1.7.1 定积分在几何中的应用
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2
排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=
2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2
3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+
1.7定积分的简单应用(3课时)
W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
1.7.1zrb定积分的简单应用zrb
y 2x
S1 S S1 2 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S=2S1 +S2 =2
2 0
2
0
8
2xdx+ ( 2x - x+4)dx
2
2
8
= 2 2xdx+ ( 2x - x+4)dx
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出 路程即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
2. 变力做功
一物体在恒力 F 单位 : N的作用下做直线运动 ,如 果物体沿着与力 F 相同的方向移动了 s (单位 : m), 则力 F所作的功为 W Fs.
2
x 和 y x 围成图形的面积.
2
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y = x x= 0 x=1 解方程组 ⇒ 或 2 y = 0 y =1 y = x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD
A1
A2
y x3 6x
注意各积分区间上被积函数的形式．
定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0 ， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s v(t )dt
a
v
v v(t )
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
1.7.1_定积分在几何中的应用课件
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F ¢ (x ) = f (x ) ，则
ò
b
a
f (x )dx = F (x ) | = F (b) - F (a )
b a
.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y y ＝x 2
B
O
1 x
y 2＝x
(1,1)
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
y 4 C y ＝x －4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
探究（二）：直线y＝x－4与曲线
及x轴所围成图形的面积
y y ＝x －4 C 4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
S =
ò
8
0
1 2xdx - 创4 2
4
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
复习巩固
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) å òa f (x )dx = nlim ? n i= 1
y
y＝f(x)
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2：1.7定积分的简单应用第1课时
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题1 计算由曲线22,y x y x==所围图形的面积S。
1DC BA1y2=xy=x2O xy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、引入课题的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d aA f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
1.7定积分的几何应用
2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2
[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3
定积分的应用
b
S a [ f (x)-g(x)]dx
y
a
O
y = f (x)
bx y = g(x)
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围成的平面图形
的面积。
解：作出所围成的平面图形
解：在弹性限度内，拉伸（或压
缩）弹簧所需的力Ｆ（x）与弹
簧拉伸（或压缩）的长度x成正
比．
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F(x)dx
0
L 0
kxdx
1kx2 2
|0L
1 2
kL2
作业：
课本58页练习（1）（2） 课本59页练习1,2
的面积为 （ ）
(A) 2 (C) 2 2
e
(B) 2 e (D) e 1 2
e
二、物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时 间间[a, b]内运动的路程s为
b
s a v(t)dt
例 1 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求
汽车在这 1 min 行驶的路程。
y x
y
x2
解方程组，得交点的横坐标为x=0
和x=1, 即区间为[0，1]。于是，
平面图形的面积
A
1(x x2)dx
0
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1 6
例 2 求 y = sinx， y = cos x， x 0, x
2
所围成的平面图形的面积。
1.7.1 定积分在几何中的简单应用
a
O a
b
f (x )d x f (x )d x
a
c
b
a
b
f (x )d x -S f (x )d x
a
c
f
c
f (x )d x 。
c
yf (x)
b x
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方，
一、复习回顾
2、牛顿—莱布尼茨公式
2 2
-1
O
1A
x
-1
＝
2 3
3
1
x
2
0
1 3
x
3
1 0
＝
2 3
-
1 3
＝
1 3
归纳
定 积 分 的 简 单 应 用
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当 f(x ) 0 时 ， 积 分
a f ( x ) dx
b
在 几 何 上 表 示 由 y = f (x )、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x) O a b y
x
b
思考
如图, 一桥拱的形状为抛 定 积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的 2 简 求证: 抛物线拱的面积 S bh 3 单 应 用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
高中数学(新课标)选修2课件1.7.1-2定积分的应用
a
a
＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
③如图(6)所示，所求面积 S＝S1＋S2＝ac[f(x)－g(x)]dx＋cb[g(x)－f(x)]dx
＝b|f(x)－g(x)|dx.
a
知识点二 定积分在物理中的应用 1．变速直线运动的路程 我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速 度 函数 v＝ v(t)(v(t)≥0)在 时间 区间 [a， b] 上的定 积分 ，即 s ＝ ____b_v_(_t)_d_t ___.
【解析】 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时， P 点向 x 轴正方向运动，t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝3 时，点 P 离开原点的路程
s1＝03(8t－2t2)dt＝4t2－23t330 ＝18. (2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝5(8t－2t2)dt
解析：由题意 v＝x′＝8t，t＝12 x，所以 v＝4 x.
