第四讲 等比数列及前N项和(教师版)
等比数列及前n项和(教师)
1 1 1 ∴数列{ －1}是以 为首项， 为公比的等比数列． an 2 2 (2)数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1， Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． 设 bn＝an＋1－2an，证明{bn}是等比数列，并求其通项公式。 解：an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an. bn＋1 an＋2－2an＋1 4 an＋1－4an－2an＋1 2an＋1－4an ＝ ＝ ＝ ＝ bn an＋1－2an an＋1－2an an＋1－2an 2，∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列，首项为 a2－2a1. ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 3、等比数列的性质 例 3 (1)在等比数列{an}中，a7· a11＝6，a4＋a14＝5， a20 (1)下标和性质： 则 ＝ . 若{an}为等比数列， 且 k＋l＝m＋n(k， l， m， n∈N＋)， a10 解析：在等比数列{an}中，a7· a11＝a4· a14＝6① 则 ak· al＝am· an. 注：上述性质还可以推广到有三项、四项 ……的情 又 a4＋a14＝5② 形．但使用该性质时，一要注意等式两边下标和相 a4＝2 a4＝3， 由 ① 、 ② 组成方程组解得 或 等，二要注意等式两边和的项数必须相等． a14＝3 a14＝2. a20 a14 2 3 ∴ ＝ ＝ 或 . a10 a4 3 2 (2)已知等比数列{an}中， an>0， a10a11＝e， 则 lna1＋lna2＋… ＋lna20 的值为 . 解析：lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln[(a1a20)· (a2a19)·…·(a10a11)] ＝lne10＝10. 变式 (1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝ 5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝ . 解∵{an}为等比数列， ∴a1a2a3， a4a5a6， a7a8a9 成等比数列， 即(a4a5a6)2＝a1a2a3· a7a8a9＝50，∴a4a5a6＝5 2. (2)已知各项不为 0 的等差数列{an}，满足 2a3－a2 7＋2a11＝ 0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8＝________. 2 解析：由题意可知，b6b8＝b2 7＝a7＝2(a3＋a11)＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16. (2)若{an}为等比数列，前 n 项和为 Sn，则：
2020年高考理科数学一轮总复习：等比数列及其前n项和教师版
2020年高考理科数学一轮总复习等比数列及其前n 项和[基础梳理]1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a 、G 、b 不为零)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n＋2k，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n＝A －A ·q n .2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q . [四基自测]1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32答案：C2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128答案：C3．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案：12,484．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案：345．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________. 答案：－2n －1考点一 等比数列的基本运算及性质◄考基础——练透 角度1 利用基本量进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.解析：∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案：－63(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解析：①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. ②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.角度2 利用性质进行计算[例2] (1)在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．3解析：在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0，因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1. 答案：A(2)已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10；因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：310解决等比数列的基本运算常用方法1．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝3，①a 10＝a 1q 9＝384，②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2，把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n－1＝3×2n －3.答案：3×2n －32．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32.答案：323．(2019·哈尔滨模拟)等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 3a 5解析：由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. 答案：B4．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.所以a 7＋a 8＝40×(32)3＝135. 答案：A考点二 等比数列的判定与证明◄考能力——知法[例3] (1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8， 即a 26＝a 3·a 9. 答案：D(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .①求b 1，b 2，b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式．解析：①由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ③由②可得a nn ＝2n －1， 所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的判断与证明的常用方法续表1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n －1(a 是不为0的实数)，则{a n }( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列 C ．是等差数列或是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：当a ＝1时，{a n }的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当a ≠1时，由S n ＝a n －1知，{a n }是等比数列，但不是等差数列，故选C. 