第四章(1)--弯曲内力--20141124
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4-1弯曲内力
FS <0
或者：左上右下为正、 右上左下为负
、弯矩 M： 上凹下凸形的为正
下凹上凸形的为负
M ≥0
M ≤0
15
弯曲内力
例 2 。求下图示梁1--1、2--2截面处的内力。 qL 1 1 a qL A x1 FS1
图（b)
2
q
解：截面法求内力∶
1--1截面处剪力、弯矩如图（b）
2
b 图（a） M1
M
弯曲内力
简 易 作 图 法 : 1 ，计算特殊点的内力值确定图的起点或中间点或终点； 2，利用内力和外力的微分关系判定线形； 3，计算特殊点的内力值判定图的正确性，是否封闭；
33
弯曲内力
特殊点:
1，梁的端点∶自由端、固定端、外伸端、中间铰，等等； 2，载荷的端点∶分布力的起终端、集中力(力矩)点，等等； 3，梁的支座∶固定端、固定铰，滚动铰、中间铰，等等； 4，内力的特殊点∶ FS =0的M有极值点，等等； 计算法∶
20
弯曲内力
q( x )
A
RA
qo
M ( x)
FS ( x )
x RB B
q0 x 2 1 1 2 M x RA x q( x ) x x (L x ) 6L 2 3
21
弯曲内力
§4－3 剪力方程、弯矩方程、剪力图和弯矩图 1、内力方程：内力与截
面位置坐标（x）间的函
FS ( Pi ) ( Pj )
弯曲内力
例 3 。求下图示梁 AB 、 BC 、 CD 段的的内力。
q
qa2
D C
A
B a qa a
a
FS 2 RA 2 qa q( x2 a )
材料力学第四章 弯曲内力
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 二、内力图特征
外力 情况
FQ
q(x)=0
q(x)=C＜0 C
FQ FQ
②
F
m C
FQ图
特征
① ②
x
①
③
x
F
③
⑤ ④ ① ② ③
FQ
x x x x x
C ①
③
②
x
水平直线
③1 ③3 ③2
向下斜直线
C 处有突变 与F 方向一致
①
C 处无变化
② ③ ①
M图
特征
M
x
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
第四章弯曲内力精品文档
(Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l.
a
求距A端x处截面上内力.
解: 求支座反力
Fx 0 , FRAx 0
A l
Fa M A 0 , FRB l
上的剪力和弯矩.
F1=F
FRA
FRB F2=F
C
A
D
B
b
a c
解：（1）求支座反力
2019/10/F 26R A F R B F 6k 0N
27
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC
看左侧
F S C F 1 6k 0N M C F 1 b 6 . 0 k m N
解得 FSEFRA MFc 2019/10/26 E R A
FRA
FSE
ME
A
E
c
20
(Internal forces in beams)
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
Fy 0 F S E F R B F 1 F 2 0
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD
看左侧
F S D F R A F 1 6 6 0 0 0
M D F R A ( c a ) F 1 c F 1 . 8 k a 3 m
第四章弯曲内力课件
例3 求图示梁1－1，2－2截面的内力。 P=3kN A 2m
m2=6kNm m1=2kNm 1 2 q=1kN/m 1
B 2 1m RB=4kN 2m 2m
1m RA=5kN 2m
解：(1) 求反力
RA 5kN
RB 4kN
P=3kN
m2=6kNm m1=2kNm 1 2 q=1kN/m
依方程画出剪力图和弯矩图。
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) (0 x l )
F
A x l B
FS
x
M
F
x
q
x q x
FS l
例题6 悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出 剪力图和弯矩图。
M x
解 ： 任选一截面 x ，写出剪力
和弯矩 方程
FS x
M ＝0， M ＝0
B
M
M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
依方程画出剪力图和弯矩图。
3.
