第一章勾股定理单元检测试题(一)及答案
数学八年级上《第一章勾股定理》单元测试(含答案解析)
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
10.试题分析：根据对称性可知： ， ，又 ，所以 ∽ ，根据相似的性质可得出： ， ，在 中，由勾股定理可求得AC的值， ， ，将这些值代入该式求出BE的值．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．
12.在 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．
13. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．
14. 如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入 填“能”或“不能” ．
15. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长的最小值为______．
整理得： ，
解得： ， 两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为 ．
故选D
根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5. 解： 的面积 ，
由勾股定理得， ，
则 ，
【解答】
解：由图可知，直角三角形的斜边长为即为大正方形的边长，
根据勾股定理可知大正方形的面积为 ， ，即 ， ， 小正方形的面积 大正方形的面积 个直角三角形的面积 ．
八年级上期数学第1章勾股定理单元测试题及答案
八年级上期数学第1章勾股定理单元测试题及答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第1章 勾股定理单元测试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、选择题:（每题4分，共32分）1.三个正方形的面积如图（1），正方形A 的面积为（ ） A. 6 B. 36C. 64D. 82下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）A. 1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,63. 有一三边长分别为m 2-n 2,2mn,m 2+n 2的三角形.则此三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍5.一个三角形的三边长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（ ）A. 4B. 310C. 25D. 5126.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ） A. 50cm B. 100cm C. 140cm D. 80cm7.在△ABC 中，AB=13,AC=15，高AD=12,则BC 的长为（ ）A. 14B. 14或4C. 8D. 4和88．已知Rt △ABC 中，两直角边及斜边长分别为a ，b ，c ，则下列结论恒成立的是( )A ．2ab <c 2B ． 2ab >c 2C ．2ab ≤c 2D ．2ab ≥c 2二、填空题:（每空4分，共28分）1.一个正方形的面积为1，那么以它的对角线为边长的正方形的面积是______.2. 一个三角形的三个内角之比为1：2：3，则此三角形是__________三角形. 2. 三角形的三边满足a 2=b 2+c 2,这个三角形是______三角形，它的最大边是____.3. 一个直角三角形的三边长为三个连续自然数，则它的三边长为____________。
八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷(含答案)
第一章勾股定理单元测试卷一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A.3B.4C.2D.4(第1题) (第4题) (第5题) 2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+15.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，47.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里(第7题) (第9题) (第10题)8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.1011.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米(第11题) (第12题) 12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为.(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为cm.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.参考答案一.选择题（共12小题）1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为（）A.3B.4C.2D.4【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，即可得AD==3.故选A.2.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：6【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选D.3.三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解答】解：∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形.故选：C.http://www、czsx、com、cn4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A.﹣1B.+1C.﹣1D.+1【解答】解：∵∠ADC=2∠B，∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠B=∠DAB，∴DB=DA=5，在Rt△ADC中，DC===1，∴BC=+1.故选D.5.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则BD的长为（）A. B. C. D.【解答】解：△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC==，则××BD=2，解得BD=，故选：A.6.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是（）A.1，1，B.3，4，5C.5，10，13D.2，3，4【解答】解：A、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；B、32+42=52，能构成直角三角形，故此选项正确；C、52+102≠132，不能构成直角三角形，故此选项错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误.故选B.7.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里【解答】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB==40（海里），故选：C.8.△ABC中，边AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.不能确定【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4.∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.综上所述，△ABC的周长是42或32.故选：C.9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，则这个直角三角形的面积为（）A.3B.6C.D.【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，∴AC==3，∴这个直角三角形的面积=AC•BC=3，故选A.10.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是17，小正方形面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A.4B.6C.8D.10【解答】解：根据勾股定理可得a2+b2=17，四个直角三角形的面积是：ab×4=17﹣5=12，即：ab=6.故选：B.11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4、5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1、5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米【解答】解：由题意可知.BE=CD=1、5m，AE=AB﹣BE=4、5﹣1、5=3m，BD=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方，灯刚好打开，故选A.12.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC=8cm，AC=17cm，AB=5cm，BD=10m，则C，D两辆车之间的距离为（）A.5mB.4mC.3mD.2m【解答】解：在RT△AOC中，∵OA2+OC2=AC2，∴OA===15（m），∴OB=0A+AB=20m，在RT△BOD中，∵BD2=OB2+OD2，∴OD===10（m），∴CD=OD﹣OC=2m，故选：D.二.填空题（共5小题）13.如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2.【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴△AOP为等边三角形，∴∠OAP=60°，∴∠∠PBA=30°，∴AP=AB=2；情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=BO，∵∠AOC=120°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴∠OBP=60°，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠BAP=90°时，如图3，∵∠AOC=120°，∴∠AOP=60°，∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2.故答案为：2或2.14.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯 2 米.【解答】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m.又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m.则AA′=8﹣6=2m.15.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm.=24﹣12=12cm.【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm.所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm.故答案是：11cm≤a≤12cm.16.如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为.【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得DD′==3，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′==，∴BD=CD′=，故答案为：.17.如果矩形的周长是14cm，相邻两边长之比为3：4，那么对角线长为 5 cm. 【解答】解：设矩形的相邻两边的长度分别为3acm，4acm，由题意3a+4a=7，a=1，所以矩形的相邻两边分别为3cm，4cm，所以对角线长==5cm，故答案为5.三.解答题（共5小题）18.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′==15（米），则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.19.在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=求：（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，BC=3，DB=，根据勾股定理得：CD==，在Rt△ACD中，AC=4，CD=，根据勾股定理得：AD==；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=+=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.20.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，求线段AE的长.【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，AC⊥DE，∴∠B=∠ACD=∠ADE=90°，∵AB=BC=CD=DE=1，∴在Rt△ACB中，AC═==，∴在Rt△ACD中，AD===，在Rt△ADE中，AE===2.21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，连接CE.求证：BE2=AC2+AE2.【解答】证明：∵如图，边BC的垂直平分线DE交AB于点E，∴CE=BE.∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴由勾股定理得到：CE2=AC2+AE2∴BE2=AC2+AE2.22.（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系.（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S 2，S3表示，确定它们的关系并证明.【解答】解：（1）S2+S3=S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（2）∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.（3）∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S2+S3=S1.。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理测试题(含答案)
八年级上北师大版第一章勾股定理测试题（一）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）.（A ）9，12，15 （B ）12，16，20 （C ）16，30，32 （D ）9，40，412. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）.（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）123. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中△ABE 的面积为（ ）. （A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）29 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（ ）.（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）85. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ）.（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）1360 7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为 （ ）.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 （ ）.（A ）6秒 （B ）5秒 （C ）4秒 （D ）3秒9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2)(b a + 的值为 （ ）. （A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）110. 如图5所示，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE=12，BF=16，则由点E 到F 的最短距离为 （ ）.（A ）20 （B ）24 （C ）28 （D ）32二、填空题（每小题3分，共30分）11. 写出两组直角三角形的三边长.（要求都是勾股数）12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为.（2）斜边x=.13. 如图7，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．14. 四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形.15. 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为．三、简答题（50分）16.（8分）如图9，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积.17.（8分）如图10，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.（1）在方格纸上，以线段AB 为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法.（2）你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗？18.（8分）如图12，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米？21.（8分）如图14，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米.（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？一、选择题1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.C9.A 10.A二、填空题11.略 12.（1）36，（2）13 13. 2π 14. 1 15. 3三、简答题16. 在Rt △ABC 中，AC=54322=+. 又因为22213125=+，即222CD AC AD =+.所以∠DAC=90°.所以125214321⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ABC Rt ACD Rt ABCD S S S 四边形=6+30=36. 17.略18. 如图12，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可知，BC=30004000500022=-（米）.3000÷20=150米/秒=540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.20. （1）10；（2）4条21. （1）7米；（2）不是.设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，得方程，2)422=x，解得x=15，所以梯子向后滑动了8米.-24(25-。
勾股定理单元测试卷(含答案)
勾股定理单元测试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形2. 勾股定理中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，斜边被称为：A. 勾B. 股C. 斜边D. 高3. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 勾股定理的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 哥白尼A. a² + b² = c²B. c² = a² + b²C. a² b² = c²D. c² a² = b²二、填空题（每题2分，共10分）6. 勾股定理的公式是：__________。
7. 在直角三角形中，若直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是__________。
8. 勾股定理在中国被称为__________。
9. 勾股定理的发现时间大约在公元前__________年。
10. 勾股定理的发现者毕达哥拉斯是__________国人。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两个直角边长度分别为8和15，求斜边的长度。
12. 在直角三角形中，若斜边的长度为17，且一个直角边的长度为8，求另一个直角边的长度。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，请简述其中一种证明方法。
14. 请举例说明勾股定理在实际生活中的应用。
答案部分一、选择题答案1. B2. C3. A4. A5. C二、填空题答案6. a² + b² = c²7. 138. 勾三股四弦五9. 50010. 希腊三、解答题答案11. 斜边长度为17。
12. 另一个直角边的长度为15。
13. 勾股定理的证明方法有很多种，其中一种是通过面积证明。
将直角三角形分为两个小直角三角形和一个矩形，分别计算它们的面积，然后通过面积关系推导出勾股定理。
第一章 勾股定理单元测试卷（含答案与解析）
