江苏省徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学试题 Word版含答案
2013年宿迁市高三三模数学试卷及答案
1.不悔悔梦归处，只恨太匆匆。
2. 有些人错过了，永远无法在回到从前；有些人即使遇到了，永远都无法在一起，这些都是一种刻骨铭心的痛！3. 每一个人都有青春，每一个青春都有一个故事，每个故事都有一个遗憾，每个遗憾都有它的青春美。
4. 方茴说："可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。
”5. 方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
7. 在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8. 这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9. 石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
宿迁市高三年级第三次模拟考试数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确涂写考试号。
3•作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式：2 1 n - 2 - 1 n 样本数据x1,χ2,lll,Xn的方差S（Xi-χ）,其中X X ；n y n i二1 锥体的体积公式：V锥体- Sh ,其中S为锥体的底面面积，h是咼.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上a + 3i1. 已知i是虚数单位，若一b + i（a,b∙ R）,则ab的值为▲.i2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7 , 9.9,10.1 ,10.2 ,10.1 ,则这组数据的方差为▲.3. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲.开始i 一1 S _1SS 15. 方程2 2丄一丄k一1 k -5=1表示双曲线的充要条件是1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”H i ■ 1输岀S（第3题图）2. 有些人错过了，永远无法在回到从前；有些人即使遇到了，永远都无法在一起，这些都是一种刻骨铭心的痛！3. 每一个人都有青春，每一个青春都有一个故事，每个故事都有一个遗憾，每个遗憾都有它的青春美。
江苏省宿迁市2013届高三一模统测数学试题（附答案）
的最小值；
（3）若
a
n
,
2x
a
n+1
,
2
y
a
n+2
成等差数列，求正整数
x,
y
的值.
第3页
20.（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) = ln x - x ， h( x) = ln x .
x
(1)求 h ( x) 的最大值；
2
(2)若关于 x 的不等式 x f (x)≥ -2x + ax -12 对一切 x Î(0 , + ¥) 恒成立，求实数 a 的取
P
与平面 PAD 所成角的正弦值．
M
D
C
O
A
B
第 22 题图
23． (本小题满分 10 分) 某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇
奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字 1～9 的九个小球，一次 摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如 1、2、3）的获一等 奖，奖 1000 元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖 500 元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖 200 元购物券；其他情形 则获参与奖，奖 50 元购物券．所．有．获．奖．等．第．均．以．最．高．奖．项．兑．现．，且．不．重．复．兑．奖．．记 X 表示一次摇奖获得的购物券金额． (1)求摇奖一次获得一等奖的概率；
B
如图，已知 AB ， CD 是圆 O 的两条弦，且 AB 是线段 CD 的
D 垂直平分线，若 AB = 6 , CD = 2 5 ，求线段 AC 的长度．
A
(第 21—A 题图)
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江苏省宿迁市2013届高三年级第三次模拟测试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则AB = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ． 6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一（第3题图）个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的体积为 ▲ ． 10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡．．．指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． BF CE .求证：平面ACE16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．（第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．（第18题图）20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值． 22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.（第22题图）ABCA 1B 1C 1MNEA B C D （第21—A 题图）23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++-,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++=对一切n *∈N 都成立？并说明理由．宿迁市高三年级第三次模拟测试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分 因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B =，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为DF ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分 代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △2． ………………………………………………………13分22916r >，（第17题甲图）（第17题乙图）2．…………14分 18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =10分用1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM =，ON =．…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………………………14分15=，当且仅当1k=时等号成立，所以12S S⋅的最大值为45a．………………………………16分19．⑴若0a=时，12a=，1na+=212n na a+=，且0na>．两边取对数，得1lg22lg lgnna a+=+，……………………………………………………2分化为11lg lg2(lg lg2)2nna a+=++，因为1lg lg22lg2a=+，所以数列{lg lg2}na+是以2lg2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分所以11lg lg22()lg22nna-=+，所以2212nna--=．………………………………………6分⑵由1na+=212n na a a+=+，①当2n≥时，212n na a a-=+，②①-②，得1112()()n n nn n na a a a a a++--=-+，…………………………………………8分由已知0na>，所以1nna a+-与1n na a--同号．…………………………………………10分因为2a=0a>，所以222212(2)(1)330a a a a a a-=-=>++++恒成立，所以21a a-<，所以1nna a+-<．………………………………………………………12分因为1n nnb a a+=-，所以1()n nnb a a+=--，所以21321[()()()]n nnS a a a a a a+=----+++11111()n na a a a a++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax xf x ax xx x-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x+-≤，即22111112()24ax x x-=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分 ⑵因为1()21f x ax x'=--． 所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，FA BC DAC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)==0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，B ，1(1,6,0)C -.所以(AM =-，11(2,0,0)A C =-. 所以111111cos ,2AM A C AM A C AM A C <>==所以异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值为10⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(AM =-，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =，则(1,1,=n .所以3cos ,-<>===m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1(1,)+∞()f x '++-+()f x无极极极值 大值 小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表： 所以时，0x =0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分 （2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+，故0111()(C C C )2nn n n n n a a n +++++=⋅，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x '+-++()f x极大值极小值无极值。
江苏省徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学试题(WORD解析版)
2013年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州三模）已知i是虚数单位，若，则ab的值为﹣3．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•徐州三模）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．（5分）（2013•徐州三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到结果为s=，i=1，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s==，i=2，此时不满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=，i=3，此时不满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=，i=4，此时满足判断框的条件，执行输出s，即输出．故答案为：．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时；常采用写出前几次循环的结果，找规律．4．（5分）（2013•徐州三模）若集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cos（πx），x∈A}，则A∩B={﹣1，1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过A={﹣1，0，1}，求解B={y|y=cos（πx），x∈A}，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={﹣1，0，1}，因为cos（﹣π）=﹣1，cosπ=﹣1，cos0=1，所以B={y|y=cos（πx），x∈A}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1，0，1}∩{﹣1，1}={﹣1，1}故答案为：{﹣1，1}．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，基本知识的应用．5．（5分）（2013•徐州三模）方程表示双曲线的充要条件是k∈（﹣1，5）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的充要条件得到不等式，求解不等式即可得到k的范围．解答：解：方程表示双曲线的充要条件：（k+1）（k﹣5）＜0，解得﹣1＜k＜5．故答案为：（﹣1，5）．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的充要条件的判断，考查计算能力．6．（5分）（2013•徐州三模）在△ABC中，已知，，则tanC的值是．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，可得tanA=，再由求得tanB，再根据tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B），利用两角和差的正切公式求得结果．解答：解：在△ABC中，已知，∴sinA=，tanA=．∵==，tanB=2．则tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）===，故答案为．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2013•徐州三模）已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．。
【解析版】江苏省宿迁市2013届高三第一次模拟统测数学试题
2013年江苏省宿迁市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．1．（5分）（2013•徐州模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．（5分）（2013•宿迁一模）若复数z满足，其中i是虚数单位，则|z|=2．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数模的运算性质对iz=﹣1+i两端同时取模即可．解答：解：iz=﹣1+i，两端取模得：|iz|=|﹣1+i|即|z|=|﹣1+i|==2．故答案为：2．点评：本题考查复数求模，考查观察与灵活应用复数模的运算性质解决问题的能力，属于基础题．3．（5分）（2013•宿迁一模）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是6．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先计算出抽取比例，再按比例计算动物类食品所抽取的数值即可．解答：解：抽取比例为=，故动物类食品所抽取的数值为30×=6．故答案为：6点评：本题主要考查了分层抽样的有关知识，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．4．（5分）（2013•宿迁一模）已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是4．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是124，可以求出a，把五次数学成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．解答：解：∵某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是=124，∴==124，解得a=124，∴这组数据的方差是S2=（（121﹣124）2+（127﹣124）2+（123﹣124）2）+（124﹣124）2+（125﹣124）2=4，故答案为4；点评：本题考查一组数据的方差，对于一组数据这是经常出现的一种题目，用方差来衡量这组数据的波动情况，本题是一个基础题．5．（5分）（2013•宿迁一模）如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是5．考点：伪代码．专题：计算题．分析：通过分析伪代码，按照代码进行执行，当运行4次时即跳出循环．输出I的值即可．解答：解：根据已知伪代码．其意义为当S≤24时，执行循环I=I+1；S=S×I．通过执行运算，第1次循环：I=I+1=2，S=1×2=2第2次循环：I=2+1=3，S=2×3=6第3次循环：I=3+1=4，S=6×4=24第4次循环：I=4+1=5，S=24×5=120此时，S不再满足s≤24，跳出循环，输出I故答案为：5点评：本题考查伪代码，通过理解进行分析和运行．当运行达到已知伪代码的条件时，输出i的值．本题为基础题．6．（5分）（2013•宿迁一模）已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为2．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先判断直线与圆的位置关系，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径．解答：解：∵x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1圆心到直线的距离为：d==3＞1∴直线3x+4y+15=0与圆相离∴圆上的点到直线的最小距离为：3﹣1=2故答案为：2点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想．7．（5分）（2013•宿迁一模）过点（﹣1，0）与函数f（x）=e x（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程是y=x+1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设切点为（a，e a），由f（x）=e x，f′（x）=e x，知f′（a）=e a，所以切线为：y﹣e a=e a（x﹣a），代入点（﹣1，0），能求出过点（﹣1，0）与函数f（x）=e x（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程．解答：解：设切点为（a，e a）∵f（x）=e x，∴f′（x）=e x，∴f′（a）=e a，所以切线为：y﹣e a=e a（x﹣a），代入点（﹣1，0）得：﹣e a=e a（﹣1﹣a），解得a=0因此切线为：y=x+1．故答案为：y=x+1．点评：本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2013•宿迁一模）连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有6×6=36个，其中满足m+n＞9的有6个，由此求得出现向上的点数和大于9的概率．解答：解：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有6×6=36个，其中满足m+n＞9的有：（4，6）、（6，4）、（5，5）、（5，6）、（6，5）、（6，6），共有6个，故出现向上的点数和大于9的概率是=，故答案为．点评：本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是正确列举出所有的满足条件的事件，本题是一个基础题．9．