a
M
b
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
x
O
O
例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此
梁的剪力图和弯矩图. 解 (1) 将坐标原点取在梁的左端，
列出梁的剪力方程 和弯矩方程
F
B x l
A
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(0 x l ) (0 x l )
F SA左 0
第4章 弯曲内力
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截
面的位置而变化。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x), M M (x)
称为剪力方程和弯矩方程
x
AB段:
a
B a
Cx
FQ (x) 0 (0 x a)M (x) m a (0 x a)BC段:
m=Pa P
FQ (x) P (a x 2a) M (x) m P(x a)
A
xB a
a
2Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和M
max
max
第四章 弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q
P
A
B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
内力偶M是与横截面垂直的内力系的合
力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
剪力Q ：截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
四章弯曲内力
§4-4 剪力图和弯矩图
例题5-2
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
x
FS
M x
剪力和弯矩 方程
FS x＝qx
0 x l
FS x
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
d
2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
5
目录
26
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d 2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
F
FBy
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(3) 载荷简化 ②分布力 q — 均布力 均布力 q(x) — 分布力
③集中力偶、分布力偶 集中力偶、 M — 集中力偶 m — 分布力偶
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图 2.梁的计算简图
(4) 支座简化
A
① 固定铰支座 2个约束，1个自由度. 个约束， 个自由度. 如：桥梁下的固定支座，止 桥梁下的固定支座， 推滚珠轴承等. 推滚珠轴承等.
第四章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
§4–1 工程实际中的弯曲问题 §4–2 剪力和弯矩 §4–3 剪力图和弯矩图 剪力、 §4–4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系
第四章 弯曲内力
【本章学习目的】
1. 了解平面弯曲的概念 2. 能够列出剪力方程和弯矩方程 掌握剪力、 3. 掌握剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系 4. 熟练绘制剪力图和弯矩图
F FA = FB = 2
（2）列内力方程 ）
F FS1 = FA = 2 F M1 = FA x1 = x1 2
内力图对称中垂线. 内力图对称中垂线
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a )
M max Fl = 4
FS max
F = 2
§4–3 剪力图和弯矩图 简支梁，受集中力偶M 作用，作内力图. 例4-5 简支梁，受集中力偶 e作用，作内力图 解： （1）求支座反力 ）
( 0 < x1 < a ) ( 0 ≤ x1 ≤ a ) ( 0 < x2 < b ) ( 0 ≤ x2 ≤ b )
Fa Fab = M max = l l
（3）根据方程作内力图 FS max ）
材料力学4材力弯曲内力
m A i0 m A 3 1 1 .5 5 1 0 9.5 k 6N m
§4-2 梁的剪力和弯矩
同样应S联he系ar变F形or来ce定a义nd剪B力enQd和in弯g 矩MMom的e正nt负in。B如ea图m,规定:
为了正计剪算力梁使的微应梁力段和产位生左移上，右首下先的应相该对确错定动梁时在（外Q力≥作0）用。下任一
m
Ai
0 : RBl
q0l 2
2l 3
0
RB
q0l 3 m Bi来自0 : R Al
q0l 2
l 3
0
RA
q0l 6
显然,所得到的RA和 RB与梁上荷载的合力一 起能满足 SY=0 这一平 衡方程，故计算结果是
正确的。
§4-2 梁的剪力和弯矩
Yi例0 4:- 5a 2 S 如hq e0 l图a ar aQ F所C o 示rc0e， andQ C B e nq d2 0a li2 n g M2 2o 0 m2 1 2e n 5 tk inN Beam 一性 根 分m C 在布 c整荷0:个载M C 长作度用q 2 0a l上的2 受悬a 3 线臂0M Cq 6 0a l32 6 0 2 1 3 1.66 kN m
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ.梁的计算简图
