14.1(1)三角形的有关概念

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14.1 三角形中的边角关系同步素材3(沪科版八年级上册)

A
4
1
2 D
°
C
2、求下列各图中∠1的度数。
1
60°
30°
120°
1
35°
1
45°
50°
3、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列
A
D
E
C
B
找出△ABC的所有外角，共有几个外角？
D
H B
1
5
3 F A6
4 G C2
共有6个外角：∠1，
E
∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6。
I
∠1＋∠2 ＋∠3就是▲ABC的外角和
A
E
解：过C作CE平行于AB
2 C 1
∠1= ∠B
D
（两直线平行，同位角相等）（两直线平行内错角星等）
B
∠2= ∠A
∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B 即∠ACD= ∠A+ ∠B
（等式的性质）
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
A
D
B C
三角形的一个外角与它相邻的内角互补
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
议一议
A
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
从哪些途径探究这个结果?
1
3
B
2 C
三角形的外角和等于360°
A
1
解： ∠1＋ ∠BAC=180°
3
∠2＋ ∠ABC=180° ∠3＋ ∠ACB=180°
三个式子相加得到
B
2 C
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540° 而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180° ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°

核心素养导向下的数学教学设计——以14.1.“1_直角三角形三边的关系”为例

核心素养导向下的数学教学设计———————以14.1.1“直角三角形三边的关系”为例文|武旦珠核心素养导向下的数学教学是对传统教学的一次变革，摆脱了过去以课时为单位的传统范式，推崇以单元为整体的设计理念。

这种变革体现了对数学知识内在逻辑关系的深层次思考，教学设计应该体现单元整合教学内容。

这种教学设计旨在通过深入挖掘数学知识之间的关系，为学生提供更为系统和全面的学习体验。

教学设计要充分考虑核心素养的重要性，确保在整个教学过程中的指导作用。

教学目标应该是全面的、有层次的，可以涵盖知识、技能和态度的培养，以确保学生在学习过程中获得全面的发展。

教师要考虑学生的数学核心素养、创造力、批判性思维等方面的发展。

在每个课时中，结合教学内容和目标展开教学，能够更好地发展学生的核心素养。

【教材分析】北师大版数学八年级上册“直角三角形三边的关系”，是“勾股定理”章节的主要内容，重点讲解了勾股定理的证明过程。

教材通过两个例子“正方形的瓷砖”和“试一试”来发现直角三角形三边之间的关系。

接着，通过“做一做”的实践验证，学生先获得直接的经验，再进行总结和归纳，证明勾股定理。

勾股定理是几何学中最为重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三边的数量关系。

直角三角形中斜边较长，而另外两条边较短，该定理证明它们之间有着精确的数量关系，为学生今后学习解直角三角形问题奠定基础。

因此，探索直角三角形三边的关系对学生来说非常重要，既能使学生更好地理解直角三角形，又能培养他们的逻辑思维能力。

【学情分析】八年级学生已经具备了一定的逻辑思维和抽象思维能力，并且掌握了学习数学的基本方法。

直角三角形是他们非常熟悉的图形，因此，通过自主探索、合作互助、交流分享的方式来验证和应用勾股定理是非常适合的。

通过这样的学习方式，学生能够轻松、愉快地完成本节课的学习目标。

【教学目标】1.育人目标（1）通过探究、验证、证明和应用勾股定理，培养学生对数学学习的意识和能力。

初中数学14.1.1直角三角形的三边关系(2)先进优质课课件

1 7 6 5 A 10 C B
课堂小结：通过本节课的学习你有什么收获？（从知识方面、能力方面、解题技巧等方面进行总结）
运用勾股定理求三角形的边长时，还能运用方程解答。在解决问题时，常把实际问题转化为数学问题，然后运用数学知识解答。运用勾股定理时要先构造直角三角形。本节课运用的思想方法有：方程思想，转化思想，数形结合思想。
设疑自探勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方你能说说勾股定理的内容吗?公式又能如若直角三角形的两条直角边分别为a,b, 何变形？斜边为c,则 a2+b2=c2 .
A
c2=a2 + b2 a2=c2－b2 b2 =c2-a2
2
2
b
c
a c b
2
C
b= c2-a2
2
a
c a b B 在直角三角形中，知道任意两边长，利
展示点评分工表
题号 2 2 展示方式板书板书展示组 4组3号 5组3号评价组
1组2号 6组2号
展示要求：
1、展示要板书工整、规范、快速； 2、非展示同学结合展示仔细观察讨论或认真倾听，随时准备评价，并做好变式编题准备。
点评要求：
1、声音洪亮，言简意赅，思路清晰，点评出优、缺点及总结方法规律。 2、非点评同学认真听讲，有疑问及时提出来,并设计变式训练。 3、注意教态端庄大方，身体与黑板成30°角。 4、对展示同学打分，每题满分10分。
质疑再探
通过刚才的学习，同学们还有哪些问题没有解决，或又产生了哪些新的疑问，请大胆提出来，大家共同解决。
拓展应用
1· 请你自编一道题，考考你的同桌，好的题目不要忘了介绍给大家。
想一想:

