数列与不等式专题练习[1]
不等式1
不等式1一、单选题1.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m， a n使得=4a1，则+ 的最小值为（）A. B.C. D.2.不等式x2﹣4x＞2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A. （1，4）B. （﹣4，﹣1）C. （﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）D. （﹣∞，1）∪（4，+∞）3.关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），则关于x的不等式bx2﹣ax﹣2＞0的解集为（）A. （﹣2，1）B. （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D. （﹣1，2）4.已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1， x2，且 0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是（）A. B. C.D.5.已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 56.已知实数x，y满足，记z=ax﹣y（其中a＞0）的最小值为f（a），若f（a）≥﹣，则实数a的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.如果实数x，y满足约束条件，则z= 的最大值为（）A. B. C. 2 D. 38.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，则的最小值是（）A. B.C. D. 29.已知正数x，y满足，则z=（）x•（）y的最小值为（）A. 1B.C.D.10.设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A. B. [1，12] C. D. [2，12]11.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）A. （﹣1，+∞）B. （﹣∞，﹣1）C. （1，+∞）D. （﹣∞，1）12.已知函数f（x）=ax2﹣bx+1，点（a，b）是平面区域内的任意一点，若f（2）﹣f（1）的最小值为﹣6，则m的值为（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 213.已知x，y满足，则（x﹣1）2+（y﹣1）2的取值范围是（）A. [5，25]B. [1，25]C.D.二、填空题14.已知向量=（m，1），=（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+ 的最小值________．15.设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为：________．16.已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为________．17.已知ab= ，a，b∈（0，1），则+ 的最小值为________．18.已知不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是________．19.已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是________．20.若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=________．21.已知O是坐标原点，点A（-2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是________．22.已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为________．三、解答题23.解含参数a的一元二次不等式：（a﹣2）x2+（2a﹣1）x+6＞0．24.已知a∈R，解关于x的不等式（a﹣1）x2+（2a+3）x+a+2＜0．25.若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，求不等式cx2﹣bx﹣a＜0的解集．26.已知函数f（x）= x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a= 时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．四、综合题27.已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|b＜x＜2}，求a，b的值；（3）若关于x的不等式f（x）≤0的解集是P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=∅，求实数a的取值范围．28.已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；（2）若f（x）≥mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．29.设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A．（1）对任意的x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值．（2）若a+b=1，a，b∈R+，求+ 的最小值，并指出取得最小值时a的值．30.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若且直线与函数的图象可以围成一个三角形，求的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】基本不等式，等比数列的通项公式【解析】【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足 a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当= 时，等号成立．故的最小值等于，故选A．【分析】由 a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：不等式x2﹣4x＞2ax+a变形为 x2﹣（4+2a）x﹣a＞0，该不等式对一切实数x恒成立，∴△＜0，即（4+2a）2﹣4•（﹣a）＜0；化简得a2+5a+4＜0，解得﹣4＜a＜﹣1；∴实数a的取值范围是（﹣4，﹣1）．故答案为：B．【分析】把不等式x2﹣4x＞2ax+a化为x2﹣（4+2a）x﹣a＞0，根据不等式恒成立时△＜0，求出a的取值范围．3.【答案】B【考点】一元二次不等式的应用【解析】【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根∴∴a=﹣1，b=1∴不等式bx2﹣ax﹣2＞0为x2+x﹣2＞0，∴x＜﹣2或x＞1故答案为：B．【分析】根据不等式的解集可得出﹣1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根，代入可解得a，b的值，从而得出不等式的解集.4.【答案】D【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】【解答】解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故答案为：D．【分析】由题意可得，根据一元二次方程根的分布与系数的关系以及三个二次之间的关系，分析的几何意义利用线性规划在直角坐标系中作出满足条件的可行域求得。
