三角函数、数列、不等式练习题练习题1
三角函数不等式练习题及解答
三角函数不等式练习题及解答一、简介三角函数是数学中的一类特殊函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解三角函数不等式时，我们需要运用这些函数的性质和相关的数学知识。
本文将为大家提供一些三角函数不等式的练习题及解答，帮助大家更好地掌握这一内容。
二、练习题与解答1. 解不等式sin(x) > 0的解集。
解析：根据正弦函数的性质可知，当角度x在区间(0, π)和(2π, 3π)等以π为周期的区间时，sin(x) > 0。
因此，该不等式的解集为S = {x | x∈ (0, π) ∪ (2π, 3π)}。
2. 解不等式cos(2x) ≥ 0的解集。
解析：将不等式转化为等价形式，cos(2x) = 0。
则有2x = π/2 + kπ (k 为整数) 或2x = 3π/2 + kπ (k为整数)。
化简得x = π/4 + kπ/2 或x = 3π/4+ kπ/2。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ [π/4 + kπ/2, 3π/4 + kπ/2]，k为整数}。
3. 解不等式tan(x) < 2的解集。
解析：tan(x) < 2可转化为tan(x) - 2 < 0。
根据正切函数的性质可知，tan(x) - 2 < 0的解集为角度x在区间(-π/4, arctan(2))和(arctan(2) + kπ, π/4+ kπ)，其中k为整数。
因此，该不等式的解集为S = {x | x ∈ (-π/4, arctan(2)) ∪ (arctan(2) + kπ, π/4 + kπ)，k为整数}。
4. 解不等式sin(3x) ≤ cos(2x)的解集。
解析：将不等式转化为等价形式得sin(3x) - cos(2x) ≤ 0。
对于这种类型的不等式，我们可以使用图像法和代数法来求解。
图像法解析：将sin(3x)和cos(2x)的图像绘制在同一坐标系中，找到它们的交点，即满足sin(3x) - cos(2x) ≤ 0的解集。
三角函数的方程与不等式练习题
三角函数的方程与不等式练习题1. 解方程：a) 解方程sin(x) = 0.5，其中0 ≤ x ≤ π。
解答：根据 sin(x) = 0.5 的定义，可以推导得到x = π/6 或x = 5π/4。
然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ π 的范围限制，因此只有x = π/6 符合条件。
b) 解方程3sin(2x) + 2 = 0，其中0 ≤ x ≤ 2π。
解答：将方程转化为 sin(2x) = -2/3。
根据 sin(2x) = -2/3 的定义，可以推导得到 x = (7π/6 + 2kπ)/2 或 x = (11π/6 + 2kπ)/2，其中 k 是整数。
然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ 2π 的范围限制，需要筛选符合条件的解。
将 k 代入方程中，可得x = (7π/6, 11π/6, 19π/6, 23π/6)。
其中，只有x = 7π/6 和x = 11π/6 在0 ≤ x ≤ 2π 的范围内。
因此，方程3sin(2x) + 2 = 0 的解为x = 7π/6 和x = 11π/6。
2. 解不等式：a) 解不等式sin(x) > 0.5，其中0 ≤ x ≤ 2π。
解答：首先，解方程sin(x) = 0.5，得到x = π/6 或x = 5π/6。
然后，通过画图或查表可以确定 sin(x) > 0.5 的解在0 ≤ x ≤ 2π 范围内为(π/6, π/2) 和(5π/6, 3π/2)。
因此，不等式sin(x) > 0.5 的解为 x 属于开区间(π/6, π/2) 和(5π/6, 3π/2)。
b) 解不等式2cos(3x) ≤ 1，其中0 ≤ x ≤ 2π。
解答：将不等式转化为cos(3x) ≤ 1/2。
根据cos(3x) ≤ 1/2 的图像或查表可以得到，解在整个定义域内为 (-∞, π/3] ∪ [5π/3, +∞)。
然而，由于题目给定了0 ≤ x ≤ 2π 的范围限制，需要筛选符合条件的解。
综合算式专项练习题三角函数与不等式组
综合算式专项练习题三角函数与不等式组在数学中，三角函数与不等式组是高中阶段的重要知识点，它们广泛应用于几何、代数和数学分析等领域。
通过综合算式专项练习题，我们能够更好地理解和掌握三角函数与不等式组的概念和解题方法。
本文将为大家带来一些综合算式专项练习题，帮助读者加深对此类题型的理解。
练习题一：求解三角函数的值1. 若角A的终边经过点（3，4），则sinA、cosA、tanA的值分别为多少？解析：根据勾股定理可知，当一个角A的终边经过点（3，4）时，其对应的直角三角形的斜边为5（3²+4²=5²）。
因此，sinA=4/5，cosA=3/5，tanA=4/3。
练习题二：解三角方程2. 解方程sinx+cosx=1的解集。
解析：将方程sinx+cosx=1转化为tan(x/2)的方程，有tan(x/2+π/4)=1。
根据解三角方程的一般步骤，解得x=2nπ+π/2和x=2nπ+7π/4，其中n为整数。
练习题三：求解不等式组3. 求解不等式组{sinx>0, cosx≤0}的解集。
解析：首先求解sinx>0的解集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π)，其中k为整数。
其次求解cosx≤0的解集，得到x∈[(2k+1)π/2, 2kπ+(3π/2)]，其中k 为整数。
最后求解不等式组的解集，即求解两个不等式的交集，得到x∈(2kπ, (2k+1)π/2]，其中k为整数。
练习题四：变量替换求解4. 求解不等式组{sin^2x+2cos^2x≤1, sinx≥0}的解集。
解析：首先，将sin^2x+2cos^2x≤1转化为2cos^2x≤1-sin^2x，再将其化简为cos^2x+sin^2x≥1/2。
由于cos^2x+sin^2x=1，所以不等式组化简为1≥1/2，因此该不等式组的解集为全体实数。
练习题五：综合运用三角函数与不等式组5. 求解不等式组{tanx<1, cosx>0}的解集。
三角函数练习题含答案
三角函数练习题含答案一、填空题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．2．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 3．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.4．在直角坐标系中，ABC 的顶点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，432C ⎝，且ABC 的重心G 的坐标为232⎝，()cos αβ-=__________. 5．已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________.6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，32b =7sin BAD ∠=，2cos BAC ∠=，则AD =__________. 7．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 是正方形，23AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______.8．通信卫星与经济、军事等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为km h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为km r ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan 3θ________．9．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin 7θ=，||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.10．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.二、单选题11．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④12．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦13．如图所示，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△ACD '，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥C ．A CB α∠'≤D ．A CB α'∠≥14．已知函数()sin 22cos f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的增区间为()72,266k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．函数()f x 3315．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．,0C ．1,D ．(),1-∞16．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+>17．如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大18．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π19．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)+B ．(0,33)+C ．(22,33)++D ．(22,33]++20．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．34三、解答题21．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若32PC =，求PA ； （2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S .22．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值． 23．已知函数22cos 3sin 2f xxx a 的最小值为0.(1)求a 的值及函数()y f x =图象的对称中心；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，求m的取值范围及()123tan 2x x x ++的值.24．已知向量33cos ,sin 22x a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫- ⎪⎝=⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）用含x 的式子表示a b ⋅及a b +； （2）求函数的()f x a b a b =⋅-+值域. 25．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.27．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？28．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.29．已知函数())2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题 1．1023．11 4．235．)1⎡++∞⎣6．47．28π 8．2rr h-+ 9．25 10．-7二、单选题 11．B 12．A 13．B 14．B 15．D 16．A 17．C18．C 19．C 20．D 三、解答题21．（12 【解析】 【分析】（1）求出12BP ==，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得tan α=，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP =，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==； （2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭，在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α， 在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan α=sin PB α==ABP ∆的面积11sin 22S AB PB α=⋅==. 【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强. 22．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ在△OPQ 中，OQOP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ. 由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f ′(θ)令f ′(θ)＝0，得sinθθ0满足0sin θ则0cos θ=，即()0f θ===列表如下：2由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tanα单调递增则当tanαα也取得最大值．故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.23．(1)1，,2212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈；(2)[)3,4， 【解析】（1）由题得()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，求出a 的值即得函数()y f x =图象的对称中心；（2）作出函数()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象，求出123523x x x π++=即得解.【详解】(1)()cos 2212sin 216x x a x a f x π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，由已知可得()2110a ⨯-++=，∴1a =，()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令26x k ππ+=可得()y f x =图象的对称中心为,2212k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)()y f x =在70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，由图可得[)3,4m ∈，所以123x x π+=，2343x x π+=，所以123523x x x π++=，所以()1235tan 2tan3x x x π++==【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数图象的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）cos 2x a b ⋅=；2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得a b ⋅，根据a b +=2||a b +可求得结果；（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cos x 的二次函数可求得结果. 【详解】（1）因为向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以2233||cos sin 122x x a =+，22||cos sin 122x xb =+=， 所以333coscos sin sin cos()cos 2222222x a x x b x x xx -=+==⋅， ()2222212cos 2121cos 24cos a a b b x a b x x =+⋅+=++++==，2cos a b x +=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2cos22cos 2cos 2cos 1x x x f x x =-=--，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题.25．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值2和1. 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果.【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π= 当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.26．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析.【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可；（2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个，当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.27．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x = 【解析】【分析】 （1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值； （2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈ 又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴= （2）由（1）知1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()g x =当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题28．(1)0 (2)32【解析】【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值.【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒=故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()22222g x g m ==-⨯-=-⇒=（舍） 故答案为32m =【点睛】 当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.29．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解.（2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+. 于是()yg x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+. （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |， 可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ） 即sin 2x =12；∴sin x = ∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。
