函数的极值与导数ppt 通用
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《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中,也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型,利用函数的极值和 导数,可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料,每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导,可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中,常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型,利 用函数的极值和导数,可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品,其固定成本为100万元,每生产一个单位的产品 ,成本为2万元,售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导,可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
3.3.2函数的极值与导数公开课ppt课件
-
+
求定义域—求导—求导数的零点— 列表—求极值
-
x 14
0
例3:已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x =1处的极小值为-1,试确定a,b的值, 并求f(x)的单调区间.
结论:已知函数极值,确定函数解析式中参 数时:
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组, 利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
(3) 极值点一定在区间的内打“√”,错误的打“×”) ①函数f(x)= 1x(x>0)有极值.( × ) ②函数 y x2 2x 的极大值点是(1,-1). ( × ) ③在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.( √ ) ④导数值为0的点一定是函数的极值点.( × )
在 x=d 附近左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.
3
1.极值点与极值
(1)极小值点与极小值 若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在 点 x=a 附近其 他点 的函数值都小,f′(a)= 0 ,而且在点 x=a 附近的左侧
f′(x) < 0,右侧 f′(x) > 0,就把 a 叫做函数 y=f(x)的极小
f′(x) > 0,右侧 f′(x) < 0,就把 b 叫做函数 y=f(x)的极大
值点, f(b) 叫做函数 y=f(x)的极大值.
y 函数取极大值时 f′(x) ,f(x)的变化f′情(况b:)=0
x
a左侧 x=a
a右侧 f′(x)<0
f′(x)
+ f′ 0(x)>0 -
f(x)
单调递增 极大值 单调递减
5.3.2函数的极值与导数课件(人教版)
(3) f (x) 6 12x x3;
(4) f (x) 3x x3.
解:
(3) 令f ( x) 12 3x 2 0,解得 x1 2, x2 2.
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x2 0, 解得 x1 1, x2 1.
Ox
而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点
注意:f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
请思考求可导函数的极值的步骤:
①求导数 f (x) ② 求方程 f (x) =0的根,这些根也称为可能极值点; ③ 检查 f (x) 在方程 f (x=) 0的根的左右两侧的
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3 ( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x 2 x 2;
(2) f (x) x3 27x;
o
Q(x2,f(x2))
a x1 x2
x3 x4 b x
视察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究 方法,看极值与导数之间有什么关系?
y
x x0左侧
x0 x(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
f(x) 增
极大值 减
x x0左侧
x0 x0右侧
f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0
函数的极值与导数ppt课件.ppt
3
求 y 1 x3 4 的极值 3
y
思考:导数值为0 的点一定是函数的 极值点吗?
4
f (0 )=0
o
x
f (a)=0
a是极值点,f (a)是极值
求函数y=f (x)的极值的方法是:
解方程 f (x)=0. 当 f (x0) = 0 时 (1)如果在x0附近的左侧 f (x)>0, 右侧 f (x)<0,
x<b f (x)>0
x=b f (b)=0 x>b f (x)<0
点b叫做函数y= f (x)的极大值点 f (b)叫做函数y=f (x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
注: 极值反映了函数在某一点附近的大小情况, 刻画的是函数的局部性质,与最值不同.
1、函数的极值 2、求函数的极值的方法
课本第32页习题1.3A组4,5题
跟踪训练:求y =(x2-1)3+1的极值.
解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2
新疆 王新敞
奎屯
令y′=0解得x1=-1,x2=0,x3=1
新疆 王新敞奎屯新 Nhomakorabea 王新敞
奎屯
当x变化时,y′,y的变化情况如下表
若上图是导函数y=f (x)的图象,试找出函数y=f(x) 的极大值点和极小值点.
例:求函数f x 1 x3 4x 4的极值.
3
解: f ' x x2 4 x 2x 2
令 f x 0, 得 x = 2, 或 x = -2;
当 f (x) > 0, 得 x > 2 , 或 x < -2; 当 f (x) < 0, 得 -2 < x <2;
求 y 1 x3 4 的极值 3
y
思考:导数值为0 的点一定是函数的 极值点吗?