三角形的有关概念

所以5cm,7cm,2cm的三根木棒不能组成三角形. 因为5+3>7, 5+7>3, 3+7>5, 所以这三根木棒能组成三角形 .
只要判断两条较短的线a=5cm, b=7cm,那么第三边 c 的长度在什么范围内？为什么？因为第三边应小于两边之和，大于两边之差，解：所以 7-5 < c < 7+5 所以 2 < c < 12
当 b+c=a 时
不能构成三角形
b c
不能构成三角形
只有当 b+c>a 时
a
三条线段能构成三角形
三角形的三边具有什么关系呢？
新课学习
为什么？
三角形的三边具有什么关系呢？
C
b+c>a
同理，得 c+a>b
a –ｂ < c b –c < a
A
b a
c
B
a+b>c
ｃ –a < ｂ
两点之间线段最短 |b – c |< a < b + c |a – c |< b < a + c 确定第三边的 |a – b| < c < a + b 取值范围三角形的三边关系
1
B E
2
C A
B
F
C
巩固练习
练习：P.74 —— 3，4
课堂小结
1.三角形的概念和表示方法
A
c
B
b a
C
△ABC
∠A、∠B、∠C 边 AB、BC、AC 或边 a、b、c
2.三角形的三边关系及其运用
三角形任意两边之和大于第三边 b+c>a, c+a>b, a+b>c. 三角形任意两边之差小于第三边 a-c<b, b - a < c, c – b < a. |a – c |< b < a + c, |a – b| < c < a + b. |b – c |< a < b + c，

14.1.1 直角三角形三边的关系

b股
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
在西方又称毕达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想小明的妈妈买了一部29英寸（74 一厘米）的电视机。小明量了电视机的想屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
青入
朱朱
朱方出出
朱朱入入青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5；（2）6、8、10；（3）5、12、13；（4）8、15、17；（5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任美国第20任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。

14.1.1直角三角形三边的关系

（每一小方格表示1cm2) 图14.1.3
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
A
直角边
C
斜边
直角边
B
经过证明被确认正确的命题叫做定理.
勾股定理
在西方又称毕达哥拉斯定理耶！
对于任意直角三角形，如果两直角边分别为a、b,斜边为c，那么一定有 c 即直角三角形两直角边 a
的平方和等于斜边的平方.
2. 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
1.直角三角形三边之间的关系试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度 ,并将各边的长度填入下表：
三角尺直角边a 直角边b 斜边c 1 2
1 2
关系
根据测得的数据，你能作出怎样的猜想？和其他同学交流一下异同.
观察图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中画出的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
C
2
即：BC AC AB
做一做
（每一小方格表示1cm2)
图14.1.2
方法一：
分割成若干个直角边为整数的三角形 A R B C Q P
SR
1 4 4 3 1 2
25 (cm2)
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
方法二：补成一个正方形

14.1勾股定理——直角三角形三边的关系

2
Z=625-576=49 Z=7
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
结论:
S1+S2+S3+S4 =S5+S6 =S7
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
B
D
练习
1. 在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，ＢＣ＝a， AC＝b， ∠B＝ 90°．
（1）已知a＝6， b＝10，求c；
（2）已知a＝24， c＝25，求b．
2. 如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?
3.小波家买了一部新彩电,小波量了电视机的屏幕后，发现屏幕长58厘米和宽46厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈告诉他: “我们平常所说的电视机多少英寸指的是屏幕对角线的长度,1英寸等于2.54厘米,利用你所学的知识算一下电视机是多少英寸的?”
正方形R的面积＝ 25 平方厘米．
正方形P、 Q、 R的面积之间的关系
是
SP+ SQ= SR
．
（每一小方格表示1平方厘米）直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间
分“割”成若存干在个关系直A角C边2+RBC212=AB32 4 4．1 为在整一般数的直的角三三角角形中形，两。直角边的平方和等于斜边的平2方5也成立！
？
2.16
解在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２.１６米，ＡＣ＝５.４１米，根据勾股定理可得ＡＢ＝ AC2 －ＢＣ 2 ＝５４. １ 2 －２１. ６ 2 ≈４.９６（米）．答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ约为4.96米．

14.1 勾股定理(第1课时直角三角形三边的关系)

毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理是公元前550年古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。且他发现的时间比我国要迟得多。
小结
1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积） 2、探索了直角三角形的三边关系, 得到勾股定理：即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方平 A的面积+B的面积=C的面积
华东师大版八年级（上册）
第14章勾股定理
14.1 勾股定理（第1课时）
直角三角形三边的关系
（1）图1中正方形A的面积是 16 个单位面积。 (2) 正方形B的面积是
A B
C
9 个单位面积。
(3)正方形C的面积是
25 个单位面积。
探索1 你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
C c b a A B
a2+b2=c2
总结反思布置作业 y=0
配合《数学周报》使用效果更佳
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
2 2
2
46
58
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
议一议
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 2。 49 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm
4米
3米
想一想
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.