三角函数练习题含答案
三角函数练习题含答案一、填空题1．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； ③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________.2．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.3．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.4．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 5．已知函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0>ω，若()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，则ω的取值范围是____________.6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π；③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 7．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．8．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.9．已知平面四边形ABCD 的面积为364AB =，3AD =，5BC =，6CD =，则cos()A C +=___________.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.二、单选题11．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知无穷项实数列{}n a 满足： 1a t =， 且 14111n n n a a a +=--， 则（ ） A ．存在1t >， 使得20111a a = B ．存在0t <， 使得20211a a =C ．若2211a a =， 则21a a =D ．至少有2021个不同的t ， 使得20211a a =13．已知点P 是曲线e 3xy =+α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12CD15．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④16．在三棱锥S ABC -中，侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC +==.设SA x =，该三棱锥的表面积为函数()y f x =，以下判断正确的是（ ） A ．()f x 为常数 B ．()f x 有极小值 C ．()f x 有极大值D ．()f x 是单调函数17．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．16 18．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16320．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8三、解答题21．已知向量(1,0)a =，(sin 2,1)b x =--，(2sin ,1)c x =+，(1,)d k =(,)x k R ∈．（1）若[,]x ππ∈-，且()//a b c +，求x 的值； （2）对于()11,m x y =，()22,n x y =，定义12211(,)2S m n x y x y =-．解不等式1(,)2S b c >； （3）若存在x ∈R ，使得()()a b c d +⊥+，求k 的取值范围．22．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值. 23．已知函数2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值.24．设函数()f x a b =⋅，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos 32)=+b x x m ； 求：（1）函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求实数m 的值，使函数()f x 的值域恰为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.25．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．26．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S .27．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.28．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；(2)若6,BC AB AD ==b ．29．已知函数2()2cos cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.30．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值【参考答案】一、填空题1．①②④ 2．03．[45．742ω<<或91322ω<≤.6．①③7．14-8 9．710##0.710．1a 或4a二、单选题 11．A 12．D 13．A 14．C 15．A 16．A 17．C 18．B 19．A 20．D 三、解答题21．（1）6π-或56π-（2）5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）[]5,1k ∈--【解析】 【分析】（1）由题()sin 1,1a b x +=--,由()//a b c +可得()sin 12sin x x -=-+,进而求解即可； （2）由题意得到()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=,进而求解即可； （3）由()()a b c d +⊥+可得()()0a b c d +⋅+=,整理可得k 关于x 的函数,进而求解即可 【详解】（1）由题,()sin 1,1a b x +=--,因为()//a b c +,所以()sin 12sin x x -=-+,则1sin 2x =-,因为[,]x ππ∈-,所以6x π=-或65x π=-（2）由题,()()()1,sin 22sin sin 2S b c x x x =-++=, 因为1(,)2S b c >,所以1sin 2x >, 当[]0,x π∈时,566x ππ<<, 因为sin y x =是以π为最小正周期的周期函数, 所以5,,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭（3）由（1）()sin 1,1a b x +=--,由题,()3sin ,1c d x k +=++, 若()()a b c d +⊥+,则()()()()()sin 13sin 10a b c d x x k +⋅+=-+-+=, 则()22sin 2sin 4sin 15k x x x =+-=+-, 因为[]sin 1,1x ∈-,所以[]5,1k ∈-- 【点睛】本题考查共线向量的坐标表示,考查垂直向量的坐标表示,考查解三角函数的不等式22．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩ ()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4. 【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.23．（1）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211()cos sin cos sin 22f x x x x x =+-11()cos 2sin 222f x x x ∴=+ ()24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈（2）由（1）知n ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=，即8x π=时，()max f x =当5244x ππ+=，即2x π=时，()min 12f x =- 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．24．（1）T π=，,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈；（2）12.【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算可得2()2cos 2f x x x m =+，然后将其化为基本型，即可求出周期和单调递增区间 （2）由02x π≤≤，可得()3m f x m ≤≤+，和题目条件对应即可求出m【详解】（1）∵2()2cos 2f x a b x x m =⋅=+1cos22x x m =++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期T π=， 可知，当222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈时，函数单调递增，解得：36k x k ππππ-≤≤+，故函数的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈.（2）∵02x π≤≤，∴72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()3m f x m ≤≤+， 又17()22f x ≤≤， 故12m =. 【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，解决这类问题时首先应把函数化成三角函数基本型.25．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[-.【解析】 【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域. 【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24x f x x x x x π-=+-⋅=++， 所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.26．（1）⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =， 集合{}*|,n S x x b n N ==∈． ∴当120,3a d π==， 所以集合3{2S =-，0，3}2． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题． 27．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x 通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，21t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 24t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤21t ≤①当22a<22a <- 当2t =max 1222y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.28．（1）13； （2【解析】 【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果. 【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B , 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B ⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=,(2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =, 在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD ABBAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=,()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==.BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.29．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m【解析】 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间;(Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果.【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.30．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π.【解析】 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1 （2）π(0,)2α∈，f （2α）=2∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π。
2020届高考复习高中数学【理】月月考(二)：三角函数、平面向量、数列、不等式(解析版)
A．－ B.
C. D．－4
答案：A
解析：∵a＋b＝1，∴－ － ＝－ － ＝－ － ，∵a>0，b>0，∴ ＋ ≥2，当且仅当b＝2a时取等号，∴－ － ≤－ －2＝－ ，∴－ － 的上确界为－ ，故选A.
5．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足|3 － － |＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图，G为BC的中点，则 ＋ ＝2 ，∵|3 － － |＝0，
∴3 － － ＝0，
∴3 ＝ ＋ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又S△ABG＝ S△ABC，
∴△ABM与△ABC的面积之比等于 × ＝ .故选C.
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：∵角α的终边经过点P(3,4)，∴sinα＝ ，cosα＝ .
∴sin ＝－sin ＝－sin ＝－cosα＝－ .故选B.
3．若α为锐角，且3sinα＝tanα＝ tanβ，则tan2β等于()
A. B.
C．－ D．－
答案：D
解析：因为3sinα＝tanα＝ ，α为锐角，所以cosα＝ ，sinα＝ ＝ ，所以tanα＝ ＝2 ＝ tanβ，所以tanβ＝2，tan2β＝ ＝ ＝－ .
