沪教版八年级下册一次函数知识点

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沪教版初二数学知识点总结一次函数知识点

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！一次函数一.知识框架二．知识概念1.一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。

特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

2.正比例函数一般式：y=kx（k≠0），其图象是经过原点(0,0)的一条直线。

3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限,y随x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限,y随x的增大而减小，在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。

4.已知两点坐标求函数解析式：待定系数法一次函数是初中学生学习函数的开始，也是今后学习其它函数知识的基石。

在学习本章内容时，教师应该多从实际问题出发，引出变量，从具体到抽象的认识事物。

培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想。

在教学过程中，应更加侧重于理解和运用，在解决实际问题的同时，让学习体会到数学的实用价值和乐趣。

第十五章整式的乘除与分解因式1.同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)2.. 幂的乘方法则：(m,n都是正数)3. 整式的乘法（1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4．平方差公式:5．完全平方公式:6. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0,m、n都是正数,且m>n).在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如,④运算要注意运算顺序.7．整式的除法单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.8.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.整式的乘除与分解因式这章内容知识点较多，表面看来零碎的概念和性质也较多，但实际上是密不可分的整体。

沪教版八年级奥数一次函数知识点总结

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沪教版八年级奥数一次函数知识点总结
1.一次函数与正比例函数的定义：
(1)一次函数：一般地若y=kx+b(其中k、b为常数且k≠0)，那么y叫x 的一次函数.
(2)正比例函数：当b=0, k≠0时y=kx，则y是x的正比例函数.
2.一次函数与正比例函数的区别与联系：
(1)从解析式看y=kx+b (k≠0, b≠0)是一次函数而y=kx (k≠0, b=0)是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广.它们都属于一次函数.
(2)从图象看：y=kx (k≠0)是过(0, 0)点的一条直线，而y=kx+b (k≠0)是过(0, b)点且与y=kx平行的一条直线.
3.k、b的符号与一次函数y=kx+b (k≠0)的图象的位置关系：
4.确定一次函数与正比例函数的条件：
正比例函数y=kx (k≠0)中的待定系数为k，所以确定正比例函数只需一个条件;一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数为k和b，所以确定一次函数需两个条件.从几何意义考虑：正比例函数的图象是过(0，0)点，而“两点确定一条直线”，所以只需再知另一点即可，而一次函数必需知两点.
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20-第二十章-一次函数-八年级(下)-知识点汇总-沪教版

第二十章一次函数
20.1 一次函数的概念
1、一般地，解析式形如(0)y kx b k b k =+⋅≠是常数,的函数叫做一次函数；一次函数的定义域是一切实数
2、一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数
20.2一次函数的图像
1、列表、描点、连线
2、一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距
3、一般地，直线(0)y kx b k b k =+⋅≠是常数,与y 轴的交点坐标是（0，b ），
直线的截距是b
4、一次函数y kx b =+（b ≠0）的图像可以由正比例函数y kx =的图像平移得到当b ＞0时，向上平移b 个单位，当b ＜0时，向下平移b 的绝对值个单位
5、一元一次不等式与一次函数之间的关系（看图）
20.3一次函数的性质
1、一次函数(0)y kx b k b k =+⋅≠是常数,具有以下性质：
当k ＞0时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大
当k ＜0时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小
2、
①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
20.4一次函数的应用
利用一次函数及图像解决实际问题。

第二十章-一次函数-3一次函数的性质(下)沪教版八年级第二学期数学

知识回顾
两k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；
当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
b
（1）两条直线的交点问题
k
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二
元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．
di
er
bu fen
第二部分
技能点拨
一次函数与一元一次方程
例1.(易)一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为（） A．x=-1 B．x=2 C．x=0 D．x=3
解得：． ∴当x≤-1时，y=max{x+3，-x+1}=-x+1≥2；当x＞-1时， y=max{x+3，-x+1}=x+3＞2． ∴函数y=max{x+3，-x+1}最小值为2．故答案为：2．
课堂检测
5.(难)如图，在平面直角坐标系中，点P（ 1 ，a）在直线 2
y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是（） A．2＜a＜4 B．1＜a＜3 C．1＜a＜2 D．0＜a＜2
技能点拨
两直线相交或平行问题
例4.(易)考察下列函数的图象，其中与直线y=2x+1平行的是（） A．y=2x-3 B．y=-2x+1 C．y=x+1 D．y=-3x
技能点拨
【答案】A 【解析】解：与直线y=2x+1平行的直线解析式为y=2x+m（m≠1）．故选A．

