2，所以BC ⊥A 1B .又A 1B ，AB 1是平行四边形ABB 1A 1的两条对角线， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1.因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 方法二：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC . 在平行四边形ABB 1A 1中，BB 1＝AB ， 所以四边形ABB 1A 1为菱形， 所以AB 1⊥A 1B .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ， 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，所以平面ABCD ⊥平面CDD 1C 1.在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由AB ＝BB 1＝4得四边形ABB 1A 1为菱形， 所以四边形CDD 1C 1为菱形．连接BD ，设AC ，BD 交于点E ，取DC 的中点O ，连接D 1O ，OE ，易证得D 1O ⊥平面ABCD ，故以OE ，OC ，OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，2，0)，B (2，2，0)，A (2，－2，0)，A 1(2，0，23)，所以A 1C →＝(－2，2，－23)，AC →＝(－2，4，0)，BC →＝(－2，0，0)． 设平面AA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＋2y 1－23z 1＝0，－2x 1＋4y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝1，z 1＝－33，所以平面AA 1C 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2－23z 2＝0，－2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，所以平面BA 1C 的一个法向量为n ＝(0，3，1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3－3322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332×02＋（3）2＋12＝14.由图可知二面角A -CA 1B 为锐二面角，故二面角A -CA 1B 的余弦值为14. 20．解：(1)依题意知，当x ∈[70，100)时， y ＝800x －500(100－x )＝1 300x －50 000； 当x ∈[100，120]时，y ＝800×100＝80 000.所以y ＝⎩⎨⎧1 300x －50 000，70≤x ＜100，80 000，100≤x ≤120.(2)由1 300x －50 000≥67 000，得x ≥90，所以90≤x ≤120.由直方图知需求量x ∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润y 不少于67 000元的概率为0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润y 的分布列为所以利润y 的期望E (y )×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点B 1，B 2与左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，所以a ＝2， 又椭圆的右焦点F 2(1，0)，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当MN ⊥x 轴时，|MN |＝2b 2a ＝3，|OP |＝a ＝2， 此时|MN |·|OP |2＝12.②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线MN 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），化简并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）4k 2＋3.因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的方程为y ＝－1k x ， 将直线OP 的方程与椭圆G 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2P ＝12k 23k 2＋4，y 2P＝123k 2＋4，所以|OP |2＝x 2P ＋y 2P ＝12（1＋k 2）3k 2＋4，所以|MN |·|OP |2＝12（1＋k 2）4k 2＋3×12（1＋k 2）3k 2＋4＝144（1＋k 2）2（4k 2＋3）（3k 2＋4）＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4－11＋k 2. 令11＋k 2＝t ，因为k ∈R 且k ≠0，所以0＜t ＜1， |MN |·|OP |2＝144（t ＋3）（4－t ）＝144－t 2＋t ＋12＝144－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋494， 所以当t ＝12时，|MN |·|OP |2取得最小值，且(|MN |·|OP |2)min ＝57649. ③当MN 的斜率为0时，|MN |＝4，此时|OP |2＝b 2＝3， 所以|MN |·|OP |2＝12.由①②③可知，(|MN |·|OP |2)min ＝57649. 22．解：(1)易知函数f (x )＝12x 2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x ln x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x ＞e －12，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －12.(2)依题意得，h (x )＝x ln x －mx 2，若函数h (x )存在单调递增区间，则h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＞0在(0，＋∞)上有解，即存在x ＞0，使2m ＜ln x ＋1x .令φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2，当x ＞1时，φ′(x )＜0，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，所以2m ＜1，所以m ＜12. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(3)证明：因为函数h ′(x )存在两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1＜x 2， 所以ln x 1＋1－2mx 1＝0，ln x 2＋1－2mx 2＝0，所以ln x 1＋2ln x 2＝2m (x 1＋2x 2)－3，ln x 1－ln x 2＝2m (x 1－x 2)，所以ln x 1＋2ln x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)－3.要证e x 1x 22＞1，只需证ln x 1＋2ln x 2＞－1，即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)＞2(0＜x 1＜x 2)，即证ln x 1x 2＜2（x 1－x 2）x 1＋2x 2，即证ln x 1x 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，令t ＝x 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．令g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2(t ∈(0，1))，则g ′(t )＝1t －6（t ＋2）2＝（t －1）2＋3t （t ＋2）2＞0在(0，1)上恒成立．所以g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2在(0，1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0－0＝0，所以ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．故e x 1x 22＞1得证．。
2024年普通高等学校招生全国统一考试猜题信息卷(二)数学(含答案解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试猜题信息卷（二）数学一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=2x+3在区间[-2,3]上单调递增，则f(3)与f(-2)的大小关系是（）A.f(3)>f(-2)B.f(3)<f(-2)C.f(3)=f(-2)D.无法确定2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，则a3等于（）A.4B.5C.6D.73.若向量a=(1,2)，向量b=(-2,1)，则2a3b等于（）A.(7,-4)B.(-7,4)C.(-4,7)D.(4,-7)4.设全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x|x<-1}，则A∩B等于（）A.空集B.{x|x<-1}C.{x|x>1}D.R5.若复数z满足|z1|=1，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限二、判断题（每题1分，共5分）6.若函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，则a>0。
（）7.若两个事件的和事件为必然事件，则这两个事件必为对立事件。
（）8.在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
（）9.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)在区间[a,b]上恒大于0。
（）10.若矩阵A为对称矩阵，则A的行列式必为0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11.若函数f(x)=x^33x在x=1处的切线斜率为-2，则f'(1)=_______。
12.若等差数列{an}的前5项和为35，公差为3，则a1=_______。
13.若向量a=(2,-3)，向量b=(1,2)，则a·b=_______。
14.若集合A={x|x^23x+2=0}，则A=_______。
15.若复数z满足z^2+z+1=0，则|z|=_______。
四、简答题（每题2分，共10分）16.简述导数的定义及几何意义。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(二)
一、单选题二、多选题1. 古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）A ．413B ．427C ．308D ．1332. 已知函数，，的图象关于直线对称，则（ ）A．B．C．D．3. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为（ ）A．B．C．D．4.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（ ）A．B．C．D．6.平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ）A．B．C．D．7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）．A ．在上单调递增B ．在上单调递增C ．在上单调递减D ．在上单调递减8.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）A．B ．（2，﹣1，2）C．D ．（1，﹣2，1）9. 空气质量的指数是反映空气质量状况的指数，指数的值越小，表明空气质量越好．指数不超过，空气质量为“优”；指数大于且不超过，空气质量为“良”；指数大于，空气质量为“污染”．下图是某市2020年空气质量指数（）的月折线图．下列关于该市2020年空气质量的叙述中一定正确的是（ ）某市2020年空气质量指数（）月折线图A．全年的平均指数对应的空气质量等级为优或良B ．每月都至少有一天空气质量为优2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）三、填空题四、解答题C ．2月，8月，9月和12月均出现污染天气D ．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份10. 已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（ ）A．B ．若，则函数的最小正周期为C ．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为11. 圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A．B．C．D．12. 数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A．B．C．D．13.已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．14. 某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成，，，四组，对应的行政村个数分别为25，75，100，50，若用分层抽样抽取50个行政村，则组中应该抽取的行政村数为________.15.如图，在直三棱柱中，，D ，E分别为，分如中点，则过点A ，D ，E 的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．16. 如图，已知矩形中，、分别是、上的点，，，是的中点，现沿着翻折,使平面平面.（1）为的中点，求证：平面.(2)求异面直线与所成角的大小.17. 已知函数．(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．18. 在中，内角所对的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积的最大值.19. 已知是等比数列的前项和．(1)求及；(2)设，求的前项和．20. 党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月月份编号x12345利润y(百万)712131924(1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）；(2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望.附：相关系数21. 某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人；(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．。
2023_年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷
２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００９１－０５收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本题共８小题ꎬ共４０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设ｉ是虚数单位ꎬ则复数２ｉ１－ｉ在复平面内所对应的点位于(㊀㊀).Ａ.第一象限㊀㊀㊀Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象限２.已知Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜ｘ<０}ꎬＢ＝{－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则(∁ＵＡ)ɘＢ＝(㊀㊀).Ａ.１{}㊀Ｂ.{－２ꎬ－１}㊀Ｃ.０ꎬ１{}㊀Ｄ.Ø３.已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的准线与圆(ｘ－３)２＋ｙ２＝１６相切ꎬ则ｐ的值为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４４.阻尼器是一种以提供运动的阻力ꎬ从而达到减振效果的专业工程装置.深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置ꎬ是亚洲最大的阻尼器ꎬ被称为 镇楼神器 .由物理学知识可知ꎬ某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动ꎬ其离开平衡位置的位移ｓ(ｃｍ)和时间ｔ(ｓ)的函数关系式为ｓ＝２ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬ其中ω>０ꎬ若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为ｓ０(－２<ｓ０<２)的时间分别为ｔ１ꎬｔ２ꎬｔ３ꎬ且ｔ３－ｔ１＝２ꎬ则ω＝(㊀㊀).Ａ.π２㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.２π５.已知圆台的上下底面圆的半径分别为１与２ꎬ高为３ꎬ则圆台的侧面积为(㊀㊀).Ａ.７３π㊀㊀Ｂ.３３π㊀㊀Ｃ.６π㊀㊀Ｄ.１１π６.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗ꎬ并在５００名志愿者身上进行了人体注射实验ꎬ发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ(单位:ｍｇ/Ｌ)近似服从正态分布Ｎ１５ꎬσ２()ꎬ且Ｘ在区间１０ꎬ２０()内的人数占总人数的１９/２５ꎬ则这些志愿者中免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ不低于２０的人数大约为(㊀㊀).Ａ.３０㊀㊀Ｂ.６０㊀㊀Ｃ.７０㊀㊀Ｄ.１４０７.已知５５<８４ꎬ１３４<８５ꎬ设ａ＝ｌｏｇ５３ꎬｂ＝ｌｏｇ８５ꎬｃ＝ｌｏｇ１３８ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃＣ.ｂ<ｃ<ａＤ.ｃ<ａ<ｂ８.设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｆ(ｘ＋１)为奇函数ꎬｆ(ｘ＋２)为偶函数ꎬ当ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂ.若ｆ(０)＋ｆ(３)＝６ꎬ则ｆ(９２)＝(㊀㊀).Ａ.－９４㊀㊀Ｂ.－３２㊀㊀Ｃ.７４㊀㊀Ｄ.５２二㊁多选题:本题共４小题ꎬ共２０分ꎬ每小题有多项符合题目要求.９.若数据ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｍ的平均数为ｘꎬ方差为ｓ２ｘꎬ数据ｙ１ꎬｙ２ꎬ ꎬｙｎ的平均数为ｙꎬ方差为ｓ２ｙꎬ下列说法中一定正确的有(㊀㊀).Ａ.这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ｍｘ＋ｎｙｍ＋ｎＢ.若这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ωꎬ则这ｍ＋ｎ个数据的方差为ｓ２＝ｍ[ｓ２ｘ＋(ｘ－ω)２]＋ｎ[ｓ２ｙ＋(ｙ－ω)２]ｍ＋ｎＣ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｙ＝ａｘ＋ｂＤ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｓ２ｙ＝ａ２ｓ２ｘ＋ｂ１０.如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝３ꎬＡＤ＝ＡＡ１＝１ꎬ点Ｐ为线段Ａ１Ｃ上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１Ａ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＤ１Ｐʊ平面ＢＤＣ１Ｂ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＡꎬＰꎬＣ１三点共线Ｃ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬＡ１Ｃʅ平面Ｄ１ＡＰＤ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬøＤ１ＰＡ取得最大值１１.已知圆Ｍ:(ｘ－１－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－２－ｓｉｎθ)２＝１ꎬ直线ｌ:ｋｘ－ｙ－ｋ＋２＝０ꎬ下列四个选项ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.对任意实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ有公共点Ｂ.存在实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ相离Ｃ.对任意实数ｋꎬ必存在实数θꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切Ｄ.对任意实数θꎬ必存在实数ｋꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切１２.设１－２ｘ()ｎ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ ＋ａｎｘｎꎬｘɪＲꎬｎɪＮ∗ꎬ则下列结论中正确的是(㊀㊀).Ａ.－ａ１２＋ａ２２２－ａ３２３＋ ＋－１()ｎａｎ２ｎ＝２ｎ－１Ｂ.当ｎȡ３时ꎬ２ａ２＋６ａ３＋ ＋ｎｎ－１()ａｎ＝４ｎｎ－１()Ｃ.若ａ８>ａ７ꎬａ８>ａ９ꎬ则ｎ＝１２Ｄ.当ｘ＝－１２０００ꎬｎ＝２０２２时ꎬ１－２ｘ()ｎ>１０９１５三㊁填空题:本题共４小题ꎬ共２０分.１３.已知双曲线Ｃ的焦点在坐标轴上ꎬ中心为坐标原点ꎬ其渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘꎬ则该双曲线Ｃ的离心率为.１４.әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬøＡＣＢ＝π４ꎬＯ是әＡＢＣ外接圆的圆心ꎬ则ＯＣң ＡＢң＋ＣＡң ＣＢң的最大值为.１５.写出一个定义在Ｒ上且值域为(－１ꎬ１)的奇函数ｆ(ｘ)＝.１６.设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ＋ａ(ｘ－１)＋ｂ(ａꎬｂɪＲ)在区间１ꎬ３[]上总存在零点ꎬ则ａ２＋ｂ２的最小值为.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.(本小题１０分)已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝９ꎬａ４－ａ２＝２４.(１)求数列ａｎ{}的通项公式ａｎꎻ(２)设ｂｎ＝ｎ ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项的和Ｓｎ.１８.(本小题１２分)在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若әＡＢＣ的面积为１０３ꎬＤ为ＡＣ的中点ꎬ求ＢＤ的最小值.１９.(本小题１２分)如图２ꎬ已知四棱锥Ｐ－ＡＢ￣ＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ为菱形ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬＥꎬＦ分别是ＢＣꎬＰＣ的中点.(１)证明:ＡＥʅＰＤꎻ(２)若Ｈ为ＰＤ上的动点ꎬＥＨ与平面ＰＡＤ所成最大角的正切值为６/２ꎬ求二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的余弦值.图２２０.(本小题１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬａ＝３ｂꎬ点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬＴ(３ꎬ０)ꎬ证明ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值.２１.(本小题１２分)现有一批疫苗试剂ꎬ拟进入动物试验阶段ꎬ将１０００只动物平均分成１００组ꎬ任选一组进行试验.第一轮注射ꎬ对该组的每只动物都注射一次ꎬ若检验出该组中有９只或１０只动物产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ试验终止ꎻ否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射ꎬ再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立ꎬ两次注射疫苗互不影响ꎬ且产生抗体的概率均为ｐ(０<ｐ<１).(１)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含ｐ的多项式表示)ꎻ(２)记该组动物需要注射次数Ｘ的数学期望为Ｅ(Ｘ)ꎬ求证:１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.