第四讲 等比数列及前N项和(教师版)
等比数列及前n项和(教师)
1 1 1 ∴数列{ －1}是以 为首项， 为公比的等比数列． an 2 2 (2)数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1， Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． 设 bn＝an＋1－2an，证明{bn}是等比数列，并求其通项公式。 解：an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an. bn＋1 an＋2－2an＋1 4 an＋1－4an－2an＋1 2an＋1－4an ＝ ＝ ＝ ＝ bn an＋1－2an an＋1－2an an＋1－2an 2，∴数列{bn}是公比为 2 的等比数列，首项为 a2－2a1. ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 3、等比数列的性质 例 3 (1)在等比数列{an}中，a7· a11＝6，a4＋a14＝5， a20 (1)下标和性质： 则 ＝ . 若{an}为等比数列， 且 k＋l＝m＋n(k， l， m， n∈N＋)， a10 解析：在等比数列{an}中，a7· a11＝a4· a14＝6① 则 ak· al＝am· an. 注：上述性质还可以推广到有三项、四项 ……的情 又 a4＋a14＝5② 形．但使用该性质时，一要注意等式两边下标和相 a4＝2 a4＝3， 由 ① 、 ② 组成方程组解得 或 等，二要注意等式两边和的项数必须相等． a14＝3 a14＝2. a20 a14 2 3 ∴ ＝ ＝ 或 . a10 a4 3 2 (2)已知等比数列{an}中， an>0， a10a11＝e， 则 lna1＋lna2＋… ＋lna20 的值为 . 解析：lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln[(a1a20)· (a2a19)·…·(a10a11)] ＝lne10＝10. 变式 (1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝ 5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝ . 解∵{an}为等比数列， ∴a1a2a3， a4a5a6， a7a8a9 成等比数列， 即(a4a5a6)2＝a1a2a3· a7a8a9＝50，∴a4a5a6＝5 2. (2)已知各项不为 0 的等差数列{an}，满足 2a3－a2 7＋2a11＝ 0，数列{bn}是等比数列，且 b7＝a7，则 b6b8＝________. 2 解析：由题意可知，b6b8＝b2 7＝a7＝2(a3＋a11)＝4a7， ∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16. (2)若{an}为等比数列，前 n 项和为 Sn，则：
2020年高考理科数学一轮总复习：等比数列及其前n项和教师版
2020年高考理科数学一轮总复习等比数列及其前n 项和[基础梳理]1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a 、G 、b 不为零)． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n＋2k，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .1．(1)在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论． (2)当{a n }是等比数列且q ≠1时，S n ＝a 11－q －a 11－q ·q n＝A －A ·q n .2．当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q . [四基自测]1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32答案：C2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．128答案：C3．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案：12,484．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案：345．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________. 答案：－2n －1考点一 等比数列的基本运算及性质◄考基础——练透 角度1 利用基本量进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.解析：∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 答案：－63(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解析：①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. ②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.角度2 利用性质进行计算[例2] (1)在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5＝( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．3解析：在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0，因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1. 答案：A(2)已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10；因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：310解决等比数列的基本运算常用方法1．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝3，①a 10＝a 1q 9＝384，②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2，把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n－1＝3×2n －3.答案：3×2n －32．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32.答案：323．(2019·哈尔滨模拟)等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．2＋log 3a 5解析：由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10. 答案：B4．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.所以a 7＋a 8＝40×(32)3＝135. 答案：A考点二 等比数列的判定与证明◄考能力——知法[例3] (1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8， 即a 26＝a 3·a 9. 答案：D(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .①求b 1，b 2，b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式．解析：①由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ③由②可得a nn ＝2n －1， 所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的判断与证明的常用方法续表1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n －1(a 是不为0的实数)，则{a n }( ) A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列 C ．是等差数列或是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：当a ＝1时，{a n }的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当a ≠1时，由S n ＝a n －1知，{a n }是等比数列，但不是等差数列，故选C. 答案：C2．(2019·泰安模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列．证明：(1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n . b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝(4a n ＋1－4a n )－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是公比为2，首项为3的等比数列．(2)由(1)知b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，所以a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.所以a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1. 所以a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2.所以c n ＋1c n＝2n －12n －2＝2.所以数列{c n }为等比数列．考点三 等比数列前n 项和及综合应用◄考素养——懂理 角度1 等比数列前n 项和性质及应用[例4] (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578D.558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案：A(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎨⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案：2角度2 等比数列通项与和的综合应用[例5] 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式． (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：由(1)知，S n ＝1－(－12)n ， S n ＋1S n＝1－(－12)n ＋11－(－12)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.1.涉及到a n 与S n 的单独值，可以用基本量a 1和q 进行转化．2.涉及到等比数列“a p ·a k ”型问题，可利用性质转化．3.涉及到S n 与a n 的关系时，可利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化．4.涉及到等比数列部分项的和，可利用性质转化．1．(2019·沈阳模拟)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝__________.解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.又因为数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207. 答案：12072．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .解析：(1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n－1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)． 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32(5×3n －32－1)，n 是奇数，32(3n2－1)，n 是偶数.数学建模、数学运算——等比数列的传统文化的学科素养[例1] (2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题 ：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A.1盏B ．3盏 C.5盏 D ．9盏解析：本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算．由题意可知，由上到下灯的盏数a 1，a 2，a 3，…，a 7构成以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝381，∴a 1＝3.故选B. 答案：B[例2] (2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 解析：本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用. 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. 答案：D[例3] 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且a＝50 7B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且c＝50 7C.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且a＝507D.a，b，c依次成公比为12的等比数列，且c＝507解析：由题意可知b＝12a，c＝12b，∴ba＝12，cb＝12.∴a、b、c成等比数列且公比为12.∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a＋b＋c＝50，又易知a＝4c，b＝2c，∴4c＋2c＋c＝50，∴7c＝50，∴c＝507，故选D.答案：D[例4]《张邱建算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著．书中有如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走7天，共走700里路，问每天走的里数为多少？”则该马第4天走的里数为()A.128127 B.700127C.5 600127 D.44 800127解析：依题意，马每天走的里程形成一个等比数列，设其首项为a1，公比为q，则q＝12，又S7＝a1(1－q7)1－q＝700，解得a1＝44 800127，从而a4＝44 800127×(12)3＝5 600127，故选C.答案：C课时规范练1．在公比为2的等比数列{a n}中，若sin(a1a4)＝25，则cos(a2a5)的值是()A．－75 B.1725C.75 D.725解析：由等比数列的通项公式可知a 2a 5＝(a 1a 4)q 2＝2(a 1a 4)，cos(a 2a 5)＝1－2sin 2(a 1a 4)＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝1725. 答案：B2．(2019·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( )A ．16B ．32C ．64D ．128解析：由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C. 答案：C3．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：设等差数列的公差为d ，d ≠0，a 23＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，d 2＝－2d (d ≠0)，所以d ＝－2，所以S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24. 答案：A4．(2019·临沂模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12 D.12解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13. 答案：A5．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B6．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由题意得－1＋3d ＝－q 3＝d ＝3，q ＝－a 2b 2＝－1＋3－1×(－2)＝1.答案：17．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.易知数列{a n a n ＋1a n ＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18n 1－18＝647(1－2－3n )． 答案：647(1－2－3n )8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式．(2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故a 1＝11－λ， 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，所以a n ＋1a n＝λλ－1， 因此数列{a n }是以a 1＝11－λ为首项，以λλ－1为公比的等比数列，a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n ，又因为S 5＝3132， 所以3132＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132，解得λ＝－1. 9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜32.。