又 F＝kv(k 是比例系数)，且当 v＝10 米/秒时 F＝2 牛，
所以 2＝10k，所以 k＝15，所以 F＝45 x，
又 F 与物体运动的方向相反，
所以 W＝－245 0
xdx＝－185x3220
＝－1165
2(焦耳)．
所以物体从 x＝0 到 x＝2 阻力所做的功为－1165 2焦耳．
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，
∴t＝6 是所求的值．
状元随笔 首先要确定的是所需求的是路程还是位移，然后 用相应的方法求解．
方法归纳
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问 题转化为数学问题是关键．
高中数学1.7.1定积分在几何中的应用
1. 7.1 定积分在几何中的应用课前预习学案【预习目标】1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 【预习内容】1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用3．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．24．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在5．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1． 6．求定分322166x x -+-⎰d x ．7．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S课内探究学案一、学习目标：2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理. 2．掌握利用定积分求曲边图形的面积 二、学习重点与难点：3. 定积分的概念及几何意义4. 定积分的基本性质及运算的应用三、学习过程（一）你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负 （二）新课例1．求椭圆12222=+b y a x 的面积。
例2．求由曲线3324,16y y x y y x -=-=所围成的面积。
练习：P58面例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
1.7.1定积分在几何中的应用(教学设计)
1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计）教学目标：知识与技能目标：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
过程与方法目标：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
情感、态度与价值观目标：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。
教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
教学过程：一、复习回顾：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解： 问题1：（１）．计算dx x ⎰--2224 （２）．计算 sin x dx ππ-⎰解：（1）22222214⨯=-⎰-πdx x （2）0sin =⎰-ππdx x问题2：用定积分表示阴影部分面积解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为图2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与x y =2所围图形的面积．分析：找到图形----画图得到曲边形.1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.3、计算定积分.解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22x y xy 得到交点横坐标为 0=x 及1=xdxx f dx x f s b aba⎰⎰-=)()(21dy y g ba⎰)(1=s dyy g ba ⎰)(2－ yAB CD 2x y =x y =21∴ss =曲边梯形OABCs-曲边梯形OABDdx x ⎰=10dx x ⎰-121031233132x x -=313132=-= 变式训练1：计算由4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.分析：讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dy y S解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）y =x4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 例2（课本P57例2）：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．分析：A: 442128021⨯⨯-=-=⎰dx x s s sB: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰442122844021dx x dx x s s sC: dx y s s s ⎰+⨯+=-=4022124)84(21此题为一题多解，解体的大方向分为选X 做积分变量和选Y 做积分变量.问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法.问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X 做积分变量的类型；做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 变式训练2：计算由曲线x y sin =与x y cos =及0=x 、2π=x所围平面图形的面积．【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家21S S S +=dxxdxxS⎰⎰-=441sincosππdxxdxxS⎰⎰-=24242cossinππππ例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．变式训练3：（1）、求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用-文档资料
直线与x轴交点为(4,0)
SS S x [ 2 x d x (x 4 ) d x ] 1 2 2xd
0 4 4 8 8
x d x 4 ) d x ( x d x x d x ) ( x 4 ) d x 2 (x 2 2
0 4 4
0 4
4
确 定的 f () x 原 函 数 F () x
1、平面图形的面积
y
y f( x )
y
y f ( x ) 2
y f ( x ) 1
o
a
b x
o
Байду номын сангаас
a
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A f(x ) dx a
b
A [ f( x ) f ( x )] dx 1 a 2
b
1、平面图形的面积
2 y x 4 及其在点 ( 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2． 求抛物线 的切线所围成的图形的面积 .
x d x x d x
2 0 0
1
1
D
2 y xx
A
1
2
例 2 计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
解 两曲线的交点
( 0 ,0 ) ,( 8 ,4 ) .
y 2x
S2
S1
y x 4
y 2x y x4
3
y x2
A 6 x x) d x 1 (x
3 2 2
0
3 yx 6 x
A x 6) xd x 2 (x
2 3 0
3
于是所求面积
1.7.1 定积分在几何中的应用
3．若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积
是23，则
1
c＝____2____.
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的 面积.
解：如图，由x2-1=0得到抛物线 与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).
y
所求面积如图阴影所示：
所以：
S 2 (x2 -1)dx - 1 (x2 -1)dx
思想方法:
数形结合及转化.
例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．
解析:作出曲线y＝8－x2，y＝x2的草图，
所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组，yy＝ ＝8x－ 2 x2
变式训练2: 求曲线 y sin x,
y cos x与直线 x 0, x
例2．计算由曲线 y 2x 直线 y x - 4 以及x轴
所围图形的面积Ｓ
y
4 2
O
有其他方 法吗？
S2 S1
A 2 4
8
y
4 y 2x
y x-4
2
S1S2
O
B 2 4
8
x
Ａ：s s1 s2
4 0
2x
dx
8 4
2
x
dx
-
1 2
4
4
Ｂ： s s1 - s2
1
-1
x
x3
2 x3
18
( - x) - ( - x) .
