重庆市巴蜀中学高三数学下第一次月考试题文

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重庆市巴蜀中学月考(一)2024届高三数学答案

数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 12345678答案 C A D A B C B D【解析】1．{|13}A x x =-≤≤， {|2}B x x =≥，所以[23]A B = ，，故选C ．数学参考答案·第2页（共8页）图1ln ()x f x ，则1()()ln ()0g x f x x f x x''=+< ，0，所以当01x <<时，()0g x >，当1x >时，g 时，ln 0x >，所以当)1(0x ∈，时，()0f x <. 0时，()0f x <；又()f x 为奇函数，所以当x 0>可化为09850x x <⎧⎨->⎩，或09850x x >⎧⎨-<⎩，，解得0，故选D ．（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BC AC ACD ABC【解析】A 选项错误；11()()()24P A P B P AB P ====，图2（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15128 30数学参考答案·第3页（共8页）数学参考答案·第4页（共8页）【解析】17．（本小题满分10分）（1）证明：1211(1)140b a a =+=++=≠，……………………………………………（1分）1222121221(1)12222(1)2n n n n n n n b a a a a a b ++++=+=++=+=+=+=，…………………（3分） ∴12n nb b +=，∴{}n b 为以4为首项，2为公比的等比数列．……………………………（5分）（2）解：由（1）知：11122142221n n n n n n b a a -++=+===- ，，∴……………………（6分）又112212112122n n n n n a a a ++--=+=-=-，，∴……………………………………………（7分）所以2135212462()()n n n S a a a a a a a a -=+++++++++34(12)4(12)2238.1212n n n n n n +⎡⎤⎡⎤--=-+-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦……………………………………（10分）数学参考答案·第5页（共8页） 18．（本小题满分12分）……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：222111AC A C AA A C AC +=⊥，，∵∴又1111111ACC A ABC ACC A ABC AC A C ACC A ⊥=⊂ 平面平面，平面平面，平面，1.A C ABC ⊥平面∴又AB ABC ⊂平面，1.A C AB ⊥∴ ………………………………………………………（4分）（2）解：由111111121222332B ACC A B ACA A ABC ABC V V V S A C AC BC A C ---====⨯⨯⨯ △133BC == BC =∴………………………………………………………………………………（5分）以C 为坐标原点，1CA CB CA，，分别为x y z ，，的正向建立空间直角坐标系，则各点坐标如下：数学参考答案·第6页（共8页）1(000)00)(00)(00C A B A ，，，，，，，， ………………………………（7分）取平面1CA B 的法向量为(100)m = ，，，设平面11A BB 的法向量为000()n x y z =，，，取111(0(0BB AA A B ===，，则01100x n BB n A B ⎧=⎪=⎨=⎪⎩，………………………………………………（10分）设二面角11C A B B --的大小为θ，则|cos ||cos |m n θ=〈〉==，所以二面角11C A B B --的正弦值为sin θ== …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）患病者被误诊即被判定为阴性的概率为： 197.5950.002(10095)0.5%.10095P -=⨯⨯-=- ………………………………………………（3分）（2）当[95100)c ∈，时， 95()5%0.002(10095)(15%)10095c f c -=⨯⨯⨯-+-⨯-41000.010(10095)0.002(105100)(949500)1010095c c --⎡⎤⨯⨯-+⨯-=-+⨯⎢⎥-⎣⎦，…………（6分）当[100105]c ∈，时，100105()5%0.002(10095)0.012(105100)(15%)105100105100c c f c --⎡⎤=⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⎢⎥--⎣⎦40.002(105100)(131400)10c -⨯⨯-=-+⨯，……………………………………………（9分）∴44(949500)10[95100)()(131400)10[100105]c c f c c c --⎧-+⨯∈⎪=⎨-+⨯∈⎪⎩，，，，，，………………………………………（10分） ()f c ∵在[95105]c ∈，单调递减，所以105c =时()f c ，最小．……………………（12分）21．（本小题满分12分）数学参考答案·第7页（共8页）数学参考答案·第8页（共8页）。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第01节随机事件的概率 2

高考模拟复习试卷试题模拟卷第01节随机事件的概率A 基础巩固训练1.(·江西南昌检测)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”[答案]C[解析] 该试验有三种结果：“恰有1个白球”“恰有2个白球”“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．2.(文)(·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f(x)＝x2＋ax ＋b2无零点的概率为( )A ．12B ．23C ．34D ．14[答案] C3. 甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三个数字，每人则可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时喊该数字者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则 ()A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确定谁获胜的概率大【答案】A4.(·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( ) A.18B.38C.58D.78【答案】D【解析】至少一次正面朝上的对立事件的概率为18，故P ＝1－18＝78. 5.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A ．A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件【答案】DB 能力提升训练1.(·济南调研)现釆用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出 0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A ． 0.852B ． 0.8192C ．0.8D ． 0.75[答案] D[解析] 随机模拟产生的20组随机数，表示至少击中3次的组数为15，所以概率为P ＝1520＝0.75. 2.从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为( )A.15B.25C.35D.45【答案】B3. (·浙江台州中学统练)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a 、b ∈{0,1,2,3,4,5}，若|a －b|≤1，则称甲乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( )A ．29B ．718C ．49D ．19[答案] C4. (威海市高三3月模拟考试)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b =与向量(1,1)n =-垂直的概率为（A ）16（B ）13（C ）14（D ）12【答案】A【解析】由题意可知(,)m a b =有：(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5).共12个.m n ⊥即0,m n ⋅=所以1(1)0,a b ⨯+⨯-=即a b =，有(3,3)，(5,5)共2个满足条件.故所求概率为16. 5. 从一个三棱柱ABC －A1B1C1的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是( ) A ．15 B ．25C ．35D ．45 [答案] D[解析] 从6个顶点中选4个，共有15种选法，其中共面的情况有三个侧面，∴概率P ＝15－315＝45.C 思维扩展训练1.(·安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l1：ax ＋by ＝2与l2：x ＋2y ＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，则点P(36P1,36P2)与圆C ：x2＋y2＝1 098的位置关系是()A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确定【答案】C2. 设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P(a ，b)，记“点P(a ，b)落在直线x ＋y ＝n 上”为事件Cn(2≤n ≤5，n ∈N)，若事件Cn 的概率最大，则n 的所有可能值为()A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4【答案】D【解析】P(a ，b)的个数为6个．落在直线x ＋y ＝2上的概率P(C2)＝16，若在直线x ＋y ＝3上的概率P(C3)＝26，落在直线x ＋y ＝4上的概率P(C4)＝26，落在直线x ＋y ＝5上的概率P(C5)＝16. 3. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．【答案】3513154. 已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8、0.12、0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________，________.【答案】0.970.03【解析】断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.5. 【雅安中学高三下期3月月考数学】(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z)(1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ) (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(1) 用产品编号列出所有可能的结果;(2) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节二项式定理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）5】在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（）A.4项B.5项C.6项D.7项2．【宝鸡市高三数学质量检测（一）】若)21(3x x n -的展开式中第四项为常数项，则=n （） A . 4 B. 5 C. 6 D. 73．【改编题】6(1)(1)x x +-展开式中3x 项系数为（）A.14 B ．15 C ．16 D ．174．【金丽衢十二校高三第二次联考】二项式2111()x x -的展开式中，系数最大的项为（）A.第五项B.第六项C.第七项D.第六和第七项 5．【江西赣州市六校高三上学期期末联考】已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为5670，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．48C ．28或48D ．1或286．【高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．【高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）608.【高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 9．【咸阳市高考模拟考试试题（三）】若n x x )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（）A ．8B ．9C ．10D ．1210．【潍坊市高三3月模拟考试】设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)...kx a a x a x a x -=++++，则1238...a a a a ++++=( )(A) 1 (B)0 (C)l (D)256 11．【浙江高考第5题】在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（）A.45B.60C.120D. 21012.【原创题】210(1)x x -+展开式中3x 项的系数为（）.A.210 B ．120 C ．90 D ．210二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【大纲高考第13题】8x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数为. 14．【改编题】对任意实数x ，有423401234(1)(3)(3)(3)(3)x a a x a x a x a a -=+-+-+-+-，则3a 的值为.15．【高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）.16．【高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知在332n x x ⎛- ⎪⎭的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．18．已知223)n x x 的展开式的二项式系数和比(31)n x -的展开式的二项式系数和大992.求在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．19．设(1－2x)2 013＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a2 013x2 013 (x ∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 013的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 013的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 013|的值．20．【第二次大联考数学江苏版】对于给定的函数()f x ，定义()n f x 如下：()0()C (1)n k k n k n n k k f x f x x n -==-∑，其中2n n ∈*N ≥，．（1）当()1f x =时，求证：()1n f x =；（2）当()f x x =时，比较2014(2013)f 与2013(2014)f 的大小；（3）当2()f x x =时，求()n f x 的不为0的零点．高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

