2009年甘肃省河西五市二十校高三第一次联考数学试题

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2009年全国各地数学中考模拟试题分类汇编—阅读、规律、代数式

中考模拟分类汇编阅读、规律、代数式一、选择题1. （2009·浙江温州·模拟1）如图，地面上有不在同一直线上的A 、B 、C 三点，一只青蛙位于地面异于A 、B 、C 的P 点，第一步青蛙从P 跳到P 关于A 的对称点P 1，第二步从P 1跳到P 1关于B 的对称点P 2，第三步从P 2跳到P 2关于C 的对称点P 3，第四步从P 3跳到P 3关于A 的对称点P 4……以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P ．（）A ．4B ．5C ．6D ．8 答案：C2. （2009·浙江温州·模拟2）下列运算结果为2m 的式子是（） A ．63m m ÷ B ．42m m -⋅C ．12()m -D ．42m m -答案：B3. 二次三项式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（） A ．18 B ．12 C ．9 D ． 7 答案：D4. 如图是2007年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）A ．27B ．36C ．40D ．54答案：C5、(2009年浙江省嘉兴市评估4). 如图，记抛物线12+-=x y 的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为P 1，P 2，…，P n-1，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点Q 1，Q 2，…，Q n-1，再记直角三角形OP 1Q 1，P 1P 2Q 2，…的面积分别为S 1，S 2，…，这样就有32121n n S -=，32224nn S -=，…；记W=S 1+S 2+…+S n-1，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（）A · ·B P ·C · 第10题A.32 B. 21 C. 31 D. 41 答案:C6、(2009年浙江省嘉兴市秀洲区6)．若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有（）（A ）6桶（B ）7桶（C ）8桶（D ）9桶答案:B 7、（09九江市浔阳区中考模拟）观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律,那么2009这个数标在【】A.第502个正方形的左下角B. 第502个正方形的右下角C. 第503个正方形的左下角D. 第503个正方形的右下角答案：D8、若表示000，表示001，则表示为 ………………………（ ▲ ）（09温州永嘉县二模）A 110B 010C 101D 011 答案：C 9、（安徽桐城白马中学模拟一）.有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n (n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为( ) A. 60n 厘米 B. 50n 厘米 C. (50n+10)厘米 D. (60n -10)厘米答案: C. (50n+10)厘米二、填空题：1、(2009年深圳市数学模拟试卷)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请按这种规律写出第七个数据是________．解：81772、(2009年湖北随州十校联考数学试题)观察图（1）至图（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n 个图中小圆圈的个数为m ，则m ＝______________（用含n 的代数式表示）（第2题图）主视图左视图俯视图21111===CA CC BC BB AB AA S A 1B 1C 1=1431222===CA CC BC BB AB AA 41333===CA CC BC BB AB AA 91888===CA CC BC BB AB AA答：3n+23、（2009泰兴市济川实验初中初三数学阶段试题）观察下列等式：第一个等式是1+2=3，第二个等式是2+3=5，第三个等式是4+5=9，第四个等式是8＋9=17，……猜想：第n 个等式是．答：12)12(211+=++--n n n4、(2009年重庆一中摸试卷)已知1112,12323a =+=⨯⨯2113,23438a =+=⨯⨯3114,...,345415a =+=⨯⨯依据上述规律，则=99a 。

高中理科数学复习试题选编31：双曲线(教师版)

理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于（）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为（）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为：（）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ，由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为（）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，则曲线C 的离心率等于（）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率是（）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为（）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版））已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为（）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是（）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为（）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。

数学复习教学案：“集合与常用逻辑用语”与“算法、复数、推理与证明”组合训练(二)

“集合与常用逻辑用语”与“算法、复数、推理与证明"组合训练（二）一、选择题1．（2017·洛阳统考)已知i为虚数单位,若实数a,b满足(a＋b i)i ＝1＋i,则a＋b i的模为( )A．1 B。

2 C.错误!D．2解析：选B 依题意得a＋b i＝错误!＝1－i，所以|a＋b i｜＝｜1－i｜＝错误!，故选B。

2．(2017·全国卷Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（－2＋i）的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C z＝i（－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i,故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．(2017·郑州质检)命题“∃x0∈R，x错误!－x0－1>0”的否定是（)A．∀x∈R,x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－1〉0C．∃x0∈R,x错误!－x0－1≤0D．∃x0∈R，x错误!－x0－1≥0解析：选A 依题意得,命题“∃x0∈R，x错误!－x0－1〉0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，故选A.4．（2018届高三·湖北七市(州）联考）集合A＝{－1，0,1,2，3}，B＝｛x|log2(x＋1）〈2｝，则A∩B＝（)A．{－1，0,1,2} B．｛0，1,2}C．{－1,0,1,2，3} D．｛0，1，2，3｝解析：选B B＝{x｜log2（x＋1)〈2}＝｛x｜0<x＋1<4}＝{x|－1<x〈3}，而A＝{－1,0,1,2，3}，∴A∩B＝｛0，1，2｝，故选B.5．已知全集U＝R，集合A＝{x｜x2－3x－4>0｝,B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x｜－2≤x<4｝B．｛x|x≤2或x≥4}C．{x｜－2≤x≤－1｝D．{x|－1≤x≤2}解析：选D 依题意得A＝｛x|x〈－1或x>4｝，因此∁R A＝｛x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为（∁R A)∩B＝｛x|－1≤x≤2｝，故选D.6．已知集合A＝{x｜x2－4x＋3〈0｝,B＝｛x|1〈2x≤4，x∈N｝，则A∩B＝（）A ．∅B ．（1，2]C ．｛2｝D ．{1，2｝解析：选C 因为A ＝｛x ｜x 2－4x ＋3<0｝＝｛x |1〈x <3｝，B ＝{x ｜1<2x ≤4，x ∈N ｝＝{1，2｝，所以A ∩B ＝｛2},故选C 。

江苏省淮安市十校2024-2025学年高三上学期第一次联考试题数学含答案

2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考数学试卷（答案在最后）2024.9总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}1,2{},0,{2+==a B a A ，若}1{=B A ，则=A ．1B ．1-C ．0D ．1±2．若α为第二象限角，则A ．02s >αin B ．02cos <αC ．0cos sin >-ααD ．0cos sin <+αα3．函数)ln()(2x x x f +-=的定义域为A ．),1[]0,(+∞-∞ B ．)1,0(C ．]1,0[D ．),1[]0,(+∞-∞①若n m n m ⊥,//,//βα，则βα⊥②若βαβα//,//,//n m ，则n m //③若n m n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥④若βαβα⊥⊥⊥n m ,,，则n m ⊥A ．1B ．2C ．3D ．4要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

10．设函数∈--=，则下列说法正确的是A ．)(x f 是奇函数B ．)(x f 在R 上是单调函数C ．)(x f 的最小值为1D ．当0>x 时，0)(>x f 11．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BB BC BP μλ+=，则下列说法正确的是B ．若1=+μλ，则//1P D 平面BD A 1C ．若21,1==μλ，则⊥OP 平面BD A 112．已知角α的终边经过点)3,2(-P ，则=-++-+-)2cos()2sin()cos()sin(απαππααπ.四、解答题：本题共5小题，共77分。

●数学(理)卷·宁波市高三十校联考(2009.03)

2009年宁波市高三“十校”联考数学（理科）试题说明：1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

2、请将答案全部填写在答题卷上。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设B A ,是非空集合，定义B A ⨯={B A x x ∈且B A x ∉}，己知{}20≤≤=x x A{}0≥=y y B ，则B A ⨯等于（）A ．(2，+∞)B ．[0，1]∪[2，+∞)C ．[0，1)∪(2，+∞)D ．[0,1]∪(2，+∞)2. 若)54(cos 53sin -+-=θθi z 是纯虚数，则θtan 的值为（）A ．±43B ．±34C ．43- D ．433.设c b ,表示两条直线,βα,表示两个平面,则下列命题是真命题的是（）A .若c b ,α⊂//α则b //cB .若b b ,α⊂//c ,则c //αC .若c //βαα⊥,则β⊥cD .若c //,,βα⊥c 则βα⊥4. 有一种波，其波形为函数)2sin(x y π=的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t 的最小值是 ( )A .3B .4C .5D .65. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中含x 1项的系数为-560，则n 等于( )A . 4B . 6C . 7D . 116.我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间X （单位：分钟），按时间分下列四种情况统计：0～30分钟；②30～60分钟；③ 60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是 ( ) A .0.20 B .0.40 C .0.60 D .0.80是7.值域为{2,5,10}，其对应关系为21yx =+的函数个数为 ( )A . 1B . 8C .27D .398.已知直线x y -=3与圆222=+y x 相交于B A ,两点,P 是优弧AB 上任意一点,则=∠APB ( ) A .32π B . 6π C . 65π D .3π 9.当,2)(,)(),1,[-=∈+∈n x f N n n n x 时，则方程x log )x (f 2=根的个数是（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．无数个10.设G 是ABC ∆的重心，且)sin 35()sin 40()sin 56(=++C B A ，则B ∠的大小为（）015..A 030.B 045.C 060.D第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

高中数学基础之基本不等式及应用

当acb取得最大值时，3a＋1b－1c2的最大值为( C )
A．3
B．94
C．1
D．0
[思路引导] (1)2x－1>0，y－1>0→构建与2x－1，y－1相关的基本不等式． (2)三元变成二元→确定acb取得最大值时a，b，c的关系→求出结果．
[解析]
(1)依题意得2x－1>0，y－1>0，则
4x2 y－1
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
[解]
(1)依题意得，y＝
920v v2＋3v＋1600
＝
920 3＋v＋16v00
≤
920 83
，当且仅当v＝
16v00，即v＝40时，等号成立，
3－
k m＋1
(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知
2021年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，
厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定
投入和再投入两部分资金)．
(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
＋
y2 2x－1
＝
[2x－1＋1]2 y－1
＋
[y－1＋1]2 2x－1
≥
42x－1 y－1
＋
4y－1 2x－1
≥4×2
2yx－－11×2yx－－11
＝8，即
4x2 y－1
＋
y2 2x－1
2x－1＝1，
≥8，当且仅当
y－1＝1， 2yx－－11＝2yx－－11，