14.1直角三角形的判定

不是 (2)a=13，b=14， (2)a=13，b=14，c=15____ _____ ; B=90 ____ ∠_____ 0; 是 ∠ C=900 是 _____ _____ ;
(3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾边长的三个正整数，称为勾股数. 股数.
课本第54页课本第页练习题第1题练习题第题，习题第6题习题第题。
2 2
∴ 15 + 8 = 17
2 2
17
2
= 289
2
∴ 这个三角形是直角三角。形
(2)a=13,b=14,c=15
Q 13 + 14 = 169 + 196 = 365
2 2
15 = 225
2
∴13 + 14 ≠ 15
2 2
2
∴ 这个三角形不是直角三角形。
例２一个零件的形状如左图所示，按一个零件的形状如左图所示，规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。规定这个零件中∠ DBC都应为直角。都应为直角工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图所示，这个零件符合要求吗？所示，这个零件符合要求吗？ 13 D 4 5 A 3B 12 C
边：？
2.直角三角形的判定
邹大庙
姚栋祥
古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1 古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1 13个结个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４ 13个结用木桩钉在一起个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。个结和第８个结钉牢（拉直绳子）。这时构成了一个三角形，这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角。 13）（13 （1 ））三角形的三边有什么关系呢？三角形的三边有什么关系呢？ 12）（12） 11）（2）（11） 32 + 42 = 52 直角三角形 10）（10）（9 ）你能猜想出其中（3 ）（8 ）（4 ）（5 ） 6 ） 7 ）（（

沪教版(上海)数学七年级第二学期-14.1 (1)三角形的有关概念教案

执教日期：1 / 13B.由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫做三角形.C.由不在同一条直线上的三条线段联结所组成的图形叫做三角形.D.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形.三角形的图形语言：三角形的边：线段AB、BC、AC或a、b、c三角形的顶点：点A、B、C三角形的内角（角）：∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角三角形的符号语言：△ABC 读作“三角形ABC”二、操作1：1.操作并填表可以从长分别为4厘米（红）、6厘米（绿）、10厘米（蓝）、12厘米（黄）的四根细棒中，任选三根，能否围成三角形？1.读题2.观察操作结果3.及时引导（4）巩固概念1.动手操作2.展示答案3.合作学习通过操作、观察、探究“怎样的三根细棒能围成三角形”.体会从特殊到一般再到特殊的思想.10’长度为3cm的木棒呢？思考题：已知△ABC 的两边 a=5cm, b=7cm,那么第三边 c 的长度在什么范围内？为什么？三、概念形成2：画出三角形的高、角平分线、中线.（1）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是△ABC边BC上的高，D为垂足∴ AD⊥BC（2）三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD(2)三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段叫做三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD四、操作2：用同样的方法分别画出△ABC的另外两条高、角平分线和中线.练习 1.图中有几个不同的三角形？用符号表示这些三角形.2. 用下列长度的三根铁条首尾能顺次联结做成三角形框架的是（）A、23cm，10cm，8cmB、15cm，23cm，8cnC、18cm，10cm，23cmD、18cm，10cm，8cm1．指导2．纠错.板演.口答.巩固三角形的相关概念.做到不重复、不遗漏.对“三角形任意两边的和大于第三边”的巩固练习.理解三角形的中线、内角平分线、高的概念，学会简单10′AEDBC10 / 13两边只差＜第三边＜两边之和4.三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的高,垂足为D.∴ AD⊥BC三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段11 / 13叫三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD课后反思：本节课是概念课，概念知识点比较多，学生难以理解。

14.1-14.2 三角形的有关概念三角形的内角和七年级数学第二学期(沪教版)(原卷版)