重庆市巴蜀中学校2024届高三下学期高考适应性月考卷(八)数学试卷含答案解析

数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}2,1,1=+A a a ，{}2B a =，若B A ⊆，则实数=a （）A.1- B.0C.12D.12.已知()0,πα∈，310cos 10α=，则tan α=（）A .3B.13C.13-D.3-3.在等差数列{}n a 中，63a =，则58913+-=a a a （）A.2B.3C.4D.54.某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（）A.120B.126C.210D.4205.已知椭圆22143x y C +=：的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有A.8个B.6个C.4个D.2个6.已知ln 73=a ，ln 64=b ，ln55c =，ln 46=d ，则在b a -，c b -，-d c ，-d b ，-d a ，c a -这6个数中最小的是（）A.b a- B.c b- C.-d bD.c a-7.已知函数()22ln 1=-+f x ax x 的图象与x 轴无公共点，则实数a 的取值范围是（）A .1a <- B.21e a >C.1e>a D.1a >8.双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，P ，Q （P 在第一象限）是双曲线的一条渐近线与圆222x y a +=的两个交点，点M 满足10⋅= OM F P ，15=MP F M ，其中O 是坐标原点，则双曲线的离心率e =（）A.B.C.2D.3二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()122P X ≤=B.()()E X E Y =C.()()D X Y D =D.()112P Y ==10.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球1O 和球2O 的球心1O ，2O 都在线段1AC 上，球1O ，球2O 外切，且球1O ，球2O 都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球1O 和球2O 的半径分别为1r ，2r ，则（）A.11AC B C⊥ B.当11r =时，2r 的最大值是1-C.12r r +的最大值是3 D.球1O 和球2O 的表面积之和的最大值是6π11.已知()22,,1=+-nn f x y n xy （1n ≥，n ∈Z ），定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（）A.“方圆系”曲线(),,10=f x y 是单位圆B.24<SC.{}n S 是单调递减的数列D.“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()1i 24i z +=+，则复数z =________．13.已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =________．14.已知锐角ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos3A =，a =2b c +的取值范围是________．四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠=︒，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若AB =1BC =，2AP =，求二面角A PB C --的正弦值．16.函数()()2e1xf x xx =-+．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）令()()1e xg x x =-，过点()0,P m 可以作三条直线与曲线()y g x =相切，求实数m 的取值范围．17.甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是12，甲同学先投篮.（1）求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；（2）求甲同学比赛获胜的概率．18.已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．（1）求抛物线E 的方程；（2）若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．19.集合{}222,0,,,a b cA x x a b c a b c ==++≤<<∈N ，将集合A 中的元素按由小到大的顺序排列成数列{}n a ，即17a =，211a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求3a ，4a ，5a ；（2）判断672，2024是否是{}n a 中的项；（3）求120a ，35S ．数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}2,1,1=+A a a ，{}2B a =，若B A ⊆，则实数=a （）A.1-B.0C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论2a a =或21a +或1，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择.【详解】因为B A ⊆，故2∈a A ．①当2a a =时，0a =，则211a +=，与元素的互异性矛盾，故0a =不成立；②当221a a =+时，解得1a =，与元素的互异性矛盾，故1a =不成立；③当21a =时，即12a =，则15,,124A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}1B =，故12a =成立，故12a =.故选：C ．2.已知()0,πα∈，310cos 10α=，则tan α=（）A.3B.13C.13-D.3-【答案】B 【解析】【分析】由同角的三角函数关系计算可得结果.【详解】因为()0,πα∈，cos 10α=，故sin 10α==，故sin 1tan cos 3ααα==，故选：B ．3.在等差数列{}n a 中，63a =，则58913+-=a a a （）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】因为63a =，令{}n a 的公差为d ，则()5896666115235333+-=-++-+==a a a a d a d a d a ，故选：D ．4.某班有5名男同学，4名女同学报名参加辩论赛，现从中选取4名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是（）A.120B.126C.210D.420【答案】A 【解析】【分析】先求出符合要求的辩论队总数，再排除不符合条件的情况即可.【详解】若总的辩论队数量是49C 126=，则全是男生的辩论队数量是45C 5=，全是女生的辩论队数量是44C 1=，故满足的辩论队数量是444954C C C 12651120--=--=，故选：A ．5.已知椭圆22143x y C +=：的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有A .8个B.6个C.4个D.2个【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，根据121212,,F PF F F P PF F ∠∠∠分别为直角分类计算即可.【详解】（1）若122F PF π∠=，则2221212PF PF F F +=，即221122422x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无解；（2）若122F F P π∠=，则31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭；（3）若122PF F π∠=，则31,2⎛⎫-± ⎪⎝⎭P ；综上，共有4个点P 满足12F PF ∆为直角三角形，故选C.【点睛】（1）题设中没有指明哪一个角为直角，故需要分类讨论；（2）圆锥曲线中与焦点三角形有关的问题，常常利用几何性质来处理；（3）若椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为其左右焦点，(),P m n 为椭圆上的动点，则有焦半径公式：12,PF a em PF a em =+=-（左加右减），其中e 为椭圆的离心率.6.已知ln 73=a ，ln 64=b ，ln55c =，ln 46=d ，则在b a -，c b -，-d c ，-d b ，-d a ，c a -这6个数中最小的是（）A.b a - B.c b- C.-d bD.c a-【答案】C 【解析】【分析】分析题意得出d b =，进行下一步转化得出最小值是d b -即可.【详解】因为ln ln 3ln 7=⋅a ，ln ln 4ln 6=⋅b ，ln ln 5ln 5=⋅c ，ln ln 4ln 6=⋅d ，则d b =，故0d b -=，又0b a ->，0c b ->，0d c ->，0c a ->，0d a ->，故最小值是d b -，故选：C ．7.已知函数()22ln 1=-+f x ax x 的图象与x 轴无公共点，则实数a 的取值范围是（）A.1a <-B.21e a >C.1e>a D.1a >【答案】B 【解析】【分析】先合理讨论参数范围，后利用分离参数法求解即可.【详解】令2t x =，则()ln 1=-+g t at t ，当0a =时，()ln 1=-+g t t 与x 轴有公共点，故0a =时不成立；当a<0时，()()ee1e 110=-+=-+>aaa g a a a ，又()e e 0=<g a ，故()ln 1=-+g t at t 与x 轴有公共点，故a<0时不成立；当0a >时，()11g a =+，因为()ln 1=-+g t at t 与x 轴没有公共点，故()0,t ∈+∞时，ln 10-+>at t 恒成立，即ln 1->t a t恒成立，令()ln 1t h t t -=，()22ln t h t t-'=，()20,e t ∈时，()0h t '>()2e ,t ∈+∞时，()0h t '<，故()h t 在()20,e 上单调递增，在()2e ,+∞上单调递减，故()()221e e h t h ≤=，故21e a >，故选：B ．8.双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，P ，Q （P 在第一象限）是双曲线的一条渐近线与圆222x y a +=的两个交点，点M 满足10⋅= OM F P ，15=MP F M ，其中O 是坐标原点，则双曲线的离心率e =（）A.B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由题意，点1(,0)F c -到渐近线的距离为b ，则1OQ F Q ⊥，根据相似三角形的性质和勾股定理可得228b a =，结合222c a b =+与离心率的概念即可求解.【详解】点1(,0)F c -到渐近线by x a=的距离为d b ==，因为OQ a =，1OF c =，又222c a b =+，P ，Q 在渐近线上，故1OQ F Q ⊥，1FQ b =，又1⊥OM F P ，且15=MP F M ，设MP t =，则16F P t =，1Rt Rt △∽△PMO PQF ，故1MP OP PQPF =，则26=t aa t，故2262=t a ，又在1Rt PQF 中：22211PF QF PQ =+，即222236124==+t a a b ，解得228b a =，所以22229c a b a =+=，所以2229c e a==，解得3e =，故选：D．【点睛】关键点点睛：利用点到直线的距离公式证明焦点到渐近线的距离为b ，进而证明1OQ F Q ⊥，是解决本题的关键.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A.()122P X ≤= B.()()E X E Y = C.()()D X Y D = D.()112P Y ==【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据正态分布对称性得到A 正确；BC 选项，根据正态分布和二项分布求期望和方差公式求出答案；D 选项，利用二项分布求概率公式进行求解.【详解】A 选项，根据正态分布的定义得()12P X μ≤=，故A 正确；B 选项，()2E X μ==，()1422E Y =⨯=，故()()E X E Y =，故B 正确；C 选项，()21D X σ==，()114122D Y =⨯⨯=，故()()D X D Y =，故C 正确；D 选项，()3141111C ×1224P Y ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：ABC ．10.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球1O 和球2O 的球心1O ，2O 都在线段1AC 上，球1O ，球2O 外切，且球1O ，球2O 都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球1O 和球2O 的半径分别为1r ，2r ，则（）A.11AC B C⊥ B.当11r =时，2r 的最大值是1-C.12r r +的最大值是3D.球1O 和球2O 的表面积之和的最大值是6π【答案】AC 【解析】【分析】结合正方体性质可证得1B C ⊥平面1ABC ，知A 正确；易知当球2O 与正方体的三个面相切时，2r 最大，作出截面11ACC A ，利用1AC 构造等量关系可求得B 正确；当球1O ，2O 均与正方体的三个面相切时，12r r +最大，作出截面11ACC A ，利用1AC 构造等量关系可求得C 正确；结合BC 结论，可知1r 的范围，进而将表面积表示为关于1r 的二次函数的形式，结合二次函数性质可得D 错误.【详解】对于A ，连接1BC ，四边形11BCC B 为正方形，11B C BC ⊥∴；AB ⊥Q 平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，1AB B C ∴⊥；1AB BC B =Q I ，1,AB BC ⊂平面1ABC ，1B C ∴⊥平面1ABC ，1AC ⊂Q 平面1ABC ，11AC B C ∴⊥，A 正确；对于B ，当11r =时，球1O 至多与正方体的相邻三个面相切，则当球2O 与正方体的三个面相切时，2r 最大，作出截面11ACC A 如下图所示，22222AC =+= ，()2212223AC =+=，123sin 323C AC ∴∠==，22213sin r O A r C AC ∴==∠，12211223133AC O A r r O A r r ∴=+++=+++2312331r ∴==-+，即2r 最大值为23，B 错误；对于C ，对于任意的球1O ，当球2O 与正方体的三个面相切时，半径2r 最大，则当球1O ，球2O 均与正方体三个面相切时，12r r +最大，作出截面11ACC A 如下图所示，2221sin r O A CAC ==∠ ，111sin r O C AC A==∠，)()11121121AC O A O O O C r r ∴=++=+=，123r r ∴+==-，即12r r +的最大值为3，C 正确；对于D ，由选项BC 知：()12max 3r r +=-，()1max 1r =，()2max 1r =，121r ∴-≤≤，球1O ，球2O 的表面积之和为()22221212114π4π4π4π3S S r r r r +=+=+-(2118π36r r ⎡=-+-⎣，则当12r =-11r =时，12S S +取得最大值，最大值为(32π-，D 错误.故选：AC.11.已知()22,,1=+-nn f x y n xy （1n ≥，n ∈Z ），定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（）A.“方圆系”曲线(),,10=f x y 是单位圆B.24<SC.{}n S 是单调递减的数列D.“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ：对应曲线是2210x y +-=从而可判断；选项B ：对应的曲线是4410+-=x y 从而可得出横纵坐标的范围，从而可判断；选项C ：(),,0f x y n =对应的曲线221+=n n x y ，(),,10f x y n -=()2n ≥对应的曲线22221--+=n n x y 从而可判断；选项D ：(),,20f x y =对应的曲线是4410+-=x y 再由三角换元2cos α=x ，2πsin 02y αα⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭可判断.【详解】对于A ，(),,10f x y =对应曲线是2210x y +-=表示单位圆，故A 正确；对于B ，(),,20f x y =对应的曲线是4410+-=x y ，故11x -≤≤，11y -≤≤，且1x =与1y =不能同时取等号，故24<S ，故选项B 正确；(),,0f x y n =对应的曲线221+=n n x y ，令n x x ='，ny y ='；因为曲线()()221x y ''+=，则1n x x ='，且1ny y ='.(),,10f x y n -=()2n ≥对应的曲线22221--+=n n x y .令1n xx -='，1n yy -='，因为曲线()()221x y ''+=，则11n x x -='，且11n y y -='.对于C ，又111n n x x -''≥，111n n y y -''≥且等号不能同时取得，故1n n S S ->，故{}n S 是单调递增的，故选项C 是错误的；对于D,(),,20f x y =对应的曲线是4410+-=x y ，假设曲线上任意一点()00,P x y .则44001+=x y ，令2cos α=x ，2πsin 02y αα⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，则22200sin cos d x y αα=+=+≤，故142d ≤=，故选项D 正确.故选:ABD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()1i 24i z +=+，则复数z =________．【答案】3i +##i 3+【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算计算得解.【详解】由()1i 24i z +=+，得()()()()24i 1i 24i 62i3i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-.故答案为：3i+13.已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =________．【答案】2【解析】【分析】根据已知关系式可推导求得()()6f x f x +=，利用周期性和对称性可得()()20241f f =，结合已知函数解析式可求得结果.【详解】由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得：()()33322f x f x f x ⎡⎤⎛⎫=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又()()60f x f x +-=，()()360f x f x ∴-+-=，()()()633f x f x f x ∴=---=-+⎡⎤⎣⎦，()()()63f x f x f x ∴+=-+=，()()()()20246337221422f f f f ∴=⨯+===-=.故答案为：2.14.已知锐角ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 3A =，a =2b c +的取值范围是________．【答案】(【解析】【分析】由正弦定理将边化成角后得到25sin b c C C +=+，再用辅助角公式得到()2b c C ϕ+=+，再结合正弦函数的单调性和角的范围求出结果即可.【详解】因为1cos 3A =，且π02A <<，故22sin 3A =，设三角形外接圆半径为R，由正弦定理得：23sin 223a R A ===，故()()()222sin sin 32sin sin 32sin cos 2cos sin sin b c R B C A C C A C A C C ⎡⎤+=+=++=++⎣⎦53cos sin 5sin 33C C C C ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，故π02C <<，且π2+>A C ，故cos sin 1<<A C ，即1sin 13<<C，又()25sin b c C C C ϕ+=+=+，令锐角θ满足1sin 3θ=，故π2θ<<C ，π,2C ϕθϕϕ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，且π2θϕ+<，故()sin C ϕ+在π,2θϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在ππ,22ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，故π2C ϕ+=时，2b c +．又1sin 3C =时，25sin 7+=+=b c C C ，又当sin 1C =时，25sin 5+=+=b c C C ，故2b c +的取值范围是(．故答案为：(.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理把2b c +化成5sin C C +，然后再结合角的范围和三角函数的值域求出结果.四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.如图，三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠=︒，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若AB =1BC =，2AP =，求二面角A PB C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）310sin 10θ=【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质证明PA BC ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以CA 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，过C 作AP的平行线为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内，所以PA BC ⊥，又BC AC ⊥，,,AC PA A AC PA =⊂ 平面PAC ，故BC ⊥平面PAC ，又BC 在平面PBC 内，故平面PBC⊥平面PAC ；【小问2详解】因为90ACB ∠=︒，AB =，1BC =，故2AC =，又PA ⊥平面ABC ，ACBC ⊥，以CA 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向，过C 作AP的平行线为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P 设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则10⋅= n AP ，10n AB ⋅=，因为()0,0,2AP = ，()2,1,0AB =-，则1112020z x y =⎧⎨-+=⎩，令11x =，则12y =，10z =，则()11,2,0n =，设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则20⋅= n CP ，20⋅=n CB ，又()2,0,2CP = ，()0,1,0CB =，则2222200x z y +=⎧⎨=⎩，令21x =，20y =，21x =-，故()21,0,1n =-，故12121210cos ,10n n n n n n ⋅==，所以二面角A PB C --的正弦值为31010=．16.函数()()2e1xf x xx =-+．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）令()()1e xg x x =-，过点()0,P m 可以作三条直线与曲线()y g x =相切，求实数m 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是(),1-∞-，()0,∞+，单调递减区间是()1,0-，极大值3e，极小值1（2）31e-<<-m 【解析】【分析】（1）求函数()f x 的导函数()f x '，再求()0f x '=的根，分区间判断导函数的符号，由此确定函数()f x 的单调区间和极值；（2）设切点()()000,e1-x M x x ，由条件结合导数的几何意义可得()0f x m +=有三个零点，结合（1）的结论，分析()1h -，()0h 的正负可得结论.【小问1详解】因为()()2e 1xf x xx =-+，则()()()22e 121e '+x xf x x x x x x ，令()0f x '=，可得0x =或=1x -，故当(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，()f x 在区间()1,0-上单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故()f x 的单调递增区间是(),1-∞-，()0,∞+，单调递减区间是()1,0-，故()f x 在=1x -处取得极大值()31ef -=，在0x =处取得极小值()01f =．【小问2详解】设切点()()000,e1-x M x x ，因为()()1e xg x x =-，则()e xg x x '=，则切线的斜率()00001e e 0--==-x x x mk x x ，化简得：()20e1-=-+x m xx ．因为过点()0,P m 可以作三条直线与曲线()y g x =相切，故()200e1-=-+x m xx 有三个不同的实根，即()0f x m +=有三个零点．令()()h x f x m =+，则()()h x f x ''=，由（1）知：则()h x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()31e -=+h m ，()01h m =+．①当()310e-=+<h m 时，(),0x ∈-∞时，()0h x <，故()h x 至多一个零点，不满足；②当()010h m =+>时，()1,x ∈-+∞时，()0h x >，故()h x 至多一个零点，不满足；③当()310e-=+=h m ，(),0x ∈-∞时，()h x 有唯一零点=1x -，()h x 在()0,∞+上单调递增，故()h x 在区间()0,∞+至多一个零点，故()h x 至多两个零点，不满足；④当()010=+=h m ，()1,x ∈-+∞时，()h x 有唯一零点0x =，()h x 在(),1-∞-上单调递增，故()h x 在区间(),1-∞-上至多一个零点，故()h x 至多两个零点，不满足；⑤当()310e -=+>h m ，()010h m =+<，即31e -<<-m 时，因为()313310e -=+<+<h m m ，()31e 0e=+>+>h m m ，故存在()13,1x ∈--，()21,0x ∈-，()30,1x ∈使得()0=i h x ，1,2,3i =，故31e-<<-m 成立，综上所述：实数m 的取值范围是31e-<<-m ．【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．17.甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是12，甲同学先投篮.（1）求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；（2）求甲同学比赛获胜的概率．【答案】（1）7 32（2）1 2【解析】【分析】（1）分甲全中，甲中了2次乙投1次未中，甲中了2次乙投次1次中，1次未中求解；（2）分甲、乙比分3：0，甲、乙比分3：1，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜求解.【小问1详解】解：用A表示甲投篮命中，A表示甲投篮未命中，用B表示乙投篮命中，B表示乙投篮未命中，记甲同学连续投篮了三次并赢得了比赛的事件为M，则()()()()1117 8163232=++=++=P M P AAA P AAAB P AAABB．【小问2详解】①剩余两次投篮，甲、乙比分3：0获胜的概率是()11 8==P P AAA；②剩余一次投篮，甲、乙比分3：1获胜的概率是2P：()()() 23 16=++=P P AAAB P AABA P ABAA（也可用412313C216⎛⎫==⎪⎝⎭P）；③不剩余投篮，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜的概率是3P：()()()()()() 36 32=+++++= P P AAABB P AAB AB P AABBA P ABAAB P AB ABA P ABBAA，（也可用4234116C 2232⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭P ），故甲获胜的概率是12312=++=P P P P ．18.已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．（1）求抛物线E 的方程；（2）若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．【答案】（1）24y x =（2）43-【解析】【分析】（1）设AB 的直线方程为：14=+x m y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，利用韦达定理求出12y y ，再根据OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，求出p ，即可得解；（2）先求出点P 的坐标，设MN 的直线为24=++x my m ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程，利用韦达定理求出34y y +，34y y ，再利用斜率公式化简整理即可得解.【小问1详解】当直线AB 的斜率为0时不成立，设AB 的直线方程为：14=+x m y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2124y px x m y ⎧=⎨=+⎩，消去x 得21280--=y pm y p ，则2214320p m p ∆=+>恒成立，故128y y p =-，又2112y x p =，2222y x p =，故222121222641644⋅===y y p x x p p，又OA OB ⊥，则12120x x y y +=，故1680-=p ，解得2p =，故抛物线E 的方程是24y x =；【小问2详解】因为24y x =，()0,2P x 在抛物线上，故01x =，则()1,2P ，当直线MN 的斜率为0时不成立，设MN 的直线为24=++x my m ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立2424y x x my m ⎧=⎨=++⎩，消去x 得：248160---=y my m ，则344y y m +=，34816=--y y m ，因为33123332241214--===-+-y y k y x y ，44224442241214--===-+-y y k y x y ，则()()()1234343444161642224816843k k y y y y y y m m ⋅=⋅===-+++++--++，故12k k ⋅的值为43-．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.集合{}222,0,,,a b cA x x a b c a b c ==++≤<<∈N ，将集合A 中的元素按由小到大的顺序排列成数列{}n a ，即17a =，211a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求3a ，4a ，5a ；（2）判断672，2024是否是{}n a 中的项；（3）求120a ，35S ．【答案】（1）313a =，414a =，519a =（2）672是数列{}n a 的项，2024不是{}n a 中的项（3）120896=a ，351905=S 【解析】【分析】（1）直接对a,b,c 赋值求值即可；（2）直接利用集合A 中元素的意义验证即可；（3）先确定集合A 中元素个数，再确定{}n a 中最大项是12222--++n n n （2n ≥），最小项是10222++n 可求出120a ，再利用求和求得35S .【小问1详解】320322213=++=a ，321422214=++=a ，410522219=++=a ．【小问2详解】97567251216051212832222=+=++=++，故672∈A ，则672是数列{}n a 的项；1091098202410241000102451248822488222=+=++=++>++．令1098222=++k a ，则111012222051+=++=k a ，故12024+<<k k a a ，故2024不是{}n a 中的项．【小问3详解】当2c =时在集合A 中有22C 个元素，当3c =时在集合A 中有23C 个元素，……当c n =时在集合A 中有2C n 个元素，则集合A 一共有()()222323111C C C C 6n n n n n ++-+++== 个元素，故{}n a 有()()116n n n +-项，当c n =时在集合A 中的2C n 个元素中最小的元素是10222++n ，最大元素是12222--++n n n （2n ≥），故c n =的元素在{}n a 中最大项是12222--++n n n （2n ≥），最小项是10222++n ；令9n =，则{}n a 共有10981206⨯⨯=项，则120a 恰好是9c =的元素在{}n a 中的最大项，则987120222896=++=a ；令6n =，则一共有765356⨯⨯=项，记n T 表示集合A 中c n =的元素之和，则35236=+++ S T T T ，因为集合A 中c n =的元素有2C n 个，这些元素中含2n 的个数是2C n ，含0112,2,,2n - 的个数都是n 1-，故()()21102C 2221n n n n T n -=⨯++++⨯- ，则：()()2210222C 22217T =⨯++⨯-=，()()32210332C 22231382738T =⨯+++⨯-=⨯+⨯=，()()423210442C 222241166315141T =⨯++++⨯-=⨯+⨯=，()()5243210552C 2222251320431444T =⨯+++++⨯-=+⨯=，()()62543210662C 222222619605631275T =⨯++++++⨯-=+⨯=，故3523673814144412751905=+++=++++= S T T T ．故120896=a ，351905=S ．【点睛】关键点点睛：本题考查结数列新定义，关键是利用集合A 中元素意义确定数列的项，确定项的个数解决第3问.。