浙江省浙南名校联盟2025届高三上学期第一次联考(10月)数学试题含答案

2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考高三数学试题（答案在最后）审题考生须知：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知复数121i,2i z z =-=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法及乘法化简,得出复数即可求出对应点,进而得出所在象限即可.【详解】()()()()2121i 2i 1i 2i 2i i 31i 2i 2i 2i 555z z -+-+--====---+，复数12z z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,点位于第四象限.故选：D ．2.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正⇒令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C ．4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x a x =-+．若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性列出相应不等式，即可求得答案.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，故只需11001a a -=-≤+，即1a ≥，故选：A ．5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）A.20种B.40种C.80种D.160种【解析】【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.【详解】一侧的种植方法有3262C A 20240=⨯=种排法，另一侧的种植方法有22A 2=种排法再由分步计数原理得不同的种植方法共有40280⨯=种排法，故选:C.6.将函数()*π()cos N 12g x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）A .2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据伸缩变换规则可得()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.【详解】由题可知()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，当π02x <<时，πππ2π121212x ωω<+<+，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则由2cos y x =的图像可得π2ππ4π12ω<+≤，解得23471212ω<≤，因为*N ω∈，所以ω的最大值为3.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）A.B.1C.D.1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8.已知0x 为函数222()e e ln 2e x f x x x =+-的零点，则00ln x x +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由题意确定0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，构造函数()e (0)x g x x x =>，由其单调性即可求解.【详解】由()0f x =得222e 2e e ln xx x =-，即22e e (2ln )xx x =-，即222ee e ln xx x=，因为0x >，所以22e e e ln xx x x =，所以0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，令()e (0)x g x x x =>，则()e (1)0x g x x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又222e e e ln ln g x xx ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2e ln 2ln x x x ==-，即002ln x x =-，即00ln 2x x +=，故选：B ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A.若()0a b c ⋅=，则b c ⊥ B.若()(),a b a b +⊥-则||||a b = C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D.向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用数乘向量的定义得到0b c ⋅=，即可判断选项A 的正误；选项B ，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B 的正误；选项C ，根据条件，利用数量积的定义，得到||cos ,||cos ,a a c b b c =，即可求解；选项D ，根据条件，结合数量积的运算律，得到[()()]0a b c a c b a ⋅-⋅⋅=，即可求解.【详解】对于选项A ，因为a为非零向量，若()0a b c ⋅= ，则0b c ⋅= ，故b c ⊥ ，所以选项A 正确，对于选项B ，若2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，故||||a b =，所以选项В正确，对于选项C ，若a c b c ⋅=⋅ ，则||||cos ,||||cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅ ，得到||cos ,||cos ,a a c b b c = ，不能确定a b= ，所以选项C 错误，对于选项D ，[()()]()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a a b c a a b c a ⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故[()()]a b c a c b a ⋅-⋅⊥，所以选项D 正确，故选：ABD ．10.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中4AB =，M ，N ，D ，Q 分别为棱111,,,AB AC B C AA 的中点，DQ QM ⊥，则以下结论正确的是（）A.11//B C 平面QMNB.1AA =C.点Q 到平面DMN 的距离为D.三棱锥D QMN -的外接球表面积为131π18【答案】AC 【解析】【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q 到平面DMN 的距离判断C ,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D .【详解】由题，11//,//MN BC BC B C ，所以11//,MN B C MN ⊂平面QMN ,11B C 不在平面QMN 内，故11//B C 平面QMN ，A 正确；由题可得，,QM QN DM DN ==，设12AA a =，易得22224,12QM a QD a =+=+，2244DM a =+，因为222DM QD QM =+，即22244124a a a +=+++，解得a =，故1AA =，B 错误；因为222DM QD QM =+，所以222DN QD QN =+，所以,,,DQ QN QN QM Q QN QM ⊥⋂=⊂平面QMN ,MN ⊂平面QMN ,得出DQ ⊥平面QMN ，112322QMNS MN ==⨯= ，所以13Q DMN D QMN QMN V V S DQ --==⋅=△133⨯⨯=又12DMNS MN == ，设点Q 到平面DMN 的距离为d，则13Q DMN DMN V S d -===△，得d =，C 正确；将三棱锥D QMN -补成以QMN 为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥D QMN -的外接球，其球心O位于上下底面外心的中点，sin 10QMN ∠=，故QMN 的外接圆半径152sin 3QN r QMN =⨯=∠，设外接球半径为R，则22251313218R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三棱锥D QMN -的外接球表面积2262π4π9S R ==，D 错误．故选：AC ．11.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ,1FA FB 〈〉=-，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,k k ，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是（）A.若4AF BF +=，则1AF BF ⋅=-B.直线PN 的倾斜角π4α≥C.若122k k +=，则直线AB 的方程为10x y -+=D.||MF 的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点20,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分000,0x x ≤>两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，结合焦半径公式计算最小值判断D.【详解】由题cos ,1FA FB 〈〉=- ，则向量,FA FB的夹角为π，故F ，A ，B 三点共线，设:1AB y kx =+，与C 的方程联立得2440x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124x x k +=，124x x =-，故1221242,1k y y y y =+=+，由抛物线的定义得12||1,||1AF y BF y =+=+，故21224440AF BF y y k k +=++=+==，，·4FA FB =-，所以A 错误；设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)N -，当00x ≤时，直线PN 倾斜角大于等于π2，当00x >时，200011414PNx x k x x +==+≥=，所以直线PN 的倾斜角π4α≥，B 正确；记直线AB 的斜率为k ，令21()4f x x =，则1()2f x x '=，则()()11122211,22k f x x k f x x '=='==，又()222121212121144x x y y k x x x x x x --===+--，所以122k k k +=，所以1k =，又直线AB 过点(0,1)F ，故直线AB 的方程为10,C x y -+=正确；()111:2x MA y y x x -=-，又2114x y =，所以211:24x x MA y x =-，同理222:24x x MB y x =-，联立解得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，即(2,1)M k -，又(0,1)F ，所以||2MF =≥，当0k =时，等号成立，所以MF 的最小值为2，D 正确；故选:BCD.【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知1πsin ,cos()26ααα=+=______________．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】利用辅助角公式得到π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再整体法用诱导公式求出答案.【详解】1sin 2αα=，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππππ1cos sin sin 62634ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：14-13.已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg ，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W （kg ）作为样本，则样本的方差为______．【答案】13【解析】【分析】先根据分层抽样的平均数公式求出平均数为52，再代入方差公式计算得出方差.【详解】3个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则()13483524555210W =⨯+⨯+⨯=，故22223344(4852)10(5252)1(5552)13101010s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦．故答案为：13.14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为2100414347⨯+⨯+⨯=；四进制数0033转换为十进制数为32100404343415⨯+⨯+⨯+⨯=；四进制数1230转换为十进制数为321014243404108⨯+⨯+⨯+⨯=；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______．【答案】13【解析】【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将4的高次方展开并求得除以3之后的余数，令余数能被3整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率.【详解】设{},,,1,2,3a b c d ∈，则4位四进制数转换为十进制为3232444(13)(13)(13)a b c d a b c d⨯+⨯+⨯+=⨯++⨯++⨯++()()01223301223333222C C 3C 3C 3C C 3C 33a b c c d =+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++()()1223312233322C 3C 3C 3C 3C 33a b c a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+++++，若这个数能被3整除，则+++a b c d 能被3整除．当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有24A 12=个；当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有24C 6=个；这个四进制数由1，1，1，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数由2，2，2，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数都由3组成时，有1个．因为由1，2，3组成的4位四进制数共有4381=个，所以能被3整除的概率1264411813P ++++==．故答案为：13.【点睛】关键点点睛：本题关键在于将4进制转化为10进制之后，利用二项式定理来求解能否被3整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1A A ⊥平面ABC ，111224AB A A A C ===，M ，N 分别为棱1,AB B B 的中点.（1）证明：1B B ⊥平面MCN ；（2）求直线1C C 与平面MCN 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出CM ⊥平面11,A ABB 再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可.【小问1详解】因为ABC V 是正三角形，M 为AB 中点，所以CM AB ⊥，因为1A A ⊥平面,ABC CM ⊂平面ABC ，所以1CM A A ⊥，又11,,A A AB A A A AB =⊂ 平面11,A ABB 所以CM ⊥平面11,A ABB 又因为1B B ⊂平面11A ABB ，所以1CM B B ⊥，连接1AB ，易得11AB B B ==，所以22211AB AB B B =+，所以11AB B B ⊥，又因为1//AB MN ，所以1MN BB ⊥，因为MN CM M = ，,MN CM ⊂平面MCN ，所以1B B ⊥平面MCN .【小问2详解】取AC 中点O ，连接1,BO C O ，易知1,,OB OC OC 三条直线两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则111,2),(0,2,0),(0,0,2)B B C C -，由（1）知平面MCN的一个法向量为12)B B =- ，又1(0,2,2)C C =- ，所以1111113cos ,4B BC C B B C C B B C C ⋅==⋅ ，因为直线1A B 与平面FMN 所成的角为直线1B B 与1C C 所成角的余角，所以直线1A B 与平面FMN 所成的角的正弦值为34．16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.如图，四边形ABCD 中，1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=．（1）求BAD ∠；（2）P 为边BC 上一点，且PCD △ABP 的外接圆半径．【答案】（1）2π3（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，在ABD △和BCD △中，利用余弦定理，分别求得2BD 的表达式，两式作差求得1cos 2BAD ∠=-，即可求解；（2）由（1）求得BD =PCD ∠，结合题意，求得2PC =，进而求得2PD =，再在ABD △和BCD △中，求得cos cosABD DBC ∠=∠1cos 7ABP ∠=，得到sin 7ABP ∠=，利用正弦定理，即可求解.【小问1详解】解：因为πBAD BCD ∠+∠=，所以cos cos BAD BCD ∠∠=-，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 54cos BD AB AD AB AD BAD BAD =+-⋅∠=-∠，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD BCD BAD =+-⋅∠=+∠，两式作差得：816cos 0BAD +∠=，解得1cos 2BAD ∠=-，因为(0,π)BAD ∠∈，所以2π3BAD ∠=．【小问2详解】解：因为1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=由（1）知22π54cos73BD =-=，可得BD =π3PCD BCD ∠=∠=，则1sin 22PCD S PC CD PCD =⋅∠==△所以2PC =，在PCD △中，可得2222cos 4PD CD PC CD PC PCD =+-⋅∠=，所以2PD =，在ABD △中，可得222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⨯⨯在BCD △中，可得222cos 2BD BC CD DBC BD BC +-∠===⨯⨯可得ABD DBC ∠=∠,所以27cos 2cos 11ABP ABD ∠∠-==，则sin 7ABP ∠=，所以222122cos 7AP AB BP AB AP ABP =+-⋅∠=，解得7AP =，设ABP 的外接圆半径为R ，由正弦定理得772sin 2437AP R ABP ==∠，解得74R =，所以ABP的外接圆半径为4．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点(1,3P 在椭圆上，且直线1PF 与2PF 的斜率之积为23-．（1）求C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．（ⅰ）若A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，求直线l 的方程；（ⅱ）若点B 与点1F 重合，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求1||||MN QF 的值．【答案】（1）2213x y +=（2）（i ）3535y x =+；（ii【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算22,a b 即可得出椭圆方程；（2）（i ）设()()1122,,,M x y N x y 结合1()2OA OB OM =+ ，1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标，即可求出直线方程；（ⅱ）设方程:(l y k x =+联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解.【小问1详解】将点1,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入C 的方程得：221213a b +=①，设C 的焦距为2(0)c c >，则12(,0),(,0)F c F c -，故12233113PF PF k k c c ⋅=⨯=-+-，解得c =又222a b c =+③，由①②③解得21b =或23a =，所以C 的方程为2213x y +=．【小问2详解】（ⅰ）由题，(0,),,0m A m B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,M x y N x y ，O 为坐标原点，因为A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，所以BA NB AM == ,则1()2OA OB OM =+ ，即110,12m x k y m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得112m x k y m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以,2m M m k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又1()2OB OA ON =+ ，即222,1022m x k m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,m x k y m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以2,,m N m k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将点M ，N 的坐标代入C 的方程得22222241,3413m m k m m k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211,35k m ==，因为0,0k m >>，所以,35k m ==，所以直线l的方程为35y x =+．（ⅱ）由题直线l过点1(F，所以:(l y k x =+，与椭圆方程联立22(13y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222213630k x x k +++-=，212120k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y，则2212122263,1313k x x x x k k--+==++，所以21MN x =-=22113k k+=+，又(21212221313y y k x x k k k ⎛-+=++=+= ++⎝，所以MN 中点为222322,1313k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以MN的垂直平分线方程为22211313y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，令0y =得2213x k -=+，故22,013Q k ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭，所以212113k QF k +==+，所以1MN QF =【点睛】关键点点睛：（2）（i ）解题的关键点是应用1()2OA OB OM =+ 1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程；19.密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n ，将小于等于n 且与n 互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为n a ．（1）求数列{}n a 的前5项和；（2）求2(N )n a n *∈的表达式和3137a ⨯的值；（3）记22()nn n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明16n S <．【答案】（1）10（2）122n n a -=，31371080a ⨯=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列定义求出前5项即可求和；（2）先根据定义得出122n n a -=，再求出3137a ⨯即可；（3）应用错位相减法计算得出2158162n n n n S -++=-即可证明.【小问1详解】由题，11a =；小于等于2且与2互质的正整数有1，所以21a =；小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以32a =；小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以42a =；小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以54a =．所以数列{}n a 的前5项和为1122410++++=．【小问2详解】若2为质数，则小于等于2n 的正整数中，只有2的倍数不与2互质，又因为小于等于2n 的正整数中，2的倍数有12n -个，所以112222n n n n a --=-=．在小于等于31×37的正整数中，31的倍数有37个，37的倍数有31个，所以()()31373137313713113711080a ⨯=⨯--+=--=．【小问3详解】由（2）知122n n a -=，所以212n n n n b -+=，所以222201211122332222n n n n S -++++=++++ ，故222223111223322222n n n n S ++++=++++ ，作差得：2012111232222222n n n n n n S -+⎛⎫=++++- ⎝⎭，所以201211123422222n n n n n n S --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ．令01211232222n n n T -=++++ ，则23112322222n n n T =++++ ，作差得：2311111111221212222222212n n n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++++-=-=-- ，所以1242n n n T -+=-，故221112584(4)16222n n n n n n n n n S ---++++=⨯--=-，因为*N n ∈，所以215802n n n -++>，所以16n S <得证．。