不等式题库100题
不等式题库21．函数，.〔Ⅰ〕解不等式；〔Ⅱ〕假设对，，有，，求证：.2．函数，.(Ⅰ)当，求不等式的解集；(Ⅱ)假设函数满足，且恒成立，求的取值范围.3．选修4－5：不等式选讲函数.〔1〕当时，求不等式的解集；〔2〕设，记，证明：.4．.〔1〕假设，求的取值范围；〔2〕假设，的图像与轴围成的封闭图形面积为，求的最小值.5．函数和的图象关于原点对称，且．〔1〕解关于的不等式；〔2〕如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．6．函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设不等式有解，求的取值范围．7．函数．〔Ⅰ〕当时，解不等式；〔Ⅱ〕假设，恒成立，求实数的取值范围．8．函数的最小值为．〔1〕求实数的值；〔2〕假设，设，且满足，求证：．9．选修4-5：不等式选讲函数假设，求不等式的解集；假设函数有三个零点，求实数的取值范围.10．均为正数，且，求的最小值，并指出取得最小值时的值．11．函数.〔Ⅰ〕求的值域；〔Ⅱ〕假设关于的不等式有解，求证：.12．函数，.〔1〕当时，解不等式；〔2〕假设的解集包含，求的取值范围.13．〔1〕求不等式的解集；〔2〕两个正数、满足，证明：.14．选修4-5：不等式选讲函数求不等式的解集；设函数的最小值为，当，且时，求的最大值. 15．函数.〔Ⅰ〕当时，求不等式的解集；〔Ⅱ〕假设函数的最小值为3，且，，证明：.16．选修4-5：不等式选讲函数.〔1〕设，求不等式的解集；〔2〕，且的最小值等于，求实数的值.17．函数, ．(1)当时，求不等式的解集；〔2〕假设，都有恒成立，求的取值范围．18．设函数．解不等式；假设对一切实数x均成立，求m的取值范围．19．函数，，.〔1〕当时，求不等式的解集；〔2〕假设不等式恒成立，求的取值范围.20．函数，.〔1〕当时，解不等式；〔2〕假设存在满足，求的取值范围．21．f〔x〕＝﹣x+|2x+1|，不等式f〔x〕＜2的解集是M．〔Ⅰ〕求集合M；〔Ⅱ〕设a，b∈M，证明：|ab|+1＞|a|+|b|．22．设函数.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设，恒成立，求的取值范围.23．函数．〔Ⅰ〕在图中作出函数y =的图象，并求出其与直线围成的封闭图形的面积；〔Ⅱ〕假设g(x)=|2x-a|+|x-1|.当+g(x)≥3对一切实数x恒成立，求实数a的范围。
高考数学复习热点08 数列与不等式(原卷版)-2021年高考数学专练(新高考)
热点08 数列与不等式【命题趋势】在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则的值为（ ）1144S =378a a a ++A ．11B ．12C ．13D ．142．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是等比数列，且，{}n a 1231a a a ++=，则（ ）234+2a a a +=678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．323．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））等差数列的前项和为,且，.设{}n a n n S 10a >500S =，则当数列的前项和取得最大值时, 的值为（ ）()*12n n n n b a a a n N ++=∈{}nb n nT n A ．23B ．25C ．23或24D ．23或254．（2020·广西高三一模（理））已知数列，，则（ ）21131322n n n a a a --=++12a =()25log 1a +=A ．B ．C ．D ．263log 331-231log 315-363log 231-331log 215-5．（2020年浙江省高考数学试卷）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，11a d≤b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能成立的是（ ）n *∈N A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．D ．2428a a a =2428b b b =6．（2020·江苏宝应中学高二期中）若a ，b 为正实数，且，则的最小值为（ ）1123a b +=3a b +A ．2B ．C ．3D ．4327．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且{}n a n n S ，，，则的通项公式为（ ）12n n S a n +=+-*n N ∈12a ={}n a A ．B ．C ．D ．121n n a -=-12n n a -=121n n a -=+2nn a =8．（2020·贵州高三其他模拟（理））已知是双曲线的半焦距，则的最c 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>a b c+大值是（ ）A BC D9．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知正项等比数列满足，，又为数{}n a 112a =2432a a a =+n S 列的前项和，则（ ）{}n a n 5S =A ． 或B ．312112312C ．D ．15610．（2020·河南焦作·高三一模（理））在等比数列中，，，则（{}n a 11a =427a =352a a +=）A ．45B ．54C ．99D ．8111．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列中，，，若{}n a 12a =m n m n a a a +=，则（ ）155121022k k k a a a ++++++=- k =A ．2B ．3C ．4D ．512．（2020·江西高三二模（理））已知等比数列的首项，公比为，前项和为，则“{}n a 10a >q n n S”是“”的（ ）1q >3542S S S +>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020·浙江省东阳中学高三其他模拟）已知数列的前n 项和，则{}n a ()212,1n n S n a n a =≥=n a =（ ）A ．