3
13
-1 3
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
解 由方程组yy＝ ＝2x2x，， 可得 x1＝0，x2＝2.
1.7.1定积分在几何中的应用
1。
7。
1定积分在几何中的应用编写：孙又国 魏博一、学习目标初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法二、知识梳理1.定积分的几何意义：当函数()x f 在区间[]b a ,上连续且恒为正时,定积分()⎰badx x f 的几何意义是由直线_______________和曲线__________所围成的曲边梯形的面积 。
2.几种典型的平面图形面积的计算。
（1）如图1,()()0,0>>⎰badx x f x f ，所以，S =________。
(2）如图2，()()0,0<<⎰badx x f x f ，所以，S =__________。
（3）如图3，当c x a ≤≤时,()()0,0<≤⎰badx x f x f ，当b x c ≤≤时, ()()0,0>≥⎰badx x f x f3。
由两条曲线()x f 和()x g ，直线()b a b x a x <==,所围成平面图形的面积S .图1 图2 图3 （1)如图1所示，当()()0>>x g x f 时.S =_____________； （2）如图2所示,当()()0,0<>x g x f 时，S =____________; （3）如图3所示,当()()0<<x f x g 时，S =_________________ .三、思考探究运用定积分求曲边梯形的面积的步骤？四、自主测评1．设函数()x f 可导，则当b a <时，定积分()⎰badx x f 的符号（ ）.(A ）一定是正的 （B ）当b a <<0是正的，当0<<b a 时负的 （C ）一定是负的 （D ）以上结论都不对 2．由直线2,41==x x ,曲线xy 1=及x 所围成的图形的面积是( ）. （A)2ln 21（B)2ln (C)2ln 2（D ） 2ln 3 3．根据0sin 20=⎰πxdx 推断，直线π2,0==x x 和正弦曲线x y sin =所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为（ ).（A ）面积为0（B ）曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积 （C ）曲边梯形在x 轴的面积小于在x 轴下方的面积（D ）曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积4.由曲线x y cos =在[]π,0上与x 轴所围成的平面图形的面积等于（ )。
1.7.1定积分在几何中的应用
1ex
0
=
e-e
1 0
=1
上连续，且 φθ≥0. o x
曲边扇形面积元素
dA = 1 [φ(θ)]2dθ 2
曲边扇形的面积公式 A = β 1[j(θ)]2dθ.
α2
例4
求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围 成的图形的面积.
因为曲线关于 x轴对称，所以只 须考虑第一象限 中的情况.
3 -1
-
1 3
x3
3 -1
=
(9
+
9
-
9)
-
1
-
3
+
1 3
=
32 3
2、
y y = ex
解：交点的横坐标
y=e
(0,e),(1,e)
因此，所求图形的 面积直线y=e和x=1 围成的矩形面积减
y=1
o x=1 x
S上 = S矩形 - S下
去曲线下方面积.
（下方面积容易求）
= e-
y x3 6x 由图可知，我
们需要把所求
图形的面积分
S1
S2
成两部分S1和S.2 需要求出曲
线 y = x3 - 6x、曲
线 y =两x2个交
点.
y x3 6x
解：所求面积为图中
阴影部分的面积. y
x2
解方程组
y = x2, y = x3 - 6x
S1
S2
得两曲线的交点的坐标为(0,0),(-2,4),(3,9).
条曲线所围形的面积为
b
b
S = a g(x)dx - a f(x)dx
显然在具体的题目中,需要首先把函数
1.7.1 定积分在几何中的应用
第14页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
探究2 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
思考题2 如图，阴影部分的面积是( )
A．2 3 32
C. 3 【答案】 C
B．－2 3 35
D. 3
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
题型三 分割型图形面积的求解
例3
求由曲线y＝
x
，y＝2－x，y＝－
1 3
x所围成图形的面
积．
【思路分析】 解答本题可先求出曲线与直线交点的横坐标，
确定积分区间，然后分段利用公式求解．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
【解析】 方法一：画出草图， 如图所示．
解方程组
y＝ x， x＋y＝2，
y＝ x， y＝－13x
及
x＋y＝2， y＝－13x，
得交点分别为
(1，1)，(0，0)，(3，－1)，
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
所以S＝1[
②如图乙所示，当
f(x)>0 ， g(x)<0
时
，
S
＝
b
f(x)dx
＋
a
bg（x）dx＝b[f(x)－g(x)]dx．
a
a
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
1．求平面图形面积的一般步骤是什么？ 答：(1)画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形． (2)对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下限，用定积分 表示其面积． (3)计算各个定积分，求出所求的面积.