14.1-14.2三角形的有关概念三角形的内角和知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；①三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；①三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“①”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“①ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的①没有意义；①ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；①已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；①求一个三角形中各角之间的关系．三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ①钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：1．AD是①ABC的高．1．AD是①ABC的中线．典型例题例题1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（） A ．3 cm ，4 cm ，8 cm B ．8 cm ，7 cm ，15 cm C ．13 cm ，12 cm ，20 cmD ．5 cm ，5 cm ，11 cm例题2．已知一个三角形三个内角度数之比为4:2:1，则这个三角形为（） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形例题3．具备下列条件的ABC ∆中，不是直角三角形的是（） A ．A B C ∠+∠=∠ B ．A B C ∠-∠=∠ C ．::1:2:3A B C ∠∠∠=D ．3A B C ∠=∠=∠例题4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（） A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．属于哪一类不能确定．例题5．下列说法错误的是( )A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点例题6．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中①α的度数是（）A ．75°B ．60°C ．65°D ．55°例题7．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中1∠的度数为（）A．15︒B．65︒C．75︒D．60︒例题8．如图，直线EF//直线GH，Rt①ABC中，①C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分①DBE，若①CAD＝26°，则①BAD的度数为（）A．26°B．32°C．34°D．45°例题9．如图，①A+①B+①C+①D+①E+①F=（）A．180°B．360°C．540°D．以上答案都不是一、单选题1．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，5cmC．5cm，6cm，12cm D．4cm，6cm，8cm2．工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用（）．A．两点之间线段最短B．三角形的稳定性C．垂线段最短D．两直线平行，内错角相等3．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线4．三角形的角平分线、中线和高都是( )A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对5．下列说法中错误的是（）A．在①ABC中，若①A：①B：①C＝2：2：4，则①ABC为直角三角形B．在①ABC中，若①A＝①B﹣①C，则①ABC为直角三角形C．在①ABC中，若①A＝12①B＝13①C，则①ABC为直角三角形D．在①ABC中，①A＝①B＝2①C，则①ABC为直角三角形6．如果三角形的三个内角的度数比是1：2：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．如图，若①A＝60°，①B＝48°，①C＝32°，则①BDC＝（）A．102°B．160°C．150°D．140°8．如图，AB①CD，BD①CF，垂足为B，①BDC=50°，则①ABF的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．25°9．如图，直线a①b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D．若①1=20°，①2=65°，则①3度数等于（）A．30°B．45°C．60°D．85°10．如图，在①ABC中，①A=50°，OB平分①ABC，OC平分①ACB，则①BOC的度数为（）A ．65°B ．70°C ．115°D ．125°11．小明把一副含45︒，30角的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中90C F ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，则αβ∠+∠等于（）A ．180︒B ．210︒C ．270︒D ．360︒12．如图，在ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，CD 是外角ACM ∠的平分线，BD 与CD 相交于点D ，若70A ∠=︒，则BDC ∠是（）A ．15︒B ．30C ．35︒D ．70︒二、填空题13．若一个三角形三边的长分别为5，11，2k ，则k 的取值范围是___．14．小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm ）．15．如图，D 、E 分别是ABC 的AC ，AB 边上的点，BD ，CE 相交于点O ，若1,2,3OCD OBE OBC S S S ===△△△，那么S 四边形ADOE ＝_____．16．若a b c ，，是①ABC 的三边长，则化简a b c b c a +-+--的结果是________．17．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的中点，点E 是AD 上的中点，连结BE ，若BDE S ∆=3，则ABC ∆的面积为____．18．如图，BD 是ABC 的中线，5cm AB =，3cm BC =，那么ABD △的周长比CBD 的周长多______cm ．19．如图，在ABC 中，68ACB ∠=︒，12∠=∠．若P 为ABC 的角平分线BP ，CP 的交点，则BPC ∠=________；若P 为ABC 内一点，则BPC ∠=________．20．如图，在①ABC中，BD平分①ABC，连接CD，若①A＝①D＝40°，①ACD＝30°，则①DCE的度数为_____．21．如图，在①ABC中，AD①BC，AE平分①BAC，若①1＝30°，①2＝20°，则①B＝_____．⊥，交BD于点G，22．如图，ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH BC交BC于点H；下列结论：∠=∠；①DBH F∠=∠+∠；①2BEF BAF C∠=∠；①BGH C∠=∠-∠；①F BAC C其中正确的结论有__________．三、解答题23．已知，ABC的三边长为4，9，x．（1）求ABC的周长的取值范围；（2）当ABC的周长为偶数时，求x．24．如图，在①ABC中，①BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）（1）①BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．25．如图，在①ABC中，AD①BC，AE平分①BAC，①B＝72°，①C＝30°，①求①BAE的度数；①求①DAE的度数．26．如图，在①ABC 中，BD 是①ABC 的角平分线． DE //BC ，交AB 于点E ，①A =60°，88BDC ∠=︒，求①BDE 各内角的度数27．如图，点B 在AC 上，AF 与BD ､CE 分别交于H ､G ，已知150∠=︒，2130∠=︒，ABD A ∠=∠．（1）证明：C A ∠=∠；（2）求C ∠的度数．28．如图，在ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，50BAC ∠=︒，60C ∠=°，求DAC ∠和EOF ∠的度数．29．如图，在ABC 中，CD AB ⊥于点D ，//DE BC 交AC 于点E ，EF CD ⊥于点G ，交 BC 于点F ．（1）求证：ADE EFC ∠=∠；（2）若72ACB ∠=︒，60A ∠=︒，求 DCB ∠的度数．30．①ABC 中，AD 是①BAC 的角平分线，AE 是①ABC 的高．（1）如图1，若①B ＝40°，①C ＝60°，请说明①DAE 的度数；（2）如图2（①B ＜①C ），试说明①DAE 、①B 、①C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F ，①CAE 和①BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出①G 的度数．。