甘肃省河西五市二十校高三化学第一次联考试题

2009年甘肃省河西五市二十校高三第一次联考化学试题命题学校金塔县中学命题教师闫正江徐生光卢林元本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，全卷满分100分。

考试时间120分钟。

请将答案写在答案纸上。

第一卷（选择题共48分）可能用到的相对原子质量：H －1 C －12 N －14 O －16 Na －23 Mg －24 P －31 S －32Cl －35.5 Cu －64 Ba －137选择题（本题包括16小题，每小题3分，共48分。

每小题只有一个选项符合题意） 1．1mg 锎（25298Cf ）每秒钟约能放出2.34×109个中子，在医学上常用作治疗恶性肿瘤的中子源。

下列有关的说法不正确的是A ．锎元素的相对原子质量为252B ．25298Cf 原子中，中子数为154C ．25298Cf 原子中，质子数为98 D ．25298Cf 原子中，电子数为982．下列微粒的电子式书写正确的是3．现代无机化学对硫—氮化合物的研究是最为活跃的领域之一。

其中右图所示是已合成的最著名的硫—氮化合物的分子结构。

下列说法正确的是A ．该物质的分子式为SNB ．该物质的分子中既有极性键，又有非极性键C ．该物质在固态时形成原子晶体D ．该物质与化合物S 2N 2互为同素异形体4．下列各组气体中，在通常情况下既能共存又能用浓硫酸干燥的是 A ．NO 2、HBr 、Cl 2 B ．NH 3、HCl 、CO 2 C ．HCl 、O 2、NO D ．H 2、O 2、SO 2 5．关于Na 2CO 3溶液和NaHCO 3溶液，下列说法正确是是 A ．用加热的方法区别两种溶液 B ．用澄清的石灰水区别两种溶液 C ．浓度相同时，Na 2CO 3溶液的pH 大 D ．浓度相同时，两溶液的pH 相等6．常用的锌锰干电池在放电时总反应可表示为：Zn ＋2MnO 2＋2NH 4＋=Zn 2＋＋Mn 2O 3＋2NH 3＋H 2O ，放电时负极区发生的物质或微粒是A ．MnO 2B ．MnO 2和NH 4＋C ．ZnD ．Zn 2＋和NH 37．短周期的A 、B 两种元素，A 原子半径小于B 原子半径，两种元素可形成A 是正价的AB 2型化合物。

高考数学大题专题练习 (1)

10 10
＋
5 5
3 ×
1010＝
2 10 .
第8页
3.(2019·东北三省三校第一次联考)设函数 f(x)＝sin2x－π6＋ 2cos2x.
(1)当 x∈0，π2时，求函数 f(x)的值域； (2)△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 f(A) ＝32， 2a＝ 3b，c＝1＋ 3，求△ ABC 的面积.
1－－
11002＝3
10 10 .
在△ ABC 中，由正弦定理得sinaA＝sibnB，
即 3
310＝sin2B，
10
第7页
∴sinB＝ 55.又 A∈π2，π，故 B∈0，π2，
∴cosB＝ 1－sin2B＝
1－
552＝2
5
5 .
∴cos(B － A) ＝ cosBcosA ＋ sinBsinA ＝ 255 ×－
∵ 2a＝ 3b，∴由正弦定理可得 2sinA＝ 3sinB，
∴sinB＝
2 2.
第11页
∵0<B<23π，∴B＝π4.
∴sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝
6＋ 4
2 .
∵由正弦定理可得sincC＝ 42＝sibnB，
∴b＝2.
∴S△ ABC＝12bcsinA＝3＋2
3 .
第12页
4.(2019·广东省六校第二次联考)已知△ ABC 的三个内角 A， B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinAsinB＋bcos2A＝53a.
(1)求ba； (2)若 c2＝a2＋85b2，求角 C 的大小.
第13页
解析 (1)由正弦定理及已知条件得 sin2AsinB＋sinBcos2A＝ 53sinA，即 sinB(sin2A＋cos2A)＝53sinA，

天一大联考齐鲁名校联盟2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题

“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.17502π9B.1750π9C.17502π3D.17502π5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x xy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c cc >∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为2210.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan232θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)2(2)(1)m n m n =+++≥++，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，因此221(21)62(2)(1)23m n m n m n +++=+++=+++≤，所以21m n +++的最大值为23.故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.2π9B.1750π9C.2π3D.17502π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a bc c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a ，2314a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为23()43n a ⨯，则1213(34)()43n nn n a SS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P 图形的面积213413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒3333x -<<，由()0f x '>⇒33x <-或33x >.所以函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭和3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即3332033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯=，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xax +≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取(1,1,1)n =- .所以15cos ,553m n m n m n ⋅===-⋅⨯，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为155，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为105.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111kx k f x x x --'=+=--，当0k <时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y kt k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kt y x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11kkt y x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k ktt y k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340B T X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。

