2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

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全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范说明：评阅试卷时，请依据本评分规范.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分规范规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分规范划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （）A.24.B. 25.C. 10.D. 12. 【答】A. 由1a =，得2862a a =-=-，故226a a +=.所以32223126123(2)6612a a a a a a a a +--=++--=261212661224a a +-=⨯-=.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（） A.. B. 10. C. D. 【答】C.延长CA 至D ，使AD ＝AB ，则1D =ABD =CAB =C 2∠∠∠∠，所以△CBD ∽△DAB ，所以BD CD =AB BD，故2BD AB CD 7(87)105=⋅=⨯+=，所以BD =又因为C D ∠=∠，所以BC BD ==3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C.由方程得232[]x x -=，而[]x x ≤，所以232x x -≤，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，从而[]x 只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x =-时，21x =，解得1x =-；当[]0x =时，23x =，没有符合条件的解；当[]1x =时，25x =，没有符合条件的解；当[]2x =时，27x =，解得x =DB[]3x=时，29x=，解得3x=.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B.37. C.12. D.47.【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（）B.23. C.13. D.【答】D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为A B⊥BC，A E⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△AB E∽△OCE，因此CE OC1=BE AB3=，即BE3CE=.又C E⊥BE，所以BC==，故sin∠CBE＝CE=BC.6．设n是大于1909的正整数，使得19092009nn--为完全平方数的n的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.【答】B.设2009n a-=，则190910010012009n an a a--==--，它为完全平方数，不妨设为21001ma-=（其中m为正整数），则21001ma=+.验证易知，只有当1,2,3,7m=时，上式才可能成立.对应的a值分别为50，20，10，2.因此，使得19092009nn--为完全平方数的n共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.ODC二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.【答】3-.因为,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,t ab t a b ⎧∆=---≥⎪=-≥⎨⎪+=⎩解得12t ≤≤. 2222222(1)(1)()()1()()21a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++22(1)42(1)14t t t =--+-+=-，当1t =时，22(1)(1)a b --取得最小值3-.2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.【答】 .设△ABC 的面积为S ,则因为△ADE ∽△ABC ，所以ADAB =. 又因为△BDF ∽△BAC ，所以BDAB =. 1AD BD AB AB =+=1=，解得2S =. 所以四边形DECF 的面积为2m n +--=3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答】1-.因为221a b +=，所以11,11a b -≤≤-≤≤.由22|12|21a b a b a -+++=-可得2222|12|21121a b b a a a a a -+=---=----222a a =--，从而2220a a --≥，解得10a -≤≤.从而120a b -+≥，因此21222a b a a -+=--，即22122(1)b a b +=-=--，整理得2230b b --=，解得1b =-（另一根32b =舍去）. 把1b =-代入212b a +=-计算可得0a =，所以1a b +=-.F BC4．已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对. 【答】 7.2k =（k 为正整数），则215154k b a =+-.令2215q a p =，其中,p q 均为正整数且(,)1p q =.从而2215aq p =，所以2|15q ，故1q =1p=.1m =（其中m 为正整数），则112kp m +=. 又1,1m p ≥≥，所以1122k p m=+≤，所以1,2,3,4k =. （1）1k =时，有1112p m +=，即(2)(2)4p m --=，易求得(,)(4,4)p m =或（3,6）或（6,3）. （2）2k =时，同理可求得(,)(2,2)p m =. （3）3k =时，同理可求得(,)(2,1)p m =或（1,2）. （4）4k =时，同理可求得(,)(1,1)p m =.因此，这样的有序数对(,)a b 共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解（1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C ×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为（2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-，即1c =-. …………………………………15分又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±. …………………………………20分二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. …………………………………5分因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=.…………………………………10分连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB ＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D ，1113I E 5DI sin ADI sin 455===∠︒. …………………………………15分同理，可求得24I F 5=，2D I =. …………………………………20分所以1I 2I=. …………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②为三边长可构成一个直角三角形.C证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.. ……………………………25分第二试（B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点解因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =. …………………………………10分又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.…………………………………15分又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. …………………………………20分同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.…………………………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， ………………………………10分即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， ………………………………15分即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c -+--+=，即22()[()]0b c a c a b -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=， …………………………………20分所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.…………………………25分解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++=③………………………10分又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. …………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=， …………………………20分所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………………………25分。

全国初中数学联合数学竞赛试题(2009年)

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==， 2y ==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的（第3题）图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，（第4题）由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒ 所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔（第8题）D 3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为．【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==．因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形，即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为．【答】163．解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则（第8题答案）11()22a ABC ah S abc r ==++△，所以a r ah a b c=++．因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=，所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++，故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆==＝=（这里2a b cp ++=）所以112r ==，228ABC a S h a ⨯===△由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)2104216x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++=　则因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。

2009国赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）12 （B）12 （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得a = 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．【答】7．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=，即 201520x x -=，解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k+=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅．同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+， 982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分。