第四讲+等比数列及其前n项和
第四讲 等比数列及其前n 项和【考纲点击】等比数列的通项公式、等比中项的应用、等比数列的性质、等比数列及其前n 项和都是高考常考的内容，一般是基本量的求解，题型以选择题和填空题为主，难度不大；在解答题中出现时，一般作为题中的一个桥梁，难度较大。
Ⅰ考点知识点击一、等比数列的定义如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
二、等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项=n a 。
三、等比中项若()02≠=ab ab G ，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
四、等比数列的常用性质 注：其中()*∈Nr q p k m n 、、、、、1. 通项公式的推广：m n m n q a a -⋅=。
2. 若{}n a 为等比数列，且r n m q p 2=+=+，则2r n m q p a a a a a ==。
3. 若{}n a ，{}n b (项数相同)是等比数列，则{}()0≠λλn a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{}2n a ，{}n n b a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍是等比数列。
4. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ，，，m k m k k a a a 2++仍是等比数列，公比为m q 。
5. 公比不为1-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-仍成等比数列，其公比为nq 。
五、等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的公比为()0≠q q ，其前n 项和为n S ，当1=q 时，=n S ；当1≠q 时，=n S 。
刘老讲结论：1. 由()01≠=+q qa a n n 并不能立即断言{}n a 为等比数列，还要验证01≠a 。
2. 在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1=q 与1≠q 分类讨论，防止因忽略1=q 这一特殊情形导致解题失误。
等比数列及其前n项和(教师版2003)
等比数列及其前n 项和要点梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝11·n a q－. 3．等比中项若2(0)•G a b ab ≠＝，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·n m q-，(n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则··k l m n a a a a ＝. 2(3).mk k m k m a a a q++ ，，，组成的数列仍然是等比数列，且公比为(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}n na b ⋅，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍是等比数列．5.等比数列{an} 的判定方法：1(1){}(0)n n na a q q q a +⇔=≠是等比数列是常数且 211(2){}(02)n n n n n a a a a a n -+⇔=⋅≠≥是等比数列，(3){}(0)nn n a a cq c q ⇔=是等比数列、为非的常数6．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q a 1－a n q1－q .7．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为n q .典例精析例1 已知等比数列{a n }中，12312378a a a a a a ＋＋＝，＝， 求a n . 解 设{a n }的公比为q ，由题意知2111211178a a q a q a a qa q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解得1112a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1322n nn n a a ∴－－＝或＝. 变式训练1在等比数列{a n }中，a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根，试求a 7.解：∵a 5，a 9是方程271870x x －＋＝的两个根，∴59591871a a a a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩27597597257571 1.00. 1.项a a a a a a a a a a q a ∴±∴∴ 又是和的等比中，＝＝，即＝又由方程，可得＞，＝＞＝例2 （1）已知{}n a 是等比数列, 且0n a >,243546225a a a a a a ++=, 求35a a +的值。
教师资格证面试试讲教案等比数列前n项和
教师资格证面试试讲教案等比数列前n项和教师资格证面试试讲教案是教师面试中非常重要的环节，也是考察教师专业素养和教学能力的关键环节。
试讲教案的编写需要考虑到教学目标、教学策略、教学过程及教学评价等方面的内容。
在这篇文章中，我们将以等比数列前n项和为例，分析试讲教案的编写与教学设计。
一、引入教师应该以一个问题来引入这个话题，比如：我们知道等差数列的前n项和如何计算吗？那么，对于等比数列来说，我们应该怎样计算其前n项和呢？二、归纳总结在引入的基础上，教师可以向学生提问，引导他们通过观察数列的特点，归纳出等比数列前n项和的计算公式。
例如，考虑如下等比数列：1，2，4，8，16，......，如何计算其前n项和？通过观察，我们可以发现每一项与前一项的比值都是相等的，即2/1=4/2=8/4=16/8=2。
因此，我们可以得出等比数列前n项和的计算公式为：Sn=a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比。
三、巩固练习教师可以设置一些巩固练习题，让学生灵活运用等比数列前n项和的公式。
例如，请计算下列等比数列的前n项和：1) 2，4，8，16，32，......2) 1，3，9，27，81，......四、拓展应用在巩固练习之后，教师可以引导学生用等比数列前n项和的公式解决一些实际问题。
例如，一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，求这辆汽车在4小时内行驶的路程。
通过分析可知，该问题是一个等比数列求和的问题，其中首项为60，公比为1。
通过代入公式Sn=a(1-q^n)/(1-q)，我们可以计算出这辆汽车在4小时内行驶的总路程为：S4=60(1-1^4)/(1-1)=60(1-1)/(1-1)=60(0)/(0)=0通过运算可知，在4小时内这辆汽车行驶的总路程为0公里。
五、教学反思在教学结束后，教师应该及时进行教学反思，总结这堂课的得失。
教师应该思考自己在教学设计、教学过程和教学评价方面的不足，并提出改进的措施。
等比数列及其前n项和(教师版)
等比数列及其前n 项和【课前快练】1.在等比数列{}n a 中，如果公比1q <，那么等比数列{}n a 是( )． A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．无法确定数列的增减性 【答案】D【解析】当10,01a q ><<时，数列{}n a 为递减数列，当10,01a q <<<时，数列{}n a 为递增数列，当0q <时，数列{}n a 为摆动数列，故当公比1q <时无法确定数列的增减性.2.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（ ）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C3. 已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =， 且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ）A ．29B ．31C ．33D ．35 【答案】B试题分析：由题意得479+=4a a ，因此363911+=()6482q q q q ⇒=⇒=舍去负值，因此55116(1)231.12S -==-选B. 4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =( )． A ．－11 B ．－8 C ．5 D ．11 【答案】 A【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q .因为2580a a +=，所以41180a q a q +=,∴380q +=，∴2q =-，555512221(1)111(2)111(1)114S a q q q S q a q q -----=∙===-----. 5.已知数列{}n a 为等比数列，且14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-或1122n --考点一、等比数列的定义，通项公式，前n 项和的基本运算1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； (2)等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列； (3)通项公式法 n n a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔是等比数列． 2. 求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：在解有关等比数列的问题时可以考虑化归为1a 和q 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等比数列的通项公式11n n a a q-=⋅及前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-，共涉及五个量1,,,,n n a q n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、q ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当1q =时，1na S n =；当时，qq a S n n --=1)1(1；在判断等比数列单调性时，也必须对1a 与q 分类讨论．{}n a )0(1≠=+q q a a nn {}n a {}n a 212++=n n n a a a {}n a {}n a 1≠q3. 特殊设法:三个数成等比数列，一般设为,,aa aq q； 四个数成等比数列，一般设为33,,,a aaq aq q q. 4. 等比数列的前n 项和公式 若已知首项1a 和末项n a ，则11n n a a qS q-=-，或等比数列{a n }的首项是1a ，公比是q ，则其前n 项和公式为q q a S n n --=1)1(1.【典型例题】例1、对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a qa ⋅=⋅⋅⋅=⋅=所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.例2、若{}n a 是由正数组成的等比数列，其前n 项和为n S ，已知241a a =且37S =，则5S =（ ） A ．172 B ．334C ．314D ．152 【答案】C 【解析】22433311,01a a a a a =⇒=>⇒=，3333221117760,02a a S a q q q q q q =⇒++=⇒+-=>⇒=，所以2533311317244S S a q a q =++=++=，选C. 例3、设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列．若1212,a a b b <<，且()21,2,3i i b a i ==，则数列{}n b 的公比为（ ）A ．1+B ．3+C ．3-D ．1【答案】B【解析】【针对训练】【变式一】等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1 , 公差公比都是2,则135a a a b b b =（ ） A ．64 B ．32 C ．256 D ．4096 【答案】D【解析】试题分析：因9,5,1531===a a a ,故135a a a b b b =40962)2(123435951====b b b b ,应选D.【变式二】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，且满足113,1a b ==，2210b S +=，5232a b a -=，数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，若n T M <对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为________.【答案】10 【解析】考点二、等比数列的性质1.等比数列的性质：（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a（3）在等比数列中，对任意，，m n m n q a a -=；（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321.（5）若数列{}n a 是等比数列，且公比不为－1，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 如下图所示：k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. （6）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （7）若数列{}n a 是等比数列,则{}n ka ，2{}n a 仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即21a a -，32a a -，43a a -，…成等比数列，且公比为()21322121a a q a a q a a a a --==--.3.