答案：C2．(2019·泰安模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．证明：(1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n . b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝(4a n ＋1－4a n )－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是公比为2，首项为3的等比数列．(2)由(1)知b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，所以a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.所以a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1. 所以a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2.所以c n ＋1c n＝2n －12n －2＝2.所以数列{c n }为等比数列．考点三 等比数列前n 项和及综合应用◄考素养——懂理 角度1 等比数列前n 项和性质及应用[例4] (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578D.558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案：A(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎨⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案：2角度2 等比数列通项与和的综合应用[例5] 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式． (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：由(1)知，S n ＝1－(－12)n ， S n ＋1S n＝1－(－12)n ＋11－(－12)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.1.涉及到a n 与S n 的单独值，可以用基本量a 1和q 进行转化．2.涉及到等比数列“a p ·a k ”型问题，可利用性质转化．3.涉及到S n 与a n 的关系时，可利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化．4.涉及到等比数列部分项的和，可利用性质转化．1．(2019·沈阳模拟)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝__________.解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.又因为数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207. 答案：12072．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .解析：(1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n－1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)． 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32(5×3n －32－1)，n 是奇数，32(3n2－1)，n 是偶数.数学建模、数学运算——等比数列的传统文化的学科素养[例1] (2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题 ：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A.1盏B ．3盏 C.5盏 D ．9盏解析：本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算．由题意可知，由上到下灯的盏数a 1，a 2，a 3，…，a 7构成以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴a 1＝3.故选B. 答案：B[例2] (2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 解析：本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. 答案：D[例3] 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝50 7B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝50 7C.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且a＝507D.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且c＝507解析：由题意可知b＝12a，c＝12b，∴ba＝12，cb＝12.∴a、b、c成等比数列且公比为12.∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a＋b＋c＝50，又易知a＝4c，b＝2c，∴4c＋2c＋c＝50，∴7c＝50，∴c＝507，故选D.答案：D[例4]《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走7天，共走700里路，问每天走的里数为多少？”则该马第4天走的里数为()A.128127 B.700127C.5 600127 D.44 800127解析：依题意，马每天走的里程形成一个等比数列，设其首项为a1，公比为q，则q＝12，又S7＝a1(1－q7)1－q＝700，解得a1＝44 800127，从而a4＝44 800127×(12)3＝5 600127，故选C.答案：C课时规范练1．在公比为2的等比数列{a n}中，若sin(a1a4)＝25，则cos(a2a5)的值是()A．－75 B.1725C.75 D.725解析：由等比数列的通项公式可知a 2a 5＝(a 1a 4)q 2＝2(a 1a 4)，cos(a 2a 5)＝1－2sin 2(a 1a 4)＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝1725. 答案：B2．(2019·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( )A ．16B ．32C ．64D ．128解析：由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C. 答案：C3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：设等差数列的公差为d ，d ≠0，a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，d 2＝－2d (d ≠0)，所以d ＝－2，所以S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. 答案：A4．(2019·临沂模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12 D.12解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13. 答案：A5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B6．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由题意得－1＋3d ＝－q 3＝d ＝3，q ＝－a 2b 2＝－1＋3－1×(－2)＝1.答案：17．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.易知数列{a n a n ＋1a n ＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18n 1－18＝647(1－2－3n )． 答案：647(1－2－3n )8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式．(2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故a 1＝11－λ， 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，所以a n ＋1a n＝λλ－1， 因此数列{a n }是以a 1＝11－λ为首项，以λλ－1为公比的等比数列，a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n ，又因为S 5＝3132， 所以3132＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜32.。