【新北师大版八年级数学（上）单元测试卷】第一章《勾股定理》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或1002.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形 B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形 D．三个角度之比为1：1：2的三角形3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为204.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：256.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．5111.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．含答案与解析一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或100【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2，解得：x2=100；（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x2=28．故选：D．2.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形【分析】A、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故为直角三角形；B、32+42=52，故为直角三角形；C、82+162≠172，故不为直角三角形；D、最大角=180°×=90°，故为直角三角形．故选：C．3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：25【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；D、因为72+242=252，所以能组成直角三角形，故选项正确；故选D．6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB=1000米．故选C．7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18．故选A．9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．以上关系都有可能【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系．【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，∠C是直角，则有a2+b2=c2；∠A是直角，则有b2+c2=a2．故选：D．10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．51【分析】根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．【解答】解：∵ =15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．11.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故选B．12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．【分析】（1）由勾股定理可求出正方形A的边长的平方，而正方形的面积=边长×边长，正好为所求出的值．（2）由勾股定理可得：斜边的平方=两直角边的平方和，将两直角边代入即可求出x的值．【解答】解：（1）设A的边长为a，如图（1）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：所以正方形A的面积为a2=36．（2）如图（2）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：x2=52+122，所以，斜边x=13．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．【分析】要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．【解答】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= 24 ．【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，故（14﹣b）2+b2=102，解得：b1=6，b2=8，则a1=8，a2=6，即S△ABC=ab=×6×8=24．故答案为：24．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC 的周长；（2）根据勾股定理的逆定理，看△ABC的三边是否符合勾股定理，即可判断出△ABC是否是直角三角形．【解答】解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，又AD=12，BD=16，CD=5，∴AB=20，AC=13，△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．（2）∵AB=20，AC=13，BC=21，AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN=m，∴BC2=1，NC2=，BN2=，∴BC2+NC2=BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，∴MA=7.5 m．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2∴x2+52=（x+1）2解得x=12∴AB=12∴旗杆的高12m．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．【解答】解：由图可得：正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）【分析】从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，再由勾股定理进行解答即可．【解答】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，则AC=2πr≈2×3×4=24（cm），则E′B=E′D′=AC=×24=12（cm）．又∵EA=8cm，EE′=3cm，∴AE′=EA﹣EE′=8﹣3=5（cm）．在Rt△ABE′中，AB2=AE′2+E′B2=52+122=132，∴AB=13（cm），∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，即16+x2=64﹣16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，故EC的长为3cm．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 勾股定理单元测试(含答案)
第一章勾股定理一、选择题1. 若a，b，c为△ABC的三边长，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是( )A．a=1.5，b=2，c=2.5B．a:b:c=3:4:5C．∠A+∠B=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52. 在Rt△ABC中，若∠C=90∘，AC=3，BC=4，则点C到直线AB的距离为( )A．3B．4C．5D．2.43. 如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，且AB=BC=2，CD=3，DA=1，则∠DAB的度数为( )A．90∘B．120∘C．135∘D．150∘4. 如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( )A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )A．47B．13C．11D．86. 如图，将一根长度为8 cm，自然伸直的弹性皮筋AB两端固定在水平的桌面上，然后把皮筋中点C竖直向上拉升3 cm到点D，则此时该弹性皮筋被拉长了( )A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．2 cm7. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90∘，并测得BC长为16 m，若已知AC比AB长8 m，则A点和B点之间的距离为( )A．25 m B．12 m C．13 m D．43 m8. 如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．207二、填空题9. 在△ABC中，∠C=90∘．（1）已知a=10，b=24，那么c=．（2）已知b:c=4:5，a=9，那么b=，c=．10. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB等于．11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．12. 如图，一个长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则它上下两底面的对角线MN的长为cm．13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则可以判断△ABC的形状为．14. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=∘（点A，B，P是网格线的交点）．15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2=．三、解答题16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘．(1) 已知a=8，c=17，求b．(2) 已知b=40，c=41，求a．17. 如图，在四边形ABCD中，∠DBC=90∘，AB=9，AD=12，BC=8，DC=17，求四边形ABCD的面积．18. 如图，滑竿在机械槽内运动，∠C=90∘，AB=2.5 m，BC=1.5 m，当底端B向右移动0.5 m时，顶端A下滑了多少米？19. 假期中，王强和同学到某海岛上去旅游．他们按照如图所示路线．在点A登陆后租借了自行车，骑车往东走8千米，又往北走2千米；遇到障碍后往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，走了1千米到达景点B．登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？20. 若正整数a，b，c（a<b<c）满足a2+b2=c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯⋯第二类（a是偶数）：(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26)，⋯⋯(1) 请再写出两组勾股数，每类各写一组；(2) 分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾股数”．答案一、选择题1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. D二、填空题9. 26；12；1510. 1011. x2+62=(10−x)212. 1313. 直角三角形14. 4515. 20三、解答题16.(1) 15．(2) 9．17. ∵∠DBC=90∘，DC=17，BC=8，∴BD2=CD2−BC2=172−82=225=152，∴BD=15．∵AD2+AB2=122+92=144+81=225，BD 2=225， ∴AD 2+AB 2=BD 2，∴△ABD 是直角三角形，且 ∠A =90∘，∴ 四边形 ABCD 的面积 =△ABD 的面积 +∠CBD 的面积 =12×9×12+12×15×8=54+60=114．18. 依题意得 AB =DE =2.5 m ，BC =1.5 m ，∠C =90∘，∴AC 2+BC 2=AB 2，即 AC 2+1.52=2.52，解得 AC =2 m ． ∵BD =0.5 m ， ∴CD =2 m ．在 Rt △ECD 中，CE 2+CD 2=DE 2， ∴CE =1.5 m ， ∴AE =0.5 m ．答：顶端 A 下滑了 0.5 m ．19. 10 千米．20.(1) 第一组（a 是奇数）：9,40,41（答案不唯一）；第二组（a 是偶数）：12,35,37（答案不唯一）．(2) 当 a 为奇数时，b =a 2−12，c =a 2+12；当 a 为偶数时，b =a 24−1，c =a 24+1．证明：当 a 为奇数时，a 2+b 2=a 2+(a 2−12)2=(a 2+12)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．当 a 为偶数时，a 2+b 2=a 2+(a 24−1)2=(a 24+1)2=c 2，∴(a,b,c ) 是“勾股数”．。
八年级数学(上)第一章《勾股定理》测试题及答案
八年级数学(上)第一章《勾股定理》测试题及答案选择题
1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）
A.4
B.8
C.10
D.12
2.小丰的妈妈买了一部29英寸(74m)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是()
A.小丰认为指的是屏幕的长度
B.小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度
C.小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长
D.售货员认为指的是屏幕对角线的长度
3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D. 等腰三角形
4.一直角三角形的一条直角边长是 7cm，另一条直角边与斜边长的和是 49cm，则斜边的长()
A.18cm
B.20 cm
C.24 cm
D.25cm
填空题
1. 小华和小红都从同一点0出发，小华向北走了9米到 A 点，小红向东走了12米到了B点，则AB=_____米。
2.一个三角形三边满足(a+b)2-c2=2ab，则这个三角形是_____三角形。
3.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为 60cm，宽为
32cm，对角线为 68cm,这个桌面______(填“合格”或“不合格”)。
4.直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为_______。
参考答案：
选择题：CDCD
填空题：1.15；2.直角；3.合格；4.30。
第一章 勾股定理检测题(含答案)
第一章 勾股定理检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法中正确的是（ ）A.已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在Rt△ABC 中，△C ＝90°，所以222c b a =+D.在Rt△ABC 中，△B ＝90°，所以222c b a =+2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍3.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，则该三角形为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4.如图，已知正方形B 的面积为144，如果正方形C 的面积为169，那么正方形A 的面积为（ ）A.313B.144C.169D.255.如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，若AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，则Rt△ABC 斜边上的高CD 的长为（ ）A.6 cmB.8.5 cmC.1360cmD.1330cm 6.分别满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1︰2︰3B.三边长的平方之比为1︰2︰3C.三边长之比为3︰4︰5D.三内角之比为3︰4︰57.如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝40，BC ＝9，点M,N 在AB 上，且AM ＝AC,BN ＝BC ，则MN 的长为（ ）A.6B.7C.8D.98.如图，一圆柱高8 cm ，底面半径为π6cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm9.如果一个三角形的三边长a,b,c 满足a 2＋b 2＋c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△A,△B,△C 所对的边分别为a ，b ，c,已知a△b ＝3△4，c ＝10，则△ABC 的面积为（ ）A ．24B ．12C ．28D ．30二、填空题（每小题3分，共24分）11.现有两根木棒的长度分别是40 cm和50 cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为________.12.在△ABC中，AB＝AC＝17 cm，BC＝16 cm，AD⊥BC于点D，则AD＝_______.13.在△ABC中，若三边长分别为9，12，15，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为________.14.如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m，长13 m，宽2 m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要________元钱.第15题图15.如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH 等于.16.（2015·湖北黄冈中考）在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为cm2.17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2.18.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草.三、解答题（共46分）19.（6分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解．．．．．．．．．．．．．．答过程．．．．20.（6分）如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出△ACB=90°，AB＝5 km，BC＝4 km，若每天凿隧道0.2 km，问几天才能把隧道AC凿通？21.（6分）若三角形的三个内角的比是1︰2︰3，最短边长为1，最长边长为2.求：（1）这个三角形各内角的度数；（2）另外一条边长的平方.22.（7分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？23.（7分）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22＋132＋142＋152＋1…（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝__________，b＝__________，c＝__________.（2）以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？为什么？24.（7分）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm.求：（1）FC的长；（2）EF的长.25.（7分）如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2AB BB '==，AD ＝3，一只蚂蚁从A 点出发，沿长方体表面爬到C '点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？第一章 勾股定理检测题参考答案1.Ｃ 解析：A.不确定三角形是不是直角三角形，故A 选项错误；B.不确定第三边是不是斜边，故B 选项错误；C.△C=90°，所以其对边为斜边，故C 选项正确；D.△B=90°时，有b 2＝a 2＋c 2，所以a 2＋b 2＝c 2不成立，故D 选项错误.2.B 解析：设原直角三角形的两直角边长分别是a ，b ，斜边长是c ，则a 2＋b 2＝c 2，则扩大后的直角三角形两直角边长的平方和为()()222224422a b c a b （），+=+=斜边长的平方为()2242c c =，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.3.B 解析：在△ABC 中，由AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，可推出AB 2＋AC 2＝BC 2.由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B ．4.D 解析：设三个正方形A ，B ，C 的边长依次为a ，b ，c ，因为三个正方形的边组成一个直角三角形，所以a 2＋b 2＝c 2，故S A ＋S B ＝S C ，即S A ＝169－144＝25.5.C 解析：由勾股定理可知22222512169AB AC BC =+=+=，所以AB=13 cm,再由三角形的面积公式，有1122AC BC AB CD ⋅=⋅，得60cm 13AC BC CD AB ⋅==（）. 6.D 解析：在A 选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B ，C 选项中，都符合勾股定理的条件，所以A ，B ，C 选项中的三角形都是直角三角形.在D 选项中，求出三角形的三个内角分别是45°，60°，75°，所以不是直角三角形，故选D ．7.C 解析：在Rt △ABC 中，AC ＝40，BC ＝9，由勾股定理得AB ＝41.因为BN=BC ＝9，AM =AC =40，所以MN =AM +BN -AB =40+9-41=8.8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，△ B 为CE 的中点，则AB 就是蚂蚁爬行的最短路径.△ CE =2πr =2×π6×π=12（cm ）， △ CB =12÷2=6（cm ）．△ AC =8 cm ，△ 22222=68AB CB AC +=+=100（cm ），△ AB= 10 cm,即蚂蚁要爬行的最短路程是10 cm ．9.B 解析：由a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ，整理，得a 2-10a +25+b 2-24b +144+c 2-26c +169 =0，即(a -5)2+(b -12)2+(c -13)2=0，所以a =5，b =12，c =13，符合a 2+b 2=c 2，所以这个三角形一定是直角三角形.10.Ａ 解析：因为a△b ＝3△4，所以设a ＝3k ，b ＝4k （k ＞0）.在Rt△ABC 中，△C ＝90°,由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2.因为c ＝10，所以9k 2＋16k 2＝100，解得k ＝2，所以a ＝6，b ＝8，所以S △ABC ＝12ab ＝12×6×8＝24.故选A.11.30 cm 解析：当50 cm 长的木棒构成直角三角形的斜边时，设最短的木棒长为x cm （x ＞0），由勾股定理，得2224050x +=,解得x=30.12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线互相重合，∴ 1.2BD BC = ∵ BC ＝16，∴ 11168.22BD BC ==⨯= ∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB=90°.在Rt △ADB 中，∵ AB ＝AC ＝17，由勾股定理，得22222178225AD AB BD =-=-=.∴ AD=15 cm ． 13.108 解析：因为 92+122=152，所以△ABC 是直角三角形，且两条直角边长分别为9，12，则用两个这样的三角形拼成的长方形的面积为9×12=108. 14.612 解析：由勾股定理，得楼梯的底面至楼梯的最高层的水平距离为12 ｍ,所以楼道上铺地毯的长度为5＋12＝17（ｍ）.因为楼梯宽为2 ｍ,地毯每平方米18元，所以铺完这个楼道需要的钱数为18×17×2＝612（元）.15.6 解析：△ △ABH△△BCG△△CDF△△DAE ，△ AH ＝DE.又△ 四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，△ AD=AB=10，HE=EF=2，且AE△DE.△ 在Rt△ADE 中，AE 2+DE 2=AD 2，△ (AH +EF)2+AH 2=AD 2，△ (AH +2)2+AH 2=102，△ AH=6或AH= - 8（不合题意,舍去）.16.126或66 解析：本题分两种情况．（1）如图（1），在锐角△ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高AD=12，第16题答图（1）在Rt△ABD 中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=132-122=25，△ BD=5.在Rt△ACD 中，AC=20，AD=12，由勾股定理，得CD 2=AC 2-AD 2=202-122=256，△ CD=16，△ BC 的长为BD+DC=5+16=21，△ABC 的面积=12·BC·AD=12×21×12=126.（2）如图（2），在钝角△ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高AD=12，第16题答图（2）在Rt△ABD 中，AB=13，AD=12，由勾股定理，得BD 2=AB 2-AD 2=132-122=25，△ BD=5.在Rt△ACD 中，AC=20，AD=12，由勾股定理，得CD 2=AC 2-AD 2=202-122=256，△ CD=16.△ BC=DC -BD=16-5=11.△ABC 的面积=12·BC·AD=12×11×12=66.