(本小题１２分)已知ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘ＋１２ａｘ２＋１ꎬａɪＲ.(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－(ｘ－１)ｅｘ－１＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２]上有１个零点ꎬ求实数ａ的取值范围.参考答案１.Ｂ㊀２.Ｃ㊀３.Ｃ㊀４.Ｂ㊀５.Ｃ㊀６.Ｂ㊀７.Ａ㊀８.Ｄ９.ＡＢＣ㊀１０.ＡＣＤ㊀１１.ＡＣ㊀１２.ＡＣＤ１３.５或５２㊀１４.３㊀１５.ｅｘ－１ｅｘ＋１㊀１６.ｅ４８１７.(１)设数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ由ａ４－ａ２＝２４ꎬ得９ｑ－９ｑ＝２４.即３ｑ２－８ｑ－３＝０.解得ｑ＝３或ｑ＝－１３.又因为ａｎ>０ꎬ则ｑ>０.所以ｑ＝３.所以ａｎ＝９ˑ３ｎ－３＝３ｎ－１.(２)因为ａｎ＝３ｎ－１ꎬ所以ｂｎ＝ｎ ａｎ＝ｎˑ３ｎ－１.所以Ｓｎ＝１ˑ３０＋２ˑ３１＋３ˑ３２＋ ＋ｎˑ３ｎ－１ꎬ３Ｓｎ＝１ˑ３１＋２ˑ３２＋ ＋ｎ－１()３ｎ－１＋ｎˑ３ｎ.所以－２Ｓｎ＝１＋３１＋３２＋ ＋３ｎ－１－ｎ ３ｎ＝(１－２ｎ) ３ｎ－１２.所以Ｓｎ＝(２ｎ－１) ３ｎ＋１４.１８.(１)在әＡＢＣ中ꎬａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣꎬ所以由正弦定理可得ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.因为ｓｉｎＣʂ０ꎬ所以ｃｏｓＣ＝１２.所以由三角形内角的范围可得角Ｃ＝π３.２()由题意知ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ａｂ ３２＝１０３.所以ａｂ＝４０.在әＢＣＤ中ꎬ由余弦定理ꎬ得｜ＢＤ｜２＝ａ２＋ｂ２４－ａｂｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２４－１２ａｂȡ２ａｂ２－１２ａｂ＝１２ａｂ＝２０ꎬ当且仅当ａ＝１２ｂ且ａｂ＝４０ꎬ即ａ＝２５ꎬｂ＝４５时取等号.所以ＢＤ的最小值为２５.１９.１()由四边形ＡＢＣＤ为菱形ꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬ可得әＡＢＣ为正三角形.图３因为Ｅ为ＢＣ的中点ꎬ所以ＡＥʅＢＣ.又ＢＣʊＡＤꎬ因此ＡＥʅＡＤ.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＡＥ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＰＡʅＡＥ.而ＰＡ⊂平面ＰＡＤꎬＡＤ⊂平面ＰＡＤ且ＰＡɘＡＤ＝Ａꎬ所以ＡＥʅ平面ＰＡＤ.又ＰＤ⊂平面ＰＡＤꎬ所以ＡＥʅＰＤ.２()如图３ꎬ设ＡＢ＝２ꎬＨ为ＰＤ上任意一点ꎬ连接ＡＨꎬＥＨꎬ由１()知ＡＥʅ平面ＰＡＤ.所以øＥＨＡ为ＥＨ与平面ＰＡＤ所成的角.在ＲｔәＥＡＨ中ꎬＡＥ＝３ꎬ所以当ＡＨ最短时ꎬøＥＨＡ最大ꎬ即当ＡＨʅＰＤ时ꎬøＥＨＡ最大.因为ｔａｎøＥＨＡ＝６２ꎬ所以ＡＥＡＨ＝３ＡＨ＝６２.因此ＡＨ＝２.又ＡＤ＝２ꎬ所以øＡＤＨ＝４５ʎ.所以ＰＡ＝２.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＰＡ⊂平面ＰＡＣꎬ所以平面ＰＡＣʅ平面ＡＢＣＤ.过点Ｅ作ＥＯʅＡＣ于点Ｏꎬ则ＥＯʅ平面ＰＡＣ.过点Ｏ作ＯＳʅＡＦ于点Ｓꎬ连接ＥＳꎬ则øＥＳＯ为二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的平面角.在ＲｔәＡＯＥ中ꎬＥＯ＝ＡＥ ｓｉｎ３０ʎ＝３２ꎬＡＯ＝ＡＥ ｃｏｓ３０ʎ＝３２ꎬ又点Ｆ是ＰＣ的中点ꎬ在ＲｔәＡＳＯ中ꎬＳＯ＝ＡＯ ｓｉｎ４５ʎ＝３２４ꎬ又ＳＥ＝ＥＯ２＋ＳＯ２＝３４＋９８＝３０４ꎬ在ＲｔәＥＳＯ中ꎬｃｏｓøＥＳＯ＝３２/４３０/４＝１５５ꎬ即所求二面角的余弦值为１５５.２０.１()由点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上ꎬ可得１ａ２＋８９ｂ２＝１.又ａ＝３ｂꎬ解得ａ＝３ꎬｂ＝１.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.２()过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ的方程设为ｘ＝ｍｙ＋１ꎬ与椭圆方程ｘ２＋９ｙ２＝９联立ꎬ消去ｘ可得(９＋ｍ２)ｙ２＋２ｍｙ－８＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－２ｍ９＋ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝－８９＋ｍ２.则ｋＴＭ ｋＴＮ＝ｙ１ｘ１－３ｙ２ｘ２－３＝ｙ１ｙ２(ｍｙ１－２)(ｍｙ２－２)＝ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋４－２ｍ(ｙ１＋ｙ２)＝－２９.则ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值－２９.２１.１()平均每组１０００１００＝１０人ꎬ设第一次注射有Ｙ只动物产生抗体ꎬ则ＹʐＢ(１０ꎬｐ).所以Ｐ(Ｙ＝９)＋Ｐ(Ｙ＝１０)＝ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)＝１０ｐ９－９ｐ１０.所以该组试验只需第一轮注射的概率为１０ｐ９－９ｐ１０.２()由１()得Ｐ(Ｘ＝１０)＝１０ｐ９－９ｐ１０.又Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋꎬｋ＝２ꎬ３ꎬ ꎬ１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０Ｐ(Ｘ＝１０)＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝１０ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)[]＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｃ１０－ｋ１０ (１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＋ð１０ｋ＝０ｋＣ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ－Ｃ９１０(１－ｐ)ｐ９.设ξʐＢ(１０ꎬ１－ｐ)ꎬ则Ｅ(ξ)＝ð１０ｋ＝０ｋＣｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０(１－ｐ).又ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝(１－ｐ＋ｐ)１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０(１－ｐ＋ｐ)１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０＋１０(１－ｐ)(１－ｐ９).因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)>１０.又Ｅ(Ｘ)＝１０＋１０１－ｐ()１－ｐ９()＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０２－ｐ()－１０ｐ９１－ｐ()ꎬ因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)<１０２－ｐ().所以１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.１()函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ求导ꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ａｘ＝ｘｅｘ＋ａ().当ａȡ０时ꎬ当ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.当ａ<０时ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ１＝０ꎬｘ２＝ｌｎ(－ａ).若ｌｎ(－ａ)＝０ꎬ即ａ＝－１时ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则有ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ若ｌｎ(－ａ)<０ꎬ即－１<ａ<０时ꎬ当ｘ<ｌｎ(－ａ)或ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｌｎ(－ａ)<ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ若ｌｎ(－ａ)>０ꎬ即ａ<－１时ꎬ当ｘ<０或ｘ>ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当０<ｘ<ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.所以ꎬ当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当－１<ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ当ａ＝－１时ꎬｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ当ａ<－１时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.２()依题意ꎬｇ(ｘ)＝１２ａｘ２＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２]ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ(ａ－ｓｉｎｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２]时ꎬ０<ｓｉｎｘɤ１ꎬ当ａȡ１时ꎬａ－ｓｉｎｘȡ０ꎬｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递增ꎬ有ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当ａɤ０时ꎬａ－ｓｉｎｘɤ０ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递减ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当０<ａ<１时ꎬ∃ｘ０ɪ(０ꎬπ２)ꎬ使得ｓｉｎｘ０＝ａꎬ而ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２)上单调递增ꎬ当０<ｘ<ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ０<ｘ<π２时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ因此ꎬｇ(ｘ)在０ꎬｘ０()上单调递增ꎬ在(ｘ０ꎬπ２)上单调递减.又ｇ(０)＝０ꎬｇπ２æèçöø÷＝ａπ２８－１ꎬ若ｇ(π２)>０ꎬ即８π２<ａ<１时ꎬ无零点ꎻ若ｇ(π２)ɤ０ꎬ即０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)有一个零点.综上可知ꎬ当０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]有１个零点ꎬ所以实数ａ的取值范围０<ａɤ８π２.[责任编辑:李㊀璟]。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(二)(新高考九省联考题型)
一、单选题二、多选题1. 已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m 的最小值为（ ）A．B．C．D．2. 已知命题p ：∀x ∈R +，ln x ＞0，那么命题为（ ）A ．∃x ∈R +，ln x ≤0B ．∀x ∈R +，ln x ＜0C ．∃x ∈R +，ln x ＜0D ．∀x ∈R +，ln x ≤03.若的展开式中的系数为，则（ ）A ．2B．C．D．4. 已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C 的方程为（ ）A．B．C．D．5. 设全集，或，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知在中,角所对的边分别为，且，若，则A．B．C．D．7. 设椭圆的焦点为，点P 是C与圆的交点，的平分线交于Q ，若，则椭圆C 的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．9. 已知A，，，是表面积为20π的球体表面上四点，且，，则（ ）A．若，则平行直线与间距离的最大值为3B．若，则平行直线与间距离的最小值为C ．若A，，，四点能构成三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为4D ．若，则2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）三、填空题四、解答题10. 已知函数，则（ ）A ．当时，恒成立B．当时，是的极值点C ．若有两个不同的零点，则的取值范围是D ．当时，只有一个零点11. 已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A ．点P的横坐标为B ．的周长为C ．大于D ．的内切圆半径为12. 函数的部分图像如图所示，则下列说法中正确的有（）A ．f (x )的周期为πB ．f (x )的单调递减区间是(k ∈Z )C ．f (x )的图像的对称轴方程为(k ∈Z )D ．f (2020)+f (2021)=013. 关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.14.若向量，满足，，，则______．15. 在展开式中，的系数为________（结果用数值表示）．16. 如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E ，F分别是的中点．(1)求证：∥平面；(2)设H 在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值．17. 已知复数.（1）设，求的值；（2）求满足不等式的实数的取值范围.18.从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中：内角，，的对边分别为，，，__________．(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. （1）若，恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）的条件下，求证：函数在区间内存在唯一的极大值点，且.20. 已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.21. 已知椭圆.(1)若在椭圆上，证明：直线与椭圆相切；(2)如图，分别为椭圆上位于第一、二象限内的动点，且以为切点的椭圆的切线与轴围成.求的最小值.。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(二)(新高考九省联考题型)(2)
一、单选题二、多选题1.给出函数的一条性质：“存在常数，使得对于定义域中的一切实数均成立”，则下列函数中具有这条性质的函数是 （ ）A．B．C．D．2. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则（）A．B．C ．1D．3. 设实数列和分别是等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是( )A．B．C．D．4.已知向量，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知，则（ ）A．B．C．D．6.双曲线的渐近方程为（ ）A．B．C．D．7. 已知正方形的中心在坐标原点，四个顶点都在函数的图象上．若正方形唯一确定，则实数的值为（ ）A．B．C．D．8.若集合，，那么（ ）A．B．C．D．9. 已知，若，则（ ）A．B．C．的最小值为8D ．的最大值为10. 已知函数是R 上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）A．B ．点是函数的图象的一个对称中心2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）(2)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）(2)三、填空题四、解答题C ．函数在上单调递增D ．函数在上有3个零点11. 已知是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆E 上，则（ ）A ．点在x 轴上B ．椭圆E 的长轴长为4C ．椭圆E的离心率为D ．使得为直角三角形的点P 恰有6个12.已知函数，若为的一个极值点，且的最小正周期为，若，则（ ）A．B．C．为偶函数D．的图象关于点对称13. 已知，则____________．14.若，则________.15. 在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为矩形．请在下面给出的5个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在BC 边上存在点Q ，使得△PQD 为钝角三角形”的充分条件___________．（写出符合题意的一组即可）①；②；③；④；⑤.16. 2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖.在线上捐款后，屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个.规定：若出现“利”字，则抽奖结束.否则重复以上操作，最多按4次.获奖规则如下：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖.(1)求获得一､二､三等奖的概率；(2)设按下按钮次数为，求的分布列和数学期望.17.已知正项数列的前n项和满足.数列满足（1）求数列的通项公式；（2）试问:数列是否构成等比数列(注:是数列的前n 项和)?请说明理由；（3）若是否存在正整数n ，使得成立?若存在求所有的正整数n ；否则，请说明理由.18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，且.(1)求角的大小；(2)若，求证：.19. 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；20. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，点是线段的中点，且.(1)求角；(2)求边的取值范围.21. 如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.(1)求证：；(2)求二面角的大小.。
(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷 新课标Ⅱ卷(含部分解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷新课标Ⅱ卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。
做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。
1.已知1i z =--，则||z =( ).A.0B.1 D.22.已知命题：:R p x ∀∈，|1|1x +>，命题:0q x ∃>，3x x =，则( ).A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a =，|2|2a b +=，且(2)b a b -⊥，则||b =( ).A.12B.2C.2D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过40%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为( ). A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=> C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=> 6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =( )A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为( ). A.12 B.1 C.2 D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为( ). A.18 B.14 C.12 D.19.对于函数()sin 2f x x =和π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列正确的有( ). A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.拋物线2:4C y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作22:(4)1A x y +-=的一条切线，Q 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点A 有且仅有2个 11.设函数32()231f x x ax =-+，则( ).A.当1a >时，()f x 有一个零点B.当0a <时0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b 使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a 使得点(1,(1))f 为曲线()y f x =的对称中心12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =__________.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=__________.14.在如图的44⨯方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A +=.（1）求A ；（2）若2a =sin 2C c B =，求ABC △周长.16.已知函数3()e x f x ax a =--.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90APC ∠=︒，30BAD ∠=︒，点E ，F 满足25AE AD =，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF △，使得PC =（1）证明：EF PD ⊥：（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ （ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线22:(0)C x y m m -=>，点1(5,4)P 在C 上，k 为常数，01k <<，按照如下公式依次构造点(2,3,)n P n =，过点1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求2x ，2y ； （2）证明：数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列； （3）设n S 为12n n n P P P ++△的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1. 2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案 新课标Ⅱ卷答案：C解析：||z =.2. 答案：B解析：1x =-时，|1|1x +<，p ∴错误，P ∴⌝和q 是真命题.3. 答案：A解析：(2)0b a b -⋅=，220b a b ∴-⋅=又||1a =，|2|4a b +=， 得1||2b =. 4. 答案：C解析：中位数错误，标差介于200kg ~300kg 之间，∴选C.5. 答案：A解析：设(,)P x y ，将坐标代入原方程联立，得M 方程221(0)164x y y +=>. 6. 答案：D解析：联立()()f x g x =，2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+，2a =代入方程，恰好得到一个极点，2a ∴=.7. 答案：B 解析：πtan 4α=，tan 1α∴=. 8. 答案：C解析：()()ln()f x x a x b =++，()()()f x x a h x =+⋅，(1)0g b -=， 10b a -+=，1a b ∴=-，222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=. 9. 答案：BC解析：A.令()0f x =，()0g x =，零点不同；B.()f x ，()g x 最大值相同；C.π()sin 22f x x Tf ===，π()2g x =，∴C 正确； D.()f x ，()g x 对称轴显然不同，∴D 错误.10. 答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.11. 