等比数列的单调性 当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列，当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递减数列．【典型例题】例1、在等比数列}{n a 中，若有nn n a a )21(31⋅=++，则=5a （ ）A ．41 B ．81 C ．161 D ．321【答案】C例2、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（ ） {}n a m n N +∈{}n a m n p q N +∈m n p q +=+A ．2B ．73C ．310D ．1或2 【答案】B 试题分析：422422131,31321S q q q q S q -=⇒≠=⇒+=⇒=-，63642411271123S q S q --===--例3、已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为,*n S n N ∈，则下列结论中： （1）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列； （2）2232()()n n n n n S S S S S -=-； （3）322()n n n n n S S q S S -=- 正确的结论为 （ ）（A ）（1）（2）． （B ）（1）（3）． （C ）（2）（3）． （D ）（1）（2）（3）． 【答案】C【解析】根据等比数列的性质，12m m S a a a =+++，则212212(m m m m m m S S a a a q a a ++-=+++=+)m a ++m m q S =，232m m m m S S q S -=，(2)(3)是正确的，但当0m S =时，(1)不正确，故选C ．【针对训练】【变式一】一弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地 时，共经过了n S ，则当2n ≥时，有（ ）A ．n S 的最小值为100B ．n S 的最大值为400C ．500n S <D ．500n S ≤ 【答案】C【变式二】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4 【答案】B 【解析】考点三、等差数列与等比数列的综合应用1. 等差、等比数列性质很多，在高考中以等差中项和等比中项的考查为主，在应用时，要注意等式两边的项的序号之间的关系．2.在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．方程思想的应用往往是破题的关键．3. 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．4.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【典型例题】例1、设数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列．若1212,a a b b <<，且()21,2,3i i b a i ==，则数列{}n b 的公比为（ ）A ．1+．3+．3- D ．1 【答案】B例2、设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则等于( )A.78B.84C.124D.126 【答案】D【解析】因为数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以1n a n =+，得1234562,3,4,5,6,7a a a a a a ======，是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -=，123456234567248163264126a a a a a a b b b b b b b b b b b b +++++=+++++=+++++=．例3、设n S 是公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则33S a =（ ） A ．95 B ．3 C ．94D ．2 【答案】A【针对训练】【变式一】在C ∆AB 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列 BC ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．2a ，2b ，2c 依次成等比数列 【答案】C 【解析】 试题分析：若1tan A ，1tan B ，1tan C 依次成等差数列，则112tan tan C tan B+=A ，则()sin 211cos cos cos sinC sin cos sin tan tan tan C sin sinC sin sinC sin sinC sin sinC A C A C A A C B B A A A A ++=+=+===A 22cos sin sin 2cos sin sin sinC sin sinC B B B B B A A ∴=⇒=，由正弦定理可得22cos b B ac=，再由余弦定理可得{}n a {}n b 126a a a b b b +++{}n a {}nb222222222cos 2ac B b a c b b a c b =⇒+-=⇒+=，即2a ，2b ，2c 依次成等差数列，选C.【变式二】设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若12a a >，12b b >，且2i i b a =（1i =，2，3），则数列{}n b 的公比为 .【答案】3q =-。
安徽省优秀教师数学课件展示：等比数列前n项和(歙县中学)
①
qSn = a1q + a1q + ⋯ + a1q
2
n −1
n 错位相减法 ② +a q 1
①的两边分别减去②两边，得 的两边分别减去②两边，
na1n = a1 + 0 + ⋯ + 0 − a1q n 1) (q (q = (1 − q ) S (1 − q) Sn = a − a q n 1 1 q Sn = a1 − a1q n a1 − ana − a q n a1= a1 − n 问题与思考：等比数列前nq = 1 (q ≠ 1 等比数列前n项和的有关公式中共涉及 ) 当 q ≠ 时， S n = 1 哪几个基本量？这几个量有什么实际意义？ 哪几个基本量？这几个量有什么实际意义？ 1− q 1 − q1− q 1 − q 在运用等比数列求和公式时应注意什么？ 在运用等比数列求和公式时应注意什么？
3.2 等比数列的 前n项和
黄山市歙县中学 柯禾青
我在一个月（ 我在一个月（30 天）中，第一天贷 小华和小军的“贷款” 小华和小军的“贷款”游 给你1万元， 给你1万元，以后每 一天比前一天多给 哈哈， 哈哈，这么多 戏 万元。 你1万元。 钱！我可赚大 我第一天还你1 我第一天还你1分 了！我要是订 钱，以后每天还的 钱是前一天的两倍。 了两个月、 钱是前一天的两倍。 了两个月、三 个月那该多好！ 个月那该多好！ 合同开始生效了，第一天小军支出1 合同开始生效了，第一天小军支出1分
２、理解“错位相减法”这一数列求和的 理解“错位相减法” 思想方法
巩固提高 １、课后作业：P30 A组 课后作业： 2、思考探究： 思考探究： 8、9
1 2 3 10 (1)求： + 2 + 2 +⋯+ 10 2 2 2 2
等比数列的前n项和公式经典教案
等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。
S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。
问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。
《等比数列的前n项和公式》说课稿(附教案)
《等比数列的前n项和公式》说课稿《等比数列前n项和》是人教版必修5第二章数列中第五节第一课时的内容。
下面，我从教材分析，情境创设、公式推导，公式应用，教学反思等几个方面,谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。
教材分析等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。
它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
学情分析就学生而言，等差、等比数列的定义和通项公式，等差数列的前ｎ项和的公式是学生在学习之前已经具备的知识基础。
学生具体研究学习了等差数列前n项和公式的推导方法，具备了一定的探究能力。
基于此，学生会产生思考，等比数列前n项和公式应该如何推导，公式是从什么新的角度建构？其重要性和普遍性体现在哪里？应该说学生从内心来讲，有想探究等比数列前n项和公式的欲望和驱动力。
教学目标在知识方面：理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
在能力方面：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想，优化思维品质。
在情感方面：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。
重点难点重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题。
难点：由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前ｎ项和公式。
情境创设《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔，发明了国际象棋。
4.3.2 等比数列的前n项和公式(精讲)(解析版)
4.3.2等比数列的前n项和公式一、等比数列的前n 项和公式已知量首项1a 与公比q首项1a ，末项n a 与公比q公式()()()111111n n na q S a q q q⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩()()11111n n na q S a a qq q ⎧=⎪=-⎨≠⎪-⎩二、等比数列前n 项和的函数特征1、n S 与q 的关系（1）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是()111nn a q S q-=-，它可以变形为1111n n a a S q q q =---，设11aA q=-，则上式可以写成n n S A Aq =-的形式，由此可见，数列{}n S 的图象是函数x y A Aq =-图象上的一群孤立的点；（2）当公比1q =时，等比数列的前n 项和公式是1n S na =，则数列{}n S 的图象是函数1y a x =图象上的一群孤立的点。
2、n S 与n a 的关系当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是11n n a a qS q-=-，它可以变形为111n na qS a q q=---设1qA q =--，11aB q=-，则上式可写成n n S Aa B =+的形式，则n S 是n a 的一次函数。
三、等比数列前n 项和的性质1、等比数列{}n a 中，若项数为2n ，则=S q 偶奇S ；若项数为21n +，则1=S a q S -奇偶.2、若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -…成等比数列（其中n S ，2n n S S -，32n n S S -…均不为0）．3、若一个非常数列{}n a 的前n 项和()0,0,n n S Aq A A q n N *=-≠≠∈，则数列{}n a 为等比数列。
四、等比数列前n 项和运算的技巧1、在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：1a ，n a ，n ，q ，n S ，其中首项1a 和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如n q ，11a q-都可以看作一个整体。
高考复习：等比数列及其前n项和含解析答案(教师版+学生版)
6.2等比数列及其前n 项和知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示．定义的表达式为(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ (2)前n 项和公式：S n ＝ 当q ≠1时，S n ＝ . 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 是等比数列． [试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________．2．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.3．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．考点一：等比数列的基本运算例1（1）在等比数列{a n }中，若a 2＝－2，a 6＝－32，则a 4＝________.（2）．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.(3)．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．考点二:等比数列的判定与证明例2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．变式1：在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2), 证明{b n }是等比数列.变式2已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n .考点三：等比数列的性质[典例] (1)(2014·苏州期末)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－8，则a 2a 8＝________.(2)(2014·盐城二模)若等比数列{a n }满足a m －3＝4且a m a m －4＝a 24(m ∈N *且 m >4)，则a 1a 5的值为________．(3)设数列{a n }、{b n }都是正项等比数列，S n 、T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和， 且S n T n ＝n 2n ＋1，求log b 5a 5例4.已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．课堂练习;1． 已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.2． 已知等比数列{a n }的公比q >0，a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是________．3．(2014·南京学情调研)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.4．(2014·连云港期末)在正项等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，则log 2a 2＋log 2a 12＝________.5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式为________．6.3等比数列及其前n 项和作业1． )在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 为________．2．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 1＝3，前三项的和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝________.3．