14.1 全等三角形(课件)沪科版数学八年级上册

3. 常见三角形的全等变换(如图14.1-3)
知2－讲
感悟新知
4. 对应元素的确定方法 (1)图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. ③相等的边(角)为对应边(角).
知2－讲
感悟新知
(2)位置关系法：
知2－讲
①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边.
解题秘方：利用全等三角形的对应边相等和对应角相等解决问题.
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知3－练
(1)若∠B＝38 °，∠DCF＝42°，求∠EFC的度数；解：∵△ABF≌△CDE， ∴∠D＝∠B＝38°， ∴∠EFC＝∠DCF＋∠D＝42°＋38°＝80°.
感悟新知
知3－练
(2)若BD＝10，EF＝2，求BF的长. 解：∵△ABF≌△CDE， ∴ BF＝DE，∴ BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF. ∵ BD＝10，EF＝2， ∴ BE＝(10－2)÷2＝4， ∴ BF＝BE＋EF＝4＋2＝6 .
感悟新知
知3－练
5-1. 如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD 交于点F，AB＝8，BC＝5，∠C＝65°，∠D＝20°.
感悟新知
(1)求AE的长度；解：∵△ABC≌△DEB， ∴EB＝BC＝5，∴AE＝AB－EB＝8－5＝3.
(2)求∠AED的度数. ∵△ABC≌△DEB，∴∠DBE＝∠C＝65°， ∴∠AED＝∠DBE＋∠D＝65°＋20°＝85°.
对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边之
间或对应的两个角之间的关系；对边、对角是同一个三角
形中边和角之间的关系，对边是指三角形中某个角所对的
边，对角是指三角形中某条边所对的角.
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14.1.1全等三角形