4
f (0 )=0
o
x
f (a)=0
a是极值点,f (a)是极值
求函数y=f (x)的极值的方法是:
解方程 f (x)=0. 当 f (x0) = 0 时 (1)如果在x0附近的左侧 f (x)>0, 右侧 f (x)<0,
x<b f (x)>0
x=b f (b)=0 x>b f (x)<0
点b叫做函数y= f (x)的极大值点 f (b)叫做函数y=f (x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.
注: 极值反映了函数在某一点附近的大小情况, 刻画的是函数的局部性质,与最值不同.
1、函数的极值 2、求函数的极值的方法
课本第32页习题1.3A组4,5题
跟踪训练:求y =(x2-1)3+1的极值.
解:y′=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2
新疆 王新敞
奎屯
令y′=0解得x1=-1,x2=0,x3=1
新疆 王新敞奎屯新 Nhomakorabea 王新敞
奎屯
当x变化时,y′,y的变化情况如下表
若上图是导函数y=f (x)的图象,试找出函数y=f(x) 的极大值点和极小值点.
例:求函数f x 1 x3 4x 4的极值.
3
解: f ' x x2 4 x 2x 2
令 f x 0, 得 x = 2, 或 x = -2;
当 f (x) > 0, 得 x > 2 , 或 x < -2; 当 f (x) < 0, 得 -2 < x <2;
函数的极值与导数 课件
互动 1 满足 f′(x0)=0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗? 【解析】 不一定,必须再加上 x0 左右导数的符号相反,才能 断定函数在 x0 处取得极值.
互动 2 函数 y=f(x)在给定区间(a,b)内一定有极值点吗? 【解析】 不一定.若函数 y=f(x)在区间(a,b)内是单调函数, 就没有极值点.
例 2 求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-12x; (2)f(x)=sinx(1+cosx)(0<x<2π);
(3)f(x)= 2x -2. x2+1
【思路分析】
求f(x)的定义域 → 求f′(x) →
解方程f′(x)=0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R;
思考题 2 求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)=lnxx.
【解析】 (1)f′(x)=3x2-6x-9.
解方程 3x2-6x-9=0,得 x=-1 或 x=3.
当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1) -1 (-1,3)
3
【解析】 (1)∵f(x)=2x2-ekxx+k, ∴f′(x)=-2x2+(ke+x 4)x-2k. ∵f(x)无极值,∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立. ∵ex>0,∴f′(x)与 g(x)=-2x2+(k+4)x-2k 同号. ∵g(x)的二次项系数为-2, ∴g(x)≤0 恒成立,令 Δ=(k+4)2-16k=(k-4)2≤0,则 k= 4. ∴当 k=4 时,f(x)无极值.
【解析】 以 d、e 两点为例,y=f(x)在点 x=d 处的函数值 f(d)比它在点 x=d 附近其他点的函数值都小,f′(d)=0;在 x=d 的附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.类似地函数 y=f(x)在点 x =e 的函数值 f(e)比它在 x=e 附近其他点的函数值都大,f′(e) =0;在 x=e 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.
互动 2 函数 y=f(x)在给定区间(a,b)内一定有极值点吗? 【解析】 不一定.若函数 y=f(x)在区间(a,b)内是单调函数, 就没有极值点.
例 2 求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-12x; (2)f(x)=sinx(1+cosx)(0<x<2π);
(3)f(x)= 2x -2. x2+1
【思路分析】
求f(x)的定义域 → 求f′(x) →
解方程f′(x)=0 → 列表分析 → 结论
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为 R;
思考题 2 求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; (2)f(x)=lnxx.
【解析】 (1)f′(x)=3x2-6x-9.
解方程 3x2-6x-9=0,得 x=-1 或 x=3.
当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1) -1 (-1,3)
3
【解析】 (1)∵f(x)=2x2-ekxx+k, ∴f′(x)=-2x2+(ke+x 4)x-2k. ∵f(x)无极值,∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立. ∵ex>0,∴f′(x)与 g(x)=-2x2+(k+4)x-2k 同号. ∵g(x)的二次项系数为-2, ∴g(x)≤0 恒成立,令 Δ=(k+4)2-16k=(k-4)2≤0,则 k= 4. ∴当 k=4 时,f(x)无极值.