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为________．4． 设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.5． 已知在等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝40，则a 5a 6a 7＝________.6． )已知三个数x ＋log 27 2，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，则公比为________．7．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.8． 已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S n ＝3n －1(n ∈N *)，则a 2 012＋a 2 014a 2 013的值为________．9． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＋1＝pS n ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)，且a 1＝2，a 2＝1，a 3＝q －3p .(1)求p ，q 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n 使S n －m S n ＋1－m <2m 2m ＋1成立？若存在，求出所有符合条件的有序数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．10．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，对于任意正整数m ，n ，S m ＋n ＝2a 2m (1＋S 2n )－1恒成立．(1)若a 1＝1，求a 2，a 3，a 4及数列{a n }的通项公式； (2)若a 4＝a 2(a 1＋a 2＋1)，求证：数列{a n }是等比数列．1．(2013·南京、盐城一模)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，若a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.2．(2014·苏中三市、连云港、淮安调研)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.3．(2014·南京、盐城一模)若数列{a n }是首项为6－12t ，公差为6的等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －t ，其中t 为实常数．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列，求证：对于任意的n (n ∈N *)，均存在正整数c n ，使得b n ＋1＝ac n ，并求数列{c n }的前n 项和T n ；(3)设数列{d n }满足d n ＝a n ·b n .若{d n }中不存在这样的项d k ，使得“d k <d k －1”与“d k <d k ＋1”同时成立(k ≥2，k ∈N *)，求实数t 的取值范围．4．(2014·苏北三市统考)已知a >0，b <0，且a ＋b ≠0，令a 1＝a ，b 1＝b ，且对任意的正整数k ，当a k ＋b k ≥0时，a k ＋1＝12a k －14b k ，b k ＋1＝34b k ；当a k ＋b k <0时，b k ＋1＝－14a k ＋12b k ，a k ＋1＝34a k .(1)求数列{a n ＋b n }的通项公式；(2)若对任意的正整数n ，a n ＋b n <0恒成立，问：是否存在a ，b ，使得{b n }为等比数列？若存在，求出a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由；(3)若对任意的正整数n ，a n ＋b n <0，且b 2n ＝34b 2n ＋1，求数列{b n }的通项公式．1．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P711．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________． 解析：设5个正数的公比为q (q >0)，所以q 4＝91＝9，即q ＝3，则中间3个数的和为q ＋q 2＋q 3＝3＋3＋33＝3＋4 3.答案：3＋4 32．(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝18，a 1＋a 2＋a 3＝26，q >0得18q 2＋18q＝8，即4q 2－9q －9＝0.所以(4q ＋3)(q －3)＝0.因为q >0，所以q ＝3.答案：31．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：切线斜率k ＝2a k ，切线方程为 y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 即y ＝2a k x －a 2k ，令y ＝0，得x ＝a k2＝a k ＋1，所以{a n }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，所以a n ＝(12)n －5，故a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：212．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个．对应学生用书P72等比数列的基本运算1.(2013·n 264解析：由a 6a 2＝q 4＝16，则q 2＝4，所以有a 4＝a 2q 2＝－8.答案：－82．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.解析：因为{a n }为等比数列，故a 1a 4＝a 2a 3＝8，与a 1＋a 4＝9联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又q >1，故a 1＝1，a 4＝8，从而q ＝2，故a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝q 2＝4.答案：43．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式． 解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q . ② 由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q <1，所以q ＝－1，或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2， 通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2×(－1)n －1，q ＝－1，12×(－2)n －1，q ＝－2.[备课札记][类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．等比数列的判定与证明[典例]n n n n(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．[解](1)证明：∵an＋S n＝n，①∴a n＋1＋S n＋1＝n＋1. ②②－①得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，∴2a n＋1＝a n＋1，∴2(a n＋1－1)＝a n－1，∴a n＋1－1a n－1＝12.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝12，c1＝－12.又c n＝a n－1，故{c n}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n＝－12×⎝⎛⎭⎫12n－1＝－⎝⎛⎭⎫12n∴a n＝1－⎝⎛⎭⎫12n.[备课札记]在本例条件下，若数列证明证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . ∴b n ＋1b n ＝12，数列{b n }是等比数列． [类题通法]证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．[针对训练]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n .解：(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n .令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n .∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列． (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列， ∴c n ＝c 1·p n －1＝a ·p n －1，即a n ＋1a n＝ap n －1.当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(ap n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋22，∵a 1满足上式，∴a n ＝an －1p n 2－3n ＋22，n ∈N *.等比数列的性质[典例] (1)(2014·苏州期末)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－8，则a 2a 8＝________.(2)(2014·盐城二模)若等比数列{a n }满足a m －3＝4且a m a m －4＝a 24(m ∈N *且 m >4)，则a 1a 5的值为________．[解析] (1)根据等比数列的性质可知a 2a 8＝a 3a 7＝a 25＝(3－8)2＝4.(2)令m ＝5得a 1a 5＝a 24且a 2＝4，再令m ＝6得a 2a 6＝a 24且a 3＝4，从而等比数列是常数列，故a 1a 5＝16.[答案] (1)4 (2)16[备课札记] [类题通法]等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[针对训练]1．(2014·苏北四市调研)已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.解析：由题意得，{a n ＋a n ＋1}是首项为12，公比为2的等比数列，所以a 7＋a 8＝4，a 9＋a 10＝8，从而a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝12.答案：122．(2014·南京二模)已知等比数列{a n }的公比q >0，a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是________．解析：由a m ＋2＋a m ＋1＝6a m 得a m q 2＋a m q ＝6a m ，即q 2＋q ＝6，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)．从而a 1＝a 2q ＝12，所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝12×(1－24)1－2＝152.答案：152对应学生用书P73[课堂练通考点]1．(2014·南京学情调研)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.解析：因为S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 4＝a 1q 3，所以S 4a 4＝1－q 4q 3(1－q )＝1－116(－18)×(1＋12)＝－5.答案：－52．(2014·连云港期末)在正项等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，则log 2a 2＋log 2a 12＝________. 解析：因为等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，所以a 2a 12＝a 3a 11＝16，所以log 2a 2＋log 2a 12＝log 2(a 2a 12)＝log 216＝4.答案：43．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式为________．解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则由等比数列{a n }的各项均为正数知，q >0.又由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋2q )＝3，a 24＝4(a 4q )2，解得⎩⎨⎧a 1＝32，q ＝12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n－1＝32·(12)n －1＝32n . 答案：a n ＝32n4．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝________(n ∈N *).解析：123n 2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.答案：2·3n －15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·镇江期末)在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q 为________．解析：由已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，两式相减得a 6－a 5＝2a 5，即a 6＝3a 5，所以q ＝3. 答案：32．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 1＝3，前三项的和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 解析：由题意a n ＝a 1q n －1(q >0)，a 1＋a 2＋a 3＝21，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，a 1＝3，q >0，即1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝21×8＝168. 答案：1683．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为________． 解析：依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k )，由此解得k ＝－1.答案：－14．(2014·江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.答案：1505．(2014·盐城二模)已知在等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝40，则a 5a 6a 7＝________. 解析：由条件得a 2＝35，a 8＝340，于是q 6＝2，故a 5a 6a 7＝a 32q 12＝5×4＝20. 解析：206．(2013·南通三模)已知三个数x ＋log 27 2，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，则公比为________． 解析：由条件得(x ＋log 92)2＝(x ＋log 272)(x ＋log 32)，展开得x 2＋log 32·x ＋14(log 32)2＝x 2＋43log 32·x ＋13(log 32)2，解得x ＝－14log 32，从而公比q ＝－14log 32＋log 92－14log 32＋log 272＝－14log 32＋12log 32－14log 32＋13log 32＝3.