余角和补角2
7下2.1余角与补角2
余角与补角
平度朝阳中学 郭晓燕
胶莱河大坝的底部是石块堆积而成,量角 器无法伸入大坝底部测量,如何测量大坝的倾 斜角?（∠1即为倾斜角） 胶莱河大坝
1
余
胶莱河大坝的底部是石块堆积而成,量角 器无法伸入大坝底部测量,如何测量大坝的倾 斜角?（∠1即为倾斜角） ∠1=180°- ∠2 胶莱河大坝
所以∠AOC =∠BOD D
借助三角板尽可能多的画出∠AOB的余角。
C E
A
1
∠AOC和∠BOD的大 小有什么关系？为 你发现了什么？ 什么？
B
2 O
D
N
A B
∠1=∠2 ON⊥DE于O
1 2 3 D O 4 E
图中∠3与∠4有什么关系？为什么？
因为∠3是∠1的余角, ∠4也是∠1的余角， 所以∠3＝∠4。 （同角的余角相等）
因为∠1 +∠3=90°，
所以∠1 与∠3互余。
胶莱河大坝
3
1
N A B
∠1=∠2 ON⊥DE于O
1 2 3 D O 4 E
在上图中,还有哪些角互为余角?
N
A B
1 2 3 D O 4 E
如果两个角的和是平角，那 么称这两个角互为补角。(互补)
胶莱河大坝的底部是石块堆积而成,量角 器无法伸入大坝底部测量,如何测量大坝的倾 斜角? （∠1即为倾斜角） ∠1=180°- ∠2
N
A B
∠1=∠2 ON⊥DE于O
1 2 3 D O 4 E
在上图中,各角与∠3有什么关系？
N
A B
∠1=∠2
ON⊥DE于O
如果两个角的和是直角，
1 2 那么称这两个角互为余角。（互余） 3 D O 4 E
余角和补角2
再 见
（2）互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？ ）互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
（3）∠1 + ∠2 + ∠3 ）
= 180°,能说∠1 、∠2、 ∠3 互补吗？ 互补吗？ ° 能说 ∠ 、
（4）所有的角都有余角，补角？ 所有的角都有余角，补角？ 所有的角都有余角
二、看谁答得快
∠α 30° ° 45° ° 62°23′ ° ∠α 的余角 60 ° 45 ° ∠α 的补角 150 ° 135 ° 117 ° 37 ′
∠3
相等的角 互补的角
∠2=∠4 , ∠
∠AOC=∠BOC=∠DOE=900 ∠ ∠
∠1=∠3 ∠
∠AOE
∠DOB
大显身手 已知∠1与∠2互余，∠2与∠3 互补， ∠3=155°，求∠1的度 数？
本节课有何收获？ 本节课有何收获？
1余角补角概念及应用 余角补角概念及应用 如果两个角的和等于 和等于90° 直角 直角)就 如果两个角的和等于 ° (直角 就 互余” 说这两个角 “互余” 如果两个角的和等于 和等于180° (平角 ， 平角)， 如果两个角的和等于 ° 平角 互补” 就说这两个角 “互补” 2余角补角性质及应用 余角补角性质及应用 同 （等） 角的余角相等 同 （等） 角的补角相等
1
α
2
1
O
B D
α
2
β
(2)图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关系？ 为什么？ 因 为 ∠ 1 = 9 0 ° - ∠ α ； ∠ 2 = 9 0 ° - ∠° α °
因 为 ∠1 = 9 0 -∠ α ； ∠ 2 = 9 0 -∠ β
所 以 ∠ 1 = ∠ 2 又因为∠α=∠β
4.3.3余角和补角 (第2课时)
教师：提出问题，引导、画图并举例 说明. 学生：根据已有知识思考、回答、认 识理解，学会画图，认识始边，终边. 总结:谁在前谁为始边， 后为终边， 如： 东偏南 60°，即东为始边，向南旋转 确定角的度数为 60°.不能弄错角.