(完整版)沪教版八年级下册一次函数知识点

佼立教育精品小班课程辅导讲义讲义编号一次函数知识点 1．函数的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．在某一变化过程中，有两个量，如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时称y 是x 的函数．注意：（1）“y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．（2）判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．（3）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：30S t =，2S R π=．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3．关于函数的关系式(解析式)的理解：（1）函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式．（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数．（3）函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数．（4）求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．4．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系：（1）图像1y 在图像2y 的上方⇔21y y >（2）图像1y 在图像2y 的下方⇔21y y <（3）特别说明：图像y 在x 轴上方⇔y7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线．8．函数解析式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断10．一次函数及其性质知识点一：一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．知识点二：一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．知识点三：一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．x知识点四：一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴图像的平移：b ＞0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx ＋b b ＜0时，将直线y ＝kx 的图象向下平移b 个单位，对应解析式为：y ＝kx －b口诀：“上＋下－”将直线y ＝kx 的图象向左平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x ＋m ）将直线y ＝kx 的图象向右平移m 个单位，对应解析式为：y ＝k （x －m ）口诀：“左＋右－”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 5≤x≤9．求此一次函数的解析式．11．直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k12．一次函数与一元一次方程的关系：直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk-就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标.13．一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.。

八年级数学沪科版单元知识点汇总

八年级数学沪科版单元知识点汇总初二数学下册知识点归纳一次函数一、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.二、正比例函数的图象与性质：(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数，k≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。

(2)性质:当k>0时,直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大;当k0，b>0图像经过一、二、三象限;(2)k>0，b<0图像经过一、三、四象限;(3)k>0，b=0图像经过一、三象限;(4)k<0，b>0图像经过一、二、四象限;(5)k<0，b<0图像经过二、三、四象限;(6)k<0，b=0图像经过二、四象限。

一次函数表达式的确定求一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)时，需要由两个点来确定;求正比例函数y=kx(k≠0)时，只需一个点即可.5.一次函数与二元一次方程组：解方程组从“数”的角度看，自变量(x)为何值时两个函数的值相等.并求出这个函数值解方程组从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.数据的分析数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差初二数学学习方法技巧1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

上海沪教版(五四制)初二下学期数学一次函数的概念专项

上海沪教版（五四制）初二下学期数学一次函数的概念专项【知识要点】一般型：〔0=+b≠〕y kx b一次函数：(0)=+≠y kx b k特殊型：〔0=正比例函数。

b=〕y kx常值函数：(=是常数)。

y c c一次函数的概念一般的，解析式形如(0)y kx b k=+≠的函数叫一次函数。

其中b是截距。

待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：1、将两个变量x、y的两组对应值分别代入(0)=+≠中，得到关y kx b k于k、b的一个二元一次方程组；2、解这个二元一次方程组，得k、b的值；3、将k、b代入(0)=+≠中，求得一次函数解析式。

y kx b k【三】一次函数的定义域每一个函数都有它的定义域，一次函数的定义域是一切实数，也可以是部分实数。

【例题讲解】例1、以下解析式中，哪些是一次函数？【变式训练】1、：函数2(2)4=-+-。

〔1〕当k为何值时，这个函数y k x k是正比例函数？〔2〕当k在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？例2、一个一次函数，当x=1时，y=1；当x=2时，y=0。