第四讲+等比数列及其前n项和
第四讲 等比数列及其前n 项和【考纲点击】等比数列的通项公式、等比中项的应用、等比数列的性质、等比数列及其前n 项和都是高考常考的内容，一般是基本量的求解，题型以选择题和填空题为主，难度不大；在解答题中出现时，一般作为题中的一个桥梁，难度较大。
Ⅰ考点知识点击一、等比数列的定义如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
二、等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项=n a 。
三、等比中项若()02≠=ab ab G ，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
四、等比数列的常用性质 注：其中()*∈Nr q p k m n 、、、、、1. 通项公式的推广：m n m n q a a -⋅=。
2. 若{}n a 为等比数列，且r n m q p 2=+=+，则2r n m q p a a a a a ==。
3. 若{}n a ，{}n b (项数相同)是等比数列，则{}()0≠λλn a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{}2n a ，{}n n b a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍是等比数列。
4. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ，，，m k m k k a a a 2++仍是等比数列，公比为m q 。
5. 公比不为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-仍成等比数列，其公比为nq 。
五、等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的公比为()0≠q q ，其前n 项和为n S ，当1=q 时，=n S ；当1≠q 时，=n S 。
刘老讲结论：1. 由()01≠=+q qa a n n 并不能立即断言{}n a 为等比数列，还要验证01≠a 。
2. 在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论，防止因忽略1=q 这一特殊情形导致解题失误。
等比数列及其前n项和(教师版2003)
等比数列及其前n 项和要点梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝11·n a q－. 3．等比中项若2(0)•G a b ab ≠＝，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·n m q-，(n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则··k l m n a a a a ＝. 2(3).mk k m k m a a a q++ ，，，组成的数列仍然是等比数列，且公比为(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}n na b ⋅，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍是等比数列．5.等比数列{an} 的判定方法：1(1){}(0)n n na a q q q a +⇔=≠是等比数列是常数且 211(2){}(02)n n n n n a a a a a n -+⇔=⋅≠≥是等比数列，(3){}(0)nn n a a cq c q ⇔=是等比数列、为非的常数6．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q a 1－a n q1－q .7．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为n q .典例精析例1 已知等比数列{a n }中，12312378a a a a a a ＋＋＝，＝， 求a n . 解 设{a n }的公比为q ，由题意知2111211178a a q a q a a qa q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解得1112a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1322n nn n a a ∴－－＝或＝. 变式训练1在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，试求a 7.解：∵a 5，a 9是方程271870x x －＋＝的两个根，∴59591871a a a a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩27597597257571 1.00. 1.项a a a a a a a a a a q a ∴±∴∴ 又是和的等比中，＝＝，即＝又由方程，可得＞，＝＞＝例2 （1）已知{}n a 是等比数列, 且0n a >,243546225a a a a a a ++=, 求35a a +的值。
教师资格证面试试讲教案等比数列前n项和
教师资格证面试试讲教案等比数列前n项和教师资格证面试试讲教案是教师面试中非常重要的环节，也是考察教师专业素养和教学能力的关键环节。
试讲教案的编写需要考虑到教学目标、教学策略、教学过程及教学评价等方面的内容。
在这篇文章中，我们将以等比数列前n项和为例，分析试讲教案的编写与教学设计。
一、引入教师应该以一个问题来引入这个话题，比如：我们知道等差数列的前n项和如何计算吗？那么，对于等比数列来说，我们应该怎样计算其前n项和呢？二、归纳总结在引入的基础上，教师可以向学生提问，引导他们通过观察数列的特点，归纳出等比数列前n项和的计算公式。
例如，考虑如下等比数列：1，2，4，8，16，......，如何计算其前n项和？通过观察，我们可以发现每一项与前一项的比值都是相等的，即2/1=4/2=8/4=16/8=2。
因此，我们可以得出等比数列前n项和的计算公式为：Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比。
三、巩固练习教师可以设置一些巩固练习题，让学生灵活运用等比数列前n项和的公式。
例如，请计算下列等比数列的前n项和：1) 2，4，8，16，32，......2) 1，3，9，27，81，......四、拓展应用在巩固练习之后，教师可以引导学生用等比数列前n项和的公式解决一些实际问题。
例如，一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，求这辆汽车在4小时内行驶的路程。
通过分析可知，该问题是一个等比数列求和的问题，其中首项为60，公比为1。
通过代入公式Sn=a(1-q^n)/(1-q)，我们可以计算出这辆汽车在4小时内行驶的总路程为：S4=60(1-1^4)/(1-1)=60(1-1)/(1-1)=60(0)/(0)=0通过运算可知，在4小时内这辆汽车行驶的总路程为0公里。
五、教学反思在教学结束后，教师应该及时进行教学反思，总结这堂课的得失。
教师应该思考自己在教学设计、教学过程和教学评价方面的不足，并提出改进的措施。
等比数列及其前n项和(教师版)