A．f(x)在 上单调递减
B．f(x)在 上单调递减
C．f(x)在 上单调递增
D．f(x)在 上单调递增
答案：D
解析：由题意得f(x)＝ sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin .∵函数f(x)的图象经过点 ，
2023年新教材高考数学全程考评特训卷滚动过关检测五集合常用逻辑用语不等式函数与导数三角函数与解三角
滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |log 3(x －2)<0}，N ＝{x |x ≥－2}，集合M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x <2}B ．{x |－2≤x <3} C ．{x |2<x <3}D ．{x |x <3}2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知z ＝2－i ，则z ()z －＋i ＝( ) A ．6－2iB ．4－2i C ．6＋2iD ．4＋2i3．[2022·山东春考]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π12，sin 5π12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12，sin π12，那么a ·b等于( )A.12B.32 C ．1D ．04．[2022·辽宁实验中学月考]已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D5．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 3＝8，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝( ) A ．8B ．6 C ．4D ．26．[2022·福建三明模拟]在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，点E 为线段AD 的中点，则向量CE →＝( )A.13AB →＋16AC →B.16AB →＋13AC →C.16AB →－23AC →D.13AB →－56AC → 7．[2022·河北沧州模拟]已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．45°B．135° C ．60°D．120°8．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，且f (x )＝f (－x )e 2x，当x >0时，f ′(x )>f (x )恒成立，则下列判断一定正确的是( )A ．e 5f (2)<f (－3) B ．f (2)<e 5f (－3) C ．e 2f (－2)<f (3) D ．f (－2)<e 5f (－3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·江苏无锡一中月考]若复数z 满足z (1－2i)＝10，则( ) A ．|z |＝2 5 B ．z －2是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝5510．下列命题错误的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”B ．函数“f (x )＝cos ax －sin ax 的最小正周期为π”是“a ＝2”的必要不充分条件C ．x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]时有解⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[]1，2时成立D ．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”11．[2022·山东师范大学附中月考]定义在R 的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈(0,3)时f (x )＝x 2－3x ，则以下结论正确的有( )A ．f (x )的周期为6B ．f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0对称C ．f (2021)＝2D ．f (x )的图象关于x ＝32对称12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( )A ．|OP 1→|＝|OP 2→|B ．|AP 1→|＝|AP 2→| C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D.OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．[2022·天津静海一中月考]已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n的值为________．14．[2022·辽宁抚顺模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝15，则S 9＝________.15．[2022·江苏响水中学月考]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，已知A ，B 分别是最高点、最低点，且满足OA →⊥OB →(O 为坐标原点)，则f (x )＝________.16．[2022·北京101中学高三开学考试]△ABC 中，D 为AC 上的一点，满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点，满足AP →＝mAB →＋nAC →()m >0，n >0，则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·福建师大附中月考]已知向量a ，b 满足，||a ＝1，||b ＝2，且a 与b 不共线．(1)若向量a ＋k b 与k a ＋2b 为方向相反的向量，求实数k 的值； (2)若向量a 与b 的夹角为60°，求2a ＋b 与a －b 的夹角θ.18．(12分)[2022·山东日照模拟]向量m ＝(2sin x ，3)，n ＝(cos x ，cos2x )，已知函数f (x )＝m ·n ，(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求b ＋c 的值．b n是公差为1的等19．(12分)设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{}差数列，已知a2＝2，a4＝a3＋4，a3＝b3＋b1.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设数列{a n＋b n}的前n项和为T n，求T n.20．(12分)[2022·山东泰安模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，满足m∥n.(1)求C；(2)若6c＋3b＝3a，求sinA.21．(12分)[2022·湖北黄冈中学模拟]已知数列{a n }中，a 1＝2，n (a n ＋1－a n )＝a n ＋1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是常数数列； (2)令b n ＝(－1)na n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求使得S n ≤－99的n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋x －e x. (1)若a ＝12，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围．滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数1.答案：C解析：因为M ＝{x |log 3(x －2)<0}＝{x |2<x <3}，N ＝{x |x ≥－2}，所以M ∩N ＝{x |2<x <3}． 2．答案：C解析：因为z ＝2－i ，故z －＝2＋i ，故z ()z －＋i ＝()2－i ()2＋2i ＝6＋2i. 3．答案：A解析：a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π12，sin 5π12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12，sin π12，a ·b ＝cos 5π12cos π12＋sin 5π12sinπ12＝cos π3＝12.4．答案：A解析：因为BC →＋CD →＝BD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线． 5．答案：A解析：由题设，a 2a 3＝a 21q 3＝8，又a 1＝1，可得q ＝2，∴a 4＋a 5a 1＋a 2＝a 1q 3＋a 1q 4a 1＋a 1q ＝243＝8.6．答案：D 解析：由E 为线段AD 的中点，则CE →＝12(CA →＋CD →)，又D 满足BC →＝3BD →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)，∴CE →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤CA →＋23AB →－AC →＝13AB →－56AC →.7．答案：B解析：∵(a －b )⊥(3a ＋2b )，∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝3|a |2－|a |·|b |cos 〈a ，b 〉－2|b |2＝0，又|b |＝2|a |且|a |≠0， ∴3|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉－4|a |2＝－|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos〈a ，b 〉＝－22，又〈a ，b 〉∈[]0，π，∴〈a ，b 〉＝3π4，即〈a ，b 〉＝135°. 8．答案：B 解析：令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex，∵x >0时，f ′(x )>f (x )恒成立，∴x >0时，g ′(x )>0，即g (x )单调递增，又f xex＝f －xe－x，则g (－x )＝g (x )，g (x )为偶函数．∴x <0时，g (x )单调递减．f 2e2＝f －2e－2<f 3e3＝f －3e－3，即f (2)<e 5f (－3)、f (3)>e 5f (－2)、e f (－3)>f (－2)，∴A、C 、D 错误，B 正确．9．答案：AB解析：由题意z ＝101－2i ＝101＋2i1－2i 1＋2i＝2＋4i ，|z |＝25，A 选项正确；z －2＝4i ，B 选项正确；z 在复平面内对应点为(2,4)，对应点在第一象限，C 选项错误；sin α＝44＋16＝255，D 选项错误．10．答案：ACD解析：对A ：命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ，故A 错误；对B ：由函数f (x )＝cos ax －sin ax ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，则T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πa ＝π，则a ＝±2，故B正确；对C ：a ＝2时，x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立，而(x 2＋2x )min ＝3<(2x )max ＝4，故C 错误；对D ，当“a ·b <0”时，平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a ·b <0”，故D 错误．11．答案：ACD解析：因为f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，所以f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，故函数f (x )是周期为6的周期函数，故A 选项正确； 由于函数为R 的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，所以f (x －3)＝－f (x )＝f (－x )，所以根据周期性得f (x ＋3)＝f (－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，所以f (x )的图象关于x ＝32对称，故B 错误，D 正确；对于C 选项，结合周期性得f (2021)＝f (336×6＋5)＝f (5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1＋3＝2，故正确．故选ACD. 12．答案：AC解析：A ：OP 1→＝(cos α，sin α)，OP 2→＝(cos β，－sin β)，所以|OP 1→|＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，故|OP 1→|＝|OP 2→|，正确；B ：AP 1→＝(cos α－1，sin α)，AP 2→＝(cos β－1，－sin β)， 所以|AP 1→|＝cos α－12＋sin 2α＝cos 2α－2cos α＋1＋sin 2α＝21－cos α＝4sin2α2＝2|sin α2|， 同理|AP 2→|＝cos β－12＋sin 2β＝2|sinβ2|，故|AP 1→|，|AP 2→|不一定相等，错误；C ：由题意得：OA →·OP 3→＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，OP 1→·OP 2→＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos(α＋β)，正确；D ：由题意得：OA →·OP 1→＝1×cos α＋0×sin α＝cos α，OP 2→·OP 3→＝cos β×cos(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)＝cos ()β＋()α＋β＝cos ()α＋2β，故一般来说OA →·OP 1→≠OP 2→·OP 3→，错误．故选AC. 13．答案：92解析：由题设，m ＋2n ＝log a 12＋2log a 3＝log a 92，∴a m ＋2n＝a log a 92＝92.14．答案：45解析：因为数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 8＝2a 5，又a 2＋a 5＋a 8＝15，所以a 5＝5，所以S 9＝9()a 1＋a 92＝9a 5＝45.15．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6解析：由图象知：3T 4＝112－1＝92，即T ＝6，则T ＝2πω＝6，可得ω＝π3，∴A ()1，A ，B 的横坐标为1＋T2＝1＋3＝4，即B (4，－A )，∵OA →⊥OB →，∴(1，A )·(4，－A )＝0，则1×4－A 2＝0，A >0，得A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，由五点作图法知：π3×1＋φ＝π2，得φ＝π6，综上，函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.16．答案：116 16解析：如图所示，由AD →＝13DC →得AD →＝14AC →，所以AP →＝mAB →＋4nAD →，所以m ＋4n ＝1(m >0，n >0)，所以mn ＝14m ·(4n )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4n 22＝116，等号成立当且仅当m ＝12，n ＝18，所以mn 的最大值为116.因为4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n (m ＋4n )＝8＋16n m ＋m n ≥16，等号成立当且仅当m ＝12，n ＝18，所以4m ＋1n的最小值为16.17．解析：(1)因为向量a ＋k b 与k a ＋2b 为方向相反的向量，所以存在实数λ<0，使得a ＋k b ＝λ()k a ＋2b ，且a 与b不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝kλk ＝2λ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－22k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝22k ＝2(舍)；所以实数k 的值为－2；(2)因为向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|b |＝2， 所以a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝1×2×12＝1，(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝2|a |2－a ·b －|b |2＝2×12－1－22＝－3， |2a ＋b |＝2a ＋b2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4＋22＝23，|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×1＋22＝3，所以cos θ＝2a ＋b ·a －b |2a ＋b |·|a －b |＝－323×3＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.18．