尝 中，发现灯塔 A 在它南偏 东 60°的方向上。同时，在它北偏东 40°、南偏 西 10°、西北方向上又分别发现了客轮 B、货轮 C 和海岛 D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客 轮 B 、货轮 C 和海岛 D 方向的射线． 解：
自 主 探 究
【问题１】 如图： ∠1 与∠2 互补， ∠3 与∠4 互补 ， 教师：提出问题， 如果∠1＝∠3,那么∠2 与∠4 相等吗？为什么？ 学生：尝试分析，怎样说明、验证∠2 与∠4 的关系？组内讨论、分析. 师：根据学生阐述情况，引导学生证 明得出结论. 2 1 说明：验证方法是多样的，注意倾听 分析：怎么验证∠2 与∠4 相等？测量、叠合、理 学生的方法，评判、鼓励. 论验证. （ 组织学生讨论解决。 ） 结论：补角性质：等角（或同角）的补角相等 【问题 2】 如图： ∠1 与∠2 互余， ∠3 与∠4 互余 ，
认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位 1.通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质. 2.方位角的实际应用.
【教学环节安排】
环 节 情 境 引 入 教 学 问 题 设 计 教学活动设计
教师提出问题，学生回顾回答．为本 节课的学习做准备.
【问题】 什么是互余的角？什么是互补的角？两 角互补，两角互余与位置有关吗？
教师：出示例 4，引导学生分析，板 演出所求方位角并标明． 学生：理解，认识，尝试画出． 师：出示题目，鼓励学生分析，写出 过程．
解：
展 示 作 业 设 计
数学补角和余角的概念
数学补角和余角的概念
数学中的角是描述两条射线或线段之间的旋转的概念。
当两条射线或
线段相交时，形成了一个角，可以用度数或弧度来度量。
本文将重点
介绍数学中的补角和余角的概念。
一、补角的概念
所谓补角，是指两个角的和等于90度的角。
比如，如果两个角的度数
分别是40度和50度，那么它们的补角就是由这两个角组成的角，其
度数为90度减去40度再减去50度，即为90度减去90度等于0度。
因此，两个角40度和50度的补角是0度。
二、余角的概念
余角是指两个角的和等于180度的角。
举个例子，如果某个角的度数
为60度，那么它的余角就是钝角120度；如果某个角的度数为30度，则其余角为150度。
三、其他注意事项
1. 补角和余角是角度的概念。
当我们用弧度来度量角的时候，其对应
的概念分别是补角和余角的弧度。
2. 补角和余角是互补的，即它们的和等于180度。
因此，在计算某个
角的补角或余角时，我们只需要用90度或180度减去该角度即可。
3. 在解题时，补角和余角的概念非常常用，特别是在数学中的三角函
数中，例如正弦、余弦和正切等函数的定义和计算中，常常用到补角
和余角的概念。
总的来说，补角和余角是数学中非常基础而重要的概念。
掌握了它们的概念和计算方法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
余角和补角的概念及性质的运用(2)
符号语言因为∠1与∠2互为余角/∠1与∠2互余/∠1是∠2的余角/∠2是∠1的余角所以∠1+∠2=90°思考：如图，∠COA=∠BOD=90°，图形中有哪几对余角.余角的性质：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等.简单说成：同角的余角相等.符号语言：因为∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2.余角的性质：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等.简单说成：等角的余角相等符号语言：因为∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∠3=∠4，所以∠1=∠2.环节二:填表，并说说你发现了什么规律？∠1 30°45°40°20°∠2 150°135°140°160°∠1+∠2补角:如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 即其中每一个角是另一个角的补角.注意:①可以理解为补角是两个角的特殊数量关系.②互为补角的两个角与位置无关.符号语言因为∠1与∠2互为补角/∠1与∠2互补/∠1是∠2的补角/∠2是∠1的补角所以∠1+∠2=180°思考：如图，∠COA=∠BOD=180°，∠1、∠2、∠3中有哪几对补角.补角的性质：如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等.简单说成：同角的补角相等符号语言：因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2.补角的性质：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等. 简单说成：等角的补角相等符号语言：因为∠1+∠4=180°，∠2+∠3=180°，∠3=∠4，所以∠1=∠2.课堂练习〔难点稳固〕°，那么它的余角是，它的补角是.解析：90°-50°=40°，180°-50°=130°.∠1与∠2互余，∠3与∠2互补，且∠3=120°，那么∠1= .解析：因为∠3+∠2=180°，∠3=120°，所以∠2=60°，又因为∠1+∠2=90°，所以∠1=30°.∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，且∠3=50°，那么∠1= .解析：∠1和∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等，所以∠1＝∠3=50°.小结。