2009年全国初中数学竞赛试题及答案数学周报杯

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ,b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=,则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答】C ．解.由题设知a ≥3,所以,题设的等式为22(3)0b a b ++-=,于是32a b ==-，,从而a b +＝1．2．如图,菱形ABCD 的边长为a ,点O 是对角线AC 上的一点,且OA ＝a ,OB ＝OC ＝OD ＝1,则a 等于（）．（A ）51+ （B ）51- （C ）1 （D ）2 【答】A ．解.因为△BOC ∽ △ABC ,所以BO BCAB AC=,即 11aa a =+,所以, 210a a --=．由0a >,解得15a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b ,则使关于x ,y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613【答】D ．解.当20a b -=时,方程组无解．当02≠-b a 时,方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a由a ,b 的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况,故所求的概率为3613． 4．如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发,沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解.根据图像可得BC ＝4,CD ＝5,DA ＝5,进而求得AB ＝8,故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ,y ）的组数为（）．（第4题）（第2题）图1 图2（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解.可将原方程视为关于x 的二次方程,将其变形为 22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根,则判别式∆≥0,且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0, 解得 2y ≤11616.577≈．于是 2y0 1 4 9 16 ∆11610988534显然,只有216y =时,4∆=是完全平方数,符合要求．当4y =时,原方程为2430x x ++=,此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时,原方程为2430x x -+=,此时341,3x x ==．所以,原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题,每小题7分,共35分）6．一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ,交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加,得()()250003000k x y k x y k +++=, 则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点D ,使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与⊙A 分别相交于F ,G 两点,连接FG 交AB 于点H ,则AH AB的值为．解.如图,延长AD 与⊙D 交于点E ,连接AF ,EF ．由题设知13AC AD =,13AB AE =,在△FHA 和△EF A 中, 90EFA FHA ∠=∠=︒,FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ,AH AFAF AE=.而AF AB =,所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数,若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根,则b 的值为．【答】 10．解.因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=,且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数,所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．（第7题）又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯,所以1234541b a b a b a b a b a-+-+-+-+-=．由123459a a a a a++++=,可得10b=．9．如图,在△ABC中,CD是高,CE为ACB∠的平分线．若AC＝15,BC＝20,CD ＝12,则CE 的长等于．【答】6027．解.如图,由勾股定理知AD＝9,BD＝16,所以AB＝AD＋BD＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且90ACB∠=︒．作EF⊥BC,垂足为F．设EF＝x,由1452ECF ACB∠=∠=︒,得CF＝x,于是BF＝20－x．由于EF∥AC,所以EF BFAC BC=,即20 1520x x-=,解得607x=．所以60227CE x==．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是.每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是．【答】2-．解.设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8x-．于是报7的人心里想的数是12(8)4x x--=+,报9的人心里想的数是16(4)12x x-+=-,报1的人心里想的数是20(12)8x x--=+,报3的人心里想的数是4(8)4x x-+=--．所以4x x=--,解得2x=-．三、解答题（共4题,每题20分,共80分）11．已知抛物线2y x=与动直线cxty--=)12(有公共点),(11yx,),(22yx,且3222221-+=+ttxx.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.解.（1）联立2y x=与cxty--=)12(,消去y得二次方程2(21)0x t x c--+=①有实数根1x,2x,则121221,x x t x x c+=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x==+-+=221[(21)(23)]2t t t--+-＝21(364)2t t-+．②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t--+-+=．③………………10分t的取值应满足2221223t t x x+-=+≥0, ④且使方程③有实数根,即22(21)2(364)t t t∆=---+＝2287t t-+-≥0, ⑤解不等式④得t≤-3或t≥1,解不等式⑤得222-≤t≤222+.所以,t的取值范围为（第9题）（第10题）222-≤t ≤222+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在222-≤t ≤222+时是递增的,所以,当222t =-时,2min 3211162(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +,且2009a <,求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解.由3192191a +可得31921a -．619232=⨯,且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数,所以6321a -等价于621a -,又因为3(1)(1)a a a -+,所以331a -等价于31a -．因此有1921a -,于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<,所以0110k =，，，．因此,满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图,给定锐角三角形ABC ,BC CA <,AD ,BE 是它的两条高,过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ,过点D ,E 分别作l 的垂线,垂足分别为F ,G ．试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论．解法1.结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠,所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CDDF BE AB =⋅．同理可得 CEEG AD AB=⋅．………………10分又因为tan AD BEACB CD CE∠==,所以有BE CD AD CE ⋅=⋅,于是可得 DF EG=．………………20分解法2.结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ,因为90ADB AEB ∠=∠=︒,所以A ,B ,D ,E 四点共圆,故CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线,所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以,CED ACG ∠=∠,于是DE ∥FG ,故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件.1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解.设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ,12i n =，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=-．于是,对于任意的1≤i j <≤n ,都有1j i i j a a b b n --=-,从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数,故 312251n -⨯． ………………10分（第13A 题）（第13A 题）由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-,所以,2(1)n -≤2008,于是n ≤45.结合312251n -⨯,所以,n ≤9． ………………15分另一方面,令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+,…,8871a =⨯+,982511a =⨯+,则这9个数满足题设要求．综上所述,n 的最大值为9. ………………20分。