答案：D解析：依次带入质检即可12AF F △后为直角三角形12212c F F =≥=，6C =，22||8a AF AF =-=，4a =，32c e a ==. 12. 答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程 3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩得143a d =-⎧⎨=⎩， 10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+= 13.答案：3 解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅ 222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()33αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭14. 答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，1314151658+++=.15. 答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A +=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=tan φ=π6A =. （2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B =⋅2cos B =，π4B ∴= 54sin π12c =⋅22ABC C a b c ∴=++=+=+△16. 答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a > 解析：（1）(1)e 1f =-当1a =，1x =时(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-(e 3)2x =-+；（2）2()e 3x f x ax '=-，()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =()e 6x f x ax ''=-，2e 3x ax =，()3(2)f x ax x ''=-2x =时，2e 12a = 232(2)e 2e 8f a a =-⋅=- 代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-= (2)0f <2e 80a ∴-<28e a >2e 8a > 2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭. 17. 答案：（1）EF PD ⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为(0,0)，则B 为(8,0)，依次求出E ，(4,0)F ，(1,EF =，152D ⎛ ⎝⎭P 关于EF 的中点M 对称，3407,,2222M ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设(,)P x y ，7(2x t =+⋅，12y t =+⋅1593,,2222C ⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PC ∴=将x ，y 表达式代PC ==15,22PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 0EF PD ⋅=EF PD ∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC =求出面PCD 与面PBF 的法向量1a ，2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ ∴正弦值为0.18. 答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲19. 答案：（1）23x =，20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y2221n n x x a m∴-= ()n n y y k x x -=-()12n n y y x x -=--.22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-= 1122n y x xn yn -=-++ 2n n x x y =- 代入222()1x yn y a m+-=得23x =，20y =. （2）()2221n n kx y kx x a m +--= 22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-= 111n n x k x k++=- 利用等性证明。
湖南省2024届高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学试题含答案
2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}{}20,1,2,0A B xx x ==+=∣，则A B ⋃为（）A.∅B.{}0C.{}0,1,2D.{}1,0,1,2-2.已知复数2i1iz +=+，则复数z 的实部与虚部之和为（）A.0B.1D.23.某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分x 与骑行用时y （单位：小时）如下表：身体综合指标评分()x 12345用时(/y 小时）9.58.87.876.1由上表数据得到的正确结论是（）参考数据：()()()()5552211110,7.06,8.4,8.402.ii i i i i i x x y y x xy y ===-=-=--=-∑∑∑.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑.A.身体综合指标评分x 与骑行用时y 正相关B.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较弱C.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的相关程度较强D.身体综合指标评分x 与骑行用时y 的关系不适合用线性回归模型拟合4.已知二项式(12)n x +（其中*n ∈N 且5n ）的展开式中3x 与4x 的系数相等，则n 的值为（）A.5B.6C.7D.85.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意实数()(),2x f x f x -=.当[]1,2x ∈时.()21log f x x =-.则()21f 的值为（）A.0B.1C.21log 21- D.210log 21+6.已知点()4,1M ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F P 为抛物线上一动点，当P 运动到()2,t 时，4PF =，则PM PF +的最小值为（）A.6B.5C.4D.37.湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，A ，C ，D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（）（ 1.732≈，精确到0.1m ）A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m8.已知圆22:(4)4C x y -+=，点M 在线段()04y x x = 上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，以AB 为直径作圆C '，则圆C '的面积的最大值为（）A.πB.2πC.5π2D.3π二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.π3ϕ=-C.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减10.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，()g x 是定义域为R 的奇函数，且()()2xf xg x e +=.函数()()()22F x f x mf x =-在[)0,∞+上的最小值为-2.则下列结论正确的是（）A.()e exxf x -=+ B.()g x 在实数集R 单调递减C.3m =D. 3.3m =-或13411.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ､分别是侧棱11BB CC ､的中点，P 是侧面11BCC B （含边界）内一点，则下列结论正确的是（）A.若点P 与顶点1C 重合，则异面直线1AA 与DP 所成角的大小为60B.若点P 在线段MN 上运动，则三棱锥11C PDB -的体积为定值C.若点P 在线段1B C 上，则1AP BD ⊥ D.若点P 为1BC 的中点，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为82π3三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在ABC 中，,AB c AC b == ，点M 满足(01)BM BC λλ=<<，若1233AM b c =+ ，则λ的值为__________.13.已知π1sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于__________.14.已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且()121260,23F PF PF m PF m ∠==，则椭圆C 的离心率取值范围为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且497,81a S ==.等比数列{}n b 是正项递增数列，且1231238,7b b b b b b =++=.（1）求数列{}n a 的通项n a 和数列{}n b 的通项n b ；（2）若1,,,,n n n n n a b n c a b n +-⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.16.（本小题满分15分）如图1，在五边形ABCDP 中，连接对角线,AD AD∥,,224BC AD DC PA PD AD BC DC ⊥=====，将三角形PAD 沿AD 折起，连接,PC PB ，得四棱锥P ABCD -（如图2），且PB E =为AD 的中点，M 为BC 的中点，点N 在线段PE 上.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若平面AMN 和平面PAB的夹角的余弦值为29，求线段EN 的长.17.（本小题满分15分）三人篮球赛是篮球爱好者的半场篮球比赛的简化版，球场为1511⨯米，比赛要求有五名球员.某高校为弘扬体育精神，丰富学生业余生活､组织“挑战擂王”三人篮球赛，为了增强趣味性和观赏性，比赛赛制为三局二胜制，即累计先胜两局者赢得最终比赛胜利（每局积分多的队获得该局胜利，若积分相同则加时决出胜负）.每局比赛中犯规次数达到4次的球员被罚出场（终止本场比赛资格）.该校的勇士队挑战“擂王”公牛队，李明是公牛队的主力球员，据以往数据分析统计，若李明比赛没有被罚出场，公牛队每局比赛获胜的概率都为34，若李明被罚出场或李明没有上场比赛，公牛队每局比赛获胜的概率都为12，设李明每局比赛被罚出场的概率为p 且11,62p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）若李明参加了每局的比赛，且13p =（i ）求公牛队每局比赛获胜的概率；（ii ）设比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）为了增强比赛的娱乐性，勇士队和公牛队约定：李明全程上场比赛，但若李明被罚出场，则李明将不参加后面的所有局次比赛.记事件A 为公牛队2：0获得挑战赛胜利，求事件A 的概率的最小值.18.（本小题满分17分）已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点为12F F ､，点()0P y 在双曲线E 的右支上.且124PF PF -=，三角形12PF F 的面积为（1）求双曲线E 的方程；（2）已知直线:1l x =与x 轴交于点M ，过M 作斜率不为0的直线12l l ､，直线1l 交双曲线E 于,A B 两点，直线2l 交双曲线E 于,C D 两点.直线AC 交直线l 于点G ，直线BD 交直线l 于点H .试证明：MG MH为定值，并求出该定值.19.（本小题满分17分）已知函数()2e 3(,0,e xf x a ax a a =-∈≠R 是自然对数的底数，e 2.71828)= .（1）当1a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）当1a =时，证明：()cos 2f x x x - ；（3）证明：若[)1,,a x ∞∈+∈R ，则()12sin f x x - .2024年普通高等学校招生全国统一考试考前演练二数学参考答案一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.D 【解析】由{}20B xx x =+=∣，得{}0,1B =-，又集合{}0,1,2A =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，故选D.2.B 【解析】因为()()()()2i 1i 2i 31i1i 1i 1i22z +-+===-++-，所以复数z 的实部与虚部之和31122⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故选B .3.C 【解析】因为相关系数()()51iix x y y r --=-∑.即相关系数近似为1,y -与x 负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.所以选项ABD 错误，C 正确.故选C.4.A【解析】因为*n ∈N 且5n ，由题意知33442C 2C n n =，得()()()()()3412123223!4!n n n n n n n -----⋅=⋅，求得5n =，故选A .5.B 【解析】由已知()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()2f x f x -=，所以()()2f x f x -=-，所以()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，()()()221210111log 11f f f =⨯+==-=.故选B.6.A 【解析】由抛物线的定义可知，422pPF ==+，所以4p =，所以抛物线的方程为28y x =，过点P 作PP '垂直抛物线的准线，垂足为P '，则426PM PF PM PP MP ''+=++= ，当且仅当P P '､和M 三点共线时等号成立，故选A.7.B 【解析】过点E 作EF AB ⊥，交AB 于点F ，在Rt ECD 中，因为30ECD ∠=，所以tan 18tan30DE CD DCE ∠==⨯= ，在Rt BEF 中，因为60BEF ∠= ，所以tan 15tan60BF EF FEB ∠==⨯= 则()36.4m AB BF AF BF ED =+=+=+=≈.故选B.8.D【解析】依题意圆C '是以AB 为直径的圆，当AB 最大时，圆C '的面积最大，因为11222AMC AB S MC AM AC =⋅⋅=⋅⋅ ，得2224||4441||MA AC MC AB MCMC MC -===-，又24MC ，当4MC =时，此时()0,0M 或(4,4)M ，AB 取最大值3C '的面积最大值为2π3)3π⋅=，故选D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）9.ABD 【解析】依题意函数()f x 的周期为2ππ2T ==，所以选项A 正确；因为()102f =，即1cos 2ϕ=，又π02ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以选项B 正确；因为()πcos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又()5π5ππcos 2cos 2π1663f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 错误；因为ππ62x <<，所以π2π02π33x <-<<，所以函数()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以选项D 正确，故选ABD.10.AC 【解析】()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，又()g x 为奇函数，()()g x g x ∴-=-，()()2e x f x g x += ，①()()2e x f x g x -∴-+-=，即()()2e x f x g x --=，②由2+①②得：()e e x xf x -=+，所以选项A 正确；因为函数e ,e x x y y -==-在R 上均为增函数，故()e exxg x -=-在R 上单调递增，所以选项B 错误；因为()()2222e e e e 2x x x xf x --=+=+-，所以()()()2e e 2e e 2x xx x F x m --=+-+-，又()e e 2x x f x -=+ ，当e e x x -=，即0x =时等号成立，令[)e e 2,xxt ∞-=+∈+，设()22222()2h t t mt t m m =--=---，对称轴t m =，（1）当2m >时，函数()h t 在[)2,m 上为减函数，在(),m ∞+上为增函数，则()2min ()211h t h m m ==--=-，解得3m =或3m =-（舍）；（2）当2m 时，()h t 在[)2,∞+上单调递增，()min ()22411h t h m ==-=-，解得：1324m =>，不符合题意.综上3m =，所以选项C 正确，D 错误.故选AC .11.BCD【解析】对于选项A ，因为1AA ∥1CC ，又点P 与顶点1C 重合，所以1DC C ∠是异面直线1AA 与DP 所成角，其大小为45 ，故选项A 错误；对于选项B ，因为,M N 是侧棱11,BB CC 的中点，所以MN ∥11B C ，又点P 在线段MN 上，所以三棱锥11C PDB -的体积1111112221323C PDBD PC B V V --==⨯⨯⨯⨯=（定值），故B 正确；对于选项C ，因为点P 在线段1B C 上，连接111,,,AC AB BD B D ，因为1BB ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，又因为ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，且11,,BB BD B BB BD ⋂=⊂平面11BB D D ，则AC ⊥平面11BB D D ，且1BD ⊂平面11BB D D ，可得1AC BD ⊥，同理可得11AB BD ⊥，且11,,AC AB A AC AB ⋂=⊂平面1AB C ，则1BD ⊥平面1AB C ，因为AP ⊂平面1AB C ，所以1AP BD ⊥，故C 正确；对于选项D ，因为点P 为1BC 的中点，连接BD ，记AC 与BD 的交点为O ，取BC 的中点为F ，连接,PF OF ，则222OP OF PF =+=，又2OA OB OC ===，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的圆心，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为2，所以三棱锥P ABC -的外接球的体积为342ππ2)33⨯=，故D 正确.故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.13【解析】由题意可得：()()()121133AM AB BM AB BC AB AC AB AC AB b c b c λλλλλλ=+=+=+-=+-=+-=+.所以13λ=.13.2325【解析】22ππππ123cos 2cos 2cos212sin 123366525αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.14.37,34⎣⎦【解析】因为12PF m PF =，由椭圆的定义可得()12212PF PF m PF a +=+=，所以2122,11a ma PF PF m m ==++.又因为1260F PF ∠=，由余弦定理可得：22222222cos6041111a ma a ma c m m m m ⎛⎫⎛⎫+-⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.化简得22233111(1)2c m a m m m=-=-+++，又因为函数()12f m m m =++在区间[]2,3上单调递增，所以9116223m m ++ ，所以2217316c a .可得3734e ，所以椭圆C 的离心率取值范围为37,34⎣⎦.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，又497,81a S ==，所以1137,98981,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩故()1121n a a n d n =+-=-.因为数列{}n b 为各项为正的递增数列，设公比为q ，且1q >，因为1238b b b =，所以3318b q =，得122b q b ==，又1237b b b ++=，所以2227q q++=，即()()2120q q --=，解得2q =，从而11b =，所以1112n n n b a q --==.（2）由（1）得()()1212,,212,,nn n n n c n n -⎧--⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数所以()()212122124324122n n n n n c c n n ---+=--+-=，所以数列{}n c 的前2n 项和21234212n n nS c c c c c c -=++++++ ()()()2421234212222n n n c c c c c c -=++++++=+++ ()22221424143nn +--==-（或1443n +-）.16.【解析】（1）连接BE ，则12BC AD DE ==，因为AD ∥,BC AD DC ⊥，所以四边形BCDE 为矩形，所以2BE CD ==，因为PA PD ==，且E 为AD 的中点，所以PE AD ⊥，且2PE ==，所以22222228PE BE PB +=+==，即,PE BE ⊥又因为AD BE E ⋂=，所以PE ⊥平面ABCD ，又PE ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B M P -，设EN t =，则()0,0,N t ，所以()()2,2,0,2,0,2AB AP =-=- ，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，则0,0,m AB m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩取()1,1,1,m = 又()()3,2,0,2,0,AM AN t =-=- ，设平面AMN 的法向量为()222,,n x y z = ，则0,0,n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222320,20,x y x tz -+=⎧⎨-+=⎩取3,,22t n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以323872|cos ,|||||29t t m n m n m n ++⋅〈〉==⋅ ，所以1t =，或10441t =（舍），线段EN 的长为1.17.【解析】（1）（i ）记i A 表示事件“第i 局公牛队获胜”，i B 表示事件“球员李明第i 局没有被罚出场”，1,2,3i =.由全概率公式公牛队每局比赛获胜的概率为()()()()023********i i i i i i P P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣.（ii ）由已知随机变量X 的可能取值为2，3.()2222521339P X ⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112222222243C 1C 113333339P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-⋅+⋅⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表：X23P 5949()542223999E X =⨯+⨯=.（2）依题意事件A 擂王公牛队2:0获得挑战赛胜利的可能情形是：两局比赛李明均没有被罚出场；第一局李明没有被罚出场，第二局被罚出场；第一局李明被罚出场，第二局不能参加比赛.所以()()()2331111144222P A p p p p ⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦2141131633p ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.又11,62p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当12p =时()min 2364P A =.即事件A 的概率的最小值为2364.18.