综上，△ABC 的面积是126或66.17.49 解析：正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是最大的正方形的面积，即49 cm 2．18.4 解析：在Rt△ABC 中，△C=90°，由勾股定理，得AB 2=BC 2+AC 2224325=+=，所以AB=5.他们仅仅少走了2×（3+4-5）=4（步）．19.解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设，△ ．由勾股定理，得，，△ ，解得．△ ．△ ．20.解：在Rt△ABC 中，由勾股定理，得222AB AC BC =+，即22254AC =+，解得AC=3,或AC=－3（舍去）.因为每天凿隧道0.2 km ，所以凿隧道用的时间为3÷0.2＝15（天）．答：15天才能把隧道AC 凿通.21.解：（1）因为三个内角的比是1︰2︰3，所以设三个内角的度数分别为k ，2k ，3k （k≠0）.由k ＋2k ＋3k ＝180°，得k ＝30°，所以三个内角的度数分别为30°，60°，90°.（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2. 设另外一条直角边长为x ，则22212x +=，即2=3x .所以另外一条边长的平方为3.22.分析：旗杆折断的部分、未折断的部分和折断后原旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．解：设旗杆未折断部分的长为x m ，则折断部分的长为（16－x ）m ， 根据勾股定理,得x 2+82=(16-x )2，解得x =6，即旗杆在离底部6 m 处断裂．23.分析：从表中的数据找到规律．BD x =14CD x =-2222215AD AB BD x =-=-2222213(14)AD AC CD x =-=--2215x -=2213(14)x --9x =12AD =12ABC S BC AD ∆=11412842=⨯⨯=第19题答图解：（1）n 2－1 2n n 2＋1（2）以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形．理由如下：△ a 2＋b 2＝（n 2－1）2＋4n 2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝n 4＋2n 2＋1＝（n 2＋1）2＝c 2，△ 以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形．24.分析：（1）因为将△ADE 翻折得到△AFE ，所以AF =AD ，则在Rt △ABF 中，可求得BF 的长，从而FC 的长可求；（2）由于EF =DE ，可设EF 的长为x ，在Rt △EFC 中，利用勾股定理解直角三角形即可．解：（1）由题意,得AF ＝AD ＝BC ＝10 cm ，在Rt △ABF 中，△B ＝90°，∵ AB =8 cm ，∴ 2222210836BF AF AB =-=-=,BF=6 cm ,∴ FC =BC -BF =10-6=4（cm ）．（2）由题意,得EF =DE ，设DE 的长为x ，则EC =8-x .在Rt △EFC 中，△C ＝90°，由勾股定理,得222+EC FC EF =，即(8-x )2+42=x 2，解得x =5，即EF 的长为5 cm ．25.分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：蚂蚁沿如图（1）所示的路线爬行时，长方形ACC 'A '长为AD +DC =5，宽为AA '=2，连接AC '，则构成直角三角形.由勾股定理,得222225229AC AC CC ''=+=+=.蚂蚁沿如图（2）所示的路线爬行时，长方形ADC 'B '长为DD'+D'C'=4，宽为AD =3，连接AC '，则构成直角三角形.由勾股定理,得22222=+3425AC AD DC ''=+=,AC'=5. 蚂蚁沿如图（3）所示的路线爬行时，长方形ABC D ''长为=5BB B C '''+，宽为AB=2，连接AC '，则构成直角三角形. 由勾股定理，得22222=+=25=29.AC AB BC ''+ △ 蚂蚁从A 点出发穿过A'D'到达C '点时路程最短,最短路程是5．。
北师大数学八年级上册第1章《勾股定理》单元测试卷含答案解析
2018-20佃学年度北师大版数学八年级上册第1章《勾股定理》单元测试卷考试范围：第1章《勾股定理》；考试时间：100分钟；满分：120分题号-一一 二二二 -三总分得分第I 卷（选择题）评卷人得分一 •选择题（共10小题30分）1 •以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ A. 2, 3, 4 B. 6, 8, 10 C . 5, 8, 13 D. 12, 13, 142•用四个边长均为a b 、c 的直角三角板，拼成如图中所示的图形，贝U 下列结3.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有 若勾 三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成 的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，/BAC=90, AB=6, AC=8,点D , E , F , G , H , I 都是矩形KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为（）D . c= (a+b ) c 2=a 2 - 2ab+b 2JA. 360B. 400C. 440D. 4844 •如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME〜7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OAl=A l A2=A2A3=・・=AA8=1 , 如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA i, OA2,…OA5这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）圏甲圏匕A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列说法中正确的是（）A. 已知a, b, c是三角形的三边，则a2+b2=c2B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C. 在RgABC中，/ C=90°,所以a2+b2=c?D. 在Rt A ABC中，/ B=90°,所以a2+b2=c?6. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1,则点A到边BC 的距离为（）D. 3 77. 满足下列条件的△ ABC,不是直角三角形的是（）A. b2- c?=a2B. a：b: c=3: 4: 5C.Z C=Z A-Z BD.Z A:/ B:Z C=9: 12: 158 •某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）•已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（）A.锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D•不能确定9 •长方形门框ABCD中, AB=2m, AD=1.5m.现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：①长1.4m,宽1.2m;②长2.1m，宽1.7m;③长2.7m，宽2.1m;④长3m，宽2.6m•其中不能从门框内通过的木板有（）A. 0块B. 1块C. 2块D. 3块10.如图铁路上A，B两点相距40千米，C, D为两村庄，DA丄AB，CB丄AB,垂足分别为A和B, DA=24千米，CB=16千米.现在要在铁路旁修建一个煤栈E, 使得C, D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A一■■CA. 20千米B. 16千米C. 12千米D.无法确定第U卷（非选择题）.填空题（共10小题30 分）11 •已知直角三角形的三边分别为6 8、x,则x __________ .12•如图，矩形ABCD中，AB=8, BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处, 则重叠部分△ AFC的面积为___________ .D113. 如图，在△ ABC中，/ C=90°, AC=2,点D 在BC上，/ ADC=2Z B, AD=孑, 则BC的长为 ______ .14. 观察下列式子：当n=2 时，a=2X 2=4, b=22- 1=3, c=22+1=5n=3 时，a=2x 3=6, b=32- 1=8, c=32+1=10n=4 时，a=2x 4=8, b=42-仁15, c=4^+1=17…根据上述发现的规律，用含n (n》2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a= ______ , b= ______ , c= _____ .15. _____________________________________________________________ 三角形的三边长a,b,c满足2ab=( a+b)2- c2,则此三角形的形状是_____________ 三角形.16. 已知一个三角形的三条边的长分别为=「和•—，那么这个三角形的最大内角的大小为______ 度.17. 如图，在四边形ABCD中，/ C=90°, AB=12cm, BC=3cm CD=4cm AD=13cm.求四边形ABCD的面积= _____ cm2.18. 如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为________ 米（精确到0.1m）.19. 上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C,测得/ BAC=60,点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是_______ 海里.20. ________ 如图是一段楼梯，/ A=30。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元检测题含答案
第一章 勾股定理 单元检测题(满分：120分 时间：120分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线为4，它的腰长为( )A ．7B ．6C ．5D ．42．一直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边的长的平方为( )A ．25B ．7C ．5D ．25或73．在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，则△ABC 的面积为( )A ．180B ．90C ．54D ．1084．如图所示，AB ⊥CD 于点B ，△ABD 和△BCE 都是等腰三角形，如果CD ＝17，BE ＝5，那么AC 的长为( )A ．12B ．7C ．5D ．13,第4题图 ,第8题图),第10题图)5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离为( )A .365B .1225C .94D .3346．如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＋338＝10a ＋24b ＋26c ，则这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7．一架2.5米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底部在水平方向上滑动( )A ．0.9米B ．0.8米C ．0.5米D ．0.4米 8．如图所示，圆柱高8 cm ，底面圆的半径为6πcm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃蜂蜜，则要爬行的最短路程是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定9．在△ABC 中，若AC ＝15，BC ＝13，AB 边上的高CD ＝12，那么△ABC 的周长为( )A ．32B ．42C ．32或42D ．以上都不对10．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处，若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( )A .32B ．3C ．1D .43二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为___.,第11题图),第15题图),第16题图),第17题图)12．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，a＋b＋c是3的倍数，则c应为___，此三角形为____三角形．13．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是____米．14．小雨用竹竿扎了一个长80 cm，宽60 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉竿将四边形定形，则斜拉竿的长是____ cm.15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AF＝3，AB＝5，则四边形EFGH的面积是____.16．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是____. 17．如图有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点(C 点在一条棱上，距离顶点B 3 cm处)，需爬行的最短路程是___cm.18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则C′D的长为___.三、解答题(共66分)19．(9分)如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC是什么形状，并说明理由．20．(9分)如图，AF⊥DE于F，且DF＝15 cm，EF＝6 cm，AE＝10 cm.求正方形ABCD的面积．21．(9分)一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A点处，升起云梯到发火的窗口点C.已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米，问发生火灾的窗口距地面有多少米？22．(9分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D 点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．23．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．(10分) 如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，求证∠PQC＝90°.25．(10分)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80 m，现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？答案：一、选择题(每小题3分，共30分)1—5 CDCDA 6—10 BBBCA 二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为__5__.,第11题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第17题图)12．△ABC 的两边分别为5，12，另一边c 为奇数，a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为__13__，此三角形为__直角__三角形．13．小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是__170__米．14．小雨用竹竿扎了一个长80 cm ，宽60 cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉竿将四边形定形，则斜拉竿的长是__100__ cm . 15．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AF ＝3，AB ＝5，则四边形EFGH 的面积是__1__.16．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是__245__.17．如图有一个棱长为9 cm 的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A 爬到C 点(C 点在一条棱上，距离顶点B 3 cm 处)，需爬行的最短路程是__15__cm .18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则C ′D 的长为__3__.三、解答题(共66分)19．(9分)如图，正方形网格中有△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识解答下列问题：(1)求△ABC 的面积；(2)判断△ABC 是什么形状，并说明理由．解：(1)用正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC 的面积．S △ABC ＝4×4－1×2×12－4×3×12－2×4×12＝16－1－6－4＝5，∴△ABC 的面积为5(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：∵AB 2＝12＋22＝5，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝32＋42＝25，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形20．(9分)如图，AF ⊥DE 于F ，且DF ＝15 cm ，EF ＝6 cm ，AE ＝10 cm .求正方形ABCD 的面积．解：在Rt △AEF 中，AF 2＝AE 2－EF 2＝64，在Rt △AFD 中，AD 2＝AF 2＋DF 2＝289，所以正方形ABCD 的面积是28921．(9分)一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的A 点处，升起云梯到发火的窗口点C.已知云梯BC 长15米，云梯底部B 距地面A 为2.2米，问发生火灾的窗口距地面有多少米？解：在Rt △BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝152－92＝144，所以CD ＝12米，即火灾的窗口距地面有12＋2.2＝14.2米22．(9分)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．解：连接BD，证△BDE≌△CDF，得BE＝FC，∴AB＝7，BF＝4，在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2＝25，即EF＝523．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，时间相同．即BC＝CA，设AC＝x，则OC＝45－x，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝BC2，即152＋(45－x)2＝x2，解得：x＝25.所以机器人行走的路程BC是25 cm24．(10分) 如图，已知∠MBN＝60°，在BM，BN上分别截取BA＝BC，P是∠MBN内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连接PQ，求证∠PQC＝90°.解：(1)AP＝CQ.∵∠ABP＋∠PBC＝60°，∠QBC＋∠PBC＝60°，∴∠ABP＝∠QBC，又∵AB＝BC，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ，AP＝CQ(2)设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，连接PQ，在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°，∴△PBQ为等边三角形，∴PQ＝4a，在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2，∴△PQC为直角三角形，即∠PQC＝90°25．(10分)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80 m，现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？解：设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时，结束了噪声的影响，则有CA＝DA＝100 m，在Rt△ABC中，CB2＝1002－802＝602，∴CB＝60 (m)，∴CD＝2CB＝120 m．∵18 km/h＝5 m/s，∴该校受影响的时间为120÷5＝24 (s)．即该校受影响的时间为24 s。
北师大版八年级上册《第一章勾股定理》单元测试(含答案)
八年级数学勾股定理单元测试（时间： 100 分钟总分： 120 分）班级学号姓名得分一、相信你必定能选对！（每题 4 分，共 32 分）1. 三角形的三边长分别为6, 8, 10，它的最短边上的高为 ( )A . 6 B. C. D. 82. 下边几组数 : ① 7, 8, 9；② 12, 9, 15；③ m2 + n2, m2– n2, 2 mn（ m， n 均为正整数 , m n）；④ a 2, a 2 1, a2 2 .此中能构成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a、 b、 c，由以下条件不可以判断它是直角三角形的是（）A ．a: b: c=8∶16∶ 17B ． a2- b2 =c2C．a2=(b+c)(b-c)b) 2 c 2 D ． a: b: c =13∶ 5∶ 124. 三角形的三边长为(a 2ab ,则这个三角形是( )A . 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 .5．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（）A ．5 B．25 C．7 D．5或76．已知 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt △ABC 的面积是（）A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm2D. 60cm27．直角三角形中向来角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121 B．120 C． 90 D．不可以确立8.下学此后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 米 / 分，小红用15 分钟到家，小颖20 分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A ．600 米 B. 800 米 C. 1000 米 D. 不可以确立二、你能填得又快又对吗？（每题 4 分，共 32 分）9. 在△ ABC 中，∠ C=90°， AB ＝ 5，则AB2 + AC2 +BC2 =_______ ．10. 如图，是 2002 年 8 月北京第 24 届国际数学家大会会标，由 4 个全等的直角三角形拼合而成 . 假如图中大、小正方形的面积分别为52 和 4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．60A0 B21 C 06140第 10 题图第 13 题图第14题图第15题图11．直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_______．12．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．13．如图，一根树在离地面9 米处断裂，树的顶部落在离底部12 米处．树折断以前有 ______米.14．如下图，是一个外轮廓为矩形的机器部件平面表示图，依据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．15．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2 米，梯子的顶端 B 到地面的距离为7 米．现将梯子的底端 A 向外挪动到 A ’，使梯子的底端 A ’到墙根O 的距离等于 3 米，同时梯子的顶端 B 降落至 B ’，那么 BB ’的值：①等于1米；②大于1 米 5；③小于 1 米. 此中正确结论的序号是．16. 小刚准备丈量河水的深度, 他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底 , 竹竿超出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边, 竿顶和岸边的水面恰好相齐, 河水的深度为.三、仔细解答，必定要仔细哟！（共 72 分）17．（ 5 分）右图是由16 个边长为 1 的小正方形拼成的，随意连结这些小正方形的若干个极点，可获得一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．18．（ 6 分）已知 a、b、c 是三角形的三边长，a＝ 2n2＋ 2n，b＝ 2n＋ 1， c＝ 2n2＋ 2n＋1（n 为大于 1 的自然数） , 试说明△ ABC 为直角三角形 .19．（ 6 分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高 1 米，当他把竿斜着时，两头恰好顶着城门的对角，问竿长多少米？20. （ 6 分）如下图 , 某人到岛上去探宝，从 A 处登岸后先往东走4km ，又往北走 1.5km ，遇到阻碍后又往西走 2km ，再折回向北走到 4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏。