（5分）（2013•宿迁一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为6．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积．解答：解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形．设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE=S，V水=S•AA1=6S．当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，∴6S=Sh，∴h=6．故当底面ABC水平放置时，液面高为6．故答案为：6点评：本题考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查用用体积公式来求高，解答本题时要充分考虑几何体的形状，根据其形状选择求解的方案．10．（5分）（2013•宿迁一模）已知，若，则sin（α﹣β）的值为．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由于α﹣β=（α+）﹣（β﹣）﹣π，由α，β∈（，），利用两角差的正弦即可求得sin（α﹣β）的值．解答：解：∵α，β∈（，），∴＜α+＜π，﹣＜β﹣＜0，又sin（α+）=，cos（β﹣）=，∴cos（α+）=﹣，sin（β﹣）=﹣．∴sin（α﹣β）=﹣sin[（α+）﹣（β﹣）]=﹣[sin（α+）•cos（β﹣）﹣cos（α+）•sin（β﹣）]=﹣[×﹣（﹣）×（﹣）]=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查观察分析转化运算的能力，属于中档题．11．（5分）（2013•宿迁一模）若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{b n}也是等比数列；类比上述性质，若数列{c n}是等差数列，则当d n=时，数列{d n}也是等差数列．考点：等差关系的确定．分析：数学中类比定理的应用是比较重要的探索路径，看清题目中给出的已知条件，模仿条件写出结论，这个结论正确与否不是重点，重要的是要形似．解答：解：由条件类比可知：d n=时，数列{d n}也是等差数列．故答案为：．点评：从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力．12．（5分）（2013•宿迁一模）已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点．若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为．考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：利用双曲线的简单性质求出A、C、B、F各个点的坐标，再利用两个向量的夹角公式以及=2，求出cosθ=的值．解答：解：由题意可得由题意得A（0，b），C（0，﹣b），B（﹣a，0），F（﹣c，0），=2．∴=（a，b），=（﹣c，b）．设与的夹角为θ，则cosθ=====，故答案为．点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，两个向量的夹角公式，属于中档题．13．（5分）（2013•宿迁一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的取值范围是[﹣12，42]．考点：数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n项和公式求出前6项的和的范围．解答：解：a5=a1+4d，a6=a1+5d，所以1≤a1+4d≤4，2≤a1+5d≤3所以﹣20≤﹣5a1﹣20d≤﹣5，6≤3a1+15d≤9，两式相加得，﹣14≤﹣2a1﹣5d≤4，两边同乘以﹣1，﹣4≤2a1+5d≤14．两边同乘以3，﹣12≤6a1+15d≤42．又因为S6=6a1+15d，所以﹣12≤S6≤42．故答案为[﹣12，42]点评：利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向．14．（5分）（2013•宿迁一模）已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（﹣3，0）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象，可得方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范围．解答：解：函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象如下图所示：由图可知，若f（x）=m的四个互不相等的实数根，则m∈（0，1）且x1，x2，x3，x4分别为：x1=m，x2=2﹣m，x3=m+2，x4=﹣m，∴x1x2x3x4=（m2）2﹣4•m2=（m2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0）故答案为：（﹣3，0）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•宿迁一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若向量，，且∥．（1）求角A的大小；（2）求函数的值域．考点：正弦定理；零向量；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过向量的平行，利用共线，通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简，求出A的余弦值，然后求角A的大小；（2）通过函数，利用两角和与差的三角函数，化为铁公鸡的一个三角函数的形式，结合B的范围，直接求解函数的值域．解答：解：（1）因为向量，，且∥．所以（2b﹣c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）即2sinBcosA=sinB，所以cosA=．A是三角形的内角，所以A=．（2）因为函数=sinB+cosB=2sin（B+），而，所以函数y=2sin（B+）的值域（1，2]．点评：本题考查两角和与差的三角函数的应用，正弦定理的应用，正弦函数值的求法，考查计算能力．16．（14分）（2013•宿迁一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D为AB 的中点．（1）求证：BC1⊥平面AB1C；（2）求证：BC1∥平面A1CD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）BC1⊥平面AB1C，即要证BC1与平面AB1C内两条相交直线均垂直，结合已知、直棱柱的几何特征及正方形的性质，可证得结论．（2）要证BC1∥平面CA1D，必须证明BC1∥平面CA1D内的一条直线，因而连接AC1与A1C 的交点E与D，证明即可．解答：证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱∴CC1⊥平面ABC；又∵AC⊂平面ABC∴CC1⊥AC又∵AC⊥BC，CC1∩BC=C∴AC⊥平面B1C1CB又∵B1C⊂平面B1C1CB∴B1C⊥AC又∵BC=BB1，∴平面B1C1CB为正方形，∴B1C⊥BC1，又∵B1C∩AC=C∴BC1⊥平面AB1C；（2）连接BC1，连接AC1于E，连接DE，E是AC1中点，D是AB中点，则DE∥BC1，又DE⊂面CA1D1，BC1⊄面CA1D1∴BC1∥面CA1D点评：本题考查棱柱的结构特征，考查线面垂直的判定，线面平行的判定，转化的数学思想是中档题．17．（14分）（2013•宿迁一模）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（16分）（2013•宿迁一模）已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为．（1）求椭圆C的方程；（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆C的离心率，一条准线方程为，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的标准方程；（2）①确定G，H的坐标，求得OG，OH的长，即可求△GOH的面积；②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH，因为OG2+OH2=GH2，故，分类讨论可得结论．解答：解：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为．所以，，a2=b2+c2，…（2分）解得，所以椭圆方程为．…（4分）（2）①由，解得，…（6分）由得，…（8分）所以，所以．…（10分）②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH因为OG2+OH2=GH2，故，当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，∴同理可得∴，∴R=当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得故满足条件的定圆方程为x2+y2=．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．19．（16分）（2013•宿迁一模）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，数列的前n 项和为T n，且，n∈N*．（1）证明数列{a n}是等比数列，并写出通项公式；（2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值；（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．考点：等比数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）因为，且a n＞0，所以推出a1=1，；由，知，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由（1）得，，由此能求出λ的最小值．（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y﹣2，由此能求出正整数x，y的值．解答：解：（1）因为，其中S n是数列{a n}的前n项和，T n是数列的前n项和，且a n＞0，当n=1时，由，解得a1=1，…（2分）当n=2时，由，解得；…（4分）由，知，两式相减得，即，…（5分）亦即2S n+1﹣S n=2，从而2S n﹣S n﹣1=2，（n≥2），再次相减得，又，所以所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）其通项公式为，n∈N*．…（8分）（2）由（1）可得，，…（10分）若对n∈N*恒成立，只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立，∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3．（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2x=1+2y﹣2，当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，等式不能成立，∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查最小值的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．20．（16分）（2013•宿迁一模）已知函数f（x）=lnx﹣x，．（1）求h（x）的最大值；（2）若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（1）已知h（x）的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解；（2）因为关于x的不等式xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，将问题转化为xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，利用常数分离法进行求解；（3）关于x的方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，可得=x2﹣2ex+b+1恰有一解，构造新函数h（x）=利用导数研究h（x）的最大值，从而进行求解；解答：解：（1）因为，所以，…（2分）由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），所以当x=e时，h（x）取得最大值；…（6分）（2）因为xf（x）≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，即xlnx﹣x2≥﹣2x2+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）设，因为，故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，所以a≤7+ln3．…（10分）（3）因为方程f（x）﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即lnx﹣x﹣x3+2ex2﹣bx=0恰有一解，即恰有一解，由（1）知，h（x）在x=e时，，…（12分）而函数k（x）=x2﹣2ex+b+1在（0，e]上单调递减，在[e，+∞）上单调递增，故x=e时，k（x）min=b+1﹣e2，故方程=x2﹣2ex+b+1恰有一解当且仅当b+1﹣e2=，即b=e2+﹣1；点评：本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定义域与单调区间．注意函数的定义域，此题是一道中档题，考查学生计算能力；三、解答题（共3小题，满分0分）21．（2013•宿迁一模）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，若AB=6，CD=2，求线段AC的长度．B．选修4﹣2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M=的一个特征值是3，求直线x﹣2y﹣3=0在M作用下的新直线方程．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（α是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1的解集为R，求正实数a的取值范围．考点：特征值、特征向量的应用；与圆有关的比例线段；圆的参数方程；绝对值不等式的解法．专题：综合题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：A：设AB和CD交与点E，设AE=x，由题意可得AB是直径，EB=6﹣x，CE=5．由射影定理求出x的值，从而求得AC的值．B：由矩阵M=的一个特征值是3，求得a=2，M=．设直线x﹣2y﹣3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′，y′），则有，即，代人x﹣2y﹣3=0，整理可得新直线方程．C：由参数方程消去参数，化为普通方程，求出圆心和半径，可得在极坐标系下，曲线C是以为圆心，半径等于1的圆，从而求得它的极坐标方程．D：因为|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，故原不等式解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得a的范围，即为所求．解答：解：A：连接BC，设AB和CD交与点E，设AE=x，∵AB是线段CD的垂直平分线，故AB是直径，∠ACB=90°，故EB=6﹣x，CE=5．由射影定理可得CE2=AE•EB，即x（6﹣x）=5，解得x=1（舍去），或x=5．∴AC2=AE•AB=5×6=30，∴AC=．B：∵已知矩阵M=的一个特征值是3，∴f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣a）﹣1=0，即（3﹣2）（3﹣a）﹣1=0，解得a=2，∴M=．设直线x﹣2y﹣3=0上的任意一点（x，y）在M作用下的对应点为（x′y′，），则有，整理得，即，代人x﹣2y﹣3=0，整理得4x'﹣5y'﹣9=0，故所求直线方程为：4x﹣5y﹣9=0．C：由消去θ，得x2+（y﹣1）2=1，曲线C是以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．所以在极坐标系下，曲线C是以为圆心，半径等于1的圆．所以曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．D：因为|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，故原不等式解集为R等价于|a﹣1|≥1．所以a≥2，或a≤0．又因为a＞0，所以a≥2，所以正实数a的取值范围为[2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，与圆有关的比例线段，矩阵的特征值与特征向量，圆的参数方程、极坐标方程的应用，属于中档题．22．（2013•宿迁一模）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，已知，点M为PA中点，求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量=（1，﹣1，1），=（），利用向量的夹角公式，即可求得结论．解答：解：正四棱锥P﹣ABCD中，，∴OA=OB=OP=1建立如图所示的空间直角坐标系，则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）∵M是PA的中点，∴M（），=（1，0，﹣1），=（0，﹣1，﹣1）设平面PAD的法向量为=（x，y，1），则由，可得=（1，﹣1，1）∵=（）∴cos＜＞==∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为．点评：本题考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（2013•宿迁一模）某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖．记X表示一次摇奖获得的购物券金额．（1）求摇奖一次获得一等奖的概率；（2）求X的概率分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．由此能求出摇奖一次获得一等奖的概率．（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50．分别求出P（X=1000），P（X=500），P（X=200），P（X=50），由此能求出X的分布列EX．解答：解：（1）记“摇奖一次获得一等奖”为事件A，连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．∴P（A）===．故摇奖一次获得一等奖的概率为．（2）由题设知X的可能取值分别为1000，500，200，50．P（X=1000）=，P（X=500）==，P（X=200）==，P（X=50）===，∴X的分布列如下：X 1000 500 200 50PEX==．点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．。
江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三上第二次调研考试数学试题及答案
苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学Ⅰ参考公式：球的表面积为24R S π=，其中R 表示球的半径。