2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析

2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.-2的绝对值是（）A．-2 B．2 C．1/2 D．-1/22．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1 B．6 C．7 D．103．如果|a|=﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤04、在数轴上，把表示-4的点移动2个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（）A.-1B.-6C.-2或-6D.无法确定5．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）A．小王去时的速度大于回家的速度B．小王在朋友家停留了10 分钟C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路6．下列说法正确的是( ) A．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B．两点之间的所有连线中，线段最短C．相等的角是对顶角D．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点7．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是…………………………………………………（）A．4m B．4n C．2(m+n)D．4(m－n)8．一根绳子弯曲成如图1的形状，用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－2)次(剪开的方向与a平行)，这样一共剪n次时绳子的段数是( )A．4n＋1 B．4n＋2 C．4n＋3 D．4n＋59`在数轴上与-3的距离等于4的点表示的数是（）.A、1.B、-7C、1或 -7D、无数个10．如图，AC、BD相交于点O，∠1= ∠2，∠3= ∠4，则图中有（）对全等三角形。

2018-2019学年重庆市巴蜀中学高三(下)月考数学试卷(文科)(七)(3月份)(解析版)

15.已知三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足C= ，2acosB=c，则A=______．
16.已知圆C的标准方程为（x-2）2+（y-3）2=1，直线AM与圆C相切于点M，若点A的坐标（a，b），且点A满足|AM|=|AO|（其中点O为坐标原点），则a+ b=______．
【解析】
解：根据题意，圆C的标准方程为（x-2）2+（y-3）2=1，其圆心为（2，3），半径r=1，
直线AM与圆C相切于点M，则|AM|2=|AC|2-r2=（a-2）2+（b-3）2-1，
|AO|2=a2+b2，
若|AM|=|AO|，则（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2，
变形可得：-4a-6b+12=0，
3.【答案】C
【解析】
解：
①函数f（x）=1gx是对数函数；②对数函数y=logax（a＞1）是增函数；③函数f（x）=lgx是增函数，
大前提是②，小前提是①，结论是③．
故排列的次序应为：②→①→③，
故选：C．
题考查的知识点是演绎推理中三段论的概念，由三段论；我们易得大前提是②，小前提是①，结论是③．则易得答案．
由三视图还原原几何体，该几何体为圆柱挖去两个圆锥，圆柱的底面半径为2，高是4，圆锥的底面半径为2，高分别为1和3．然后由圆柱体积减去两个圆锥的体积求解．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
7.【答案】B
【解析】
解：∵向量，，，满足等式 = ，
∴ - = ，即 = ，
A.若两非重合直线的斜率相等，则两直线平行
B.若，则
C.若，则

重庆市重庆一中高三数学下学期第一次月考试题文

2015年重庆一中高2015级高三下期第一次月考数学试题卷（文科）数学试题（文史类）共4页，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）命题“若5=6πα，则1sin 2α=”的逆否命题是（A ）若56πα≠，则1sin 2α≠ （B ）若5=6πα，则1sin 2α≠ （C ）若1sin 2α≠，则56πα≠ （D ）若1cos =2α，则5=6πα （2）设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=x x N ，则N C M R I 等于（A ）[]1,1- （B ）)0,1(- （C ）[)3,1 （D ）)1,0( （3）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本恰好是A 样本每个数据都加4后所得数据，则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是（A ）众数（B ）平均数（C ）中位数（D ）标准差（4）直线平分圆222420x y x y ++-+=的周长，则此直线的方程可能是（A ）10x y -+= （B ）30x y ++= （C ）10x y +-= （D ）30x y --=（5）已知sin (01)m m θ=<<，则3cos()2πθ+=（A ）m -（B ）m（C（D）（6）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积是（A ）3（B ）（C ）12（D ）3（7）若关于x 的方程240x mx -+=在[1,3]上有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是（A ）13(4,]3（B ）(4,5] （C ）(4,6)（D ）(4,)+∞（8）运行如图所示的流程图，则输出的结果na 是（A ）5-（B ）4-（C ）1-（D ）1（9）函数112211()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x ππ=+---- 在区间1(,2)2上的图像大致为（A（C ）（D ）（10）（改编）如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心的单位圆与x 轴的交点，点A在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中060POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若AH xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的取值范围是（A ）1(0,]4 （B ）11[,]164 （C ）13[,]1616 （D ）31[,]164（第8题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上（11）已知i 是虚数单位,复数2(1)(1)z x x i =-++是纯虚数,则实数x 的值为．（12）在[0,2]π上随机取一个数x ，则sin 0x >的概率为．（13）满足约束条件错误!未找到引用源。