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝2sin x cos x ＋3cos2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝π；令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得：π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin A ＝3得：sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3； ∴asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝732＝1433，∴b ＋c ＝1433(sin B ＋sin C )＝1433×13314＝13.19．解析：(1)设{a n }的公比为q ，因为a 2＝2，a 4＝a 3＋4，所以a 2q 2＝a 2q ＋4，即2q 2＝2q ＋4，所以q 2－q －2＝0，因为q >0，所以q ＝2， 所以a n ＝a 2qn －2＝2·2n －2＝2n －1，所以a 3＝b 3＋b 1＝4， 设{b n }的公差为d ，则d ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d＋b 1＝4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1d ＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n ；(2)因为a n ＝2n －1，所以a 1＝20＝1，所以a n ＋b n ＝2n －1＋n ，所以T n ＝(20＋22＋…＋2n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝1－2n1－2＋n 1＋n2＝2n＋n 2＋n2－1，所以T n ＝2n＋n 2＋n2－1.20．解析：(1)因为m ∥n ，所以(c －a )(sin A ＋sin C )＝(b －a )sin B ，由正弦定理得(c －a )(a ＋c )＝(b －a )b ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由(1)知B ＝2π3－A ，由题设及正弦定理得6sin C ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3sin A ， 即22＋32cos A ＋12sin A ＝sin A ，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝22.由于0<A <2π3，－π3<A －π3<π3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝22， 故sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3sin π3＝22×12＋22×32＝6＋24. 21．解析：(1)由n (a n ＋1－a n )＝a n ＋1得：na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1n n ＋1∴a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1n －1n ＋1，即有a n ＋1＋1n ＋1＝a n ＋1n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是常数数列； (2)由(1)知：a n ＋1n＝a 1＋1＝3，∴a n ＝3n －1，∴b n ＝(－1)n(3n －1)，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1，n 为偶数－3n －1，n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n ＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋[]－3n －4＋3n －1＝3n2，显然S n ≤－99无解；当n 为奇数时，S n ＝S n ＋1－a n ＋1＝3n ＋12－[]3n ＋1－1＝－3n ＋12，令S n ≤－99，解得：n ≥1973，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.22．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x 2＋x －e x，所以f ′(x )＝x ＋1－e x，令g (x )＝f ′(x )＝x ＋1－e x，则g ′(x )＝1－e x，所以当x >0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x <0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )≤g (0)＝0，即f ′(x )≤0， 所以函数f (x )为R 上的单调递减函数．(2)若f (x )≤1恒成立，即ax 2＋x －e x≤1恒成立， 显然，当x ＝0时成立，当x ≠0时，不等式等价于a ≤e x －x ＋1x2恒成立， 令h (x )＝e x－x ＋1x2， 则h ′(x )＝x －2e x＋1x 3，当h ′(x )>0时，得x <0或x >2，即函数h (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增， 当h ′(x )<0时，得0<x <2，即函数h (x )在(0,2)上单调递减，由于x →－∞时，h (x )由正数趋近于0，当x ＝2时，h (2)min ＝e 2－14>0，所以函数h (x )的草图如图，所以a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫e x－x＋1x 2min 恒成立，只需a ≤0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．。
三角函数练习题100题(Word版,含解析)
三角函数习题100题练兵（1-20题为三角函数的基本概念及基本公式，包括同角三角函数关系，诱导公式等，21-40题三角函数的图象与性质，41-55题为三角恒等变形，56-70为三角函数基本关系及角度制与弧度制等，包括象限角弧长与扇形面积公式等，71-90题为三角函数的综合应用，91-100为高考真题。
其中1-55为选择题，56-70为填空题，71-100为解答题。
）1.函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则A. B. C. D.【解答】解：函数且的图象恒过定点，角的终边经过点，，，．故选B2.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.【解答】解：角的终边上有一点，，则．故选C．3.若，且，则角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解：，则角的终边位于一二象限，由，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限．故选择．4.已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值A. B. C. D.【解答】解：是第二象限角，为其终边上一点且，，解得，，．故选A．5.已知角的终边过点，且，则的值为A. B. C. D.【解答】解：由题意，角的终边过点，可得，，，所以，解得，故选A．6.若点在角的终边上，则A. B. C. D.【解析】解：点在角的终边上，，则，，．故选B．7.在平面直角坐标系中，，点位于第一象限，且与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是A. B. C. D.【解答】解：设，则，，故故选C．8.的大小关系为A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选C．9.已知角的终边上有一点，则的值为A. B. C. D.【解答】解：根据三角函数的定义可知，根据诱导公式和同角三角函数关系式可知，故选A．10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则A. B. C. D.【解答】解：因为角的终边过点，所以是第一象限角，所以，，因为，，所以为第一象限角，，所以，所以，故选：．11.若角的终边经过点，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，，，因为的正负不确定，则正负不确定．故选C．12.下列结论中错误的是A.B.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C.若角的终边过点，则D.若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度【解答】解：．，故A正确；B.因为为第二象限角，，所以，当为偶数时，为第一象限的角，当为奇数时，为第三象限角，故B正确；C.当时，，此时，故C错误；D.若扇形的周长为，半径为，则弧长为，其圆心角的大小为弧度，故正确．故选C．13.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么A. B. C. D.【解答】解：因为内部小正方形的内切圆面积为，所以内部小正方形的内切圆的半径为，所以内部小正方形的边长为，外部大正方形的外接圆半径为，所以大正方形的边长为，设大直角三角形中长直角边为，斜边为，则，则，所以，所以大直角三角形中短直角边为，所以，，则．故选D．14.己知是第四象限角，化简为A. B. C. D.【解答】解：是第四象限角，故，又，，则．故选B．15.函数的最小正周期为A. B. C. D.【解答】解：，所以的最小正周期．故选C．16.函数的值域是A. B. C. D.【解答】解：，令，，则，，由二次函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，当时取的最小值，其最小值为，当时取得最大值，其最大值为．故函数的值域为．故选B．17.已知，，且，，则A. B. C. D.【解答】解：由题可知，，，所以，所以，又，所以，所以，当时，．因为，所以，不符合题意，当时，同理可得，故选：．18.已知，则的值为A. B. C. D.【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以．故选A．19.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为A. B. C. D.【解答】解：，由正弦定理化简得：，整理得：，，；则．当且仅当时等号成立，可得的最小值为．故选：．20.若的内角满足，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：因为为的内角，且，所以为锐角，所以．所以，所以，即．所以．故选A．21.已知函数给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【解答】解：因为，①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；②，不是的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．故选：．22.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将该图象上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得函数的图象，则解析式是A. B.C. D.【解答】解：由题意函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点横坐标缩短为原来的一半，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点纵坐标伸长为原来的倍，得到新函数解析式为．故选A．23.如图函数的图象与轴交于点，在轴右侧距轴最近的最高点，则不等式的解集是A.，B.，C.，D.，【解答】解：由在轴右边到轴最近的最高点坐标为，可得．再根据的图象与轴交于点，可得，结合，．由五点法作图可得，求得，不等式，即，，，求得，，故选：．24.函数的图像的一条对称轴是A. B. C. D.【解答】解：令，解得，函数图象的对称轴方程为，时，得为函数图象的一条对称轴．故选C25.已知函数，若相邻两个极值点的距离为，且当时，取得最小值，将的图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的的最小正值为A. B. C. D.【解答】解：函数，所以，，相邻两个极值点的横坐标之差为，所以，所以，又，所以，当时，取得最小值，所以，，而，所以，所以，将的图象向左平移个单位得为偶函数，所以，，即．所以的最小正值为．故选A．26.函数的定义域为A. B.C. D.【解答】解：根据对数的真数大于零，得，可知：当时，，故函数的定义域为．故选A．27.设函数若是偶函数，则A. B. C. D.【解答】解：，因为为偶函数，所以当时，则，，所以，，又，所以．故选B．28.函数的部分图像如图所示，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，因为，所以，，由时，可得，所以，结合选项可得函数解析式为．故选A．29.已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数．以上命题中正确的为A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④【解答】解：对于①，，，①正确；对于②，，由，即存在常数恒有成立，②正确；对于③，，令，，则设，，令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，则的最大值为，③错误；对于④，当时，，所以在上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：．30.已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则A. B. C. D.【解答】解：由题意得最小正周期，，即，直线是图象的对称轴，，又，，故选A．31.已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数向左平移半个周期得的图象，由，可得，由于在上的值域为，即函数的最小值为，最大值为，则，得．综上，的取值范围是．故选D．32.若，则实数的取值范围是A. B. C. D.解：，，，．，，．33.如图，过点的直线与函数的图象交于，两点，则等于A. B. C. D.【解答】解：过点的直线与函数的图象交于，两点，根据三角函数的对称性得出；，，，，．是的中点，，．故选B．34.已知函数，若函数恰有个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为A. B. C. D.解：画出函数的图象，如图：结合图象可知要使函数有个零点，则，因为，所以，所以，因为，所以，且，可设，其中，所以，所以，所以的取值范围是．故选A．35.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为A. B. C. D.【解答】解：根据函数的部分图象，则：，，所以：，解得：，当时，，即：解得：，，因为，当时，，故：，现将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到：函数的图象．故选C．36.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．37.设，则函数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以，所以故选A．38.人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值设某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，则下列说法正确的是A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值【解答】解：某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：则此人收缩压；舒张压，所以此人的收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．故选C．39.设函数，下述四个结论：①的图象的一条对称轴方程为；②是奇函数；③将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的编号是A.①②B.②③C.①③D.②③④【解答】解：由题意．对①，的对称轴为，即，故是的对称轴故①正确；对②，，故为偶函数，故②错误；对③，将的图象向左平移个单位长度得到故③正确；对④，当时，，因为是的减区间，故④错误．综上可得①③正确．故选C．40.如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为A. B. C. D.【解答】解：由图象知．因为，所以，解得，所以这段时间水深的最大值是．故选C．41.若，且，则等于A. B. C. D.【解答】解：，，则，又，，则．故选：．42.若，则A. B. C. D.【解答】解：，且，，，两边同时平方得，解得或舍去，，故选B．43.，，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选：．44.若，均为锐角，，，则A. B. C.或 D.【解答】解：为锐角，，，且，，且，，，．45.在中，已知，那么的内角，之间的关系是A. B. C. D.关系不确定【解答】解：由正弦定理，即，所以，即，所以，则，所以．故选B．46.设，，则A. B. C. D.【解答】解：根据二倍角公式可得，解得，由，可得，所以，故选A．47.