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．.． 1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )( ▲ . 2.已知i 是虚数单位，实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 ▲ .3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在)3000,2500[（元）内应抽出 ▲ 人.4.如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ .5.若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ . 7.已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .（第3题图）1000 1500 2000 2500 3000 4000 3500 月收入（元）（第4题图8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .9.由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a的值是 ▲ .10.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k 为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]3,1(,2329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .12.已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .13.若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 14.如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.16.（本小题满分14分）AM NECF第14题图如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？18.（本小题满分16分）1A E CD A1D1B 1C 第16题AB DCPβα第17题图如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的焦距为2，且过点)26,2(. （1） 求椭圆E 的方程；（2） 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（ⅰ）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（ⅱ）设过点M 垂直于PB 的直线为m . 求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.19. （本小题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a的取值范围.20. （本小题满分16分）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++ （1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式.徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为,B 直线ADE ,CGE CFD ,都是⊙O 的割线，已知.AB AC =求证：AC FG //B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）若圆1:22=+y x C 在矩阵)0,0(00>>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b a A 对应的变换下变成椭圆,134:22=+y x E 求矩阵A 的逆矩阵1-A .C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值. D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第21—A 题图22.(本小题满分10分)如图,已知抛物线x y C 4:2=的焦点为,F 过F 的直线l 与抛物线C 交于),(),0)(,(22111y x B y y x A >两点,T 为抛物线的准线与x 轴的交点.(1) 若,1=⋅TB TA 求直线l 的斜率； (2) 求ATF ∠的最大值.23.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1） 计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当2≥n 时，.4n nn n a ≥徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题1．{2,3} 2．0 3．25 4．54 5．6π 6．597．2- 89．1 10．3- 11．37[log ,1]3 12． 13．37(,]6-∞ 14二、解答题15．⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C-2cos()3B B π=--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分16．⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，……………2分又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，………………………………………4分又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．………………………………………7分 ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，………9分 又因为在四边形ABCD中，AB BC CA ===，1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，…………12分 因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE 平面11D DCC ．…14分 17．⑴作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++…………………2分961961x x x x==-⋅+，化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．………………………………………………………………6分 ⑵设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．………………………8分设227()18135t f t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =-，当27)t ∈-时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈-时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =-时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………12分 因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m -时，αβ+取得最小值． ……………………………14分 18．⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312a b =+，…………………………………2分 消去a 可得，422530b b --=，解得23b =或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………………………………………………4分⑵（ⅰ）设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012y k =，1212y k x =-，因为,,A P B 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，8分 因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22113(4)4y x =-，故211221432(4)2y k k x ==--为定值．10分 （ⅱ）直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=, 则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-，…………………………………………12分 111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+， 所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………16分 19．⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分 所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．………………………………16分20．⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分 所以，1224()11,943()1-1,434n n n a b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21．A ．因为AB 为切线，AE 为割线，所以2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=．……………………………………………4分 所以AD AC AC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠，所以GF AC ．………………………………………………………………………10分 B ．设点(,)P x y 为圆C ：221x y +=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x ax x b y by y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x ax y by '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………2分 因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143x y =+上，所以2222143a xb y =+，………………4分又圆方程为221x y +=，故221,41,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又0a >，0b >，所以2a =，b =．所以200⎡⎤=⎢⎣A ，……………………………………………………………………6分所以11020-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣A ．…………………………………………………………………10分 C ．因为圆C的参数方程为cos ,sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数得，()2220x y r r ⎛⎛++=> ⎝⎝，所以圆心C ⎛ ⎝，半径为r ，……3分 因为直线l 的极坐标方程为sin()14ρθπ+=，化为普通方程为x y +=，………6分 圆心C到直线x y +=的距离为2d ，……………………8分又因为圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，所以321r =-=．…10分D．由柯西不等式，2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分 因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，1z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 22．⑴因为抛物线24y x =焦点为()1,0F ，(1,0)T -．当l x ⊥轴时，(1,2)A ，(1,2)B -，此时0TA TB = ，与1TA TB =矛盾，……………2分 所以设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入24y x =，得2222(24)0k x k x k -=++，则212224k x x k=++，121x x =， ①所以2212121616y y x x ==，所以124y y =-，②…4分 因为1TA TB = ，所以1212(1)(1)1x x y y =+++，将①②代入并整理得，24k =，所以2k =±.………………………………………………………………………………6分⑵因为10y >，所以11211tan 114y y ATF y x ∠==++111114y y =+≤，当且仅当1114y y =，即12y =时，取等，所以4ATF π∠≤，所以ATF ∠的最大值为4π.……………………10分 23．⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+， 即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分 ⑵原不等式等价于2(1)4n n +≥．证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n n n n n n n n +=++++ 012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥ 0122222>C C C ()54n n n n n n++=->， 综上所述，当2n ≥时，4n n na n ≥．…………………………………………………10分。
徐州市、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试(word,含答案)
徐州市、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()nii sxx n==-∑，其中11ni i x x n==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3i i (,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115xyk k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在A B C △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，P C 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为A B C △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ． 11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a bb =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．（第3题图）14. 已知曲线C ：()(0)a f x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则O M N △的面积为▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知A B C △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =．⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料A B C ，O 为半圆的圆心，12O C r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以B C 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段O C 上，且另一个顶点D 在 AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．（第17题甲图） （第17题乙图）（第15题图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率2e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线O P 的方程； ⑵求1PQ Q A 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和O M N △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=*n ∈N ．⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．（第18题图）徐州市、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，B C 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结C D 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2D E D C AD D B ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换 已知,a b ∈R ，若矩阵13a b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M.C ．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值．EA B C D （第21—A 题图）22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2C N =.⑴求异面直线AM 与11A C 所成角的余弦值； ⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n nn n n n f x x x x x x ------=-+-+-++- ,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)n nn n n a a a nf ++++= 对一切n *∈N 都成立？并说明理由．徐州市、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试（第22题图）A BC A 1B 1C 1 M N数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3. 58；4. {1,1}-；5.(1,5)-；6.112； 7.1；8.55； 9.9； 10.3π4； 11.38； 12.2； 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为C E ⊥圆O 所在的平面，B C ⊂圆O 所在的平面，所以C E BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C = ，,A C C E ⊂平面A C E ，所以B C ⊥平面A C E ，………………………………………………………………………5分 因为B C ⊂平面B C E F ，所以平面BC EF ⊥平面A C E ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为C D 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以A C B D ，…………………………………………9分 因为B D ⊄平面A C E ，AC ⊂平面A C E ，所以BD 平面A C E ．………………………11分 因为BF C E ，同理可证BF 平面A C E ， 因为BD BF B = ，,B D B F ⊂平面BDF ， 所以平面B D F 平面A C E ，因为DF ⊂平面BDF ，所以D F 平面A C E ．……………………………………………14分 16.⑴由32AB AC S =，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．① 由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分 解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设D BC α∠=， 则3cos 2r BD α=，3sin 2r D C α=， ………………………………………………2分所以29sin 216BD C S r α=△ (4)分2916r ≤，当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到B C 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料A B C 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EO D θ∠=，则cos O E r θ=，sin D E r θ=， 所以21(1cos )sin 2BD E S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，B D E △28． ………………………………………………………13分229816r >，28．