【解析】（1）因为124PF PF -=，所以24a =，得2a =，又三角形12PF F120012F F y ⋅==0y =，得P ⎛⎫ ⎝代入双曲线方程得2225414b b +-=，得221,5b b ==-（舍），所以双曲线E 的方程为：2214x y -=.（2）由题意，()1,0M ，且12,l l 斜率存在且不为0，设()()()()112233441122,,,,,,,,:1,:1A x y B x y C x y D x y l x m y l x m y =+=+，由几何性质可知122,2m m >>，联立方程221440,1,x y x m y ⎧--=⎨=+⎩得()22114230m y m y -+-=，Δ0>恒成立，11212221123,44m y y y y m m --+==--，同理可得：23434222223,44m y y y y m m --+==--，直线AC 方程：()311131y y y y x x x x --=--，令1x =，得()()211331311111131231123111G m m y y y y y y y y x y m y x x m y m y m y m y ---=+-=-=---，同理：()21242412H m m y y y m y m y -=-，因为()()2113212423112412G H m m y y m m y y y y m y m y m y m y --+=+--()()()()()1324122423112123112412y y m y m y y y m y m y m m m y m y m y m y -+-=---()()()()()23412112342123112412m y y y y m y y y y m m m y m y m y m y +-+=---()()()2112222221122123112412323244440m m m m m m m m m m m y m y m y m y ----⋅-⋅----=-=--，所以G H y y =-，所以1GHMGy MH y ==.19.【解析】（1）因为()e 3x f x x =-，所以()e 3x f x '=-，当ln3x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当ln3x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()()()ln3min ln3e3ln331ln30f x f ==-=-<，又()()020e 10,2e 60f f ==>=->，所以()f x 有两个不同零点.（2）当1a =时，()e 3xf x x =-，由()cos 2f x x x - ，得e cos x x x - ，令()e x h x x =-，则()e 1xh x '=-，当0x <时，()()0,h x h x '<在(),0∞-上为减函数，当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上为增函数，所以()()01h x h = ，而cos 1x ，且()0cos0h =，所以e cos x x x - ，即()cos 2f x x x - .（3）由已知()12sin f x x - ，即2e 32sin 10x a ax x -+- ，因为[)1,a ∞∈+，令()2e 32sin 1x g a a xa x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xx a =，令()32e x x x ϕ=，所以()()312ex x x ϕ-='，当1x <时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增；当1x >时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，所以()()max 3112e x ϕϕ==<，即3312e 2ex x a =< ，故()g a 在区间[)1,∞+上单调递增，所以()()1e 32sin 1x g a g x x =-+- ，从而只需证明e 32sin 10x x x -+- 即可，即证32sin 110e xx x -+- ，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos e x x x x F x '-+-=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x '⎛⎫=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F = ，即32sin 110e x x x -+- ，。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(二)答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}2A x x x=≤，(){}2log1B x y x ==-，则A B ⋃=（）A.[)1,+∞B.[)0,∞+C.（0，1）D.[]0,1【答案】B 【解析】【分析】分别化简集合,A B ，根据并集的定义求解.【详解】{}2A x x x=≤ ∴不等式2x x ≤的解集是集合A又因为(){}21001,01x x x x x A x x ≤⇒-≤⇒≤≤∴=≤≤又(){}2log 1x y x =- ，所以满足函数()2log 1y x =-中x 的范围就是集合B所以{}1011x x B x x ->⇒>∴=>所以{}{}{}[)01100,A B x x x x x x ∞⋃=≤≤⋃>=≥=+故选：B2.已知复数()()2i 1i z a =+-为纯虚数，则实数=a （）A.12-B.23-C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】()()()2i 22i 1i i 2i 2i 2a a a a z a ==-++++---=，因为复数z 为纯虚数，所以2020a a -≠⎧⎨+=⎩，即2a =-.故选：D3.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC m = ，AM n = ，则BD =（）A.43m n -B.43m n+ C.34m n -D.34m n+【答案】C 【解析】【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到2()22BC AC AM m n =-=-和AB AC BC =- 222m m n n m =-+=-，进而利用BD BC CD BC AB =+=- ，可得答案.【详解】如图，AC m =，AM n =，且在正方形ABCD 中，AB DC=12AC AM MC BC -==，2()22BC AC AM m n ∴=-=- ， AC AB BC =+，AB AC BC ∴=- 222m m n n m =-+=- ，∴BD BC CD BC AB =+=-= 22234m n n m m n--+=- 故选：C4.已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c >>B.a c b >>C.c a b >>D.a b c>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数单调性，找出中间值0,1，使其和,,a b c 比较即可.【详解】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值域可知，()()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=，即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C5.端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（）A.4 B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.【详解】由球的表面积为9π，可知球的半径为32，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为32时，该正四面体的高最小，设该正四面体的棱长为a 3a =，根据该正四面体积的可得2163334a a ⨯⨯=21334324a ⨯⨯⨯，解得a =.所以该正四面体的高的最小值为66633a =⨯=.故选：B6.现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）A.514 B.314C.27D.17【答案】D 【解析】【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【详解】0，l ，2，3，4，5，6，7删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为284482-=-，所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，有()()()()0,1,0,2,0,3,1,2四种情况符合要求，将这组数据随机删去两个数，共有28C 28=种情况所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为41287=.故选：D7.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，P 为11AD 上一点，且112A P PD =，则过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（）A. B.C.+D.+【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.【详解】因为112A P PD =，即11113D P A D = ，取11113D H D C =uuuu r uuuu r，连接11,,PH HC A C ，则11//HP AC ，又11//AC AC ，所以//HP AC ，所以,,,,A O C H P 共面，即过A ，P ，O 三点的正方体的截面为ACHP ，由题可知APCH ===，PH =，11A C =，所以过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为+.故选：D.8.不等式15e ln 1-≥+x a xx x对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.(,1e]-∞- B.(2,2e⎤-∞-⎦C.(,4]-∞- D.(,3]-∞-【答案】C 【解析】【分析】分离参数，将15e ln 1-≥+x a x x x 变为41e ,1ln x x xa x x---≤>，然后构造函数，即将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.【详解】由不等式15e ln 1-≥+x a xx x 对任意(1,)x ∈+∞恒成立，此时ln 0x >，可得41e ,1ln x x xa x x---≤>恒成立，令41e ,1ln x x x y x x ---=>，从而问题变为求函数41e ,1ln x x x y x x---=>的最小值或范围问题；令1()e x g x x -=-，则1()e 1x g x -'=-，当1x <时，1()e 10x g x -'=-<，当1x >时，1()e 10x g x -'=->，故1()e (1)0x g x x g -=-≥=，即1e x x -≥，所以4411ln 4ln 1e e e e 4ln x x x x x x x x ------=⋅=≥-，()*，当且仅当4ln 1x x -=时取等号，令()4ln 1h x x x =--，则44()1x h x x x-'=-=，当4x <时，()0h x '<，当>4x 时，()0h x '>，故min ()(4)34ln 40h x h ==-<，且当x →+∞时，()4ln 1h x x x =--也会取到正值，即4ln 1x x -=在1x >时有根，即()*等号成立，所以41e 4ln 4ln x x x x x x x---≥--=-，则41e 4ln x x xx---≥-，故4a ≤-，故选：C【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为22210x y y +--=，若直线1y x =-上存在一点M ，使过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，则点M 的纵坐标为（）A.1B.C.1- D.【答案】AC 【解析】【分析】首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点M 、圆心以及两个切点构成正方形，最后根据2MC =以及两点间距离公式即可得出结果.【详解】22210x y y +--=化为标准方程为：()2212x y +-=，圆心()0,1C ，，因为过点M 所作的圆的两条切线相互垂直，所以点M 、圆心以及两个切点构成正方形，2MC =，因为M 在直线1y x =-上，所以可设(),1M a a -，则()22224MCa a =+-=，解得：2a =或0a =，所以()2,1M 或()0,1M -，故点M 的纵坐标为1或1-.故选：AC.10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A.π4B.π3C.4π3D.9π4【答案】AD 【解析】【分析】根据函数图象可确定A 和最小正周期T ，由此可得ω，结合π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()(),f x g x 的解析式，根据()()f x m g x -=可构造方程求得()ππ4m k k =-∈Z ，由此可得m 可能的取值.【详解】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.11.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A.34a =B.221n n a a n +=++C.221,,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D.数列(){}1nn a -的前2n 项和的最小值为2【答案】ACD 【解析】【分析】当2n k =时，2122k k a a k +=+,当21n k =-时，2212k k a a k -=+,联立可得21214k k a a k +--=，利用累加法可得22122k a k k +=+，从而可求得221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，在逐项判断即可.【详解】令k *∈N 且1k ≥，当2n k =时，2122k k a a k +=+①；当21n k =-时，221212112k k k a a k a k --=+-+=+②，由①②联立得21214k k a a k +--=.所以315321214,8,,4k k a a a a a a k +--=-=-= ，累加可得()22112114844222k k k k a a a k k k+++-==+++=⨯=+ .令21k n +=(3n ≥且为奇数)，得212n n a -=.当1n =时10a =满足上式，所以当n 为奇数时，212n n a -=.当n 为奇数时，()21112n nn aa n ++=++=，所以22n n a =，其中n 为偶数.所以221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，故C 正确.所以233142a -==，故A 正确.当n 为偶数时，()22222222n nn n aa n ++-=-=+，故B 错误.因为()()222212211222n n n n a a n ----=-=，所以(){}1nna -的前2n 项和21234212nn nSa a a a a a -=-+-++-+()()121222212n n n nn +=⨯+⨯++⨯=⨯=+ ，令()1n c n n =+，因为数列{}n c 是递增数列，所以{}n c 的最小项为1122c =⨯=，故数列(){}1nna -的前2n 项和的最小值为2，故D 正确.故选:ACD.【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．12.已知抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-，焦点为F ，点(),P P P x y 是抛物线上的动点，直线1l 的方程为220x y -+=，过点P 分别作PA l ⊥，垂足为A ，1PB l ⊥，垂足为B ，则（）A.点F 到直线1l 的距离为655B.2p x +=C.221p px y ++的最小值为1 D.PA PB +的最小值为655【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，用点到直线的距离公式即可判断；对于B ，利用抛物线的定义即可判断；对于C ，利用基本不等式即可判断；对于D ，利用抛物线的定义可得到PA PB PF PB BF +=+≥，接着求出BF 的最小值即可【详解】由抛物线()220y px p =>的准线为:2l x =-可得抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0F ，对于A ，点F 到直线1l的距离为655d ==，故A 正确；对于B ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以利用抛物线的定义可得2P PF x =+，即2p x +=，故B 正确；对于C ，因为(),P P P x y 在抛物线上，所以28,0p p p y x x =≥，所以211221144111818888p p p pp p p p x x x x y x x x +=+=+=+++++1788≥=，当且仅当38p x =时，取等号，故C 错误；对于D ，由抛物线的定义可得PA PF =，故PA PB PF PB BF +=+≥，当且仅当,,P B F 三点共线时，取等号，此时1BF l ⊥，由选项A 可得点F 到直线1l的距离为5d =，故PA PB +的最小值为655，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sin 3cos 0αα+=，则tan 2α=______．【答案】34##0.75【解析】【分析】利用已知等式可求得tan α，由二倍角正切公式可求得结果.【详解】由sin 3cos 0αα+=得：sin 3cos αα=-，sin tan 3cos ααα∴==-，22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--.故答案为：34.14.函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()()0,0f 处的切线方程是______．【答案】310x y --=【解析】【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程.【详解】()()ln 211f x x x =++-，∴2()121f x x '=++，则(0)213f '=+=，又()ln 201(0)011f =⨯++-=-Q ，∴切点为()0,1-，∴函数()()ln 211f x x x =++-的图象在点()0,1-处的切线方程是()130,y x +=-即310x y --=.故答案为：310x y --=.15.2名老师带着8名学生去参加数学建模比赛，先要选4人站成一排拍照，且2名老师同时参加拍照时两人不能相邻．则2名老师至少有1人参加拍照的排列方法有______种．（用数字作答）【答案】3024【解析】【分析】分两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照；②若2名老师都拍照.利用计数原理、插空法结合分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若只有1名老师参与拍照，则只选3名学生拍照，此时共有134284C C A 2688=种排列方法；②若2名老师都拍照，则只选2名学生拍照，先将学生排序，然后将2名老师插入2名学生所形成的空位中，此时，共有222823C A A 336=种排列方法.综上所述，共有26883363024+=种排列方法.故答案为：3024.16.已知A ，B 是双曲线22:124x y C -=上的两个动点，动点P 满足0AP AB += ，O 为坐标原点，直线OA 与直线OB 斜率之积为2，若平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为______．【答案】【解析】【分析】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,根据0AP AB += 得到122x x x =-，122y y y =-，根据点A ,B 在双曲线22124x y -=上则22212212416,248y x y x -=-=，代入计算得22220x y -=，根据双曲线定义即可得到12PF PF -为定值.【详解】设()()1122(,),,,,P x y A x y B x y ,则由0AP AB += ,得()()()112121,,0,0x x y y x x y y --+--=，则122x x x =-，122y y y =-，点A ,B 在双曲线22124x y -=上,222211221,12424x y x y ∴-=-=，则22212212416,248y x y x -=-=()()222212122222x y x x y y ∴-=---()()()2222121212121212828442042x x x x y y y y x x y y =+--+-=--，设,OA OB k k 分别为直线OA ,OB 的斜率,根据题意,可知2OA OBk k ⋅=,即12122y y x x ⋅=，121220y y x x ∴-=22220x y ∴-=，即2211020x y -=P ∴在双曲线2211020x y -=上,设该双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可知||12||||PF PF -为定值，该定值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()0a c a c b b a -++-=．（1）求C ；（2）若c =ABC 的面积是2，求ABC 的周长．【答案】（1）π3.（2）.【解析】【分析】（1）将()()()0a c a c b b a -++-=化为222a b c ab +-=，由余弦定理即可求得角C .（2）根据三角形面积求得2ab =，再利用余弦定理求得3a b +=，即可求得答案.【小问1详解】由题意在ABC 中，()()()0a c a c b b a -++-=，即222a b c ab +-=，故2221cos 22a b c C ab +-==，由于(0,π)C ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题意ABC 的面积是32，π3C =，即133sin ,2242ABC S ab C ab ab ===∴= ，由c =2222cos c a b ab C =+-得2223()6,3a b ab a b a b =+-=+-∴+=，故ABC 的周长为a b c ++=.18.已知数列{}n a 满足，()*1232311112222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >．【答案】（1）2nn a =（2）()12326n n S n +=-+【解析】【分析】(1)利用递推式相减得出2n n a =，并验证首项符合通项，最后得出答案；(2)错位相减法求前n 项和【小问1详解】1232311112222n n a a a a n ++++= ，①则()12312311111122222n n a a a a n n --++++=-≥ ，②①-②得11(2)2n n a n =≥，则2(2)n n a n =≥，当n =1时，由①得1112a =，∴1122a ==，∴2n n a =.【小问2详解】易得()212nn b n =-，()123123512222n n S n =⋅+⋅+∴+-⋅+ ，①()21341232522212n n S n +=⋅+⋅+⋅+∴+- ，②②-①得()()34112122222n n n S n ++=--++++- ()()21228212n n n +++=----()12326n n +=-+，故()12326n n S n +=-+，当2n ≥时，()12320n n +->6n S ∴>19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面APD ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，224AB CD BC ===．（1）求证：BD ⊥平面APD ；（2）若点F 为线段PB 上靠近点P 的三等分点，求二面角F AD P --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）π4【解析】【分析】（1）先用几何关系证明π3A ∠=，然后根据余弦定理求出BD ，结合勾股定理可得BD AD ⊥，最后利用面面垂直的性质定理证明；（2）过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，结合面面垂直的性质先说明可以在G 处为原点建系，然后利用空间向量求二面角的大小.【小问1详解】取AB 中点E ，连接CE ，根据梯形性质和2AB CD =可知，CD //AE ，且CD AE =，于是四边形ADCE 为平行四边形，故2CE AD BE CB ====，则CEB 为等边三角形，故π3A CEB ∠=∠=，在ABD △中，由余弦定理，222π2cos 1648123BD AB AD AB AD =+-⨯⨯=+-=，故BD =，注意到22212416BD AD AB +=+==，由勾股定理，π2ADB ∠=，即BD AD ⊥，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，根据面面垂直的性质定理可得，BD ⊥平面APD .