重庆一中高三数学下学期第一次月考试题文新人教A版

2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数学试题卷（文科）2014.3一、选择题（每题5分，共计50分）1．集合1A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，集合1B y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则有（）A AB ⊆ B A B ⋂=∅C B A ⊆D 以上均错误 2．一个半径为1球内切于一个正方体，切点为,,,,,A B C DEF ，那么多面体ABCDEF 的体积为（）A 112B 16C 23D 433．对于任意[1,5]x ∈，则x 满足不等式2340x x --<的概率为（）A 34B 15C 35D 454．（原创）直线cos sin 20x y θθ+-=与圆221(sin )(2cos ),()4x y R θθθ-+-=∈的位置关系为（）A 相交，相切或相离B 相切C 相切或相离D 相交或相切 5．已知:p “tan tan 1αβ=”， q ：“cos()0αβ+=”，那么p 是q 的（）条件 A 充要 B 既不充分，也不必要 C 必要不充分 D 充分不必要6．向量(2,3),(1,)a b λ=-=-r r ，若,a b r r的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）A23λ>B 23,32λλ>≠-且C 23,32λλ>-≠且D 23λ>-7．（原创）首项为1的正项等比数列{}n a 的前100项满足1=3S S 奇偶，那么数列3log n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（）A 先单增，再单减B 单调递减C 单调递增D 先单减，再单增8x m=+没有实数根，则实数m 的取值范围为（）A (,)-∞⋃+∞B ⎡⎣C (,)-∞⋃+∞D9．式子的最大值为（）A 12 B 110．（原创）定义在实数集R 函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()1f x -为奇函数，现有以下三种叙述：（1）8是函数()f x 的一个周期；（2）()f x 的图像关于点(3,0)对称；（3）()f x 是偶函数.其中正确的是（）A （2）（3）B （1）（2）C （1）（3）D （1）（2）（3）二、填空题（每题5分，共计25分）11．椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>的左顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，且点1F 分2AF uuu r 的比为12，则该椭圆的离心率为12．三角形,6,4,8ABC AB BC AC ===中，则AB BC •=uu u r uu u r13．某小区共有1500人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了人14．（原创）直线l 过定点(2,2)且与圆229x y +=交于点,A B ，当AB 最小时，直线l 恰好和抛物线29x ay =-（0a <）相切，则a 的值为15．（原创）集合{}3,[1,2]A y y x x ==∈，集合{}ln 20B x x ax =-+>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是三、解答题（共计75分） 16．（13分）现从两个文艺组中各抽一名组员完成一项任务，第一小组由甲，乙，丙三人组成，第二小组由丁，戊两人组成. （1）列举出所有抽取的结果；（2）求甲不会被抽到的概率.17．（13分）函数44()cos sin 2sin cos 2,()f x x x x x x R =-++∈ （1）求函数)2(x f 的最小正周期和对称轴；（2）求函数)8(π+x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域.18．（13分）数列}{n a 满足,11=a 且),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n b 满足n n a b 1=，求数列}{n b 的前n 项的和n S .19．原创（12分）直三棱柱111ABC A B C -，棱1AA 上有一个动点E 满足1AE A E λ=.（1）求λ的值，使得三棱锥E ABC -的体积是三棱柱111ABC A B C -体积的19；（2）在满足（1）的情况下，若12AA AB BC AC ====，1CE AC M⋂=，确定BE 上一点N ，使得11//MN BCC B 面，求出此时BN 的值.20．（12分）已知函数()()2ln 20f x x ax bx a =-+>，且'(1)0f =C 1B 1A 1MECBA（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）试问函数()f x 图像上是否存在两点()()1122,,,A x y B x y ，其中21x x >，使得函数()f x 在122x x x +=的切线与直线AB 平行？若存在，求出,A B 的坐标，不存在说明理由.21．原创（12分）点1F ，2F 是椭圆C 的22143x y +=左右焦点，过点1F 且不与x 轴垂直的直线交椭圆于,P Q 两点. （1）若22PF QF ⊥，求此时直线PQ 的斜率k ；（2）左准线l 上是否存在点A ，使得V PQA 为正三角形？若存在，求出点A ，不存在说明理由.出题人：廖桦审题人：张伟2014年重庆一中高2014级高三下期第一次月考数学答案（文科）2014.3 一、选择题（每题5分，共计50分） BDACD CACBD二、填空题（每题5分，共计25分）11．12； 12．6； 13. 2014．18- 15．2ln 8(,)8+-∞三、解答题（共计75分）16．（13分）解：（1）结果有：甲丁，甲戊，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊；（2）记A=“甲不会被抽到”，根据（1）有3264)(==A P17．（13分）解：（1）44()cos sin 2sin cos 2cos 2sin 22)24f x x x x x x x x π=-++=++=++所以2)44sin(2)2(++=πx x f根据公式，其最小正周期242ππ==T ，要求其对称轴，则有Zk k x ∈+=+,244πππ，即对称轴为Z k k x ∈+=,164ππ（2）22cos 22)22sin(2)8(+=++=+x x x f ππ，根据单调性，其在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,222 18．（13分）解：（1）由),1(*1N n n n a a n n ∈>+=-有n a a n n =--1，由叠加可得 121321(1)()()()12(2)2n n n n n a a a a a a a a n n -+=+-+-++-=+++=>L L ，当1=n 时，上式的值为1，满足条件,11=a所以，2)1(+=n n a n（2）)111(2)1(2+-=+=n n n n b n ，所以12)1113121211(2+=+-++-+-=n n n n S n Λ19．（12分）解：（1）根据条件，有11=39Sh Sh 锥柱，1=3h h 锥柱，即点E 到底面ABC 的距离是点1A 到底面ABC 距离的13，所以12λ=；（2）根据条件，易得112AE EM CC CM ==，则当13EM EN MC BN ==时//BC MN ，即有11//MN BCC B 面，即34BN BE=时，有，所以BN =20．（12分）C 1B 1A 1ME CBA解：（1）()'122f x ax b x =-+，又'(1)0f =，所以有221b a =-，所以()()'1122112,f x ax a x a x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭又0,0a x >>，所以()'0f x >有01x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)（2）根据条件()21111ln 21y x ax a x =-+-，()21222ln 21y x ax a x =-+-，所以()()1212121212ln ln 21AB y y x x k a x x a x x x x --==-++---，而()()'1212122212ABx x f a x x a k x x +⎛⎫=-++-= ⎪+⎝⎭，则整理可得121212ln ln 2x x x x x x -=-+，即有12121221ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令12(0t 1)x t x =<<，即4ln 201t t +-=+，令()4g ln 2(0t 1)1t t t =+-<≤+，则()()()2'21g 01t t t t -=≥+，则函数()g t 在(]0,1上单增，而()g 10=，所以在()0,1内，()g 0t <，即4ln 201t t +-=+在()0,1内无解，所以，不存在.21．（12分）解：（1）设直线PQ 为()1y k x =+，联立椭圆方程22143x y +=可得()22223484120k xk x k +++-=，设点()()1122,k ,,k P x x k Q x x k ++，则有221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++，又22PF QF ⊥，可得220PF QF •=uuu r uuu r ，即有()()()22212121110kx x k x x k -+++++=，整理可得279,k k ==（2）记PQ 的中点为M ，要使得PQA 为正三角形，当且仅当点A 在PQ 的垂直平分线上且PQ MA 23=,现作l MM ⊥1于1M ，则123MM PQ >,根据第二定义可得PQePQ MM ==21，则有123>，显然不成立，即不能存在.。

重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高三上学期月考卷数学试题(一)(解析版)

巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(一)数学注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回、满分150分,考试用时120分钟。

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x∣x2−2x−3≤0,B=x y=2x−4,则A∩B=A.[2,3)B.(2,3]C.2,3D.2,32.“x<0”是“log3x+1<0”的()条件.A.必要而不充分B.充分而不必要C.充分必要D.既不充分也不必要3.若函数f x−1的定义域为−3,1,则y=x−1f x的定义域为A.−3,1B.−2,2C.−4,0D.−4,04.已知函数f x=−xe x,那么f x的极大值是A.1eB.−1eC.−eD.e5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B3,0,若AF=BF,则△ABF的面积为A.1B.2C.4D.26.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点A在E上,且cos∠F1AF2=35,AF1=2AF2,则E的渐近线方程为A.y=±58B.y=±8C.y=±D.y=±7.定义在上的函数f x满足f x+1=12f x,且当x∈[0,1)时,f x=1−2x−1.x∈f x的值域为A.1B.0,1C.D.8.已知函数f′x是奇函数f x x∈的导函数,且满足x>0时,lnx⋅f′x+ 1x f x<0,则不等式x−985f x>0的解集为A.985,+∞B.−985,985C.−985,0D.0,985二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每个给出的四个选项中,有多项是满足要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,记“甲轩子正面向上的点数为奇数”为事件A,“乙股子正面向上的点数为奇数”为事件B,“至少出现一个般子正面向上的点数为奇数”为事件C,则下列判断正确的是A.A,B为互斥事件B.A,B互为独立事件C.P C=34D.P A∣C=1310.已知函数f x的定义域为,且f x+1=f1−x,f x+f4−x= 0,f2023=−2023,则A.f0=0B.f x是偶函数C.f x的一个周期T=4D.k=12023f k=−202311.已知数列a n满足a1=2,a n+1=2−1a n,则A.a3=43B.为等比数列C.a n=n+1nD.数列lna n的前n项和为ln n+112.已知函数f x=,x>0,x2−4x+1,x≤0,若关于x的方程f2x−2af x+a2−1=0有k k∈N x1,x2,⋯,x k且x1<x2<⋯<x k,则下列判断正确的是A.当a=0时,k=5B.当k=2时,a的范围为−∞,−1C.当k=8时,x1+x4+x6x7=−3D.当k=7时,a的范围为1,2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.−2x23的展开式中x3项的系数为.14.若m,n∈∗,且2m⋅4n=2,则2m+1n的最小值为.15.在数列a n中,若a2=8,前n项和S n=−n2+bn,则S n的最大值为.16.已知函数f x=x3+ln x2+1+x,若不等式f2x−4x+f m⋅2x−3< 0对任意x∈均成立,则m的取值范围为.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知数列a n满足a1=2,a n+1=a n+1,n为奇数,2a n,n为偶数.(1)记b n=a2n+1,求证:b n为等比数列;(2)若S n=a1+a2+a3+⋯+a n n∈∗,求S2n.18.(本小题满分12分)巴蜀中学进行90周年校庆知识竞赛,参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定:每题回答正确得10分,回答不正确得-10分.(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响,记甲的总得分为X,求X的期望和方差;(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道,记乙的总得分为Y,求Y的分布列.19.(本小题满分12分)如图1,在三棱柱ABC−A1B1C1中,AA1=2,AC=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90∘.(1)求证:A1C⊥AB;公众号：全元高考(2)若四棱锥B−ACC1A1的体积为求二面角C−A1B−B1的正弦值。

巴蜀高三数学月考试卷答案

一、选择题1. 下列各式中，绝对值最小的是（）A. |2|B. |-2|C. |0|D. |1|答案：C解析：绝对值表示数与零的距离，所以绝对值最小的是0。

2. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴公式为x = -b/2a，代入a = 1，b = -4，得x = 2。

3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，a1 + a10 = 11，则公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2，代入S10 = 55，a1 + a10 = 11，得10(a1 + a10)/2 = 55，解得a1 + a10 = 11，由等差数列的性质知，a1 + a10 = 2a5，得2a5 = 11，解得a5 = 5.5，又因为a1 + a10 = 11，得2a5 = 11，所以a5 = 5.5，公差d = a5 - a1 = 5.5 - a1，又因为a1 + a10 = 11，得2a5 = 11，所以a1 = 5.5 - a10，代入a5 = 5.5，得d = 5.5 - (5.5 - a10) = a10 - 5.5，又因为a1 + a10 = 11，得a10 = 11 - a1，代入d = a10 - 5.5，得d = (11 - a1) - 5.5，解得d = 1。

4. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，则sinC =（）A. 1/2B. √3/2C. √3/4D. 1/4答案：B解析：在直角三角形中，sinC = 对边/斜边，由于∠A = 30°，∠B = 60°，所以∠C = 90°，且对边为BC，斜边为AB，由30°-60°-90°三角形的性质知，BC = AB/2，所以sinC = BC/AB = 1/2。