等比数列及其前n 项和【课前快练】1.在等比数列{}n a 中，如果公比1q <，那么等比数列{}n a 是( )． A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．无法确定数列的增减性 【答案】D【解析】当10,01a q ><<时，数列{}n a 为递减数列，当10,01a q <<<时，数列{}n a 为递增数列，当0q <时，数列{}n a 为摆动数列，故当公比1q <时无法确定数列的增减性.2.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（ ）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C3. 已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =， 且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ）A ．29B ．31C ．33D ．35 【答案】B试题分析：由题意得479+=4a a ，因此363911+=()6482q q q q ⇒=⇒=舍去负值，因此55116(1)231.12S -==-选B. 4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =( )． A ．－11 B ．－8 C ．5 D ．11 【答案】 A【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q .因为2580a a +=，所以41180a q a q +=,∴380q +=，∴2q =-，555512221(1)111(2)111(1)114S a q q q S q a q q -----=∙===-----. 5.已知数列{}n a 为等比数列，且14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-或1122n --考点一、等比数列的定义，通项公式，前n 项和的基本运算1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； (2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列； (3)通项公式法 n n a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔是等比数列． 2. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为1a 和q 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等比数列的通项公式11n n a a q-=⋅及前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-，共涉及五个量1,,,,n n a q n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、q ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当1q =时，1na S n =；当时，qq a S n n --=1)1(1；在判断等比数列单调性时，也必须对1a 与q 分类讨论．{}n a )0(1≠=+q q a a nn {}n a {}n a 212++=n n n a a a {}n a {}n a 1≠q3. 特殊设法:三个数成等比数列，一般设为,,aa aq q； 四个数成等比数列，一般设为33,,,a aaq aq q q. 4. 等比数列的前n 项和公式 若已知首项1a 和末项n a ，则11n n a a qS q-=-，或等比数列{a n }的首项是1a ，公比是q ，则其前n 项和公式为q q a S n n --=1)1(1.【典型例题】例1、对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a qa ⋅=⋅⋅⋅=⋅=所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.例2、若{}n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和为n S ，已知241a a =且37S =，则5S =（ ） A ．172 B ．334C ．314D ．152 【答案】C 【解析】22433311,01a a a a a =⇒=>⇒=，3333221117760,02a a S a q q q q q q =⇒++=⇒+-=>⇒=，所以2533311317244S S a q a q =++=++=，选C. 例3、设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列．若1212,a a b b <<，且()21,2,3i i b a i ==，则数列{}n b 的公比为（ ）A ．1+B ．3+C ．3-D ．1【答案】B【解析】【针对训练】【变式一】等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1 , 公差公比都是2,则135a a a b b b =（ ） A ．64 B ．32 C ．256 D ．4096 【答案】D【解析】试题分析：因9,5,1531===a a a ,故135a a a b b b =40962)2(123435951====b b b b ,应选D.【变式二】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且满足113,1a b ==，2210b S +=，5232a b a -=，数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，若n T M <对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为________.【答案】10 【解析】考点二、等比数列的性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a（3）在等比数列中，对任意，，m n m n q a a -=；（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321.（5）若数列{}n a 是等比数列，且公比不为－1，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 如下图所示：k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. （6）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （7）若数列{}n a 是等比数列,则{}n ka ，2{}n a 仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即21a a -，32a a -，43a a -，…成等比数列，且公比为()21322121a a q a a q a a a a --==--.3.等比数列的单调性 当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列，当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递减数列．【典型例题】例1、在等比数列}{n a 中，若有nn n a a )21(31⋅=++，则=5a （ ）A ．41 B ．81 C ．161 D ．321【答案】C例2、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（ ） {}n a m n N +∈{}n a m n p q N +∈m n p q +=+A ．2B ．73C ．310D ．1或2 【答案】B 试题分析：422422131,31321S q q q q S q -=⇒≠=⇒+=⇒=-，63642411271123S q S q --===--例3、已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为,*n S n N ∈，则下列结论中： （1）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列； （2）2232()()n n n n n S S S S S -=-； （3）322()n n n n n S S q S S -=- 正确的结论为 （ ）（A ）（1）（2）． （B ）（1）（3）． （C ）（2）（3）． （D ）（1）（2）（3）． 