【解析】 以 d、e 两点为例,y=f(x)在点 x=d 处的函数值 f(d)比它在点 x=d 附近其他点的函数值都小,f′(d)=0;在 x=d 的附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0.类似地函数 y=f(x)在点 x =e 的函数值 f(e)比它在 x=e 附近其他点的函数值都大,f′(e) =0;在 x=e 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0.
《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类,取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化,可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型,并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值,则称为端点描述函数在某一点处 的变化率,即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征,以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质,可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时,可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时,即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增,在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方,导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则,可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件!本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念,以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗?让我 们开始吧!
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化,可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型,并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值,则称为端点描述函数在某一点处 的变化率,即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征,以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质,可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时,可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时,即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增,在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方,导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则,可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
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函数的极值与导数PPT优秀课件
在点 x 0 处取得极大值5,其导函数 y f '(x) 的图像
(如图)过点(1,0),(2,0), 求:
(1) x 0 的值;(2)a,b,c的值;
略解:
(1)由图像可知: x0 1
(2) f(1)abc5 f/(x)3a= 2x 2b xc (a 0)
-
2
3 c
利用导数讨论函数单调的步骤:
已知:y =f(x) 的定义域 D
(1)求导数 f (x)
(2)解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递减区间.
(3)下结论
注、单调区间不能以“并集”出现。
3.3.2 函数的极值与导数
探究、 如图,①函数y=f(x)在A,B 等点的函数值与这些点附近的函数值 有什么关系?
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10,则a,b的值为(C )
A、a3,b3或 a4,b11
B、a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10,则a,b的值为( )
②y=f(x)在这些点的导数值是多少?
y=f(x)
a b
A
Hale Waihona Puke 函数极值的定义极大值点,极小值点统称为极值点.
注:①函数的极大值、极小值未必是 函数的最大值、最小值.
② 极大值不一定小于极小值
B f(b)
aa
bb f(a)
A
• 探索: x =0是否为函数 f(x)=x3的极值点?
(如图)过点(1,0),(2,0), 求:
(1) x 0 的值;(2)a,b,c的值;
略解:
(1)由图像可知: x0 1
(2) f(1)abc5 f/(x)3a= 2x 2b xc (a 0)
-
2
3 c
利用导数讨论函数单调的步骤:
已知:y =f(x) 的定义域 D
(1)求导数 f (x)
(2)解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f('x)0且 xD
得f(x)的单调递减区间.
(3)下结论
注、单调区间不能以“并集”出现。
3.3.2 函数的极值与导数
探究、 如图,①函数y=f(x)在A,B 等点的函数值与这些点附近的函数值 有什么关系?
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10,则a,b的值为(C )
A、a3,b3或 a4,b11
B、a4,b1或 a4,b11
C、a4,b11
案例分析
函数 f(x)x3a2xb xa2
在 x 1 时有极值10,则a,b的值为( )
②y=f(x)在这些点的导数值是多少?
y=f(x)
a b
A
Hale Waihona Puke 函数极值的定义极大值点,极小值点统称为极值点.
注:①函数的极大值、极小值未必是 函数的最大值、最小值.
② 极大值不一定小于极小值
B f(b)
aa
bb f(a)
A
• 探索: x =0是否为函数 f(x)=x3的极值点?
函数的极值与导数 课件
数的单调性. 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,那么f(x0)是 极小值 .
类型一 求函数的极值点和极值 例1 求下列函数的极值,并画出函数的草图: (1)f(x)=(x2-1)3+1;
数根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1.
类型三 函数极值的综合应用
例3 (1)函数f(x)=1 x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点, 3
则实数a的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数y=f(x)的图象与y= 1 f′(x)+ 3
5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.
(2)f(x)=lnx
x .
类型二 已知函数极值求参数 例2 (1)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a=
________,b=________.
(2)若函数f(x)=1 x3-x2+ax-1有极值点,则a的取值范围为(_-__∞__,__1_). 3
解析 f′(x)=x2-2x+a,由题意,方程x2-2x+a=0有两个不同的实
函数的极值与导数
知识点一 函数的极值点和极值
思考1 观察y=f(x)的图象,指出其极大值点和极小值点及极值.