高考数学问题1.1 数集与点集的运算提分练习-人教版高三全册数学试题

1.1 数集与点集的运算一、考情分析集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中．二、经验分享(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){}2,2x y y xx =-.(2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----.(3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.(5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．三、知识拓展1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔=.3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4.数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域. 四、题型分析(一)与数集有关的基本运算【例1】已知全集为R ,集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1,B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0,则A ∩RB 等于( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}C ．{x |2≤x ≤4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}【分析】将集合A ,B 化简,结合数轴求A ∩∁R B . 【解析】(1)A ＝{x |x ≥0},B ＝{x |2≤x ≤4}．∴RB ＝{x |x ＞4或x ＜2}．∴A ∩RB ＝{x |x ≥0}∩{x |x ＞4或x ＜2}＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}．【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,求解本题的关键是准确求出B ,并注意端点值的取舍．若给定集合涉及不等式的解集,可借助数轴进行．【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合{}1A x x =<,{}31xB x =<,则（）. A. {}0AB x x =< B. A B =R C. {}1A B x x => D. A B =∅【答案】A【解析】{}1A x x =<,{}{}310xB x x x =<=<,所以{}0AB x x =<,{}1AB x x =<.故选A.(二)与点集有关的基本运算【例2】已知3(,)|3,{(,)|20},2y M x y N x y ax y a M N x -⎧⎫===++==∅⎨⎬-⎩⎭,则=a （）A ．－2B ．－6C ．2D ．一2或－6【分析】首先分析集合M 是除去点(2,3)的直线33y x =-,集合N 表示过定点(1,0)-的直线,M N =∅等价于两条直线平行或者直线20ax y a ++=过(2,3),进而列方程求a 的值．【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．【小试牛刀】【2017全国3理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=,{}(,)B x y y x ==,则A B 中元素的个数为（）. A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合,如图所示,所以A B 表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2.故选B.y=xx 2+y 2=1yxO(三)根据数集、点集满足条件确定参数X 围【例3】设常数a ∈R ,集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0},B ＝{x |x ≥a －1},若A ∪B ＝R ,则a 的取值X 围为( )A ．(－∞,2) B．(－∞,2]C．(2,＋∞) D．[2,＋∞)【分析】先得到A ＝(－∞,1]∪[a ,＋∞),B ＝[a －1,＋∞),再根据区间端点的关系求参数X 围.【点评】求解本题的关键是对a 进行讨论.【小试牛刀】已知P ＝{x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素,则k 的取值X 围为________．【答案】(5,6]【解析】因为P 中恰有3个元素,所以P ＝{3,4,5},故k 的取值X 围为5<k ≤6.(四) 数集、点集与其他知识的交汇【例4】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T,对任意x ∈R,有()()f x T Tf x +=成立.（1）函数()f x x =是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数()(0x f x a a =>且1a ≠）的图象与y x =的图象有公共点,证明：()x f x a =∈M；（3）若函数()sin f x kx =∈M ,某某数k 的取值X 围.【分析】抓住集合M 元素的特征,集合M 是由满足()()f x T Tf x +=的函数构成．【解析】（1）对于非零常数T ,f （x +T ）=x +T ,Tf （x ）＝Tx ．因为对任意x ∈R,x +T =Tx 不能恒成立,所以f （x ）＝x M ．（2）因为函数f （x ）=a x（a >0且a ≠1）的图象与函数y =x 的图象有公共点, 所以方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==xy a y x 有解,消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程的a x =x 解,所以存在非零常数T ,使a T=T ．于是对于f （x ）=a x,有f （x ＋T ）=a x +T = a T ·a x =T ·a x =T f （x ）,故f （x ）=a x ∈M ．即sin （kx －k ＋）= sin kx 成立,则－k ＋=2m ,m ∈Z,即k = －（2m －1）,m ∈Z．综合得,实数k的取值X 围是{k | k = m ,m ∈Z }．【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值X 围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．【小试牛刀】在直角坐标系xoy 中,全集},|),{(R y x y x U ∈=,集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ,已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ,点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点,点Q 是x 轴上的动点,则MPQ ∆周长的最小值为（）A ．24B ．104C ．14D ．248+ 【答案】B【解析】∵点（0，4）到直线cos (4)sin 1x y θθ+-=的距离221d cos sin θθ==+，∴直线cos (4)sin 1x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切,∴集合A 表示除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合, ∴集合A C U 表示圆()2241x y +-=,其对称中心()0,4M如图所示：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点,设M a b '（，）, 则由1 0442082a b a b ⎧⎪⎪⎨++⎪+=⎪-⎩-＝求得4 8a b =⎧⎨=⎩,可得M '（4，8）．设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，）,易得M "（4，-8）,则直线QM ',和线段的交点为P ,则此时,MPQ ∆的周长为10MP PQ QM PM PQ QM M Q QM M Q QM M M ''''''++=++=+=+==,为最小值,(五)与数集、点集有关的信息迁移题【例5】若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ,y ∈A ,则x －y ∈A ,且x ≠0时,1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”,若x ∈A ,y ∈A ,则x ＋y ∈A . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．【小试牛刀】【2017某某某某高三模拟】已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤,若实数λ,μ满足：对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（）A ．{(,)|4}λμλμ+=B ．22{(,)|4}λμλμ+= C ．2{(,)|44}λμλμ-= D ．22{(,)|4}λμλμ-= 【答案】C.【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对(,)λμ所构成的集合为{(,)|11,11}λμλμ-≤≤-≤≤,将其看作点的集合,为中心在原点,(1,1)-,(1,1)--,(1,1)-,(1,1)为顶点的正方形及其内部,A,B,D 选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C 为抛物线,有公共点(0,1)-,故选C. 五、迁移运用1．【2018届某某某某高三上学期一诊模拟】已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值X 围是（）A. 1a <B. 1a ≤C. 2a >D. 2a ≥ 【答案】D【解析】集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<,,A B B B A ⋂=∴⊆,则2a ≥,故选D.2．【2018届某某蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,若A B ⊆,则a 的值为（）A. 2-B. 1-C. 0D. 1 【答案】A【解析】因为{}{}0,1,1,0,3A B a ==-+,且A B ⊆, 所以31a +=,所以2a =-,故选A.3．【2018届某某省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合{}220M x x x =--<,{N x y ==,则M N ⋃=（）A. {}1x x >- B. {}12x x ≤< C. {}12x x -<< D. {}0x x ≥【答案】A【解析】[)[){|12},1,1,2M x x N M N =-<<=+∞∴⋃=,选A.4．【2018届某某省八校高三上学期第一次联考】已知集合{}*2|30 A x N x x =∈-<,则满足条件B A ⊆的集合B 的个数为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C【解析】∵{}{}*2|30 1,2A x N x x =∈-<=,又B A ⊆,∴集合B 的个数为224=个,故选C ． 5．【2018届某某十校12月联考】已知集合{}{}2230,3M x x x N x x =--<=∈≤N , P M N =⋂,则P 中所有元素的和为（） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B【解析】集合{}2230{|13}M x x x x x =--<=-<<, {}{}33,2,1,0,1,2,3N x N x =∈≤=---.{}0,1,2P M N =⋂=,所有元素的和为3.故选B.6．【2018届某某八校高三12月联考】已知集合{}1| ,,|, 3xM y y x x x R N y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-∈==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则（）A. M N =B. N M ⊆C. R M C N =D. R C N M【答案】C【解析】由{}1| ,,|, 3xM y y x x x R N y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-∈==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭得： (],0M =-∞, ()0,N =+∞,则(],0R C N =-∞,故R M C N =,故选C.7．【2018届某某某某市高考模拟联考】设集合{}|13A x x =-≤≤, {}2|log 1B x x =<,则下列运算正确的是（）A. A B A ⋂=B. A B A ⋃=C. A B ⋂=∅D. A B R ⋃= 【答案】B【解析】{}2|1B x log x =<{}|02x x =<<,则A B A ⋃=,故选B .8．【2018届浙东北联盟高三上学期期中考试】已知集合{}1,2a A =, {},B a b =,若12A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭,则A B ⋃为（）A. 1,1,2b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C. 11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. 11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D9．【2018届某某某某市高三上学期第二次模拟】集合{}220A x N x x =∈--<的真子集个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】{}()(){}{}2201200,1A x N x x x N x x =∈--<=∈+-<= 所以真子集的个数为2213-= ,故选C10.【2016全国丙理1】设集合{}(2)(3)0S x x x =--,{}0T x x =>,则S T =（）.A.[]2,3B.(][),23,-∞+∞C.[)3,+∞D.(][)0,23,+∞【答案】 D 【解析】由{}{}32,0S x x xT x x ==>或,得S T ={}0<23.x xx或故选D.11.【2016全国甲理2】已知集合{123}A =，,,{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，,则A B =（）.A.{}1B.{12}，C.{}0123，，，D.{10123}-，，，，【答案】 C【解析】因为()(){}120B x x x x =+-<∈Z，{}12x x x =-<<∈Z ，,所以{}01B =，,所以{}0123A B =，，，.故选C.12.【2016全国乙理1】设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =（）.A.33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】由题意可得()1,3A =,3,2B ⎛⎫=+∞⎪⎝⎭,所以3,32A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选D. 13.【2017全国2理2】设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若1AB =,则B =（）.A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C14．【2017届某某磁县一中高三11月月考】若集合{}2|870,|3x M x N x x P x N ⎧⎫=∈-+<=∉⎨⎬⎩⎭,则M P 等于（）A.{}3,6B.{}4,5C.{}2,4,5D.{}2,4,5,7 【答案】C【解析】因为{}{}{}2|870|17=2,3,4,5,6,|3x M x N x x x N x P x N ⎧⎫=∈-+<=∈<<=∉⎨⎬⎩⎭,所以{}2,4,5MP =,故选C.15．【2016届某某省某某一中高三考前冲刺】已知集合{}∅=-==B A x y x A ,1,则集合B 不可能是（） A ．{}124+<x x x B ．{}1),(-=x y y xC ．{}1-=x yD【答案】D 【解析】{}{}11≥=-==x x x y x A ,{}{}1)12(log 22≤=++-=y y x x y y ,故选D. 16.已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数①()(0)x f x e x =>；②ln ()x f x x =；③()f x =()1sin f x x =+在集合M 中的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】由题对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-即 1212()()1f x f x x x -<-,即对于函数()f x ,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时, 若()f x 为增函数,则0()1f x '<<,若()f x 为减函数,则()1f x '<-,对于①()(0),()0()1x x f x e x f x ex f x ''=>=>∴>,不合题意对于②()2ln 1ln ()0,()x x f x x f x x x -'=>=,取特殊值验证,不合题意对于③()()0f x f x '==>,函数()f x 在(0,)+∞单调递增,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调增区间时有0()1f x '<<,此时只须1x >时可得0()1f x '<<.满足题意对于④()1sin ,,()cos f x x f x x '=+=,函数()f x 在3(2,2)()22k k k Z ππππ++∈单调递减,在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时,在()f x 单调减区间时有()0f x '<,满足题意.17．设{}n a 是公比为q 的等比数列,||1q >,令1(1,2,)n n b a n =+=,若数列{}n b 有连续四项在集合{53,23,19,37,82}--中,则q =（）A ．32-B ．43-C ．23-D ．32【答案】A18.【2015某某高考】已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊗B ＝{(x 1＋x 2,y 1＋y 2)|(x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2)∈B },则A ⊗B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C【解析】如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A ⊗B 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊗B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”,共45个．故A ⊗B 中元素的个数为45.故选C.19.【2016某某省华南师大附中高三5月测试】非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ,G b ∈,都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈,使得对一切G a ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数,⊕为整数的加法；②{}G =偶数,⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量,⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数,⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④【答案】B【解析】根据题意可知①当a ,b 都为非负整数时,a ,b 通过加法运算还是非负整数,且存在一整数0G ∈有00a a a +=+=,所以①为融洽集；③当a ,b 都为平面向量时,两平面向量相加任然为平面向量,且存在零向量通过向量加法满足条件（2）； ②④中找不到满足条件（2）的e ．故选B ．20．【2017年某某武邑中学】若集合(){},,,|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且,(){},,,|04,04,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card E card F +=（）A ．50B ．100C ．150D ．200【答案】D【解析】()()333312341010200card E card F +=++++⨯=,故选D. 21．【2018届某某省某某市多校高三上学期第一次段考】已知集合{}1,2,21A m =--,集合{}22,B m =,若B A ⊆,则实数m =__________．【答案】1【解析】由题意得2211m m m =-⇒=,验证满足22.【2017某某连城期中】设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、a P b∈（除数0b ≠）,则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,有下列命题： ①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q M ⊆,则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是．【答案】①④【点评】本题考查简单的合情推理、新定义问题以及转化与划归思想,属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题的解答都围绕新概念“数域” 对任意a 、b P ∈,都有a b +、a b -、ab 、a P b ∈这一性质展开的.。