第一章 勾股定理单元测试题(1)（含答案）
参考答案1. C2. C3. C4. D5. D6. B7. B8. D9. A 10. C11. 5 12. 96 13. 365 14. 100 15. 1 16. 245 17. 15 18. 20013 19. 解：连接BD ，∵△ABC 是等腰三角形，∴AB =BC ，∵D 为AC 边上的中点，过D 点作DE ⊥DF ，∴BD =CD ，∠ABD =∠C ，又∵∠EDF =∠EDB ＋∠BDF =90°，∠BDC =∠BDF ＋∠FDC =90°，∴△BDE ≌△CDF ，得BE ＝FC ，∴AB ＝7，BF ＝4，在Rt △BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝25，即EF ＝5.20. 解：(1)由题意得a －5＝0，b －12＝0，c －13＝0，所以a ＝5，b ＝12，c ＝13.(2)△ABC 是直角三角形，理由：因为a 2＋b 2＝52＋122＝25＋144＝169，c 2＝132＝169，所以a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形． 21. 解：(1)用正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC 的面积．S △ABC ＝4×4－1×2×12－4×3×12－2×4×12＝16－1－6－4＝5，∴△ABC 的面积为5. (2)△ABC 是直角三角形．理由如下：∵AB 2＝12＋22＝5，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝32＋42＝25，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴△ABC 是直角三角形.22. 解：设CD 为x .在直角三角形ABC 中，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm. 由勾股定理得：AB 2＝BC 2＋AC 2＝100. 所以AB ＝10 cm. 由折叠可知：CD ＝DE ，∠DEA ＝∠C ＝90°，AE ＝AC ＝6，所以∠BED ＝90°，BE ＝4. 在直角三角形BDE 中，由勾股定理得：x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3. 所以CD 的长为3 cm.23. 解：连接AC .在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝20，BC ＝15，由勾股定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2＝202＋152＝625. 在△ADC 中，∠D ＝90°，CD ＝7，由勾股定理得：AD 2＝AC 2－CD 2＝625－72＝576，AD＝24. 所以四边形的面积为12AB ·BC ＋12CD ·AD ＝234(m 2). 234×1000＝234000(元)．答：学校征收这块地需要234000元．24. 解：设MN 与AC 相交于点E ，则∠BEC ＝90°. 因为AB 2＋BC 2＝52＋122＝132＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°. 由于MN ⊥CE ，所以走私艇C 进入我国领海的最近的距离是CE . 因为12AB ·BC ＝12AC ·BE ＝S △ABC ，所以BE ＝6013. 由勾股定理得CE 2＋BE 2＝BC 2，解得CE ＝14413. 14413÷13＝144169≈0.85(h)＝51(min). 9时50分＋51分＝10时41分，即走私艇C 最早会在10时41分进入我国领海．25. 解：(1)AP ＝CQ.∵∠ABP ＋∠PBC ＝60°，∠QBC ＋∠PBC ＝60°，∴∠ABP ＝∠QBC ，又∵AB ＝BC ，BP ＝BQ ，∴△ABP ≌△CBQ ，AP ＝CQ.。
第一章 勾股定理单元测试题(1)（含答案）
参考答案1. B 【解析】当12是斜边时，第三边是22125=119；当12是直角边时，第三边是22125=13.故选B.2. C 【解析】22＋32=13≠42，故A 选项构成不是直角三角形；32＋42=25≠62，故B 选项构成不是直角三角形；52＋122=169=132，故C 选项构成是直角三角形；42＋62=52≠72，故D 选项构成不是直角三角形. 故选C.3. D 【解析】两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长22212n n=4221n n =221n =n 2＋1.故选D.4. B 【解析】∵32＋42=52，∴是直角三角形，故(1)正确；∵32+42≠52，∴不是直角三角形，故(2)错误；∵222222345，∴不是直角三角形，故(3)错误；∵0.032＋0.042=0.052，∴是直角三角形，故(4)正确. 根据勾股定理的逆定理，只有(1)和(4)正确. 故选B.5. B 【解答】作底边上的高并设此高的长度为x ，根据勾股定理得62＋x 2=102，解得x =8.故选B .6. C 【解析】72＋242=252，152＋202≠242，222＋202≠252，故A 不正确；72＋242=252，152＋202≠242，故B 不正确；72＋242=252，152＋202=252，故C 正确；72＋202≠252，242＋152≠252，故D 不正确. 故选C.7. B 【解析】如图，小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH 是正方形，S □EFGH =EF •FG =5×5=25，S △AED =12DE •AE =12×1×2=1，S △DCH =12CH •DH =12×2×4=4，S △BCG =12BG •GC =12×2×3=3，S △AFB =12FB •AF =12×3×3=4.5. S 四边形ABCD =S □EFGH ﹣S △AED ﹣S △DCH ﹣S △BCG ﹣S △AFB =25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5. 故选B.8. C 【解答】化简(a ＋b )2=c 2＋2ab ，得a 2＋b 2=c 2所以三角形是直角三角形，故选C .9. B 【解析】在△ABC 中，∠C =90°，AC =30米，AB =50米，∴BC =22ABAC =40米，共需要资金为12×40×30•a =600a 元. 故选B .10. D 【解析】∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，∴BC=5，∵CD=17，∴DB=CD﹣BE=17﹣5=12，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB=BD=12，在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=5，∴AC=22AB BC=22125=13.故选D.11. 7 【解析】由勾股定理得：楼梯的水平宽度=2253=4，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3＋4=7米.故答案为7.12. 8 【解析】∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2＋BC2=AB2，又AB=2，∴AC2＋BC2=AB2=4，则AB2＋BC2＋CA2=AB2＋(BC2＋CA2)=4＋4=8.故答案为8.13. 24 【解析】设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n＋2.由勾股定理得(2n﹣2)2＋(2n)2=(2n ＋2)2，解得n1=4，n2=0(不合题意舍去)，即该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm.所以其周长为6＋8＋10=24cm.14. 258【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴由勾股定理得AB=5，即半圆的半径为52，所以半圆的面积为12×π×(52)2=258π，故答案为258π.15. 13 【解析】两棵树高度相差为AE=13﹣8=5m，之间的距离为BD=CE=12m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC=22125=13m，即小鸟至少要飞13m.16. 4 【解析】∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC=22AD CD=4，故答案是4.17. 19 【解析】∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB=2234=5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣12×3×4=25﹣6=19，故答案为19.18. 49 【解析】由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D 的面积之和=49cm2. 故答案为49cm2.19. 解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC=22AB BC=5. ∴S△ABC=12AB•BC=12×4×3=6. 在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12.∵AC2＋CD2=52＋122=169，AD2=132=169. ∴AC2＋CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∴S△ACD=12AC•CD=12×5×12=30.∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=6＋30=36.20. 解：设BD=x，则AB=8﹣x，由勾股定理，可以得到AB2=BD2＋AD2，也就是(8﹣x)2=x2＋42，∴x=3，∴AB=AC=5，BC=6.21. 解：连接AC，已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，根据AD2＋CD2=AC2，可以求得AC=15m，在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，∴存在AC2＋CB2=AB2，∴△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，S=S△ABC﹣S△ACD=12AC•BC﹣12CD•AD=12×15×36﹣12×9×12=270﹣54=216m2，答：这块地的面积为216m2.22. 解：在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，则AC=222.50.7=2.4m，∵AC=AA1＋CA1，∴CA1=2m，∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，∴CB1=22111A B CA=1.5m，∴BB1=CB1﹣CB=1.5﹣0.7=0.8m. 答：梯足向外移动了0.8m.。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，大正方形面积为48，小正方形面积为6，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边长（x>y ），则()2x y +的值为（ ）A ．60B ．79C ．84D ．902．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是2，3，1，2，则△正方形E 的边长是（ ）A ．18B ．8C ．22D ．32 3．已知点P 是△ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫△ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC 中，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时，P 就是△ABC 的费马点．若点P 是腰长为6的等腰直角三角形DEF 的费马点，则PD ＋PE ＋PF ＝（ ）A ．6B ．()326+C ．63D ．94．如图，分别以Rt ABC 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边6AB =，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．6B ．12C ．16D ．185．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC 的值为（ ）A ．352 B ．512- C ．5﹣1 D ．512+ 6．如图，原来从A 村到B 村，需要沿路A →C →B （90C ∠=︒）绕过两地间的一片湖，在A ，B 间建好桥后，就可直接从A 村到B 村．已知5km AC =， 12km BC =，那么，建好桥后从A 村到B 村比原来减少的路程为（ ）A ．2kmB ．4kmC ．10 kmD ．14 km7．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，且4c =，若3a =，那么b 的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．7D ．5 8．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得12BC AB =；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）A ．555B ．55-C ．10510D ．555 9．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺10．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．413B ．810C ．41312+D ．81012+ 11．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对 12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．169二、填空题13．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，10BC =，6AB =，如果点P 在AC 边上，且点P 到Rt ABC △的两个顶点的距离相等，那么AP 的长为__________．14．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边18cm AC =，24cm BC =，点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则BD 的长是______cm ．15．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．16．如图是“赵爽弦图”，ABH ，BCG ，CDF 和DAE △是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于________．17．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在Rt ABC 中，90,C ∠=,,AB c AC b BC a ===，且b a >，如果Rt ABC 是奇异三角形，那么::a b c =______________.18．已知一个直角三角形三边长的平方和是50，则斜边长为________．19．如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出40A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =公里，4BC =公里，若每天凿通隧道0.3公里，问_________天才能把隧道AC 凿通．20．直角三角形的两边长分别为5和3，该三角形的第三边的长为________．三、解答题21．△ABC三边长分别为，AB＝25，BC＝10，AC＝34．（1）请在方格内画出△ABC，使它的顶点都在格点上；（2）求△ABC的面积；（3）求最短边上的高．22．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求AB的长．23．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？24．如图，某旅游景点的划船处在离水面高度为3m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为6m，此人以0.1m/s的速度收绳10s后船头移动到点D的位置．（假设绳子是直的，结果保留根号）（1）此时绳子CD长是多少m；（2）船向岸边移动的长度BD 是多少m ．25．如图，小区有一块三角形空地ABC ，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D 作垂直于AB 的小路DE ．经测量，15AB =米，13AC =米，12AD =米，5DC =米．（1）求BD 的长；（2）求小路DE 的长．26．如图，在四边形ABCD 中， 45,ABC ADC ∠=∠=︒将BCD 绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE △．（1）求证：AE BD ⊥；（2）若1,2AD CD ==，试求四边形ABCD 的对角线BD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据勾股定理流出方程，进而利用完全平方公式解答即可．【详解】解：∵大正方形的边长是直角三角形的斜边长，∴根据勾股定理可得：2248x y +=，根据小正方形面积可得()26x y -=，∴2xy +6=48，∴2xy =42，则()222290x y x y xy +=++=，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解题的关键是利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想． 2．D解析：D【分析】根据勾股定理分别求出正方形E 的面积，进而即可求解．【详解】解：由勾股定理得，正方形E 的面积＝正方形A 的面积＋正方形B 的面积+正方形C 的面积＋正方形D 的面积＝22+32+12+22＝18，∴正方形E 的边长故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．3．B解析：B【分析】根据题意画出图形，根据勾股定理可得EF ，由过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°就可以得到满足条件的点P ，易得EM =DM =MF ＝方程求出PM 、PE 、PF ，继而求出PD 的长即可求解．【详解】解：如图：等腰Rt △DEF 中，DE =DF =6，∴EF ==过点D 作DM ⊥EF 于点M ，过E 、F 分别作∠MEP =∠MFP =30°，则∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，点P 就是马费点，∴EM =DM =MF ＝设PM ＝x ，PE ＝PF=2x ，在Rt △EMP 中，由勾股定理可得：222PM EM PE +=，即()22182x x +=，解得：1x =2x =即PM =6， ∴PE ＝PF ＝26故DP =DM －PM ＝326-，则PD +PE +PF =32646-+=3236+=()326+． 故选B ．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确画出做辅助线构造直角三角形进而求出PM 的长是解题关键．4．D解析：D【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．【详解】解：在Rt △AHC 中，AC 2=AH 2+HC 2，AH=HC ，∴AC 2=2AH 2，∴2， 同理：22， 在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，AB=6， S 阴影=S △AHC +S △BFC +S △AEB =12HC•AH+12CF•BF+12AE•BE ，即22211112224++=(AC 2+BC 2+AB 2) 14=(AB 2+AB 2) 12=AB 2 2162=⨯ 18=．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．5．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴AE AC =， 故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 6．B解析：B【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，进而得出答案．【详解】 解：由题意可得：222251213ABAC BC km 则打通隧道后从A 村到B 村比原来减少的路程为：512134（km ）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出AB 的长是解题关键．7．C解析：C【分析】根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得，b=故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，关键是掌握“如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”．8．A解析：A【分析】由勾股定理求出AC=AD=AE=AC-CE=-5即可．【详解】解：∵BC⊥AB，AB=10，CE＝BC=11105 22AB=⨯=，∴==∴AD=AE=AC-CE=5，故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．C解析：C【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x尺长，则102+（x+1-5）2=x2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．10．D解析：D【分析】将CB 延长至点D ，使CB BD =，利用勾股定理求出AD 的长，即可求出结果．【详解】解：如图，将CB 延长至点D ，使CB BD =，∵2AC =，26CD BC ==， ∴22436210AD AC CD =+=+=，2103AD BD +=+， 一共有4个这样的长度，∴这个风车的外围周长是：()4210381012⨯+=+．