例题4－1计算图a所示悬臂梁的支反力。
解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂
支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。 将梁上的均布荷载以其合力ql/2
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。
称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称 弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单
§4-2 梁的剪力和弯矩
同样应S联he系ar变F形or来ce定a义nd剪B力enQd和in弯g 矩MMom的e正nt负in。B如ea图m,规定:
为了正计剪算力梁使的微应梁力段和产位生左移上，右首下先的应相该对确错定动梁时在（外Q力≥作0）用。下任一
m
Ai
0 : RBl
q0l 2
2l 3
0
RB
q0l 3 m Bi来自0 : R Al
q0l 2
l 3
0
RA
q0l 6
显然,所得到的RA和 RB与梁上荷载的合力一 起能满足 SY=0 这一平 衡方程，故计算结果是
正确的。
§4-2 梁的剪力和弯矩
Yi例0 4:- 5a 2 S 如hq e0 l图a ar aQ F所C o 示rc0e， andQ C B e nq d2 0a li2 n g M2 2o 0 m2 1 2e n 5 tk inN Beam 一性 根 分m C 在布 c整荷0:个载M C 长作度用q 2 0a l上的2 受悬a 3 线臂0M Cq 6 0a l32 6 0 2 1 3 1.66 kN m
§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅱ.梁的计算简图
例题4－1计算图a所示悬臂梁的支反力。
解:在竖直荷载作用下，梁固定端的支反力有两个，即矩为mA的支反力偶和铅垂
支反力RA。设mA和RA的转向和指向如图b所示。 将梁上的均布荷载以其合力ql/2
代替，合力的作用线通过均布荷载图形面积的形心，即到固定端的距离为3l/4。
称为平面弯曲Plane bending，或更确切地称为对称 弯曲。若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在纵对称面内，这种弯曲 则统称为非对称弯曲。对称弯曲是弯曲问题中最简单
材料力学-第4章-1
9 FAy＝ qa , 4 3 FBy＝ qa 4
2．确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力 FBy 右侧的截面，以及集中力 qa 左侧的截面，也都是控制面。
§4-5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C
D
A
B
9 4
qa FAy
4a
FS 9qa / 4
（+）
O
ME FAy 2F
M
E
2F
a 2
3 2
Fa
ME
§4.3
剪力和弯矩
（1）求支反力RA、RB
M 0, RB 4 2 2 3 8 1 0
A
例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力
P 8kN q 2kN m
1 A
1m 1m 2m
2
B
RA
1.5m
1
3m
RB ∑Y=0,
强调：外力符号取法：以左段为研究对象，求剪力时
外力向上取正，向下去负；求弯矩时外力对截面形心的 矩顺正逆负。右段反之。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
x q x
FS l
悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出 剪力图和弯矩图。
M x
解：任选一截面x ，写出剪力 和弯矩 方程
材料力学
第四章 弯曲内力
目 录
§4.1 弯曲的概念和实例
§4.2 受弯杆件的简化
§4.3 剪力和弯矩
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§4.5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
§4.6 平面曲杆的弯曲内力 §4.7 用叠加法作内力图
2．确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力 FBy 右侧的截面，以及集中力 qa 左侧的截面，也都是控制面。
§4-5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
C
D
A
B
9 4
qa FAy
4a
FS 9qa / 4
（+）
O
ME FAy 2F
M
E
2F
a 2
3 2
Fa
ME
§4.3
剪力和弯矩
（1）求支反力RA、RB
M 0, RB 4 2 2 3 8 1 0
A
例题：简支梁，求1-1，2-2截面上的内力
P 8kN q 2kN m
1 A
1m 1m 2m
2
B
RA
1.5m
1
3m
RB ∑Y=0,
强调：外力符号取法：以左段为研究对象，求剪力时
外力向上取正，向下去负；求弯矩时外力对截面形心的 矩顺正逆负。右段反之。
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
x q x
FS l
悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出 剪力图和弯矩图。
M x
解：任选一截面x ，写出剪力 和弯矩 方程
材料力学
第四章 弯曲内力
目 录
§4.1 弯曲的概念和实例
§4.2 受弯杆件的简化
§4.3 剪力和弯矩
§4.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
§4.5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