参数方程专题

参数方程专题(九十)(第一次作业)1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tsin70°，y ＝2＋tcos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析方法一：将直线参数方程化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos20°，y ＝2＋tsin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B. 方法二：tan α＝cos70°sin70°＝sin20°cos20°＝tan20°，∴α＝20°.另外，本题中直线方程若改为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－tsin70°y ＝2＋tcos70°，则倾斜角为160°.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.4．(优质试题·皖南八校联考)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 为( ) A ．－4或6 B ．－6或4 C ．－1或9D ．－9或1答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1＝5，解得m ＝－4或m ＝6.5．(2014·安徽，理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2答案 D解析由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.6．(优质试题·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin (θ＋π4)，则直线l 和曲线C 的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个答案 B解析直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin (θ＋π4)化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C(2，2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|2＝22＝r.∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B.7．在直角坐标系中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝t 2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________．答案2解析曲线C 可化为y ＝(x －3)2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝2－s代入y ＝(x －3)2，化简解得s 1＝1，s 2＝2，所以|AB|＝12＋12|s 1－s 2|＝ 2.8．(优质试题·人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－ty ＝1＋3t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________．答案 (32，－12) 解析由已知得，直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P(cos α，－1＋sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝|2sin （α＋π3）－2－23|2＝2＋23－2sin （α＋π3）2.∴当α＝π6时，d min ＝3，此时P(32，－12)． 9．(优质试题·衡水中学调研)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．答案 (1)⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数) (2)(2，π2)，(2，π)解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化为普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．10．(优质试题·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．答案 (1)ρ2＋12ρcos θ＋11＝0 (2)153或－153解析 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB|＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 11．(优质试题·江苏，理)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．答案455解析直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P(2s 2，22s)，从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋（－2）2＝2（s －2）2＋45.当s ＝2时，s min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值为455.12．(优质试题·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B.(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求 |PA|·|PB|的值．答案 (1)(92，332) (2)403解析 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为(92，332)．(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6tcos α＋8＝0，则|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝|8cos 2α－sin 2α|＝|8（1＋tan 2α）1－tan 2α|，由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝403. 13．(优质试题·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，曲线C 1上的点P 的极角为π4，Q 为曲线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．答案 (1)x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋2y －3＝0 (2)105解析 (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0. (2)因为点P 的极坐标为(22，π4)，直角坐标为(2，2)，点Q 的直角坐标为(2cos α，sin α)，所以M(1＋cos α，1＋12sin α)，点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105|sin (α＋π4)|，当α＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即α＝π4＋kπ(k ∈Z )时，点M 到直线l 的距离d 的最大值为105.14．(优质试题·天星大联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos (θ＋π4)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|；(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求△MAB 的面积的最大值．答案 (1)2103 (2)1059解析 (1)ρ＝22cos (θ＋π4)可化为ρ＝2cos θ－2sin θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝13t ，y ＝－1＋223t(t 为参数)，代入(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，得t 2－23t －1＝0，设方程的解为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－1，因而|PA|＋|PB|＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2103.(2)将直线l 的参数方程化为普通方程为22x －y －1＝0，设M(1＋2cos θ，－1＋2sin θ)，由点到直线的距离公式，得M 到直线AB 的距离为d ＝|22（1＋2cos θ）＋1－2sin θ－1|3＝|22＋4cos θ－2sin θ|3，最大值为523，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝2103，因而△MAB 面积的最大值为12×523×2103＝1059.1．(优质试题·山西5月联考改编)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋tcos φ，y ＝3＋tsin φ(t 为参数，φ∈[0，π3])，直线l 与⊙C ：x 2＋y 2－2x －23y ＝0交于M ，N 两点，当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．答案 [13，4]解析将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋tcos φ)2＋(3＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－23(3＋tsin φ)＝0，整理得，t 2＋2tcos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝4cos 2φ＋12， ∵φ∈[0，π3]，∴cos φ∈[12，1]，∴|MN|∈[13，4]．2．(优质试题·陕西省西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2，(t 为参数，t ∈R )的距离最短，并求出点D 的直角坐标．答案 (1)x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1) (2)(32，32) 解析 (1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1)．(2)因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ＋3，y ＝－3t ＋2，(t 为参数，t ∈R )，消去t 得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋5.因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行，即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1.①因为x 02＋(y 0－1)2＝1，② 由①②解得x 0＝－32或x 0＝32，所以点D 的直角坐标为(－32，12)或(32，32)．由于点D 到直线y ＝－3x ＋5的距离最短，所以点D 的直角坐标为(32，32)． 3．(2014·课标全国Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值．思路 (1)利用椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)，写出曲线C的参数方程．消去直线l 的参数方程中的参数t 可得直线l 的普通方程． (2)设出点P 的坐标的参数形式．求出点P 到直线l 的距离d ，则|PA|＝dsin30°.转化为求关于θ的三角函数的最值问题，利用辅助角公式asin θ＋bcos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)求解．答案 (1)C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，l ：2x ＋y －6＝0(2)|PA|max ＝2255，|PA|min ＝255解析 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA|＝d sin30°＝255|5sin (θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin (θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin (θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.4．(优质试题·福建)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cost ，y ＝－2＋3sint (t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴。

2025届江淮十校高三第二学期3月第一次测试数学试题

2025届江淮十校高三第二学期3月第一次测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（）A ．13B ．63C ．33D ．232．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（） A ．4B ．3C ．2D ．13．已知函数3sin ()(1)()x xx xf x x m x e e -+=+-++为奇函数，则m =（）A ．12B ．1C ．2D ．34．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 6．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（） A ．8B ．12C ．14D ．107．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（） A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅8．已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（）A ．4B ．289 C ．329D ．3279．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-11．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π12．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（）． 310156二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2010年江南十校高三联考理科数学试题

