数学早过关基础知识检测一教师版

数学早过关基础知识检测一 三角函数与解三角形
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ，3m )，则sin 2α＝( )
A ．±34 B.34C ．±32D.32
解析：选D.本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦．由题意得tan α＝3，则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2
α＋1＝233＋1＝32. 2.已知sin ⎝⎛⎭⎫
π2＋α＝cos(π－α)，则α的取值范围是( ) A ．{α|α＝2k π＋π
4，k ∈Z }
B ．{α|α＝2k π－π
4，k ∈Z }
C ．{α|α＝k π＋π
2
，k ∈Z }
D ．{α|α＝k π，k ∈Z }
解析：选C.根据诱导公式可知，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos(π－α)＝－cos α，∵sin ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＝cos(π－α)，∴cos α＝－cos α，∴cos α＝0，∴α＝k π＋π
2，k ∈Z .
3．函数y ＝sin 24x 是( )
A ．最小正周期为π4的奇函数
B ．最小正周期为π
4的偶函数
C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π的偶函数 解析：选B.∵y ＝sin 24x ＝1－cos 8x 2＝12－1
2cos 8x ，∴函数y
＝sin 24x 是最小正周期为π
4
的偶函数．
4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)的部分图象如图
所示，则ω和φ的取值是( ) A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π
3
C ．ω＝12，φ＝π6
D ．ω＝12，φ＝－π
6
解析：选C.由题图可知T 4＝2π3－⎝⎛⎭⎫－π3＝π，∴T ＝4π，∴ω＝2πT ＝1
2
，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫2π3，1代入可求得φ＝π6
.
5．已知tan(α＋β)＝2
5，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.318 B.1318C.322 D.13
22
解析：选C.本题主要考查两角差的正切公式．因为α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭
⎫β－π
41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭
⎫β－π4＝322. 6．已知函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π
8个单位，得
到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8B ．g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．g (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8D ．g (x )＝－3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：选B.由题意知2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin 2x ，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π
8个
单位，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，则g (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4. 7．函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．π，2－2B ．π，0C ．2π，0 D ．2π，2－ 2
解析：选A.y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4＋2.∵ω＝2，∴T ＝2π2＝π，则函数的最小正周期为π.令2x ＋π4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－3π
8(k ∈Z )时，y min
＝2－2，则函数的最小值为2－ 2.
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝1
3，则c
＝( )
A ．4 B.15C ．3 D.17
解析：选D.由题意求出cos C ，利用余弦定理求出c 即可．∵cos(A ＋B )＝13，∴cos C ＝－1
3.
在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，cos C ＝－1
3，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－
2×3×2×⎝⎛⎭
⎫－1
3＝17，∴c ＝17.
9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝⎛⎭⎫π
2，π上单调递减，则ω的取值范围可以是( ) A. ⎣⎡⎦⎤12，54 B. ⎣⎡⎦⎤0，54C. ⎝⎛⎦⎤0，1
2 D. (0,2] 解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．
法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝1
3，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令
ω＝2⇒ωx ＋π4∈⎝⎛⎭⎫5π4，9π4，不符合题意，排除D ；令ω＝13⇒ωx ＋π4∈⎝⎛⎭⎫
5π12，7π12，不符合题意，排除B ，C.故选A.
法二：y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，则⎩⎨⎧
ωπ2＋π
4≥2k π＋π
2ωπ＋π4≤2k π＋3π
2
k ∈Z ，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54＝2k －3
4
＜0，k ∈Z 得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦
⎤12，54，故选A.
10．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π
2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π
12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦
⎤－π6，π
3上单调递增 解析：选B.本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质等知识．由题意可得平移后的函数为
y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12，k ∈Z ，故该函数在⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件．
11．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2sin(A ＋B )－3＝0，则c ＝( ) A ．4 B. 6 C ．2 3
D ．3 2
解析：选B.∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.
又2sin(A ＋B )－3＝0，即sin(A ＋B )＝
3
2
，
∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝
32
， 又C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1
2
.
根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝6，∴c ＝6(负值舍去)． 12．已知函数y ＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π
3对称，则函数y ＝a sin x ＋cos x 的图象
关于直线( ) A ．x ＝π
3对称
B ．x ＝2π
3对称
C ．x ＝11π
6
对称
D ．x ＝π对称
解析：选C.y ＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a . 因为函数y ＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π
3对称，
所以5π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－7π
6，k ∈Z .
由此可得a ＝tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎫k π－7π6＝－3
3
，k ∈Z ， 则函数y ＝a sin x ＋cos x ＝－33sin x ＋cos x ＝－233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3，其对称轴方程是
x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，当k ＝1时，对称轴方程为x ＝11π
6.。