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠= .所以260POA ∠= ，所以直线O P的方程为y =.……………………………………3分⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)3y x a =+，联立解得2P a x =. ………………………………………………………………………5分因为2e =2c a =，所以2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y aa=+.由2222),341,y x a xy aa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分（第17题甲图）（第17题乙图）所以1()3274()7aa PQ a Q A a --==---． ………………………………………………………………8分⑶不妨设O M 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以O B =10分用1k-代替上面的k，得O C =．同理可得，OM =，ON =13分所以41214S S O B O C O M O N a ⋅=⋅⋅⋅⋅=14分因为15=，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >．两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分 化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg 22lg 2a =+，所以数列{lg lg 2}n a +是以2lg 2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分所以11lg lg 22()lg 22n n a -=+，所以2212nn a --=．………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立，所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x xx-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a xxx-=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分 ⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a xx---'=-+-=-．………………………………………6分若0a =，则2()2x g x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0x g x x-'=≥，()g x 是单调增函数，当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90AC D BC D ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以AC D E ∠=∠，BC D BD C ∠=∠，因为AD E BD C ∠=∠，所以90E AD E ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分延长D B 交B 于点F ，连结F C ，则2DF DB =，90D C F ∠=︒， 所以AC D F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以R t A D E △∽R t C D F △， 所以A D D E C DD F=，所以D E D C AD D F ⋅=⋅，因为2DF DB =，所以2D E D C AD D B ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x by bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M. ………………………………………………………………10分 FE A BC D（第21—A 题图）C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)=即=0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤. 所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以A C 的中点为原点O ，分别以,O A O B 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,C -1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(1,AM =- ，11(2,0,0)A C =-.所以111111cos ,10AM A C AM A C AM A C <>===所以异面直线AM 与11A C 10⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面A M N 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(1,AM =- ，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,=n . 所以cos ,5<>=== m n m n m n，所以二面角1M AN A --5. ……………………………………………10分23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n nn n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n nx x --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-，因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞0 1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x ' + 0 +-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅-=-极小．…………6分（2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n nn n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mnn -=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n nn n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+ ，故0111()(C C C )2n n n nn n a a n +++++=⋅ ， 所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分x(,0)-∞1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n -- 1 (1,)+∞()f x ' +-++()f x极大值极小值无极值。
2013届宿迁徐州淮阴三市一模数学试题纯word带答案
苏北三市（徐宿淮）2013届高三年级第一次模拟考试 数学(加密试卷)数学Ⅰ 必做题部分参考公式：球的表面积为24SR=π，其中R 表示球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}0,1,2,3U=，集合{}0,1A=，{}1,2,3B =，则()UA B =ð ▲ ．2．已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(34i)(i)10ia b =++，则34a b -的值是 ▲ ．3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500,3000)（元）内应抽出 ▲ 人．4．如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ ．5，1，则它的外接球的表面积是 ▲ .6．从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ . 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28362a a a a =，562S =-，则1a 的值是 ▲ ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，若以F 为圆心的圆22650x yx +-+=与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ . 9．由命题“x ∃∈R ，220x x m ++≤”是假命题，求得实数m 的取值范围是(,)a+∞，则实数a 的值是 ▲ ．10．已知实数x ，y 满足约束条件0,21,0x y x x y k ⎧⎪+⎨⎪++⎩≥≥≤（k为常数），若目标函数2zx y=+的最大值是113，则实数k 的值是 ▲ ．11．已知函数3,[0,1],()93,(1,3],22xx f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是 ▲ ．12．已知角ϕ的终边经过点(1,1)P -,点11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数()sin ()(0)f x x ωϕω=>+图象上的任意两点，元)(第3题图)(第4题图)若12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最小值为3π,则()2f π的值是 ▲ ．13．若对满足条件3(0,0)xy xy x y =>>++的任意x ，y ，2()()10x y a x y -+++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．如图，在等腰三角形A B C 中，已知1A BA C ==，120A =︒，,E F 分别是边,A B A C 上的点，且A E m A B=，A F n A C= ，其中(),0,1m n ∈．若E F ，B C的中点分别为M ，N ，且41m n +=，则M N的最小值为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分． 15．在A B C △中，已知(sinsin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=．⑴ 求角A 的值；⑵in c o s B C-的最大值．16．如图，在四棱柱1111A B C DA B C D -中，已知平面11A A C C ⊥平面A B C D ，且3===CA BC AB，1==CD AD ．⑴ 求证：1B DA A ⊥；⑵ 若E 为棱BC 的中点，求证：A E 平面11D C C D ．17．如图，两座建筑物A B ，C D 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物A B 的顶部A 看建筑物C D 的张角45C A D ∠=︒． ⑴ 求B C 的长度；⑵ 在线段B C 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的张角分别为A P B α∠=，D P C β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？ACEFMN(第14题图)A B C D A 1B 1C 1D 1E (第16题图) P(第17题图)C18．如图，在平面直角坐标系xO y 中，椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>的焦距为2，且过点2．⑴ 求椭圆E 的方程；⑵ 若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线A P 交l 于点M ．（ⅰ）设直线O M 的斜率为1k ，直线B P 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅（ⅱ）设过点M 垂直于P B 的直线为m ，证明：直线m19．已知函数()()2ln 0,1xf x axx a a a =+->≠．⑴ 求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；⑵ 求函数()f x 单调增区间； ⑶ 若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()12e 1fx fx --≥（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．20．已知a >，0b<，且0≠+b a ，令1a a=，b b =1，且对任意的正整数k ，当0k k a b +≥时，k k k b a a 41211-=+，k k b b 431=+；当0<+k k b a 时，k k k b a b 21411+-=+，k k a a 431=+．⑴ 求数列{}n n a b +的通项公式；⑵ 若对任意的正整数n ，0n n a b +<恒成立，问是否存在a ，b 使得{}n b 为等比数列？若存在，求出a ，b 满足的条件；若不存在，说明理由；⑶ 若对任意的正整数n ，0nn a b +<，且22134nn b b +=，求数列{}n b 的通项公式．(第18题图)数学Ⅱ 附加题部分21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，A B 是O的一条切线，切点为B ，直线A D E ，C F D ，C G E 都是O 的割线，已知A CA B=．求证：F G A C．B ．选修：4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）若圆C ：221xy=+在矩阵00ab ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (0,0)a b >>对应的变换下变成椭圆E ：22143xy=+，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为c o s ,2s in 2x r y r θθ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（θ为参数，0r>）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin ()14ρθπ+=． 若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．D ．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足2x y z ++=，求22223x yz++的最小值．(第21-A 题图)AC【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．如图，已知抛物线C ：24yx=的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于11(,)A x y 1(0)y >，22(,)B x y 两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点． ⑴ 若1T A T B =，求直线l的斜率；⑵ 求A T F ∠的最大值．23．已知数列{}n a 满足2*1111()22n n n a a n a n +=-+∈N ，且13a =．⑴ 计算234,,a a a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明；⑵ 求证：当2n ≥时，4nnn a n≥．(第22题图)参考答案与评分标准数学Ⅰ部分一、填空题1．{2,3} 2．0 3．25 4．54 5．6π 6．597．2-85 9．1 10．3- 11．37[lo g ,1]312．2-13．37(,]6-∞147二、解答题15．⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a b c +++-=，…………………………………………………2分所以222bc ab c+-=，所以2221c o s22b c aA b c+-==，…………………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………………6分 ⑵ 由3Aπ=，得23BC π+=co s B C-2co s()3B B π=--1(c o s )22B B B =--+sin ()6B π=+，…………………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………………12分当62Bππ=+，即3B π=in c o s B C-的最大值为1． ……………………………14分16．⑴在四边形A B C D 中，因为B AB C=，D A D C=，所以B DA C⊥，………………2分 又因平面11A A C C⊥平面A B C D ，且平面11A A C C平面A B C DA C=，B D ⊂平面A B C D ，所以B D ⊥平面11A A C C ，……………………………………………4分又因为1A A ⊂平面11A A C C ，所以1B DA A ⊥．………………………………………………7分⑵在三角形A B C 中，因为A B A C=，且E 为B C 中点，所以BC AE ⊥，……………9分又因为在四边形A B C D中，A B B C C A ===，1D A D C ==，所以60A C B ∠=︒，30A C D ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以A E DC ， ………………12分因为D C⊂平面11D DCC，A E ⊄平面11D DCC，所以A E 平面11D DCC．………14分17．⑴作AE ⊥C D，垂足为E ，则9C E =，6D E =，设B Cx=，则tan tan tan tan ()1tan tan C A E D A E C A DC A ED AE C A E D A E∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++………………………2分961961x x x x==-⋅+，化简得215540x x --=，解之得，18x=或3x =-（舍）答：B C 的长度为18m ．……………………………………………………………………6分 ⑵设B P t =，则18(018)C P t t =-<<，2291516266(27)18ta n ()9151813518135118t t tt t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．……………………………8分设227()18135t f t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得127t =-，当(0,127)t ∈-时，()0f t '<，()f t是减函数；当(18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当127t =时，()f t 取得最小值，即tan ()αβ+取得最小值，……………12分因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan ()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+，因为tan yx=在(,)2ππ是增函数，所以当127t=-时，αβ+取得最小值．答：当B P为(127)m-时，αβ+取得最小值． ……………………………………14分18．⑴由题意得22c = ，所以1c =，又222312ab=+，………………………………………2分消去a 可得，422530b b --=，解得23b =或212b =-（舍去），则24a =，所以椭圆E 的方程为22143xy+=．…………………………………………………………4分⑵（ⅰ）设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)My ，则012y k =，1212y k x =-，因为A ，P ，M 三点共线，所以10142y y x =+， 所以，20111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--，………8分因为11(,)P x y 在椭圆上，所以12213(4)4y x =-， 所以211221432(4)2y k k x ==--为定值．