14.1全等三角形第1题. 你能沿虚线把下面图形划分成两个全等图形吗？请找出三种方法．（1）（2）第2题. 你能把如图所示的一个三条边都相等的三角形分成两个全等的图形吗？能分成三个、四个、六个全等的图形吗？怎么分？第3题. 你能把一个正方形分成八个全等的三角形吗？怎么分，请画出来．第4题. 你能把圆分成3个、4个、5个全等的图形吗？第5题. 在一个正方形的花园里，要怎样修建小路才能使这些小路正好把花园分成4个全等的三角形？如果要分成8个全等的三角形呢？第6题. 你能把正方形分成2个、4个、8个全等的图形吗？的方格纸上，沿着格线，把正方形划分为四个全等的图形，你可以得第7题. 在44到几种不同的图形？第8题. 找出下列图中的全等图形．Array第9题. 你能把一个长方形分成两个全等的图形吗？怎么分？能分成三个全等的图形吗？若要分成四个、六个、八个、九个全等的图形，怎么分？第10题. 图a展示了沿网格可以将一个每边有4格的正方形分割成两个相同的部分．找出五种其他分割的方法．同样，你能将图b和图c中的每一个图形分割成相同的两部分吗？a bc第11题. 你能把下边的矩形分成两个全等的三角形吗？能分成四个全等的三角形吗？第12题. 请你说出实际生活中见到的全等图形的例子．第13题. 如图，正方形中有十二棵树，请你把这个正方形划分为四小块，要求每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵树．第14题. 走在马路上或是公园的小路上，你有没有发现地上铺的地砖有的虽然非常简单，却能拼出美丽的图案来？构成图案的每一块地砖都是全等的吗？你能否自己设计一种地砖，让每一块地砖都是全等的，而且能拼出美丽的图案？第15题. 将如图所示的小平行四边形的边AD 三等分，分点为E F ，，过E 作AB 的平行线，交CF 于点G ，得多边形ABCGE ，请用四个这样的小多边形，拼成一个形状相同的大多边形．第16题. 仔细观察下图这幅由“箭头”组成的“风车”图案，你能说出它的绘制过程吗？请你动手做一做，更多的“箭头”会拼出怎样的图案？第17题. 按下列步骤设计图案：（1）画一个正方形ABCD ；（2）去掉两个全等的直角三角形1，2；（3）将直角三角形1，2分别放在3，4的位置上；（4）在得到的图形上画上你喜欢的图案；（5）再做出若干个这样的图案，利用它们拼出一个美丽的图案．第18题. 把一张方格纸贴在纸板上．按图1所示画上正方形，然后沿图示的直线切成5小块．当你照图2的样子把这些拼成正方形的时候中间居然出现了一个洞！我们发现，图1的正方形是由49个小正方形组成的．图2中拼成的正方形却只有48个小正方形．哪一个小正方形没有了？它到哪去了？第19题. 如图，A B C A D E △≌△，且10CAD ∠=，25B D ∠=∠=，120EAB ∠=，求DFB ∠和DGB ∠的度数．3 4 （1）（2）（3）第20题. 如图所示，A B C D ，，，在同一直线上，且ABF DCE △≌△．求证： AF DE BF CE AC BD =∥，∥，．第21题. 长为l 的两根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为（）Ａ．64l l x <≤ Ｂ．84ll x <≤ Ｃ．64l lx << Ｄ．84l lx <<第22题. 如图，点A B C D ，，，在一条直线上，△ABF ≌△DCE ，你能得出哪些结论?第23题. 如图，△ABC 是一个钢架，AB AC AD =，是连接点A 与BC 中点D 的支架，AD 与BC 之间存在什么关系？小明的思考过程如下AB AC BD DC ABD ACD AD AD =⎧⎪=→→⎨⎪=⎩△≌△ 90ADB ADC BAD CADBD CD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩AD →是BC 边上的中线、高线,也是BAC ∠的角平分线．你能说明每一步的理由吗？第24题. 如图所示，ABC ADE △≌△，B 与D ，C 与E 是对应点．求证：12∠=∠．第25题. 如图所示，ADF BCE △≌△，30B ∠=，25F ∠=，5cm BC =，1cm CD =，4cm DF =，求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长．第26题. 如图所示，ABC ADE △≌△，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，105ACB AED ∠=∠=，15CAD ∠=，30B D ∠=∠=，求1∠的度数．第27题. 已知：ABC A B C ''△≌△，ABC △的三边为3m n ，，，A B C ''△的三边为5p q ，，，若ABC △的各边都是整数，则m n p q +++的最大值为多少？A DB 12 C E 1E FC第28题. 如图，ABC DEF A D AB DE ∠=∠=△≌△，，．找出另外两对相等的边和相等的角．第29题. 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，指出图中所有的全等三角形．第30题. ABE △与ACD △全等，D ∠与E ∠对应，顶点C 与B 对应，写出其他对应角及对应顶点．第31题. 小明在设计一份图纸时，需要把ABC △以BC 的中点O 为中心，把ABC △绕D 点旋转180，得到BCD △，已知2cm AB =，3cm BC =，4cm AC =，试求出BCD △的三边长，并画图．第32题. 如图，ABC △中，AB AC =，D ，E 在BC 上，BD CE =三角形的对数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3ＡＣＢＮＥＡＤＢＣＭＣＢＡ第33题. 如图，ABD △与ACE △都是等边三角形，在这个图形中，有两个三角形一定是全等的，利用符号“≌”可以表示为（）Ａ．ABD ACE △≌△ Ｂ．BCD CBE △≌△ Ｃ．BDE CED △≌△ Ｄ．ADC ABE △≌△第34题. 一个图案由一个正方形及其两条对角线组成，其中有对全等三角形．第35题. 如图ABC △中，AB AC =要使AD AE =，需要添加一个条件是．第36题. 如图ABD ACE △≌△，试说明EBD ∠与DCE ∠的关系．第37题. 已知ABC DEF △≌△．50A ∠=，30B ∠=，10cm ED =．试求F ∠的度数及AB 的长．第38题. 如图，ABC △与CDA △是全等三角形，则一定是一组对应边的是（）Ａ．AB 和DC Ｂ．AC 和AC Ｃ．AD 和CB Ｄ．AD 和DCＥＡＣＢＤＥＤCO BEA第39题. 