设，，且，则下列结论中正确的是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以．故选A．48.已知是锐角，若，则A. B. C. D.【解答】解：已知是锐角，，若，，则．故选A．49.化简的值等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．50.已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，由得．．故选B．51.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数，由函数在上单调递减，且，得解得，又，，实数的取值范围是．故选A．52.函数的最大值为A. B. C. D.【解答】解：函数，其中，函数的最大值为，故选C．53.计算：等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．54.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，即，即，，由正弦定理可得，又，所以由余弦定理可得，故选D．55.函数取最大值时，A. B. C. D.【解答】解：，其中由确定．由与得．若，则，，，此时．所以，最大值时，，，．故选．56.已知点在第一象限，且在区间内，那么的取值范围是___________．【解答】解：由题意可知，，，借助于三角函数线可得角的取值范围为．故答案为．57.已知角的终边经过点，则实数的值是【解答】解：设，由于正切函数周期为，则，又终边经过点，所以，解得，故答案为．58.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴的非负半轴，，若点是角终边上的一点，则的值是____．【解答】解：因为点是角终边上的一点，所以，由，，则在第一象限，又，所以．故答案为．59.已知，，则____________．【解答】解：，，，，．故答案为．60.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为__________．【解答】解：由题意可得，则．故答案为．61.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________．【解答】解：因为，所以扇形面积公式．故答案为．62.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．【解答】解：由于，若，，则．63.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为___________．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为，连接，过作交于，交于，交于，过作于，记扇形的面积为，由题中的长度关系易知，同理，又，可得为等腰直角三角形，可得，，，，，解得，，故答案为．64.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为______________写正数值：如果小轮的转速为转分，大轮的半径为，则大轮周上一点每秒转过的弧长为______________．【解答】解：因为大轮有齿，小轮有齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角为，如果小轮的转速为转分，则每秒的转速为转秒，由于大轮的半径为，那么大轮周上一点每转过的弧长是．故答案为．65.终边在直线上的所有角的集合是____________．【解答】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线的角的集合为，终边落在射线的角的集合为：，终边落在直线的角的集合为：．故答案为．66.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【解答】解：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．故答案为．67.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________________________．【解答】解：由题意，得与终边相同的角可表示为，与终边相同的角可表示为，故角的集合是，故答案为．68.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角三角形的内角是第一象限角或第二象限角不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关若，则与的终边相同若，则是第二或第三象限的角．其中正确的命题是填序号【解答】解：①是第二象限角，是第一象限角，但，①错误；②三角形内角有的直角，但它不是象限角，不属于任何象限，②错误；③角的度量是角所在扇形中它所对的弧长与相应半径的比值，与扇形半径无关，③正确④与的正弦值相等，但它们终边关于轴对称，④错误；⑤余弦值小于零，的终边在第二或第三象限或非正半轴上，⑤错误．故答案为③69.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______ ．解：设扇形的半径为，圆心角为，弧长，此扇形的周长为，，解得：，则扇形的面积为．故答案为．70.地球的北纬线中国段被誉为中国最美风景走廊，东起舟山东经，西至普兰东经，“英雄城市”武汉东经也在其中，假设地球是一个半径为的标准球体，某旅行者从武汉出发，以离普兰不远的冷布岗日峰东经为目的地，沿纬度线前行，则该行程的路程为__________用含的代数式表示【解答】解：地球半径为，所以北纬的纬度圈半径为，因为武汉和冷布岗日峰的经度分别为东经和东经，相差，即，所以两地在北纬的纬线长是．故答案为．71.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．求的值；若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．【参考答案】解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知．从而．，．因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以，从而．于是．因为为锐角，为钝角，所以，从而．72.如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？【参考答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，，，，，，设，则，，，，，，即时，，此时在弧的四等分点处．73.如图，圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点，设，在右侧为优弧不含端点上的两个不同的动点，且，记，四边形的面积为．求关于的函数关系；求的最大值及此时的大小．解：如下图所示：圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，，到的距离，若，则，到的距离，故令则，，的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，故当，即时，取最大值．74.如图，在中，，，为，，所对的边，于，且．求证：；若，求的值．【参考答案】证明：，，，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，则，即，，，由此即得证．解：，，，则，由知，，故的值为．75.已知角的终边经过点．求的值；求的值．【参考答案】解：Ⅰ因为角终边经过点，设，，则，所以，，．．Ⅱ．76.已知向量，．当时，求的值；若，且，求的值．【参考答案】解：首先，．当时，．由知，．因为，得，所以．所以．77.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为求的值；求的值．【参考答案】解：由已知得，，，因为为锐角，故，从而，同理可得，因此，，所以，，又，，，得．78.已知化简若是第二象限角，且，求的值．【参考答案】解：．是第二象限角，且，，是第二象限角，．79.如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．求，的值和，两点间的距离；应如何设计，才能使折线段最长？【参考答案】解：因为图象的最高点为，所以，由图象知的最小正周期，又，所以，所以，所以，，故，两点间的距离为，综上，的值为，的值为，，两点间的距离为；在中，设，因为，故，由正弦定理得，所以，．设折线段的长度为，则，所以的最大值是，此时的值为．故当时，折线段最长．80.已知函数．Ⅰ求的最小正周期；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：Ⅰ，所以的最小正周期为．Ⅱ因为，所以．于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．81.已知函数求函数的最小正周期；若函数对任意，有，求函数在上的值域．【参考答案】解：，的最小正周期；函数对任意，有，，当时，则，则，即，解得．综上所述，函数在上的值域为：．82.已知向量，．当时，求的值；设函数，且，求的最大值以及对应的的值．【参考答案】解：因为，所以，因为否则与矛盾，所以，所以；，因为，所以，所以当，即时，函数的最大值为．83.已知函数．求的值；从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．【参考答案】解：Ⅰ由函数，则；Ⅱ选择条件①，则的一个周期为；由；，因为，所以；所以，所以；当，即时，在取得最小值为．选择条件②，则的一个周期为；由；因为，所以；所以当，即时，在取得最小值为．，，84.已知函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；若存在满足，求实数的取值范围．【参考答案】解：，函数的最小正周期．由，得，的单调递增区间为．当时，可得：，令．所以若存在，满足，则实数的取值范围为．85.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【参考答案】解：函数，当，解得：，因此，函数的单调减区间为；将函数的图象向左平移个单位，得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，故的值域为．86.函数的部分图象如图所示．求的解析式；设，求函数在上的最大值，并确定此时的值．【参考答案】解：由图知，，则，，，，，，，，的解析式为；由可知：，，，，当即时，．87.已知函数的一系列对应值如下表：根据表格提供的数据求函数的一个解析式．根据的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．【参考答案】解：设的最小正周期为，则，由，得．又由解得令，即，解得，．函数的最小正周期为，且，．令．，，的图像如图．在上有两个不同的解时，，方程在时恰有两个不同的解，则，即实数的取值范围是．88.已知函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；求函数在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：由题意可知，，，得，解得．，即，，，所以，故；当时，，得；当时，即有时，函数取得最小值；当时，即有时，函数取得最大值．故，；89.已知函数．求的值；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】解：Ⅰ，．Ⅱ，．．由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围为．90.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【参考答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．高考真题91.（2016山东）设．求的单调递增区间；把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【参考答案】解：由，由，得，所以的单调递增区间是．由知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即．所以．92.（2020安徽）在平面四边形中，，，，．求；若，求．解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．93.（2105重庆）已知函数求的最小正周期和最大值；讨论在上的单调性．【参考答案】解：．所以的最小正周期，当时，最大值为．当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为94.（2020上海）已知．求的值求的值．【解答】解：原式原式．95.（2017山东）设函数，其中，已知．Ⅰ求；Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．解：Ⅰ函数，又，，，解得，又，Ⅱ由Ⅰ知，，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数当时，，，当时，取得最小值是．96（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．若，求集合；若，求使得集合恰好有两个元素；若集合恰好有三个元素：，是不超过的正整数，求的所有可能的值．【参考答案】解：等差数列的公差，数列满足，集合．当，集合，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．①当时，，数列为常数列，仅有个元素，显然不符合条件；②当时，，，数列的周期为，中有个元素，显然不符合条件；③当时，，集合，情况满足，符合题意．④当时，，，，，或者，，当时，集合，符合条件．⑤当时，，，，，或者，，因为，取，，集合满足题意．⑥当时，，，所以，，或者，，，取，，，满足题意．⑦当时，，，所以，，或者，，，故取，，，，当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，，，，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，不是整数，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，，，．97.（2017全国）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．函数是否属于集合？说明理由；设函数，且的图象与的图象有公共点，证明：；若函数，求实数的取值范围．【参考答案】解：对于非零常数，，．因为对任意，不能恒成立，所以；因为函数且的图象与函数的图象有公共点，所以方程组：有解，消去得，显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．于是对于有故；当时，，显然．当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即．因为，且，所以，，。
综合算式专项练习题三角函数与不等式
综合算式专项练习题三角函数与不等式综合算式专项练习题——三角函数与不等式一、综合算式专项练习题1. 解方程：$\sin(x+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{4}+x)$。
解答：由正弦的周期性可知，$\sin(x+\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{4}+x)$ 等价于$x+\frac{\pi}{6}-\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+2k\pi=x+\frac{\pi}{12}+2k\pi$，其中$k$为整数。
化简得到$x=\frac{\pi}{12}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$。
所以方程的解集为$S=\left\{\frac{\pi}{12}+2k\pi\Bigg|k\in\mathbb{Z}\right\}$。
2. 解方程：$\tan^2(2x-\frac{\pi}{3})=3$。
解答：由正切的周期性可知，$\tan^2 (2x-\frac{\pi}{3})=3$ 等价于$2x-\frac{\pi}{3}=\arctan(\sqrt{3})+k\pi$，其中$k$为整数。
化简得到$x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$。
所以方程的解集为$S=\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\Bigg|k\in\mathbb{Z}\right\}$。
二、三角函数与不等式1. 解不等式：$\sin(2x+1)>0$。
解答：考虑正弦函数的取值范围，我们知道 $\sin$ 函数在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是单调递增的。
首先，我们观察到$2x+1$ 的取值范围为整个实数集$\mathbb{R}$。
当$2x+1\in\left[2k\pi, 2(k+1)\pi\right]$，其中$k\in\mathbb{Z}$，时，$\sin(2x+1)>0$。
基本不等式和三角函数练习
基本不等式和三角函数练习一、选择题1.63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D. 223 2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.3 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.944.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为 （ ）A ．4B ．6C ．9D ．1610．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．11．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．12. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________. 13.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .14.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.15. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 。