【小问2详解】过P 作PG AD ⊥，垂足为G ，连接EG ，由平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PG ⊂平面PAD ，根据面面垂直的性质定理，PG ⊥平面ABCD ，APD △为正三角形，PG AD ⊥，故AG GD =（三线合一），由AE EB =和中位线性质，GE //BD ，由（1）知，BD ⊥平面APD ，故GE ⊥平面APD ，于是,,GA GE GP 两两垂直，故以G 为原点，,,GA GE GP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知，BD ⊥平面APD ，又BD //y 轴，故可取(0,1,0)m =为平面APD的法向量，又P，(B -，根据题意，2BF FP = ，设(,,)F x y z，则()()1,2,,x y z x y z +-=--，解得12323,,333F ⎛- ⎝⎭，又(1,0,0)A ，(1,0,0)D -，(2,0,0)DA = ，42323,,333FA ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面FAD 的法向量(,,)n a b c = ，由00n DA n FA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0423230333a a =⎧⎪⎨--=⎪⎩，于是(0,1,1)n =- 为平面FAD 的法向量，故2cos ,2m n m n m n⋅=== ，二面角大小的范围是[]0,π，结合图形可知是锐二面角，故二面角F AD P --的大小为π420.为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生参加100米短跑训练．在某次短跑测试中，抽取100名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）．（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）（2）由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为女生短跑平均成绩x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得，2 6.92s =，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在[]12.14,22.66以外的人数为Y ，求()1P Y ≥．2.63≈，随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=，100.68270.0220≈，100.95450.6277≈，100.99740.9743≈．【答案】（1）17.4（2）0.3723【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图中求平均数公式,即可求解.(2)根据已知条件,可知，217.4, 6.92μσ==，即可求出212.14,222.66μσμσ-=+=，结合正态分布的对称性以及二项分布的概率公式,即可求解.【小问1详解】估计样本中女生短跑成绩的平均数为:()120.02140.06160.14180.18200.05220.03240.02217.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；【小问2详解】该校女生短跑成绩X 服从正态分布()17.4,6.92N ,由题可知217.4, 6.92μσ==， 2.63σ=≈，则212.14,222.66μσμσ-=+=，故该校女生短跑成绩在[]12.14,22.66以外的概率为：1(12.1422.66)10.95450.0455P X -≤≤=-=，由题意可得,~(10,0.0455)Y B ,10(1)1(0)10.954510.62770.3723P Y P Y ≥=-==-≈-=.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为22，B 为椭圆C 上一动点，FAB 面积的最大值为212+．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过F 且不垂直于坐标轴的直线l 与C 交于M ，N 两点，x 轴上点P 满足PM PN =，若MN FP λ=，求λ的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）λ=.【解析】【分析】（1）由题意可得22c e a ==，121()22a c b ++=，再结合222a b c =+可求出,a b ，从而可求出椭圆的方程；（2）由题意设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，设0(,0)P x ，将直线方程代入椭圆方程中化简利用根与系数的关系，然后由PM PN =可得0212x t =-+，再根据MN FP λ=可求得结果.【小问1详解】因为椭圆的离心率为2，所以2c e a ==，因为FAB面积的最大值为12+，所以121()22a cb ++=，因为222a bc =+，所以解得1a b c ===，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；【小问2详解】(1,0)F -，设直线MN 为1x ty =-（0t ≠），1122(,),(,)M x y N x y ，不妨设12y y >，设0(,0)P x ，由22112x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty +--=，则12122221,22t y y y y t t -+==++，所以12y y -==，因为PM PN =，所以2222101202()()x x y x x y -+=-+，所以222212102012220x x x x x x y y --++-=，所以12120121212()()2()()()0x x x x x x x y y y y +---+-+=，所以12120121212(11)()2()()()0ty ty ty ty x ty ty y y y y -+----+-+=，因为120y y -≠，所以12012(2)2()0t ty ty x t y y +--++=，所以20222222022t t t x t t t ⎛⎫--+= ⎪++⎝⎭，所以20222222022t x t t --+=++，解得0212x t =-+，因为MN FP λ=，所以222MN FP λ=，0λ>，所以222212120()()(1)x x y y x λ-+-=+，222212120()()(1)ty ty y y x λ-+-=+2222120(1)()(1)t y y x λ+-=+，所以22222222288(1)(1)(2)(2)t t t t t λ+++=++，化简得28λ=，解得λ=±，因为0λ>，所以λ=22.已知函数()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+．（1）当1m =时，判断函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,∞+上是单调递增的（2）2m ≤【解析】【分析】（1）对()f x 求导，从而确实()f x '为正及()f x 的单调性；（2）令()()()1(m )ln 1R x x x m x g =+--∈，然后分2m ≤和m>2两种情况讨论()g x 的单调性及最值，即可得答案.【小问1详解】当1m =时，()1ln 1x f x x x -=-+，定义域为()0,∞+()()()()()2222212111121x x x f x x x x x x x +-+'=-==+++，所以()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上是单调递增的.【小问2详解】当1x >时，()()1ln R 1x f x x m m x -=-⋅∈+，()0f x >等价于()()()()1ln 1g m x x x m x R =+--∈，则()0g x >，1g ()ln 1x x m x '=++-，令()1ln 1m h x x x =++-，则22111()x h x x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，则()g x '在()1,+∞上是单调递增的，则()(1)2g x g m ''>=-①当2m ≤时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上是单调递增的，所以()(1)0g x g >=，满足题意．②当m>2时，(1)20g m '=-<，(e )e 1e 10m m m g m m --'=++-=+>，所以0(1,e )mx ∃∈，使00()g x '=，因为()g x '在()1,+∞上是单调递增的所以当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在0(1,)x 上是单调递减的，又(1)0g =，即得当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不满足题意．综上①②可知：实数m 的取值范围2m ≤.。
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三(最后冲刺)数学试卷含解析
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三（最后冲刺）数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-325．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．236．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．18．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 9．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为5C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C 19D ．1910．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．1611．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷(含答案)
试卷类型：A2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 新高考I 卷注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ,b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,5}2． 设复数z 的共轭复数为 z ，则下列一定为纯虚数的是A ．z ＋zB ．z －zC ．z ·zD ．zz̅3． 设α，β是两个不同平面，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则A ．m ⊥β是m ⊥n 的充分条件B ．m //n 是α//β的必要条件C ．m ⊥β是m ⊥n 的必要条件D ．m ⊥n 是α⊥β的必要条件4． 已知随机变量ξi 的分布列如表所示（i ＝1,2）．若0＜p 1＜12＜p 2＜23，则A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)5． 已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则A ．tan θ2＜cot θ2B ．tan θ2＞cot θ2C ．sin θ2＜cos θ2D ．sin θ2＞cos θ26． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N *，都有a n a n +1＜0，a n S n 恒为定值c（c ＞0），则A ．|a 2|＜|a 3|＜|a 4|B ．|a 3|＜|a 2|＜|a 4|C ．|a 3|＜|a 4|＜|a 2|D ．|a 4|＜|a 3|＜|a 2|7． 设非负实数x ,y ，2x ＝3y ，则A ．2x ＝3yB ．2x ＞3yC ．2x ＜3yD ．无法比较2x 与3y 的大小8． 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则 e 12－2e 2的最小值是 A ．2 B ．－2 C ．6D ．－6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是 A ．中位数：3，众数：2 B ．平均数：4，中位数：5 C ．极差：4，平均数：2D ．平均数：4，众数：510．已知函数f (x )＝x 4－x 2＋x －1，则A ．f(x)有两个零点B ．f(x)有唯一极值C ．过坐标原点可作曲线y ＝f (x )的一条切线D ．曲线y ＝f (x )上存在三条互相平行的切线11．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则 A ．椭圆的离心率为√32B ．椭圆的长轴长为 8√33C ．椭圆的面积为32πD ．椭圆内接三角形面积的最大值为 6√3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在△ABC 中，C ≠π2，若cos A ＝sin B ，则A 的取值范围是_________．13．已知a ，b ，c 成等差数列，点P （－1,0）到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离为 2√2 ，则直线l 的倾斜角是_________．14．设点P 是边长为2的正△ABC 的三边上的动点，则 P A ⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ）的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，a ＝6，b ＋12cos B ＝2c ． （1）求A 的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC 存在，并解决问题： M 为△ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，求△ABC 的面积.①M 为△ABC 的外心，AM ＝4； ②M 为△ABC 的垂心，MD ＝√3 ； ③M 为△ABC 的内心，AD ＝3√3 ．16．（满分15分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母C 表示．如图所示，边长为1的正三角形被n （n ∈N *）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为n 时，等圆的半径为a n ．图中已给出n 等于1，2，10时的覆盖情形．（1）写出a 1，a 2的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）17．（满分15分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1．（1）求概率P(ξ＝0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18．（满分17分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（满分17分）已知函数f(x)＝(x－a)(e x－a)，a≥0．（1）当a＝0时，讨论f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点x0，并求f(x0)的最大值．2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 参考答案单项选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B6．C7．C8．B多项选择题 9．BCD对于A ，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A 不正确，对于B ，有可能出现点数1，例如1,2,5,6,6； 对于C ，有可能出现点数1，例如1,1,1,2,5； 对于D ，有可能出现点数1，例如1,4,5,5,5； 故选BCD.10．ACD对于A ，()32()(1)1f x x x x =−++，对于函数322()1,()32g x x x g x x x +=′=++， 令gg ′(xx )<0⇒−23<xx <0，令gg ′(xx )>0⇒xx <−23或xx >0，所以函数gg (xx )在(−23,0)上单调递减，在(−∞,−23)和(0,+∞)上单调递增，则函数gg (xx )在xx =−23，xx =0处分别取极大值和极小值， 由gg (0)>0，知gg (xx )只有一个零点，所以ff (xx )有两个零点，故A 正确；对于B ，假设B 成立，设切点坐标为�xx 0,ff (xx 0)�，切线方程为()()342000004211y xx x x x x x =−+−+−+−，即()34200042131y xx x x x =−+−+−，∴4200310x x −+−=，但显然4200310x x −+−<，故B 错误； 对于C ，32()421,()122f x x x f x x ′=′+′=−−， 令ff ″(xx )<0⇒−√66√6，令ff ″(xx )>0⇒xx <−√66或xx >√66，所以函数()f x ′在(上单调递减，在(−∞,−√66)和(√66,+∞)上单调递增，∴函数()f x ′在x =处分别取到极大值和极小值，由0f >′知()f x ′只有一个零点，ff (xx )有一个极值点，故C 正确； 对于D ，若D 正确，则存在实数m 使得3()421f x x x m ′=−+=有三个不同的根， 即函数yy =4xx 3−2xx +1mm 3个交点，由选项C 可知，,m f f∈ ′′，故D 正确.故选ACD. 11．AD对于A ，bb =rr =2，aa =rrcccccc 60°=2124，所以cc =√aa 2−bb 2=√16−4=2√3，所以离心率ee =ccaa =2√34=√32，所以A 正确；对于B ，长轴长2248a =×=，所以B 不正确；对于C ，椭圆的面积SS =ππaabb =2×4ππ=8ππ，所以C 不正确； 对于D ，椭圆方程为xx 2aa 2+yy 2bb 2=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线xx =mm (mm >0)上，此时另两点的距离为：2bb �1−mm 2aa2，三角形的面积为：12(aa +mm )⋅2bb �1−mm 2aa 2=bb ⋅�(aa +mm )(aa +mm )�1−mm aa ��1−mm aa�=aabb √3⋅��1+mmaa��1+mm aa ��3−3mm aa ��1+mm aa � ≤aabb √3��1+mm aa +1+mm aa +3−3mm aa +1+mm aa 4�4=aabb√3×94=3√3bbcc4 当且仅当1+mm aa=3−3mm aa，即mm =aa2时，取等号．∴SS3√3aabb 43√3×4×24√3△mmaaxx，所以D 正确，故选AD ． 填空题 12．�0,ππ4�因为ssss ss BB >0，ccccss AA =ssss ss BB ，所以ccccss AA >0，所以AA <ππ2. 若BB <ππ2，由ccccss AA =ssss ss BB ，可得ssss ss (ππ2−AA )=ssss ss BB ，由正弦函数在(0,ππ2)的单调性可得，BB =ππ2−AA ，则CC =ππ2，原题设不成立； 若π2B >，同理可得BB =AA +ππ2，由AA +BB <ππ，解得π(0,)4A ∈．故答案为(0,ππ4)．13．ππ4∵a ，bb ，cc 成等差数列，2b a ∴=+，即cc =2bb −aa ，点PP (−1,0)到直线ll :aaxx +bbyy +cc =0，=，两边平方化简可得(aa +bb )2=0，即bb =−aa ，则直线ll 的斜率为1ab−=，故直线的倾斜角是ππ4，故答案为ππ4．14．�−98,2�根据题意，以AABB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标： 正三角形AABBCC 的边长为2，则AA (−1,0),BB (1,0),CC�0,√3�，点PP 是AABBCC 三边上的动点，�����⃗=(−1−tt,0),PPBB�����⃗=(1−tt,0),PPCC�����⃗=�−tt,√3�则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=(−1−tt,0)⋅�(1−tt,0)+�−tt,√3��=(−1−tt)⋅(1−2tt)=2�tt+14�2−98,(−1≤tt≤1)所以当tt=−14时取得最小值为−98；当tt=1时取得最大值为2. ②，当PP在线段CCBB上时，直线CCBB的方程为yy=−√3xx+√3，设PP�mm,−√3mm+√3�,(0≤mm≤1)，�����⃗=�−1−mm,√3mm−√3�,PPBB�����⃗=�1−mm,√3mm−√3�,PPCC�����⃗=�−mm,√3mm�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=�−1−mm,√3mm−√3�⋅��1−mm,√3mm−√3�+�−mm,√3mm��=�−1−mm,√3mm−√3�⋅�1−2mm,2√3mm−√3�=8�mm−12�2,(0≤mm≤1)所以当mm=12时取得最小值为0；当mm=1或mm=0时取得最大值为2. ③，当PP在线段AACC上时，直线AACC的方程为yy=√3xx+√3，设PP�ss,√3ss+√3�,(−1≤ss≤0)，�����⃗=�−1−ss,−√3ss−√3�,PPBB�����⃗=�1−ss,−√3ss−√3�,PPCC�����⃗=�−ss,−√3ss�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�，所PPAA=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅��1−ss,−√3ss−√3�+�−ss,−√3ss��，=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅�1−2ss,−2√3ss−√3�，=8�ss+58�2−98,(−1≤ss≤0)，所以当ss=−58时取得最小值为−98；当ss=0时取得最大值为2.�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�的取值范围为�−98,2�，综上可知，PPAA解答题15．（1）在△AABBCC 中，由余弦定理得ccccss BB =aa 2+cc 2−bb 22aacc，又因为aa =6，12cos 2b B c +=， 所以2221222a c b b c ac+−+⋅=，整理得2236b c bc +−=.在△AABBCC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +−=，所以bbcc =2bbcc ccccss AA ， 即ccccss AA =12又因为AA ∈(0,ππ)，所以AA =ππ3.（2）选①，设△AABBCC 的外接圆半径为R ，则在△AABBCC 中，由正弦定理得62sin sin 3BCR A π===，即R =因为MM 为外心，所以AAMM =2√3，与AAMM =4盾，故不能选①. 选②，因为MM 为△AABBCC 的垂心，所以222BMDMBD ACB ACB πππ∠=−∠=−−∠=∠， 又MMMM =√3，所以在△MMBBMM中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠=∠，同理可得CDABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠又因为在△AABBCC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=−∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=−∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故ttaass ∠AABBCC ，tan ACB ∠为方程xx 2−2√3xx +3=0两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠因为∠AABBCC ，∠AACCBB ∈(0,ππ)，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以△AABBCC 为等边三角形， 所以SS △AAAAAA =12×62×√32=9√3.选③，因为MM 为△AABBCC 的内心，所以∠BBAAMM =∠CCAAMM =12∠BBAACC =ππ6， 由SS △AAAAAA =SS △AAAAAA +SS △AAAAAA ， 得111sin sin sin 232626bc c AD b ADπππ=⋅+⋅， 因为AAMM =3√3，所以1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +−=，即(bb +cc )2−3bbcc =36，所以2()33609bc bc −−=， 即(9)409bc bc+−=， 又因为bbcc >0，所以bbcc =36，所以SS ΔΔAAAAAA =12bbcc ssss ss ππ3=12×36×√32=9√3.16．