答案：37．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.解析：由题意得－4＝12·q 3，故q ＝－2，从而|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝12＋1＋2＋4＋8＋16＝632.答案：6328．(2014·常州调研)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S n ＝3n －1(n ∈N *)，则a 2 012＋a 2 014a 2 013的值为________．解析：依题意可知数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3，从而a 2 012＋a 2 014a 2 013＝a 2 0133＋3a 2 013a 2 013＝13＋3＝103.答案：1039．(2014·苏北四市质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＋1＝pS n ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)，且a 1＝2，a 2＝1，a 3＝q －3p .(1)求p ，q 的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n 使S n －m S n ＋1－m <2m 2m ＋1成立？若存在，求出所有符合条件的有序数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ S 2＝pa 1＋q ，S 3＝pS 2＋q ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝2p ＋q ，3＋q －3p ＝3p ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝2.(2)由(1)知，S n ＋1＝12S n ＋2.① 当n ≥2时，S n ＝12S n －1＋2，②①－②，得a n ＋1＝12a n (n ≥2)．又a 2＝12a 1，所以a n ＋1＝12a n (n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －2.(3)由(2)得S n ＝2(1－12n )1－12＝4(1－12n )．假设存在符合条件的m ，n .则由S n －m S n ＋1－m <2m 2m ＋1，得4(1－12n )－m4(1－12n ＋1)－m<2m 2m ＋1，即2n (4－m )－42n (4－m )－2<2m 2m ＋1，即22n (4－m )－2>12m ＋1.因为2m ＋1>0，所以2n (4－m )－2>0， 所以m <4，且2<2n (4－m )<2m ＋1＋4.(*)因为m ∈N *，所以m ＝1或2或3.当m ＝1时，由(*)得2<2n ×3<8，所以n ＝1； 当m ＝2时，由(*)得2<2n ×2<12，所以n ＝1或2； 当m ＝3时，由(*)得2<2n <20，所以n ＝2或3或4.综上可知，存在符合条件的所有有序数对(m ，n )为(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)． 10．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，对于任意正整数m ，n ，S m ＋n ＝2a 2m (1＋S 2n )－1恒成立．(1)若a 1＝1，求a 2，a 3，a 4及数列{a n }的通项公式； (2)若a 4＝a 2(a 1＋a 2＋1)，求证：数列{a n }是等比数列．解：(1)由条件得1＋S m ＋n ＝2a 2m (1＋S 2n ). ① 在①中，令m ＝1得1＋S n ＋1＝2a 2(1＋S 2n ). ② 令m ＝2得1＋S n ＋2＝ 2a 4(1＋S 2n ).③③÷②得1＋S n ＋21＋S n ＋1＝a 4a 2(n ∈N *)． 记a 4a 2＝q ，则数列{1＋S n }(n ≥2，n ∈N *)是公比为q 的等比数列． 所以1＋S n ＝(1＋S 2)q n －2(n ≥2，n ∈N *)． ④ 当n ≥3时，1＋S n －1＝(1＋S 2)q n －3.⑤④－⑤得a n ＝(1＋S 2)q n －3(q －1)(n ≥3，n ∈N *)， (*) 在①中，令m ＝n ＝1 得1＋S 2＝2a 2(1＋S 2).所以(1＋S 2)2＝2a 2(1＋S 2)．则1＋S 2＝2a 2. 所以a 2＝1＋a 1. 因为a 1＝1，所以a 2＝2.在①中，令m ＝1，n ＝2得1＋S 3＝2a 2(1＋S 4)， 则(4＋a 3)2＝4(4＋a 3＋a 4)．⑥在①中，令m ＝2，n ＝1得1＋S 3＝2a 4(1＋S 2). 则(4＋a 3)2＝8a 4.⑦由⑥⑦解得a 3＝4，a 4＝8.则q ＝2. 由a n ＝(1＋S 2)q n －3(q －1)(n ≥3，n ∈N *)得a n ＝4×2n －3·(2－1)＝2n －1(n ≥3，n ∈N *)，因为a 1＝1，a 2＝2也适合上式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明：在①中，令m ＝2，n ＝2， 得1＋S 4＝2a 4(1＋S 4)， 则1＋S 4＝2a 4，所以1＋S 3＝a 4. 又1＋S 3＝2a 2(1＋S 4)， 则1＋S 3＝2a 2(1＋S 3＋a 4)， 所以a 4＝2a 2·2a 4， 则a 4＝4a 2，q ＝2.代入(*)得a n ＝(1＋S 2)2n －3(n ≥3，n ∈N *)．由条件a 4＝a 2(a 1＋a 2＋1)得a 1＋a 2＋1＝4. 因为a 2＝1＋a 1，所以a 1＝1，所以a 2＝2，则 a n ＝4×2n －3＝2n －1(n ≥3，n ∈N *)，因为a 1＝1，a 2＝2也适合上式， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．所以数列{a n }是等比数列． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·南京、盐城一模)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，若a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝________.解析：因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又因为a m －1a m ＋1－2a m ＝0，即a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2(a m ＝0舍去)．又T 2m －1＝a 1a 2…a 2m －2a 2m －1＝a 2m －1m ＝128＝27，所以2m －1＝7，解得m＝4.答案：42．(2014·苏中三市、连云港、淮安调研)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：法一：由a 22＝a 1a 3，a 2－a 1＝1及a n >0得a 3＝(a 1＋1)2a 1＝a 1＋1a 1＋2≥4，当且仅当a 1＝1时取等号，此时a 2＝2，则a n ＝2n －1.法二：设公比为q (q >0)，则由条件得a 1q －a 1＝1，即q ＝a 1＋1a 1，从而a 3＝a 1q 2，以下同解法一．答案：2n －13．(2014·南京、盐城一模)若数列{a n }是首项为6－12t ，公差为6的等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －t ，其中t 为实常数．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列，求证：对于任意的n (n ∈N *)，均存在正整数c n ，使得b n ＋1＝ac n ，并求数列{c n }的前n 项和T n ；(3)设数列{d n }满足d n ＝a n ·b n .若{d n }中不存在这样的项d k ，使得“d k <d k －1”与“d k <d k ＋1”同时成立(k ≥2，k ∈N *)，求实数t 的取值范围．解：(1)因为{a n }是等差数列，所以a n ＝(6－12t )＋6(n －1)＝6n －12t (n ∈N *)．因为数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －t ，所以当n ≥2时，b n ＝(3n －t )－(3n －1－t )＝2·3n －1. 又b 1＝S 1＝3－t ，故b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－t ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. (2)证明：因为{b n }是等比数列，所以3－t ＝2·31－1， 解得t ＝1.从而a n ＝6n －12，b n ＝2·3n －1(n ∈N *)． 由于b n ＋1＝2·3n ＝6·3n －1＝6(3n －1＋2)－12 令c n ＝3n －1＋2∈N *，则ac n ＝6(3n －1＋2)－12＝b n ＋1， 所以命题成立．从而数列{c n }的前n 项和T n ＝2n ＋1－3n 1－3＝12·3n ＋2n －12. (3)由题意得d n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6(3－t )(1－2t )，n ＝1，4(n －2t )×3n ，n ≥2. 当n ≥2时，d n ＋1－d n ＝4(n ＋1－2t )·3n ＋1－4(n －2t )×3n ＝8[n －(2t －32)]·3n . ①若2t －32＜2，即t <74时，d n ＋1>d n (n ∈N *，n ≥2)． 由题意得d 1≤d 2，即6(3－t )(1－2t )≤36(2－2t )， 解得－5－974≤t ≤－5＋974<74. 所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－974，－5＋974； ②若2≤2t －32<3，即74≤t <94时，d n ＋1>d n (n ∈N *，n ≥3)． 而d 1>d 2≥d 3，由题意得d 2＝d 3，即4(2t －2)×32＝4(2t －3)×33，解得t ＝74； ③若m ≤2t －32<m ＋1，即m 2＋34≤t <m 2＋54(m ∈N ，m ≥3)时，d n ＋1≥d n (n ∈N *，n ≥m ＋1)，而d n ＋1≤d n (n ∈N *,2≤n ≤m )．由题意得d m ＝d m ＋1，即4(2t －m )·3m ＝4(2t －m －1)·3m ＋1，解得t ＝2m ＋34. 综上所述，t 的取值范围是⎩⎨⎧ t |－5－974≤t ≤－5＋974或 ⎭⎬⎫t ＝2m ＋34(m ∈N ，m ≥2). 4．(2014·苏北三市统考)已知a >0，b <0，且a ＋b ≠0，令a 1＝a ，b 1＝b ，且对任意的正整数k ，当a k ＋b k ≥0时，a k ＋1＝12a k －14b k ，b k ＋1＝34b k ；当a k ＋b k <0时，b k ＋1＝－14a k ＋12b k ，a k ＋1＝34a k . (1)求数列{a n ＋b n }的通项公式；(2)若对任意的正整数n ，a n ＋b n <0恒成立，问：是否存在a ，b ，使得{b n }为等比数列？若存在，求出a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由；(3)若对任意的正整数n ，a n ＋b n <0，且b 2n ＝34b 2n ＋1，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)当a n ＋b n ≥0时，a n ＋1＝12a n －14b n ，b n ＋1＝34b n ， 所以a n ＋1＋b n ＋1＝12a n －14b n ＋34b n ＝12(a n ＋b n )； 又当a n ＋b n <0时，b n ＋1＝－14a n ＋12b n ，a n ＋1＝34a n ， 所以a n ＋1＋b n ＋1＝34a n －14a n ＋12b n ＝12(a n ＋b n )， 因此数列{a n ＋b n }是以a ＋b 为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＋b n ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12n －1. (2)因为a n ＋b n <0，所以a n ＋1＝34a n ，所以a n ＝a ⎝⎛⎭⎫34n －1，b n ＝()a ＋b ⎝⎛⎭⎫12n －1－a n ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12n －1－a ⎝⎛⎭⎫34n －1.假设存在a ，b ，使得{b n }能构成等比数列，则b 1＝b ，b 2＝2b －a 4，b 3＝4b －5a 16， 故⎝⎛⎭⎫2b －a 42＝⎝⎛⎭⎫4b －5a 16b ，化简得a ＋b ＝0，与题中a ＋b ≠0矛盾．故不存在a ，b ，使得{b n }为等比数列．(3)因为a n ＋b n <0且b 2n ＝34b 2n ＋1， 所以b 2n ＝－14a 2n －1＋12b 2n －1， 所以34b 2n ＋1＝－14a 2n －1＋12b 2n －1＝－14a 2n －1＋34b 2n －1－14b 2n －1， 所以34(b 2n ＋1－b 2n －1)＝－14(a 2n －1＋b 2n －1)．由(1)知a 2n －1＋b 2n －1＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫122n －2，所以b 2n ＋1－b 2n －1＝－a ＋b 3(12)2n －2， b 2n －1＝b 1＋(b 3－b 1)＋…＋(b 2n －1－b 2n －3)＝b －a ＋b 3·⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫124＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －4 ＝b －4(a ＋b )9·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1， b 2n ＝34b 2n ＋1＝34b －(a ＋b )3·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n ， 所以b n ＝⎩⎨⎧ b －4(a ＋b )9·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －12，n 为奇数，34b －(a ＋b )3·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 2，n 为偶数.。
4.3.2等比数列的前n项和公式(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性)
3
q2
q 1 q2
即2q2
q 1 0, 得q 1 或q 1.(舍去) 2
(2)q 1时, a1 a2 a3 7, 符合S3 21.
法2： S3
a1
a2
a3
7 q2
7 q
7
21.
即1 q2
1 q
1 3.
即2q2
q 1
0,
得q 1 或q 1. 2
升级巩固：等比数列的前n项和公式
80,即a1
q
1.
解得a1 2, q 3.
解 : (1) Sn
a1 anq 1 q
,
a1
96 2 1 2
189,
解得a1
3.
an a1 qn1,3 2n1 96, 解得n 6.
(2)设公比为q, 则a4
a6
q3 (a1
a3 ),
q3
1 ,q 8
1. 2
a1
a3
a1 (1
q2)
升级巩固：等比数列的前n项和公式
1.等比数列{an}中, a3 7, S3 21,则公比q ___12_或_1_.
法1： (1)q
1时,
由题意得a3 S3
a1q2 7 a1(1 q3 )
1 q
21
① ②
若q未知，用公式 时要考虑q是否为1
由② 得 1 q3 ① (1 q)q2
21 7
证明: ①q 1时, Sk ka1, S2k Sk 2ka1 ka1 ka1, S3k S2k 3ka1 2ka1 ka1,
Sk , S2k Sk , S3k S2k成等比数列, 公比为1.