20XX年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）试题第I卷（选择题共50分）、选择题:1.已知a是实数, （a_i）（1_i）是纯虚数，则a的值为（）A.1B. /C.,2D. _23.设数列｛乱｝的前n项和为S n，若2a8 =6 an，则S9二（）A. 54B. 45C. 36D. 274. 最小二乘法的原理是（）n nA.使得''［y i _（a bi）］最小B.使得''［y i -（a bi）2］最小i M i去n nC.使得' ［y2-（a 亠bi）2］最D.使得''［y i -（a 亠bi）］2最小i 1 i -15. 已知a、b、丨表示三条不同的直线，：•、-表示三个不同平面，有下列四个命题:①若a，b且a//b，则-；〃；②若a、b相交且都在：［外，a//〉，a/厂：，b〃＞，b/厂：，则:-// ■:；③若a _ ：，〉门：=a，b::, a _b，则b.l ;④若 a 二:z，b 二,.，丨_a，丨_b，贝U l.l 二「其中正确的是（）A.①②B.②③C.①④D.③④6.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A. f(x) 2=xB. f(x) 二凶xC. f(x) x_x -__e _e— x I xe 亠eD. f(x)「亠sin x -cosx 1 亠sinx 亠cosx()2 27.双曲线L 一轉 =1(P .0)的左焦点在抛物线 y 2=2px 的准线上，则该双曲线的离心率为( 3 P不等式nlga ：：：(n 「沟a a(a .0)都成立”的一个充分不必要条件是第n 卷(非选择题共100分)二、填空题(25分):11. 在极坐标第中，圆卜*上的点到直线 i(cosv - . 3sin 二)=6的距离的最大值是 .........112. 已知｛a n ｝是等比数列，a 2 =2 , a^-，贝4Sn =1 p ・l|| ・an(n ・N*)的取值范围是 ....... .13. 设P :关于x 的不等式a x -1的解集是｛X|x ：：：0｝；q :函数y =lg(ax 2-x • a)的定义域为R .若p q 是真命题，p q 是假命题，则实数 a 的取值范围是14. 如图，在 OAB 中，点P 是线段OB 及线段AB 延长线所围成的阴影区域 (含边界) 的任意一点，且 OP =xOA + yOB 则在直角坐标平面内，实数对 (x, y)所示的区域在直线y =4的下侧部分的面积是mn =0)给出下列命题:①f(x 匸)是偶函数；4②函数f(x)的图象关于点(二,0)对称;4③ 仁虫…)是函数f(x)的最小值;4P 4，…，贝V 庁2卩4|=二⑤ m =1. n 其中真命题的是.(…….写出所有正确命题的编号)A. 4B. 3C. 2 3338•“对任意的正整数 n ,D. 4A. 0 :: a ：：：1B. 0 :::a1 "29.设 a . {123,4} ,b . {2,4,8,12} 1 、C. 0 :::a ：：：2D. 0 ：：：a ：：： ?或 a .1f(x^x 3ax-b 在区间［1,2］上有零点的概率，则函数A. -B. 5 2 810.已知四面体 C.卩16ABCD 中, D.DA 二DB 二DC 垂直，在该四面体表面上与点 A 距离是 233的点形成一条曲线，这条曲线的长度是()A. -2：- B. 3二C.響D.子15.已知函数 f(x) =msinx ncosx ，且吟是它的最大值，(其中m 、④记函数f(x)的图象在y 轴右侧与直线y专的交点按横坐标从小到大依次记为R ,=1，且DA 、DB 、DC 两两互相 An 为常数且三、解答题（75分）：16.（12分）在锐角ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c.向量帑=（2sin（A • C）,. 3）,I Bn =（cos2B,2cos21），且向量m、n 共线.2⑴求角B的大小；⑵如果b =1，求ABC的面积V A^的最大值•17. （12分）某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周一、周三、周五的课外活动期间开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讨论各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一11111 44442周三1111222223周五11112 33333根据上表:⑴求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；⑵设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量'的分布列和数学期望18.（12 分）如图，在三棱柱ABC—ABG 中，AC 丄BC，AB 丄BB’，AC =BC =BB’=2，D 为AB 的中点，且CD _DA’ .⑴求证：BB1 _平面ABC ；⑵求多面体DBC -A1B1C1的体积；⑶求二面角C - DA’ -G的平面角的余弦值B 1C1 DC巳19.(12分)已知数列｛g｝满足：a’ =2t , t2_俎丄玄丄K =0 , n=2,3,4,|||,(其中t为常数且t=0). ⑴求证：数列｛」｝为等差数列；a n -t⑵求数列｛a n｝的通项公式；⑶设h a^，求数列｛b n｝的前n项和为S n.(n +1)220. (13分)如图，过圆x2y2=4与x的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R.⑴求动点R的轨迹E方程；⑵过曲线E的右焦点作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，记PM -^M F，PN - '2^F ，求证：I「2为定值.221. (14分)设函数 f (x) =x22ln x，用f (x)表示 f (x)的导函数，g(x) =(x2—m)f (x)，其中m 三R，12且m 0 .⑴求函数f (x)的单调区间；⑵若对任意的X1、X2可3,1】都有f"(X1)，g &2)成立，求m实数的取值范围；⑶试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[「(a)]n-2n^f (a n)…2n(2n—2).2010年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）试题参考答案三.解答题：（本人鬆口 G 小瓯人方分）16-（木小理隅分12分）•・H厂舸:（I ） *.*）n 〃 n •； 2sin{ A ■+ C ）（2c r o.v': --------- 1） — >/3m.v2 B =（>2XV /I < (?=：用一"化 2sif7f3cosB — \/3<：os2 ft UH sinZJi = x/3cw2 If .................. 3 分r- tan2Z?- \Z? ••乂 J 说的 A/1Zi<：'p 0 < ii < "/. 0 < 2/：i <.2n2T ・・A 21i - - • 故 R 「....... 6 分36(IJ )，h < J > ^ll ：〃一 jjb = l ・山余弘比川彳U6 、b : = ci 2 +c 2 — 2</<*cosnfy E!|J tr 4 c'・• J3ac — |・•••“&分■ !•i ••••• I ♦ >/3<K ： a 2 +i?f l!|)(2 - V3)uc <； t uc <. —— = 2 +...... 10 分2 - 丁3• • • •:、$ MM 二 ~- — ac < 2 +• X 11 仪a 亠 c =时2442r I v/3△AIJC 的I 他祝域火们为 -------- ・• (12)417.（木小题滿分12分》解f 2 设紋7辅导讲帰在川、周 \ Ml H 都不滿艸的的争彳1 •为、则 ”（〃）_ （1 _ 丄〉（1 -孑XI - ?•》---・ ... 4 分2 3 3 18< H ）役間•各辅廿讲业满丿巫的H 日数为二则的对能収们为OI.2S45数沪{兀）n->: •说I 曲■ s 真••选抒題: 的. 1・IJ木大起共10小丿乩每小懸5分.生毎小题空出的凹个选D 5. B 6 JI 100 分)1J. 7 2.C3. A 久第U 往CC «. B 9. (:10. A12. (4.8)15. GX 貓•••• 0）-（1 ・・j J ）二丄 • 2 3 4RI 1 0 I ? |腕・J ）"： JI ・》（l ：）+ （】-：）莒讥l — A 3 O 1 1 o [1^7/y-2）-c ： •（ J （i-；r （i••;）+（：・（•：）（〕•£）巧-；2 23 2 2 32-/牡—3） l 「； > （ ■•••）'（] 一 r ）（ I ） + （. 7 • （ ^ ）? （） •' —）* • -•- — 4 彳 2 2 3 3/f 」4） l （；）」（J -+（；（：）'（I- j&叱T-（y •訂右•…i （）：分所此前机炒"讨曲分布列如心■•| • .■■•••OMO■ •J • ■ •1■7 •• •■J"4厂一 17 i _l■ 3P——••• •244824 ■ •» 3 • •• ■ 16I ] 7| 3 I *故 /父—0 x — + t x 卜 2 x — + 3 x • + 斗 x …•- t- 5x • • - — — . '••••* 13 • 48 8 2斗 3 16■"18.（本小收满分12分）解：（I ）・・• A （' - lf （：. I ）为M 的屮点・.*. CD 丄/〃，.乂 CD 丄。

2023届湖南省五市十校高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为 A.B. C.或 D.都不对2．若4sin 5α，α是第二象限的角，则tan()4πα-的值等于（） A.43B.7C.34D.-73．给定{},,min ,,,a ab a b b b a ⎧=⎨<⎩已知函数{}2()min ,444f x x x x =-++.若动直线y=m 与函数()y f x =的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为A.(0,4)B.(4,5)C.(5,8)D.(8,)+∞4．如图，把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60︒时，三棱锥D ABC -的体积为（）5．若函数(23,0x y aa -=+>且)1a ≠,则该函数过的定点为（） A.(1,3)B.(0,1)C.(1,0)D.(2,4)6．命题：“0x ∀>，2ln 20x x +>”的否定是（）A.0x ∀>，2ln 20x x +<B.0x ∀>，2ln 20x x +≤C.0x ∃>，2ln 20x x +≤D.0x ∃>，2ln 20x x +<7．[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]11=，[]3.54-=-，[]2.12=．若0x 是函数()ln 26f x x x =+-的零点，则[]0x =（）A.1B.2C.3D.48．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若αβ⊥，//m α，则m β⊥；②若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥；③若m β⊥，//m α，则αβ⊥；④若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（）A.②③B.①④C.②④D.①③ 9．已知命题p ：(0,)2πα∀∈，tan sin αα>，则p ⌝为（） A.(0,)2πα∀∈，tan sin αα≤ B.(0,)2πα∀∉，tan sin αα≤ C.(0,)2πα∃∈，tan sin αα≤ D.(0,)2πα∃∉，tan sin αα≤10．已知指数函数在上单调递增，则的值为（）A.3B.2C.D. 11．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（）A.x y e =B.2ln 2x y x +=-C.3y x x =--D.tan y x =12．圆224240x y x y +-++=的半径和圆心坐标分别为A.1;(2,1)r =-B.2;(2,1)r =-C.2;(2,1)r =-D.1;(2,1)r =-二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知函数()2log ,012,0x x x f x x -<<⎧=⎨<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________ 14．不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+，则(1)f 的值为______16．如图，若集合{}12345A =，，，，，{}246810B =，，，，，则图中阴影部分表示的集合为___三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

2022学年甘肃省古浪县十校联考最后数学试题(含答案解析)