求它的解析式。

【变式训练】1、生物学家研究说明，某种蛇的长度y〔厘米〕是其尾长x〔厘米〕的一次函数，当蛇的尾长为6厘米时，蛇的长为45.5厘米，当蛇的尾长为14厘米时，蛇的长为105.5厘米，当一条蛇的尾长为10厘米时，这条蛇的长度是多少？例3、：(0)y kx b k =+≠，当自变量增加3时，函数值相应的增加6，求k 的值。

【变式训练】1、反比例函数k y x =的图像与一次函数y kx m =+的图像相交于点〔2，5〕。

〔1〕求这两个函数的解析式；〔2〕求这两个函数图像的另一个交点的坐标。

例4、仓库原有煤0W 吨，每天运出煤a 吨，x 天后仓库存煤y 吨，试求y 与x 的函数关系及此函数的定义域。

【变式训练】1、一等腰三角形的周长为l ，试求底边长y 与腰长x 之间的函数关系及此函数的定义域。

【基础训练】填空题1、如果1y kx =+是常值函数，那么k = 。

沪教版八年级数学下册一次函数的性质与应用-学生讲义

2、一次函数112y x =-+与x 轴的交点坐标是（2,0），与y 轴的交点坐标是 3、自变量为x 的一次函数()y a x b =-图像经过第二、三、四象限，则a ，b4、已知点11(,)x y 和22(,)x y 都在直线314y x =-上，若12x x <，则1y 2y 。

5、已知一次函数(12)1y m x m =-+-，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图像经过二、三、四象限，则m 的取值范围是6、火车站距车站5千米的某地以75千米/时的平均速度匀速驶离车站，那么火车与车站的距离s （千米）与火车行驶的时间t （时）之间的函数关系式是7、若m ＜0, n ＞0, 则一次函数y mx n =+的图象不经过（）A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限8、已知函数31y x =+，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（）A ．3m+1B ．3mC ．mD ．3m －19、汽车由A 地驶往相距120km 的B 地，它的平均速度是30km/h ，则汽车距Ｂ地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t 的取值范围是（）A ．S=120－30t (0≤t≤4)B ．S=120－30t (t>0)C ．S=30t (0≤t≤40)D ．S=30t (t<4)10．要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x （）（A ）向左平移4个单位（B ）向右平移4个单位（C ）向上平移4个单位（D ）向下平移4个单位11、已知一次函数(2)(3)y m x m =+--，（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 取何值时，直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴。

精解名题例1、如图，直线22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B两点，将OAB ∆绕点O 逆时针方向旋转090后得到OCD ∆，（1）求点C 、点D 的坐标；（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长。

(完整版)沪科版八年级一次函数知识点及经典例题培优

第1页，共6页第2页，共6页一次函数知识点及经典例题培优题型一、点的坐标方法：x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；1、若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限；2、若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________；3、已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B关于y 轴对称，则a=_______,b=__________;若若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________；4、若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第____象限。

题型二、关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y 的距离为22()()AB A B x x y y ；若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x ；若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y ；点(,)A A A x y 到原点之间的距离为22AAx y 1、点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；2、点C （0，-5）到x 轴的距离是____；到y 轴的距离是_____；到原点的距离是____；3、点D （a,b ）到x 轴的距离是____；到y 轴的距离是_______；到原点的距离是____；4、已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ,则MQ=________; 2,1,2,8E F ,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________；5、两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________；6、已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为___________.题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。

沪教版八下教材知识点

→有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程
→代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程
是→写出原方程的根
开始→去根号→解有理方程→检验结束
否→舍去
第4节二元二次方程组
21.5
二元二次方程和方程组
→二元二次方程：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程
→三角形中位线定理：平行于第三边，并且等于第三边的一半
→梯形的中位线：联结梯形两腰的中点的线段
→梯形中位线定理：平行于两底，并且等于两底和的一半
第4节平面向量及其加减运算
22.7
平面向量<相等的向量、互为相反向量、平行向量>
→概念：既有大小、又有方向的量叫做向量。向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等
→夹在两条平行线间的平行线段相等
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角线互相平分
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点
2、平行四边形的判定
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
22.8
平面向量的加法<三角形法则、多边形法则、平行四边形法则>
→向量的加法：求两个向量、零向量的和向量的运算
<满足交换律和结合律>
22.9
平面向量的减法<向量减法的三角形法则、>
→向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算
→减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
本章小结
阅读材料
（1）当n为奇数时，方程有且只有一个实数根