§4.6 平面曲杆的弯曲内力 §4.7 用叠加法作内力图
工程力学4第四章弯曲内力
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
•规律： 剪力：某一截面的剪力在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力的代数和。
FS=±ΣFi左或右
•弯矩：某一截面的弯矩在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力对该截面形心的力矩 的代数和。
例2 图示简支梁及其上所受荷载。求 1-1、2-2 、3-3、4-4及5-5截面上的内力。
解 (1) 求支座反力。
由
M
FA
B
0
A FA
Me=4Fa B 1 2 3 4 5 a a a FB
F
2 Fa 4Fa 2F 3a
由
MA 0
4Fa Fa FB F 3a
(2) 求各指定截面上的内力。
x
q(x) M x
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
q(x)
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
M
qx
1. 梁段上q(x)＝0
FS x FS x c
FS图水平线
M x
M x Cx D
M图斜直线
2. 梁段上q(x)＝c
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
•规律： 剪力：某一截面的剪力在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力的代数和。
FS=±ΣFi左或右
•弯矩：某一截面的弯矩在数值上等于截面一侧 （左或右）梁段上所有外力对该截面形心的力矩 的代数和。
例2 图示简支梁及其上所受荷载。求 1-1、2-2 、3-3、4-4及5-5截面上的内力。
解 (1) 求支座反力。
由
M
FA
B
0
A FA
Me=4Fa B 1 2 3 4 5 a a a FB
F
2 Fa 4Fa 2F 3a
由
MA 0
4Fa Fa FB F 3a
(2) 求各指定截面上的内力。
x
q(x) M x
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
q(x)
d 2 M ( x) q( x) 0 2 dx
M
qx
1. 梁段上q(x)＝0
FS x FS x c
FS图水平线
M x
M x Cx D
M图斜直线
2. 梁段上q(x)＝c
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
第四章弯曲内力
§4.3 剪力和弯矩
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学
一.弯曲内力的含义
设有一简支梁AB，受集中力F作用。现 分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
A
B
xm L
材料力学
a mF b
A
F Ay
A F Ay
xm L
m
oM
x
Fs
m
材料力学
1.根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
B
FAy L
FBy L
FBy 2.求m-m截面上的内力
材料力学
M 2Pa - Px (a x 2a)
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
2.作梁的剪力图和弯矩图
AB段：
FS ( x) 0 M Pa
m=Pa
P
A
(0 x a)
(0 x a)
B
C
a
a
BC段：
FS ( x) P M 2Pa - Px
(a x 2a)
剪力图： Fs
x
弯矩图： M
x
材料力学
绘制剪力图和弯矩图的注意事项：
1.横坐标要与杆件长度相对应； 2.纵坐标要标明数值大小及正负; 3.纵坐标大小要成比例； 4.是一条连续的图线，不能间断； 5.在图上要画出阴影线.
材料力学
练习一：悬臂梁受力如图所示，列出梁的剪力 方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图， 并求出梁的FSmax和Mmax 及其所在截面位置。
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
Fy 0
q
M
Fs q 2a FBy 0
C
Fs
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
材料力学B第4章弯曲内力
第四章 弯曲内力
弯曲内力的符号约定: 弯矩的符号约定：
M
剪力的符号约定:
FQ FQ
材料力学
M
第四章 弯曲内力
例 4-1
qL M 1
2
1a
2
y x
qL M 1 M1
x1FQ1
q b FR
材料力学
悬臂梁受力如图所示，计算1 截面和2截面上的剪力和弯 矩. 解: 1 求支反力
MR
2
FR qL qb
梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
第四章 弯曲内力
材料力学
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内，
弯曲变形后的轴线也将位于这个平面内，这类弯曲称 为平面弯曲。
第四章 弯曲内力
弯曲的一些实例
材料力学
第四章 弯曲内力
材料力学
第四章 弯曲内力
材料力学
第四章 弯曲内力
§4-2 受弯杆件的简化
剪力方程： FQ FQ (x) 弯矩方程： M M (x)
内力方程
材料力学
以坐标(x,FQ) 和(x,M)表示剪力和弯矩沿轴线变化 的图线称为剪力图和弯矩图。
x 表示梁截面的位置 。 FQ 和M 分别表示剪力和弯矩的大小。
第四章 弯曲内力
例 4-2 写出梁的内力方程，并画内力图。
材料力学
MO
x
M(
x
)
1 2
qx2
– qL ②根据方程画内力图.