答 极大值点为e,g,i,极大值为f(e),f(g),f(i),极小值点为d,f,h, 极小值为f(d),f(f),f(h).
思考2 导数为0的点一定是极值点吗? 答 不一定,如f(x)=x3,尽管f′(x)=3x2=0,得出x=0,但f(x)在R上是 递增的,不满足在x=0的左、右两侧符号相反,故x=0,不是f(x)=x3的 极值点. (1)极小值点与极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都 小,f′(a)= 0 ,而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 , 就把 点a 叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a) 叫做函数y=f(x)的极小值.
类型一 求函数的极值点和极值 例1 求下列函数的极值,并画出函数的草图: (1)f(x)=(x2-1)3+1;
数根,所以Δ=4-4a>0,解得a<1.
类型三 函数极值的综合应用
例3 (1)函数f(x)=1 x3-4x+4的图象与直线y=a恰有三个不同的交点, 3
则实数a的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)=x3-6x2+9x+3,若函数y=f(x)的图象与y= 1 f′(x)+ 3
5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围.
(2)f(x)=lnx
x .
类型二 已知函数极值求参数 例2 (1)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a=
________,b=________.
(2)若函数f(x)=1 x3-x2+ax-1有极值点,则a的取值范围为(_-__∞__,__1_). 3
解析 f′(x)=x2-2x+a,由题意,方程x2-2x+a=0有两个不同的实
函数的极值与导数
知识点一 函数的极值点和极值
思考1 观察y=f(x)的图象,指出其极大值点和极小值点及极值.
答 极大值点为e,g,i,极大值为f(e),f(g),f(i),极小值点为d,f,h, 极小值为f(d),f(f),f(h).
思考2 导数为0的点一定是极值点吗? 答 不一定,如f(x)=x3,尽管f′(x)=3x2=0,得出x=0,但f(x)在R上是 递增的,不满足在x=0的左、右两侧符号相反,故x=0,不是f(x)=x3的 极值点. (1)极小值点与极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都 小,f′(a)= 0 ,而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 , 就把 点a 叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a) 叫做函数y=f(x)的极小值.
《导数定义与极限》课件
利用导数求函数的极值
总结词
利用导数等于0的点,确定函数的极值点。
详细描述
如果函数在某点的导数等于0,且该点两侧 的导数符号相反,则该点为函数的极值点。
利用导数求曲线的切线方程
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用导数求曲线在某点的切线斜率。
函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率。再根据点斜 式方程,结合切点坐标,即可求出切线方程。
详细描述
在物理学中,导数常用于描述物体的运动状态和变化规律。例如,物体的速度和加速度可以通过对时间求导来获 得。导数在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
02 导数的计算
导数的四则运算
总结词
掌握导数的四则运算规则,包括加、减、乘、除等运算。
详细描述
导数的四则运算法则是导数计算的基础,包括加法、减法、乘法和除法等运算。这些运算法则可以帮 助我们简化复杂的导数表达式,从而更好地理解和分析函数的单调性、极值等性质。
详细描述
极限是研究函数的重要工具,通过研究函数在不同点处的极限行为,我们可以了解函数的性质,如连 续性、可导性、单调性等。例如,利用极限研究函数的连续性和间断点,或者利用极限研究函数的极 值和最值等。
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无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的反义词,两者在一定条件 下可以相互转化。
06 极限的应用
利用极限证明等式或不等式
总结词
通过极限,我们可以证明一些数学中的等式或不等式 。
详细描述
在数学中,有些等式或不等式可能难以直接证明,但通 过求极限,我们可以得到一些有用的性质和结论,从而 证明这些等式或不等式。例如,利用极限证明一些函数 的等价无穷小关系,或者利用极限证明函数的单调性等 。