第七课时余角与补角(2)(方位角)
B
1 2 A
东
东
例2:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方 向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°) 方向上又分别发现了客轮 B, 货轮 C 和海岛 D. 仿照表示灯塔方位 的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
∴ 射线 OA 的方向就是南偏东 60°，即灯塔A所在的方向。 射线OB的方向就是北偏东40°， 即客轮B所在的方向。
北 D E 45° 45° 西 C H 射线OA OB OC OD
射线OE （2）西北方向:_________ 射线OF 西南方向:__________ 东 A 射线OG 东南方向:__________
O
F
B
南
射线OH 东北方向 :__________ G
北
（3）南偏西25°
B 西 70° O 60° 25° A 南
32°
∠AOB=180°－32°－43°
=105°
43°
说出B在A的 北偏东40°
那么A在B的 南偏西40°
北
● ●
B B
西
B
●
40 40° ° 70°
●
A
65°
●B
东
●
B
南
A看B的方向是北偏东30°，那么B看 A的方向是（ C ）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°
（C）南偏东30° （D）南偏西30°
5米
西
B 500
400
8 、 12
C
射线OA 东 北偏西70° 射线OB 南偏东60° 射线OC
例１ 如图，ＯＡ是表示北偏东３０°方向的一条 射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的角：
人教版七年级上数学：4.3.3余角和补角(2)学案
2143西北西南东南东北北西南东数学：4.3.3《余角和补角（2）》学案（人教版七年级上）【学习目标】：1、掌握余角和补角的性质。
2、了解方位角，能确定具体物体的方位。
【重点难点】掌握余角和补角的性质；方位角的应用； 【导学指导】 一、知识链接1.70°的余角是 ，补角是 ；2.∠α（∠α <90°）的它的余角是 ，它的补角是 ； 二、自主学习 1.探究补角的性质：例3、如图， ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， ∠1= ∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？分析：（1）∠1与∠2互补，∠2等于什么？∠2=1800- ，∠3与∠4互补，∠4等于什么？ ∠4=1800 - 。
（2）当∠1= ∠3时，∠2与∠4有什么关系？为什么？∠2=∠4（等量减等量，差相等）上面的结论，用文字怎么叙述？补角的性质：等角的 相等。
2．探究余角的性质：如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？余角性质：等角的 相等 3．方位角：（1）认识方位：正东、正南、正西、正北、东南、 西南、西北、东北。
（2）找方位角：乙地对甲地的方位角 ； 甲地对乙地的方位角1 2 3 4南北西例4:如图.货轮O 在航行过程中,发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C 和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C 和海岛D 方向的射线。