qL2 2
第四章 弯曲内力
材料力学
例 4-4 图示简支梁受一集中力F作用，试作此梁的内力图。
a
b
A
B
04章弯曲内力-M,Q方程(54学时)(1)
（3）作Q、M图
规律：结构、载荷均对称， Q图反对称，M 图对称。
x l 4 : M 3ql2 32; ql
Q max 2
x l 2 :M ql2 8;
ql 2
M
max
8
q
RA
RA x Q ql / 2
l
RB
M(x)
n
Q(x)
l2
M ql 2/8
ql / 2
叠加法作弯矩图、剪力图
P
q
A x
轴力: 背离截面为正; 指向截面为负; 剪力: 对研究对象任一点取矩,顺时针转向为正,反之为负; 弯矩: 使曲杆曲率增大的弯矩为正;反之 为负;
习题
《材料力学》
4-1-(a),(f)，4-2-(c),(e),(i)
梁发生弯曲变形时，任一横截面上同时有两种内力：
1、与截面相切： 剪力 2、内力偶：弯矩
内力符号规定：
•剪力符号:
+Q
•弯矩符号:
-Q +M -M
l 3
P
I
l 2
RA
2）取 左侧：
I
l
l
P
3
o
l 2
Q1
RA
M1
3）取 o
右侧：
Q1
l 2
解、1）求约束反力：
M A(F) 0
RB
P 3
RB
Y 0
RA
结构对称，载荷反对称，Q图对称，M图反对称。
例4-3 求梁的剪力弯矩方程并作Q、M 图。
解：(1)列Q、M方程
q
Q(x) qx
(2)作Q、M图
M (x) q x2 2
x l 4 : M ql 2 32; x l 2 : M ql 2 8；
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Fs F 2
l M F ( x) FB (l x) 0 2
M Fx 2
F m
A
m m m m
B
m
FS FS
m
dx
FS FS
m
M
M M
dx
dx
m
m
M
dx
左端向上 右端向下
正剪力 顺时针
左端向下 右端向上
负剪力 逆时针
向下凹 下部受拉
正弯矩 箭头向上
向上凸 上部受拉
A
Mx Fx Mx
Fab l
+ x
x –
Fa l
对于右段（a x l）
FA
M ( x ) Fa (l x )
l
F ( x) FB
Fa l
D
B
Fx
M(x)
x l-x
③ 根据方程画内力图
FB
[例4] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。
解：① 求支反力
FA Me M , FB e l l
对称弯曲：
纵向对称面
F1 对称轴
q
M
对称轴
对称弯曲：梁的横截面具有对称轴，且梁的所有外力都作用在
纵向对称面内。则梁变形后的轴线一定是一条在该 纵向对称面内的平面曲线。 非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力 没有作用在纵向对称面内。
二、梁的计算简图
实际工程当中，梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，
F2
M2
F
Y
F F2 q( x2 a) 0
F2 q(x2 a) F
1 2 M B (F ) Fx2 M 2 2 q(x2 a ) 0
1 M 2 q(x2 a ) 2 Fx2 2
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
第四章
弯曲内力
§4–1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
从一根筷子说起……
F3
A
F4
B
要把这根筷子折断，你会怎么做？
F1 F2
F A B
F A
F B
F A
F
F
F B
q
A
q
B
F
F
F
F
F
F
F F
A
F
q
F
F
B
A
q
B
弯曲： 杆件承受垂直于轴线方向外力的作用，称为弯曲。
弯曲作用下杆件的轴线将变为曲线。 梁： 以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁。
F ( x)
dx
F ( x ) dF ( x )
q( x )
M ( x)
A
M ( x ) dM ( x )
F ( x)
dx
F ( x ) dF ( x )
M
A
0