2009年全国初中数学联合竞赛试题ABC及参考答案

连接 D I1 、 D I2 ，则 D I1 、 D I 2 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠ I1 DC＝∠ I1 DA ＝ ∠ I 2 DC ＝ ∠ I 2 DB ＝ 45 ° ，故 ∠ I1 D I 2 ＝ 90 ° ，所以 I1 D ⊥ I 2 D ，
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(b �c �a ) [a (b �c � a ) �b(c � a �b) �c(a �b �c)] � 0 ， abc (b �c �a ) (b �c �a ) 2 即 [2ab � a 2 �b2 �c2 ] � 0 ，即 [c �(a �b)2 ] � 0 ， abc abc (b �c �a ) 即 (c �a �b)(c �a �b) � 0 ， abc 所以 b �c �a � 0 或 c �a �b � 0 或 c �a �b � 0 ，即 b �a � c 或 c �a � b 或 c � b �a .
6 A. . 3
2 B. . 3
1 C. . 3
10 D. . 10
E
B
C
6 ．设 n 是大于 1909 的正整数，使得（） A.3.
n �1909 为完全平方数的 n 的个数是 2009 �n
B. 4.
C. 5.
D. 6.
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）
2 1．已知 t 是实数，若 a, b 是关于 x 的一元二次方程 x �2 x �t �1 � 0 的两个非负实根，

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A）（B（C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即 11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得12a +=． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）．（A ）2组（B ）3组（C ）4组（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=，即 201520x x -=，解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以 2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③ ………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2-t ≤2+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+. ⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-≤t ≤22+时是递增的，所以，当22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅．同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分又因为tan AD BE ACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG=．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+， 982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分。