16．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin(A ＋C )，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2B ，2cos 2B 2－1，且向量m 、n 共线．(1)求角B 的大小； (2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．17、在,,ABC a b c ∆中，分别为内角A,B,C 的对边.已知：)()22sin sin sin ,A C a b B ABC -=-∆的外（1）求角C 和边c ；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值并判断取得最大值时三角形的形状.18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知24sin 4sin sin 22A B A B -+=+（I ）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆面积的最大值基本不等式和三角函数练习一、选择题1. 63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D.223 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.3 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.94【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【解析】选D. 2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2.8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为 （ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．16时取等号，又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2.∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min ＞m 2＋2m 成立，即8＞m 2＋2m ，解得－4＜m ＜2.答案：D二、填空题10．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a ＋9b 的最小值为18.答案：1811．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．解析：∵xy ≤14(x ＋y )2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233.答案：23312. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.213.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ， 若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +的最小值为3.4【答案】3414.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ，若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +取最小值时，2=-a . 【答案】-215. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 。
三角函数练习题附答案
三角函数练习题附答案一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ,AD AB AC λμ=+若4AD AF =，则λ-μ的值为___________3．已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，3PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．4．已知单位向量1e ，2e 与非零向量a 满足12322e e +≤()120a e e ⋅-≤，则()1232a e e a⋅+的最大值是______.5．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =BD 长度的最大值为______．6．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．7．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有23AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．8．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______9．关于函数()()33cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）.10．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点M ，使得12MF F △的面积等于2122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）A ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．3⎛ ⎝⎦C ．122⎛ ⎝⎦D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭13．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，23cos 1sin 26A A =-，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1215．设函数()211f x x =-，()122x f e x --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ） A ．123I I I << B ．321I I I << C ．132I I I << D ．213I I I <<16．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ） A ．132B ．2C ．31+D ．2317．如图，长方形ABCD 中，152AB =，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C 151-D 51-18．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（ ） A ．6B ．62C ．12D ．12219．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ）A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5520．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合.（1）求ω和ϕ的值；（2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.22．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 23．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．24．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？26．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m ，圆心角为0120的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD //AB ；上，CD //AB ；OAB ∆区域为文化展区，AB 长为3域，且CD 长不得超过200m.(1)试确定A ，B 的位置，使OAB ∆的周长最大？(2)当OAB ∆的周长最长时，设2DOC θ∠=，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值.27．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.28．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S . 29．已知函数2133()sin 24f x x x =+（1）求()f x 的最小正周期T 和[0,]π上的单调增区间：（2）若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围.30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．982．473．28π 4535616．32⎝⎭7．4333-8．09．②③10．2二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．A 15．D 16．C 17．A 18．C19．B 20．C 三、解答题21．（1）2ω=，3πϕ=；（2）减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈ 【解析】 【分析】(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3πϕ=即可.(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入可得()h x ,利用辅助角公式求得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可.【详解】（1）因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合,所以2ω=.5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,因为2πϕ<,所以3πϕ=.（2）由（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 2cos 2212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 令()232x k k Z πππ+=+∈,可得图象的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.23．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ 在△OPQ 中，OQOP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ.由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π.故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f ′(θ)令f ′(θ)＝0，得sinθθ0满足0sin θ则0cos θ=，即()02f θ===列表如下：由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tanα单调递增则当tanα取最大值2时，α也取得最大值． 故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 24．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1. 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题. 25．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()4g x = 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题26．（1）OA 、OB 都为50m ；（2）8sin 64sin cos S θθθθ=-+；0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；最大值为2625(8m +. 【解析】 【分析】对于（1），设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在△OAB 中，利用余弦定理可得22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，整理得222m n mn =++，结合基本不等式即可得出结论；对于（2），当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD 为等腰梯形，过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB ，CD 的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知，8sin 64sin cos S θθθθ=-+ ，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S 的最大值． 【详解】解：（1）设OA m =，OB n =，m ，n (0,200)∈，在OAB ∆中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++.所以22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+.所以m n 100+，当且仅当m n 50==时，m n +取得最大值， 此时OAB ∆周长取得最大值.答：当OA 、OB 都为50m 时，OAB ∆的周长最大. （2）当AOB ∆的周长最大时，梯形ABCD 为等腰梯形.如上图所示，过O 作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB 、CD 的中点， 所以DOE θ∠=.由CD 200，得0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.在ODF ∆中，DF 200sin θ=，OF 200cos θ=. 又在AOE ∆中，OE OAcos253π==，故EF 200cos 25θ=-.所以1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=-625(38sin )(8cos 1)θθ=-625(838sin 64sin cos 3)θθθθ=-+，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.令()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()838cos 64cos 216sin 64cos 26f πθθθθθθ'⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又16sin 6y πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭及cos 2y θ=在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上均为单调递减函数，故()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.因1()1640623f π⎫'=-⨯>⎪⎪⎝⎭，故()0f θ'>在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 于是，()f θ在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递增函数.所以当6πθ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8153)+. 答：当6πθ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为2625(8153)m +.【点睛】本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+()16sin 64cos 26f πθθθ'⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.属于难题.27．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值． 【详解】 （1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈； （2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．28．（1）⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =， 集合{}*|,n S x x b n N ==∈． ∴当120,3a d π==， 所以集合3{2S =-，0，3}2． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题． 29．(1) T=π，单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) ∅ 【解析】 【分析】（1）化简函数得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算周期和单调区间.（2）分情况n 的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案. 【详解】解：（1）函数2133()sin 24f x x x =131cos 23sin 242x x +=131sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 故()f x 的最小正周期22T ππ==． 由题意可知：222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ 因为[0,]x π∈，所以()g x 的单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）由（1）得1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦和*n N ∈恒成立，则2()(1)n f x m +-⋅的最小值大于零． 当n 为偶数时，10m -+>，所以，1m 当n 为奇数时，10m -->，所以，1m <- 综上所述，m 的范围为∅. 【点睛】本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 30．(Ⅰ)3π（Ⅱ）5 【解析】 【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析： 解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-= ∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