1 F ( x )dx M ( x ) q( x )( dx ) 2 M ( x ) dM ( x ) 0 2
为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
F
q
M
3. 支座简化
① 固定铰链支座 2个约束分量，1个自由度。
A
FAy
FAx
② 可动铰链支座
1个约束分量，2个自由度。
0.2m
B C
1m
E
1.6m
D
0.2m
FA
F ( x)
80 KN
FB
解： ① 利用对称性求支反力
x
80 KN
0
FA FB 80KN
x
16 KN m 48KN m
② 分段画出剪力图
16 KN m
③ 分段画出弯矩图
M ( x)
dM ( x ) Fs ( x ) dx
几何意义？
b
a
dM ( x) Fs ( x)dx
a
b
M B M A Fs ( x)dx
a
b
B 截面的弯矩和A 截面的弯矩差等于两截面间剪力图的面积。
[例9] 利用荷载集度、剪力和弯矩的微分关系作出梁的剪力图和弯矩图。
q=100KN/m A
ql 2 8
x
③ 根据方程画内力图 弯矩方程
[例3] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。 a 解：① 求支反力
FA Fb Fa , FB l l
F
b
B
A
l
② 列平衡方程求内力
对于左段 （0 x a）
Fb F ( x ) FA l
Fb x l
FA
F(x)
FB
Fb l C
M ( x)
每个轮子对梁的作用力为F。试求梁内的最大弯矩为极大值时 小车的位置，以及此时的极大弯矩值。
F
A C
d
F
B D
解：① 设左轮C最大弯矩为极大值时
FA F (l x) F (l x d ) l F (2l 2 x d ) l
x
FA
l
此时 M C FA x
F (2l 2 x d ) x l
F FA 2
A
FS F FB 2 m M
剪力
x
FA F 2
m
弯矩
F
y
0
M
m
0
FA FS 0
Fs FA F 2
FA x M 0
M FA x Fx 2
F
m A m B
F
m B l-x
M
FS
m
FB
F 2
F
y
0
M
m
0
FS F FB 0
F ( x)dx dM ( x)
dM ( x ) F ( x) dx
弯矩图上某点处的切线斜率 等于该点处剪力的大小。 几何意义？
综上亦可得出：
d 2 M ( x) q( x ) 2 dx
几种常见荷载作用下 剪力图和弯矩图的几何特征
无外力 均布载荷 集中力 集中力偶
外 力
q=0
水平直线
q 解: 先找出关键点的剪力和弯矩：
A
a
F(x)
B
a
C
A点： F qa ; M 0 x B点： F qa;
M qa 2
3 M qa 2 2
qa
qa
3 qa 2 2
C点： F 0;
qa 2
x
M(x)
2、 剪力、弯矩与分布荷载间微分关系的进一步研究
① 若梁在 x=a 和 x=b 处两个横截面A、B之间无集中力作用
FA qx Fx 0 ql qx Fx FA qx 2
x FA x qx Mx 0 剪力方程 2 x qlx qx 2 M x FA x qx 2 2 2
ql A2
FA
F ( x)
FB
q
Mx
x
C
x
ql 2
Fx
FA
+
M ( x)
a
A
Me
b
B
② 列平衡方程求内力
对于左段 （0 x a）
M F ( x) e l
l
l
FA
A F(x)
CM e
l
FB Mx
x
D B
M ( x) M e x
对于右段（a x l）
Me l
x
Fx
M eb Ml
x
FA
M ( x ) M e (l x )
Fs Fs (x)
M M (x)
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图
剪力方程 弯矩方程
Fs Fs (x) 的图形表示
正值画在x轴上侧
弯矩图
M M (x) 的图形表示
正值画在x轴下侧
[例2] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。
解：① 求支反力
ql FA FB 2
q B
A
l
② 列平衡方程求内力
③ 根据方程画内力图
x
M(x)
[例6] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。