#2009全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教课专业委员会“《数学周报》杯”2009 年全国初中数学比赛试题参照答案一、选择题 <共 5 小题，每题 7 分，共 35 分.以下每道小题均给出了代号为 A ， B， C， D 的四个选项，此中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）2JnJJMc8QO1．已知非零实数 a，b 知足 2a 4 b 2(a3)b242a ，则 a b 等于 <）．<A）－ 1<B） 0<C）1<D）2【答】 C．解：由题设知a≥ 3 ，所以，题设的等式为b2(a2，于是3)b0a3， b 2 ，从而a b＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为 a，点 O 是对角线 AC 上的一点，且 OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则 a 等于 < ）．2JnJJMc8QO<A）51<B）51<C）1<D） 2<第 2题）22【答】 A．解：因为△ BOC ∽ △ABC，所以BOBC ，即1aAB AC ，a a1所以，a2a10 ．由 a 0 ，解得a1 5 ．23．将一枚六个面编号分别为1，2， 3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后扔掷两次，记第一次掷出的点数为 a ，第二次掷出的点数为 b ，则使对于x，ax by3，y 的方程组只有正数解的概率为<）．2JnJJMc8QOx 2y2<A ）1<B ）2<C ）5<D ）13129 18 36【答】 D ．解：当 2a b 0 时，方程组无解．x 6 2b2a ,当 2a b0 时，方程组的解为b2a 3 .y2a b6 2b 2a b 0,2a b 0,2a b 0, 33 由已知，得即 a或 a2a 3 ,,0,222a b3,b 3.b由 a ， b 的实质意义为 1，2，3， 4， 5， 6，可得a，，，，，a ，共 3 种状况． 2 3 4 5 6共有 5×2＝10 种状况；或1b ，，b ，，， 124 5 6又掷两次骰子出现的基本领件共6×6＝ 36 种状况，故所求的概率为13．364．如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥DC ， B90 . 动点 P 从点B 出发，沿梯形的边由 B →C →D →A 运动 . 设点 P 运动的行程为 x ，△ ABP 的面积为 y. 把 y 看作x 的函数，函数的图像如图 2 所示，则△ ABC 的面积为< ）． 2JnJJMc8QO<A ）10<B ） 16 <C ） 18 <D ）32图 1图 2< 第 4【答】 B ．题）解：依据图像可得 BC ＝ 4， CD ＝ 5， DA ＝5，从而求得 AB ＝8，故S △ABC ＝ 1×8×4＝ 16.25．对于 x ，y 的方程 x 2 xy 2 y 229 的整数解 <x ，y ）的组数为 < ）．<A ）2组 <B ）3 组<C ）4 组<D ）无量多组【答】 C ．解：可将原方程视为对于 x 的二次方程，将其变形为x 2 yx (2 y 229) 0 ．因为该方程有整数根，则鉴别式 ≥ 0 ，且是完整平方数．由y 2 4(2 y 2 29)7 y 2 116≥0 ，解得 y 2 ≤ 116 16.57．于是y 2 71 4 9 16116109 88534明显，只有 y 216 时， 4是完整平方数，切合要求．当 y 4 时，原方程为 x 2 4x 30 ，此时 x 1 1, x 2 3；当 y ＝－ 4 时，原方程为 x 2 4x3 0 ，此时 x 31, x 4 3 ．所以，原方程的整数解为x 1 1, x 2 3, x 3 1, x 4 3, y 14;y 24;y 34;y 44.二、填空题 <共 5 小题，每题 7 分，共 35 分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000 km 后报废，行驶必定行程后能够互换前、后轮胎．假如互换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km ．2JnJJMc8QO【答】 3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k, 则安装在前轮的轮胎每行驶 1km磨损量为k , 安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为k . 又设一对新轮50003000胎互换地点前走了 x km ，互换地点后走了 y km. 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程 , 有 2JnJJMc8QOkx kyk, 5000 3000 ky kx k,5000 3000两式相加，得k( x y)k (x y) ，50002k3000则x23750 ． y1 15000 30007．已知线段 AB 的中点为 C ，以点 A 为圆心， AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延伸线上取点D ，使得 BD ＝AC ；再以点 D 为圆心， DA 的长为半径作圆，与⊙ A 分别订交于 F ， G 两点，连结FG 交 AB 于点 H ，则AH 的值AB为．2JnJJMc8QO解：如图，延伸 AD 与⊙ D 交于点 E ，连结 AF ，EF ．由题设知 AC1AD ，AB1AE ，在△ FHA 和△ EFA 中，3 3EFAFHA 90 ， FAHEAF所以Rt △ FHA ∽ Rt △EFA ，AHAFAF.AE而 AFAH 1 . AB ，所以AB3< 第7题）8．已知 a 1， a 2， a 3， a 4， a 5 是知足条件 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 9 的五个不一样的整数，若 b 是对于 x 的方程 x a 1 x a 2 x a 3 x a 4 x a 5 2009 的整数根，则 b 的值为．【答】 10．解：因为 ba 1b a 2 b a 3 b a 4 b a 52009，且 a 1， a 2， a 3， a 4， a 5是五个不一样的整数，全部 b a 1， ba 2，b a 3， b a 4， b a 5 也是五个不一样的整数．又因为 20091 1 77 41，所以b a 1 b a 2b a 3b a 4b a 541 ．由 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 9 ，可得 b 10 ．9．如图，在△ ABC 中， CD 是高， CE 为ACB 的均分线．若AC＝15，BC ＝ 20，CD＝12，则 CE 的长等于．2JnJJMc8QO【答】602．7解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以 AB＝AD＋BD＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且ACB 90 ．作 EF⊥ BC，垂足为 F．设 EF＝ x，由1ACB 45，得CF＝，ECF x2于是 BF＝20－ x．因为 EF∥ AC，所以EF BF ，AC BC即x20x ，1520解得 x 60．所以 CE 2 x60 2．7710． 10 个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则< 第9题）是：每一个人内心都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，而后每一个人将他两旁的两个人告诉他的数的均匀数报出来．若报出来的数如图所示，则报 3 的人内心想的数是．2JnJJMc8QO<第 10 题）【答】 2．解：设报 3 的人内心想的数是x，则报 5 的人内心想的数应是 8 x ．于是报 7的人内心想的数是12(8x) 4x ，报9 的人内心想的数是16 (4x)12x ，报1的人内心想的数是20(12 x)8 x ，报3的人内心想的数是 4(8x) 4 x ．所以2JnJJMc8QOx4x ，解得 x 2 ．三、解答题 <共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11．已知抛物线y x2与动直线y(2t1) x c 有公共点(x1, y1)，( x2,y2)，且 x12x22t 22t 3 .<1）求数 t 的取范；<2）当 t 何， c 取到最小，并求出 c 的最小 .解： <1）立y x2与y(2t 1) x c ，消去 y 得二次方程x2(2t1)x c0①有数根 x1， x2， x1x22t1,x1 x2 c ．所以c x1x21[( x1x2 )2( x12x22 )]= 1[(2t23)] ＝1(3t 21)2(t 22t6t 4) ．②22⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分把②式代入方程①得x2 (2t1)x 1(3t26t 4)0 ．③2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分t 的取足t22t 3 x12x22≥0，④且使方程③有数根，即(2t1)22(3t 26t4) ＝ 2t 28t7 ≥0，⑤解不等式④得t ≤-3或 t ≥1，解不等式⑤得22≤ t ≤ 2 2 . 22所以， t 的取范22≤ t ≤ 2 2 .⑥22⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分(2> 由②式知 c 1(3t 26t4)3(t 1)21. 222由于 c 3(t 1)21在 22≤ t ≤ 22是增的，所以，当22222 t 22, c min3(22 1)21116 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20 分222412．已知正整数 a 足 192 a 3191，且 a2009 ，求足条件的全部可能的正整数 a 的和．解：由192 a 3 191可得 192 a 3 1． 192326 ，且a 3 1 a 1 a(a 1) 1 (a1)a( a 1) (a 1)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分由于 a a 11 是奇数，所以 26 a 31 等价于 26 a 1 ，又由于3 (a1a) a(，以 3 a 31 等价于 3 a 1 ．因此有 192 a 1 ，于是可得1所) a 1 9 2k ．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分又 0 a 2009 ，所以 k01，，，10 ．所以，足条件的全部可能的正整数a的和11＋ 192<1＋2＋⋯＋ 10）＝ 10571．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20 分13．如，定角三角形ABC ， BC CA ， AD ， BE 是它的两条高，点C 作△ ABC 的外接的切 l ，点D ，E 分作 l 的垂，垂足分F ，G ．比段 DF 和 EG 的大小，并明你的． 2JnJJMc8QO解法 1：是 DF EG ．下边出明．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为 FCDEAB ，所以 Rt △ FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得DF BE CD．AB同理可得EGADCE．AB⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分13AAD BE< 第又因为 tan ACB，所以有 BE CD题）CDCE AD CE ，于是可得DF EG ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20分解法 2：是 DF EG ．下边出明．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分接 DE，因为ADB AEB90 ，所以 A， B，D，E 四点共，故CED ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯<第13A10 分又 l 是⊙ O 的点 C 的切，所以ACG ABC ．题）⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分所以，CED ACG ，于是 DE∥FG，故 DF ＝EG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20 分14． n 个正整数a1，a2，，a n足以下条件：1a1 a2a n2009 ；且 a1， a2，， a n中随意n－1个不一样的数的算均匀数都是正整数．求n 的最大．解： a1， a2，， a n中去掉 a i后剩下的n－1个数的算均匀数正整数b i，i 12，，，n．即b i( a1a2an) ai ．n1于是，于随意的1≤ i j ≤ n，都有b i b j a j a i，n1从而n 1 (a j a i ) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分因为 b1b n a n a12008 是正整数，故n1n 1n 1 23251．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分因为a n 1 a n an 1an 1an 2a2a1≥ n 1n 1n 1 ( n 1)2，所以， ( n1)2≤2008，于是n≤45.合3，所以， n ≤9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分n 1 2251另一方面，令a180 1, a2 811, a3821，⋯， a8 87 1 ，a98 251 1 ，9个数足要求．上所述， n 的最大 9.⋯⋯⋯⋯⋯⋯20分声明：全部资料为自己采集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