重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期适应性月考(九)数学试题

重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期适应性月考（九）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．121PF F PQF ∽B ．双曲线的离心率为2C ．121cos 3PF F ∠=三、填空题五、解答题(1)求PA ；(2)求PE 与平面PBD 所成角的正弦值．20．近日，Chat GPT 引发舆论风暴，火遍全球．如何让Chat GPT 为教育所用是教育界不得不面对的新课题．为了更快，更好的熟悉Chat GPT ，某校研发了Chat GPT 应用于设计课程，协助备课，课堂助教，作业测评，辅助学习等方面的“学习APP”，供该校所有教师学习使用．该校共有教师1000名，为了解老师们学习情况，随机抽取了100名教师，在指定的一天统计了这100名教师利用“学习APP”学习Chat GPT 技术的时长（单位：min ），得到了如图所示的频率分布直方图．学习时长不低于120min 的教师称为“学习积极分子”．(1)求统计的这100名教师中“学习积极分子”的人数，并根据频率分布直方图，估计在指定当天教师学习Chat GPT 时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）；(2)（）由频率分布直方图可知，该校教师在指定当天学习Chat GPT 的时长X 近似服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数，σ取10.8），求该校教师在指定当天学习Chat GPT 的时长位于区间()101.2,133.6内的概率；（）从该校教师中随机选取3人，记3人在指定当天学习Chat GPT 的时长不少于130min 的人数为Y ，用样本中各区间的频率代替每名教师学习Chat GPT 的时长位于相应区间的概率，求Y 的期望()E Y ．（附：若随机变量()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈）(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，当点M 22．已知函数()e xf x ax b =-+(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()f x 的图象与x 轴相切于原点．参考答案：故选：AC．11．ABD【分析】根据双曲线定义及性质，结合余弦定理和面积公式逐个选项判断即可．【详解】如图所示：对于A ，121PF F FQP ∠=∠对于B ，122PF PF =，PF 8PQ a =，26QF a =，QF【详解】MCN所在的平面建立直角坐标系，由球半径为3且π3MCN∠=，可得MN)，2PM PN=，则232 x⎛⎫+⎪⎝⎭=，设PA t∵H，E分别为AD，CD的中点，∥，∴HE AC∴异面直线PE与AC所成角即为∵△ABC为等边三角形，⊥，∴AF BC又∵PA⊥底面ABCD，如图以A为原点，分别以AF。

重庆市巴蜀中学高三数学12月月考试题文(含解析)

重庆市巴蜀中学2015届高三数学12月月考试题文（含解析）【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的.【题文】1.设全集I 是实数集R ，M={x>2}与3{|0}1x N x x -=≤-都是I 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A.{x|x<2}B.{ |21x x -≤<}C. {}|12x x <≤D. {}|22x x -≤≤【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】C 解析：阴影部分所表示的集合为()I N C M I ={}|12x x <≤,故选C.【思路点拨】由图可知所求=()I N C M I .【题文】2.复数123,1z i z i=+=-，则复数121z z +的虚部为（）A.2B.2iC. 32D. 32i【知识点】复数运算. L4【答案】【解析】C 解析：∵121z z +=()()11733311222i i i i ii i ++++=++=+-+，∴121z z +的虚部为32，故选C.【思路点拨】先利用复数运算化简复数121z z +，再由复数虚部的定义得结论.【题文】3、已知函数)6cos()6sin(ππ++=x x y ，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( )A 、6,2ππ=xB 、12,2ππ=x C 、6,ππ=x D 、12,ππ=x【知识点】二倍角公式；sin()y A x ωϕ=+的性质. C6 C4【答案】【解析】D 解析：已知函数为1(2)23y sin x π=+，所以其周期为π，且可判断其一条对称轴方程为12x π=,故选 D.【思路点拨】先利用二倍角公式将函数化为1(2)23y sin x π=+，再由sin()y A x ωϕ=+的性质得结论.【题文】4、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥+0422y x y x y x 所围成的平面区域的面积为( )A 、3 2B 、6 2C 、6D 、3[] 【知识点】简单的线性规划问题. E5 【答案】【解析】D 解析：如图, 不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A(2，0),B(4，4),C(1，1)，所求平面区域的面积为()1242132ABO ACO S S ∆∆-=⨯-⨯=【思路点拨】画出不等式组所围成的平面区域，利用三角形面积公式求解.【题文】5、已知直线,l m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂I ，，和m γ⊥，则有( ) A 、αγ⊥且l m ⊥ B 、αγ⊥且//m β C 、//m β且l m ⊥ D 、//αβ且αγ⊥【知识点】空间中的平行关系；空间中的垂直关系. G4 G5【答案】【解析】A 解析：∵m ⊥γ，m α⊂，∴αγ⊥，设n αγ=I ，则m n ⊥. ∵l βγ=I ，∴l γ⊂，又,l αP n αγ=I ，∴l n P ，∴l m ⊥，故选A. 【思路点拨】根据已知条件逐步推出结论.【题文】6、椭圆15922=+y x 的两个焦点为21F F 、，点P 是椭圆上任意一点（非左右顶点），在21F PF ∆的周长为（）A 、6B 、8C 、10D 、12【知识点】椭圆的基本概念 H5【答案】【解析】C 解析：由题意可知3,2a b c ===，根据椭圆的定义可知三角形的周长等于226410a c +=+=，所以C 正确．【思路点拨】根据椭圆的概念可求出三角形的周长为22a c +，再代入求值即可．【题文】7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 、3560B 、200C 、3580D 、240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】B 解析：由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，其中以侧视图为底．底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10．∴梯形的面积为，∴棱柱的体积为20×10=200．故答案为：200．：【思路点拨】由三视图可知该几何体为四棱柱，然后根据棱柱体积公式计算体积即可．【题文】8、已知向量),1(),1,2(y CD x AB -=-=，其中0>xy ，且CD AB //，则xy yx +8的最小值为( )A 、34B 、25C 、27D 、16 【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】B 解析：由向量共线的定义可知()()211021y x x y ---⋅=∴+=，又因为()881818121781725x y x x y xy y x y x y x ⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭【思路点拨】根据向量共线的概念找到，x 与y 的关系，再针对所求式子进行分解求值.【题文】9.在ABC ∆中，c b a 、、分别是角A 、B 、C 的对边，若2222015c b a =+，则)tan (tan tan tan tan B A C BA +⋅的值为（）A 、1007B 、22015C 、2014D 、2015【知识点】正弦定理余弦定理 C8 【答案】【解析】A 解析：∵a2+b2=201５c2，由余弦定理a2+b2﹣2abcosC=c2，可得：2abcosC=2011c2，由正弦定理可得，2sinAsinBcosC=201４sin2C ， sinAsinB=１００７sin （A+B ）tanC ，∴=，１００７即=１００７．故答案为：A【思路点拨】通过余弦定理以及正弦定理，以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，把正弦函数余弦函数化为正切，即可得到结果．【题文】10、已知函数22,0()4cos 1,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨⋅+<⎩，且方程()1f x mx =+在区间[2]ππ-,内有两个不等的实根, 则实数m 的取值范围为（）A 、[4,2]-B 、(4,2){4}-UC 、(4,3)-D 、[2,4]【知识点】函数的性质 B8【答案】【解析】B 解析：直线y=mx+1过定点（0，1），作出函数f（x）的图象如图：由图象可知，当直线y=mx+1y与f（x）=x2+2在第一象限相切时，满足方程f（x）=mx+1在区间[﹣2π，π]内有三个不等的实根，此时x2+2=mx+1，即x2﹣mx+1=0，则判别式△=m2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2（舍去）．当直线y=mx+1在x=0时与f（x）=4xcosx+1相切时，有两个不等的实根，此时f′（x）=4cosx﹣4sinx，m=f′（0）=4，此时满足条件．当m＜0，由4xcosx+1=mx+1，即m=4cosx，当此时方程m=4cosx在[﹣2π，0）只有一个解时，即m=﹣4，此时方程f（x）=mx+1在区间[﹣2π，π]内有1个实根，此时不满足条件．综上满足条件的m的取值范围为﹣4＜m＜2或m=4，故选：B【思路点拨】作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论【题文】二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.）【题文】11、曲线3xy=在点)1,1(处的切线方程为________________【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11【答案】【解析】3x﹣y﹣2=0. 解析：y'=3x2,y'|x=1=3，切点为（1，1）∴曲线y=x3在点（1，1）切线方程为3x﹣y﹣2=0故答案为：3x﹣y﹣2=0.【思路点拨】先求出函数y=x3的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．【题文】12、若直线23=++yx，与圆422=+yx交于A、B两点，则=⋅OBOA________【知识点】直线与圆的位置关系．H4【答案】【解析】﹣2解析：圆422=+y x 的圆心（0，0），半径为：2，圆心到直线的距离为OD ，OD=()2=11+3，∴cos∠AOD=12∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°．∴=⋅OB OA 122-=-22骣琪创琪桫．故答案为：﹣2．【思路点拨】利用圆心到直线的距离距离与半径的关系，求出∠AOB，然后求解数量积即可．【题文】13、已知正三棱锥ABC S -内接于半径为4的球，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得截面如下，则此三棱锥的体积为__________【知识点】球内接多面体．G8【答案】【解析】3面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=23,设BC 的中点为D ，连接SO∵R=4∴AD=6，∴OD=2，SD=25BC=43∴三棱锥的体积为13484=16334创?故答案为：3【思路点拨】根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求．【题文】14设R b a ∈,，关于x 的方程0)1)(1(22=+-+-bx x ax x 的四个实根构成以q 为公比的等比数列，若]2,31[∈q ，则ab 的取值范围为____________【知识点】等比数列的性质．D3【答案】【解析】112 4,9轾犏犏臌解析：设方程)1)(1(22=+-+-bxxaxx的4个实数根依次为m，mq，mq2，mq3，由等比数列性质，不妨设m，mq3为x2﹣ax+1=0的两个实数根，则mq，mq2为方程x2﹣bx+1=0的两个根，由韦达定理得，m2q3=1，m+mq3=a，mq+mq2=b，则231 mq=故ab=（m+mq3）（mq+mq2）=m2（1+q3）（q+q2）=31q（1+q3）（q+q2）=2211q qq q+++，设t=1qq+，则221qq+=t2﹣2，因为q∈[13，2]，且t=1qq+在[13，1]上递减，在（1，2]上递增，所以t∈[2，10 3]，则ab=t2+t﹣2=21924t骣琪+-琪桫，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=103时，ab取到最小值是1129，所以ab的取值范围是：112 4,9轾犏犏臌．【思路点拨】利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据Q的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．【题文】三、解答题（本大题共6小题，共计75分）【题文】16、数列}{na是公比为q的正项等比数列，11=a，122n nna aa++-=)(*∈Nn。

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()2z i i i -⋅=-，则z =（） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D【解析】首先得到2iz i i-∴=+，再化简复数. 【详解】2iz i i--=()2222111i i i i z i i i i i i --+∴=+=+=+=---. 故选：D 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题型. 2．已知集合{}|1A x x =<，1|1B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （） A ．{}|01x x x <>或 B ．{}|010x x x <<<或 C ．{}|0x x < D ．φ【答案】C【解析】解不等式得出集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ．【详解】()()1|1=1,0B x x ⎧⎫=<+∞⋃-∞⎨⎬⎩⎭，,则A B =I {}|0x x <故选：C 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．24 【答案】C【解析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()831222a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