(师生共同完成)【课堂练习】：1、α∠和β∠都是AOB ∠的补角，则α∠ β∠；2、如果9031,9021=∠+∠︒=∠+∠，则32∠∠与的关系是 ， 理由是 ；3、A 看B 的方向是北偏东21°，那么B 看A 的方向（ ）A 南偏东69°B 南偏西69°C 南偏东21°D 南偏西21°4、在点O 北偏西60°的某处有一点A ，在点O 南偏西20°的某处有一点B ，则∠AOB 的度数是（ ） A 100° B 70° C 180° D 140° 【要点归纳】：补角的性质：余角的性质：【拓展训练】：1. 如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？【总结反思】：2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图，两轮船同时从O 点出发，一艘沿北偏西50°方向直线行驶，另一艘沿南偏东25°方向直线行驶，2小时后分别到达A ，B 点，则此时两轮船行进路线的夹角∠AOB 的度数是（ ）A.165°B.155°C.115°D.105°2．锐角4720'的余角是( ) A.4240'B.4280'C.5240'D.13240'3．在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A.南偏西50°B.南偏西40°C.北偏东50°D.北偏东40°4．下列方程的变形中，正确的是（ ） A ．由3+x ＝5，得x ＝5+3B ．由3x ﹣（1+x ）＝0，得3x ﹣1﹣x ＝0C ．由102y =，得y ＝2 D ．由7x ＝﹣4，得74x =-5．一个两位数的个位数字是x ，十位数字是y ，这个两位数可表示为（ ） A.xyB.C.D.6．如果代数式4y 2－2y ＋5的值是7，那么代数式2y 2－y ＋1的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．4 7．若代数式2x a y 3z c与4212b x y z -是同类项，则（ ） A.a=4，b=2，c=3 B.a=4，b=4，c=3C.a=4，b=3，c=2D.a=4，b=3，c=48．下列代数式中：1x ，2x y +，213a b ，x y π-，54y x，0，整式有（ ） 个 A.3个B.4个C.5个D.6个9．若一个代数式与代数式2ab 2+3ab 的和为ab 2+4ab-2，那么，这个代数式是（ ） A ．3ab 2+7ab-2 B ．-ab 2+ab-2 C ．ab 2-ab+2 D ．ab 2+ab-2 10．和数轴上的点一一对应的是（ ） A ．整数 B ．实数 C ．有理数 D ．无理数11．实数1 ，1- ，0 ，12－ 四个数中，最大的数是（ ） A.0B.1C.1-D.12－12．冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作＋5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作 A ．7℃ B ．－7℃ C ．2℃ D ．－12℃ 二、填空题13．若一个角是34︒，则这个角的余角是_______︒.14．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB=40°，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为_____．15．有甲、乙两桶油，从甲桶到出14到乙桶后，乙桶比甲桶还少6升，乙桶原有油30升，设甲有油x 升，可列方程为_____．16．去括号合并：(3)3(3)a b a b --+＝_________.17．计算：()()35---=______；()225323a a b b ---=______．18．若a,b 是整数，且ab ＝12，|a|＜|b|，则a+b=________ .19．一个两位数，个位上的数字是十位上数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是____． 20．比较大小：-3__________0.（填“< ”“=”“ > ”） 三、解答题21．如图，点O 在直线AB 上，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，如果∠1：∠2＝1：2，求∠1的度数．22．如图，在四边形ABCD 中， //AD BC ，B D ∠=∠延长BA 至点E ，连接CE ，且CE 交AD 于点F ，EAD ∠和ECD ∠的角平分线相交于点P .（1）求证：①//AB CD ；②2EAD ECD APC ∠+∠=∠； （2）若70B ∠=︒，60E ∠=︒，求APC ∠的度数；（3）若APC m ∠=︒，EFD n ∠=︒请你探究m 和n 之间的数量关系. 23．解方程（1）3x-7（x-1）=3-2（x+3） （2）12x -=413x --1 24．为实施“学讲计划”，某班学生计划分成若干个学习小组，若每组5人，则多出4人，若每组6人，则有一组只有2人，该班共有多少名学生？25．先化简，再求值：已知|2a ＋1|＋(4b －2)2＝0，求3ab 2－[2221522a b ab ab ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭]＋6a 2b 的值． 26．先化简，再求值：2(﹣3xy+52x 2)+5(2xy ﹣x 2)，其中x ＝﹣2，y ＝12．27．现从小欣作业中摘抄了下面一道题的解题过程：计算：24÷（13-18-16）； 解：24÷（13-18-16）=24÷13-24÷18-24÷16=72-192-144 =-264；观察以上解答过程，请问是否正确？若不正确，请写出正确的解答．28．