【答案】C【解析】根据等比数列的性质，12m m S a a a =+++，则212212(m m m m m m S S a a a q a a ++-=+++=+)m a ++m m q S =，232m m m m S S q S -=，(2)(3)是正确的，但当0m S =时，(1)不正确，故选C ．【针对训练】【变式一】一弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地 时，共经过了n S ，则当2n ≥时，有（ ）A ．n S 的最小值为100B ．n S 的最大值为400C ．500n S <D ．500n S ≤ 【答案】C【变式二】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4 【答案】B 【解析】考点三、等差数列与等比数列的综合应用1. 等差、等比数列性质很多，在高考中以等差中项和等比中项的考查为主，在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系．2.在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．方程思想的应用往往是破题的关键．3. 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．4.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【典型例题】例1、设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列．若1212,a a b b <<，且()21,2,3i i b a i ==，则数列{}n b 的公比为（ ）A ．1+．3+．3- D ．1 【答案】B例2、设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则等于( )A.78B.84C.124D.126 【答案】D【解析】因为数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以1n a n =+，得1234562,3,4,5,6,7a a a a a a ======，是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -=，123456234567248163264126a a a a a a b b b b b b b b b b b b +++++=+++++=+++++=．例3、设n S 是公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则33S a =（ ） A ．95 B ．3 C ．94D ．2 【答案】A【针对训练】【变式一】在C ∆AB 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列 BC ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．2a ，2b ，2c 依次成等比数列 【答案】C 【解析】 试题分析：若1tan A ，1tan B ，1tan C 依次成等差数列，则112tan tan C tan B+=A ，则()sin 211cos cos cos sinC sin cos sin tan tan tan C sin sinC sin sinC sin sinC sin sinC A C A C A A C B B A A A A ++=+=+===A 22cos sin sin 2cos sin sin sinC sin sinC B B B B B A A ∴=⇒=，由正弦定理可得22cos b B ac=，再由余弦定理可得{}n a {}n b 126a a a b b b +++{}n a {}nb222222222cos 2ac B b a c b b a c b =⇒+-=⇒+=，即2a ，2b ，2c 依次成等差数列，选C.【变式二】设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若12a a >，12b b >，且2i i b a =（1i =，2，3），则数列{}n b 的公比为 .【答案】3q =-。
安徽省优秀教师数学课件展示：等比数列前n项和(歙县中学)
①
qSn = a1q + a1q + ⋯ + a1q
2
n −1
n 错位相减法 ② +a q 1
①的两边分别减去②两边，得 的两边分别减去②两边，
na1n = a1 + 0 + ⋯ + 0 − a1q n 1) (q (q = (1 − q ) S (1 − q) Sn = a − a q n 1 1 q Sn = a1 − a1q n a1 − ana − a q n a1= a1 − n 问题与思考：等比数列前nq = 1 (q ≠ 1 等比数列前n项和的有关公式中共涉及 ) 当 q ≠ 时， S n = 1 哪几个基本量？这几个量有什么实际意义？ 哪几个基本量？这几个量有什么实际意义？ 1− q 1 − q1− q 1 − q 在运用等比数列求和公式时应注意什么？ 在运用等比数列求和公式时应注意什么？
3.2 等比数列的 前n项和
黄山市歙县中学 柯禾青
我在一个月（ 我在一个月（30 天）中，第一天贷 小华和小军的“贷款” 小华和小军的“贷款”游 给你1万元， 给你1万元，以后每 一天比前一天多给 哈哈， 哈哈，这么多 戏 万元。 你1万元。 钱！我可赚大 我第一天还你1 我第一天还你1分 了！我要是订 钱，以后每天还的 钱是前一天的两倍。 了两个月、 钱是前一天的两倍。 了两个月、三 个月那该多好！ 个月那该多好！ 合同开始生效了，第一天小军支出1 合同开始生效了，第一天小军支出1分
２、理解“错位相减法”这一数列求和的 理解“错位相减法” 思想方法
巩固提高 １、课后作业：P30 A组 课后作业： 2、思考探究： 思考探究： 8、9
1 2 3 10 (1)求： + 2 + 2 +⋯+ 10 2 2 2 2
等比数列的前n项和公式经典教案
等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。
S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。
问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。
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第四讲 等比数列及前N 项和【知识要点】 1.等比数列的定义：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数） 2.等比数列的中项：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a3.等比数列的通项公式通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比．； 推广：),(+-∈⋅=N m n q a a mn m n 5.等比数列其前n 项和公式为⎪⎩⎪⎨⎧≠--==⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)),1()1(1)1(),1(1111q q q a a q na q q q a q na S n n n .6.等比数列的常用性质：（1）数列{}n a 是等比数列，若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅； （2）若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .（3）若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a aaq aq q q.【例题精讲】讲点1. 等比数列的性质 例1. 在等比数列{}n a 中，（1）42,1q S ==，求8S ； （2）3312,9a S =-=-，求公比q ； （3）514215,6a a a a -=-=，求3a ； （4）3221a S =+，4321a S =+，求q . 答案：（1）3158=S （2）2-=q（3）4433-==a a 或 （4）212==q q 或变式1. 数列}{n a 为等比数列，且21+++=n n n a a a ，0>n a ，则该数列的公比q 是（ D ）.A ．22 B ．552 C ．251- D ．215- 变式2. （2010·广东）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。