…………10分（ⅱ）直线B P 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112mx k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x yy x y --=-，…………………………………………………12分111101111222(2)4(2)2x x x y y x y x y y y x ---=-+=-++=2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+++=2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+，所以直线m 过定点(1,0)-． ………………………………………………………………16分 19．⑴因为函数2()ln (0,1)xf x ax x a a a =->≠+，所以()ln 2ln xf x a a x a'=-+，(0)0f '=，…………………………………………………2分又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y=． …………………4分⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln xxf x a a x a x a a'=-=-++．因为当0,1aa >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………………8分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 单调增区间为(0,)∞+．……………10分⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12maxm i n ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要m ax m in ()()e 1f x f x --≥即可． (12)分又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0.1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()m in01f x f==，()f x 的最大值()m a x f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a aaa --=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a=-->，因为22121()1(1)0g a aa a'=-=-+≥，所以1()2ln g a a aa=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．……………………………………………14分所以，当1a >时，由(1)(0)e 1f f --≥，解得e a ≥；当01a <<时，由(1)(0)e 1f f ---≥，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+ ．……………………………………16分 20．⑴当0nn a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，…2分又当0nn a b +<时，11142n n nb a b +=-+且134n na a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+， (4)分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n nb a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．……5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n nb a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b=，224b a b -=，34516b a b -=，故2245()()416b a b a b--=，化简得0=+b a ，与题中0ab +≠矛盾，故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………………10分 ⑶因为0nn a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， (14)分 所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时 (16)分数学Ⅱ部分21．A ．选修4－1：几何证明选讲因为A B 为切线，A E 为割线，所以2A B A D A E=⋅，又因为A C A B =，所以2A DA E A C⋅=．…………4分 所以，A D A C A CA E=，又因为E A CD A C∠=∠，所以A D C △∽A C E △，所以A D CA C E∠=∠，又因为A D CE G F∠=∠，所以E G FA C E∠=∠ ，所以G F A C．……………………………………10分B ．选修4－2：矩阵与变换设点(,)P x y 为圆C ：221x y+=上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为(,)P x y '''，则00a x a x xb y b y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,x a x y b y '=⎧⎨'=⎩．…………………………………………………2分因为点(,)P x y '''在椭圆E ：22143xy=+上，所以2222143a xb y =+，………………………4分又圆方程为221xy+=，所以221,41,3ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即224,3,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因为0a >，0b>，所以2a=，b=所以200⎡⎤=⎢⎣A，……………………6分所以110203-⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣⎦A ．……………………10分C ．选修4－4：坐标系与参数方程因为圆C的参数方程为c o s ,2s in 2x r y r θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（θ为参数，0r>），消去参数得，()222022x y r r ⎛⎛+++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以圆心22C ⎛-- ⎝⎭，半径为r ，…………3分因为直线l 的极坐标方程为sin ()14ρθπ+=，化为普通方程为x y +=6分圆心C到直线xy +=的距离为2d==，……………………………8分又因为圆C 上点到直线l 的最大距离为3，所以3d r +=，即321r =-=．……………10分 D ．选修4－5：不等式选讲由柯西不等式，2222222()))1xy z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，…………5分因为2xy z =++，所以222242311x y z ++≥，1z ==，即6412,,111111xy z ===时等号成立，所以22223x yz++取得最小值为2411．………………………………………………………10分22．⑴因为抛物线24y x=焦点为()1,0F ，(1,0)T -．当lx⊥轴时，(1,2)A ，(1,2)B -，此时0T A T B =，与1T A T B =矛盾， (2)分所以设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入24y x=，得2222(24)0k x kx k-=++，（*）则212224kx x k=++，121x x =，① 所以2212121616y y x x ==，所以124y y =-，②……………4分因为1T A T B =，所以1212(1)(1)1x x y y =+++，将①②代入并整理得，24k=，所以2k =±.……………6分⑵因为1y >，所以11211ta n 114y y A T Fy x ∠==++111114y y =+≤，所以4A T F π∠≤，所以A T F ∠的最大值为4π.…………………………………………………10分23．⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()na n n =∈+N ．………………………2分 ①当1n =时，13a =，结论成立； ②假设当(1)nk k =≥时，结论成立，即2ka k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+，即当1nk =+时，结论也成立，由①②可知，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．………………5分⑵原不等式等价于2(1)4nn +≥．证明：显然，当2n=时，等号成立；当2n>时，01222222(1)C C C ()C ()nnnn n n n nn nn+=++++ 012233222C C C ()C ()n nn n nnn+++≥122222>C C C ()54n nn nnn++=->，综上所述，当2n ≥时，4nnn a n≥．…………………………………10分。
连云港、徐州、宿迁届数学三模(含参考答案)
宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑.棱锥的体积13V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 是高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{1,1,2}A =-，{0,1,2,7}B =，则集合A B 中元素的个数为▲ ．2．设a b ∈R ，，1ii 1ia b +=+-（i 为虚数单位），则b 注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的离心率是 ▲ ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字． 将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是 ▲ ． 5．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．6．已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足1,3,2,y x x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≤≤≥ 则y x 的取值范围是 ▲ ．8．若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是 ▲ ．9．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且522S S =+，则q 的值为 ▲ ．10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -11．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ▲ ． 12．已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知ABC △三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C =，2c =．当AC AB ⋅取得最大值时，ba的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB EF∥；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF EF⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y C :+=的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；（2）设直线AP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=若存在，求出λ18．（本小题满分16分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域； （2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．19．（本小题满分16分）已知两个无穷数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11a =，24S =，对任意的*n N ∈，都有1232n n n n S S S a ++=++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，对任意的*n N ∈，都有n n S T >．证明：n n a b >； （3）若{}n b 为等比数列，11b a =，22b a =，求满足*2()2n nk n na T a kb S N +=∈+的n 值．θ20．（本小题满分16分）已知函数()ln (0)m f x x x m x=+>，()ln 2g x x =-．（1）当1m =时，求函数()f x 的单调增区间； （2）设函数()()()h x f x xg x =-0x >．若函数(())y h h x =的最小求m 的值；（3）若函数()f x ，()g x 的定义域都是[1,e]，对于函数()f x 的图象上的任意一点A ，在函数()g x 的图象上都存在一点B ，使得OA OB ⊥，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的弦AB ，MN 交于点C ，且A 为弧MN 的中点，点D 在弧BM 上．若3ACN ADB ∠=∠，求ADB ∠的度数．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。
江苏省一轮复习数学试题选编7：矩阵与变换(教师版).pdf
江苏省2014届一轮复习数学试题选编37：矩阵与变换 填空题 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设矩阵的逆矩阵为,a+b+c+d=_________________. 【答案】0 解答题 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—2:矩阵与变换) 已知矩阵的一个特征值为,其对应的一个特征向量为,已知,求.【答案】 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）B 选修4 - 2:矩阵与变换若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵. 【答案】选修4 - 2:矩阵与变换解.设,由 得,即,, 所以 ．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）B.选修4-2:(矩阵与变换)已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M. 【答案】B.选修4-2:(矩阵与变换)设,则,故 ,故 联立以上两方程组解得,故=．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求.【答案】对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点,则,因为,所以, 所以解得所以, 所以 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-2:矩阵与变换设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,求矩阵M的逆矩阵.【答案】【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以,化简可得 依题意可得,或而由可得 故, ．（2010年高考（江苏））矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 【答案】，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。
【解析版】江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三第二次调研考试数学试题
苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州一模）已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B={2，3}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．解答：解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，∴∁U A={2，3}，又B={1，2，3}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．故答案为：{2，3}．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．2．（5分）（2013•徐州一模）已知i是虚数单位，实数a，b满足（3+4i）（a+bi）=10i，则3a﹣4b的值是．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的乘法运算展开，然后利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则答案可求．解答：解：由（3+4i）（a+bi）=10i，得（2a﹣4b）+（4a+3b）i=10i．所以，解得：．则3a﹣4b=．故答案为．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．（5分）（2013•徐州一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．解答：解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．点评：本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数．4．（5分）（2013•徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．点评：本题考查算法中循环结构流程图，关键注意何时结束循环．5．（5分）（2013•徐州一模）若一个长方体的长、宽、高分别为，，1，则它的外接球的表面积是6π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：先求长方体的对角线，也就是球的直径，再求球的表面积．解答：解：长方体的对角线是：=，球的半径是：．球的表面积是：4πr2==6π．故答案为：6π．点评：本题考查球内接多面体，球的表面积，是基础题．6．（5分）（2013•徐州一模）从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数，分为两类：若取出的数字不含0和取出的两个数字中有一个为0，利用排列和组合的计算公式分别计算出两位数的个数和偶数的公式，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数，分为两类：若取出的数字不含0，共组成=6个两位数，其中2为个位的两位数有=2个；若取出的两个数字中有一个为0，则0只能放在个位上，可组成=3个两位数，且都是偶数．由上可得所得两位数的个数为6+3=9个，其中偶数个数为2+3=5．故所得两位数为偶数的概率P=．故答案为．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、排列与组合的计算公式及其意义是解题的关键．注意数字0不能放在首位．7．（5分）（2013•徐州一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1的值是﹣2．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．。
2013年宿迁市高三三模数学试卷及答案-推荐下载
13．已知函数
f
(x)
x 2, 0≤ x 1,
2
x
1 2
,
x≥1.