（1）由题意得，1a =，2a =当覆盖的等圆有ss 层时，最下面一层的圆有ss 个，相邻两圆的圆心距为2aa nn ，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21n n a −．又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为n ，则()211n n n a −+=，∴n a =．（2）证明：被覆盖面积()211π2n n n S a +==2S =．被覆盖率120.9050.91S C S =<≈<， ∴对任意的层数ss ，此正三角形的被覆盖率CC 低于91%．17．（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，故P(ξ＝√2)＝2126C ＝111， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ1√2P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋√2×111＝6+√211.18．（1）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（2）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）19．（1）当aa=0时，()e x=，f x x则ff′xx，令ff ′(xx )=0，得xx =−1， 则ff (xx )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增.（2）由ff (xx )=(xx −aa )(ee xx −aa )，得()f x ′=e ()e (1)e x x x a x a x a a −+−=−+−， 令()(1)e x G x x a a =−+−，得()G x ′=(2)e x x a −+. 令()0G x ′=，则xx =aa −2， 所以()f x ′在(−∞,aa −2)上单调递减，在(aa −2,+∞)上单调递增， 易知()e a f a a ′=−，设函数()e x H x x =−， 令()e 10x H x ′−，可得xx =0，则()e x H x x =−在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又HH (0)=1>0，故()e 0x H x x =−>在RR 上恒成立，故()e 0a f a a ′=−>，又2(2)e 0a f a a −′−=−−<， 所以存在0(2,)x a a ∈−，使得()00f x ′=. 又当(,2)x a ∈−∞−时，易知()0f x ′<，故ff (xx )有且仅有一个极小值点xx 0.因为()00f x ′=，所以()0001e 0e 1x x x a +≥+，即xx 0≥−1， 则ff (xx 0)=�xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1��ee xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1�=−ee xx 0(ee xx 0−xx 0)2(ee xx 0+1)2设()()22e e ()e 1x x x x g x −=−+，求导得()g x ′=()()23e e e (1)e 2e 1x x x x x x x x −++−− −+. 设2()e (1)e 2x x h x x x =++−−，求导得2()2e (2)e 1x x h x x ′=++−，注意到ℎ′(xx )在[−1,+∞)上单调递增，且�ℎ′(−1)=2ee −2+ee −1−1<0ℎ′(0)=3>0， 所以存在cc ∈(−1,0)，使得()0h c ′=，从而()h x 在(−1,cc )上单调递减，在(,)c +∞上单调递增， 又(0)0h =，2(1)e 10h −−=−<，ee xx −xx >0，所以当−1≤xx <0时，gg′(xx )>0；当xx >0时，()0g x ′<. 所以gg (xx )在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则()01(0)4f x g ≤=−， 即ff (xx 0)的最大值为−14.。
普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)预测卷(附答案解析)(全国课标卷二)
普通高等学校招生全国统一考试数学（理）预测卷（全国课标卷2）（满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知集合集合，则的子集个数为（)A.2B.4C.8D.16解析：中的元素有3个元素，子集个数有8个。
选C。
2.复数,则对应的点所在的象限为( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵复数z=1﹣i，∴+z==+1﹣i=+1﹣i=对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．3．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=B．y=﹣x2+1 C．．y=2x D．y=lg|x+1|【解析】：解：对于A，函数y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，∴不满足题意；对于B，函数y=﹣x2+1的图象是轴对称图形，在区间（0，+∞）上是单调减函数，∴不满足题意；对于C，函数y=2x的图象不是轴对称图形，∴不满足题意；对于D，函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=﹣1对称的图形，且在区间（0，+∞）上是单调增函数，满足题意．故选：D．i ，那么空白的判断框中应填人的条件是4．阅读如下程序框图，如果输出4A ．?10≤SB ．?12≤SC ．?14≤SD ．?16≤S 【知识点】程序框图；算法.【答案解析】A 解析：解：根据算法的运算，第一次循环后2,2i S ==，第二次循环后3,8i S ==，第三次循环后4,12i S ==这时要输出i 所以应填?10≤S【思路点拨】按算法的关系可依次计算出各次的值.5．22sin 2xdx π=⎰ A ．0 B ．142π- C ．144π-D ．12π-【知识点】导数的原函数；微积分的计算. 【答案解析】B 解析：解21cos sin 2x x -=：∴它的原函数可以为11sin 22x x -，220sin 2x dx π=⎰11sin 22x x - 20|π=142π- 【思路点拨】先求出函数的原函数，再利用积分计算.6．右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为 A ．11 B ．11.5 C ．12 D ．12.5【知识点】直方图与特征数的关系；中位数的求法. 【答案解析】C 解析：解：根据中位数左右两侧的面积相等，也就是概率相等所以中位数为12,第一块的面积为0.0650.3⨯=，第二块的面积为0.5所以第三块的面积为0.2，所以中位数为12时左右的面积相等.【思路点拨】根据中位数左右两侧的面积相等，也就是概率相等所以中位数为127.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.323B. 64C.3D.643【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式. 【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选8.在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥，则2x y +的最大值是A. 2B. 8C. 14D. 16 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C.9.已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则=mA.B.2C.21D. 0【试题解析】B)2,21(),22,2(-B A ，∵),1(m M -，且0=⋅，∴01=+m m 22-22，解得2m =，故选B.10.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：(i) 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；(ii) 当12120,0,1x x x x +≥≥≤时，总有1212()()()f x f x f x x ++≥成立. 则下列四个函数中不．是M 函数的个数是 ① 2()f x x =② 2()1f x x =+ ③ 2()ln(1)f x x =+ ④ ()21xf x =- A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D.【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A (i)在[0,1]上，四个函数都满足；(ii)12120,0,1x x x x ≥≥+≤；对于①，0222≥=+-+=+-+21212212121)()()]()([)(x x x x x x x f x f x x f ，满足；对于②，22212121212()[()()][()1][(1)(1)]f x x f x f x x x x x +-+=++-+++02<-=121x x ，不满足.对于③，)]1ln()1[ln(]1)ln[()]()([)(212212121+++-++=+-+22x x x x x f x f x x f112ln )1)(1(1)(ln)]1)(1ln[(]1)ln[(212212122212122121221++++++=++++=++-++=2222222x x x x x x x x x x x x x x x x而12120,0,1x x x x ≥≥∴≥+≥∴41≤21x x ，∴212121x x x x x x 24122≤≤，∴1222≥++++++11221221212221x x x x x x x x ，∴0222≥++++++112ln 21221212221x x x x x x x x ，满足； 对于④，)121()]()([)(21212121-+--=+-++x x x x x f x f x x f 21)-(20222≥--=+--=)12)(12(12212121x x x x x x ，满足；故选A.12.若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---++≤恒成立，则实数a 的最大值是A.14 B. 1 C. 2 D. 12【试题解析】D 因为)1(22)(22222+≥++=++------+x y y x y x y x e e e e e e ，再由,4)1(22ax ex ≥+-可有x e a x 212-+≤，令x e x g x 21)(-+=，则22(1)1()x e x g x x---'=，可得(2)0g '=，且在),2(+∞上()0g x '>，在)2,0[上()0g x '<，故)(x g 的最小值为1)2(=g ，于是,12≤a 即21≤a ，故选D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(解析版)
即任意 ，恒有 ，又当 时， ，
所以当 时， , .
选项A，由已知对于任意 ，恒有 ，不符合周期性定义，所以A错误；
选项B， ，故B正确；
选项C，如图1，当 时，方程 有且仅有8个不同的实数解，
当直线 过点 时，直线为 ，与 有9个交点，
当直线 与 ， 相切时，此时是7个交点，
故选：ACD
10.在四面体 中， ，PA垂直于平面ABC， ，且该四面体外接球表面积的最小值为 ，则（）
A.
B.四面体 的体积恒为定值
C.若二面角 的正弦值为 ，则
D.当 时，四面体 的内切球半径为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据外接球表面积的最小值求得 ，结合锥体体积、二面角、内切球等知识求得正确答案.
C.若点 的运动轨迹为 ，则原点 到直线 的距离恒为1
D.若直线 ， 的斜率存在且其斜率之积为 ，则点 在椭圆 上运动
【答案】BC
【解析】
【分析】根据点 在圆 上运动时，恒有 ，设过 的直线为 ，代入椭圆方程后利用 ，得到关于 的一元二次方程，确定方程的两根为 ，由 ，即可得 的值，从而判断A；讨论直线 的斜率求得各情况下 ， ，即可得矩形 ，结合不等式求得最值来判断B；根据椭圆上一点的切线方程结论，确定切线 ， 的方程，结合点 的运动轨迹为 ，可得切点弦 所在直线方程，即可求得原点 到直线 的距离来判断C；设 , ，过 的直线为 ，代入椭圆方程后利用 ，得到关于 的一元二次方程，确定方程的两根为 ，由 ，可得 所满足的方程，即可判断D.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出球 的半径为 ， ，表达出球 的半径，表达出 ，令 ， ，由导函数得到函数的单调性，从而求出最值
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)
一、单选题1. 已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于（ ）A ．37B ．35C ．31D ．292.已知函数，则（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73.已知等比数列满足，，则（ ）A．B．C．D．4. 如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且．则下列结论不正确的是（）A ．若保持．则点的运动轨迹长度为B．保持与垂直时，点的运动轨迹长度为C ．沿正方体的表面从点到点的最短路程为D ．当在点时，三棱锥的外接球表面积为5. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（ ）A．B．C．D．6. 设，，，则（ ）A．B．C．D．7. 某学校的环保志愿者小组为了研究本校学生家庭用电情况，在全校学生家庭中抽取了100户进行调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为（）A ．28B ．16C ．14D ．78. 已知A ､B 是椭圆（）长轴的两端点，P ､Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP ，BQ的斜率分别为，（），若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）A ．2B．C ．1D．2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（二）2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（二）二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，若，则（ ）A．B ．的取值范围是C ．直线AM 与BN 的交点的横坐标恒为1D ．的取值范围是10. 在棱长为2的正四面体中，点分别为棱的中点，则（ ）A ．平面B ．过点的截面的面积为C ．异面直线与所成角的大小为D．与平面所成角的大小为11. 在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ）A ．动点的轨迹是圆B．平面平面C．三棱锥体积的最大值为3D．三棱锥外接球的半径不是定值12.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（ ）A．的坐标为B．C．、、、四点共圆D ．直线的方程为13. 已知函数的零点为，函数的零点为，则______．14.在数列中，，，则的值为______.15. 在一次手工劳动课上，需要把一个高为3，体积为的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为__________.16. 已知圆O ；x 2+y 2=4，F 1（-1，0），F 2（1，0），点D 圆O 上一动点，2=，点C 在直线EF 1上，且=0，记点C 的轨迹为曲线W ．（1）求曲线W 的方程；（2）已知N （4，0），过点N 作直线l 与曲线W 交于A ，B 不同两点，线段AB 的中垂线为l'，线段AB 的中点为Q 点，记l'与y 轴的交点为M ，求|MQ|的取值范围．17. 在中，角所对的边分别为，记的面积为，已知.(1)求；(2)请从①；②；③三个条件中任选一个，试探究满足条件的的个数，并说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.18. 已知椭圆的离心率为，且过点(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线相交于，两点，且与（为坐标原点）的斜率之和为2，求点到直线的距离的取值范围.19. 如图，在矩形中，,为的中点．将沿折起，使得平面平面．点是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由．20. 已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为.（1）求的值；（2）若正实数、、满足，求的最小值.21. 已知数列的前项和满足，且.(1)求数列的通项公式；(2)求证：.。
招生国统一考试高三数学模拟试题二文试题
卜人入州八九几市潮王学校普通高等招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)本套试卷总分值是150分，考试时间是是120分钟．本卷须知：2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目之答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答复非选择题时，将答案写在答题纸上，写在套本套试卷上无效．3．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题纸一起交回．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．集合，那么实数a的取值范围是A. B.C. D.2．复数(其中i为虚数单位)，那么z的实部与虚部的和为A．B．C．D．3．某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取5人，其中3人为跟团游客，2人为自驾游散客，并从中随机抽取2人填写上调查问卷，那么这2人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A．B．C．D．4．双曲线的离心率为，斜率为的直线l经过双曲线的右顶点A，与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，点M 在线段AN上，那么A． B. C．3 D．的说法中正确的选项是A．B．C．D．6．正项等比数列的前n项和为，=A．2187 B．2018 C．1458 D．7297．函数的局部图像大致为8.执行如下列图的程序框图，假设输入的x的取值范围为，那么输出的的取值范围是A. B. C. D.的焦点为F，直线轴交于点E，与抛物线C相切于点A，点A在抛物线C的准线上的射影为点B，那么四边形ABEF 的面积为A.3B.6C.D.10．函数的最大值为，且恒成立．那么以下选项里面，不是函数的单调区间的是A．B．C．D．11.某棱锥的三视图如下列图，那么该棱锥的体积为A.B.C.D.412．函数假设对任意的非零实数x，不等式恒成立，那么实数m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13．在中，E为斜边AB的中点，__________〔用数值答题〕.14．实数满足约束条件的值域为，那么实数t的值是__________．15．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱上的动点，，假设过点A，E，F的平面与该正方体的截面为四边形，且截面四边形的面积的取值范围是，那么实数的取值范围是___________．16．正项数列满足，且数列对任意的都有成立，那么数列的前n项和_________.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22，23题为选考题，考生根据要求答题．(一)必考题：一共60分．17．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．(1)求角C的大小；(2)假设△ABC的面积，求BC边上的中线AD的长．18．(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PB⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为棱AB，PC的中点．(1)求证：AE⊥BC．(2)假设，求三棱锥P—AED的体积V．19．(12分)某校学生会成员就饭菜质量、环境卫生、效劳程度等方面对甲、乙两个食堂进展综合测评．12名学生会成员分别打分，得到如下列图的茎叶图，其中茎表示十位数，叶表示个位数．(1)分别计算两组数据的中位数和平均数；(2)假设从总分低于80分的数据中，随机抽取3个，进一步分析各项评价情况，为食堂管理者提供参考信息，求抽取的三个数据中分值各不一样的概率．20．(12分)O为坐标原点，点，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程，(2)设过点A的直线l与曲线E交于点C，点F(1，0)，过点F作FG⊥FC交y轴于点G，过点G作GH⊥直线l 于点H，假设，求直线l的斜率的取值范围．21．(12分)函数．(1)假设，求函数的单调区间．(2)是否存在正整数，对任意的，不等式恒成立假设存在，求出a的最大值；假设不存在，请说明理由．(二)选考题：一共10分．请考生在第22，23题中任选一题答题。
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)(2)
一、单选题二、多选题1. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ）A．B．C．D．2. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A．B．C．D．3. 在正方体中，E ，F 分别为棱，的中点，过直线EF 的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（ ）A．B．C．D．4.设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A．B．C．D．5.已知集合，，，则（ ）A．或B．C ．或D．6. 已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）A ．若，且与不垂直，则与一定不垂直B ．若与不平行，则与一定是异面直线C ．若，且，则与可能平行D ．若，则与可能垂直7. 已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，平面，底面是高为的等腰梯形，，，，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．8. 血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位:时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）小时.（参考数据:）A．B．C．D．9. 在棱长为1的正方体中，P是底面内的动点，若，则（ ）A．B．平面C ．四面体的体积为定值D ．与底面所成的角最大为10.设函数为上的奇函数，为的导函数，，，则下列说法中一定正确的有（ ）A．B．C．D．11. 如图，在棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，P 为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（二）(2)2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（二）(2)三、填空题四、解答题A ．三棱锥的体积为定值B ．异面直线BC 与MP 所成的最大角为45°C ．不存在点P使得D ．当点P为中点时，过M 、N 、P三点的平面截正方体所得截面面积为12.设函数，则下列说法正确的是（ ）A ．定义域是B ．时，图象位于轴下方C．存在单调递增区间D．有且仅有一个极值点13. 已知向量，，若，则的取值范围为______________.14. 已知向量与向量夹角为，且，，要使与垂直，则__________．15.若，则__________.16. 已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）是否存在实数，使得当时，函数的最大值为？若存在，求实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由．17.已知函数，(1)当时，求函数的值域；(2)若函数恒成立，求的取值范围.18. ．如图，四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是边长为的正方形E ，F 分别为PC ，BD 的中点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=AD.（Ⅰ）求证：EF//平面PAD ；（Ⅱ）求三棱锥C—PBD 的体积.19. 某服装公司经过多年的发展，在全国布局了3500余家规模相当的销售门店.该公司每年都会设计生产春季新款服装并投放到各个门店销售.该公司为了了解2022年春季新款服装在某个片区的销售情况，市场部随机调查了该片区6个销售门店当年销售额（单位：万元，不考虑门店之间的其它差异），统计结果如下：门店编号123456年销售额283330404522(1)请用平均数，中位数分别估计2022年该公司的春季新款服装在这个片区的某个销售门店的年销售额；(2)从以上6个门店中随机抽取2个，求恰好有1个门店的该年销售额不低于40万元的概率.20. 如图1，，是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与，平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值21. 已知函数．(1)若函数存在零点，求实数m的取值范围．(2)求证：当时，．。