若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ C ）. A ．35 B ．33 C ．31 D ．29变式3. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且23952a a a ⋅=，12=a ，则1a 等于（ C ）.A ．21B ．22C ．2D ．2例2. 在1与100之间插入n 个正数，使这2n +个数成等比数列，则插入的n 个数的积为 .答案：n10变式 1. 已知{}n a 是等比数列，若0,n a >且243546225,a a a a a a ++=则35a a += 答案：5变式2. 等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若5T =1，则（ B ）.A ．1a =1B ．3a =1C ．4a =1D ．5a =1变式 3. 设等比数列{}n a 中，1a ，7a 是方程04722=+-x x 的两个根，则=+-724212log log log a a a （ A ）.A ．21B ．2C ．1D ．2 例3. 在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则910a a +等于 （ A ）.A. 98b aB.9b a ⎛⎫⎪⎝⎭C. 109b aD. 10b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭变式1. 若等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠。
又10a <，那么（ B ）. A. 2635a a a a +>+ B. 2635a a a a +<+C. 2635a a a a +=+D. 26a a +与35a a +的大小关系不能确定变式2. 在等比数列{}n a 中，1,n n a a +>且7144176,5,a a a a ⋅=+=则619a a 等于___________. 答案：23变式3. （2011，辽宁高考题）若等比数列{}n a 满足+1=16n n n a a ，则公比为（ B ）.A ．2B ．4C ．8D ．16讲点2 .等比数列前n 项和例4. 已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>，110160a a ⋅=，3837a a += （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求12n n S b b b =+++ 答案：（1）3,51==d a 23+=n a n （1）223+⋅=n n b 62231-+⋅=+n S n n变式1. 数列{}2n的前n 项和n S 等于（ D ）A.21n -B.22n -C.121n +- D.122n +-例5. 等比数列{}n a 中，1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=（ D ）.A.2(21)n -B. 1(21)3n -C.41n -D. 1(41)3n -变式1. 求1037412222++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n .答案：)18(724-+n变式2. 已知公比为()1q q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列1{}na 的前n 项和为（ D ）.A ．n n q sB ．n n s qC ．11n n s q -D ．211nn s a q -变式3. 已知等比数列的公比为2，且前五项和为1，那么前10项和等于（ B ）.A .31 B.33 C.35 D.37例6. 设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若633S S =，则96SS 等于（ B ）. A.2 B.37 C.38D. 3变式1. （1）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3692S S S +=，数列的公比q . （2）等比数列{}n a 的首项11-=a ，前n 项和n S ，若3231510=S S ，则公比=q . 答案：（1）212-- （2）21-变式2. 在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S .答案：63变式 3. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30123302a a a a ⋅⋅=L ，则36930a a a a ⋅⋅=L （ B ）.A.102 B.202 C.162 D.152讲点3 .等差等比数列的综合问题例7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a ++=（ C ）. A. 12+ B. 12- C. 322+ D. 322-变式1. 设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19,a d =若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ）.A. 2B. 4C. 6D. 8变式2. 若等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 是等比数列，{}n n a b +的前三项为3,12,23，则{}n a 的公差d 与{}n b 的公比q 之和为（ B ）.A.6B.9C.14D.7例8. 在等比数列}{n a 中，0>n a )(*∈N n ,公比q (0,1)∈，且252825351=++a a a a a a ，又3a 与5a 的等比中项为2，（1）求数列}{n a 的通项公式（2）设n n a b 2l og =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求数列}{n S 的通项公式（3）当nS S S n +⋅⋅⋅++2121最大时，求n 的值.答案：(1)21,161==q a 521-=n n a (2)n b n -=5 n n S n 29212+-=(3)nS S S n +⋅⋅⋅++2121=161)21(412+--=n S n 1=n变式1. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若569a a ⋅=，则1032313log log log a a a +⋅⋅⋅++等于（ B ）.A.12B.10C.8D.2+5log 8讲点4. 等比数列的判定例9. 若数列{}n a 的前n 项和可表示为2n n S a =+，则{}n a 是否可能成为等比数列？若可能，求出a 的值；若不可能，请说明理由.答案：1-=a变式1. 已知数列{}n a 为等差数列，2n an b =，证明{}n b 是等比数列.讲点5. 构造等比数列例10. 设二次方程2110(1,2,3)n n a x a x n +-+==…有两根α和β，满足3.ααββ6-2+6=（1）试用n a 表示1n a +；（2）求证：2{}3n a -是等比数列；（3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式.答案：(1)31211+=+n n a a (2))31(21311-=-+n n a a(3)3221+=n n a变式1. 已知数列{}n a 满足111,32n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.变式2. 已知数列{}n a 满足13,24,n n a S a n ==+-求数列{}n a 的通项公式.变式3. （1）已知数列{}n a 满足0a 为常数，1132,n n n a a --=-求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n a 中，若12211,3,32,n n n a a a a a ++===-求数列{}n a 的通项公式.。