如图O 为ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，EF 经过点O ，且与AD ，BC 分别交于点E ，F ．若BF DE =，则图中全等三角形最多有（）Ａ．2对Ｂ．3对Ｃ．5对Ｄ．6对第40题. 下列说法正确的是（Ａ．若Rt ABC △≌Rt DEF △，且ABC △的两条直角边分别是水平和竖直状态，那么DEF △的两条直角边也一定分别是水平和竖直状态Ｂ．如果ABC DEF △≌△，DEF GHK △≌△，那么ABC GHK △≌△Ｃ．有一条公共边，而且公共边在每个三角形中都是腰的两个等腰三角形一定全等Ｄ．有一条相等的边，而且相等的边在每个三角形中都是底边的两个等腰三角形全等第41题. 如果D 是ABC △中BC 边上一点，并且ADB ADC △≌△，则ABC △是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．钝角三角形Ｃ．直角三角形Ｄ．等腰三角形第42题. 已知ABC MNP △≌△，48A ∠=，62N ∠=，则B ∠=，C ∠，M ∠和P ∠的度数分别为，，．第43题. 如图，在图中有3对全等三角形，分别是，，．第44题. 如图，AD BC <，AD BC ∥，AB CD =．（1）AOD △与BOC △不可能全等，为什么？（2）ABD △与ABC △不可能全等，为什么？ＥＯＦＤＢＣＡ第45题. 如图90ACB ADC ∠=∠=，ABC △与ADC △不可能全等，请说明理由．第46题. 如图所示，AB AC =，DC DA =，40BAC ∠=，40ADC ∠=．ABC △与ADC △不可能全等，说明理由．第47题. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）Ａ．带①去Ｂ．带②去Ｃ．带③去Ｄ．带①和②去参考答案1. 答案：（1）3. 答案：方法多种，答案不惟一．4. 答案：只需将圆心角(360)3等分、4等分、5等分即可，如图所示5.6. 答案：分法可分别如下所示：7. 答案：每一种图形只能由4个小方格组成，考虑到44的限制，只能得到5种，如图所示：8.答案：根据全等形的定义得全等形有天鹅、荷花．120 90 72 2个8个个（1）（2）（3）（4）（5）9. 答案：能，如图所示10. 答案：11. 答案：(1)分成两个全等的三角形； (2)分成四个全等的三角形．12. 答案：答案不惟一，略．13. 答案：14. 答案：答案不惟一，略．15.16. 答案：从一个菱形出发制作箭头，再拼成“风车”图案．c a b17. 答案：答案不惟一，略．18. 答案：5小块图形中最大的两块对换了位置之后，被那条对角线切开的每个小正方形都变得高比宽大一点点．这意味着这个大正方形不再是严格的正方形．它的高增加了，从而使得面积增加，所增加的面积恰好等于那个方洞的面积．19. 答案：因为△所以()2DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠ 1(12010)552=-=．所以DFB FAB B ∠=∠+∠10552590FAC CAB B =∠+∠+∠=++=DGB DFB D ∠=∠-∠ 902565=-=．20. 答案：ABF △DCE ≌△A D ∴∠=∠AF DE ∴∥；又ABF DCE △≌△ABF DCE∴∠=∠180ABF FBC ∠+∠=， 180DCE BCE ∠+∠=FBC ECB ∴∠=∠BF CE ∴∥；ABF DCE △≌△AB DC ∴=AB BC DC BC ∴+=+．即AC BD =．21. 答案：当两全等三角形三边各自都相等时，x 最小为6l ，而每一个三角形周长为2l ，因此最长为2l x x <-，因此4l x <，故选Ａ．22. 答案：由△ABF ≌△,DCE 可得到BAF CDE AFB DEC ABF DCE AB DC BF CE AF DE ∠=∠∠=∠∠=∠===，，，，，；AF ED AC BD BF CE =∥，，∥，△AEC ≌△DFB 等． 23. 答案：AD 是BC 边上的中线、高线，也是BC 所对角的角平分线．第一步：由“边边边”判定条件知两三角形全等；第二步：全等三角形的对应角相等,对应边相等；第三步：由中线、高线、角平分线的定义可得结论．24. 答案：A△≌△B ∴∠=∠B A ∴∠-，即1712∠=∠．25. 答案：（1）55 （2）4cm26.答案：ACB AFC CAF ∠=∠+∠1051590AFC ACB CAF ∴∠=∠-∠=-=90DFG AFC ∴∠=∠=190903060D ∴∠=-∠=-=．27. 答案：由题意可知三边为35n ，　，，且35p n q m ===，，　，由于28n <<，而3582p q m n n n n +++=+++=+，因此1224p q m n <+++<，故最大整数值为23．28. 答案：BC EF AC DF ACB F B DEF ==∠=∠∠=∠，；，．29. 答案：A B D C D B B A C △≌△≌△≌△；AOB COD △≌△，AOD BOC △≌△．30. 答案：D ∠与E ∠对应，顶点D 与E 对应，顶点C 与B 对应，所以A 与A 对应，则C ∠与B ∠对应，BAE ∠与CAD ∠对应．31. 答案：因为BCD △是通过ABC △旋转得到的，所以BCD CBA △≌△．所以BCD △的三边长分别为3cm BC =，2cm CD =，4cm DB =．图形如下图．32. 答案：C33. 答案：Ｄ34. 答案：835. 答案：ADB AEC ∠=∠或BAD CAE ∠=∠或BD CE =或BE CD =．36. 答案：ABD ACE ∵△≌△，D E ∠=∠∴，又C∠=∠∵．D COD 180-∠-∠∴180E BOE =-∠-∠．即D C E ∠=∠． 37. 答案：50A ∠=∵，30B ∠=，Ｃ（Ｂ）ＤＢ（Ｃ）Ａ1805030100C ∠=--=∴．ABC DEF ∵△≌△，100F C ∠=∠=∴．10cm AB DE ==．即F ∠的度数是100，AB 的长为10cm ．38. 答案：Ｂ39.答案：Ｄ40. 答案：B41. 答案：Ｄ42. 答案：62；70，48，7043. 答案：AOE BOF △≌△，AOC BOD △≌△，ACE BDF △≌△．44. 答案：（1）AOD ∠与BOC ∠是对应角，它们所对的边不相等．（2）BAD ∠与ABC ∠互补而不相等，AD 与BC 也不相等．45. 答案：AC 是两个三角形的公共边，它在ACD △中是最大边，在ABC △中不是最大边，所以ABC △与ADC △不可能全等．46. 答案：BAC ∠与ADC ∠是对应角，夹它们的边不对应相等．47. 答案：C。