2023年普通高等学校统一招生考试(全国乙卷)数学预测试题丨答案
参考答案：1．B【分析】根据补集的运算求出N R ð，再由并集的运算可得答案.【详解】因为{1}N xx =<-∣，所以{}1N x x =≥-R ∣ð，因为{43}M x x =-<<∣，所以(){4}M N x x ⋃=>-R ∣ð．故选：B ．2．C【分析】根据复数的运算化简后，利用复数差的模求解.【详解】21i (1i)i 1i 2++==- ，|i (i)|2∴--=，即复数对应点之间的距离为2，故选：C 3．C【分析】运用构造法可得{}1n n a a +-为等比数列，再运用累加法可得{}n a 通项公式，进而求得{}n b 通项公式，再运用裂项相消求和可得结果.【详解】由2123n n n a a a ++=+，得()2112n n n n a a a a +++-=-．又212a a -=，所以数列{}1n n a a +-构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nn n a a +-=.又212a a -=，2322a a -=，…，112n n n a a ---=，叠加可得()()()12121321222(2)n n n a a a a a a n ---+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+≥，即1211222n n a a --=++⋅⋅⋅+，所以10121)12212222221(2n n n n a n --=+++⋅⋅=⋅+-⨯-≥-=.又因为11a =满足上式，所以()21n n a n *=-∈N .所以1121n n a ++=-.因为112212n n n ++<-<，所以()11222log 2log 21log 2nn n ++<-<，即()12log 211n n n +<-<+，所以[]()1212log log 21n n n b a n ++⎡⎤==-=⎣⎦.故11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++.所以20231111112023112232023202420242024S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.4．C【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：22(0)y px p =>，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2A d y =，代入抛物线方程可得x ，根据4tan 23θ=，解得p 与d 的关系，即可得出2f p d d =．【详解】如图所示，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：22(0)y px p =>，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2A d y =，代入抛物线方程可得：222d px ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得28d x p =，由于22tan2tan 451tan 2θθθ==--，得5tan 22θ=或25tan 25θ=-（舍）又252tan2228d p d pθ==-，化为：2245850p dp d --=，解得52p d =或510p d =-（舍）∴524f p d d ==.故选：C .5．C【分析】根据给定的程序框图，分析i 的最大取值，再利用高斯函数的意义计算作答.【详解】初始值00S i ==，，输入64k =，当64i <时，总是执行“是”，并且当63i =时，进入循环体，64i =，计算并进入判断框，不等式不成立，退出循环，输出2222log log 2][log 3][log 64][1][S =++++ ，而2[log 1]0=，22[log 2][log 3]1==，即1有2个；22[log 4][log 7]2=== ，即2有4个；[][]22log 8log 153=== ，即3有8个；[][]22log 16log 314=== ，即4有16个；[][]22log 32log 635=== ，即5有32个；[]2log 646=，6有1个，所以[][][][]2222log 1log 2log 3log 6401224384165326264S =++++=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+= .故选：C 6．C【分析】取棱1,AD AA 中点,E F ，利用线面平行的判定推理判断A ；利用线面垂直的性质推理判断B ；求出线面角、线线角判断CD 作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，取棱1,AD AA 中点,E F ，连接,,ME EF FN ，因为M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，则11//////,22ME CD AB NF ME CD AB NF ===，因此四边形MEFN 为平行四边形，则//,EF MN EF ⊂平面11ADD A ，MN ⊄平面11ADD A ，所以//MN 平面11ADD A ，A 正确；因为AB ⊥平面11ADD A ，则AB EF ⊥，所以MN AB ⊥，B 正确；显然AF ⊥平面ABCD ，则FEA ∠是EF 与平面ABCD 所成的角，又,90AE AF EAF =∠= ，有45FEA ∠= ，由于//EF MN ，所以直线MN 与平面ABCD 所成的角为45 ，C 错误；因为11//AA DD ，//EF MN ，则AFE ∠是异面直线MN 与1DD 所成的角，显然45AFE ∠= ，D 正确.故选：C 7．C【分析】分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A 正确；分析计算221,n n a a +的表达式，比较可得B 正确；通过计算可知2022a 位于数阵第45行第86列，故C 错误；2023a 位于数阵第45行第87个数，代入等比数列通项公式可得D 正确.【详解】将等差数列1a ，2a ，5a ，10a ，…，记为{}k b ，则公差102104322a a d --===，所以1231a a =-=，()13132kb k k =+-=-，故A 正确；因为()211111331n n b a n n ++==++-⨯=+，22211221132323122n n n n n n a b n n a ---+-⎛⎫=⨯=<-<+= ⎪⎝⎭，故B 正确；第1行的项数，第2行的项数，L ，第k 行的项数，构成以1为首项，2为公差的等差数列，即第k 行有21k -项，前k 行有()21212k k k +-=项，因为221936442022452025=<<=，而2022193686=+，则2022a 位于第45行从左边数第86项，即2022a 位于第86列，故C 错误；()8718620234586111333452222a b -⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：C.8．B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出(),()P M P MN ，再利用条件概率公式求解作答.【详解】依题意，13215()343412P M =⨯+⨯=，131()344P MN =⨯=，所以()3(|)()5P MN P N M P N ==.故选：B 9．B【分析】根据120MF MF ⋅= ．可得b c =，可得1e ，设1PF m =，2PF n =．可得()()224m n m n mn +--=，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出．【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为：()221122111,0x y a b a b -=>，半焦距为c ．∵椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=．∴122F MF π∠=，∴b c =，∴222a c =．∴122c e a ==．不妨设点P 在第一象限，设1PF m =，2PF n =．∴2m n a +=，12m n a -=．∴()()222214m n m n mn a a +--==-．在12PF F △中，由余弦定理可得：()()22222221π42cos3433c m n mn m n mn a a a =+-=+-=--∴222143c a a =+．两边同除以2c ，得2212134e e =+，解得：23622e ==．对选项A，212ee =A 错误，对选项B，12e e ⋅==B 正确，对选项C ，D ，221213222e e +=+=，故C ，D 错误.故选：B 10．B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；【详解】方法一：函数()1e 1e 211e x x xf x =--=++，因为e 0x >，所以1e 1x +>，所以1011ex<<+.所以2201e x -<-<+.所以21111e x-<-<+，即()11f x -<<.当()10f x -<<时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦.故()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B.方法二：由()e 1e 1x x f x -=+，得()()1e 1xf x f x +=-.因为e 0x >，所以()()101f x f x +>-，解得()11f x -<<.当()10f x -<<时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦.所以()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B.11．B【解析】由()()12121f x f x x x ->-，设12x x >，得到()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，然后将不等式()()ln e 22ln e 2xx f ⎡⎤-<+-⎣⎦，转化为()()ln 20x g e g ⎡⎤-<⎣⎦，利用()g x 的单调性求解.【详解】因为()()12121f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，在R 上递增，又()02f =，所以不等式()()ln e 22ln e 2x xf ⎡⎤-<+-⎣⎦，即为()()()ln 2ln 2200xx f e e f ⎡⎤---<=-⎣⎦，即()()ln 20xg e g ⎡⎤-<⎣⎦，所以()ln 20xe -<，则021x e <-<，解得ln 2ln 3x <<，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是由()()12121f x f x x x ->-，构造函数()()g x f x x =-，利用其单调性得解.12．ABD【分析】设G ，H ，2O ，分别为BC ，AB ，AQ 的中点，1O 为ABC 的中心，求出43OB =,故选项A 正确；求出三棱锥O ABC -B正确；141499QA QB ⎡⎤-+⋅∈⎢⎥⎣⎦，故选项C 错误；求出异面直线AC 与QB 所成角的余弦值为26，故选项D 正确．【详解】解：设G ，H ，2O ，分别为BC ，AB ，AQ 的中点，1O 为ABC的中心，43ABC COB S S S OG OB ====∴==△△表，故选项A 正确；设三棱锥O ABC -的内切球半径为r，1123O G OO =∴=13V S r = 表，121333r =⋅，36r ∴=，故选项B正确；222441,3333QA QB QH BH QH QH ⎡⋅=-=-∈-+⎢⎣⎦1414,99QA QB ⎡-+∴⋅∈⎢⎣⎦，故选项C 错误；2QB O H ∥ ，AC HG ∥，所以异面直线AC 与QB 所成角就是2O HG ∠或其补角.因为2123O A OO ==，2222131()33O H =+=,2222313()33O G =+=.2222222221331133313cos 22613213O H HG O G O HG O H HG ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∴∠===-⋅⋅⋅，所以异面直线AC 与QB 所成角的余弦值为31326，故选项D 正确．故选：ABD ．13．12##0.5【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的取值范围，结合几何概型的概率求解，即可容易求得.【详解】因为直线(2y k x =与圆221x y +=有公共点，2211k k≤+，解得11k -≤≤，又[]2,2k ∈-，所以所求概率()()111222P --==--.故答案为：12.14．②④【解析】①根据l 的斜率[]1,1k ∈-，得到ta 11n α-≤≤，再根据直线的倾斜角的范围是[0,)π求解判断；②根据直线:1l y kx =+过定点()0,1P ，由34,4PA PBk k =-=-判断；③直线1y kx =+过定点()0,1P ，若直线与椭圆2215x y m+=恒有公共点，由点()0,1P 在椭圆内部或椭圆上求解判断；④将方程配方为()()22221415x m y m m ++-=+-，若方程表示圆，由24150m m +->求解判断.【详解】①因为l 的斜率[]1,1k ∈-，则ta 11n α-≤≤，又直线的倾斜角的范围是[0,)π，所以30,[)44a πππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦，故错误；②直线:1l y kx =+过定点()0,1P ，34,4PA PB k k =-=-，若直线与过()1,5A -，()4,2B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ³-，故正确；③直线1y kx =+过定点()0,1P ，若直线与椭圆2215x ym+=恒有公共点，则点()0,1P 在椭圆内部或椭圆上，则11m ≤，且5m ≠，所以m 的取值范围是1m ≥且5m ≠，故错误;④方程224250x y mx y m ++-+=配方()()22221415x m y m m ++-=+-，若方程表示圆，则24150m m +->，解得14m <或1m >，故正确;故答案为：②④【点睛】易错点点睛：本题③容易忽视方程2215x y m+=表示椭圆，则0m >且5m ≠的条件.15．4π##1π4【分析】由图象求得函数解析式()f x ，由平移变换求得()g x 的表达式，由()g x 的最值、值域求得θ．【详解】由图可得，732(88T πππ=⨯-=,22w ππ==，又308f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3Z 4k k πϕπ+=∈，又2πϕ<，得4πϕ=,所以()sin 24f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为28f A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即()2sin 24f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()72sin[2()]2sin 22443g x x x πππ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在区间,()33ππθθ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，注意到()03g π-=，()212g π-=，()g x 的周期是π，因此θ取最小值时有()1g θ=-，所以236ππθ-=，解得4πθ=.故答案为：4π．16．4【分析】由()1e e 0x xf x a -'=+-=得()2e e e 0x x a -+=，所以121212e e ,e e e e x x x x x x a ++=⋅==，根据()()124f x f x +=-解方程即可求出结果．【详解】因为函数()1e e x xf x ax -=--有两个极值点1x 与2x 由()1e e 0x xf x a -'=+-=，则()2e e e 0x x a -+=有两根1x 与2x 所以121212e e ,e e e e x x x x x x a ++=⋅==，得121x x =+因为()()124f x f x +=-，所以()()()12121112e e e e 4x x x xa x x --+-+-+=-，又112211e e ,e e x x x x a a --=-=-则()()12122e e 2224x xa a x x a a a +--+=--=-，所以4a =故答案为：417．(1)4(2)存在，2a =．【分析】（1）根据已知条件及正弦定理边化角，利用余弦定理及同角三角函数的平方关系，结合三角形的面积的公式即可求解；（2）根据已知条件得出边长的关系，利用余弦定理的推论即一元二次不等式的解法，结合三角形成立的条件即可求解.【详解】（1）由2sin 3sin C A ＝及正弦定理，得23c a =，又因为1,2b a c a =+=+，所以()2223c a a =+=，解得4a =，故56b c ==，，由余弦定理，得2221cos 28a b c C ab +-==，所以C为锐角，则sin 8C =，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯=△（2）存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形,理由如下：由2110c b a a -=+--=>，即c b >由1b a =+，得10b a -=>，即b a >，所以c b a >>，因为ABC 为钝角三角形，所以C 为钝角，由余弦定理的推论可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得0<<3a ，由三角形的三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，∵*N a ∈，13a <<,故2a =．18．(1)证明见解析(2)9331【分析】(1)由线面平行判定定理证明//MB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，根据面面平行判定定理证明平面//MFB 平面1A DE ，根据面面平行性质定理证明BF 平面1A DE ；(2)根据锥体体积公式由条件确定1A D ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，求平面1A DE 与平面1A BC 的法向量，根据向量夹角公式求法向量的夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）取AC 中点M ，连接MF ，MB 因为在正三角形ABC 中，MB AC ⊥，又因为ED AC ⊥，所以//MB DE ，MB ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ，又有2CM MD =，且12CF FA = ，所以1MF //DA ，而MF ⊄平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MF 平面1A DE .有MF MB M = ，,MF MB ⊂平面MFB ，所以平面//MFB 平面1A DE ，又BF ⊂平面MFB ，因此//BF 平面1A DE .（2）因为11C BEA A BCE V V --=，又因为BCE 的面积为定值，所以当1A 到平面BCE 的距离最大时，四面体1C BEA -的体积有最大值，因为DE DC ⊥，1DE A D ⊥，1DC A D D = ，DC ，1A D ⊂平面1A DC ，所以DE ⊥平面1A DC ，因为DE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面1A DC ，当1A D CD ⊥时，平面ABC ⋂平面1A DC CD =，1A D ⊂平面1A DC所以1A D ⊥平面ABC ，即在翻折过程中，点1A 到平面BCE 的最大距离是1A D ，因此四面体1C BEA -的体积取得最大值时，必有1A D ⊥平面ABC .如图，以点D 为原点，DE 为x 轴，DA 为y 轴，1DA 为z 轴，建立空间直接坐标系，易知23MB =3DE =()0,0,0D ，)3,0,0E，()0,3,0C -，()10,0,1A ，()23,1,0B -，()10,1,0n =为平面1A DE 的一个法向量，设平面1BCA 的法向量为()2,,n x y z =u u r，()10,3,1AC =--，()23,2,0CB = 由122302320AC n y z CB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-得：33x =3z =，所以231,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面1BCA 的一个法向量，12121293cos ,313113n n n n n n ⋅===⨯.所以平面1A DE 与平面1A BC 933119．(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39；(2) 6.70.012y x =-；(3)995.1【分析】（1）利用平均数公式计算出0.60.0610x ==， 3.90.3910y ==即可；（2）利用题干数据，代入公式，计算出ˆ 6.7b=，0012ˆ.a =-，得到线性回归方程；（3）将1532500x =代入到线性回归方程中，计算出0.39804y =，从而求出这些树木的总材积量.(1)由题意得：0.60.0610x ==， 3.90.3910y ==，估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39(2)101102221100.2474100.060.390.01346.70.038100.060.002ˆ10i i i ii x yxybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，0.39 6.70.060.012ˆˆay bx =-=-⨯=-，故该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为 6.70.012y x =-(3)因为250021153m ==∑i i x ，所以2500211153m 25002500i i x ==∑，将1532500x =代入 6.70.012y x =-中，得到0.39804y =，则估计这些树木的总材积量为0.398042500995.1⨯=20．(1)735,48A ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭(2)132【分析】(1)由于A 是M ，D 的中点，设()00,A x y ，由此推出M 的坐标，再根据A ，M 都在椭圆上，代入椭圆方程即可求解；(2)设直线DA 的方程，再根据A ，B 的对称性设DB 的方程，与椭圆方程联立，求出M ，N 点的坐标与A ，B 点坐标的关系，将面积之比问题转化为坐标之比问题.【详解】（1）设()00,A x y ，∴()0024,2M x y -由A ，M 均在椭圆C 上，∴()22002200143244143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得074x =，08y =±，∴7,48A ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；（2）设DA 方程为4x my =+，()()0000,,,,(4,0)A x y B x y D --，004x m y -=，2243412x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223816412m y my y +++=，()223424360m y my +++=，∴()2220000222200000003636336363460245238164434M y y y y y m x xx x y x y ⋅=====+---++⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭，∴0352M y y x =-．同理()222000222000000363633660245238164434N B y y y y y x x x x y x y ⋅====+++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴00352N y y x -=+，∴121sin 21sin 2DMNDABDM DN MDN S SS S DA DB ADB ∠∠⋅==⋅ ()()20000099352522547N M y y DM DN DA DB y y x x x =⋅=⋅===--+-，∴201x =；而22200091,434x y y +=∴=，∴||OA ==【点睛】本题的难点在于要将面积之比转化为坐标之比，这个思路是在解题的开始时就应该产生的，后面的步骤只是这个思路的具体执行.21．