导数的应用函数极值与最值课件
极值计算示例
01
02
03
步骤
1. 定义域:全体实数
2. 一阶导数:f'(x)=3x^212x+9
极值计算示例
3. 二阶导数:f''(x)=6x-12
4. 令一阶导数为0,解出对应的x值:x=1或x=3
5. 判断导数在x值附近的符号变化:在x=1附近, f'(x)<0;在x=3附近,f'(x)>0
04
计算得f(-2)=0为最
小值,f(2)=16为
03
最大值
判断f(-2)和f(2)为 极值点,且为单调
性改变的点
04
导数在优化问题中的应用
优化问题的概念与分类
01
优化问题定义:在满足一定条件下,寻求某个 函数的最优值。
03
静态优化:目标函数和束缚条件都不随时间变化。
02
分类
04
动态优化:目标函数或束缚条件随时间变化。
经济模型
导数可以用于建立经济模型,例 如在需求函数中,对价格求导可 以得到需求弹性。
导数在其它领域的应用
工程领域
导数可以用于优化设计、控制过程、 预测趋势等。例如,在机械设计中, 对结构强度进行导数分析可以找到最 优设计方案。
科学计算
导数可以用于数值计算、插值、拟合 等技术中。例如,在数值积分中,对 函数进行离散化求导可以得到数值积 分的结果。
中,物体的平衡状态通常可以通过求导来找到极值点。
曲线斜率
03
导数可以用来计算曲线的斜率,例如在光学中,反射和折射定
律可以用导数来描述。
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用于边际分析,例如在 成本函数中,对产量求导可以得 到单位产量的成本变化。
函数的极值与导数(PPT)3-3
土壤平整,防治; 诺拓铝材 诺拓铝材 ;水分散失 [8] 。 、增施腐熟有机肥。 腐熟有机肥在深耕前施入,每亩至少 千克,最好 ~ 千 克,方法是撒施,然后深耕。肥料以羊粪、鸡粪最好,其次是猪粪,再次是其他肥料 [8] 。 、适当补充微量元素肥料。 播种施用氮、磷、钾大量元素的同时, 适当补充硼、铝、锰、铁、锌等微量元素 [8] 。 、地膜栽培。 地膜栽培可以促进土壤微生物的繁殖,对重茬花生有显著的增产效果 [8] 。 、选用耐重茬品 种、施用重茬肥。选用耐重茬品种、施用重茬肥可提高产量和品质,所以一定要选择国家审定的耐重茬品种,并严把质量关,再选择重茬肥 [8] 。 、做好病 虫草害防治工作。 病虫草害是影响花生产量和品质的重要限制因子, 所以要做好防治工作,作业质量要高,不可马虎 [8] 。 整地施肥 、整地。秋季前茬收 割后,灭茬,秋翻、耙、压后做成新垄。准备地膜覆盖栽培的地块,做成底宽~8cm、畦高cm,畦面宽~cm的畦,畦与畦中间做成~cm宽,cm高的小垄, 以备播种时取土用 [] 。 、施肥 基肥:根据地力、产量水平等进行配方施肥。一般m产千克荚果左右的花生田施有机肥~千克、纯氮~千克、五氧化二磷~8千 克、氧化钾~千克 [] 。 叶面喷肥:中后期喷磷酸二氢钾,浓度为.% [] 。 中耕培土 中耕与培土是密不可分的,中耕在一定条件上促进培土。其主要作用是: 首先,疏松地表土,改善地表层的土质状况和通气状况,促进花生根瘤和根系的发育。其次,能缩短果针入土的距离。果针能及时入土,并形成适合果荚的 发育的土层。除此之外,还能再次对杂草进行消除 [] 。 科学浇水 花生是相对耐旱的植物,一般在正常年份中不需要进行浇水管理,但是如果遇上极为干旱 的天气,尤其是在花针期缺水,就要对花生进行科学并及时的灌溉。在开花下针期间,如果地表- 厘米处的土壤含水量低于土壤正常含水量的一半时,就要及 时的对花生进行灌溉。在花生成熟期,此时对土壤的含水量要求较低,如果此时的土壤含水量大于土壤正常含水量的五分之二时,要及时对土壤进行排水, 以免造成花生烂果或者是发芽,造成花生减产 [极值点的导数值为多少?
函数的极值与导数函数的最大小值与导数PPT课件
第26页/共51页
• [例3] 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1, • (1)试求常数a、b、c的值; • (2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由. • [解析] (1)由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. • 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.
• [点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键,要利用求函数极值的一般步骤求 解.
第21页/共51页
• 函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有 • A.极大值为5,极小值为-27 • B.极大值为5,极小值为-11 • C.极大值为5,无极小值 • D.极大值为-27,无极小值 • [答案] C
,该函数在[a,b]上一定能够取得
连续不断的与曲线
,该函数在(a,b)内是
,该函数的最
值必在
最大值
最小值
取得.