②q
1时, Sk
a1
(1 q 1 q
教学设计4：6.3 等比数列及其前n项和
6.3 等比数列及其前n 项和【教学目标】1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；2.掌握等比数列的性质和前n 项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等比数列与指数函数的关系. 【要点梳理】要点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠. 要点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。
不为0的常数列是公比为1的等比数列； ⑤证明一个数列为等比数列，其依据*1(0)n na q n N q a +=∈≠，.利用这种形式来判定，就便于操作了. 要点二、等比中项如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项.其中G ab =±。
要点诠释：①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项。
②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一。
③当0ab >时，a 、G 、b 成等比数列2G bG ab G ab a G⇔=⇔=⇔=±。
等比数列的前n项和(上课课件)
Sn
a 1 (1 q )
n
1 q
255 256
.
课堂练习
q a 练习1：已知等比数列a n 中，n 96 ， 2,
S n 189 ，则 n _________.
练习2：
1 1 1 等比数列 , , , … , 的第5项到第10项 2 4 8
的和为______.
例题讲解
.
回顾反思 我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式； 2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
有了这样一个公式, 我们可以解决哪些问题? 需注意什么?
q≠1,q=1 分类讨论
和
a 1 (1 q n ) ， q 1， 或 Sn 1 q na ， q 1 . 1
等比数列的前n项和
一般地，等比数列的前n项和
S n a1 a 2 a 3 a n1 a n
即
=?
n1
S n a1 a1q a1q a1q
2
n2
a1q
=?Βιβλιοθήκη “请你用错位相减法或者其他方法在这两个式子中 任选一个进行研究．”
想一想
设等比数列 a n 公比为 q ，它的前n项 和 S n a 1 a 2 a n ，如何用 a 1 , q , n 或 a n 来表示 S ？
(1 q ) S n a 1 a n q .
1 2 2 2 2
1 2 3 63
1 (1 2 )
64
1 2
2
64
1
= 18446744073709551615(粒).
《等比数列的前n项和》教学设计
《等比数列的前n项和》教学设计《等比数列的前n项和》教学设计《等比数列的前n项和》教学设计1一、教材分析：等比数列的前n项和是高中数学必修五第二章第3、3节的内容。
它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续。
这部分内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。
意在培养学生类比分析、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想。
在高考中占有重要地位。
二、教学目标根据上述教学内容的地位和作用，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2、过程与方法：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、类比分析与解决问题的能力，培养学生从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
3、情感与态度：通过自主探究，合作交流，激发学生的求知欲，体验探索的艰辛，体味成功的喜悦，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
三、教学重点和难点重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用。
难点：等比数列的前项和公式的推导。
重难点确定的依据：从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概念和性质能充分理解并融会贯通；从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。
四、教法学法分析通过创设问题情境，组织学生讨论，让学生在尝试探索中不断地发现问题，以激发学生的求知欲，并在过程中获得自信心和成功感。
强调知识的严谨性的同时重知识的形成过程，五、教学过程（一）创设情境，引入新知从故事入手：传说，波斯国王下令要奖赏国际象棋的发明者，发明者对国王说，在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，。
等比数列前n项和公式怎么求
等比数列前n项和公式怎么求等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。
等比数列前n项和公式怎么求等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：因为an=a1q^(n-1)所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。
把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。
把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。
以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。
(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是得到(1-q)Sn=a1(1-q^n)即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
拓展阅读：等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。
2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;通项公式的推广：an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。
3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。
(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。
《等比数列前n项和》说课稿(优秀10篇)
《等比数列前n项和》说课稿（优秀10篇）教学程序设计篇一1、导言：本节课是由印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事引入的，发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？这样引入课题有以下三点好处：（1）利用学生求知好奇心理，以一个小故事为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。
（2）故事内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。
（3）有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。
2、讲授新课：本节课有两项主要内容，等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。
等比数列的前n项和公式的推导是本节课的难点。
依据如下：（1）从认知领域上讲，它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。
（2）从学科知识上讲，推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。
（3）从心理学上讲，学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。
突破难点方法：（1）明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入，浅化知识内容。
比如可以先求麦粒的总数，通过设问使学生得到麦粒的总数为，然后引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以2后都得它的后一项，即有，发现两式右边有62项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以2，相减得和。
从而得知求等比数列前n项和……+的关键也应是等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相同项，得求和公式，也掌握了这种常用的数列求和方法，错位相减法，说明这种方法的用途。
（2）值得一提的是公式的证明还有两种方法：方法二：由等比数列的定义得：运用连比定理后两种方法可以启发引导学生自行完成。
这样学生从各种途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维。
等比数列前n项和公式及应用是本节课的重点内容。
考点：等比数列及其前n项和(完整版)
（1）理解等比数列的概念.（2）掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. （3）了解等比数列与指数函数的关系.一、等比数列 1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =．3．等比数列的通项公式及其变形首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠． 等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．4．等比数列与指数函数的关系 等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1x ay q q=⋅的图象上一些孤立的点．①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是递增数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是递减数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．二、等比数列的前n 项和公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和的公式为111,1.(1),111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩（1）当公比1q =时，因为10a ≠，所以1n S na =是关于n 的正比例函数，则数列123,,,,,n S S S S 的图象是正比例函数1y a x =图象上的一群孤立的点．（2）当公比1q ≠时，等比数列的前n 项和公式是1(1)1n n a q S q -=-，即11nn a S q q =-⋅-11a q +-，设11a m q=-，则上式可写成nn S mq m =-+的形式，则数列123,,,,,n S S S S 的图象是函数x y mq m =-+图象上的一群孤立的点．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和n S 是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． 三、等比数列及其前n 项和的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列． （4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++成等比数列，公比为mq ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(kq 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn mm S q S q -=-． （7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶． （9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（公比为mq ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零．考向一 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法：1n na q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列． （2）等比中项法：212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*N ⇔数列{}n a 是等比数列． （3）通项公式法：(0,)n n a tq tq n =≠∈*N ⇔数列{}n a 是等比数列．（4）前n 项和公式法：若数列的前n 项和nn S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足()10n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠.典例1 已知数列{}n a 满足()*2n n S a n n =-∈N .（1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求()*13521n a a a a n ++++⋅⋅⋅+∈N.【答案】（1）证明见解析；（2）232353n n +--.【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如1n n a a λμ+=+（1λ≠），在构造数列时，可在等式两边同时加上1μλ-构成等比数列.（1）利用递推公式可以得到1n S -的表达式，两个式子相减即可得到n a 与1n a -的表达式；构造数列{1n a +}，即可证明{1n a +}为等比数列. 学@（2）利用{1n a +}为等比数列，可求得{n a }的通项公式；将{n a }分为等比数列和等差数列两个部分分别求和，再相加即可得出奇数项的和.1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()1121,1,2,3,n n n a a S n n++===.（1）试写出223,,a S a ； （2）设nn S b n=，求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求出数列{}n a 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式.考向二 等比数列的基本运算等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. （1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行．②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”． （2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n nn na q S a a qa q q q q≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q 和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把nq ，11a q-当成整体求解.典例2 已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +等于 A ．2 B ．24 C ．2 D ．48 【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =，所以()22281261061021224a a a q a q qa a +=+=+=⨯=，故选B ．典例3 各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则3445++a a a a 的值为 A ．5+12B ．512- C ．152- D ．5+12或152- 【答案】B【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S a =A ．14n - B ．41n- C ．12n -D ．21n-考向三 求解等比数列的通项及前n 项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式11n n a a q -=来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为2()n n N 且各项符号相同，则这个数列可设为21na q ，…，3a q，,aaq q ，3aq ，…，21n aq ； 若所给等比数列的项数为21()n nN ，则这个数列可设为1n a q ，…，,,aa aq q，…，1n aq . 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n na a qS q求解较方便. 学#3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =--- ，当101q a p -≠-时，数列{}1n q a p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．典例4 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且42S S =5，则84S S 等于 A ．5 B ．16 C ．17D ．25【答案】C【解析】当公比1q =时，4225S S =≠，故公比不为1， 当公比1q ≠时，()()4124221111511a q S q q S a q q--==+=--，∴24q =，∴()()81484411111711a q S q q S a q q--==+=--，故选C.【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前n 项和，注意对公比q 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比q 进行分类讨论，利用前n 项和公式及条件，求出24q =，从而得到结果.典例5 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =，3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*n n b a n n =-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）1*23()n n a n -∈=⨯N ；（2）2312nn n+--.3．设等比数列{n a }的各项都为正数，数列{n b }满足2121n n n b a a -+=⋅，且124,64b b ==. （1）求数列{n a }的通项； （2）求数列{n b }的前n 项和T n .考向四 等比数列的性质的应用等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.