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一级建造师《机电工程管理与实务》模拟试题（一）(考试时间4小时，满分160分)一、单项选择题(每题1分。

每题的备选项中，只有1个最符合题意)1．对开环控制系统按给定控制方式特点的表述中，下列错误的是（）。

A．控制的精度准确性较差B．控制原理简单C．控制作用的传递具有多向性D．因为结构简单、调整方便、成本低，应用面很广2．（）主要用于在机械运转中随时将主、从动轴结合或分离。

A．联轴器B．联轴器和离合器C．离合器D．自动离合器3．键主要用来实现轴和轴上零件之间的周向固定以传递( )。

A、弯矩B、扭矩C、力D、速度4．高压隔离开关作用主要是( )。

A、隔离高压电源，保证安全检修B、分断电路中的用电负荷C、保护电路中的用电设备D、分断大电流电路5．下列对工业纯铜的描述错误的是（）。

A．密度为8.969／cm3B．具有良好的导电性C．导热性差D．具有优良的焊接性能6．在电阻电路、电感电路、电容电路中，电流和电压关系的共同点是（）。

A．电流与电压同频率B．电压相位超前电流相位90°C．电压与电流同相位D．电流相位超前电压相位90°7．自动控制系统主要的特点是有反馈存在，按()进行控制。

A、偏差B、电压C、电流D、给定值8．基孔制的孔为基准孔，基准孔的代号为（）。

A．B B．HC．b D．h9．轴的材料通常采用（）。

A．合金钢和普通钢B．普通钢的冷拉钢C．碳素钢和普通钢D．碳素钢和合金钢10．轴承的功用是为支承轴及轴上零件，承受其荷载，并保持轴的旋转精度，减少轴与支承的摩擦和磨损。

通常轴承分为（）。

A．推力轴承和滑动轴承B．向心轴承和滚动轴承C．滑动轴承和滚动轴承D．推力轴承和向心轴承11．()是将电解液中的金属离子在直流电的作用下，在阴极上沉积出金属而形成镀层的工艺过程。

A、热镀B、渗镀C、电镀D、喷镀12．电动机的额定功率是指在额定电压、额定频率下满载运行时电动机( )。

A、输入的机械功率B、轴上输出的机械功率C、输入功率D、轴上输出的电功率13．在现场环境限制较多、其他起重机无法进行吊装的场合，且被吊设备或构件几何寸大、重量重的机电设备安装和大型结构安装工程中，首先考虑选用( )起重机。