三角函数应用专项练习题(经典)
三角函数应用专项练习题(经典)1. 问题描述本文档收集了一些经典的三角函数应用练题，帮助学生强化对三角函数的理解和应用能力。
这些练题包括求解三角函数的值、求解三角函数方程、求解三角函数不等式等。
每个问题都提供了解题思路和详细步骤，供学生参考。
2. 练题2.1 求解三角函数的值2.1.1 题目一已知角A为第一象限角，且sin A = 0.5，求cos A的值。
2.1.2 题目二已知角B为第二象限角，且tan B = -√3，求sin B的值。
2.2 求解三角函数方程2.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，在区间[0, 2π]内。
2.2.2 题目四解方程2cos^2 x - 3 = 0，在区间[-π, π]内。
2.3 求解三角函数不等式2.3.1 题目五求解不等式sin x - cos x ≤ 0，在区间[-π/2, π/2]内。
2.3.2 题目六求解不等式tan^2 x - 2tan x + 1 ≥ 0，在区间[-π, π]内。
3. 解答和步骤3.1 求解三角函数的值3.1.1 题目一由sin A = 0.5可知，角A的对边为0.5，斜边假设为1。
根据勾股定理，可以求得角A的邻边为√(1^2 - 0.5^2) = √(1 - 0.25) =√0.75 = √(3/4) = √3/2。
由于角A为第一象限角，邻边为正数。
所以cos A = √3/2。
3.1.2 题目二由tan B = -√3可知，角B的对边为-√3，邻边假设为1。
根据勾股定理，可以求得角B的斜边为√(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2。
由于角B为第二象限角，邻边为负数。
所以sin B = -√3/2。
3.2 求解三角函数方程3.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，可以通过求逆函数arcsin来得到解。
使用计算器可以得到arcsin 0.8 ≈ 0.927。
因为arcsin的定义域是[-π/2, π/2]，所以解法中要考虑解在这个区间的情况。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
高一课本数学练习题
高一课本数学练习题一、集合与函数(1) A = {x | x是小于5的自然数}(2) B = {x | x是平方后小于10的正整数}(1) 若A∩B = ∅，则A∪B = A(2) 若A⊆B，则B⊆A(1) f(x) = √(x^2 5x + 6)(2) g(x) = 1 / (x 2)二、三角函数(1) sin(π α)(2) cos(π/2 + β)2. 已知sinα = 1/2，求cos(2α)的值。
(1) tan(45°)(2) cot(30°)三、数列(1) an = 2n + 1(2) bn = n^2 n(1) 2, 4, 8, 16, 32, …(2) 1, 3, 6, 10, 15, …(1) 1, 4, 9, 16, 25, …四、平面向量1. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。
(1) a = (1, 2)，b = (2, 4)(2) c = (3, 4)，d = (6, 8)3. 求向量a = (4, 5)和向量b = (3, 2)的和。
五、平面几何1. 已知三角形ABC，AB = 5，BC = 8，AC = 10，判断三角形ABC的形状。
(1) 圆心在原点，半径为3(2) 圆心在点(2, 1)，半径为43. 已知直线y = 2x + 1和直线y = x + 3，求两直线的交点坐标。
六、立体几何1. 求长方体的对角线长度，已知长、宽、高分别为3、4、5。
2. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，求圆锥的侧面积。
3. 求正四面体的体积，已知棱长为a。
七、解析几何1. 在直角坐标系中，求点P(2, 1)关于x轴的对称点的坐标。
2. 写出经过点A(3, 4)和点B(2, 1)的直线方程。
3. 求圆(x 1)^2 + (y + 2)^2 = 16与直线x + y = 3的交点坐标。
八、不等式与不等式组1. 解不等式：2x 3 > x + 1。
2. 解不等式组：(1) 3x 4y > 72x + y < 5(2) x 2 > 02x + 3 < 53. 已知不等式a 2b > 4，求a + 3b的最大值，其中a和b均为正数。
三角函数定义练习含答案
课时作业3三角函数的定义时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列命题中正确的是( )A．若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角B．若α>β，则cosα<cosβC．若sinα＝sinβ，则α与β是终边相同的角D．若α是第三象限角，则sinαcosα>0且cosαtanα<0解析：α是第三象限角，sinα<0，cosα<0，tanα>0，则sinαcosα>0且cosαtanα<0.答案：D2．若sinθ·cosθ<0，则θ在( )A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限解析：因为sinθcosθ<0，所以sinθ，cosθ异号．当sinθ>0，cosθ<0时，θ在第二象限；当sinθ<0，cosθ>0时，θ在第四象限．3．若角α的终边经过点P (35，－45)，则sin αtan α的值是( )B ．－1615D ．－1516解析：∵r ＝352＋－452＝1，∴点P 在单位圆上．∴sin α＝－45，tan α＝－4535＝－43.∴sin αtan α＝(－45)·(－43)＝1615.答案：A4．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则角α为( ) A ．2k π＋π4，k ∈ZB ．2k π－π4，k ∈ZC ．k π＋π4，k ∈ZD ．k π－π4，k ∈Z解析：∵角α过点(1，－1)，∴α＝2k π－π4，k ∈Z .故选B.5．已知角α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上，则sin αcos α等于( )A ．－310B ．－1010解析：在α终边上取一点P (1，－3)，此时x ＝1，y ＝－3. ∴r ＝1＋－32＝10.∴sin α＝y r ＝－310，cos α＝x r ＝110.∴sin αcos α＝－310×110＝－310.答案：A6．函数y ＝sin x ＋lgcos xtan x 的定义域为( )解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0 ①cos x >0 ②tan x ≠0 ③由①知：x 的终边在x 轴上、y 轴非负半轴上或第一、二象限内．由②知：x 的终边在第一、四象限或x 轴的正半轴．由③知x 的终边不能在坐标轴上．综上所述，x 的终边在第一象限，即函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z. 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．用不等号(>，<)填空：(1)sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3________0；(2)tan100°sin200°·cos300°________0. 解析：(1)∵45π在第二象限，5π4在第三象限，5π3在第四象限，∴sin 4π5>0，cos 5π4<0，tan 5π3<0，∴sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3>0.(2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限，∴tan100°<0，sin200°<0，cos300°>0， ∴tan100°sin200°·cos300°>0. 答案：(1)> (2)>8．函数f (x )＝cos x 的定义域为__________________． 解析：若使f (x )有意义，须满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }． 答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }9．下列说法正确的有________．(1)正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零(2)若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为钝角三角形(3)对任意的角α，都有|sin α＋cos α|＝|sin α|＋|cos α| (4)若cos α与tan α同号，则α是第二象限的角解析：对于(1)正角和负角的正弦值都可正、可负，故(1)错． 对于(2)∵sin α·cos β<0，又α，β∈(0，π)，∴必有sin α>0，cos β<0，即β∈(π2，π)，∴三角形必为钝角三角形，故(2)对．对于(3)当sin α，cos α异号时，等式不成立．故(3)错． 对于(4)若cos α，tan α同号，α可以是第一象限角，故(4)错．因此填(2)．答案：(2)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．已知角α的终边上一点P 与点A (－3,2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，求sin α＋sin β的值．解：由题意，P (3,2)，Q (3，－2)， 从而sin α＝232＋22＝21313，sin β＝－232＋－22＝－21313， 所以sin α＋sin β＝0. 11．求下列函数的定义域．(1)y ＝cos x ＋lg(2＋x －x 2)；(2)y ＝tan x ＋cot x .解：(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥0，2＋x －x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k πk ∈Z，－1<x <2.取k ＝0解不等式组得－1<x ≤π2，故原函数的定义域为⎝⎛⎦⎥⎤－1，π2.(2)因为tan x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }，cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }，所以函数y ＝tan x ＋cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k∈Z }∪{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }＝{x |x ∈R ，且x ≠k π2，k ∈Z }．12．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，设点P 到原点的距离为r .则r ＝|OP |＝12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)．则r ＝|OQ |＝－12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2.综上所得，当α是第一象限角时， sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2；当α是第三象限角时，sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。
1.解三角函数不等式 练习题
[][]12123432411sin 2sin 122,20,0,,2,,2x y x y x x x x x x x x ππππ===+=-+=①②图中画出了两个周期T 的图象，可以看出有两组解，在，这一个例 解方程：解析：看成函数与函数周期内有解,在这一个相等的问题;即知道其周期内有中一个解解且，可两组解的关系知道另是:一个解；()4345661sin 526sin sin sin sin 6666x x x x x x πππππππππππ⎧=-=⎪⎪==⇒⎨⎛⎫⎪=-⇒=-⇒=-= ⎪⎪⎝⎭⎩由对称性可知道③由容易得到由诱导公式 三角函数专题（一）一、三角函数方程与不等式1212341324,.2,,,2,2T x x x x x x x x x x πππ+=+=知识点：①②解三角函数方程与三角函数不等式，主要用到方程每个周期内都有两个解每个周期内的解相差一个周期；如：若周期为T=，第一个周期内的解为第二个与函数，数形结合的思想，即利用图象解方程与不等式；③主要利用三角函数的图象的对称性或诱导公周期内的解式求根为，则与解集；1x 2x 3x 4x ()1324121172,26615sin 2,2,.2266x x x x x x k x k k Z k πππππππππ∴=-=-=-=-==+=+∈解：解集为注：后缀的表明每个周期内有这样子的一个解()()11sin 252,2,6612sin 272,2,66x k k k Zx k k k Zππππππππ>⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭<⎛⎫-++ ⎪⎝⎭∈解不等式：解：如图阴影部分，解集为解集为1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4x 12y =12y =12y =2x 1x 3x 4x ()()2313421211sin 21sin 2667665112,26615sin 2,2,266x x x x x x x x x x x k x k k Zπππππππππππππ=-=⇒==-=+==-=-=+=∴=-=-+=-+∈例2 解方程：解析：由由对称性易知 从而可知提示：知道一个解，可求另一解的解集为6x π↑1x 2x 3x 4x ()17(2)sin 2,2266153sin 2,2266x k k x k k ππππππππ⎛⎫>-⇒-++∈ ⎪⎝⎭⎛⎫<-⇒-+-+∈ ⎪⎝⎭解集为,k Z 解集为,k Z 12y =-()()()343413243411cos 21cos 23,1cos cos cos 224422,2333333124cos 22,233x x x x x x x x x x x x k x k k Zπααππαπααππππππππππππππ=-=⇒==-=+=-=-∴=-=+⇒=-=-=-=-∴=-=+=+∈例3 解方程：解析：观察发现关于对称，则由诱导公式=,= 的最后解集为或2x 1x 3x 4x α()1(2)cos 2222,23313cos 2242,233x k k x k k ππππππππ>-⎛⎫⇒-++ ⎪⎝⎭∈<-⎛⎫⇒++∈ ⎪⎝⎭解集为,k Z解集为,k Z2x 1x 3x 4x()()()sin 2203..55 . 3626f x x f x A B C D ππππϕϕπ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭例5 已知，且过点，则的值可以是 ．以上例题表明，解三角函数方程是解不等式以及解其他题目的关键。
(完整版)三角函数定义练习含答案