2022学年甘肃省古浪县十校联考最后数学测试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在测试卷卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=k 1x+2（k 1≠0）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y=2k x 在第二象限内的图象交于点C ，连接OC ，若S △OBC =1，tan ∠BOC=13，则k 2的值是（）A ．3B ．﹣12C ．﹣3D ．﹣62．已知关于x 的不等式组﹣1＜2x+b ＜1的解满足0＜x ＜2，则b 满足的条件是（）A ．0＜b ＜2B ．﹣3＜b ＜﹣1C ．﹣3≤b≤﹣1D ．b=﹣1或﹣33．已知，如图，AB//CD,∠DCF=100°，则∠AEF 的度数为（）A ．120°B ．110°C ．100°D ．80°4．我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）8 9 10 户数 2 6 2则关于这10户家庭的月用水量，下列说法错误的是（）A ．方差是4B ．极差是2C ．平均数是9D ．众数是95．如图：在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（）A．75 B．100 C．120 D．1256．如图已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC＝130°，则∠ABE的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线不能相等D．正方形的对角线相等且互相垂直8．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．12B．24C．14D．139．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN∥AB，则点O是△ABC的( )A．外心B．内心C．三条中线的交点D．三条高的交点10．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（）A ．8815 2.5x x +=B ．8184 2.5x x +=C ．88152.5x x =+D ．8812.54x x =+ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是_____(填“甲”或“乙”)．12．如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数()y x 0xk =<的图象经过点C ，则k 的值为．13．因式分解：2m 2﹣8n 2= ．14．如图，二次函数y=a （x ﹣2）2+k （a ＞0）的图象过原点，与x 轴正半轴交于点A ，矩形OABC 的顶点C 的坐标为（0，﹣2），点P 为x 轴上任意一点，连结PB 、PC ．则△PBC 的面积为_____．15．如图，在直角坐标平面xOy 中，点A 坐标为()3,2，90AOB ∠=，30OAB ∠=，AB 与x 轴交于点C ，那么AC ：BC 的值为______．16．一个几何体的三视图如左图所示，则这个几何体是( )A．B．C．D．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y 轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论；（3）若点M的坐标为（4，-1），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，直接写出此时点E的坐标．18．（8分）如图1，四边形ABCD，边AD、BC的垂直平分线相交于点O．连接OA、OB、OC、OD．OE是边CD的中线，且∠AOB+∠COD＝180°（1）如图2，当△ABO是等边三角形时，求证：OE＝12 AB；（2）如图3，当△ABO是直角三角形时，且∠AOB＝90°，求证：OE＝12 AB；（3）如图4，当△ABO是任意三角形时，设∠OAD＝α，∠OBC＝β，①试探究α、β之间存在的数量关系？②结论“OE＝12AB”还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．19．（8分）计算﹣14﹣23116()|3|2÷-+-20．（8分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？（2）若往口袋中再放入x 个白球和y 个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y 与x 之间的函数关系式． 21．（8分）解不等式组：3(1)72323x x x x x --<⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来. 22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m ，楼间距为AB ，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA ；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA ，已知42CD m =．()1求楼间距AB ；()2若男生楼共30层，层高均为3m ，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？(参考数据：sin32.30.53≈，cos32.30.85≈，tan32.30.63≈，sin55.70.83≈，cos55.70.56≈，tan55.7 1.47)≈23．（12分）（1）（问题发现）小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 的中点，且满足∠ADE=60°，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．（1）小明发现，过点D 作DF//AC ，交AC 于点F ，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD 与DE 的数量关系：；（2）（类比探究）如图2，当点D 是线段BC 上（除B ，C 外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）（拓展应用）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD=BC （其它条件不变）时，请直接写出△ABC 与△ADE 的面积之比．24．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC 与未折断树杆AB 形成53︒的夹角．树杆AB 旁有一座与地面垂直的铁塔DE ，测得6BE =米，塔高9DE =米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB 落在地面的影子FB 长为4米，且点F 、B 、C 、E 在同一条直线上，点F 、A 、D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（结果精确到0.1，参考数据：sin530.7986︒≈，cos530.6018︒≈，tan53 1.3270︒≈）．2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【答案解析】如图，作CH ⊥y 轴于H ．通过解直角三角形求出点C 坐标即可解决问题.【题目详解】解：如图，作CH ⊥y 轴于H ．由题意B （0，2）， ∵112OB CH ⋅⋅=， ∴CH=1， ∵tan ∠BOC=1,3CH OH = ∴OH=3，∴C （﹣1，3），把点C （﹣1，3）代入2k y x =，得到k 2=﹣3，故选C ．【答案点睛】本题考查反比例函数于一次函数的交点问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2、C【答案解析】根据不等式的性质得出x 的解集，进而解答即可．【题目详解】∵-1＜2x+b ＜1 ∴1122b b x ---＜＜， ∵关于x 的不等式组-1＜2x+b ＜1的解满足0＜x ＜2， ∴102122b b --⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：-3≤b≤-1，故选C ．【答案点睛】此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x 的解集．3、D【答案解析】先利用邻补角得到∠DCE=80°，然后根据平行线的性质求解．【题目详解】∵∠DCF=100°，∴∠DCE=80°，∵AB∥CD，∴∠AEF=∠DCE=80°．故选D．【答案点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．4、A【答案解析】分析：根据极差=最大值-最小值；平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，以及方差公式S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]，分别进行计算可得答案．详解：极差：10-8=2，平均数：（8×2+9×6+10×2）÷10=9，众数为9，方差：S2=110[（8-9）2×2+（9-9）2×6+（10-9）2×2]=0.4，故选A．点睛：此题主要考查了极差、众数、平均数、方差，关键是掌握各知识点的计算方法．5、B【答案解析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【题目详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．故选：B．【答案点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．6、B【答案解析】如图，连接OA，OB，OC，OE．想办法求出∠AOE即可解决问题．【题目详解】如图，连接OA，OB，OC，OE．∵∠EBC+∠EDC＝180°，∠EDC＝130°，∴∠EBC＝50°，∴∠EOC＝2∠EBC＝100°，∵AB＝BC＝CE，∴弧AB＝弧BC＝弧CE，∴∠AOB＝∠BOC＝∠EOC＝100°，∴∠AOE＝360°﹣3×100°＝60°，∴∠ABE＝12∠AOE＝30°．故选：B．【答案点睛】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7、D【答案解析】根据菱形，平行四边形，正方形的性质定理判断即可．【题目详解】A.菱形的对角线不一定相等， A 错误；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，B 错误；C. 正方形的对角线相等，C 错误；D.正方形的对角线相等且互相垂直，D 正确；故选：D ．【答案点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8、D【答案解析】过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据旋转性质可知，∠B′=∠B ，把求tanB′的问题，转化为在Rt △BCD 中求tanB ．【题目详解】过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ．根据旋转性质可知，∠B′=∠B ．在Rt △BCD 中，tanB=13CD BD =， ∴tanB′=tanB=13．故选D ．【答案点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．9、B【答案解析】利用平行线间的距离相等，可知点O 到BC 、AC 、AB 的距离相等，然后可作出判断.【题目详解】解：如图1，过点O 作OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F .图1//MN AB ，OD OE OF ∴==（夹在平行线间的距离相等）.如图2：过点O 作OD BC '⊥于D '，作于E ，作OE AC '⊥于F '.由题意可知： OD OD '=，OE OE '=，OF OF '=，∴OD =OE OF '''= ，∴图2中的点O 是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O 是ABC ∆的内心，故选B.【答案点睛】本题考查平行线间的距离，角平分线定理，三角形的内心，解题的关键是判断出OD OE OF ==.10、D【答案解析】分析：根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．详解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：8812.54x x =+．故选D ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，列出方程即可．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、甲．【答案解析】乙所得环数的平均数为：0159105++++=5， S 2=1n[21x x （－）+22x x （－）+23x x （－）+…+2n x x （－）] =15[205（－）+215（－）+255（－）+295（－）+2105（－）] =16.4，甲的方差＜乙的方差，所以甲较稳定.故答案为甲.点睛：要比较成绩稳定即比方差大小，方差越大，越不稳定；方差越小，越稳定.12、－6【答案解析】分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴A （﹣3，2）.∵点A 在反比例函数()y x 0x k =<的图象上， ∴23k =-，解得k=－6. 【题目详解】请在此输入详解！13、2（m+2n ）（m ﹣2n ）．【答案解析】测试卷分析：根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．解：2m 2﹣8n 2，=2（m 2﹣4n 2），=2（m+2n ）（m ﹣2n ）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．14、4【答案解析】根据二次函数的对称性求出点A 的坐标，从而得出BC 的长度，根据点C 的坐标得出三角形的高线，从而得出答案．【题目详解】∵二次函数的对称轴为直线x=2， ∴点A 的坐标为(4，0)，∵点C 的坐标为(0，－2)，∴点B 的坐标为(4，－2)， ∴BC=4，则BCP 4224S =⨯÷=．【答案点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型．理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键．15、233 【答案解析】过点A 作AD ⊥y 轴，垂足为D ，作BE ⊥y 轴，垂足为E.先证△ADO ∽△OEB ，再根据∠OAB ＝30°求出三角形的相似比，得到OD :OE=2∶3，根据平行线分线段成比例得到AC :BC=OD :OE=2∶3=233【题目详解】解：如图所示：过点A 作AD ⊥y 轴，垂足为D ，作BE ⊥y 轴，垂足为E .∵∠OAB ＝30°，∠ADE ＝90°，∠DEB ＝90°∴∠DOA+∠BOE ＝90°，∠OBE+∠BOE ＝90°∴∠DOA=∠OBE∴△ADO ∽△OEB∵∠OAB ＝30°，∠AOB ＝90°，∴OA ∶OB 3∵点A 坐标为（3，2）∴AD=3，OD=2∵△ADO ∽△OEB∴3AD OA OE OB==∴OE 3=∵OC ∥AD ∥BE根据平行线分线段成比例得：AC:BC=OD:OE=2.【答案点睛】本题考查三角形相似的证明以及平行线分线段成比例.16、A【答案解析】根据主视图和左视图可知该几何体是柱体，根据俯视图可知该几何体是竖立的三棱柱.【题目详解】根据主视图和左视图可知该几何体是柱体，根据俯视图可知该几何体是竖立的三棱柱.主视图中间的线是实线. 故选A.【答案点睛】考查简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【答案解析】（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根据平行线的性质得出即可；（2）求出∠ABO=∠PDA，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根据垂直定义得出即可；（3）分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可．【题目详解】（1）证明：如图1．∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），∴∠AOB=90°．∵DP⊥AB于点P，∴∠DPB=90°，∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，∴∠PBO+∠PDO=180°，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，∴∠CBO+∠ODF=12（∠PBO+∠PDO）=90°，∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，∴∠CBO=∠DFO，∴DF∥CB．（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB，证明：延长DF交CB于点Q，如图2，∵在△ABO中，∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，∵在△APD中，∠APD=90°，∴∠PAD+∠PDA=90°，∴∠ABO=∠PDA，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，∴∠CBO=∠CDQ，∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，∴∠CDQ+∠DCQ=90°，∴在△QCD中，∠CQD=90°，∴DF⊥CB．（3）解：过M作MN⊥y轴于N，∵M（4，-1），∴MN=4，ON=1，当E在y轴的正半轴上时，如图3，∵△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，∴12×2×OE+12×（2+4）×1-12×4×（1+OE）=58×12×2×4，解得：OE=72，当E在y轴的负半轴上时，如图4，1 2×（2+4）×1+12×（OE-1）×4-12×2×OE=58×12×2×4，解得：OE=32，即E的坐标是（0，72）或（0，-32）．【答案点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．18、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①α+β＝90°；②成立，理由详见解析．【答案解析】(1)作OH ⊥AB 于H ，根据线段垂直平分线的性质得到OD =OA ，OB =OC ，证明△OCE ≌△OBH ，根据全等三角形的性质证明；(2)证明△OCD ≌△OBA ，得到AB =CD ，根据直角三角形的性质得到OE =12CD ，证明即可； (3)①根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；②延长OE 至F ，是EF =OE ，连接FD 、FC ，根据平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质证明．【题目详解】(1)作OH ⊥AB 于H ，∵AD 、BC 的垂直平分线相交于点O ，∴OD =OA ，OB =OC ，∵△ABO 是等边三角形，∴OD =OC ，∠AOB =60°，∵∠AOB +∠COD ＝180°∴∠COD =120°，∵OE 是边CD 的中线，∴OE ⊥CD ，∴∠OCE =30°，∵OA =OB ，OH ⊥AB ，∴∠BOH =30°，BH =12AB ，在△OCE 和△BOH 中，OCE BOH OEC BHO OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OE =BH ，∴OE =12AB ； (2)∵∠AOB =90°，∠AOB +∠COD =180°，∴∠COD =90°，在△OCD 和△OBA 中，OD OA COD BOA OC OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCD ≌△OBA ，∴AB =CD ，∵∠COD =90°，OE 是边CD 的中线，∴OE =12CD ， ∴OE =12AB ； (3)①∵∠OAD =α，OA =OD ，∴∠AOD =180°﹣2α，同理，∠BOC =180°﹣2β，∵∠AOB +∠COD =180°，∴∠AOD +∠COB =180°，∴180°﹣2α+180°﹣2β=180°，整理得，α+β=90°；②延长OE 至F ，使EF =OE ，连接FD 、FC ，则四边形FDOC 是平行四边形，∴∠OCF +∠COD =180°，FC OA =，∴∠AOB =∠FCO ，FC OA FCO AOB OC OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FCO ≌△AOB ，∴FO =AB ，∴OE =12FO =12AB ．【答案点睛】本题是四边形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．19、1【答案解析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【题目详解】原式=﹣1﹣4÷14+27=﹣1﹣16+27 =1．【答案点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序．20、（1）.（2）. 【答案解析】测试卷分析：（1）根据取出黑球的概率=黑球的数量÷球的总数量得出答案；（2）根据概率的计算方法得出方程，从求出函数关系式．测试卷解析：（1）取出一个黑球的概率（2）取出一个白球的概率与的函数关系式为：．考点：概率21、x≥35 【答案解析】分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可.详解：()3172323x x x x x ⎧--<⎪⎨--≤⎪⎩①②，由①得，x ＞﹣2；由②得，x≥35，故此不等式组的解集为：x≥35．在数轴上表示为：．点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22、（1）AB 的长为50m ；（2）冬至日20层(包括20层)以下会受到挡光的影响，春分日6层(包括6层)以下会受到挡光的影响．【答案解析】()1如图，作CM PB ⊥于M ，DN PB ⊥于.N 则AB CM DN ==，设.AB CM DN xm ===想办法构建方程即可解决问题． ()2求出AC ，AD ，分两种情形解决问题即可．【题目详解】解：()1如图，作CM PB ⊥于M ，DN PB ⊥于.N 则AB CM DN ==，设AB CM DN xm ===．在Rt PCM 中，()tan32.30.63PM x x m =⋅=，在Rt PDN 中，()tan55.7 1.47PN x x m =⋅=，42CD MN m ==，1.470.6342x x ∴-=，50x ∴=，AB ∴的长为50m ．()2由()1可知：31.5PM m=，()904231.516.5AD m∴=--=，9031.558.5AC=-=，16.53 5.5÷=，58.5319.5÷=，∴冬至日20层(包括20层)以下会受到挡光的影响，春分日6层(包括6层)以下会受到挡光的影响．【答案点睛】考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23、（1）AD=DE；（2）AD=DE，证明见解析；（3）13．【答案解析】测试卷分析：本题难度中等．主要考查学生对探究例子中的信息进行归纳总结．并能够结合三角形的性质是解题关键．测试卷解析：（10分）（1）AD=DE．（2）AD=DE．证明：如图2，过点D作DF//AC，交AC于点F,∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DF//AC，∴∠BDF=∠BFD=60°∴△BDF是等边三角形，BF=BD，∠BFD=60°，∴AF=CD，∠AFD=120°．∵EC是外角的平分线，∠DCE=120°=∠AFD．∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD．∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，∴∠FAD=∠EDC．∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；（3）13．考点：1．等边三角形探究题；2．全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的判定与性质．24、9.6米．【答案解析】测试卷分析：要求这棵大树没有折断前的高度，只要求出AB和AC的长度即可，根据题目中的条件可以求得AB和AC的长度，即可得到结论．测试卷解析：解：∵AB⊥EF，DE⊥EF，∴∠ABC=90°，AB∥DE，∴△FAB∽△FDE，∴AB FBDE FE=，∵FB=4米，BE=6米，DE=9米，∴4946AB=+，得AB=3.6米，∵∠ABC=90°，∠BAC=53°，cos∠BAC=ABAC，∴AC=cosABBAC∠=3.60.6=6米，∴AB+AC=3.6+6=9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．点睛：本题考查直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．。