2009年全国初中数学竞赛试题及答案

2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（）．（A（B（C ）1 （D ）2【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC =，即11aa a =+，所以，2a 由0a >，解得a =3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a ba y ab -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ．解：根据图像可得BC 5，AB ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程2x y =x ，y ）．（A ）2组（B ）3组（（D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x == ．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ （第4题）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=，则 237501150003000x y +==+．7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中，EFA ∠=∠FAH EAF ∠=∠ 所以Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AFAF AE=. 而AF AB =以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于．．解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．故由勾股定理逆定理知△ACB且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC，垂足为F ．设EF ＝x ，由12ECF ∠=CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以 EF BF AC BC =，即 15x =解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9数是16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 解：1.联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0，⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 22-≤t ≤22+所以，t 的取值范围为22-≤t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-t ≤22+时是递增的，所以，当22t =-时,2min 3111(21)2224c -=--+=. ………………20分12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-． ………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k = ，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分 13．已知AB 为⊙O 的直径，弦//DC AB ，连接DO ．过点D 作DO 的垂线，与BA 的延长线交于点E ，过点E 作AC 的平行线交CD 于点F ，过点D 作AC 的平行线交BF 于点G ．求证：AG BG ⊥．（第13题）证明：连接AD ，BC ，因为四边形AEFC 是平行四边形，所以AE FC =．AD CB DAE BCF =∠=∠，，因此有DAE ∆≌BCF ∆（SAS ），于是可得 ADE CBF ∠=∠． ………………10分又因为DE 与⊙O 相切于点D ，所以DCA ADE ∠=∠．结合//DG AC ，可得GDC DCA ADE GBC ∠=∠=∠=∠，于是D B C G ，，，四点共圆．因此点G 在⊙O 上，从而有AG BG ⊥．……………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ；且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n ii a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j i i j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故312251n -⨯． ………………10分由()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++- ≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45. 结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ……15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………20分。

2009年全国初中数学联赛(含答案)