若a
7
b≥ 0 ，且
围是 ▲ ． 14. 已知曲线 C ： f (x) x + a (a 0) ，直线 l ： y x ，在曲线 C 上有一个动点 P ，过
x
点 P 分别作直线 l 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A, B .再过点 P 作曲线 C 的切线，分别
15. 如图， AB ， CD 均为圆 O 的直径， CE 圆 O 所在的平面， BEF A CE .求证： ⑴平面 BCEF 平面 ACE ；
⑵直线 DF A 平面 ACE ．
数学Ⅰ试卷
，
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
江苏省宿迁市2013届高三第一次模拟统测数学试题(WORD解析版)
2013年江苏省宿迁市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．1．（5分）（2013•徐州模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．（5分）（2013•宿迁一模）若复数z满足，其中i是虚数单位，则|z|=2．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数模的运算性质对iz=﹣1+i两端同时取模即可．解答：解：iz=﹣1+i，两端取模得：|iz|=|﹣1+i|即|z|=|﹣1+i|==2．故答案为：2．点评：本题考查复数求模，考查观察与灵活应用复数模的运算性质解决问题的能力，属于基础题．3．（5分）（2013•宿迁一模）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品种数是6．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先计算出抽取比例，再按比例计算动物类食品所抽取的数值即可．解答：解：抽取比例为=，故动物类食品所抽取的数值为30×=6．故答案为：6点评：本题主要考查了分层抽样的有关知识，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．4．（5分）（2013•宿迁一模）已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是4．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是124，可以求出a，把五次数学成绩和平均数代入方差的计算公式，求出这组数据的方差．解答：解：∵某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，其平均成绩是=124，∴==124，解得a=124，∴这组数据的方差是S2=（（121﹣124）2+（127﹣124）2+（123﹣124）2）+（124﹣124）2+（125﹣124）2=4，故答案为4；点评：本题考查一组数据的方差，对于一组数据这是经常出现的一种题目，用方差来衡量这组数据的波动情况，本题是一个基础题．5．（5分）（2013•宿迁一模）如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是5．考点：伪代码．专题：计算题．分析：通过分析伪代码，按照代码进行执行，当运行4次时即跳出循环．输出I的值即可．解答：解：根据已知伪代码．其意义为当S≤24时，执行循环I=I+1；S=S×I．通过执行运算，第1次循环：I=I+1=2，S=1×2=2第2次循环：I=2+1=3，S=2×3=6第3次循环：I=3+1=4，S=6×4=24第4次循环：I=4+1=5，S=24×5=120此时，S不再满足s≤24，跳出循环，输出I故答案为：5点评：本题考查伪代码，通过理解进行分析和运行．当运行达到已知伪代码的条件时，输出i的值．本题为基础题．6．（5分）（2013•宿迁一模）已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为2．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先判断直线与圆的位置关系，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径．解答：解：∵x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1圆心到直线的距离为：d==3＞1∴直线3x+4y+15=0与圆相离∴圆上的点到直线的最小距离为：3﹣1=2故答案为：2点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想．7．（5分）（2013•宿迁一模）过点（﹣1，0）与函数f（x）=e x（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程是y=x+1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设切点为（a，e a），由f（x）=e x，f′（x）=e x，知f′（a）=e a，所以切线为：y﹣e a=e a（x﹣a），代入点（﹣1，0），能求出过点（﹣1，0）与函数f（x）=e x（e是自然对数的底数）图象相切的直线方程．解答：解：设切点为（a，e a）∵f（x）=e x，∴f′（x）=e x，∴f′（a）=e a，所以切线为：y﹣e a=e a（x﹣a），代入点（﹣1，0）得：﹣e a=e a（﹣1﹣a），解得a=0因此切线为：y=x+1．故答案为：y=x+1．点评：本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．（5分）（2013•宿迁一模）连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）两次，则出现向上的点数和大于9的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有6×6=36个，其中满足m+n＞9的有6个，由此求得出现向上的点数和大于9的概率．解答：解：设两次点数为（m，n），则所有的（m，n）共有6×6=36个，其中满足m+n＞9的有：（4，6）、（6，4）、（5，5）、（5，6）、（6，5）、（6，6），共有6个，。
2013年宿迁市高三三模数学试卷(必做题部分)
宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()nii sx x n==-∑，其中11ni i x x n==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3i i (,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ．2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115xyk k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ．6．在A B C △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ．（第3题图）9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，P C 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．10．已知O 为A B C △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a bb =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ．13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)a f x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．．16．已知A B C △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =．⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．（第15题图）17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料A B C ，O 为半圆的圆心，12O C r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以B C 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段O C 上，且另一个顶点D 在 AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)xy a b ab+=>>的离心率2e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线O P 的方程； ⑵求1PQ Q A 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和O M N △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．（第18题图）（第17题甲图） （第17题乙图）19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，1n a +=，*n ∈N ．⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．。
江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题(WORD解析版)
江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B={1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得集合B={x|x≥1}，结合交集的定义，计算可得A∩B，即可得答案．解答：解：根据题意，集合B={x|x=m2+1，m∈R}={x|x≥1}，又由集合A={﹣1，0，1}，则A∩B={1}，故答案为{1}．点评：本题考查集合的交集运算，关键是正确求出集合B．2．（5分）（2013•徐州模拟）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为3．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数===为纯虚数，∴，解得a=3．故答案为3．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3．（5分）（2013•徐州模拟）已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，且xy=60，则此样本的标准差是．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据xy=60和平均数，列出方程解出x、y的值，最后再计算此样本的标准差即可．注意运算正确．解答：解：∵平均数是8，∴（7+8+9+x+y）÷5=8 ①xy=60 ②由两式可得：x=6，y=10，或x=10，y=6．则此样本的标准差ρ==，故答案为：．点评：本题考查的是平均数和标准差的概念，属于基础题．4．（5分）（2013•徐州模拟）在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是．考点：等可能事件的概率；空集的定义、性质及运算．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是古典概型，由集合中共有10个元素，然后我们分析各个元素，求出满足条件的基本事件个数，代入古典概型公式，即可得到结论．解答：解：∵集合中共有10个元素而当n=2和n=10时，故满足条件的基本事件个数为2故所取元素恰好满足方程的概率P==故答案为：点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．5．（5分）（2013•徐州模拟）设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是2x2﹣2y2=1．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a，b的值即可，根据双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，求出椭圆中的c值，也即双曲线中的c值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a值，再利用a，b，c之间的关系式，就可得到双曲线的方程．解答：解：椭圆+y2=1中c=1∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点∴双曲线中c=1，∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴双曲线的离心率为，∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1故答案为2x2﹣2y2=1．点评：本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．6．（5分）（2013•徐州模拟）已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．考点：伪代码．专题：图表型；函数的性质及应用．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．。
江苏省苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013届高三第二次调研考试数学试题(WORD解析版)
苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2013•徐州一模）已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B={2，3}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．解答：解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，∴∁U A={2，3}，又B={1，2，3}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．故答案为：{2，3}．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．2．（5分）（2013•徐州一模）已知i是虚数单位，实数a，b满足（3+4i）（a+bi）=10i，则3a﹣4b的值是．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的乘法运算展开，然后利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则答案可求．解答：解：由（3+4i）（a+bi）=10i，得（2a﹣4b）+（4a+3b）i=10i．所以，解得：．则3a﹣4b=．故答案为．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．（5分）（2013•徐州一模）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．专题：图表型．分析：直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．解答：解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．点评：本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数．4．（5分）（2013•徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．点评：本题考查算法中循环结构流程图，关键注意何时结束循环．5．（5分）（2013•徐州一模）若一个长方体的长、宽、高分别为，，1，则它的外接球的表面积是6π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：先求长方体的对角线，也就是球的直径，再求球的表面积．解答：解：长方体的对角线是：=，球的半径是：．球的表面积是：4πr2==6π．故答案为：6π．点评：本题考查球内接多面体，球的表面积，是基础题．6．（5分）（2013•徐州一模）从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数，分为两类：若取出的数字不含0和取出的两个数字中有一个为0，利用排列和组合的计算公式分别计算出两位数的个数和偶数的公式，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字组成无重复数字的两位数，分为两类：若取出的数字不含0，共组成=6个两位数，其中2为个位的两位数有=2个；若取出的两个数字中有一个为0，则0只能放在个位上，可组成=3个两位数，且都是偶数．由上可得所得两位数的个数为6+3=9个，其中偶数个数为2+3=5．故所得两位数为偶数的概率P=．故答案为．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、古典概型的概率计算公式、排列与组合的计算公式及其意义是解题的关键．注意数字0不能放在首位．7．（5分）（2013•徐州一模）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8=2a3a6，S5=﹣62，则a1的值是﹣2．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．。
2013年宿迁市高三年级第三次模拟考试数学答案与评分标准
宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2.0.032；3.58；4. {1,1}-；5.(1,5)-；6.112；7.1；8.55；9.9；10.3π4；11.38；12.2；13.5[,3)4；14.4二、解答题15.⑴因为C E⊥圆O所在的平面，B C⊂圆O所在的平面，所以C E BC⊥，………………………………………………………………………………2分因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC BC⊥，……………………………3分因为AC CE C=，,A C C E⊂平面A C E，所以B C⊥平面A C E，………………………………………………………………………5分因为B C⊂平面B C E F，所以平面BC EF⊥平面A C E．…………………………………7分⑵由⑴AC BC⊥，又因为C D为圆O的直径，所以BD BC⊥，因为,,AC BC BD在同一平面内，所以A C B D，…………………………………………9分因为B D⊄平面A C E，AC⊂平面A C E，所以BD 平面A C E．………………………11分因为BF C E，同理可证BF 平面A C E，因为BD BF B=，,B D B F⊂平面BDF，所以平面B D F 平面A C E，因为DF⊂平面BDF，所以D F 平面A C E．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S=，得31cos sin22bc A bc A=⨯，即4sin cos3A A=．……………2分代入22sin cos1A A=+，化简整理得，29cos25A=．……………………………………4分由4sin cos3A A=，知cos0A>，所以3cos5A=．………………………………………6分⑵由2b a c=+及正弦定理，得2sin sin sinB A C=+，即2sin()sin sinA C A C=++，………………………………………………………………8分所以2sin cos2cos sin sin sinA C A C A C=++．①由3cos5A=及4sin cos3A A=，得4sin5A=，……………………………………………10分代入①，整理得4sincos8CC-=．代入22sin cos1C C=+，整理得265sin8sin480C C--=，……………………………12分解得12sin13C=或4sin5C=-．因为(0,)C∈π，所以12sin13C=．…………………………………………………………14分17．如图甲，设D BCα∠=，则3cos2rBDα=，3sin2rD Cα=，………………………………………………2分所以29sin 216BD C S r α=△ (4)分2916r ≤，当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分此时点D 到B C 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料A B C 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EO D θ∠=，则cos O E r θ=，sin D E r θ=， 所以21(1cos )sin 2BD E S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分 设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，B D E △28． ………………………………………………………13分229816r >，28．…………14分18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠= .所以260POA ∠= ，所以直线O P的方程为y =.……………………………………3分⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)3y x a =+，联立解得2P a x =. ………………………………………………………………………5分因为2e =2c a =，所以2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y aa=+.（第17题甲图）（第17题乙图）由2222),341,y x a xy aa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分所以1()3274()7aa PQ a Q A a --==---． ………………………………………………………………8分⑶不妨设O M 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以O B =10分用1k-代替上面的k，得O C =．同理可得，OM =，ON =13分所以41214S S O B O C O M O N a ⋅=⋅⋅⋅⋅=14分因为15=，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，1n a +=212n n a a +=，且0n a >．两边取对数，得1lg 22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分 化为11lg lg 2(lg lg 2)2n n a a +=++，因为1lg lg 22lg 2a =+，所以数列{lg lg 2}n a +是以2lg 2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分所以11lg lg 22()lg 22n n a -=+，所以2212nn a --=．………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212nn a a a -=+，② ①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为2a =0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立，所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x xx-'=--=->+，………………………………………2分只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a xxx-=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分 ⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a xx---'=-+-=-．………………………………………6分若0a =，则2()2x g x x-'=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0xg x x-'=≥，()g x 是单调增函数，当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分 若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90AC D BC D ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以AC D E ∠=∠，BC D BD C ∠=∠，因为AD E BD C ∠=∠，所以90E AD E ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分延长D B 交B 于点F ，连结F C ，则2DF DB =，90D C F ∠=︒， 所以AC D F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以R t A D E △∽R t C D F △， 所以A D D E C DD F=，所以D E D C AD D F ⋅=⋅，因为2DF DB =，所以2D E D C AD D B ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x by bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩FEA BC D （第21—A 题图）所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M. ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)=即=0a >，所以2a =. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤. 所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分22．⑴以A C 的中点为原点O ，分别以,O A O B 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,C -1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(1,AM =- ，11(2,0,0)A C =-.所以111111cos ,10AM A C AM A C AM A C <>=== 所以异面直线AM 与11A C 10⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面A M N 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(1,AM =- ，(2,2,0)AN =-，由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,=n . 所以cos ,5<>=== m n m n m n，所以二面角1M AN A --的正弦值为5. ……………………………………………10分23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n n nn n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n nx x --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-，因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅-=-极小．…………6分（2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n nn n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mnn -=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n nn n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+ ，故0111()(C C C )2n n n nn n a a n +++++=⋅ ， 所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分。
江苏省徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学解读
江苏省徐州、宿迁市 2013届高三第三次模拟数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共4页，包含填空题（共 14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2 .答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确涂写考试号。
3 •作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
参考公式：样本数据X 1,X 2,|||,X n的方差1 n_（X -x ）2，其中锥体的体积公式：1 ，其中S 为锥体的底面面积， h 是高.V 锥体=_ Sh3、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上 1. 已知i 是虚数单位，若 a + 3i，则ab 的值为 _____ •------ =b + i （a,b 壬 R ） i2. 某射击选手连续射击 5枪命中的环数分别为：9.7，9 9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 _____ .3.右图是一个算法流程图，则输岀的 S 的值是4.若集合 A -「一1,0,门，B -「y|y =cos （二x ）, x A?，则 A D B 二 ------5.方程x 2 y 2表示双曲线的充要条件是 k- +-y1k + 1 k -56•在△ ABC 中，已知4， 1，则tan C 的值是 cosA=tan （A — B ） =—— 5 27.已知实数x ,y 满足& > “，则x 2 + y 2 _2x 的最小值是 ______ •y < 3, x - y + 1 < 0,（第3题图）开始8.已知是等差数列Sn ；a:的前n项和,S7 =7'05 =75 ，则数列-S的前20项和为n9.已知三棱锥p_ABC 的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 6，则三棱锥 P — ABC的体积为 ____ •10-已知0 ABC 的外心，若5OA 12OB-13OC =0，则.C 等于——•11.已知数字发生器每次等可能地输岀数字1或2中的一个数字，则连续输岀的 4个数字之和能被3整除的概率是_ •12.若a 0, b 0，且 11 ，则a + 2b 的取小值为 --------- •+ 12a + b b + 1x+2, 0 < xc1,若a>b > 0，且fa)做)，则bf (a)的取值范围是f (x)=2相交于点M N ， O 是坐标原点若厶ABP 的面积为1，则△ OMN 的面积为 ______________________________________________________________________________ •2、解答题：本大题共6小题，15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分•请在答题卡指定的区域内作答 ，解答时应写岀文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图，AB ， CD 均为圆O 的直径，CE I 圆O 所在的平面,⑴平面BCEF —平面ACE ； ⑵直线°F ］平面ACE •（第 15题图）D16 .已知 △ A B c 的面积为S ，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，需_ 3 $2⑴求cos A 的值;13.已知函数1, x > 1. 214.已知曲线 C :f (X a，直线| ： y = x ，在曲线 =x + (a 0)xC 上有一个动点 p ，过点p 分别作直线 l 和y 轴的垂线，垂足分别为 A B •再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线|和y 轴BF 莹CE .求证:⑵若a b c 成等差数列，求sinC 的值•17 .已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料 ABC ,。
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徐州、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3V Sh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3ii(,)ia b a b =∈++R ，则ab 的值为 ▲ ． 2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B = ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ ． 6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ ．8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S =，1575S =，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为▲ ．9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确涂写考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
结束 开始1i ←11S S ←+1i i ←+3i > 输出SY N（第3题图）12S ←10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0，则C ∠等于 ▲ ．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15. 如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF CE .求证：⑴平面BCEF ⊥平面ACE ；⑵直线DF 平面ACE ．16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =．⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．ABC DOE F（第15题图）17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． ⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC △和OMN △的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最大值．19．已知数列{}n a 满足：12(0)a a a =+≥，12n n a aa +=+，*n ∈N ． ⑴若0a =，求数列{}n a 的通项公式；A 1A 2O PQMNBC xy（第18题图）ABO CD（第17题甲图） A B O CD（第17题乙图）E⑵设1n n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：1n S a <．20．已知函数2()ln f x x ax x =--，a ∈R ．⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数，求a 的取值范围；⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c （点P 除外），该函数图象在点P 处的切线为l ，且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧，试求所有满足条件的a 的值．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.B ．选修4-2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l ：23x y -=变换为自身，求1-M .C ．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2，求a 的值.D ．选修4-5：不等式选讲已知,,x y z ∈R ，且234x y z --=，求222x y z ++的最小值． EA BC D （第21—A 题图）注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为解答题（第21题~第23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确涂写考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