故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求直角三角形边长．11．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵340m n --=，340m n --≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长2234+；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长22437-=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．12．A解析：A【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】 解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，故选A【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力． 二、填空题13．4或【分析】根据勾股定理求出AC 的值分三种情况进行讨论若PB ＝PC 连结PB 设PA ＝x 得出PB ＝PC ＝8−x 再根据勾股定理求出PA 的值；若PA ＝PC 得出PA ＝4；若PA ＝PB 由图知不存在；从而得出PA解析：4或74． 【分析】根据勾股定理求出AC 的值，分三种情况进行讨论，若PB ＝PC ，连结PB ，设PA ＝x ，得出PB ＝PC ＝8−x ，再根据勾股定理求出PA 的值；若PA ＝PC ，得出PA ＝4；若PA ＝PB ，由图知，不存在；从而得出PA 的长．【详解】在Rt △ABC 中，∵∠A ＝90°，BC ＝10，AB ＝6，∴AC8==，若PB ＝PC ，连结PB ，设PA ＝x ，则PB ＝PC ＝8−x ，在Rt △PAB 中，∵PB 2＝AP 2＋AB 2，∴（8−x ）2＝x 2＋62，∴x ＝74，即PA ＝74， 若PA ＝PC ，则PA ＝4， 若PA ＝PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能，∴PA ＝4或74． 故答案是：4或74．【点睛】此题考查了勾股定理，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．14．15【分析】根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析得cm 从而得到BE ；设cm 则cm 根据勾股定理列方程并求解即可得到答案【详解】∵∴cm ∵点在边上现将直角边沿直线折叠使它落在斜边上且与重合∴cm 解析：15【分析】根据勾股定理计算得AB ；再根据折叠的性质分析，得18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠=，从而得到BE ；设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ，根据勾股定理列方程并求解，即可得到答案．【详解】∵18cm AC =，24cm BC =，∴2222241830AB AC BC +=+=cm ， ∵点D 在边BC 上，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，∴18AE AC ==cm ，DE DC =，DEA C 90∠=∠= ，∴12BE AB AE =-=cm ，∴设BD x =cm ，则()24DE DC x ==-cm ，∴2212BE BD DE =-=cm ，∴212x x +22(24-)=∴15x = ，故答案为：15．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理、折叠问题、一元一次方程，从而完成求解．15．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB 的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6 ∴2222=6+8=10AB BC AC +∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键． 16．6【分析】根据题意设则可得即可得由勾股定理列方程求出x 的值即可得出结论【详解】解：∵∴设则和是四个全等的直角三角形在中解得：故答案为：6【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用熟练运用勾股定理是解答此题 解析：6【分析】根据题意设3AH x =，则可得4AE x =，HE x =，即可得4BH x =，由勾股定理列方程求出x 的值即可得出结论．【详解】解：∵:3:4AH AE =∴设3AH x =，则4AE x =，HE AE AH x =-=， ABH △，BCG ，CDF 和DAE △是四个全等的直角三角形，4BH AE x ∴==，在Rt ABH △中，222AB AH BH =+，22210(3)(4)x x ∴=+，解得：2x =．36AH x ∴==．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解答此题的关键．17．1：：【分析】由△ABC 为直角三角形利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2记作①再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形列出关系式2a2＝b2＋c2记作②或2b2＝a2＋c2记解析：1【分析】由△ABC 为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c 2＝a 2＋b 2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a 2＝b 2＋c 2，记作②，或2b 2＝a 2＋c 2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．【详解】∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，∴根据勾股定理得：c 2＝a 2＋b 2，记作①，又Rt △ABC 是奇异三角形，∴2a 2＝b 2＋c 2，②，将①代入②得：a 2＝2b 2，即a b （不合题意，舍去），∴2b 2＝a 2＋c 2，③，将①代入③得：b 2＝2a 2，即b a ，将b 代入①得：c 2＝3a 2，即c ，则a ：b ：c ＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．18．5【分析】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则根据题意列得即可求出答案【详解】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则∵三边长的平方和是∴∴解得c=5（负值舍去）故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理正确掌握解析：5【分析】设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，根据题意列得2250c =即可求出答案.【详解】设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，∵三边长的平方和是50，∴22250a b c ++=，∴2250c =，解得c=5（负值舍去），故答案为：5.【点睛】此题考查勾股定理，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键.19．10【分析】根据勾股定理可求出BC 的长度然后除以每天凿隧道的长度可求出需要的天数【详解】解：∵∠A=40°∠B=50°∴∠C=90°即△ABC 为直角三角形∵AB=5kmAC=4km ∴故：所需天数==解析：10【分析】根据勾股定理可求出BC 的长度，然后除以每天凿隧道的长度，可求出需要的天数．【详解】解：∵∠A=40°，∠B=50°，∴∠C=90°，即△ABC 为直角三角形∵AB=5km ，AC=4km∴3BC km ==，故：所需天数=30.3=10天． 故答案为：10．【点睛】 本题主要是运用勾股定理求出所需凿隧道的长度．20．或【分析】本题已知直角三角形的两边长但未明确这两条边是直角边还是斜边因此两条边中的较长边5既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即5是斜边或直角边的两种情况然后利用勾股定理求解【详解解析：4【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边5既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】设第三边为x ，①若5是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理得：x=2253+=34；②若5是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理得：x=2253-=4所以第三边的长为4或34．故答案为：4或34【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理，并且分情况讨论是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）7；（3）7105． 【分析】（1）根据AB ＝22252024==+， BC ＝221031=+，，AC ＝223435=+，利用勾股定理不难在网格上画出△ABC ；（2）如图，根据S △ABC =ADB BEC AFC ADEF S S S S ---⊿⊿⊿矩形不难得到答案；（3）对各边作出比较，可以找出最短边，然后根据三角形面积公式可求得最短边上的高．【详解】解：（1）如图所示：△ABC 即为所求；（2）如图，S △ABC ＝5×4﹣122⨯×4﹣12⨯1×3﹣12⨯3×5＝7，∴△ABC 的面积是7；（3）∵10＜534∴BC 是最短边，作AH ⊥BC ，交CB 延长线于点H ，∵S△ABC＝12BC•AH，∴AH＝2ABCSBC＝10＝7105．答：最短边上的高为710．【点睛】本题考查三角形面积的综合问题，熟练掌握三角形面积的各种求解方法是解题关键．22．25【分析】在直角△ACD中利用勾股定理得出CD的长，再利用在直角△BCD中利用勾股定理求得BD，再根据线段的和差关系求得AB的长．【详解】解：（1）∵CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°．∵在直角△ACD中，AC=20，AD=16，∴CD=22AC AD-=12；∵在直角△BCD中，BC=15，CD=12，∴BD=22BC CD-=9，∴AB=AD+BD=25．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．正确求出CD的长是解题的关键．23．最短路程是150cm．【分析】展开后得到下图的直角ACB△，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，由勾股定理得：AB＝22AC BC+＝2212090+＝150cm，答：最短路程是150cm．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．24．（1）5m ；（2）4m ．【分析】（1）根据收绳速度与时间可得收绳长度，从而可得CD 长；（2）在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，然后再次利用勾股定理在Rt △ACD 中，计算出AD 长，再利用BD=AB-AD 可得BD 长．【详解】解：（1）∵此人以0.1m/s 的速度收绳10s∴CD=BC-0.1×10=6-1=5∴此时绳子CD 长是5m（2）在Rt △ABC 中，2222ABBC AC 6333 在Rt △ACD 中，2222AC 534 ∴BD=AB-AD=4∴船向岸边移动的长度BD 是4m ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．25．（1）9米；（2）365米． 【分析】（1）先由13125AC AD CD ===，，，证明90,ADC ∠=︒ 可得90,ADB ∠=︒ 再由勾股定理可求BD 的长；（2）由,,DE AB AD BC ⊥⊥ 可得,AB DE AD BD =代入数据从而可得答案．【详解】解：（1）13125AC AD CD ===，，， 22222212516913,AD CD AC ∴+=+===90ADC ∴∠=︒，90ADB ∴∠=︒，15AB =，9.BD ∴====BD ∴为9米． （2）,,DE AB AD BC ⊥⊥11,22ABD S AB DE AD BD ∴== ,AB DE AD BD ∴= 15129DE ∴=⨯，36.5DE ∴=DE ∴为365米． 【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握以上知识是解题的关键．26．（1）见解析；（2）3BD =．【分析】()1证明：由BCD 绕点C 顺时针旋转到ACE △，利用旋转性质得BC=AC ，12∠=∠，由∠ABC =45º，可知∠ACB=90º，由1390∠+∠=︒，可证2490∠+∠=︒ 即可， ()2解:连DE ，由BCD ∆绕点C 顺时针旋转到ACE ∆，得BCD ACE ∠=∠，CD=CE=2，BD=AE ，利用等式性质得90DCE ACB ∠=∠=︒，∠CDE=45º，利用勾股定理，由∠ADC=45º可得∠ADE=90º，由勾股定理可求AE 即可．【详解】()1证明：BCD 绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE △， ,12BC AC ∴=∠=∠，45,ABC BAC ∴∠=∠=︒18090,ACB ABC BAC ∴∠=︒∠∠=︒－－1390,∴∠+∠=︒又34,∠=∠241390,∴∠+∠=∠+∠=︒1802490,ANM ∴∠=︒-∠-∠=︒即AE BD ⊥，()2解:连DE ，BCD 绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到,ACEBCD ACE ∴∠=∠，即,2,ACB ACD DCE ACD CD CE BD AE ∠+∠=∠+∠===，90,DCE ACB ∴∠=∠=︒2222228,DE CD CE ∴=+=+=又90,2,DCE CD CE ∠=︒==45,CDE ∴∠=︒90,ADE ADC CDE ∴∠=∠+∠=︒ ()2222183AE AD DE ∴=+=+=，3BD ∴=．【点睛】本题考查旋转的性质和勾股定理问题，关键是掌握三角形旋转的性质与勾股定理知识，会利用三角形旋转性质结合∠ABC=45º证∠ACB=90º，利用余角证AE ⊥BD ，利用等式性质证∠DCE=90º，利用勾股定理求DE ，结合∠ADC=45º证Rt △ADE,会用勾股定理求AE 使问题得以解决．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A ，B ，C 均为格点，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交格线于点D ．则CD 的长为（ ）A ．12B ．13C ．23-D ．32．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）A ．5B ．4C ．133D ．1433．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．15 4．下列数组是勾股数的是（ ） A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15 5．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5 B ．7，8，9 C ．6，8，10 D 3456．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC的值为（ ）A ．352B ．512-C ．5﹣1D ．512+ 7．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）A ．3，4，5B ．1，2，3C ．8，9，10D ．5，6，98．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．17cmD ．94cm 9．已知Rt ABC 中，A ∠，B ，C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若90B ∠=︒，则（ ）．A ．222b a c =+B ．222c a b =+C ．222a b c =+D ．a b c += 10．一个长方体盒子长24cm ，宽10cm ，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）A ．10cmB ．24cmC ．26cmD ．28cm 11．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（ ）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm12．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对二、填空题13．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8．现将ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ．则CE CB的值是__________．14．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．15．如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．16．如图，一只蚂蚁从长、宽都是2，高是5的长方体纸盒的A 点沿纸盒面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是________.17．如图，在4×4方格中，小正方形格的边长为1，则图中阴影正方形的边长是____．18．在△ABC 中，AB=10，AC=210，BC 边上的高AD=6，则另一边BC 等______． 19．如图，AD 是ABC 的中线，45,ADC ∠=︒把ADC 沿AD 折叠，使点C 落在点'C 处，'BC 与BC 的长度比是_______________________．20．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC 中，34AC =，30BC =，则阴影部分的面积是_________．三、解答题21．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4m AD =，3m CD =，AD DC ⊥，13m AB =，12m BC =，求这块地的面积．22．如图，ABC 中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=55厘米，点P 从点A 出发沿AC 边以2厘米/秒的速度向终点C 匀速移动，同时，点Q 从点C 出发沿CB 边以1厘米/秒的速度向终点B 匀速移动，P 、Q 两点运动几秒时，P 、Q 两点间的距离是210厘米？23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．24．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？25．问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你求出ABC的面积；思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法．若ABC5a、a ），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出2a、17a（0相应的ABC，并求出它的面积．26．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、 B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P(在答题纸上图中标出)，使PB+PC的长最短，这个最短长度的平方值是___．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【详解】解：连接AD，如图所示：∵AD=AB=2，∴DE=22-=3，21∴CD=23-，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．2．C解析：C由折叠可得△AEF ≌△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt △CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【详解】解：∵将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，∴△AEF ≌△DEF ，∴AE=DE ，∵点 D 为边 BC 的中点， ∴CD=118422CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ， 在Rt △CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=， 解得133x =． 故选择：C ．【点睛】 本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．3．A解析：A【分析】设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，正方形F 的边长为c ，如图，则由勾股定理可得222+=a b c 及正方形面积公式可得正方形F 的面积为7，同理可求解问题．【详解】解：设正方形A 的边长为a ，正方形B 的边长为b ，正方形F 的边长为c ，如图，由勾股定理可得222+=a b c ，∴由正方形的面积计算公式可得正方形F 的面积为2+5=7，同理可得正方形H 的面积为1+2=3，正方形E 的面积为7+3=10；故选A ．本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．C解析：C【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，再利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：22223134,+=≠ 故A 不符合题意；0.3，0.4，0.5首先不是正整数，故B 不符合题意；22251216913,+== 故C 符合题意；2228126414420815,+=+=≠ 故D 不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 5．C解析：C【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，此选项不符合题意；B 、不是勾股数，因为72+82≠92，此选项不符合题意；C 、是勾股数，因为62+82=102，此选项符合题意；D故选：C ．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．6．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴12AE AC =， 故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 7．A解析：A【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A 、222345+=，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B 、222123+≠，不能构成三角形，故不是勾股数；C 、2220981，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D 、222569+≠，不能构成直角三角形，故不是勾股数．故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，熟悉相关性质是解题的关键． 8．