高中数学 1.7 1定积分的应用教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 1.7 1定积分的应用教案新人教A版选修2-2一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x b b a ==，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是 二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ） A ．43 B ．1 C ．34 D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积 （1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x=与直线4,==y x y 围成（3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a ty a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积 （1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成 （3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段）习题 6—2 一、填空题1、连续曲线()x f y = ()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a 及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______ 二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．)21d y y π-⎰Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121 B. 3210 C. 3242 D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin = ()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos == ()π≤≤t 0绕x 轴旋转2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度1、星形线｛ta y ta x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。
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(1,0).所求面积如图阴影所示：
所以：
2 2 1
y
S ( x 1)dx ( x 1)dx
2 1
1
x
x x ( x ) ( x) 3 3 1
3
2
3
8 . 3 1
1
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
y＝2x， 由方程组 2 y ＝ x ，
4
8
8
2 2 3 x2 3 0
y 2x
1 ( x 4) 2 2 4
4
40 . 3
S1
S2
本题还有其他解法吗？
y x4
另解1：将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
(
4 0
4
0
2 xdx [
8 4
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
解
可得 x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为
x dx＝x S＝ 2xdx －
2 2 2 22 0
0
0
1 32 4 － x 0 ＝ . 3 3
1.思想方法:数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标，确定图形范围；(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
b
(3) S | f ( x)dx | f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
曲边形面积的求解思路
y A 0 a bX a
1
A2
b a b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b (a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)
y g ( x)
y
y f ( x)
o
a
y g ( x)
b x
(2)
(1)
总结： 当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时， 由直线 x＝a， x＝b(a≠b) 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
f x g x dx a
2 y 变形为 x 2
S ( y 4)dy
0
4
4
0
y2 dy 2
40 . 3
1．曲线 y＝x3 与直线 y＝x 所围成图形的面积等于 ( A.
1
C
)
－1
(x－x3)dx
3
x－x3)dx
C．2 (x－x )dx
1 0
4
8 0
8
2 xdx
3 2 8 0
8
4
2 xdx) ( x 4)dx
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 1 2 40 8 x | ( x 4 x) |4 . 3 2 3
y 2x
S
S
1
2
y x4
另解2：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边 的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此取 y为积分变量 还需要把函数y=x-4变形为x=y+4，函数 y 2 x
0 D．2 －1
2 4－ 2 ． 图形的面积为________
π 5 2．曲线 y＝sinx 与直线 x＝－ ，x＝ π，y＝0 所围 2 4
3． 若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积
1 2 是 ，则 c＝________. 2 3
4.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的 面积. 解：如图，由x2-1=0得到抛物线
b
.
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 围成图形的面积 S.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
2 y x 解方程组 2 y x
y
得交点横坐标为x=0及x=1. 因此，所求图形的面积为
y
C o
y2 x
y x2
x
B
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
1 0
xdx x dx
2 0
1
D O
y x
A
x
2
2 32 1 x 3 1 2 1 1 x |0 |0 . 3 3 3 3 3
【总结提升】
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y 围成的图形的面积.
x 4以及 x 轴所
y 2x
解:作出直线y=x-4,曲线 y 2x 的图象如图所示，所求面积为图 中阴影部分面积.
y = 2x 解方程组 y = x - 4
S2
S1
y x4
得直线y = x - 4与曲线y = 2x交点的坐标为 8,4 .
直线y=x-4与x轴交点为(4,0). 因此，所求图形的面积为
将所求平面图形的面积分割成左右两个部分.
S S1 S 2
2 2 3 x2 3
4
4
0
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
y f ( x)
S1 S2
S3
b
a
f ( x )dx S 1 S 2 S 3
我们已经看到，定积分可以用来计算平面
图形的面积，求运动物体的位移，事实上，
定积分有着广泛的应用，下面我们就一起学习
定积分的简单应用吧！
1.理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理.
2.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型 及方法. （重点、难点）
不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若 知之，知之不若行之，学至于行而止矣. ——荀况
探究点1 定积分在几何中的应用 类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积S
y
y f ( x)
y
x
y f ( x)
o
a
b
oa
(2)
c
(3)
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a c a c
b
(2) S f ( x)dx
a b c b a c
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
引入1 求平面图形的面积:
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
b x
o
y f1 ( x )
b x
a
b
a
b
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
引入2 求运动物体的位移