22．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知16AA =，2AB =，,M N 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且4BM =，2CN =. ⑴求异面直线AM 与11AC 所成角的余弦值；⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23．【必做题】本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++- ,n *∈N ． ⑴当2n ≥时，求函数()f x 的极大值和极小值；⑵是否存在等差数列{}n a ，使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++= 对一切n *∈N 都成立？并说明理由．（第22题图）A B C A 1B 1C 1 M N宿迁市高三年级第三次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-；2. 0.032；3.58； 4. {1,1}-； 5.(1,5)-； 6.112； 7.1； 8.55； 9.9； 10.3π4； 11. 38； 12. 2312+； 13.5[,3)4； 14. 4二、解答题15.⑴因为CE ⊥圆O 所在的平面，BC ⊂圆O 所在的平面，所以CE BC ⊥，………………………………………………………………………………2分 因为AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，所以AC BC ⊥， ……………………………3分 因为AC CE C = ，,AC CE ⊂平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE ，………………………………………………………………………5分 因为BC ⊂平面BCEF ，所以平面BCEF ⊥平面ACE ．…………………………………7分 ⑵由⑴AC BC ⊥，又因为CD 为圆O 的直径， 所以BD BC ⊥，因为,,AC BC BD 在同一平面内，所以AC BD ，…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，所以BD 平面ACE ．………………………11分因为BF CE ，同理可证BF 平面ACE ， 因为BD BF B = ，,BD BF ⊂平面BDF ， 所以平面BDF 平面ACE ，因为D F ⊂平面BDF ，所以DF 平面ACE ．……………………………………………14分16.⑴由32AB AC S = ，得31cos sin 22bc A bc A =⨯，即4sin cos 3A A =．……………2分代入22sin cos 1A A =+，化简整理得，29cos 25A =．……………………………………4分由4sin cos 3A A =，知cos 0A >，所以3cos 5A =．………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理，得2sin sin sin B A C =+，即2sin()sin sin A C A C =++，………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++．①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =，得4sin 5A =，……………………………………………10分 代入①，整理得4sin cos 8CC -=．代入22sin cos 1C C =+，整理得265sin 8sin 480C C --=，……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-．因为(0,)C ∈π，所以12sin 13C =．…………………………………………………………14分17．如图甲，设DBC α∠=，则3cos 2r BD α=，3sin 2rDC α=， ………………………………………………2分 所以29sin 216BDC S r α=△ (4)分2916r ≤， 当且仅当π4α=时取等号， …………………………………………………6分 此时点D 到BC 的距离为34r ，可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r ． …………………………………………………7分如图乙，设EOD θ∠=，则cos OE r θ=，sin DE r θ=，所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△，ππ[,]32θ∈ ． …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+，则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-，当ππ[,]32θ∈时，()0f θ'≤，所以π3θ=时，即点E 与点C 重合时，BDE △的面积最大值为2338r ． ………………………………………………………13分因为22339816r r >， 所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为2338r ．…………14分 18．⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =， 又122A A a =，所以1260A A P ∠= .所以260POA ∠= ，所以直线OP 的方程为3y x =.……………………………………3分 ⑵由⑴知，直线2A P 的方程为3()y x a =--，1A P 的方程为3()3y x a =+， 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分 因为32e =，即32c a =，所以2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.AB OCD （第17题甲图） AB OCD （第17题乙图） E由22223(),341,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，…………………………………………………………7分 所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得22(,)1414a ak B k k ++， 所以22114k OB a k +=+；……………………………………………………………………10分用1k-代替上面的k ，得2214k OC a k +=+．同理可得，221a OM k=+，221ak ON k=+．…………………………………………13分所以4122214(14)(4)kS S OB OC OM ON a k k ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅++．………………………14分 因为22221115(14)(4)4()17k k k k k=++++≤，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．………………………………16分19．⑴若0a =时，12a =，12n n a a +=，所以212n n a a +=，且0n a >． 两边取对数，得1lg22lg lg n n a a +=+，……………………………………………………2分 化为11lg lg2(lg lg2)2n n a a +=++， 因为1lg lg22lg2a =+，所以数列{lg lg2}n a +是以2lg 2为首项，12为公比的等比数列．……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+，所以2212n n a --=．………………………………………6分⑵由12n n a a a +=+，得212n n a a a +=+，① 当2n ≥时，212n n a a a -=+，②①-②，得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+，…………………………………………8分 由已知0n a >，所以1n n a a +-与1n n a a --同号．…………………………………………10分因为21a a =+，且0a >，所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立，所以210a a -<，所以10n n a a +-<．………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-，所以1()n n n b a a +=--， 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<．…………………………………………………………16分 20．⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+，………………………………………2分 只需要2210ax x +-≤，即22111112()24a x x x -=--≤，所以18a -≤．…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--．所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--．令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦，则(2)0g =．212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-．………………………………………6分 若0a =，则2()2xg x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>；当(2,)x ∈∞+时，()0g x '<，所以()(2)0g x g =≥，12,c c 在直线l 同侧，不合题意；…………………………………8分若0a ≠，12(2)()4()a x x a g x x-+'=-，若18a =-，2(1)2()0x g x x -'=≥，()g x 是单调增函数， 当(2,)x ∈∞+时，()(2)0g x g >=；当(0,2)x ∈时，()(2)0g x g <=，符合题意；…10分若18a <-，当1(,2)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g >=， 当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()(2)0g x g >=，不合题意； …………………………12分 若108a -<<，当1(2,)4x a∈-时，()0g x '<，()(2)0g x g <=， 当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=，不合题意； ……………………………14分 若0a >，当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()(2)0g x g <=， 当(2.)x ∈+∞时，()0g x '<，()(2)0g x g <=，不合题意．故只有18a =-符合题意． ………………………………………………………………16分附加题21．A ．由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+， AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒， 所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF ⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B ．对于直线l 上任意一点(),x y ，在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y ''，则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++， 因为23x y ''-=，所以2()(3)3x ay bx y --=++， ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩FEA BC D （第21—A 题图）所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ， …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 C ．直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++， …………………………3分 圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+，即22(2)4x y -=+ ，…………6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)到直线的距离为413-=， 即235a =+，因为0a >，所以152a =-. ………………………………………10分D ．由柯西不等式，得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤，即2222(23)14()x y z x y z --++≤， ……………………………………………………5分 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥，即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22．⑴以AC 的中点为原点O ，分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）. 则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(0,0,3)B ，(1,2,0)N -，(0,4,3)M ，1(1,6,0)A ，1(1,6,0)C -.所以(1,4,3)AM =- ，11(2,0,0)AC =- .所以11111125cos ,10220AM A C AM A C AM A C <>===， 所以异面直线AM 与11AC 所成角的余弦值为510.…………………………………………5分 ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m .设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ，因为(1,4,3)AM =- ，(2,2,0)AN =-， 由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n 得430,220,x y z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩+++令1x =，则(1,1,3)=-n . 所以315cos ,55-<>===-m n m n m n ， 所以二面角1M AN A --的正弦值为105. ……………………………………………10分 （第22题图）ABCA 1B 1C 1MNx yzO23．（1）101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n rn n n n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --， 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+，令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-， 因为2n ≥，所以123x x x <<．…………………………………………………2分 当n 为偶数时()f x 的增减性如下表：x(,0)-∞0 1(0,)21n n --121n n --1(,1)21n n --1 (1,)+∞()f x '++ 0-+()f x无极值极大值极小值所以当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅--极大；当1x =时，0y =极小．………4分 当n 为奇数时()f x 的增减性如下表：所以0x =时，0y =极大；当121n x n -=-时，121(1)()(21)n n n n n y n ---⋅-=-极小．…………6分（2）假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立， 由组合数的性质C C m n mn n-=， 把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅， 两式相加，因为{}n a 是等差数列，所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+ ，故0111()(C C C )2n n n n n n a a n +++++=⋅ ，所以11n a a n ++=． …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==，，得121a a +=且132a a +=，进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N ．………10分 x (,0)-∞0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1(1,)+∞()f x ' +- 0++()f x极大值极小值无极值。