某粮库3天内粮食进出库的吨数如下：（“+”表示进库，“-”表示出库）(1)经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？(2)经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存有480吨粮食，那么3天前库里存粮多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少元装卸费？【参考答案】*** 一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．A7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．56 14．100°15．（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ）x ﹣（30+ SKIPIF 1 < 0 x ）=6 解析：（1﹣14）x ﹣（30+14x ）=6 16．－10 SKIPIF 1 < 0 解析：－10b17．SKIPIF 1 < 0 解析：223a b + 18．7，8，13 19．39 20．< 三、解答题 21．30°22．（1）①见解析，②见解析；（2）65°；（3）12m n =，见解析. 23．（1）x=5；（2）x=1． 24．4425．a 2b ＋1；98.26．4xy ，-4.27．错误，正确的解法见解析.28．（1）库里的粮食减少了；（2）3天前库里存粮食是525吨；（3）3天要付装卸费825元．2019-2020学年七年级数学上学期期末模拟试卷一、选择题1．如图是某几何体的表面展开图，则该几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱2．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于（）A.90°B.80°C.70°D.60°3．∠A 的余角与∠A 的补角互为补角，那么 2∠A 是（）A．直角B．锐角C．钝角D．以上三种都有可能4．若关于x的一元一次方程1﹣46x a+=54x a+的解是x=2，则a的值是（）A.2B.﹣2C.1D.﹣15．同学们，足球是世界上第一大运动，你热爱足球运动吗？已知在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队共踢了30场比赛，负了9场，共得47分，那么这个队胜了（）A．10场B．11场C．12场D．13场6．某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母20个或螺栓12个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A.20x=12(22-x)B.12x=20(22-x)C.2×12x=20(22-x)D.20x=2×12(22-x)7．下列计算正确的是（）A．3a+2a=5a2B．3a－a=3 C．2a3+3a2=5a5D．－a2b+2a2b=a2b8．下列算式中，计算结果为a3b3的是（）A．ab+ab+ab B．3ab C．ab•ab•ab D．a•b39．下列图形都是由同样大小的黑、白圆按照一定规律组成的，其中第①个图形中一共有2个白色圆，第②个图形中一共有8个白色圆，第③个图形中一共有16个白色圆，按此规律排列下去，第⑦个图形中白色圆的个数是（）A ．96B ．86C ．68D ．5210．如果|a ﹣1|+（b+2）2=0，则a ﹣b 的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．311．计算（﹣8）﹣（﹣5）的结果等于（ ） A ．-3 B ．-13 C ．-40 D ．312．在下面的四个有理数中，最小的是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．﹣2 二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作DE//BC ，分别交AB,AC 于点D,E,若AB=4，AC=3，则△ADE 的周长是_______________。
6.8 余角和补角 课件2
(1)互余的两个角必定都是锐角。 (2) ＝90°，那么它是余角。
(3)一个角的补角必定是钝角。 ( ) (4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角， 另一个是钝角。 （ ） (5)一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( ) (6)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直线
已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10 度，求这个角的补角的度数.
巩固练习3
如下图，∠DOB为平角，∠AOC为直角， ∠AOD=20°，则∠COD的补角是多少度?