课时作业3 三角函数的定义时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下列命题中正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析：α是第三象限角，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则sin αcos α>0且cos αtan α<0.答案：D2．若sin θ·cos θ<0，则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：因为sin θcos θ<0，所以sin θ，cos θ异号．当sin θ>0，cos θ<0时，θ在第二象限；当sin θ<0，cos θ>0时，θ在第四象限．答案：D3．若角α的终边经过点P (35，－45)，则sin αtan α的值是( )A.1615 B ．－1615C.1516 D ．－1516解析：∵r ＝(35)2＋(－45)2＝1，∴点P 在单位圆上．∴sin α＝－45，tan α＝－4535＝－43.∴sin αtan α＝(－45)·(－43)＝1615.答案：A4．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则角α为( )A ．2k π＋π4，k ∈Z B ．2k π－π4，k ∈ZC ．k π＋π4，k ∈Z D ．k π－π4，k ∈Z解析：∵角α过点(1，－1)，∴α＝2k π－π4，k ∈Z .故选B.答案：B5．已知角α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上，则sin αcos α等于() A ．－310 B ．－1010 C.310 D.1010解析：在α终边上取一点P (1，－3)，此时x ＝1，y ＝－3. ∴r ＝1＋(－3)2＝10. ∴sin α＝y r ＝－310，cos α＝x r ＝110 .∴sin αcos α＝－310×110＝－310.答案：A6．函数y ＝sin x ＋lgcos x tan x的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z C.{}x | 2k π<x <2k π＋π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z 解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0 ①cos x >0 ②tan x ≠0 ③由①知：x 的终边在x 轴上、y 轴非负半轴上或第一、二象限内．由②知：x 的终边在第一、四象限或x 轴的正半轴．由③知x 的终边不能在坐标轴上．综上所述，x 的终边在第一象限，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z . 答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用不等号(>，<)填空： (1)sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3________0；(2)tan100°sin200°·cos300°________0.解析：(1)∵45π在第二象限，5π4在第三象限，5π3在第四象限，∴sin 4π5>0，cos 5π4<0，tan 5π3<0，∴sin 4π5·cos 5π4·tan 5π3>0.(2)∵100°在第二象限，200°在第三象限，300°在第四象限， ∴tan100°<0，sin200°<0，cos300°>0，∴tan100°sin200°·cos300°>0. 答案：(1)> (2)>8．函数f (x )＝cos x 的定义域为__________________．解析：若使f (x )有意义，须满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴f (x )的定义域为{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }．答案：{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z }9．下列说法正确的有________．(1)正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零(2)若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为钝角三角形(3)对任意的角α，都有|sin α＋cos α|＝|sin α|＋|cos α|(4)若cos α与tan α同号，则α是第二象限的角解析：对于(1)正角和负角的正弦值都可正、可负，故(1)错．对于(2)∵sin α·cos β<0，又α，β∈(0，π)，∴必有sin α>0，cos β<0，即β∈(π2，π)，∴三角形必为钝角三角形，故(2)对．对于(3)当sin α，cos α异号时，等式不成立．故(3)错．对于(4)若cos α，tan α同号，α可以是第一象限角，故(4)错．因此填(2)．答案：(2)三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知角α的终边上一点P 与点A (－3,2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，求sin α＋sin β的值．解：由题意，P (3,2)，Q (3，－2)，从而sin α＝232＋22＝21313， sin β＝－232＋(－2)2＝－21313，所以sin α＋sin β＝0.11．求下列函数的定义域．(1)y ＝cos x ＋lg(2＋x －x 2)；(2)y ＝tan x ＋cot x .解：(1)依题意有⎩⎨⎧ cos x ≥0，2＋x －x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，－1<x <2.取k ＝0解不等式组得－1<x ≤π2，故原函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，π2. (2)因为tan x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }，cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }，所以函数y ＝tan x ＋cot x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }∪{x |x ∈R ，且x ≠k π，k ∈Z }＝{x |x ∈R ，且x ≠k π2，k ∈Z }．12．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，设点P 到原点的距离为r .则r ＝|OP |＝12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝15＝55， tan α＝21＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)．则r ＝|OQ |＝(－1)2＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2. 综上所得，当α是第一象限角时，sin α＝255，cos α＝55，tan α＝2； 当α是第三象限角时，sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。
高三三角函数习题练习-含解析
三角函数习题练习一、单选题（共12题）1.若则( )A. B. C. D.2.将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.3.若，则的值为A. B. C. D.4.（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）（4题）（5题）A. B. C. D.5.（2016•全国）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A.y=2sin（2x﹣）B.y=2sin（2x﹣）C.y=2sin（x+ ）D.y=2sin（x+ ）6.（2018•天津）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减7.（2018•卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则（）A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为48.（2018•卷Ⅲ）若，则=（）A. B. C.- D.-9.若锐角满足，则（）A. B. C. D.10.（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A. B. C. D.11.（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= b，且a＞b，则∠B=（）A. B. C. D.12.设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b二、填空题（共4题；共0分）13.函数（）的部分图象如图所示，则________；函数在区间上的零点为________．（13题）（14题）14.函数的图象如右图所示，则的表达式是________.15.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则________.16.在中，角所对的边分别为，，的面积，则的周长为________．三、解答题（共6题；共0分）17.已知函数（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．（2）先将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称中心．18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式;（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域.19.如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足．（1）证明：；（2）若，设, 求四边形面积的最大值.20.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值及的单调增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．21.函数的部分图象如图所示.（1）求及图中的值；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.22.已知函数的部分图象如图所示.（1）将函数的图象保持纵坐标不变,横坐标向右平移个单位后得到函数的图象,求函数在上的值域;（2）求使的x的取值范围的集合.三角函数习题练习答案第 1 题:【答案】C【解析】【解答】，所以，第 2 题:【答案】A【解析】【解答】横坐标伸长到原来的2倍，说明周期变成原来的2倍，则，再把图象向左平移个单位长度，说明，而关于y轴对称，则，结合，计算得到，故答案为：A。
高中数学练习题基础
高中数学练习题基础一、集合与函数(1) A = {x | x是小于5的自然数}(2) B = {x | x² 3x + 2 = 0}(1) 若A∩B = ∅，则A∪B = A(2) 对于任意实数集R，有R⊆R(1) f(x) = √(x² 5x + 6)(2) g(x) = 1 / (x² 4)(1) f(x) = x³ 3x(2) g(x) = |x| 2二、三角函数(1) sin 45°(2) cos 60°(3) tan 30°2. 已知sin α = 1/2，α为第二象限角，求cos α的值。
(1) y = sin(2x + π/3)(2) y = cos(3x π/4)三、数列(1) an = n² + 1(2) bn = 2^n 1(1) 2, 4, 8, 16, 32, …(2) 1, 3, 6, 10, 15, …(1) 1, 4, 9, 16, 25, …四、平面向量1. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。
2. 计算向量a = (4, 5)与向量b = (3, 2)的数量积。
(1) a = (2, 1)，b = (4, 2)(2) a = (1, 3)，b = (2, 1)五、平面解析几何(1) 经过点(2, 3)且斜率为2的直线(2) 经过点(1, 3)且垂直于x轴的直线(1) 圆心在原点，半径为3的圆(2) 圆心在点(2, 1)，半径为√5的圆(1) 点(1, 2)到直线y = 3x 1的距离(2) 点(2, 3)到直线2x + 4y + 6 = 0的距离六、立体几何(1) 正方体边长为2(2) 长方体长、宽、高分别为3、4、52. 已知正四面体棱长为a，求其体积。
(1) 正方体A边长为2，正方体B边长为4(2) 长方体A长、宽、高分别为3、4、5，长方体B长、宽、高分别为6、8、10七、概率与统计1. 抛掷一枚硬币10次，求恰好出现5次正面的概率。
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三角函数、数列、不等式练习题
命题人：刁化清
一、选择题
1．对于任意的实数,,a b c ，下列命题正确的是
A ．若22bc ac >，则b a >
B ．若0,≠>c b a ，则bc ac >
C ．若b a >，则
b a 11< D ．若b a >，则22b
c ac > 2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )
A.2a b a b +<<
<
B.2a b a b +<<<
C.2a b a b +<<
2
a b a b +<<< 3．数列{a n }满足13n n a a +=+(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15796log ()a a a ++的值是( )
A ．－2
B ．－12
C ．2 D.12
4．等差数列{a n }中，已知前15项和为S 15＝90，则a 8的值为( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．12
5．如果角θ
的终边经过点1()2
，那么tan θ的值是 A ．12 B
．2- C
D
．3
- 6．已知a 是函数13()3log x
f x x =-的零点，若00x a <<，则)(0x f 的值满足
A ．0()0f x =
B ．0()0f x >
C ．0()0f x <
D ．)(0x f 的符号不确定
7. 在等差数列｛n a ｝中，若,8171593=+++a a a a 则=11a （ ）
A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
8．已知等差数列前n 项和为n S ，且，则13S 的值为
A ．13
B ．26
C ．8
D ．162
9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ）
A ．80
B ．30
C ．26
D ．16
10．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若2cos a c B =，则ABC ∆的形状为
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++=
11．已知正数,x y ，满足⎩⎨
⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为 A ．1 B ．3241 C ．161 D ．32
1 12．变量y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则目标函数y x z +=2有（）
A ．3,12min max ==z z
B ．,12max =z z 无最小值
C ．z z ,3min =无最大值
D ．z 既无最大值，也无最小值
13．已知不等式9)1)((≥+
+y a x y x 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题 14．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.
15.等比数列{}n a ，已知9,103131=⋅=+a a a a ，且公比为正整数，则数列{}n a 的前n 项和 ．
16. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,3222_________.
17.已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为.
18. 已知x ＞0，函数y ＝2－3x －4x
最大值为. 19.已知0,0x y >>，且191x y
+=，x y +的最小值为________.
三、解答题
20
．已知2())2sin (0)2x
f x x ωωω=->的最小正周期为3π． （Ⅰ）当3[,]24x ππ
∈时，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）在ABC ∆，若()1f C =，且22sin cos cos()B B A C =+-，求sin A 的值．
21．已知，点在函数的图象上，其中
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22.ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，若4cos , 2.5B b =
= （1）当5,3
a =求角A 的度数； （2）求ABC ∆面积的最大值。
22．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和.2n S n =
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）设n n
b a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .
23.设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+122n n b b +=+，
(1) 求证：数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比)，
(2) 求数列}{n a 的通项公式． 12a =1(,)n n a a +2()2f x x x =+1,2,3n = {}lg(1)n a +{}n a 112n n n b a a =
++{}n b n n S。