q A 解：① 不用求支座反力
l
F(x)
B
x
q
② 列平衡方程求内力
F ( x) qx
Mx
ql
1 2 ql 2
A
x
C
1 M ( x ) qx2 2
③ 根据方程画内力图
Fx
x
M(x)
[例7] 桥式起重机的大梁AB，其跨度为l。梁上小车轮子的轮距为d。
负弯矩 箭头向下
[例1] 求下图所示梁的1截面和2截面处的内力。 x1 x2 1
q
F
2
a
b
解：1截面处截取的隔离体如图：
F
Y
F F1 0
F
A
M1 F1
F1 F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM
A
(F ) Fx1 M1 0
x1
M1 Fx1
2截面处截取的隔离体如图：
F
a
B x2
q
dFs ( x ) q( x ) dx
几何意义？
b
l M F ( x) FB (l x) 0 2
M Fx 2
F m
A
m m m m
B
m
FS FS
m
dx
FS FS
m
M
M M
dx
dx
m
m
M
dx
左端向上 右端向下
正剪力 顺时针
左端向下 右端向上
负剪力 逆时针
向下凹 下部受拉
正弯矩 箭头向上
向上凸 上部受拉
A
Mx Fx Mx
Fab l
+ x
x –
Fa l
对于右段（a x l）
FA
M ( x ) Fa (l x )
l
F ( x) FB
Fa l
D
B
Fx
M(x)
x l-x
③ 根据方程画内力图
FB
[例4] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。
解：① 求支反力
FA Me M , FB e l l
对称弯曲：
纵向对称面
F1 对称轴
q
M
对称轴
对称弯曲：梁的横截面具有对称轴，且梁的所有外力都作用在
纵向对称面内。则梁变形后的轴线一定是一条在该 纵向对称面内的平面曲线。 非对称弯曲：梁不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力 没有作用在纵向对称面内。
二、梁的计算简图
实际工程当中，梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，
F2
M2
F
Y
F F2 q( x2 a) 0
F2 q(x2 a) F
1 2 M B (F ) Fx2 M 2 2 q(x2 a ) 0
1 M 2 q(x2 a ) 2 Fx2 2
二、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
第四章
弯曲内力
§4–1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
从一根筷子说起……
F3
A
F4
B
要把这根筷子折断，你会怎么做？
F1 F2
F A B
F A
F B
F A
F
F
F B
q
A
q
B
F
F
F
F
F
F
F F
A
F
q
F
F
B
A
q
B
弯曲： 杆件承受垂直于轴线方向外力的作用，称为弯曲。
弯曲作用下杆件的轴线将变为曲线。 梁： 以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁。
F ( x)
dx
F ( x ) dF ( x )
q( x )
M ( x)
A
M ( x ) dM ( x )
F ( x)
dx
F ( x ) dF ( x )
M
A
0
1 F ( x )dx M ( x ) q( x )( dx ) 2 M ( x ) dM ( x ) 0 2
为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
F
q
M
3. 支座简化
① 固定铰链支座 2个约束分量，1个自由度。
A
FAy
FAx
② 可动铰链支座
1个约束分量，2个自由度。
0.2m
B C
1m
E
1.6m
D
0.2m
FA
F ( x)
80 KN
FB
解： ① 利用对称性求支反力
x
80 KN
0
FA FB 80KN
x
16 KN m 48KN m
② 分段画出剪力图
16 KN m
③ 分段画出弯矩图
M ( x)
dM ( x ) Fs ( x ) dx
几何意义？
b
a
dM ( x) Fs ( x)dx