典例6 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A ．22 B ．2 C ．1 D ．2- 【答案】A【解析】由等比数列的性质知211731599822a a a a a a ===⇒=，故117982222a a a ==，故选A . 典例7 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，20=60S ，则30S =_______． 【答案】140【解析】方法1：由1020S =，20=60S ，易得公比1q ≠±，根据等比数列前n 项和的性质，可得020101011S q S q 2-=-，即010106011201q q q 2-==+-，解得102q =， 又3030101011S q S q -=-，所以33012=72012S -=-，30140S =． 方法2：根据等比数列前n 项和的性质，可得10201010S S q S =+，即10602020q =+，解得102q =， 所以1030102020260140S S q S =+=+⨯=．方法3：根据等比数列前n 项和的性质，可知10S ，2010S S -，3020S S -成等比数列，则22010103020()()S S S S S -=-，即230(6020)20(60)S -=-，解得30140S =．4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=,则456a a a ⋅⋅等于 A ．4 B ．8 C ．16D ．24考向五 数列的新定义问题数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．典例8 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明：数列{+1}n a 是“平方递推数列”，且数列{lg(+1)}n a 为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，求lg n T ； （3）在（2）的条件下，记lg lg(+1)nn n T b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使4032n S >成立的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）21n -；（3）2017．（2）由（1）知1111lg(1)lg(+1)22n n n a a --++=⋅=，则12121(12)lg lg[(1)(1)(1)]lg(1)lg(1)lg(1)2 1.12n n n n n T a a a a a a ⨯-=+++=++++++==--（3）由（2）知11lg 2112()lg(+1)22nn n n n n T b a ---===-，111122221212n n n S n n --=-=-+-， 又4032n S >，所以112240322n n --+>，即120172nn +>， 又1012n<<， 所以min 2017n =，故使4032n S >成立的n 的最小值为2017．5．在数列{}n a 中，21nn a =-，一个7行8列的数表中，第i 行第j 列的元素为ij i j i j c a a a a =⋅++()1,2,,71,2,,8i j ==；，则该数表中所有不相等元素之和为A ．16210-B ．16210+C ．16218-D ．16213+1．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,3339,22a S ==,则公比q = A ．12B ．12-C ．1或12-D ．1或122．已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a += A ．7 B ．5 C ．5-D ．7-3．已知等比数列{}n a 中,1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，则31323a a a 的值为A ．16B ．8C ．64±D ．16±4．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于 A ．6 B ．5 C ．4D ．35．等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则 A ．A B C +=B ．2B AC =C ．3A B C B +-=D ．()22A B A B C +=+6．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于 A ．9 B ．3 C ．3-D ．6-7．设()()4681021022222n f n n +=+++++∈N ，则()f n 等于A ．()16413n- B ．()116413n +- C ．()316413n +-D ．()416413n +-8．已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅= A ．4 B ．8 C ．16D ．259．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和是n S ，则“0q >”是“2016201820172S S S +>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．《张丘建算经》中有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第7天行走的距离大约是 （结果采用四舍五入，保留整数） A ．10里 B ．8里 C ．6里D ．4里11．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为A ．14B ．12 C ．20D ．5412．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()312n n S a =+()*n ∈N ，则4a 的值为__________.13．已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==，则n a =________________．14．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列； （2）设()2log 1n n b a =-n 项和n T .15．已知公比为整数的正项等比数列{}n a 满足：3124a a -=，10193a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．1．（2017新课标全国II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏2．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =________．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________． 4．（2018新课标全国I 理科）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_________．1．【答案】（1）2233,4,8a S a ===；（2）证明见解析；（3）()1*2n n S n n -=⋅∈N ；()212n n a n -=+⋅. 变式拓展【点睛】本题为数列常见考题，属于高考高频考点，常涉及：①利用递推公式，已知数列的前几项利用赋值法求出后面；②对递推关系式变形，证明某数列为等比（差）数列；③根据所证明的数列成等比（差）数列，求出第n项；④已知数列的前n项和，求第n项.这些都是数列常规问题，考查面较大.对于本题，当数列提供n a与n S之间的递推关系时，借助首项的值，利用赋值法，可求出第二项及以后的项，并求出前几项的和，证明某数列是等比数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；利用所证明的等比数列求出通项公式得出n S，进而求出通项n a. 2．【答案】D【名师点睛】该题考查的是有关等比数列的问题，涉及的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.对于本题，设出等比数列的公比为q ，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q 的值，进而求出1a 的值，表示出n S 与n a ，即可求出结果. 学#@3．【答案】（1）12n n a -=；（2）()416115n n T =-. 【解析】（1）因为{n a }为等比数列，所以由2121n n n b a a -+=⋅可得22n n b a =， 由124,64b b ==可得22244,64a a ==，因为n a >0,所以242,8a a ==，可得11,2a q ==公比，所以12n n a -=.（2）因为()2212n n b -==214n -，所以数列{n b }为等比数列，且首项为4，公比为16，从而()()4116416111615n n nT -==--. 4．【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 中，1232a a a ⋅⋅=,56732a a a ⋅⋅=，所以由等比数列的性质可知123345567,,a a a a a a a a a 成等比数列，所以()()()234512356764a a a a a a a a a ==，因为等比数列{}n a 中各项均为正数，所以3458a a a =，因为345a a a ，456a a a ，567a a a 成等比数列，所以()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，可得45616a a a =.故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列中连续三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.由等比数列的性质求得3458a a a =，再由等比数列的性质可得()()()2456345567256a a a a a a a a a ==，从而可得结果.5．【答案】C【解析】该数表中的第i 行第j 列的元素·ij i j i j c a a a a =++=（2i ﹣1）（2j ﹣1）+2i ﹣1+2j ﹣1=2i+j ﹣1 （i =1，2，…，7；j =1，2，…，8），其数据如下表所示：i j 1234 5 6 7 8 1 22﹣1 23﹣1 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 2 23﹣1 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 3 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 29﹣1 4 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 29﹣1 210﹣1 5 26﹣1 27﹣1 28﹣129﹣1210﹣1211﹣16 27﹣1 28﹣1 29﹣1 210﹣1 211﹣1 728﹣1 29﹣1 210﹣1 211﹣1由表可知，该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1++1521-=()1441212--−14=16218-.故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力.（2）解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等．．．元素的和”. 1．【答案】C考点冲关【解析】由已知33312332a a S a a a a q q =++=++，所以23119122q q ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得1q =或12q =-，故选C ． 2．【答案】D【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素1a 和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 3．【答案】B【解析】因为1a ，25a 为方程2540x x -+=的两根，所以1254a a =,且12505a a +=>, 因此130a >，1312531323125132,428a a a a a a a a a ==∴==⨯=， 故选B ．【名师点睛】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度． @网 4．【答案】C【解析】由等比数列的性质知()4412384510a a a a a a ==，所以128lg lg lg a a a +++()4128lg lg104a a a ===．故选C.5．【答案】D【解析】由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，则有,,A B A C B --构成等比数列，()()2B A AC B ∴-=-，即222B AB A AC AB -+=-，()22A B A B C ∴+=+，故选D ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质以及等比数列前n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.解本题时，由等比数列的性质，可知其第一个n 项和，第二个n 项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.8．【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 中2731102a a a -+=，∴()27311724a a a a =+=，又70a ≠，∴74a =，∴74b =．∴在等比数列{}n b 中，2113716b b b ⋅==．故选C ．【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列中项的下标和的性质，即若m n p q +=+ ()*,,,m n p q ∈N ，则等差数列中有m n p q a a a a +=+，等比数列中有m n p q a a a a =．利用数列这个性质解题，可简化运算、提高解题的效率．解本题时，先根据等差数列下标和的性质求出7a ，进而得到7b ，再根据等比数列下标和的性质求113b b ⋅即可． 9．【答案】D【解析】由2016201820172S S S +>得20182017a a >，∴2017201611a qa q >，∴()2016110a q q ->，解得10,1a q >>或10,1a q <<．∴“2016201820172S S S +>”等价于“10,1a q >>或10,1a q <<”．故“0q >”是“2016201820172S S S +>”的既不充分也不必要条件．故选D ．【名师点睛】先求出“2016201820172S S S +>”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了和公比q 有关外，还与数列的首项1a 有关．当10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列为递增数列；当10,01a q ><<或10,1a q <>时，数列为递减数列．10．【答案】C【解析】记该匹马每天行走的距离成等比数列{}n a ，其公比为12，前7项的和为700，此问题可以转化为求数列{}n a 的第7项，1711700,1212a ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭-6171647001700,61272127a a a ⨯⎛⎫∴===≈ ⎪⎝⎭，故选C ． 11．【答案】C【名师点睛】本题考查了等比数列的前项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正；二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.解本题时，利用等比数列的前n 项和公式求出96S S -，由数列的单调性可得1q >，根据基本不等式的性质求解即可. 12．【答案】−81【解析】()312n n S a =+()*n ∈N ，∴当1n =时，13a =-， ∴当2n ≥时，()1132n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=， ∴{}n a 是以首项为−3，公比为3的等比数列，∴3n n a =-.∴481a =-.故答案为−81.【名师点睛】掌握n a 与n S 的关系，利用n a 与n S 的关系式求出n a 的通项公式即可得到答案.13．【答案】()22n n +【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档题.解本题时，根据数列{}n a n 是等比数列，将19a =、236a =分别代入，可以得到数列{}n a n 的公比2q =，从而求得通项公式n a .14．【答案】（1）见解析；（2）1n n +. 【解析】（1）当1n =时，11121a S a ==+，计算得出11a =-，当1n >时，根据题意得，()1121n n S a n --=+-，所以()()111221221n n n n n n S S a n a n a a ---⎡⎤-=+-+-=-+⎣⎦，即121n n a a -=-.()1121n n a a -∴-=-，即1121n n a a --=-， ∴数列{}1n a -是首项为−2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，()11222n n n a --=-⋅=-，12n n a ∴=-，()22log 1log 2n n n b a n ∴=-==，()1111111n n b b n n n n +∴==-++， 则11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项. @网15．【答案】（1）3n n a =；（2）()1121334n n S n +⎡⎤=+-⎣⎦.【名师点睛】该问题属于数列的综合问题，属于常考的题型，第一问考查的是有关等比数列的性质以及数列通项公式的求解问题，根据等比数列的通项公式以及性质，结合题中的条件，转化为关于首项和公比的等量关系式，从而求得结果；第二问是典型的数列求和问题——错位相减法，在求解的过程中，一定要注意最后一项应该是减号，以及最后求和的时候要看清项数. 1．【答案】B【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，直通高考所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．2．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．3．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： 1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4．【答案】63-【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.。
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
Sn
na1, a1(1 qn)
1 q
a1
(q 1) an q , 1 q
(q 1)
由a1 1,q 2,n 64,可得
S64
1 264 1 2
264 1
1.841019.