可导的
• 3.当函数f(x)在点x0处连续时,判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是:
极值点或区间端点
• (1)如果在x0附近的左侧
,右侧
,那
么f(x0)是极
值;
f′(x)<0
f′(x)>0 大
第32页/共51页
• 而x1<x2,∴x1+x2=0.∴b=0. • 代入①式,得a(x2-1)=0. • ∵a>0,∴x=±1.再代入f(x1)或f(x2),得a=2. • ∴a=2,b=0.
第33页/共51页x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a、 b、c为常数.
• 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去; • 当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). • 当x∈[-3,-1]时,f(x)为减函数; • 当x∈[-1,+∞)时,f(x)为增函数, • 所以f(x)在x=-1时取得极小值.因此a=2,b=9.
• [例3] 已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1, • (1)试求常数a、b、c的值; • (2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由. • [解析] (1)由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. • 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.
• [点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键,要利用求函数极值的一般步骤求 解.
第21页/共51页
• 函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有 • A.极大值为5,极小值为-27 • B.极大值为5,极小值为-11 • C.极大值为5,无极小值 • D.极大值为-27,无极小值 • [答案] C
,该函数在[a,b]上一定能够取得
连续不断的与曲线
,该函数在(a,b)内是
,该函数的最
值必在
最大值
最小值
取得.
可导的
• 3.当函数f(x)在点x0处连续时,判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是:
极值点或区间端点
• (1)如果在x0附近的左侧
,右侧
,那
么f(x0)是极
值;
f′(x)<0
f′(x)>0 大
第32页/共51页
• 而x1<x2,∴x1+x2=0.∴b=0. • 代入①式,得a(x2-1)=0. • ∵a>0,∴x=±1.再代入f(x1)或f(x2),得a=2. • ∴a=2,b=0.
第33页/共51页x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a、 b、c为常数.
• 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去; • 当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). • 当x∈[-3,-1]时,f(x)为减函数; • 当x∈[-1,+∞)时,f(x)为增函数, • 所以f(x)在x=-1时取得极小值.因此a=2,b=9.
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3.3.2 函数的极值与导数
跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 h
其图象如右.
o
t
h(a) 0
单调递增
h
h(t ) 0
单调递减
h(t ) 0
o a
t
y
ab c
d
o
e
f
g
h
x
对于d点 函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附 近其他点的函数值都小,
那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”
有关的数学名言 ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动,以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
由 f ( x ) >0,得x<-2或x>1, 所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2) ∪(1,+∞)
由 f ( x ) <0,得-2<x<1,
所以f(x)的单调减区间为(-2,1)
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
例如f ( x) x
3
2 可知f ( x) 3x , 从而f (0) 0
f(x)=ax3+bx2-2x
12a 4b 2 0 即 3a 2b 2 0 1 a 解得 3 1 b 2
f ( x ) =3ax2+2bx-2
1 3 1 2 所以 f ( x) x x 2 x 3 2
(2)
f ( x )=x2+x-2
(2,+∞) ↘
-2
o2
x
一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 f ( x ) =0.当 f ( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0 那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶” ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0
y
y x3
但x=0不是函数的极值点 导数为零的点是 该点为极值点的必要条件, 而不是充分条件.
o
x
一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 f ( x ) =0.当 f ( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0 那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶” ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0
那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”
例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1 处取得极值: (1)求函数的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间。 解:(1) f ( x )=3ax2+2bx-2
因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值,所以
f (2) 0, f (1) 0
在点 x=e 附近的右侧 f ( x) <0
y
ab c
d
o
e
f
g
h
x
极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值 极大值一定大于极小值吗?