再见
上。 (
( (
) )
×
)
⑺若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为 补角。 （
×
）
A 1 2
B
C
3 O∠2=∠3 ，∠3源自∠α 互余， ∠2和∠β互余 D同角 或等角的余角相等 。
3
α
∠α =∠β
β
2
A
C 2 O 3 1 B β D 2 α 3
同角 或等角 的补角相等 。
∠2=∠3，∠2和∠α互补，∠3和∠β互补
60
°
80
°
100
°
120
°
150
°
170
°
1、若 ＝60°32′，则 的余角是 ________ ， 29 ° 的补角是 _________， 119°28′ 28′
2、若一个角的度数是X°，则它的余角的 90－X，180－X 度数和补角的度数分别是_________
150° 3、60°的余角的补角是___________
1 1 x ∴ AC = AB 3 3 ∵ CP=AP －AC
∵ CP=1.5cm
补角和余角的定义两者是什么意思
补角和余角的定义两者是什么意思补角和余角是在几何学中常用的术语，用来描述两角之间的关系。
它们有着不同的定义和含义，下面将详细介绍并比较这两个概念。
一、补角的定义在平面几何中，两个角互为补角是指它们的和等于90度。
换句话说，如果角A和角B是补角，那么A + B = 90°。
具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为90度减去x度，即90° - x°。
同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为90° - y°。
因此，两个角互为补角时，它们的度数之和等于90度。
例如，如果角A的度数为30°，那么角B的度数为90° - 30° = 60°；反之亦然，如果角B的度数为60°，那么角A的度数为90°- 60°= 30°。
因此，角A和角B互为补角。
二、余角的定义与补角不同，余角是指两个角之间的差等于90度。
换句话说，如果角A和角B是余角，那么A - B = 90°。
具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为x度减去90度，即x° - 90°。
同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为y度加上90度，即y° + 90°。
因此，两个角互为余角时，它们的度数之差等于90度。
例如，如果角A的度数为60°，那么角B的度数为60°- 90°= -30°；反之亦然，如果角B的度数为-30°，那么角A的度数为-30° + 90° = 60°。
因此，角A和角B互为余角。
补角和余角的区别：1. 补角和余角的定义不同：补角是和为90度，而余角是差为90度。
2. 补角的度数之和始终等于90度，而余角的度数之差始终等于90度。
3. 补角或余角可以是正角，也可以是负角，取决于原始角的度数。
人教版七年级上数学《余角和补角》图形初步认识PPT教学课件(第2课时)
北
西
O 60 °
东 A
南
探究新知
射线OA的方向就是南偏东60°，即灯
塔A所在的方向．
D
北
射线OB的方向就是北偏东40°，
B
即客轮B所在的方向．
45° 40°
西
O
东
射线OC的方向就是南偏西10°，
60°
即货轮C所在的方向．
10°
C
A
南
射线OD的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向．
探究新知
用方位角确定物体的画法步骤： ①先找出中心点，然后画出方向指标； ②把中心点和目的地用线连接起来； ③度量向北的射线和视线（中心点和目的地的连线）夹角.
问题情境
如图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球 会直接入袋，此时∠1=∠2， 其中∠FDC=90º，那么各个角与∠1有什 么关系？
问题情境
E
D
F
1
2
A
B
C
有的角与∠1的和等于90º，例如（ 有的角与∠1的和等于180º，例如（
）； ∠ADC
）．
∠ADF
探究新知
余角的定义
4.3.3 余角和补角 第2课时
知识回顾
两角间的 数量关系
互余
1 2 90
(1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等
学习目标
1.了解方位角的概念. 2.能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
课堂导入
成语“四面八方”怎样理解？ 四面——东、西、南、北. 八方——东、西、南、北、东北、东南、西北、西南.
7.6 《余角和补角》课件 浙教版 (2)
B
O
A
归纳小结
从一个角的顶点引出的一条射线， 把这个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的平分线 例如，在图6-39中，OC就是 ∠AOB的平分线，
1 ∠AOC=∠BOC= ∠AOB 2
图6-39
∠AOB=∠AOC+∠BOC=2∠AOC=2∠BOC
例2 如图6-40，∠ABC=900,∠CBD=300,
BP平分∠ABD.求∠ABP的度数.