一次函数的图像沪教版八级数学下学期

2x 1
其中一次函数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
技能点拨
【答案】B 【解析】解： ①y=-2x+1和②y=x是一次函数，故选（B）
技能点拨
变式：(中)已知：y=（k-1）x|k|+k2-4是一次函数，求（3k+2）2007的值．
技能点拨
变式：(中)已知：y=（k-1）x|k|+k2-4是一次函数，求（3k+2）2007的值．
故选B
技能点拨
变式：(中)通过列表、描点、连线作出一次函数y=x-2的图象
技能点拨
【解答】解：（1）列表如下：
（2）描点如图所示．（3）连线如图所示．
技能点拨
一次函数图像与系数的关系
例3.(易)若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则（） A．k＜0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
di
san
bu
fen
第三部分
课堂检测
1.(中)已知函数y＝(k−2)xk2−3+b+1是一次函数，求k和b的取值范围．
课堂检测
1.(中)已知函数y＝(k−2)xk2−3+b+1是一次函数，求k和b的取值范围．
【解答】解：根据题意得： k2-3=1，且k-2≠0， ∴k=-2或k=2（舍去） ∴k=-2． b是任意的常数．
知识回顾
一次函数图像上点的坐标特征
一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（ b ，0）；与y轴的交点坐标是
k （0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
di

上海教育版八下201一次函数的概念课件

解：设此人本月工资、薪金是x元，则 19.2=0.05×(x-800), x=1184 即本月工资、薪金是1184元。
(3)如果某人本月应缴所得税元，那么此人本月工资、薪金是多少元？
下列函数中,哪些是一次函数 (1)Y=-3X+7 (2)Y=6X2-3X (3)Y=8X (4)Y=1+9X (5)Y=6/X
作业：
习题随堂练习
1、某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度Y增加0.5cm, (1)计算所挂物体的质量分别为1千克、 2千克、 3千克、 4千克、 5千克时的长度，并填入下表：
X/千克
0
1
2
3
4
5
Y/cm
（2）你能写出x与Y之间的关系吗？
3
4
5
做一做
2
2.某辆汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升, (1) 完成下表
汽车行使路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升Leabharlann 1009182
73
64
46
(2) 你能写出x与y的关系吗?
做一做
2
上面的两个函数关系式: (1) (2) Y=100－0.18X,大家讨论一下,这两个函数关系式有什么关系吗?请小组间交流。
若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数。（x为自变量，y为因变量。）
当b=0时，称y是x的正比例函数
一次函数：
议一议
3
例1 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为Y(千米)与行驶时间X(时)之间的关系;

上海教育版八下《一次函数的概念》课件-课件

速度与时间
在物理学中，速度是距离与时间的比值，可以用一次函数表示。例如，如果速度v与时间t 之间的关系是v = 2t，则表示物体以每秒2米的速度匀速运动。
温度变化
在气象学中，温度随时间的变化可以用一次函数表示。例如，如果某地一天内的最低温度为5℃，最高温度为25℃，则该地一天内的温度变化可以用一次函数表示。
一次函数与三角函数的结合
在三角学中，正弦、余弦、正切等三角函数可以用一次函数表示。例如，正弦函数y = sin x可以表示为y = x（当x在[-π/2, π/2]区间内）。
03
一次函数的解析式
一次函数的解析式形式
01
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，且 $k neq 0$。
02
$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。
一次函数的解析式求解
通过已知的两个点，可以求出一次函数的解析式。
例如，已知两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 在同一直线上，可以设 $y = kx + b$，然后代入两点坐标解出 $k$ 和 $b$。
一次函数的解析式与图像的关系
一次函数的解析式决定了函数图像的形状和倾斜方向。
截距 $b$ 决定了函数图像与 $y$ 轴的交点位置。
当 $k > 0$ 时，函数图像为上升直线；当 $k < 0$ 时，函数图像为下降直线。
04
一次函数的实际应用案例
一次函数在经济学中的应用
01
02
03
一次函数在数学问题中的应用
线性规划
在优化问题中，线性规划是一种常见的问题类型。通过一次函数表示约束条件和目标函数，可以