(1)1a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求()f x 在1x =处的切线方程，然后由切线过点()2,1求得a 的值；（2）()2e e e a a a f a --=-+，构造函数()2e e a a g a a -=-+，1a >，利用函数的单调性求证即可；（3）令()0f x '=求得12,x x ，可得()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，()f x 在()12,x x 递减，则()f x 至多有三个零点．又()10f =，()()110f x f >=，()e 0a f -<，所以1e 1a x -<<，结合零点存在定理知：()01e ,a x x -∃∈使得()00f x =，又0x ∀>，()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()f x 恰有三个零点：0x ，1，01x ，从而得出结论.【详解】（1）由条件得：()211af x x x'=+-∴()12f a '=-，又()111ln101f a =--=∴()f x 在1x =处的切线为：()()21y a x =--，∵()f x 的图象在1x =处的切线过点()2,1，∴()()1221a =--∴1a =.（2）()2e e e a a af a--=-+令()2e e a a g a a -=-+，1a >，则()e e 2a a g a a -=--+'，令()e e 2a ah a a -=--+，()1e e 2e e 20a a h a --'=-+<-+<，∴()h a 在()1,+∞递减，∴()()11e e 20h a h -<=--+<，即()0g a '<∴()g a 在()1,+∞递减，∴()()11e e 10g a g -<=-+<，即1a ∀>，()e 0a f -<；（3）()f x 的定义域为：()0,∞+，()222111a x ax f x x x x -+'=+-=，2a >时，由()0f x '=得：1x =，2x =()10,x x ∈时，()0f x ¢>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，()f x 在()12,x x 递减，∴()f x 至多有三个零点.∵22(2)(4)480a a a ---=-+<，∴2a -<11x =<，又()10f =，()f x 在()1,1x 递减，∴()()110f x f >=，又由（2）知()e 0a f -<，所以1e 1ax -<<，结合零点存在定理知：()01e ,ax x -∃∈使得()00f x =，又∴0x ∀>，()1111ln ln 0f x f x a x x a x x x x ⎛⎫+=--+--= ⎪⎝⎭，∴()0010f f x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，又()00,1x ∈，()011,x ∈+∞，∴()f x 恰有三个零点：0x ，1，1x ，∴2a >时，()f x 的所有零点之积为00111x x ⨯⨯=（定值）.【点睛】方法点睛：函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在定理：利用定理不仅要求函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．22．(1)((223,x y y +=∈(2)证明见解析【分析】（1）极坐标方程两边同乘以ρ利用222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==，即可得直角坐标方程；（2）可设直线l的参数方程3212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得290t -+=，利用直线参数方程的几何意义结合韦达定理可得结果.【详解】（1）由ρθ=，可得2sin ρθ=，则22x y +=，整理得((223,x y y +=∈.（2）由题意可得：直线l的参数方程为312x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22x y +=，得22122123t t ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-+⎪，整理得290t -+=，设,A B 两点对应的参数为,A B t t ，∴4836120,A B t t ∆=-=>+=，9A B t t =，则|||||A B A B PA PB t t t t A B +==-+==即|||||2|PA PB AB +=，∴,,PA AB PB 成等差数列.23．详见解析.【分析】（1）利用基本不等式即证；（2）利用不等式的性质，由x y >，0xy >可得1x <1y ，由1x <1y，0xy >，可得x y >，即证.【详解】（1）∵a ，b ，c ，d均为正数，∴0,a b +≥>当且仅当a b =时取等号，同理可得0,0,20b c c d d a +≥+≥+≥，∴()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥，当且仅当a b c d ===时取等号；（2）充分性，因为x y >，0xy >，10xy>，∴1x <1y，必要性，因为1x <1y，0xy >，所以x y >，综上，1x <1y的充要条件为x >y .。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷2）数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的表面积公式：S=24R π，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1．已知全集},2|{},2|{,N n n x x B N n x x A R U n ∈==∈===与集合，则正确表示集合B A 、关系的韦恩（Venn ）图是2．在复平面内，复数21i-对应的点到直线1y x =+的距离是A.B. 23．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题.B ．“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∃，使得210x x +-≥.4. 若}{n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且32211π=S ，则6tan a 的值为A ．3B ．3-C ．3±D ．33-5宽为2的 矩形，则它的外接球的表面积等于 A ．π16 B ．π12C ．π8D ．π46．已知实数,x y 满足153x y+≤，则2z x y =+的最小值是 A.10 B.3 C. 3- D.10- 7. 设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++， 则01211a a a a ++++的值为Ａ．2Ｂ．1Ｃ．2-Ｄ.1-328．从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图 所示的6个不同区域(用数字表示)中拼盘，每个区域只放一种，且 水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有A.2 880种B.2 160种C.1 440种D.720种 9．某程序流程框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数，x x f x x f 32cos )(,32sin)(ππ==，,34tan )(x x f π=则可以 输出的函数是)(x f =A ．x x f 32sin )(π=B ．x x f 32cos )(π=C ．x x f 34tan )(π=D ．非上述函数 10.在空间中，下列四个命题①若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面②若直线m 与平面α内的一条直线平行，则α//m③若平面βα⊥，且l =βα ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β ④若直线a 与直线b 平行，且直线a l ⊥，则b l ⊥ 其中正确命题的个数是A ．3 B.2 C.1 D.011.过抛物线x y 42=的焦点F 作相互垂直的两条弦AB 和CD ，则||||CD AB +的最小值是 A .58 B .16 C. 8 D . 712.设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()22'f x xf x x +>，下面的不等式在R 上恒成立的是A.()0f x >B.()0f x <C. ()f x x >D.()f x x <第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x 0x 1)(x f ，则关于x 的不等式 0)1()()]1()([2≤-+-++x f x f x x f x f x 的解集为_______________.14．在ABC ∆中，,120,=∠=ABC AB BC 则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 .13．某大学艺术系表演专业的报考人数连创新高，报名刚结束，某考生想知道这次报考该 专业的人数。
已知该专业考生的考号是从0001，0002，…这样从小到大顺序依次排列的， 他随机了解了50个考生的考号，经计算，这50个考号的和是25025，估计2010年报考这 所大学艺术表演专业的考生大约为 人. 16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有 两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .456三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知函数)3sin()6sin(2)(π+π-=x ωx ωx f （其中ω为正常数，R ∈x ）的最小正周期为π．（I ）求ω的值；（II ）在△ABC 中，若B A <，且21)()(==B f A f ，求ABBC .18．（本小题满分12分）今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量。
例如：家居用电的碳排放量（千克） = 耗电度数⨯0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数⨯0.785等。
东北育才中学高一某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查。
若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。
这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：（I ）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（II ）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列.如果2周后随机地从A 小区中任选25人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求E ξ.19．（本小题满分12分）如图，已知点P 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线BD '上，60PDA ∠=︒． （Ⅰ）求DP 与CC '所成角的大小； （Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小．A B CD P A 'B 'C 'D '20．（本小题满分12分）已知函数a ax x x x f +-+-=ln )1(21)(2． （Ⅰ）若23=a ，求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）若对任意的)3,1(∈x ，都有0)(>x f 成立，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知两点(2,3)M ，(2,3)N -在椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于点A ，B （A ，B 在直线MN 两侧），且四边形MANB 面积的最大值为w（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若点N 到直线AM ，BM 距离的和为M AB ∆的形状．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长； （II ）求证：BE ＝EF ．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为 )4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 24．（本小题10分）选修4－5：不等式选讲学科网已知关于x 的不等式：12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2. （Ⅰ）求整数m 的值;（Ⅱ）在（I ）的条件下，解不等式：m x x ≥-+-31.参考答案二、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.A2.D3. B4.B5.C6.D7.C8.A9.B 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. }1{- 14. 213+ 15. 1000 16. 83a三、 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解：（1）∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π+π-=π+π-=2)3(cos )6sin(2)3sin()6sin(2)(x ωx ωx ωx ωx f )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)32sin(π-=x ω． ……………4分而)(x f 的最小正周期为π，ω为正常数，∴π=πω22，解之，得1=ω． ………………………6分 （2）由（1）得)32sin()(π-=x x f ．若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解之，得4π=x 或127π=x ． ………………………8分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ∴6π=--π=B A C ． ……………10分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ………12分 18．解：（I ）记这4人中恰好有2人是低碳族为事件A ，P(A)=100335454212151542121451512121=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯……………4分 （II ）设A 小区有a 人，2周后非低碳族的概率258)511(221=-=a a p ，……6分 2周后低碳族的概率p =25172581=-， ……………………………………8分依题意ξ~B(25，2517)，所以E ξ=25⨯2517=17 ………………………………12分 19解：方法一：如图，以D 为原点，DA则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''． 在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由><=⋅DH DA DH DA DH DA ,cos ||||cos DA DH DA DH DA DH =<>，可得2m =2m =，所以2122DH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，． ………4分 （Ⅰ）因为0011cos 2DH CC +⨯'<>==，， 所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45． ………8分 （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC ++⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． ………12分方法二：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标 系D xyz -．则(100)DA =，，，(001)CC '=，，，)1,1,1('--=BD 设),,(z y x P 则'BD BP λ=，),,(),1,1(λλλ--=--∴z y x⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=∴λλλz y x 11，则),1,1(λλλ--=DP ，由已知，,<DA DP 0242=+-∴λλ，解得22-=λ，)22,12,12(---=∴ ………4分（Ⅰ）因为22)12(222,cos '=-->=<CC ， 所以45,'>=<CC ．即DP 与CC '所成的角为45． ………8分（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为21)12(212,cos =-->=<， 所以 60,>=<． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． ………12分方法三：用三面角（折叠角公式）求与DP DB 所成的角，再求DP 长或P 点坐标也可酌情给分.20. 解：（I ）()x x x x x x f 22522512+-=-+='，()0='x f ，得11=x ，或22=x ，列表：函数)(x f 在21=x 处取得极大值2ln 87)21(-=f ，函数)(x f 在2=x 处取得极小值12ln )2(-=f ； …………4分（II ）方法1：())1(1a x x x f +-+='，()3,1∈x 时，)310,2(1∈+x x ，………5分 （i ）当21≤+a ，即1≤a 时，()3,1∈x 时，()0>'x f ，函数)(x f 在()3,1是增函数()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………7分（ii ）当3101≥+a ，即37≥a 时，()3,1∈x 时，()0<'x f ，函数)(x f 在()3,1是减函数()3,1∈∀x ，()()01=<f x f 恒成立，不合题意 …………9分（iii ）当31012<+<a ，即371<<a 时，()3,1∈x 时，()x f '先取负，再取，最后取正，函数)(x f 在()3,1先递减，再递增，而()01=f ，∴()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 不能恒成立； ……11分 综上，a 的取值范围是1≤a . …………12分方法2：∵2121=⋅≥+x x x x ，∴()a a xx x f -≥--+='111……6分 （i ）当1≤a 时，()01≥-≥'a x f ，而()a xx x f --+='11不恒为0，∴函数)(x f 是单调递增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立；………8分（ii ）当1>a 时，令()xx a x x f 1)1(2++-='，设01)1(2=++-x a x 两根是)(,2121x x x x <， ∵2121>+=+a x x ，121=x x ，∴2110x x <<<当∈x ),(21x x 时，()0<'x f ，()x f 是减函数，∴)()1()(21x f f x f <<，而()01=f ，∴)(0)(21x f x f << …………10分 若32≤x ，∵()3,1∈∀x ，()0>x f ，∴0)1()(2=>f x f ，不可能， 若32>x ，函数)(x f 在()3,1是减函数，()0)1(3=<f f ，也不可能，综上，a 的取值范围是1≤a . …………12分方法3：()()41,1)1(22-+=∆++-='a xx a x x f （i ）当0≤∆，即13≤≤-a 时，函数()x f y =在()3,1上为增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………6分 （ii ）当0>∆，即3-<a ，或1>a 时，①若3-<a ，∵()3,1∈x ，∴()01)1(2>++-='xx a x x f ()x f 在()3,1增函数，()3,1∈∀x ，()()01=>f x f 恒成立； …………8分②若1>a ，由()0='x f ，得()()024112>-+±+=a a x设()()()()411,4112221-+++=-+-+=a a x a a x ，列表：∵任意的，0>x f 恒成立，而01=f ，∴⎩⎨⎧≥>0)3(11f x ，或12<x ， …………10分()()()11411241122<⇒-<-+⇒>-+-+a a a a a 与1>a 矛盾，()()124112<-+++a a ，也与1>a 矛盾，以上两式都与1>a 矛盾，对任意的()3,1∈x ，()0>x f 不能恒成立，综上，a 的取值范围是1≤a . …………12分21.解：（I ）设直线l 的方程为12y x m =+()m R ∈并代入222222b x a y a b +=得:22222222()04a b x ma x a m a b +++-=设11(,)A x y ,22(,)B x y 1,21,2(,)x y R ∈则212224ma x x a b +=-+,422222221a b b a a m x x +-= ww ………2分 又1211||||||22MANB S MN x x MN =⋅-==444||21222222442ab m b a b a b a MN +-+ 显然当0m =时, MANB S =444||21222222442ab m b a b a b a MN +-+=…4分 由题意｜MN ｜=6 (2)222249b a a b += (3) 联立(1)、(2)、(3)解得：216a =，212b =即椭圆C 的方程为：2211612x y += （4） ………6分 （II ）设直线MA 、MB 的方程分别为1(2)3y k x =-+ （5） 2(2)3y k x =-+（1,2k R ∈）将（5）代入（4）得：222211111(1612)(9664)64192480k x k k x k k ++-+--=则211121641924821612k k x k --=+ ∴211121824643k k x k --=+ ………8分∴2211112211824612129(,)4343k k k k A k k ----+++ 同理：2222222222824612129(,)4343k k k k B k k ----+++ 2211222212122211221222121212912129434318246824624343ABk k k k y y k k k k k k k x x k k --+--+--++===------++ ………10分化简得：2212k k =12k k ≠ ∴12k k =-即直线MA 与MB 关于直线MN 对称 ∴AMN BMN ∠=∠∴N 到直线MA 与MB距离均为 又｜MN ｜=6 ∴AMN BMN ∠=∠4π=∴2AMB π∠=故M AB ∆直角三角形. …………12分 22.解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ，又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBA PAC ∆∆∴∽，ABACAC PC =∴， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………5分 （II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅，2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴． …………10分23.解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴，02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， 即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………5分 （II ）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是 6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………10分 方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线，圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++， ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………10分24.解：（I ）1|2|≤-m x 由，得 2121+≤≤-m x m 不等式的整数解为2，21221+≤≤-∴m m 53≤≤⇒m 又不等式仅有一个整数解2，4=∴m 4分 （II ）即解不等式4|3||1|≥-+-x x ，.当1x ≤时，不等式1340x x x ⇔-+-≥⇒≤，不等式解集为}0|{≤x x 当13x <≤时，不等式为134x x x -+-≥⇒∈∅，不等式解为∅当3x >时，134x x -+-≥⇒4x ≥ ，不等式解集为}4|{≥x x综上，不等式解为(][),04,-∞⋃+∞ 10分。