请完成P162作业题第4题、第5题
补充练习：已知
∠COE平 分线。
OB是∠AOC的平分线，OD是
（1）如果∠AOB＝400，∠DOE＝300,那么
∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝1400，∠COD＝300,那么
∠AOB是多少度？组卷网
E
D C B
O
A
谈谈本节课的要点!
的填空 ∠AOB+∠BOC= ∠ _____= _____ 度 ；
∠AOC+∠BOC= ∠ _____= _____ 度 ； ∠BOC=∠AOC- ∠ _____= ____ Nhomakorabea 度 .
3.请完成P162作业题3
例如1
已知∠1和∠2，用量角器作∠1与∠2的和.
1
请完成P162的课内练习1
2
试一试
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB把这张 透明纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后 把这张纸展开、铺平，画出折痕OC，∠AOC 与∠BOC之间有怎样的大小关系？
2.
（第2题）
3.
给你一张直角三 角形纸片，你能 通过折叠的方法 再折出一个直角 来吗？你还能把 这张纸片折成一 个长方形吗？
如图6-36，已知∠α=300、 ∠β=1200、 ∠γ=1500，请议一议， 这三个角的度数之间有怎样的关系.
余角、补角、对顶角(2)
6.3余角、补角、对顶角（2）编写：徐雅萍审核：初一数学组时间：2023.12 班级姓名________学号_______一、自主研读初步学（一）认真阅读课本161-163页，并回答下列问题：知识点一：对顶角的概念写出图中的对顶角：；归纳：有顶点且角的两条边都互为线的两个角称为对顶角.注意：（1）对顶角形成的前提是两条直线相交，对顶角必须有公共的顶点.（2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角.例：下列图形中，表示1∠是对顶角的是()∠和2A．B．C．D．知识点二：对顶角的性质（1）如图，直线AC、BD相交于点O，问∠AOC与∠BOD有何大小关系？说明理由．关系：理由：总结：对顶角_____________________上述结论我们可用以下符号语言表述：∵∠AOC与∠BOD是对顶角∴∠AOC=∠BOD思考：对顶角一定相等，那相等的角一定是对顶角吗？如果是，说明理由；如果不是，画出反例.（2）例：如图，AB、CD相交于点O，∠BOE＝90°，∠1＝64°，求∠DOE的度数．分析：已知∠BOE的度数，要求∠DOE的度数，只要知道∠BOD的度数即可.解：∵∠1与∠2是对顶角∴（对顶角相等）12∵∠1=64°∴∠2= °．∵∠DOE=∠BOE-∠2，∠BOE＝90°．∴∠DOE=90°- 64°=26°．说明：要求一个角的度数，首先要观察图形，判断这个角与已知角有何关联，然后通过下列途径计算：①.先求出与它相等的角的度数，然后进行等量代换求得．②.将这个角转化为其他角的和差倍分的形式求得．练习：如图，AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．1．下图中∠1与∠2是对顶角的是（）A B C D2．如图，AB与CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝280°，则∠AOC的度数为( ) A．40°B．60°C．120°D．140°第2题第3题3. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠1＝50°，∠2＝67°，则∠COF＝°．4.若两个角是对顶角且互补，则这两个角都是________度．5.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOE=350，∠BOF=200,，求∠COF的度数.二、合作探究深化学（一）检查建构1.下列说法中正确的是（）A.有公共顶点的两个角是对顶角B.两条直线相交所成的角是对顶角C.对顶角一定相等D,两个相等的角一定是对顶角2.如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOD，∠EOD=116°（1）写出图中的对顶角；（2）求∠BOC的度数.问题1 观察下列图形，找出对顶角（不含平角）(1) 如图①，图中共有对对顶角；（2）如图②，图中共有对对顶角；（3）如图③，图中共有对对顶角；（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数的关系。
人教版2024新版七年级数学上册第六章《6.3.3 余角和补角》名师系列课件
1
2
3
= ∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等.