沪教版初二下册《一次函数》全章复习与巩固(提高)知识讲解

沪教版初二数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习一次函数单元复习与巩固（提高）1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图像法），能利用图像数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图像及性质1、函数的图像如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.要点诠释：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化.2、一次函数性质及图像特征掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）要点诠释：理解、对一次函数的图像和性质的影响：（1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．（2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：与相交；，且与平行；，且与重合；（3）直线与一次函数图像的联系与区别一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像.【典型例题】类型一、函数的概念1、（1）（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量可得y是x的函数；（2）根据表格可以直接得到答案．【答案与解析】解：（1）y是x的函数，当x取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应；（2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80；当x=30时，y=1.60；当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义．类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】解：（1）设所求一次函数的解析式为，则解得＝，＝16000．∴所求的函数关系式为＝＋16000．（2）∵48000＝＋16000．∴＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与轴、轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图像和性质3、若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（）A.＞0,＜0B.＞0,≤0C.＜0,＜0D.＜0,≤0【思路点拨】根据一次函数的图像与系数的关系解答.图像不经过第一象限，则k＜0，此时图像可能过原点，也可能经过二、三、四象限.【答案】D；【解析】当图像过原点时，＜0，＝0，当图像经过二、三、四象限时，＜0且＜0.【总结升华】图像不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.举一反三：【变式】一次函数与在同一坐标系内的图像可以为（）A. B. C. D.【答案】D；提示：分为＜0；0＜＜2；＞2分别画出图像，只有D答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式4、如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组的解集为．【答案】；【解析】从图像上看，的图像在轴下方，且在上方的图像为画红线的部分，而这部分的图像自变量的范围在.【总结升华】也可以先求出的解析式，然后解不等式得出结果.举一反三：【变式】（2016春•抚州校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点C，直线与轴交于点A，与直线交于点B，设点B的横坐标为﹣2．（1）求点B的坐标及的值；（2）求直线、直线与轴所围成的△ABC的面积；（3）根据图象直接写出不等式的解集．【答案】解：（1）当=﹣2时，=﹣2×（﹣2）+1=5，则B（﹣2，5）．把B（﹣1，5）代入得﹣1+=5，解得=6；（2）当=0时，=1，则C（0，1）；当=0时，=+6=6，则A（0，6）所以AC=6﹣1=5，所以S△ABC=×5×2=5；（3）＜﹣2．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2后血液中的含药量最高，达每升6，接着逐步衰减，10后血液中的含药量为每升3，每升血液中的含药量随时间的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，与之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4或4以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令≥4，分别求出的取值范围，便可得出这个药的有效时间．【答案与解析】解：(1)由图知，≤2时是正比例函数，≥2时是一次函数．设≤2时，，把(2，6)代入，解得＝3，∴当0≤≤2时，．设≥2时，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．当＝0时，有，．∴当2≤≤18时，．(2)由于≥4时在治疗疾病是有效的，∴，解得．即服药后得到为治病的有效时间，这段时间为．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线与轴交于点A，与轴交于点B，直线与直线关于轴对称，且与轴交于点C．已知直线的解析式为．(1)求直线的解析式；(2)D为OC的中点，P是线段BC上一动点，求使OP＋PD值最小的点P的坐标．【答案与解析】解： (1)由直线可得：A(－4，0)，B(0，4)∵点A和点C关于轴对称，∴ C(4，0)．设直线BC解析式为：，则解得．∴直线BC解析式为：．(2)作点D关于BC对称点D′，连结PD′，OD′．∴，∴ OP＋PD＝PD′＋OP．∴当O、P、D′三点共线时OP＋PD最小．∵ OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠＝90°，∴，∴．由得∴当点P坐标为时，OP＋PD的值最小．【总结升华】(1)由直线的解析式得到A、B点的坐标，进一步得到C点的坐标，然后利用B、C两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP＋PD值最小的点P的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线交轴于点A，交轴于点B，过B作BD⊥AB交轴于D．(1)求直线BD的解析式；(2)若点C是轴负半轴上一点，过C作AC的垂线与BD交于点E．请判断线段AC与CE的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA＝OB＝8，∠ABO＝45°．∵ BD⊥AB，∴∠DBO＝45°，△ABD为等腰直角三角形．∴ OD＝OA＝8，D点坐标为(0，－8)．设BD的解析式为．∵过B(8，0)，D(0，－8)∴，解得．∴ BD的解析式为(2)AC＝CE；过点C作CM⊥AB于M，作⊥BD于点N．∵ BC为∠ABD的平分线，∴ CM＝．∵∠ACE＝90°，∠M =90°∴∠ACM＝∠E ．在△ACM和△E 中∴△ACM≌△E (ASA)．∴ AC＝CE．。