按1000颗麦粒的质量 为40g，那么象棋发 明者想要的麦粒总质 量超过7000亿吨，约 是2016-2017年度世界 小麦产量的981倍， 因此，国王根本不可 能实现他的诺言.
典例分析
例1 已知数列{an}是等比数列.
当q
1时, Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
错位相减法
等比数列的前n项和公式： 若等比数列{an }的首项为a1,公比为q,则{an }的前n项和公式为Sn Nhomakorabeaa1
(1 q 1q
n
)
，q
1
na1，
q1
Sn
a1 anq 1q
，q
1
na1，
q1
有了上述公式,那就可以解决麦粒问题：
证明：设等比数列{cn }的首项c1 an,公比为q a1b,则其前n 1项和为
Sn1 an an1b an2b2 abn1 bn
an[1 (a1b)n1 ] an a b 1 n1 an1 bn1
1 a1b
1 a1b a b .
43.. 设等比数列{an }的前n项和为Sn,已知a2 6，6a1 a3 30. 求an和Sn .
解：设这个等比数列的首项为a1,公比为q. 当q 1时,显然不合题意,∴q 1.
∴
a1 a1
(1 q5 ) 10
1q (1 q10 )
50 1q
,
两式相除,并化简整理得1
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第四讲 等比数列及前N 项和【知识要点】 1.等比数列的定义：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数） 2.等比数列的中项：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a3.等比数列的通项公式通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比．； 推广：),(+-∈⋅=N m n q a a mn m n 5.等比数列其前n 项和公式为⎪⎩⎪⎨⎧≠--==⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)),1()1(1)1(),1(1111q q q a a q na q q q a q na S n n n .6.等比数列的常用性质：（1）数列{}n a 是等比数列，若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ⋅=⋅； （2）若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .（3）若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a aaq aq q q.【例题精讲】讲点1. 等比数列的性质 例1. 在等比数列{}n a 中，（1）42,1q S ==，求8S ； （2）3312,9a S =-=-，求公比q ； （3）514215,6a a a a -=-=，求3a ； （4）3221a S =+，4321a S =+，求q . 答案：（1）3158=S （2）2-=q（3）4433-==a a 或 （4）212==q q 或变式1. 数列}{n a 为等比数列，且21+++=n n n a a a ，0>n a ，则该数列的公比q 是（ D ）.A ．22 B ．552 C ．251- D ．215- 变式2. （2010·广东）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。
若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ C ）. A ．35 B ．33 C ．31 D ．29变式3. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且23952a a a ⋅=，12=a ，则1a 等于（ C ）.A ．21B ．22C ．2D ．2例2. 在1与100之间插入n 个正数，使这2n +个数成等比数列，则插入的n 个数的积为 .答案：n10变式 1. 已知{}n a 是等比数列，若0,n a >且243546225,a a a a a a ++=则35a a += 答案：5变式2. 等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若5T =1，则（ B ）.A ．1a =1B ．3a =1C ．4a =1D ．5a =1变式 3. 设等比数列{}n a 中，1a ，7a 是方程04722=+-x x 的两个根，则=+-724212log log log a a a （ A ）.A ．21B ．2C ．1D ．2 例3. 在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则910a a +等于 （ A ）.A. 98b aB.9b a ⎛⎫⎪⎝⎭C. 109b aD. 10b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭变式1. 若等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠。
又10a <，那么（ B ）. A. 2635a a a a +>+ B. 2635a a a a +<+C. 2635a a a a +=+D. 26a a +与35a a +的大小关系不能确定变式2. 在等比数列{}n a 中，1,n n a a +>且7144176,5,a a a a ⋅=+=则619a a 等于___________. 答案：23变式3. （2011，辽宁高考题）若等比数列{}n a 满足+1=16n n n a a ，则公比为（ B ）.A ．2B ．4C ．8D ．16讲点2 .等比数列前n 项和例4. 已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>，110160a a ⋅=，3837a a += （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求12n n S b b b =+++ 答案：（1）3,51==d a 23+=n a n （1）223+⋅=n n b 62231-+⋅=+n S n n变式1. 数列{}2n的前n 项和n S 等于（ D ）A.21n -B.22n -C.121n +- D.122n +-例5. 等比数列{}n a 中，1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=（ D ）.A.2(21)n -B. 1(21)3n -C.41n -D. 1(41)3n -变式1. 求1037412222++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n .答案：)18(724-+n变式2. 已知公比为()1q q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列1{}na 的前n 项和为（ D ）.A ．n n q sB ．n n s qC ．11n n s q -D ．211nn s a q -变式3. 已知等比数列的公比为2，且前五项和为1，那么前10项和等于（ B ）.A .31 B.33 C.35 D.37例6. 设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若633S S =，则96SS 等于（ B ）. A.2 B.37 C.38D. 3变式1. （1）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3692S S S +=，数列的公比q . （2）等比数列{}n a 的首项11-=a ，前n 项和n S ，若3231510=S S ，则公比=q . 答案：（1）212-- （2）21-变式2. 在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S .答案：63变式 3. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30123302a a a a ⋅⋅=L ，则36930a a a a ⋅⋅=L （ B ）.A.102 B.202 C.162 D.152讲点3 .等差等比数列的综合问题例7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a ++=（ C ）. A. 12+ B. 12- C. 322+ D. 322-变式1. 设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19,a d =若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ）.A. 2B. 4C. 6D. 8变式2. 若等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 是等比数列，{}n n a b +的前三项为3,12,23，则{}n a 的公差d 与{}n b 的公比q 之和为（ B ）.A.6B.9C.14D.7例8. 在等比数列}{n a 中，0>n a )(*∈N n ,公比q (0,1)∈，且252825351=++a a a a a a ，又3a 与5a 的等比中项为2，（1）求数列}{n a 的通项公式（2）设n n a b 2l og =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求数列}{n S 的通项公式（3）当nS S S n +⋅⋅⋅++2121最大时，求n 的值.答案：(1)21,161==q a 521-=n n a (2)n b n -=5 n n S n 29212+-=(3)nS S S n +⋅⋅⋅++2121=161)21(412+--=n S n 1=n变式1. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若569a a ⋅=，则1032313log log log a a a +⋅⋅⋅++等于（ B ）.A.12B.10C.8D.2+5log 8讲点4. 等比数列的判定例9. 若数列{}n a 的前n 项和可表示为2n n S a =+，则{}n a 是否可能成为等比数列？若可能，求出a 的值；若不可能，请说明理由.答案：1-=a变式1. 已知数列{}n a 为等差数列，2n an b =，证明{}n b 是等比数列.讲点5. 构造等比数列例10. 设二次方程2110(1,2,3)n n a x a x n +-+==…有两根α和β，满足3.ααββ6-2+6=（1）试用n a 表示1n a +；（2）求证：2{}3n a -是等比数列；（3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式.答案：(1)31211+=+n n a a (2))31(21311-=-+n n a a(3)3221+=n n a变式1. 已知数列{}n a 满足111,32n n a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.变式2. 已知数列{}n a 满足13,24,n n a S a n ==+-求数列{}n a 的通项公式.变式3. （1）已知数列{}n a 满足0a 为常数，1132,n n n a a --=-求数列{}n a 的通项公式； （2）在数列{}n a 中，若12211,3,32,n n n a a a a a ++===-求数列{}n a 的通项公式.。