12009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．设71a =，则32312612a a a +--=（）A ．24B ．25C ．4710D ．4712【解析】 A ．由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=2．在ABC △中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7AB =，8AC =，则BC =（）A ．2B ．10C 105D ．73【解析】 C ．做A ∠的角平分线交BC 边于D ．于是78AB BD AC DC ==．不妨设7,8BD x DC x ==，由BAD BAC △∽△，有BD AB AB BC =，即77715x x =，于是715x ，15105BC x =3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]2230x x --=的解的个数为（）2A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 C ．原问题等价于函数23y x =-与函数[]2y x =的图像的交点个数问题．观察出交点个数为3个．方程的解分别为2,3x x =-=，另一个位于2，3之间．4．设正方形ABCD 的中点为点O ，在以五个数A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A ．314B ．37C ．12D ．47【解析】 B ．不妨设三角形边长为1，则三角形的面积有两种，一种是14，形如ABO △，有4个；一种是12，形如ABD △，有4个．于是对于这8个三角形，先选出任意一个，再选出其余7个三角形中面积和它相等的三角形（共3个）中的一个，概率为37．5．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ∠=（）A 6B ．23C ．13D 103ECBDA【解析】 D ．取BC 中点F ，连接AF ，则CBE BAF ∠=∠，于是2210sin sin 13CBE BAF ∠=∠==+6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 B ．由1909100120092009n n n -=-+--，而1002009n-可能取整数2,5,4,10,25,50,100．若10012009n --为完全平方数，则有1002,5,10,502009n=-．于是这样的n 有4个．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是．【解析】3-．2,1a b ab t +==-，又由0∆≥知2t 1≤≤．于是()()()222222111a b a b a b --=+-+424t =-．于是当1t =时代数式有最小值3-．2．设D 是ABC △ 的边AB 上的一点，作DE BC ∥交AC 于点E ，作DF AC ∥交BC 于点F ，已知ADE △、DBF △的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为．【解析】 2mn ADE BDF △∽△，相似比为ADDB．观察到DEF △的面积等于m 和n 的等比中项，所以所求答案为2mn3．如果实数a ，b 满足条件221a b +=，221221a b a b a -+++=-，则a b += ．【解析】 1-．分情况讨论，可得221221a b a b a -+++=-或22(12)21a b a b a --+++=-．如果是第一种，则222b b a +=-，消去a 可得2230b b --=，可得1b =-或32．经检验，1,0b a =-=符合，所求结果为1-；如果是第二种，则224a b b a -=-．因为去绝对值符号的时候有120a b -+≤，即21a b +≥，而10b +≥，则设法凑出含有1b +的形式．因为2240a a b b +--=，所以2222114()22a ab b a b +--++=，即22238(1)4a a b a +=+≤，所以8a ≥或0a ≤，因此只能有0a =，和第一种情况是同一个解．4．已知a ，b 是正整数，且满足15152a b 是整数，则这样的有序数对()a b ，共有对．5【解析】 7．显然两个根式的值都是有理数（否则把它平方即可发现）．穷举，可能是1+1，112+， 1122+，1144+，1136+，考虑顺序，共7种．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，旗开得胜6所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．二、（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是ADC △、BDC △的内心，3AC =，4BC =，求12I I ．I 2I 1CABBACE DFI 1I 2【解析】作1I E AB ⊥于E ，2I F AB ⊥于F ．旗开得胜7在直角三角形ABC 中，3AC =，4BC =，225AB AC BC +=．又CD AB ⊥，由射影定理可得295AC AD AB ==，故165BD AB AD =-=，22125CD AC AD -．因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以()11325I E AD CD AC =+-=．连接1DI 、2DI ，则1DI 、2DI 分别是ADC ∠和BDC ∠的平分线，所以112245I DC I DA I DC I DB ∠=∠=∠=∠=o，故1290I DI ∠=o，所以12I D I D ⊥，1113325sin sin 45I E DI ADI ===∠o ．同量，可求得245I F =，242DI ．所以2212122I I DI DI +三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②旗开得胜8a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bcca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c9证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（B ）一、（本题满分20分）已知二次函数()20y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C ．设ABC △的外接圆的圆心为点P ．10⑴ 证明：P ⊙与y 轴的另一个交点为定点．⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．旗开得胜11二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．旗开得胜12因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】证法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，13即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c证法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c第二试（C）一、（本题满分20分）△的已知二次函数()20y x bx c c=++<的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C．设ABC 外接圆的圆心为点P．⊙与y轴的另一个交点为定点．⑴ 证明：P1415⑵ 如果AB 恰好为P ⊙的直径且2ABC S =△，求b 和c 的值．【解析】 ⑴ 易求得点C 的坐标为()0c ，，设()10A x ，，()20B x ，，则12x x b +=-，12x x c =．设P ⊙与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA OB OC OD ⨯=⨯则121x x c OA OB OD OC c c⨯====．因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为()01，． ⑵ 因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为()01-，，即1c =-．又()()222121212444AB x x x x x x b c b =-+---+所以21141222ABC S AB OC b =⋅+⋅△，解得23b =±．16二、（本题满分25分）已知ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：DE AB ∥．ACBHNMF P EQQEP F MNHBCA【解析】因为BN 是ABC ∠的平分线，所以ABN CBN ∠=∠．又因为CH AB ⊥，所以9090CQN BQH ABN CBN CNB ∠=∠=-∠=-∠=∠o o ，因此CQ NC =．又F 是QN 的中点，所以CF QN ⊥，所以90CFB CHB ∠==∠o ，因此C 、F 、H 、B 四点共圆．又FBH FBC ∠=∠，所以FC FH =，故点F 在CH 的中垂线上．、同理可证，点E 在CH 的中垂线上．因此EF CH ⊥，又AB CH ⊥，所以EF AB ∥．17三、（本题满分25分）已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②a b c【解析】解法1：将①②两式相乘，得()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab +-+-+-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭，即()()()2222228b c a c a b a b c bccaab+-+-+-++=，即()()()222222440b c a c a b a b c bccaab+-+-+--+-+=，即()()()2222220b c a c a b a b c bccaab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bccaab-+---+--+++-++=，即()()()()0b c a ab c a b c a b c a b c abc-+----++++=⎡⎤⎣⎦，18即()22220b c a ab a b c abc-+⎡⎤--+=⎣⎦，即()()220b c a c a b abc-+⎡⎤--=⎣⎦，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．解法2：结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得()2221102424a b c abc -++=③又由①式得()21024a b c ++=，即()22210242a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得()110242102424ab bc ca abc --++=⎡⎤⎣⎦，即()164096abc ab bc ca =++-．()()()()()331616161625616409625632160a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =．结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=．a b c 90o ．19。

2009年全国初中数学联合竞赛试题1

市（区、县）学校姓名性别报考号______________________ （密封装订线内不要答题）
2009年全国初中数学联合竞赛试题
第二试（A ）
（4月12日上午10﹕00——11﹕30）
考生注意：本试共三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）
已知二次函数2
(0y x bx c c )=++<的图象与轴的交点分别
为A 、B ，与轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P. x y
（1）证明：⊙P 与轴的另一个交点为定点.
y （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且，求b 和的值. 2ABC S △＝c
二、（本题满分25分）
设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，、分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求.
1I 2I 1I 2I
C
三、（本题满分25分）
已知为正数，满足如下两个条件：
,,a b c 32a b c ++= ①
1
4
b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++= ②
）题答要不内线订装封密（。

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为 .
所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.
要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.
因此，所求的概率为 .
即，
即，
即，即，
即，…………………………………20分
所以或或，即或或 .
因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分
证法2结合①式，由②式可得，
变形，得 ③………………………10分
又由①式得，即，
代入③式，得，
即 .…………………………………15分
又CE⊥BE，所以，故 CBE＝ .
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）
A.3.B.4.C.5.D.6.
【答】B.
设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则 .
验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.
因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.
4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）
A. .B. .C. .D. .
【答】B.
不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：
（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；