专题8 化学键oc

专题8 化学键高考回眸。

．（2009海南高考）在以离子键为主的化学键中常含有共价键的成分。

下列各对原子形成化学键中共价键成分最少的是:A．Li，F B．Na，F C．Na，C1 D．Mg，O例题示范：例1：关于化学键的下列叙述中，正确的是（）A．离子化合物中可能含有共价键B．共价化合物中可能含有离子键C．离子化合物中只含离子键D．共价键只能存在于化合物中例2：下列化合物中既存在离子键，又存在极性键的是A．H2O B．NH4Cl C．NaOH D．Na2O2例3：下列分子中所有原子都满足最外层8电子结构的是A．光气(COCl2) B．六氟化硫C．二氟化氙D．三氟化硼例4：下列物质的电子式书写正确的是A．NaCl B．H2SC．－CH3 D．NH4I例5：下列实验事实不能用氢键来解释的是A．冰的密度比水小，能浮在水面上B．接近沸点的水蒸气的相对分子质量测量值大于18C．邻羟基苯甲醛的沸点低于对羟基苯甲醛D．H2O比H2S稳定巩固提升2.（08年全国理综Ⅱ·8）对于IV A族元素，下列叙述中不正确的是A．SiO2和CO2中，Si和O，C和O之间都是共价键B．C、Si和Ge的最外层电子数都是4，次外层电子数都是8C．CO2和SiO2都是酸性氧化物，在一定条件下都能和氧化钙反应D．该族元素的主要化合价式－4和＋23（09四川卷10）X、Y、Z、M是元素周期表中前20号元素，其原子序数依次增大，且X、Y、Z相邻。

X的核电荷数是Y是核外电子数的一半，Y与M可形成化合物2M Y。

下列说法正确的是A. 还原性：X的氧化物>Y的氧化物>Z的氢化物B. 简单离子的半径：M的离子>Z的离子>Y的离子>X的离子C. YX2、M2Y都是含有极性键的极性分子D. Z 元素的最高价氧化物的水化物的化学式为HZO 44. （09海南卷10）门捷列夫在描述元素周期表时，许多元素尚未发现，但他为第四周期的三种元素留下了空位，并对它们的一些性质做了预测，X 是其中的一种“类硅”元素，后来被德国化学家文克勒发现，并证实门捷列夫当时的预测相当准确。

江西省九江市十校2023-2024学年高三第二次联考数学试题

江西省九江市十校2023-2024学年高三第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}012M =,,，{}2|1N x x =∈≤Z ，则()M N =R I ð（） A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0D ．1-2．已知复数z 满足i 2i z =-，其中i 为虚数单位，则2i z=+（） A ．43i 5+-B ．43i5+ C ．35i 4+- D ．34i 5+3．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．160-B ．160C ．80D ．80-4．已知火箭在t 时刻的速度为()V t （单位：千米/秒），质量为()m t （单位：千克），满足()()0lnm V t V u m t =+（u 为常数），0V 、0m 分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量01000m =千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为00V =，经过1t 秒后的速度()12V t =千米/秒，此时火箭质量()1800m t =千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为（）（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）． A ．4B ．5C ．6D ．75．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2A ，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（）A ．C 的准线方程为2x =-B ．AFO V 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得POF V 为等边三角形6．已知在四边形ABCD 中，22AC BC ==，π6ACB ACD ∠=∠=，2π3ADC ∠=，则BD 的长为（）A B CD7．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的上顶点为P ，离心率为12，过其左焦点倾斜角为30°的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若PAB V 的周长为16，则E 的方程为（）A ．22143x y +=B ．221129x y +=C ．2211612x y +=D ．2213627x y +=8．已知函数()()21,2231,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩ ，若方程()()12f f x =的实根个数为（） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12二、多选题9．已知0a >且1a ≠，满足2x a =，8y a =，则（） A ．若2a =，则4x y += B ．若1x y +=，则16a = C ．若2a >，则4x y +<D ．若1x y +<，则16a >10．已知()πcos 2f x x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0ω>，若函数()f x 的图象关于π3x =-对称，且函数()f x 在4π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()π1f =C ．5π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．()4π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212n n n a a a ++=+，若120a a =≠，则（）A ．{}12n n a a +-是等比数列B ．{}2n n a a +-是等比数列C ．{}12n n S S +-是等差数列D ．{}212n n a S +-是等差数列三、填空题12．已知锐角α满足3sin 4cos 4αα+=，则tan2α=．13．将甲，乙，丙三名志愿者分配到A ，B ，C 三个社区服务，每人分配到一个社区且每个社区至多分配一人，则在乙分配到B 社区的条件下，甲分配到A 社区的概率为．14．将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体积之和的最大值为．四、解答题15．据统计，截止2023年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计M 社区100户居民的网上购物情况如下图表所示：(1)是否有99.9%的把握认为M 社区的居民是否喜欢网上购物与年龄有关？(2)用频率估计概率，现从M 社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民人数为X ，()P X k =表示20位居民中有K 位居民喜欢网上购物的概率，当()P X k =取得最大值时，求k 的值．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．16．在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，E ，F 分别为11A B ，AC 的中点，EF=(1)求证：AE BC ⊥；(2)若2AE =，求二面角1C AA B --的正弦值．17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，点()3,4P 在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若直线PA ，PB 的斜率互为倒数，证明：直线l 过定点．18．已知函数()()ln f x x a =+，直线:l y x =与曲线y =f x 相切． (1)求实数a 的值；(2)若函数()()e 1xm F x f x x x =+-+有三个极值点1x ，2x ，3x ，求实数m 的取值范围．19．已知无穷数列{}n a 中，0n a ≥，记{}12max ,,,n n A a a a =L ，{}12min ,,n n n B a a ++=L ，n n n d A B =-．(1)若{}n a 为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即*n ∀∈N ，4n n a a +=），直接写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；(2)若{}n a 为周期数列，证明：*0n ∃∈N ，使得当0n n >时，n d 是常数；(3)设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=L 的充分必要条件为{}n a 为公差为d 的等差数列．。