a
b
M B M A Fs ( x)dx
a
b
B 截面的弯矩和A 截面的弯矩差等于两截面间剪力图的面积。
[例9] 利用荷载集度、剪力和弯矩的微分关系作出梁的剪力图和弯矩图。
q=100KN/m A
ql 2 8
x
③ 根据方程画内力图 弯矩方程
[例3] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。 a 解：① 求支反力
FA Fb Fa , FB l l
F
b
B
A
l
② 列平衡方程求内力
对于左段 （0 x a）
Fb F ( x ) FA l
Fb x l
FA
F(x)
FB
Fb l C
M ( x)
每个轮子对梁的作用力为F。试求梁内的最大弯矩为极大值时 小车的位置，以及此时的极大弯矩值。
F
A C
d
F
B D
解：① 设左轮C最大弯矩为极大值时
FA F (l x) F (l x d ) l F (2l 2 x d ) l
x
FA
l
此时 M C FA x
F (2l 2 x d ) x l
F FA 2
A
FS F FB 2 m M
剪力
x
FA F 2
m
弯矩
F
y
0
M
m
0
FA FS 0
Fs FA F 2
FA x M 0
M FA x Fx 2
F
m A m B
F
m B l-x
M
FS
m
FB
F 2
F
y
0
M
m
0
FS F FB 0
F ( x)dx dM ( x)
dM ( x ) F ( x) dx
弯矩图上某点处的切线斜率 等于该点处剪力的大小。 几何意义？
综上亦可得出：
d 2 M ( x) q( x ) 2 dx
几种常见荷载作用下 剪力图和弯矩图的几何特征
无外力 均布载荷 集中力 集中力偶
外 力
q=0
水平直线
q 解: 先找出关键点的剪力和弯矩：
A
a
F(x)
B
a
C
A点： F qa ; M 0 x B点： F qa;
M qa 2
3 M qa 2 2
qa
qa
3 qa 2 2
C点： F 0;
qa 2
x
M(x)
2、 剪力、弯矩与分布荷载间微分关系的进一步研究
① 若梁在 x=a 和 x=b 处两个横截面A、B之间无集中力作用
FA qx Fx 0 ql qx Fx FA qx 2
x FA x qx Mx 0 剪力方程 2 x qlx qx 2 M x FA x qx 2 2 2
ql A2
FA
F ( x)
FB
q
Mx
x
C
x
ql 2
Fx
FA
+
M ( x)
a
A
Me
b
B
② 列平衡方程求内力
对于左段 （0 x a）
M F ( x) e l
l
l
FA
A F(x)
CM e
l
FB Mx
x
D B
M ( x) M e x
对于右段（a x l）
Me l
x
Fx
M eb Ml
x
FA
M ( x ) M e (l x )
Fs Fs (x)
M M (x)
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图
剪力方程 弯矩方程
Fs Fs (x) 的图形表示
正值画在x轴上侧
弯矩图
M M (x) 的图形表示
正值画在x轴下侧
[例2] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。
解：① 求支反力
ql FA FB 2
q B
A
l
② 列平衡方程求内力
③ 根据方程画内力图
x
M(x)
[例6] 作出下图梁的剪力图和弯矩图。
q A 解：① 不用求支座反力
l
F(x)
B
x
q
② 列平衡方程求内力
F ( x) qx
Mx
ql
1 2 ql 2
A
x
C
1 M ( x ) qx2 2
③ 根据方程画内力图
Fx
x
M(x)
[例7] 桥式起重机的大梁AB，其跨度为l。梁上小车轮子的轮距为d。
负弯矩 箭头向下
[例1] 求下图所示梁的1截面和2截面处的内力。 x1 x2 1
q
F
2
a
b
解：1截面处截取的隔离体如图：
F
Y
F F1 0
F
A
M1 F1
F1 F
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM
A
(F ) Fx1 M1 0
x1
M1 Fx1
2截面处截取的隔离体如图：
F
a
B x2
q
dFs ( x ) q( x ) dx
几何意义？
b