2009年全国初中数学联赛试题及解答

2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题1.设1a =−，则32312612a a a +−−=（）A.24.B. 25.C. 10+.D. 12+.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝（）A..B. 10.C..D. 3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x −−=的解的个数为（） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314. B. 37. C. 12. D. 47. DC5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则CBE ＝（）sin ∠A.3. B. 23. C. 13.D. 10.6．设是大于1909的正整数，使得n 19092009n n−−为完全平方数的n 的个数是（）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知是实数，若是关于t ,a b x 的一元二次方程221x x t 0−+−=的两个非负实根，则(1的最小值是____________.22)(1)a b −−22|21a b a b a 2．设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为和，则四边形DECF 的面积为______.m n 3．如果实数满足条件，|1,a b 221a b +=2−+++=−，则a b +=______. 4．已知是正整数，且满足,a b 是整数，则这样的有序数对共有对. (,)a b第二试（A）一．已知二次函数的图象与2(0y x bx c c =++<)x 轴的交点分别为A 、B ，与轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.y （1）证明：⊙P 与轴的另一个交点为定点.y （2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且，求和的值.2ABC S △＝b c 二．设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，I 、I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求I .1212I 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab+−+−+−++= ②.第二试（B）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同.NB二．已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.三．题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C）一．题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．已知为正数，满足如下两个条件：,,a b c 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=② .2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题 1．A 2．C 3．C 4．B 5．D 6．B 二、填空题 1． 3−2． 3． 1−4．7第二试（A）一．解（1）易求得点的坐标为，设，，则C (0,)c 1A(,0)x 2B(,0)x 12x x b +=−，12x x c =.设P ⊙与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是P ⊙的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以OA×OB ＝OC×OD ，则y 121x x c OA OB OD OC c c×====. 因为，所以点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1).0c <y y （2）因为AB CD ⊥，如果AB 恰好为P ⊙的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点的坐标为，即.C (0,1)−1c =−又12AB x x =−===，所以12ABC S ==△，解得b =±.二．解作E ⊥AB 于E ，F ⊥AB 于F.1I 2I 在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又CD ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5−=，12CD =5=.C 因为E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以I ＝1I 1E 13(AD CD AC)25+−=. 连接D 、D 2，则D 1I 、2I 分别是ADC ∠和∠BDC 的平分线，所1I DC ＝∠A ＝∠2I DC ＝∠2I DB 45°∠1I D 2I ＝90°，所以1ID 2D ，1I I D 以∠D ＝，故⊥1I I 1I E 1135DI sin ADI sin 45===5∠°.同理，可求得24I F 5=，2D I 5=. 所以1I 2I =. 三．证法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−()8++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab−−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或或，即0b c a −+=0c a b +−=0c a b −+=b a c +=或c a b +=或. c b a +=.证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得222110242()4a b c abc −++=③ 又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或16a =16b =16c =.结合①式可得b a 或或c b .c +=c a b +=a +=.第二试（B）二．证明因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠.又因为CH ⊥AB ，所以， CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=°−∠=°−∠=∠因此.CQ NC =又F 是QN 的中点，所以CF ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=°=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上.FBH =FBC ∠∠N B同理可证，点E 在CH 的中垂线上. 因此EF CH.⊥又AB CH ⊥，所以EF AB. ∥第二试（C）三．解法1 将①②两式相乘，得()b c a c a b a b ca b c bc ca ab+−+−+−++++()8=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−++=，即222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +−+−+−−+−+=0，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab −−−−+−++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab −+−−−+−−+++−++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc−+−−−−++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc −+−−+=，即22()[()]b c a c a b abc 0−+−−=，即()()()b c a c a b c a b abc−++−−+=0，所以或0b c a −+=0c a b +−=或0c a b−+=，即b ac +=或c a b +=或.c b a +=90°. 解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab −−−++=，变形，得22211024 ③ 2()4a b c abc −++=又由①式得，即， 2()1024a b c ++=22210242()a b c ab bc ca ++=−++代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc −−++=，即 16()4096abc ab bc ca =++−.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c −−−=−+++++−3409625632160=−+×−=，所以或或.16a =16b =16c =结合①式可得b a 或c a 或c b c +=b +=a +=.90°.。

2009年全国初中数学竞赛试题

报出来若报出来的数如图所示则报
．
，
3
的人
一
心里想的数是
参考答案
、
．
选择题
，
1 10
1
2 3
．
由题设知口 ≥ 3
=
所以题设的等式可化为
于是
a
=
／ f b + 2 f + 、瓦二巧矿
a +
o
，
3 ，6 —
2
，
从而
9
b 1
=
．
选C
I~
}
．
8
、
6
r
4 5
-
：
,
2 64
9
；
=
㈣
，
；
fx 3
心里想的数应是 8 吨
．
=
2 544
，
fx 4
；
-
2 364
于是报 7 的人心里想的
【3 6 0 1 7 2 0 9 y
=
【4 6 0 1 7 2 0 9 y
=
．
数是
16
一
12
一
(8 吨 ) 4 帆
=
=
，
报
9
的人心里想的数是
20
一
(4 慨 )
2
．
A B OC
—
A ABC
，
所以
器器即
=
，
上
=
』
，
所以扛
0
—
1= 0
．
第1 0 题图
副