4．已知随机变量X 服从正态分布(1,1)N -，则(01)P X <≤=（）（附：若2(,)X N μσ-，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）A ．0.1359B ．0.906C ．0.2718D ．0.3413【答案】A【解析】由题意可知1,1μσ=-=，利用3σ原则，计算结果. 【详解】由题意可知1,1μσ=-=()()012P X P X μσμσ<≤=+<≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特性和曲线所表示的意义，意在考查3σ原则和曲线的对称性，属于基础题型. 5．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为A ．()sin()6g x x π=-B ．()sin()6g x x π=+C ．2()sin(4)3g x x π=- D ．()sin(4)6g x x π=-【答案】C【解析】将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12得到sin 4y x =，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63g x x x ππ=-=-，故选C. 6．已知点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上，则下列四点中也在图象上的是（） A ．(,1)a b -+ B ．(,)a b --C ．(,1)a b --D ．(,)a b -【答案】B【解析】首先计算()()0f x f x -+=，由此判断选项. 【详解】()()1111221221x x f x f x --+=-+-++ 2111221x x x=--++ 21111012x x+=-=-=+ ， ∴点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上时，点(),a b --也在图象上. 故选：B 【点睛】本题考查函数的对称性的简单应用，属于基础题型，本题的关键是根据函数的形式，判断()()0f x f x -+=.7．如图是一个算法的程序框图，若该算法输出的结果是1011，则选择框里应该填入的是（）A ．9?i <B ．10?i <C ．11?i <D ．12?i <【答案】C【解析】首先判断程序框图的作用，然后根据输出结果判断选项. 【详解】由程序框图可知，程序是求数列()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯-的和， ()11111n n n n=---（2n ≥）根据裂项相消法可知()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯- 11111111......223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n n n-=-= ，由题意可知11011i i -=，解得：11n =，这里i n = ，∴10i =进入循环，11=i 退出循环， ∴选择框里应填入11?i <.故选：C 【点睛】本题考查根据程序框图的的输出结果，求判断框的内容，属于基础题型，本题的关键是读懂循环结构，并会用裂项相消法求和.8．从“舞蹈、相声、小品、歌唱、杂技 ”5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，则不同的演出方案种数是（） A ．72 B ．96 C ．120 D ．144【答案】B【解析】分选到的4个节目没有“舞蹈”和有“舞蹈”两类情况讨论，按照先选再排的方法求解. 【详解】当选出的4个节目没有“舞蹈”，则有4424A =种演出方法，当选出的4个节目有“舞蹈”，则再选3个，则有344C =种选择方案，第一场有3种方法，再安排其他节目有336A =种方案，则不同的演出方案有43672⨯⨯=种方法，综上，共有247296+=种方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列的应用，意在考查分析问题的能力，属于基础题型.9．已知正项数列{}n a 满足：12n n a a +>，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列四个命题中错误的是（）A ．112nn a a +>B ．()212kk kS S>+⋅C ．12(2)n n S a a n <-≥D ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】D【解析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知112kk a a +> ，222kk a a +>，……22kk k a a >，得到12212...2...k k k kka a a a a a +++++>+++，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到123123 (2222)n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---=++++<+++++，再求和证明；D.设数列{}n a 是公比为4的等比数列，说明结论. 【详解】A.0n a >Q ，根据已知可知231121222......2nn n n n a a a a a +-->>>>，112n n a a +∴>，故A 正确；B.0n a >，()()12122212.........k k k k k k ka a a a a a S S a a a +++++++++=+++ 12212...1...k k kka a a a a a +++++=++++ ，由A 可知112k k a a +> ，222k k a a +>，……22kk k a a >,12212...2...k k k kka a a a a a +++++∴>+++，()221212k k kk k kS S S S ∴>+⇒>+，故B 正确； C.由A 可知1122n n n n a a a a -->⇒<……,222222n n n n a a a a -->⇒<111122n n n n a a a a -->⇒<()2n ≥， 123123......2222n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---∴=++++<+++++ 1211......122n n n a --⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1112211212n n n n a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭122n n n aa -=- ，由A 可知112nn aa -> ，()2n ≥ 11222n n n n aa a a -∴-<- ， 12n n S a a ∴<- ()2n ≥，故C 成立；D.若数列{}n a 是正项等比数列，并且公比4q =，则142n na a +=>，此时1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，不是递增数列，故D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.10．已知三棱锥P ABC -中，90PAB PAC BAC ︒∠=∠=∠=，1PA =，2AB AC ==，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为（）A ．7B ．2C ．33D ．22【答案】A【解析】首先将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，求球心到直线MN 的距离，再求直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长. 【详解】由题意，将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，外接球的球心长方体的对角线的中点O ，22221223R =++= ,即32R =， OM ⊥平面PAB ，ON ⊥平面PAC ， OM ON ∴⊥，且1OM ON ==OMN ∴∆是等腰直角三角形，2MN =点O 到直线MN 的距离就是等腰直角三角形的高1222OH MN ==， ∴ 直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为229122742R OH -=-=.故选：A 【点睛】本题考查球和几何体的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，作图能力，计算能力，属于中档题型，三棱锥的条件是三条棱两两垂直，或是对棱相等时都可以采用补体，将三棱锥补成长方体，再分析外接球的问题.11．已知1F ，2F 分别为双曲线22143x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为M ，1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12F PF ∠的大小为（） A ．150︒ B ．120︒C ．90︒D ．60︒【答案】B【解析】根据对称性得到1224PN PM PF PF a -=-==，根据余弦定理得到()212121621cos3MN PF PF F PF =+⋅-∠，由三角函数的有界性得到得到||MN 的最小值.【详解】根据对称性知：2PM PF =，1PN PF =，故1224PN PM PF PF a -=-==. 根据余弦定理：2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-⋅∠()()()()2121212121221cos 231621cos3PF PF PF PF F PF PF PF F PF π=-+⋅--∠=+⋅-∠120PF PF ⋅>Q ，12cos31F PF ∠≤故当121cos30F PF -∠=，即1223F PF π∠=时，||MN 有最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型. 12．已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值为（） A ．12e-B ．2e -C ．1e-D ．e -【答案】D【解析】首先不等式变形为ln ln ax a x xe x e --≥⋅，()xf x xe=()1x >，不等式等价于()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变分离ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln x axe xa x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()xf x xe =()1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，等价于()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立，()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，ln x a x ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()ln x g x x= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >，当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减，当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，a e ∴-≤ ，即a e ≥-，a ∴的最小值是e -.故选：D 【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln ax a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立.二、填空题 13．（题文）的二项展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】试题分析：展开式的通项公式为，令，常数项为【考点】二项式定理14．若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5【解析】画出可行域分析最大值点即可. 【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+, 易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5 【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.15．若a r，b r，c r 均为单位向量，a r，b r的夹角为60︒，且c ma nb =-rr r，则mn 的最大值为________. 【答案】1【解析】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr ，再利用基本不等式求mn 的最大值.【详解】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr111cos602a b ⋅=⨯⨯=o rr ，221m n mn ∴+-=， 222m n mn +≥Q ，21mn mn ∴-≤ ，即1mn ≤ ，等号成立的条件是m n = ，mn ∴的最大值为1.故答案为：1 【点睛】本题考查向量数量积，基本不等式求最值的综合应用，属于基础题型.16．已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=u u u r u u u r，则λ=________.【答案】4【解析】首先判断直线l 过抛物线的焦点，方程联立求点,A B 的坐标，并得到AF ，BF 的值，求λ. 【详解】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ，得2281720x px p -+=，解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=，4AF FBλ==u u u r u u u r .故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线的简单综合问题，焦半径公式，意在考查计算能力，属于基础题型.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c B =+. （1）求角C 的大小；（2）若5a b +=，c =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3π；（2【解析】（1）首先根据正弦定理，边角互化得到2sin sin 2sin cos A B C B =+，再利用三角恒等变形得到cos C 的值；（2）根据余弦定理得2213a b ab =+-，变形求ab 和三角形的面积. 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B =+，()sin sin A B C =+Q ，可得()2sin sin 2sin cos B C B C B +=+ 得：2sin cos sin B C B =，sin 0B ≠Q ,1cos 2C ∴=, 0C π<<Q ，3C π∴=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，代入可得()222133a b ab a b ab =+-=+-，()231312ab a b ∴=+-= ，4ab ∴= ，1sin 2ABC S ab C ∆∴==【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.18．某学校有30位高级教师，其中60%人爱好体育锻炼，经体检调查，得到如下列联表.（1）根据以上信息完成22⨯列联表，并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”？（2）现从身体一般的教师中抽取3人，记3人中爱好体育锻炼的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）详见解析；（2）分布列见解析，35E ξ=【解析】（1）首先求22⨯列联表，并计算27.879K >，得到答案；（2）由题意可知0,1,2ξ=，并按照超几何分布概型求概率，并写出分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意可知爱好体育锻炼的人有3060%18⨯=人，22⨯列联表如下表所示，()223016842107.87920101812K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”.（2）身体一般的人数有10人，任取3人，其中爱好体育锻炼的人有2人，则0,1,2ξ=()383107015C P C ξ===，()12283107115C C P C ξ=== ,()21283101215C C P C ξ=== ,ξ0 1 2P 715715 11577130121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验，超几何概率类型求分布列和数学期望，意在考查对数据的分析，理解题意，抽象概括为数学问题，属于基础题型.19．如图，三棱锥S ABC -中，90ASC ABC ︒∠=∠=，30CAB ︒∠=，60CAS ︒∠=，30SB =，43AC =.（1）求证：平面ASC ⊥平面ABC ；（2）M 是线段AC 上一点，若534AM =A SM B --的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）135o【解析】（1）过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明SH ⊥平面ABC ；（2）以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求平面ASM 和平面SMB 的一个法向量为n r ，m r，利用公式cos ,m n <>r r求二面角的大小. 【详解】（1）证明：过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，在Rt ASC ∆中，由90ASC ∠=o ，60CAS ∠=o ，43AC =可得3AS =6SC =，在Rt AHS ∆中，由SH AC ⊥，60CAS ∠=o ，可得3SH =，3AH =，在Rt ABC ∆中，由43AC =30CAB ∠=o ，可得6AB =，在ABH ∆中，由余弦定理可得22262621BH =+-⨯=o，即BH =，在SHB ∆中，3SH =，BH =SB =，222SB SH BH ∴=+SH BH ∴⊥又SH AC ⊥，BH AC H =I ，SH ∴⊥平面ABC ， SH ⊂Q 平面ASC ，∴平面ASC ⊥平面ABC .（2）如图所示，以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,3S，()B -，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则34SM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，()3SB =--u u r ，易知平面ASM 的一个法向量为()0,1,0n =r，设平面SMB 的一个法向量为(),,m x y z r=，则00m SM m SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vr u u v r，即304330x z y z ⎧--=⎪⎨⎪-+-=⎩，令1z =，得()7,1m =--r，于是cos ,2m n m n m n ⋅<>===-r r r rr r ，又二面角A SM B --为钝角，所以二面角A SM B --为135o .【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角，意在推理证明，利用空间向量解决空间角，属于中档题型，本题第一问的关键是作辅助线，并且根据三边长度满足勾股定理，证明SH BH⊥.20．如图，B，A是椭圆22:14xC y+=的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是BQk，AQk，APk.（1）求证：14BQ AQk k⋅=-；（2）若直线PQ过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭，求证：4AP BQk k=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设()11,Q x y，代入斜率公式求14BQ AQk k⋅=-；（2）设直线PQ的方程是65x my=+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQk k⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y21211122111111422444BQ AQxy y yk kx x x x-⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：()22126440525m y my ++-= ， ()1221254m y y m +=-+ ，()12264254y y m =-+ ，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++ ，1AP AQ k k ∴⋅=- ,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21．已知函数()ln xe f x a x x-=．（1）当0a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值；（2）若202e a <≤，求证：()0f x >．【答案】（1）()min f x e =（2）证明见解析【解析】（1）由0a =得()()0xe f x x x>=，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；（2）先对函数求导，得到()()21--'=x x e ax f x x，根据202ea <≤，判断函数()f x 的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究()f x 最小值的范围，即可证明结论成立. 【详解】（1）当0a =时，由()()0x e f x x x >=，得()()21x x e f x x-'=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减；当()1,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 1f x f e ==．（2）由题意，函数的定义域为()0,+∞，()()()2211x x x e x e ax a f x x xx ---'=-=，令()()1xg x x e ax =--，0x >，则()xg x xe a '=-，设()xt x xe a =-，则()()+10xt x x e '=>，易知()g x '在()0,+∞上单调递增，∵202e a <≤，∴()00g a '=-<，()2220g e a '=->，所以存在唯一的()10,2x ∈，使()10g x '=，当()10,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当()1+x x ∈∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增，又∵()0=1g -，()2220g e a =-≥，∴当()10,x x ∈时，()()00g x g <<，即()g x 在()10,x 上无零点， ∴存在唯一的(]01,2x x ∈，使()00g x =，即()0001=xx e ax -，∵()10g a =-<，∴012x <<，则000=1x e ax x -．当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,+x x ∈∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单单调递增． ∴()()00000min0001ln =ln ln 11x e af x f x a x a x a x x x x ⎛⎫==--=- ⎪--⎝⎭，012x <<．令()1ln 1h x x x =--，则()h x 在()1+¥，上单调递减，∵012x <<∴()()021ln20h x h >=->，又∵0a >∴()min 0f x >，从而()0f x >．【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：2240x y y +-=；（2）5【解析】（1）先消参得1C 的普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==进行转换即可；（2）两曲线联立求得交点坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，即222x y x +=，转化为极坐标方程为：2cos ρθ=.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，两边同乘ρ，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=；（2）联立2222240x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 不妨设(0,0)A ，48(,)55B，则5AB ==.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离的求解，属于基础题. 23．已知函数()22f x x x m =-++. （1）当1m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若不等式()3f x ≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4[0,]3；（2）42m -≤≤【解析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）讨论m 和-1的大小，求函数的最小值，只需最小值满足不等式即可. 【详解】（1）1m =时，()32213f x x x ≤⇔-++≤11223x x x ≤-⎧⇔⎨---+≤⎩或111223x x x -<<⎧⎨+-+≤⎩或12213x x x ≥⎧⎨-++≤⎩，解得：40x 3≤≤，所以不等式的解集为4[0,]3.（2）①当1m <-时，22,1()22,122,x x m x f x x x m x m x x m x m -+--<⎧⎪=---≤≤-⎨⎪-++>-⎩，即32,1()2,132,x m x f x x m x m x m x m -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩. ∴1x =时，()f x 取得最小值1m --，∴13m --≤，解得41m -≤<-， ②当01x ≠时，33,1()3133,1x x f x x x x -≤⎧=-=⎨->⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值0，03≤，故01x ≠符合，③当1m >-时，32,()2,132,1x m x m f x x m m x x m x -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+>⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值1m +，∴13m +≤，即得12m -<≤，综上：42m -≤≤．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解及含绝对值函数的最值的求解，涉及分类讨论的思想，属于中档题.。