例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值。 解: f ( x) =3x2-12=3(x-2)(x+2) 令 f ( x) =0 得x=2,或x=-2 下面分两种情况讨论: (1)当 f ( x)>0即x>2,或x<-2时; (2)当 f ( x)<0即-2<x<2时;
图象如右
y
f ( x) x3 12x 12
-2 o
2
x
练习1、求函数f(x)=6+12x-x3
f ( x )=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)
(-∞,-2) -2 (-2,2) 2 f ( x) 0 + 0 f(x) 22 -10 ↘ ↗ x
y
f ( x) 6 12x x3
f ( x) , f(x)的变化情况如下表; 当x变化时,
(-∞,-2) -2 f ( x) + 0 f(x) 单调递增↗ 28 x
(-2,2) 单调递减↘
2 (2,+∞) 0 + -4 单调递增↗
因此,当x=-2时,f(x)有极大值, 并且极大值为f(-2)=28 当x=2时,f(x)有极小值, 并且极小值为f(2)=-4
f ( d ) =0 。
我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点, f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。 在点x=d 附近的左侧 f ( x) <0 在点x=d 附近的右侧 f ( x) >0
y
ab c
d
o
e
f
g
h
x
对于eபைடு நூலகம் 函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附 近其他点的函数值都大,f (e) =0 。 我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点, f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。 在点 x=e 附近的左侧 f ( x) >0
跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 h
其图象如右.
o
t
h(a) 0
单调递增
h
h(t ) 0
单调递减
h(t ) 0
o a
t
y
ab c
d
o
e
f
g
h
x
对于d点 函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附 近其他点的函数值都小,
那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”
有关的数学名言 ◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动,以及 最高级智能活力美学体现。——普林舍姆 ◇历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人 精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗 庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自 然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。—— 本杰明
由 f ( x ) >0,得x<-2或x>1, 所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2) ∪(1,+∞)
由 f ( x ) <0,得-2<x<1,
所以f(x)的单调减区间为(-2,1)
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
例如f ( x) x
3
2 可知f ( x) 3x , 从而f (0) 0
f(x)=ax3+bx2-2x
12a 4b 2 0 即 3a 2b 2 0 1 a 解得 3 1 b 2
f ( x ) =3ax2+2bx-2
1 3 1 2 所以 f ( x) x x 2 x 3 2
(2)
f ( x )=x2+x-2
(2,+∞) ↘
-2
o2
x
一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 f ( x ) =0.当 f ( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0 那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶” ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0
y
y x3
但x=0不是函数的极值点 导数为零的点是 该点为极值点的必要条件, 而不是充分条件.
o
x
一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 f ( x ) =0.当 f ( x ) =0时. ①如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0 那么,f(x0)是极大值; 即“峰顶” ②如果在x0附近的左侧 f ( x ) 0 右侧 f ( x ) 0
那么,f(x0)是极小值. 即“谷底”
例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1 处取得极值: (1)求函数的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间。 解:(1) f ( x )=3ax2+2bx-2
因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值,所以
f (2) 0, f (1) 0
在点 x=e 附近的右侧 f ( x) <0
y
ab c
d
o
e
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g
h
x
极小值点、极大值点统称为极值点 极小值、极大值统称为极值 极大值一定大于极小值吗?
例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值。 解: f ( x) =3x2-12=3(x-2)(x+2) 令 f ( x) =0 得x=2,或x=-2 下面分两种情况讨论: (1)当 f ( x)>0即x>2,或x<-2时; (2)当 f ( x)<0即-2<x<2时;
图象如右
y
f ( x) x3 12x 12
-2 o
2
x
练习1、求函数f(x)=6+12x-x3
f ( x )=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)
(-∞,-2) -2 (-2,2) 2 f ( x) 0 + 0 f(x) 22 -10 ↘ ↗ x
y
f ( x) 6 12x x3
f ( x) , f(x)的变化情况如下表; 当x变化时,
(-∞,-2) -2 f ( x) + 0 f(x) 单调递增↗ 28 x
(-2,2) 单调递减↘
2 (2,+∞) 0 + -4 单调递增↗
因此,当x=-2时,f(x)有极大值, 并且极大值为f(-2)=28 当x=2时,f(x)有极小值, 并且极小值为f(2)=-4
f ( d ) =0 。
我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点, f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。 在点x=d 附近的左侧 f ( x) <0 在点x=d 附近的右侧 f ( x) >0
y
ab c
d
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x
对于eபைடு நூலகம் 函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附 近其他点的函数值都大,f (e) =0 。 我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点, f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。 在点 x=e 附近的左侧 f ( x) >0