八年级下册沪教版数学知识点总结

八年级下册沪教版数学知识点总结第二十章一次函数20.1一次函数的概念1.一般地，解析式形如(0)y kx b k b k=+⋅≠是常数,的函数叫做一次函数；一次函数的定义域是一切实数2.一般地，我们把函数y c=（c为常数）叫做常值函数20.2一次函数的图像1.列表、描点、连线2.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距3.一般地，直线(0)y kx b k b k=+⋅≠是常数,与y轴的交点坐标是（0，b），直线的截距是b4.一次函数y kx b=+（b≠0）的图像可以由正比例函数y kx=的图像平移得到，当b＞0时，向上平移b个单位，当b＜0时，向下平移b的绝对值个单位5.一元一次不等式与一次函数之间的关系（看图）20.3一次函数的性质1.一次函数(0)y kx b k b k=+⋅≠是常数,具有以下性质：当k＞0时，函数值y随自变量x的值增大而增大当k＜0时，函数值y随自变量x的值增大而减小2.一次函数()0 y kx b k=+≠b>0b=0b<0 k>0 k<①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图所示，当k＞0，b﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图所示，当k﹤O，b﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．20.4一次函数的应用1.利用一次函数及图像解决实际问题第二十一章代数方程21.1一元整式方程1.12ax =（a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。

于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程2.如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程3.如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程21.2二项方程1.如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为0n ax b +=（0,0a b ≠≠，n 是正整数）2.解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根3.对于二项方程0n ax b +=（0,0a b ≠≠）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根21.3可化为一元二次方程的分式方程1.解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解2.注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3.换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用21.4无理方程1.方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2.整式方程和分式方程统称为有理方程3.有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程4.解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤5.注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5二元二次方程和方程组1.仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程2．关于x、y的二元二次方程的一般形式是：220+++++=ax bxy cy dx ey f（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零）3.仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。

【初中数学】上海初二数学一次函数知识点总结

【初中数学】上海初二数学一次函数知识点总结
【—一次函数】知识要领：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y 是x的函数。

一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念
三、函数中自变量取值范围的求法：
(1)用整式则表示的函数，自变量的值域范围就是全体实数。

(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

(3)用递次根式则表示的函数，自变量的值域范围就是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

(4)若解析式由上述几种形式综合而变成，须先算出各部分的值域范围，然后Ploudalm其公共范围，即为为自变量的值域范围。

(5)对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：通常的，对于一个函数,
初二
，如果把自变量与函数的每对对应值分别做为点的横、纵坐标，那么在座标平面内由这些点共同组成的图形，就是这个函数的图象.
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表(表得出一些自变量的值及其对应的函数值。

)
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：(在直角坐标系则中，以自变量的值横坐标，适当的函数值纵坐标，汤泽市表格中数值对应的各点。

3、连线：(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来)。

：函数存有三种则表示形式(1)列表法(2)图像法(3)解析式法。