重庆巴蜀中学高2021级高三第一次月考文科数学试题

重庆巴蜀中学高2021级高三第一次月考文科数学试题一．选择题，有且仅有一个正确选项（每题5分）1.若}3|{},1|{<=>=x x B x x A ，则=⋂B A （）),1.(+∞-A )3,.(-∞B )3,1.(-C )3,1.(D2.若函数)1(log 2-=x y 的定义域是（）]2,1.(A ),1.[+∞B ),1.(+∞C )2,.(-∞D3.设}2|{},22|{<=<<-=x x N x x M ，则“M a ∈”是“N a ∈”的( ) .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.函数)13(log 2+=x y 的值域是（）),0.(+∞A ),0.[+∞B ),1.(+∞C ),1.[+∞D5.已知{)0(log )0(23)(>≤=x x x x x f ，则))91((f f = （）4.A 41.B 4.-C 41.-D6.已知5)2(22+-+=a x y 在),4(+∞上是增函数，则实数a 的范围是（）2.-≤a A 2.-≥a B 6.-≤a C 6.-≥a D7.已知8)(35+++=cx bx ax x f 且10)2(=-f ，则=)2(f （）A.-2B.-6C.6D.88.方程x x 10)4lg(=+的根的取值情况是（）A.仅有一根B.有一正根和一负根C.有两个负根D.没有实数根9.定义在R 上的函数{)0)(1(log )0)(2()1(2)(≤->---=x x x x f x f x f 则)2010(f 的值为（）A.-1B.0C.1D.210.设定义在R 上的函数)(x f 存在反函数)(1x f -，而且对于任意的R x ∈恒有 2)()(=-+x f x f ，则)2006()2008(11-+---x f x f 的值为（）A.0B.2C.3D.不确定，与x 有关二．填空题，把最后的结果填写在答题卷上（每题5分）11.命题“若b a >,则55->-b a ”的逆否命题是___________12.不等式032>+-x x 的解集是___________13.已知x x f 26log )(=，则=)8(f ___________14.已知)}22(log |{22+-==x mx y x A ，}021)2(|{≥-⋅-=x x x B 若∅≠⋂B A ，则m 的取值范围是___________15.给出如下四个命题： ①定义在R 上的函数)(x f 为奇函数的必要不充分条件是0)0(=f ； ②函数)(x a f -的图像与函数)(x a f +的图像关于直线a x =对称；③若函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则函数2)1(1--=-x f y 的反函数一定存在，且其反函数为1)2(++=x f y ；④函数)(x f 与函数)1(+x f 的值域一定相等，但定义域不同，其中真命题分别为___________三．解答题（16.17.18题各13分，19.20.21题各12分，共75分）16.（1）解不等式组：{01||032<-<-x x x（2）求下列函数的反函数：)3(34-≥++=x x y17.设]5,5[,22)(2-∈++=x ax x x f（1）当1-=a 时，求函数)(x f 的最小值与最大值（2）求实数a 的范围，使)(x f y =在区间]5,5[-上是单调函数。

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三(下)月考数学试卷(文科)(六)(附答案详解)