类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
巩固练习
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°． （1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B__O_E_，∠COD的余角是 _∠__C__O_E_、__∠__B__O_E___; （2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
D
探究新知
素养考点 利用方位角解答实际问题
例 如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的
方 向 上 . 同 时 , 在 它 北 偏 东 40°, 南 偏 西 10°, 西 北 ( 即 北 偏 西
D
北
B
●
45°)方向上又分别发现了客轮B， ●
货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位 的方法画出表示客轮B，货轮C和 西
4 3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角 互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4是∠3 的补角， 或∠3 和∠4 互补.
探究新知 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
探究新知
素养考点 1 利用余角、补角的概念求角的度数
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角 的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180 –x )°，
余角是 ( 90 –x )° . 根据题意，得180 –x = 4 ( 90 –x ) . 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60 °.
互补角与互余角的关系_概述及解释说明
互补角与互余角的关系概述及解释说明1. 引言1.1 概述互补角和互余角是在几何学中常见的概念，用于描述两个角度之间的关系。
互补角是指两个角的度数相加等于90°（或π/2弧度），而互余角则是指两个角的度数相加等于180°（或π弧度）。
在本文中，将重点介绍互补角与互余角的定义和性质，并探讨它们之间的关系。
1.2 文章结构为了更好地理解和解释互补角与互余角之间的关系，本文将分为以下几个部分进行论述：引言、互补角与互余角的定义和性质、互补角与互余角之间的关系、实例分析与解释说明以及结论。
1.3 目的本文旨在系统地介绍和阐述互补角与互余角的概念，并深入探讨它们之间存在着怎样的关系。
通过对具体实例的分析和解释说明，希望读者能够更清晰地理解并应用这些概念。
最后，通过总结得出结论，对于读者进一步掌握和应用相关知识提供参考。
请注意：此回答为普通文本格式，不包含网址或特殊格式。
2. 互补角与互余角的定义和性质：2.1 互补角的定义和性质：在平面几何中，两个角被称为互补角，当它们的和等于一个直角（90度）。
具体来说，如果两个角A和B是互补角，那么它们的度数满足以下条件：A + B = 90°。
互补角具有一些有趣的性质：- 互补角是相邻补角，意味着它们共享同一边，并且两个相邻的补角之间没有其他角。
- 如果一个角是直角，则它的补角也是直角。
- 两个锐角、或两个钝角可以是互补角。
例如，45°和45°、30°和60°都是互补形式。
2.2 互余角的定义和性质：类似地，在平面几何中，两个角被称为互余（或对余）角，当它们的和等于一个平整（180度）。
具体来说，如果两个角C和D是互余，则满足以下条件：C + D = 180°。
和互补角一样，互余也有一些独特的性质：- 互余优势是共线但不重叠的优势。
这意味着两个互余角度共享同一边，并且没有其他角度位于其内部部分。
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（小组合作，学生交流，根据自己的实际，解决问题）。
课堂小结：
通过今天的学习你们学习了哪些新知识？
学生活动：总结发言
作业：教材144第12题
教学反思：
教学反思
上饶县枫岭头中学七年级数学导学案
执笔：郑荣满审核：审批：学案编号：
授课人：授课时间：姓名：班级：小组：
课题：4.3.3余角和补角（2）
教师复备栏
/学生笔记栏
【学习目标】
认识方位角概念及画法
【学习重点难点】
重点：掌握方位角的概念，画法
难点：用方位角的知识解决在生活中的问题
学法指导】
自主学习，互动探究，合作交流，ห้องสมุดไป่ตู้讲后练
【知识链接
1、情景引入。
2、海上，缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只（如图），立即赶往检查。现请你确定缉私艇的航线，画出示意图。
【自主学习】
阅读教材第142－143页的有关内容，完成下列问题
1、下列说法中错误的是（）
A.OD的方向是北偏东30°
B.OC的方向是南偏东60°
C.OB的方向是西南方向
D.OA的方向是北偏西60°
2、在点O北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是（）
A.100°B.70°C.180°D.140
【合作探究】
如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D。仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线。