14.1.1 直角三角形的三边关系教学设计

14.1.1 直角三角形的三边关系（1）学习目标：1.体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．2．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．3. 通过问题的发现解决，使学生有成就感、培养学生的合作精神．学习重点：探索勾股定理的过程学习难点: 会运用勾股定理解决相关问题【一】复习回顾1、你会求图（1）中正方形ABCD 的面积吗？答：2、你能求出图（2）中的正方形的面积吗？3、你能求出图（3）中的四边形ABCD 的面积吗？图（4）中的四边形ABCD 的面积呢？4、直角三角形的性质：【二】自学互助探索勾股定理1. 根据右图，小组讨论完成下列问题：（1）两个小正方形P 、Q 的面积与大正方形R 的面积存在着怎样的关系___________________(2) 正方形P 的面积：S P =AC 2正方形Q 的面积：S Q = _____________正方形R 的面积：S R = _____________这时，（1）中的关系又可表示为_______________(3) Rt △ABC 是什么样的直角三角形?2.试一试：(小组共同完成)如右图，如果每一个小方格面积1平方厘米那么可以得到：正方形P 的面积=_________平方厘米正方形Q 的面积=_________平方厘米正方形R 的面积=_________平方厘米我们发现，正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系是______________由此，我们得出直角三角形ABC 的三边长度之间存在什么样的关系？问题：分别以5cm 、12cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC,测量斜边的长度,然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。

C AA B P Q R P Q R 图（1）D C B A 图（3）AD C B 图（2）A B D C图（4）D C B3.归纳： 1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为，所以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为 .即直角三角形中边与边的平方之和等于边的平方。

《14.1.1直角三角形三边的关系》教学设计

《14.1.1直角三角形三边的关系》教学设计教学目标一、情感态度与价值观1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

2.在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探究精神。

二、过程与方法1.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力。

2.在探索过程中，体会数形结合、由特殊到一般的数学思想。

三、知识与技能1.经历勾股定理的探索过程，体会数形结合思想。

2.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决简单的数学问题。

教学重点、难点1.应用应用勾股定理解决简单的数学问题。

2.勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证。

教学资源每位同学准备两张网格图，三角板，学生分为8个小组《直角三角形三边的关系》教学活动过程描述教学活动11.情景导入同学们，在2002年北京召开的国际数学家大会上，有一个简洁优美的图案在流动，那是采用了1700多年前数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图。

那么，这个弦图中隐含着直角三角形三边之间有什么奇妙的关系？教学活动22.自主探究1)课件出示：在网格中，等腰直角三角形三边与以这三条边为正方形面积存在什么关系？2）完成下列问题：（1）两个小正方形P、Q的面积与大正方形R的面积存在着怎样的关系___________________(2) S P可以用Rt△ABC哪一条边的平方表示？S Q可用Rt△ABC中的哪一条边的平方表示？S R可用Rt△ABC中的哪能一条边的平方表示?（1）中的关系又可表示为_______________PQR教学活动33.合作交流(小组共同完成)1)课件出示：在网格中，一般直角三角形三边与以这三条边为正方形面积存在什么关系？2）试一试：如图，如果每一个小方格面积1平方厘米那么可以得到：正方形P的面积=_________平方厘米正方形Q的面积=_________平方厘米正方形R的面积=_________平方厘米我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是________________由此，我们得出直角三角形ABC的三边长度之间存在关系_______________ 3)做一做在图中的方格中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个三角形是否成立。