2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（下）月考数学试卷（文科）（六）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−1>0}，B ={0,1，2，3}，则(∁R A)∩B =( )A. {2,3}B. {0,1}C. [−1,1]D. (−∞,−1)∪(1,+∞)2. 设复数z =1+i ，则z −3+4i=( ) A.7+i25B.7−i25C.−1−7i 25D.−1+7i 253. 在等差数列{a n }中，若a 21+a 33=6，则a 25+a 27+a 29=( )A. 6B. 9C. 12D. 544. 命题“∀a ∈(−1,1)，lnx +cos2x −1≤e a +1e a ”的否定形式是( )A. ∀a ∈(−1,1)，lnx +cos2x −1>e a +1e a B. ∃a ∈(−1,1)，lnx +cos2x −1≤e a +1e aC. ∃a ∈(−∞,−1]∪[1,+∞)，lnx +cos2x −1≤e a +1e a D. ∃a ∈(−1,1)，lnx +cos2x −1>e a +1e a5. 在区间[−1,5]上随机取一个实数a ，则使log 2a ∈[0,2]的概率为( )A. 13B. 12C. 23D. 1+√346. 函数y =5sin(x −π6)−12cos(x −π6)的最大值是( )A. 13B. 17C. −13D. 127. 若实数x ，y 满足不等式组{x +2y −10≤0,x −2y +8≥0,x ≥0,y ≥0,则z =y −x 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 设l 1，l 2是两条不同的直线，α1，α2是两个不同的平面，下列选项正确的是( )A. 若l 1⊥α1，l 2⊂α2，且l 1⊥l 2，则α1⊥α2B. 若l 1⊂α1，l 2⊂α2，且l 1//α2，l 2//α1，则α1//α2C. 若l 1⊥α1，l 2⊥α2，且α1⊥α2，则l 1⊥l 2D. 若l 1//α1，l 2//α2，且α1//α2，则l 1//l 29. 已知正实数a ，b ，则“ab ≤4”是“a +b ≤4”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AB =2√3，BB 1=2√5，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积为( )A. 64πB. 36πC. 27πD. 16π11. 已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，直线l ：y =ba (x −c)与双曲线的一条渐近线交于点P ，且PF 1⊥PF 2，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. 312. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=2，对任意的实数x 1，x 2且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)<x 1−x 2，则不等式f(x −1)>x 的解集为( )A. (−∞,−2)B. (2,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 若向量m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为π3，|m ⃗⃗⃗ |=2，n ⃗ =(1,0)，则|m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ |=______． 14. 在△ABC 中，若BC =√7，AB =2，∠CAB =π3，则AC =______． 15. 函数y =log 13(−2x 2+2x +12)的单调递增区间为______． 16. 焦点为F 的抛物线y 2=4x 上有不同的两点P ，Q ，且满足PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFQ ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，若线段PQ 的中点M 到抛物线的准线的距离为83，则λ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在数列{a n }中，前n 项和为S n (n ∈N ∗)，若a n >0，数列{S n }为等比数列，S 1+S 2=6，S 3+S 4=24． (1)求S n ；(2)求数列{1a n}的前n 项和T n ．18.某学校高三年级在开学时举行了入学检测．为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级1000名文科生中随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图．已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为[35,95]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这200名学生历史成绩的平均分，众数；(每组数据用该组的区间中点值作代表)(3)已知该学校每年高考有65%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？19.如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2A1B1=2.若点M为CC1的中点，点N为BC靠近点C的四等分点．(1)求证：MN//平面ABB1A1；(2)若三棱台ABC−A1B1C1的体积为V=73，求三棱锥A1−AMN的体积．注：台体体积公式：V=13(S+√SS′+S′)ℎ，或在S，S′分别为台体上下底面积，h 为台体的高．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(c,0)(c>0)，上顶点为P，右顶点为Q.若△POF2(O为坐标原点)的三个内角大小成等差数列．(1)求椭圆C的离心率e；(2)直线l与椭圆交于A，B两点，设直线l：my=x−6b5，若△AQB面积的最大值为425，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆C的标准方程．21.函数f(x)=12lnx−ax2+bx+1．(1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2，求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：对任意x2>x1>0时，f′(x1+x22)<f(x1)−f(x2)x1−x2．22.点P的极坐标为(2,π2)，圆M的极坐标方程为ρ=4cosθ.点S为圆M上一动点，线段PS的中点为点N．(1)求点N的轨迹方程C1；(2)设线段PM的中点为点Q，直线l过点Q且与圆M交于A，D两点，直线l交轨迹C1于B，C两点，求|QA||QB|+|QD||QC|的最小值．23.已知函数f(x)=|2x+2a|+|x−1a−2|．(1)当a=1时，解关于x的不等式f(x)<8；(2)已知a≤−2，求函数f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={x|x 2−1>0}={x|x >1或x <−1}， ∴(C R A)∩B ={x|−1≤x ≤1}∩{0,1，2，3}={0，1}，故选：B ．先解出集合A ，再求出A 的补集，再与B 取交集．本题考查不等式的解法以及集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z =1+i ，∴z −=1−i ，则z −3+4i=1−i 3+4i =(1−i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3−7i+4i 225=−1−7i 25，故选：C ．把z =1+i 代入z−3+4i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：因为在等差数列{a n }中，a 25+a 29=a 21+a 33=2a 27=6，所以a 27=3， ∴a 25+a 27+a 29=3a 27=9，故选：B ．利用等差数列的性质求得结果即可．本题主要考查等差数列的性质的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：命题“∀a ∈(−1,1)，lnx +cos2x −1≤e a +1e a ”的否定形式是 “∃a ∈(−1,1)，lnx +cos2x −1>e a +1e a ”. 故选：D ．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题否定形式即可．本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题的应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：若0≤log2a≤2，则1≤a≤4，故所求概率为P=4−15−(−1)=12，故选：B．解不等式求出a的范围，根据几何概型概率公式计算概率．本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：y=5sin(x−π6)−12cos(x−π6)=13[513sin(x−π6)−1213cos(x−π6)]=13sin(x−π6−θ)，(其中sinθ=1213，cosθ=513)，故sin(x−π6−θ)=1时，y取最大值13，故选：A．整理函数的解析式，求出函数的最大值即可．本题考查了两角差的正弦公式，考查求函数最值问题，是一道常规题．7.【答案】D【解析】解：画出不等式表示的平面区域如图1所示，由z=y−x得，y=x+z，平移直线y=x，由图象可知当直线y=x+z过点B(0,4)时，直线y=x+z的纵截距最大，此时z取得最大值，最大值为z max=4−0=4，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】由l1，l2是两条不同的直线，α1，α2是两个不同的平面，知：在A中，若l1⊥α1，l2⊂α2，且l1⊥l2，则α1与α2相交或平行，故A错误；在B中，若l1⊂α1，l2⊂α2，且l1//α2，l2//α1，则α1与α2相交或平行，故B错误；在C中，若l1⊥α1，l2⊥α2，且α1⊥α2，则由线面垂直和面面垂直的性质定理得l1⊥l2，故C正确；在D中，若l1//α1，l2//α2，且α1//α2，则l1与l2相交，平行或异面，故D错误．故选：C．在A中，α1与α2相交或平行；在B中，α1与α2相交或平行；在C中，由线面垂直和面面垂直的性质定理得l1⊥l2；在D中，l1与l2相交，平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：取a=4，b=1，满足ab≤4，但a+b=5；反之，若a+b≤4，则2√ab≤a+b≤4，得ab≤4．∴“ab≤4”是“a+b≤4”的必要不充分条件．故选：B．举例说明由ab≤4不一定得到a+b≤4，再由基本不等式说明由a+b≤4得ab≤4，则答案可求．本题考查基本不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．10.【答案】B【解析】如图2，取△ABC，△A1B1C1的外接圆的圆心分别为M，N，连接MN，取MN的中点O，则O是三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心，设△ABC的外接圆的半径为r，三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，由正弦定理得，∵ABsinC =2√3sin60°=2r，∴r=2，即AM=2，又BB1=2√5，所以OM=√5，所以R=OA=√22+(√5)2=3，所以外接球的表面积为4πR2=4π×32=36π，故选：B．直三棱柱ABC−A1B1C1中，外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，求出底面外接圆半径，即可求解．本题考查多面体与球的“外接”“内切”问题，确定球心位置是解题的关键，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±bax，易知与直线l相交的渐近线的直线方程为y=−bax，直线l：y=ba (x−c)与y=−bax联立得到P的坐标为(c2,−bc2a)，又因为PF1⊥PF2，∴OP=OF2，∴c24+b2c24a2=c2，∴b2a2=3，∴c2−a2a2=3，∴e=ca=2，故选：C．求出双曲线的渐近线方程，求出P的坐标，利用垂直关系，列出方程转化求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.【答案】B【解析】解：根据题意，设F(x)=f(x)−x−1，则F(x−1)=f(x−1)−x，F(1)= f(1)−1−1=0，对任意的x1，x2且x1<x2，f(x1)−f(x2)<x1−x2，得f(x1)−x1−1<f(x2)−x2−1，即F(x1)<F(x2)，所以F(x)在R上是增函数，不等式f(x−1)>x，变形可得：f(x−1)−(x−1)−1>0，即为F(x−1)>F(1)，则有x−1>1，解可得x>2，即不等式的解集为(2,+∞)；故选：B．根据题意，设F(x)=f(x)−x−1，由单调性的定义分析可得F(x)为增函数，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，注意构造新函数F(x)，属于基础题．13.【答案】2√3【解析】解：∵n⃗=(1,0)，∴|n⃗|=1，∵向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为π3，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗|cosπ3=2×1×12=1，∴|m⃗⃗⃗ +2n⃗|=√(m⃗⃗⃗ +2n⃗ )2=√m⃗⃗⃗ 2+4m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+4n⃗2=√4+4+4=2√3．故答案为：2√3．由平面向量数量积的运算法则可求得m⃗⃗⃗ ⋅n⃗的值，而|m⃗⃗⃗ +2n⃗|=√(m⃗⃗⃗ +2n⃗ )2=√m⃗⃗⃗ 2+4m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+4n⃗2，代入相关数据进行运算即可得解．本题考查平面向量数量积的运算、求模长，遇到模长问题，常采用平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：△ABC中，BC=a=√7，AB=c=2，∠CAB=π3，根据余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得，7=b2+4−2×b×2×cosπ3，化简得b2−2b−3=0，解得b=3，或b=−1(不合题意，舍去)；所以b=AC=3．故答案为：3．根据余弦定理列方程求出AC的值．本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．15.【答案】(12,3)【解析】解：可令z=−2x2+2x+12，则y=log13z，由−2x2+2x+12>0，解得−2<x<3，即定义域为(−2,3)，要使函数y=log13(−2x2+2x+12)单调递增，由于y=log13z在z∈(0,+∞)为减函数，则应使函数z=−2x2+2x+12单调递减，易知函数z=−2x2+2x+12的单调递减区间为(12,+∞)，结合定义域，可得函数y=log13(−2x2+2x+12)的单调递增区间为(12,3)．故答案为：(12,3)．先求函数的定义域，再令z=−2x2+2x+12，则y=log13z，运用对数函数的单调性和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，可得所求单调区间．本题考查复合函数的单调性，注意运用“同增异减”，考查运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：不妨设点P在第一象限，作PA⊥准线于点A，作QB⊥准线于点B，作MC⊥准线于点C，∵MC=12(PA+QB)=12(PF+QF)=12PQ，∴PQ=163．法一：设直线PQ 的倾斜角为θ，PQ =2p sin 2θ=4sin 2θ=163，∴θ=60°， ∴PFQF =p 1−cosθp 1+cosθ=1+cosθ1−cosθ=3．法二：设直线PQ 的斜率为k ，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，又|PQ|=x 1+x 2+2=163，则x 1+x 2=103，过F 的直线PQ 的方程为y =k(x −1)，由{y 2=4xy =k(x −1)整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， ∴x 1+x 2=2k 2+4k 2=103，∴k =√3，∴3x 2−10x +3=0，∴x 1=3，x 2=13， ∴PF =x 1+p2=4，QF =x 2+p2=43，∴λ=3．故答案为：3．不妨设点P 在第一象限，作PA ⊥准线于点A ，作QB ⊥准线于点B ，作MC ⊥准线于点C ，求出PQ ，法一：设直线PQ 的倾斜角为θ，通过PQ =2psin 2θ=4sin 2θ=163，然后求解即可．法二：设直线PQ 的斜率为k ，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，推出x 1+x 2=103，过F 的直线PQ 的方程为y =k(x −1)，由{y 2=4xy =k(x −1)整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，然后利用韦达定理求解k ，然后求解所求结果．本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．17.【答案】解：(1)由数列{S n }为等比数列，公比设为q ，S 3+S 4S 1+S 2=q 2=4，由a n >0，则q >0，q =2，S 1+S 2=S 1(1+q)=6，有S 1=2，则S n =2n ．(2)由(1)当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1，所以a n ={2(n =1)2n−1(n ≥2)．则1a n ={12(n =1)(12)n−1(n ≥2)当n ≥2时，T n =1a 1+1a 2+⋯+1a n=12+(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1=12+12×1−(12)n−11−12=32−(12)n−1，又T 1=1a 1=12符合，所以T n =32−(12)n−1．【解析】(1)直接利用已知条件建立等量关系求出结果． (2)利用(1)的结论，进一步求出数列{1a n}的前n 项和T n ．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)a =0.1−0.002−0.003−0.01−0.025−0.04=0.02．(2)平均数为x −=0.02×40+0.03×50+0.1×60+0.25×70+0.4×80+0.2×90=75.8，众数为80．(3)由图知[75,95]所占比例为0.6，设本次历史成绩65%中最低分为x ，由(75−x)×0.025=0.05，则x =73，故一本线该为73分．【解析】(1)根据频率总和是1，求出a 的值即可； (2)求出x −，求出众数即可；(3)根据[75,95]所占比例为0.6，设本次历史成绩65%中最低分为x ，得到关于x 的方程，得到(75−x)×0.025=0.05，求出x 的值即可．本题考查了频率求值问题，考查平均数，众数问题，是一道常规题．19.【答案】(1)证明：如图3，取BC 的中点D ，连接C 1D ，在△DCC 1中，由M ，N 为中点，有MN//DC 1，由棱台的性质知B 1C 1//BC ，△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且A 1C 1=12AC ，则有B 1C 1=12BC ，所以有B 1C 1=BD ，B 1C 1//BD ，所以四边形B 1C 1DB 为平行四边形，则BB 1//DC 1，所以MN//BB 1，又MN ⊄平面A 1B 1BA ，所以MN//平面ABB 1A 1．(2)解：设三棱台ABC −A 1B 1C 1的高为h ，S △ABC =2，S △A 1B 1C 1=12，则体积V =13(2+1+12)ℎ=73，则ℎ=2=AA 1，故AA 1⊥平面ABC ，由AB ⊥AC ，AA 1⊥AB ，所以AB ⊥平面AA 1M ，所以V A 1−AMN =V N−AA 1M =14V B−AA 1M =14×13AB ⋅S △AA 1M =14．【解析】(1)取BC 的中点D ，连接C 1D .在△DCC 1中，证明MN//DC 1.B 1C 1//BD ，BB 1//DC 1，MN//BB 1，然后证明MN//平面ABB 1A 1．(2)设三棱台ABC −A 1B 1C 1的高为h ，求出底面面积，利用等体积法转化求解即可．本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力．20.【答案】解：(1)△POF 2的三个内角大小为π6，π3，π2，又∠POF 2=π2，则∠OPF 2=π6或π3，所以椭圆的离心率e =ca =sin∠OPF 2=12或√32，(2)由b <c ，所以△POF 2中，∠OPF 2=π3，cos∠OPF 2=b a =12，则a =2b ，设椭圆的标准方程为x 24b2+y 2b 2=1，直线l ：my =x −6b 5，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与椭圆方程联立{my =x −6b5x 2+4y 2=4b 2，消去x 得(m 2+4)y 2+125bmy −64b 225=0，所以{y 1+y 2=−12bm5(m 2+4)y 1y 2=−64b 225(m 2+4)，所以S △AQB =12(2b −65b)|y 1−y 2|=25b ×4b5√25m 2+64m 2+4=8b 225×√25m 2+64(m 2+4)2，令ℎ(t)=25t+64(t+4)2，t =m 2∈[0,+∞)，则ℎ′(t)=(t+4)(−25t−28)(t+4)4，当t ≥0时，ℎ′(t)<0恒成立，故ℎ(t)在[0,+∞)上单调递减，ℎ(t)max =ℎ(0)=4，所以m =0时，(S △AQB )max =16b 225=425⇒b 2=14，故椭圆的标准方程为x 2+y 214=1．【解析】(1)求出△POF 2的三个内角大小为π6，π3，π2，然后求解椭圆的离心率． (2)设椭圆的标准方程为x 24b 2+y 2b 2=1，直线l ：my =x −6b 5，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与椭圆方程联立{my =x −6b5x 2+4y 2=4b 2，消去x 得(m 2+4)y 2+125bmy −64b 225=0，利用韦达定理，然后转化求解三角形的面积，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最大值，然后求解b ，得到椭圆方程．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】(1)解：f′(x)=12x −2ax +b ，由题有{f(1)=−a +b +1=2f′(1)=12−2a +b =0⇒{a =32b =52，所以f′(x)=12x −3x +52=−(6x 2−5x−1)2x=−(6x+1)(x−1)2x，又定义域为x ∈(0,+∞)，f′(x)>0⇒0<x <1，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)． (2)证明：由(1)有f′(x 1+x 22)=1x1+x 2−a(x 1+x 2)+b ，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=12(lnx 1−lnx 2)−a(x 12−x 22)+b(x 1−x 2)x 1−x 2=lnx 1−lnx 22(x 1−x 2)−a(x 1+x 2)+b ，由f′(x 1+x 22)−f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=1x1+x 2−lnx 1−lnx 22(x 1−x 2)=12(x1+x 2)(2−x 1+x 2x 1−x 2⋅ln x1x 2)，下证2−x 1+x 2x1−x 2ln x 1x 2<0，等价于2−x 1x 2+1x 1x 2−1ln x1x 2<0．设t =x1x 2，由x 2>x 1>0，则t ∈(0,1)．原式等价于：2−t+1t−1lnt <0⇔2(t−1)t+1>lnt ⇔lnt +4t+1<2．设g(t)=lnt +4t+1，t ∈(0,1)，g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0恒成立，所以g(t)在t ∈(0,1)上单调递增，g(t)<g(1)=2，t ∈(0,1)得证．【解析】(1)求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，求出函数的单调区间即可； (2)问题等价于2−x 1x 2+1x 1x 2−1lnx 1x 2<0.设t =x 1x 2，由x 2>x 1>0，则t ∈(0,1).原式等价于：2−t+1t−1lnt <0⇔2(t−1)t+1>lnt ⇔lnt +4t+1<2.设g(t)=lnt +4t+1，t ∈(0,1)，根据函数的单调性证明即可．本题考查了切线方程以及函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，转化思想，换元思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)点P 的直角坐标为(0,2)，圆M 的标准方程为(x −2)2+y 2=4．设点N(x,y)，点S(x 1,y 1)，由{x =x 12y =2+y 12，可得{x 1=2xy 1=2y −2代回：(2x −2)2+(2y −2)2=4⇒(x −1)2+(y −1)2=1，所以点N 的轨迹方程C 1为(x −1)2+(y −1)2=1．(2)点M(2,0)，点Q 的坐标为(1,1)为圆心C 1的圆心，|QB|=|QC|=1，所以|QA||QB|+|QD||QC|=|QA|+|QD|，设直线l ：{x =1+tcosθ,y =1+tsinθ,(t 为参数)，代回圆M 有(tcosθ−1)2+(tsinθ+1)2=4⇒t 2−2(cosθ−sinθ)t −2=0⇒{t 1+t 2=2(cosθ−sinθ)t 1t 2=−2，所以|QA||QB|+|QD||QC|=|QA|+|QD|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosθ−sinθ)2+8=√12−8sinθcosθ=√12−4sin2θ≥2√2.当sin2θ=1时，等号成立．|QA||QB|+|QD||QC|的最小值2√2．【解析】(1)点P 的直角坐标为(0,2)，圆M 的标准方程为(x −2)2+y 2=4.设点N(x,y)，点S(x 1,y 1)，推出{x 1=2x y 1=2y −2，代回圆的方程，即可得到点N 的轨迹方程．(2)利用已知条件推出|QA||QB|+|QD||QC|=|QA|+|QD|，设直线l ：{x =1+tcosθ,y =1+tsinθ,(t 为参数)，代入圆的方程利用韦达定理，结合三角函数的最值求解即可．本题考查极坐标方程的应用，参数方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|2x +2|+|x −3|={3x −1,x >3x +5,−1≤x ≤3−3x +1,x <−1，当x >3时，f(x)<8即为3x −1<8，解得x <3，无解；当−1≤x ≤3时，f(x)<8即为x +5<8，解得x <3，此时的解集为[−1,3]；当x <−1时，f(x)<8即为−3x +1<8，解得x >−73，此时的解集为(−73,−1)；故f(x)<8的解为{x|−73<x <3}.(2)f(x)=2|x +a|+|x −1a −2|=|x +a|+|x +a|+|x −1a−2|≥ |x +a|+|a +1a+2|≥|a +1a +2|(当x =−a 取“=”)，由a ≤−2，a +1a ≤−2−12⇒a +1a +2≤−12⇒|a +1a +2|≥12，所以当x =−a =2时，函数f(x)的最小值为12．【解析】(1)将a =1代入，化为分段函数，直接解不等式即可；(2)利用绝对值不等式的性质可得f(x)≥|a +1a +2|，再利用基本不等式及a 的范围得|a +1a +2|≥12，进而得解．本题考查绝对值不等式的性质及解法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．。