A解析：A【分析】根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，∵AC=12cm ，∴CE=AE-AC=3cm ，设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，在Rt △CDE 中，根据勾股定理得CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，解得x=4，即CD 长为4cm ．故选：A ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．9．A解析：A【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．【详解】由题意，画出图形如下：由勾股定理得：222b a c =+，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．10．C解析：C【分析】根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可．【详解】解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长， 22241026+=，则最长木棒长为26cm ，故选：C ．【点睛】本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．11．C解析：C【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm∴小正方形的面积=222=4cm ⨯故选：C ．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．12．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．二、填空题13．【分析】先设CE=x 再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x 再根据勾股定理求出x 的值进而可得出的值【详解】解：设CE=x 则AE=8-x ∵△BDE 是△ADE 翻折而成∴AE=BE=8-x 在Rt △B 解析：724【分析】先设CE =x ，再根据图形翻折变换的性质得出AE =BE =8-x ，再根据勾股定理求出x 的值，进而可得出CE CB的值． 【详解】 解：设CE =x ，则AE =8-x ，∵△BDE 是△ADE 翻折而成，∴AE =BE =8-x ，在Rt △BCE 中，BE 2=BC 2+CE 2，即（8-x ）2=62+x 2，解得x =74， ∴CE CB =746=724， 故答案为：724． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．14．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG ≌△GJF 从而得到正方形BEFG 的面积=正方形ABCD 的面积+正方形FHIJ 的面积【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90解析：7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG ≌△GJF ，从而得到正方形BEFG 的面积=正方形ABCD 的面积+正方形FHIJ 的面积．【详解】解：∵∠BGC +∠FGJ =90°，∠GFJ +∠FGJ =90°∴∠BGC =∠GFJ∵∠BCG =∠GJF ，BG =GF∴△BCG ≌△GJF∴CG =FJ ，BC =GJ ，∴BG 2=BC 2+CG 2=BC 2+FJ 2∴正方形DEFG 的面积=正方形ABCD 的面积+正方形FHIJ 的面积=4+3=7．【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．15．16【分析】求不规则四边形的面积可以转化为两个三角形的面积由题意可知：求出与的面积即为四边形ABCD 的面积【详解】连接AC ∵∴∴∵AB+BC=8∴∴∴故答案为：16【点睛】本题主要考查的是四边形面积解析：16【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8， ∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADCS S +=， ∴=16ABC ADC ABCD S SS +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．16．【解析】如图(1)所示：AB=；如图(2)所示：AB=∵>∴最短路径为答：它所行的最短路线的长是故答案为点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题解题的关键是将长方体展开构造直角三角形然后利用勾股定41【解析】如图(1)所示：22++2(25)=53如图(2)所示：22+，45=41∵5341∴414141点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，构造直角三角形，然后利用勾股定理解答.17．【分析】根据勾股定理即可得出结果【详解】解：正方形的边长=故答案为：【点睛】本题主要考查的是勾股定理掌握勾股定理的计算方法是解题的关键10【分析】根据勾股定理即可得出结果．【详解】解：正方形的边长223+1=10．10【点睛】本题主要考查的是勾股定理，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．18．10或6【解析】试题解析：10或6【解析】试题根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB =10，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，22AC AD -=2，此时BC =BD +CD =8+2=10；如图2所示，AB =10，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，CD 22AC AD -=2，此时BC =BD -CD =8-2=6，则BC 的长为6或10． 19．【分析】设BD=CD=x 由题意可知∠ADC=45°且将ADC 沿AD 折叠故则可运用勾股定理将用x 进行表示即可得出的值【详解】解：∵点D 是BC 的中点设BD=CD=x 则BC=2x 又∵∠ADC=45°将AD 22【分析】设BD=CD=x ，由题意可知∠ADC=45°，且将ADC 沿AD 折叠，故ADC'=45∠︒，则Rt C'DB △可运用勾股定理，将BC'用x 进行表示，即可得出BC':BC 的值．【详解】解：∵点D 是BC 的中点，设BD=CD=x ，则BC=2x ，又∵∠ADC=45°，将ADC 沿AD 折叠，故ADC'=45∠︒，C'D =x ，∴C'DC=C'DB=90∠∠︒，C'DB △是直角三角形， 根据勾股定理可得：2222BC'=BD C'D =x x =2x ++， ∴2x 22::， 22．【点睛】本题主要考察了折叠问题与勾股定理，解题的关键在于通过折叠的性质，得出直角三角形，并运用勾股定理．20．256【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方利用勾股定理即可求出【详解】解：两个阴影正方形的面积和为342-302=256故答案为：256【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理解析：256【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【详解】解：两个阴影正方形的面积和为342-302=256．故答案为：256．【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中根据勾股定理求阴影部分的边长是解题的关键．三、解答题21．224cm ．【分析】连接AC ，勾股定理计算AC=222234AD CD +=+，应用勾股定理的逆定理判定三角形ABC 是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可．【详解】解：连接AC∵AD DC ⊥∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得AC=222234AD CD +=+ =5，在△ABC 中，∴22222251213AC BC AB +=+==，△ABC 是直角三角形，∴=-ABC ACD ABCD S SS 四边形 =51234-22⨯⨯ =242m （）．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC 是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．22．2秒【分析】设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是厘米，先利用勾股定理求出AC的长度，得到AP=2x厘米，CQ=x厘米，CP=（10﹣2x）厘米，再利用勾股定理得到（10﹣2x）2+x2=（）2求出x的值.【详解】解：设P、Q两点运动x秒时，P、Q两点间的距离是厘米.在△ABC中，∠C=90°，BC=5厘米，∴=（厘米），∴AP=2x厘米，CQ=x厘米，CP=（10﹣2x）厘米，在Rt△CPQ内有PC2+CQ2=PQ2，∴（10﹣2x）2+x2=（）2，整理得：x2﹣8x+12=0，解得：x=2或x=6，当x=6时，CP=10﹣2x=﹣2＜0，∴x=6不合题意舍去.∴P、Q两点运动2秒时，P、Q两点间的距离是厘米.【点睛】此题考查勾股定理，动点问题与几何图形，熟练掌握勾股定理的计算公式并运用解决问题是关键.23．13【分析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，根据勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：设AD＝x，则AC＝32﹣x，∵AD⊥BC于点D，∴△ADC和△ADB是直角三角形，∵CD＝16，∴x2+162＝（32﹣x）2，解得：x＝12，∴AD＝12，在直角三角形ABD中，AB＝13．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是设出未知数，利用勾股定理列出方程求解．24．该校受影响卡车产生的噪声的影响时间为24秒．【分析】根据题意，先在图上画出学校刚好受影响和结束受影响时卡车所在的点C和D，得到AC=AD=100cm ，然后用勾股定理求出CB ，受影响的过程就是卡车从C 到D 的路程，再除以卡车速度可以得到受影响的时间．【详解】设卡车开到C 处刚好开始受到影响，行驶到D 处时结束了噪声的影响，则有CA ＝DA ＝100m ，在Rt ABC 中，CB ＝2210080-＝60m ， ∴CD ＝2CB ＝120m ，则该校受影响的时间为：120524÷=s ．答：该校受影响卡车产生的噪声的影响时间为24秒．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，关键在于根据题意画出图象，求出对应的线段长度，然后求出时间．25．（1） 3.5ABC S =△；（2）作图见解析；23ABC S a =△．【分析】（1）利用网格图及割补法求解图形面积；（2）结合勾股定理作图，然后利用割补法求图形面积【详解】解：（1）11133123132 3.5222ABC S ⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭△ （2）22512AB a a ==+；2222211BC a a ==+；221714AC a a ==+． 所做ABC 如图所示21112422243222ABC S a a a a a a a a a ⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭△． 【点睛】本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握．26．（1）见解析；（2）图见解析，13【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P点位置．【详解】（1）分别找到各点的对称点，顺次连接可得△A′B′C′．（2）连接B'C，则B'C与l的交点即是点P的位置，求出PB+PC的值即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：连接B′C，与直线l交于点P，此时PB+PC最短，PB+PC＝PB'+PC＝B'C221323则这个最短长度的平方值是13．【点睛】本题考查了轴对称作图及最短路线问题，以及勾股定理，解答本题的关键是掌握轴对称的性质，难度一般．。
(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．三个正方形的面积如图所示，则S 的值为（ ）A ．3B ．4C ．9D ．12 2．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（ ）A ．1 条B ．2条C ．3条D ．4条3．如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若6,5AC BC ==，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A ．24B ．52C ．61D ．764．如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A ，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A ．3B ．2C ．5D ．21+ 5．如图，用64个边长为1cm 的小正方形拼成的网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，都在格点（小正方形顶点）上，对于线段AB ，AC ，AD ，AE ，长度为无理数的有（ ）．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 6．下列各组数中是勾股数的是（ ） A ．4，5， 6 B ．1.5，2， 2.5 C ．11，60， 61 D ．13，2 7．在Rt ABC 中，90C ∠=︒，且4c =，若3a =，那么b 的值是（ ）A ．1B ．5C 7D 58．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ）A ．∠B ＝∠C +∠AB ．a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a ：b ：c ＝3：4：5 9．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（ ）A ．1681B ．1781C ．1519或1681D ．1519 10．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将ACD △沿AD 翻折，得到AED ，AE 交BD 于点F ．若2BD DC =，AB AD =，2AF EF =，2CD =，DFE △的面积为1，则点D 到AE 的距离为（ ）A ．1B ．65C ．52D ．211．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（ ）A ．52613B ．102613C ．13137D ．7131312．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（ ）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm二、填空题13．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，若：5BE =，3CE =，则AC =_________．14．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．15．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________16．已知一个直角三角形的两边长为3和5，则第三边长为______．17．定义:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形，在Rt ABC 中，90,C ∠=,,AB c AC b BC a ===，且b a >，如果Rt ABC 是奇异三角形，那么::a b c =______________.18．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞______米．19．如图所示，BDC '是将长方形纸牌ABCD 沿着BD 折叠得到的，若AB ＝4，BC ＝6，则OD 的长为_____．20．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离______cm ．三、解答题21．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：(1)长为10的线段PQ，其中P、Q都在格点上；(2)面积为13的正方形ABCD，其中A、B、C、D都在格点上．22．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；（2）求线段DF的长．23．已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，2)、B(﹣4，0)、C(0，2)（1）在下面的平面直角坐标系中分别描出A，B，C三点，并画出ABC；（2）求线段BC的长；（3）求ABC的面积．24．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．（1）求证：ADE BEC ≌△△．（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．25．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米． （1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？26．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个关的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a 、b 与斜边c 满足关系式222+=a b c ．称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程；（2）如图3所示，90ABC ACE ∠=∠=︒，请你添加适当的辅助线证明结论222a b c．+=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题可知，已知正方形的面积，利用面积公式，即可求解边长；三个正方形的边长恰好构成直角三角形，由勾股定理可求解．【详解】由题可知三个正方形，利用正方形面积公式可得：面积为16的正方形的边长为：4；面积为25的正方形的边长为：5；如图：又三个正方形边长恰好构成直角三角形，∴3=；∴第三个正方形面积为：9；故选C．【点睛】本题主要考查正方形及直角三角形的性质；重点在于面积和边长之间的转换和对图形的分析．2．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵=，=d=2，=5∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．3．D解析：D【分析】由题意∠ACB为直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长．【详解】解：依题意∠ACB为直角，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．故选：D．【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．4．C解析：C【分析】从正方体外部可分三类走法直接走AB对角线，先走折线AD-DB，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可【详解】方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线在三角形ABC中，由勾股定理AB=2222AC+BC=2+1=5；方法二：走一面折线AD-BD，由勾股定理221+1=22+1；方法三折线AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；在正方体外部表面走有这三类走法，∵5<9，∴53，∵2>1，∴>，1∴>，2∴>，2+3∴)25>，∴>故选择：C．【点睛】本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键．5．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出AB，AC，AD，AE这4条线段的长度，即可得出结果．【详解】根据勾股定理计算得：=，5=10=，长度为无理数的有2条，故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理及无理数．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．6．C解析：C【分析】根据勾股数的定义判断即可．【详解】解：A、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；B、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；C、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；D不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数． 7．C解析：C【分析】根据勾股定理计算，即可得到答案．【详解】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由勾股定理得，b =故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，关键是掌握“如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2”．8．C解析：C【分析】由三角形的内角和定理求解B 可判断,A 由勾股定理的逆定理可判断,B 由三角形的内角和定理求解 ,C ∠ 可判断,C 设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k == 利用勾股定理的逆定理可判断.D【详解】解：,180,B C A A B C ∠=∠+∠∠+∠+∠=︒2180B ∴∠=︒，90B ∴∠=︒，故A 不符合题意； ()()222,a b c b c b c =+-=-222,a c b ∴+=90B ∴∠=︒，故B 不符合题意； ::3:4:5,A B C ∠∠∠=51807512C ∴∠=⨯︒=︒， ABC ∴不是直角三角形，故C 符合题意，::3:4:5,a b c =设()30,a k k =≠ 则4,5,b k c k ==()()()222222234255,a b k k k k c ∴+=+===90C ∴∠=︒，故D 不符合题意， 故选：.C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．C解析：C【分析】由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的平方是402+92＝1681；故选：C ．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．B解析：B【分析】过A 作AG BC ⊥于点G ，根据2AF EF =可得3ADE ACD S S ∆∆==，再由勾股定理求得5AE AC ==，最后由三角形面积公式可求出点D 到AE 的距离．【详解】解：过A 作AG BC ⊥于点G∵1DFE S ∆=，2AF EF =∴2ADF S ∆=∴3ADE ACD S S ∆∆== ∵12ADC S CD AG ∆=⋅⋅ ∴3AG =∵AB AD =，AG BC ⊥∴2BD GB =由2BD CD =得，2GD CD ==∴224GC GD DC =+=+=在Rt AGC ∆中，5AC ==∴5AE AC == ∴236255ADE S h AE ∆⨯=⋅== 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．11．D解析：D【分析】根据勾股定理计算AC 的长，利用割补法可得△ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：AC =∵S △ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72， ∴12AC•BD ＝72， ∴＝7，∴BD 故选：D ．【点睛】 本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．12．C解析：C【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm∴小正方形的面积=222=4cm ⨯故选：C ．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．二、填空题13．4【分析】连接AE根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE再根据勾股定理列式求解即可【详解】解：连接AE∵DE垂直平分AB∴AE=BE∵BE=5CE=3∴AC==4故答案为：解析：4【分析】连接AE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE，再根据勾股定理列式求解即可．【详解】解：连接AE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE=5，CE=3，∴2222-=-=4，AE CE53故答案为：4．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90解析：7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF，从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积．【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90°∴∠BGC =∠GFJ∵∠BCG=∠GJF，BG=GF∴△BCG≌△GJF∴CG=FJ，BC=GJ，∴BG2=BC2+CG2=BC2+FJ2∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=4+3=7．【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．15．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A的面积为1由勾股定理得正方形B的面积+正方形C的面积=1∴解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．16．4或【分析】分5是斜边和5是直角边两种情况再分别利用勾股定理即可得【详解】由题意分以下两种情况：（1）当5是斜边时则第三边长为；（2）当5是直角边时则第三边长为；综上第三边长为4或故答案为：4或【点解析：434【分析】分5是斜边和5是直角边两种情况，再分别利用勾股定理即可得．【详解】由题意，分以下两种情况：（1）当5是斜边时，=；4（2）当5是直角边时，=综上，第三边长为4故答案为：4【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．17．1：：【分析】由△ABC为直角三角形利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2记作①再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形列出关系式2a2＝b2＋c2记作②或2b2＝a2＋c2记解析：1【分析】由△ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式c2＝a2＋b2，记作①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式2a2＝b2＋c2，记作②，或2b2＝a2＋c2，记作③，联立①②或①③，用一个字母表示出其他字母，即可求出所求的比值．【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，∴根据勾股定理得：c2＝a2＋b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2＝b2＋c2，②，将①代入②得：a2＝2b2，即a b（不合题意，舍去），∴2b2＝a2＋c2，③，将①代入③得：b2＝2a2，即b a，将b代入①得：c2＝3a2，即c，则a：b：c＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查了新定义的知识，勾股定理．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．18．13【分析】根据两点之间线段最短可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行所行的路程最短运用勾股定理可将两点之间的距离求出【详解】如图所示ABCD为树且AB＝14米CD＝9米BD为两树距离12米过C作C解析：13【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝12，AE＝AB−CD＝5，在直角三角形AEC中，AC22AE CE+＝22512+＝13．答：小鸟至少要飞13米．故答案为：13．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是从实际问题中构建出数学模型，转化为数学知识，然后利用直角三角形的性质解题．19．【分析】设AO＝x则BO＝DO＝6﹣x在直角△ABO中利用勾股定理即可列方程求得x的值则可求出OD的长【详解】解：∵△BDC′是将长方形纸牌ABCD 沿着BD折叠得到的∴∠CBD＝∠CBD∵长方形AB解析：13 3【分析】设AO＝x，则BO＝DO＝6﹣x，在直角△ABO中利用勾股定理即可列方程求得x的值，则可求出OD的长．【详解】解：∵△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，∴∠C'BD＝∠CBD，∵长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠ODB＝∠C'BD，∴BO＝DO，设AO＝x，则BO＝DO＝6﹣x，在直角△ABO中，AB2+AO2＝BO2，即42+x2＝（6﹣x）2，解得：x ＝53， 则AO ＝53， ∴OD ＝6﹣53＝133， 故答案为：133． 【点睛】本题考查直角三角形轴对称变换及勾股定理和方程思想方法的综合应用，熟练掌握直角三角形轴对称变换的性质及方程思想方法的应用是解题关键． 20．15【分析】在侧面展开图中过C 作CQ ⊥EF 于Q 作A 关于EH 的对称点A′连接A′C 交EH 于P 连接AP 则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出A′QCQ 根据勾股定理求出A′C 即可【详解】解：沿过A 的圆解析：15【分析】在侧面展开图中，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q ，CQ ，根据勾股定理求出A′C 即可．【详解】解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A′，连接A′C 交EH 于P ，连接AP ， 则AP+PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E ，A′P=AP ，∴AP+PC=A′P+PC=A′C ，∵CQ=12×18cm=9cm ，A′Q=12c m-3cm+3cm=12cm ， 在Rt △A′QC 中，由勾股定理得：2222A'Q CQ 129+=+=15(cm)，故答案为：15．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．三、解答题21．(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）由勾股定理可知当直角边为1和3时，则斜边为10，由此可得线段PQ；（2）由勾股定理可知当直角边为2和3时，则斜边为13，把斜边作为正方形的边长即可得到面积为13的正方形ABCD．【详解】(1)(2)如图所示：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．22．（1）见解析；（2）13【分析】（1）分别作出点B与点C关于x轴的对称点，再与点A首尾顺次连接即可得．（2）利用勾股定理进行计算可得线段DF的长．【详解】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）由勾股定理得，线段DF222+313【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．23．（1）见解析；（2）25；（3）3 【分析】（1）在平面直角坐标系中，描出A ，B ，C 三点，然后顺次连接，即可画出△ABC ； （2）由勾股定理来求线段BC 的长度；（3）△ABC 的底是BC 的长度，高是点C 的纵坐标，由三角形的面积公式进行解答．【详解】解：（1）如图所示；（2）在直角△BOC 中，由勾股定理得到：BC ＝22OB OC +＝2242+＝25，即线段BC 的长是25；（3）S △ABC ＝12AC×OC ＝12×3×2＝3，即△ABC 的面积是3．【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．24．（1）证明见详解；（2）26【分析】（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠A =∠B =90°，∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD =BE ，在Rt △ADE 与Rt △BEC 中AD BE DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．∴∠DEC =90°．在Rt △ADE 中又∵30,3AED AE ∠=︒=设AD =x ，则DE =2x,由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x += 解得3x = ∴DE=CE=23．在Rt △CDE 中由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2 ∴()()22=23+23=26CD ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．25．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ，∴2225247b =-=（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米，由勾股定理，22252015b =-=（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由图1可知：四个全等的直角三角形的面积+中间小正方形的面积=大正方形的面积，然后化简即可证明；（2）如图，过A 作AF AB ⊥交BC 线于D ，先证明ABC CED △≌△可得ED BC a ==，CD AB b ==，然后根据梯形EDBA 的面积列式化简即可证明．【详解】（1）证明：大正方形面积为：214()()2ab c a b a b ⨯⨯+=++ 整理得22222ab c a b ab +=++∴222+=a b c ；（2）过A 作AF AB ⊥交BC 线于D∵AC CE =，90B D ∠=∠=︒，90ECD ACB ∠+∠=︒，90ACB BAC ∠+∠=︒ ∴BAC ECD ∠=∠，∴ABC CED △≌△，∴ED BC a ==，CD AB b ==∴()2EDBA a b S a b +=⋅+梯形211222ab c =⨯+ ∴()22211222a b ab ab c ++=+ ∴222+=a b c ．【点睛】本题主要考查了运用几何图形来证明勾股定理，矩形和正方形的面积，三角形的面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．。
(典型题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》检测题(答案解析)(1)
一、选择题1．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2走“捷径”，在花2．如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角AOB圃内走出了一条“路”AB，他们踩伤草坪，仅仅少走了（）A．4m B．6m C．8m D．10m3．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（）尺．A．26 B．24 C．13 D．124．在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（）A．6B．12C．24D．485．如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A ．3B ．2C ．5D ．21+ 6．如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别为3和4，则b 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．77．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm ，底面周长为30cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ）A ．12cmB ．17cmC ．20cmD ．25cm 8．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）A ．10πcmB ．20πcmC ．2cmD ．2cm 9．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将ACD △沿AD 翻折，得到AED ，AE 交BD 于点F ．若2BD DC =，AB AD =，2AF EF =，2CD =，DFE △的面积为1，则点D 到AE 的距离为（ ）A ．1B ．65C ．5D ．210．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．8B ．12C ．18D ．2011．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4cm ，AC =3cm ，动点P 从点B 出发沿射线BA 以2cm/s 的速度运动．设运动时间为t ，则当t =______秒时，△BPC 为直角三角形．14．如图，已知圆柱的底面周长为10cm ，高AB 为12cm ，BC 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C 爬到点A ，则蚂蚁爬行的最短路线为________cm ．15．如图，长方体的底面边长分别为3cm 和3cm ，高为5cm ，若一只蚂蚁从A 点开始经过四个侧面爬行一圈到达B 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．16．在△ABC 中，AB=10，10，BC 边上的高AD=6，则另一边BC 等______． 17．在Rt ABC ∆中，斜边10BC =，则222BC AB AC ++=______．18．如图，已知点C 在点A 的北偏东19°，在点B 的北偏西71°，若CB=9，AC=12，则AB=_____．19．如图，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= __________.20．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 是BC 边上一点，17AB cm =，10AD cm =，8AC cm =，则BD 的长为________.三、解答题21．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池的示意图，该U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40m π的半圆，其边缘20m ==AB CD ，点E 在CD 上，5m CE =，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）22．如图，在平面直角坐标系中，点A （4，0），点B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，求点C 的坐标．23．小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD （如图所示）的周长，其中边BC 上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小锤经测量得知AB ＝AD ＝5m ，∠A ＝60°，DC ＝13m ，∠ABC ＝150°．豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB 的长度．你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB 的长度；若不同意，请说明理由．24．如图，已知Rt ABC △与Rt CDE △有一个公共点C ，其中90B D ︒∠=∠=，若3AB =，2BC =，6CD =，4DE =，65AE =.求证：90ACE ︒∠=．25．在等腰直角△ABC 中，AB ＝ AC ，∠BAC ＝90°，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90°交直线l 于点D ． （1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形；①求证：∠BDP ＝∠PCB ；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．26．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝6，现将梯形折叠，点B恰与点D重合，折痕交AB边于点E，则CE＝_____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据图形和勾股定理可知S1＝c2＝a2+b2，再由完全平方公式即可得到结果．【详解】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．2．A解析：A【分析】根据勾股定理求出AB即可．【详解】解：∵90AOB ∠=︒，∴AB=22226810AO OB +=+=（m ），6+8-10=4（m ）,∴他们踩伤草坪，仅仅少走了4m ；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．3．D解析：D【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理列方程可解答．【详解】解：由题意可知：BC=12×10=5（尺） 设水深x 尺，则芦苇长（x+1）尺， 由勾股定理得：2225(1),x x +=+解得：x=12，∴这个水池的深度是12尺．故选D ．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息建立数学模型是解题的关键． 4．B解析：B【分析】画出直角三角形，由11,24,c a b c =++=可得：222169,a ab b ++=再由勾股定理可得：222121,a b c +==从而求解24,ab =再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，由题意知：11,24,c a b c =++=13,a b ∴+=222169,a ab b ∴++=222121,a b c +==121+2169,ab ∴=248,ab =24,ab ∴= 112.2S ab ∴== 故选：.B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，完全平方公式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 5．C解析：C【分析】从正方体外部可分三类走法直接走AB 对角线，先走折线AD-DB ，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可【详解】方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线在三角形ABC 中，由勾股定理AB=2222AC +BC =2+1=5；方法二：走一面折线AD-BD ，由勾股定理221+1=22+1；方法三折线AE-ED-DB 即AE+ED+DB=3；在正方体外部表面走有这三类走法，∵5<9， ∴53， ∵2>1， ∴21>，∴222>，∴22+32+3>，∴)22+15>， ∴2+15>5故选择：C ．【点睛】本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键．6．D解析：D【分析】根据“AAS”可得到△ABC≌△CDE，由勾股定理可得到b的面积=a的面积+c的面积.【详解】解：如图∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，∵AC2=AB2+BC2，∴AC2=AB2+DE2，∴b的面积=a的面积+c的面积=3+4=7．故答案为：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．7．B解析：B【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，由题意可得：A′D 的长度等于圆柱底面周长的一半，即A′D=15cm由对称的性质可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6∴BD=DE+BE=8连接A′B ，则A′B 即为最短距离，A′B=2222'15817A D BD +=+=（cm ）．故选：B ．【点睛】 本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 8．C解析：C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC =A 'C ，且点C 为BB '的中点，∵AB =5cm ，BC =12×10=5cm ， ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ，故选：C ．【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．9．B解析：B【分析】过A 作AG BC ⊥于点G ，根据2AF EF =可得3ADE ACD S S ∆∆==，再由勾股定理求得5AE AC ==，最后由三角形面积公式可求出点D 到AE 的距离．解：过A 作AG BC ⊥于点G∵1DFE S ∆=，2AF EF =∴2ADF S ∆=∴3ADE ACD S S ∆∆== ∵12ADC S CD AG ∆=⋅⋅ ∴3AG =∵AB AD =，AG BC ⊥∴2BD GB =由2BD CD =得，2GD CD ==∴224GC GD DC =+=+=在Rt AGC ∆中，225AC AG GC =+=∴5AE AC == ∴236255ADE S h AE ∆⨯=⋅== 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．10．D解析：D【分析】根据勾股定理解得2AB 的值，再结合正方形的面积公式解题即可．【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，222224220AB AC BC ∴=+=+=∴以AB 为一条边向三角形外部作的正方形的面积为220AB =，故选：D ．本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长=2234+=5cm ，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长=22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．12．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．二、填空题13．5或16【分析】分两种情况讨论：①当∠BCP 为直角时点P 与点A 重合根据勾股定理即可求得跑PB 进而得到t ；②当∠BPC 为直角时利用三角形面积即可求解PC 然后根据勾股定理即可求解BP 进而求得t 【详解】∵解析：5或1.6【分析】分两种情况讨论：①当∠BCP 为直角时，点P 与点A 重合，根据勾股定理即可求得跑PB ，进而得到t ；②当∠BPC 为直角时，利用三角形面积即可求解PC ，然后根据勾股定理即可求解BP ，进而求得t ．【详解】∵∠C ＝90°，BC =4cm ，AC =3cm ，，∴在Rt BCA ∆，2222435AB BC AC =+=+=． ①当∠BCP 为直角时，点P 与点A 重合，∴t ＝5÷2＝2.5s ．②∠BPC 为直角时，在Rt △ABC 中，1122ABC S BC AC AB CP ∆=⨯⨯=⨯⨯， 即1143522⨯⨯=⨯⨯CP ，解得 2.4CP = 在Rt △BPC 中，22224 2.4 3.2BP BC PC =-=-=∴t ＝3.2÷2＝1.6s ． 综上，当t ＝2.5s 或1.6s 时，△BPC 为直角三角形．故答案为：2.5或1.6．【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握t s v =÷以及勾股定理是解题的关键．14．13【分析】把圆柱沿母线AB剪开后展开点C展开后的对应点为C′利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′然后利用勾股定理计算出AC′即可【详解】把圆柱沿母线AB剪开后展开点C展开后的对应点解析：13【分析】把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′，然后利用勾股定理计算出AC′即可．【详解】把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，∵AB＝12，BC′＝5，在Rt△ABC′，AC′22+=51213∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm．故答案是：13【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．15．13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径只需将长方体展开然后利用两点之间线段最短及勾股定理求解即可【详解】解：展开图如图所示：由题意在中AD=12cmBD=5cm蚂蚁爬行的最短路径长为：故答案为1解析：13【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，只需将长方体展开，然后利用两点之间线段最短及勾股定理求解即可．【详解】解：展开图如图所示：由题意，在Rt ADB 中，AD=12cm ，BD=5cm ，∴蚂蚁爬行的最短路径长为：222212513AB AD BD cm =+=+=，故答案为13．【点睛】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握求最短路径的方法是解题的关键．16．10或6【解析】试题解析：10或6【解析】 试题根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB =10，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，22AC AD -=2，此时BC =BD +CD =8+2=10；如图2所示，AB =10，AC 10，AD =6，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理得：BD 22AB AD -，CD 22AC AD -=2，此时BC =BD -CD =8-2=6，则BC 的长为6或10． 17．200【分析】根据勾股定理可知两直角边的平方和与斜边平方相同进而得出答案【详解】∵在中斜边∴∴200故答案为：200【点睛】本题考查勾股定理解题关键是根据勾股定理发现题干中解析：200【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和与斜边平方相同，进而得出答案．【详解】∵在Rt ABC ∆中，斜边10BC =∴2222=100=10BC AB AC +=∴222BC AB AC ++=200故答案为：200．【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中222=BC AB AC +． 18．15【分析】根据点C 在点A 的北偏东19°在点B 的北偏西71°得出∠ACB=90°即得出△ABC 是直角三角形根据勾股定理解答即可【详解】如图：∵点C 在点A 的北偏东19°在点B 的北偏西71°∴∠ACD=解析：15【分析】根据点C 在点A 的北偏东19°，在点B 的北偏西71°得出∠ACB=90°，即得出△ABC 是直角三角形，根据勾股定理解答即可．【详解】如图：∵点C 在点A 的北偏东19°，在点B 的北偏西71°，∴∠ACD=19°，∠BCD=71°，∴∠ACB=19°＋71°=90°，∴AC 2＋CB 2=AB 2，∵CB=9，AC=12，∴122＋92=AB 2，∴AB=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了方位角和勾股定理，解题的关键是根据题意得出直角三角形，再勾股定理求AB 的值．19．8【分析】设AB=5x 则BC=3x 根据勾股定理可求出AC=4x 由周长为24列方程求出x 的值即可求出AC 的长【详解】设AB=5x ∵AB ：BC=5：3∴BC=3x ∴AC=4x ∵直角三角形ABC 的周长为2解析：8【分析】设AB=5x ，则BC=3x ，根据勾股定理可求出AC=4x ，由周长为24列方程求出x 的值，即可求出AC 的长.【详解】设AB=5x ，∵AB ：BC=5：3，∴BC=3x ，∴AC=4x ，∵直角三角形ABC 的周长为24，∴3x+4x+5x=24，解得：x=2，∴AC=4x=8.故答案为8【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，用含有x 的式子分别表示出三边的值，代入周长公式求解是解题关键.20．9cm 【分析】由可知为直角三角形利用勾股定理可分别计算求得BC 和CD 从而完成BD 求解【详解】∵∴同理∴故答案为：【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长 解析：9cm【分析】由90C ∠=︒可知ABC 为直角三角形，利用勾股定理，可分别计算求得BC 和CD ，从而完成BD 求解．【详解】∵90C ∠=︒∴15BC ==同理6CD ===∴1569BD BC CD =-=-=故答案为：9cm ．【点睛】本题考察了勾股定理的知识点；求解的关键是熟练掌握并运用勾股定理求解直角三角形边长．三、解答题21．25米【分析】要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：AD=π•20π=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15，在Rt △ADE 中，22AD DE +222015+．故他滑行的最短距离约为25米．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为20π的半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20．本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．22．点C 的坐标为（-1，0）．【分析】根据勾股定理可求出AB 的长，由AB=AC ，根据线段的和差关系可求出OC 的长，进而可求出C 点坐标．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，3），∴OA=4，OB=3，∴225AB AO BO =+=．∵以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，∴5AB AC ==，∴1OC AC AO =-=．∵交x 轴的负半轴于点C ，∴点C 的坐标为（-1，0）．【点睛】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，根据勾股定理求出OC 的长是解题关键． 23．同意豆花的说法．BC ＝12m【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD 是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．【详解】解：同意豆花的说法．理由：连接BD ，∵AB ＝AD ＝5m ，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝5m ，∠ABD ＝60°，∵∠ABC ＝150°，∴∠DBC ＝90°，∵DC ＝13m ，BD ＝5m ，∴CB 2213-5＝12（m ）．答：CB 的长度为12m ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD 是等边三角形是解题关键．24．见详解.【分析】先利用勾股定理求出AC 2和CE 2的值，再根据勾股定理的逆定理证明△ACE 为直角三角形.【详解】证明：∵90B ︒∠=，∴在Rt ABC △中，根据勾股定理222223213.AC AB BC =+=+=同理可求222226452CE CD DE =+=+=.在ACE ∆中∵22135265AC CE +=+=.22(65)65AE ==.∴222AC CE AE +=.∴ACE ∆为直角三角形90ACE ︒∠=.【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的综合运用，如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形，本题依次可证.25．（1）见解析；①见解析；②BC-BD=2BP；见解析；（2）BD-BC=2BP 【分析】（1）根据题意补全图形即可：①设PD与BC的交点为E，根据三角形内角和定理可求解；②过点P作PF⊥BP交BC于点F．证明△BPD≌△FPC，即可得到结论；（2）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，证明△HPC≌△BPD即可．【详解】解：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD=2BP．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB= AC，∠A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD=FC．∵BF=2BP，∴BC-BD=2BP．（3）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP∴2=HB PB又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD，在△HPC和△BPD中，HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△HPC ≌△BPD ∴BD=HC=HB+BC=2BP BC +∴BD -BC =2BP ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．26．43【分析】连接DE ，BD ，由题意可证△BCD 是等边三角形，可得BD ＝BC ＝6，∠DBC ＝60°，由直角三角形的性质可求AD ＝3，AB ＝33，由直角三角形的性质可求BE ＝23，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接DE ，BD ，∵∠BCD ＝60°，BC ＝CD ＝6，∴△BCD 是等边三角形，∴BD ＝BC ＝6，∠DBC ＝60°，∵∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠DAB ＝90°，∠ABD ＝30°，∠ADB ＝∠DBC ＝60°，∴AD ＝12BD ＝3，AB 3＝3 ∵折痕交AB 边于点E ，∴BE ＝DE ，∵∠DBE ＝∠BDE ＝30°，∴∠ADE ＝30°，∴DE ＝2AE ，∴BE ＝2AE ，∵AE +BE ＝AB ＝3∴BE ＝3∴EC 22BC BE +＝3612+3，故答案为：【点睛】本题考查了折叠和勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理．。
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第二章 勾股定理单元检测试题（一）一、选择题（每题3分,共18分）1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） （A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6 2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60 3．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( )(A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米 4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ）（A ）132 （B ）121 （C ）120 （D ）以上答案都不对5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++6. 直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 二、填空题（每题3分,共24分）7. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.8. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______. 9. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8图3图2图1米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.10. 如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S =11．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个 锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______.12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____.13.如图7，已知：ABC ∆中，2BC =，这边上的中线长1AD =， 13AB AC +=+，则AB AC ⋅为_____.14．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.三、解答题（每题10分,共40分）15．如图9，一块长方体砖宽5AN cm =，长10ND cm ==，CD 上的点B 距地面的高8BD cm =，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？图9图8图7图6图5图416．如图11所示的一块地，90ADC ∠=︒，12AD m =，9CD m =，39AB m =，36BC m =，求这块地的面积S ．17．如图12所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.图12图1118．ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===，若90C ∠=︒，如图14，根据勾股定理，则222c b a =+，若ABC ∆不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论。
图14 图15 图16参考答案一、选择题（每题3分,共18分）1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） （A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,6 解：因为222345+=，故选（C ）2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60 解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=， 所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=. 3．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得 22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-=由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得 222211112.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-= 故选(C)4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（ ） （A ）132 （B ）121 （C ）120 （D ）以上答案都不对 解：设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x y >.图1由勾股定理,得22211x y =+.因为,x y 都是自然数，则有()()1211211x y x y +-==⨯. 所以121,1x y x y +=-=.因此直角三角形的周长为121+11=132. 故选（A ）5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++ 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+.所以22a b d S +=+.所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）6. 直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+.整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b . 因为只有81是3的倍数. 故选（C ）二、填空题（每题3分,共24分）7. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.图2解:根据题意，有123S S S +=，即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.整理,得222a b c +=. 故此三角形为直角三角形.8. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.解：本题在Rt ABC ∆中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：当C ∠为直角时,c 为斜边，由勾股定理,得222a b c +=， ∴ 2222534b c a =-=-=；当C ∠不为直角时, c 是直角边，b 为斜边，由勾股定理，得222a cb +=，∴ 22223534.b a c =+=+= 因此,本题答案为4或34.9. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米. 解：由勾股定理，知最短距离为()()222288210BD AC AB CD =+-=+-=.10. 如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S =解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =．11．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______.图5图4图3解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，5,25AD BE ==，所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加，得()225654x y +=，所以2252213.AB x y =+== 12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____.解:由折叠的对称性,得,AD AF DE DF ==. 由130,52ABF S BF AB AB ∆=⋅==,得12BF =. 在Rt ABF ∆中,由勾股定理,得2213AF AB BF =+=.所以13AD =.设DE x =,则5,,1EC x EF x FC =-==.在Rt ECF ∆中,222EC FC EF +=,即()22251x x -+=.解得135x =. 故()211131316.9225ADE S AD DE cm ∆=⋅=⨯⨯=. 13.如图7，已知：ABC ∆中，2BC =， 这边上的中线长1AD =， 13AB AC +=+，则AB AC ⋅为_____.解:因为AD 为中线，所以1BD DC AD ===,于是1,2C B ∠=∠∠=∠.但12180C B ∠+∠+∠+∠=︒,故()212180,1290∠+∠=︒∠+∠=︒,即90BAC ∠=︒.又13AB AC +=+,两边平方,得222423AB AC AB AC ++⋅=+.而由勾股定理,得224AB AC +=. 所以24AB AC ⋅=.故2AB AC ⋅=. 即2AB AC ⋅=.14．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的图7图6点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.解:如图8,作AD BC ⊥于D ,因为1AB AC ==,则BD CD =. 由勾股定理,得222222,AB AD BD AP AD PD =+=+.所以()()2222AB AP BD PD BD PD BD PD BP PC-=-=-+=⋅.所以2221AP BP PC AB +⋅==. 因此2122006120062006m m m ++=⨯=.三、解答题（每题10分,共40分）15．如图9，一块长方体砖宽5AN cm =，长10ND cm ==，CD 上的点B 距地面的高8BD cm =，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结AB ，则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．在Rt ABD ∆中，因为51015AD AN ND =+=+=，8BD =， 所以22222215828917AB AD BD =+=+==． 所以()17AB cm =．因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．图9图10图816．如图11所示的一块地，90ADC ∠=︒，12AD m =，9CD m =，39AB m =，36BC m =，求这块地的面积S ．解：连结AC ，在Rt ACD ∆中，由勾股定理，得222AC AD DC =+，即222129AC =+，所以15AC =．在ABC ∆中，由22222153639AC BC +=+=，即222AC BC AB +=． 所以ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒． 所以()211153612921622ABC ADC S S S m ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=． 所以这块地的面积为2216m ．17．如图12所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.图12答图13解:如图13,因为ABC ∆为等腰直角三角形,所以45ABD C ∠=∠=︒. 所以把AEC ∆绕点A 旋转到AFB ∆,则AFB AEC ∆≅∆. 所以4,,45BF EC AF AE ABF C ===∠=∠=︒.连结DF . 所以DBF ∆为直角三角形.由勾股定理,得222222435DF BF BD =+=+=.所以5DF =. 因为45,DAE ∠=︒所以45DAF DAB EAC ∠=∠+∠=︒.图11所以()ADE ADF SAS ∆≅∆.所以5DE DF ==.18．ABC ∆中，,,BC a AC b AB c ===，若90C ∠=︒，如图14，根据勾股定理，则222c b a =+，若ABC ∆不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论。