B ．C ．D ．()21n n +22(1)n +121n-121n -二、多选题14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．B ．2212a b +≥122a b ->C ．D 22log log 2a b +≥-+≤15．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{a n }满足：0＜a 1＜1，．则下列说()14n n n a a ln a +-=-法正确的是（ ）A ．数列{a n }先增后减B ．数列{a n }为单调递增数列C ．a n ＜3D ．202052a >三、填空题16．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈17．（2020·广西高三一模（理））已知数列和满足，，，{}n a {}n b 12a =11b =1n n n a b b ++=.则＝_______.114n n n a b a +++=20211008b a 18．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知，若不等式对140,0,1m n m n >>+=24m n x x a +≥-++已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．,m n x a 19．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列.若，数列满足，前n 项和为，sin sin sin B A C ={}n a 32|cos |2nn a nB =n S 2nS =__________.20．（2020·四川遂宁·高三零模（理））已知均为实数，函数在时取,a b 1()(2)2f x x x x =+>-x a =得最小值，曲线在点处的切线与直线_____2ln(1)y x =+()0,0y bx =a b +=四、解答题21．（2020·福建莆田·高三其他模拟）在①；②为等差数列，其中成131n n n a a a +=+1{}n a 236111,1,a a a +等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答2123111132n n na a a a -++++= 补充完整的题目.已知数列中，______.{}n a 11a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设为数列的前项和，求证：.1,n n n n b a a T +={}n b n 13n T <注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知公比大于的等比数列满足，，1{}n a 2312a a +=416a =.2log n n b a =（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）若数列的前项和为，求的前项和.{}n b n n S ()()*12n nnn a c n S -=∈N n n T 23．（2020年天津高考数学卷）已知为等差数列，为等比数列，{}n a {}n b ．()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-（Ⅰ）求和的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记的前项和为，求证：；{}n a n n S ()2*21n n n S S S n ++<∈N （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．n ()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数{}n c 2n 24．（2020年浙江省高考数学试卷）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，．1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且，求q 与{a n }的通项公式；0q >1236b b b +=（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．0d >1211n c c c d +++<+*()n N ∈25．（2018·陆川中学高三其他模拟（理））已知数列为公差不为零的等差数列，且，{}n a 23a =1a 3a ，成等比数列.7a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.{}n b 110101n n n b a a +=+{}n b n n S 12n S <。
数列与不等式30大题(有答案)
S1 S2
Sn
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10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0，a3 = b3 > 0，a1 ≠ a3，试比较 a5 和 b5 的大 小．
11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ ∗ ．
(1) 求数列 an 的通项公式；
∗ 成立，
18. 已知常数 p 满足 0 < p < 1，数列 xn 满足 x1 = p + 1p，xn+1 = xn2 − 2．
(1) 求 x2，x3，x4；
(2) 猜想 xn 的通项公式(不用给出证明)； (3) 求证：xn+1 > xn 对 n ∈ ∗ 成立．
19. 设 b > 0 ，数列
an
大值．
7. 已知 an 是正整数组成的数列，a1 = 1 ,且点( an,an+1 )( n ∈ ∗ )在函数 y = x2 + 1 的图象上；
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列 bn 满足 b1 = 1，bn+1 = bn + 2an ,求证：bn ⋅ bn+2 < bn2+1
8. x,y ∈
∈
+ 都成立
的最大正整数 k 的值．
6. 已知数列 an 是等比数列，首项 a1 = 1，公比 q > 0，其前 n 项和为 Sn，且 S1 + a1，S3 + a3，
S2 + a2 成等差数列．
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列
bn
满足 an+1 =
数列与不等式结合典型题
数列与不等式结合典型题1.已知数列}{n a 中，),3,2,1(0 =>n a n ，其前n 项和为n S ，满足*,)1(N n a p S p n n ∈-=-，10≠>p p 且. 数列}{n b 满足.log 1n p n a b -=（Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项n n b a 与； （Ⅱ）若n nn n T a b c p ,,21==记为数列}{n c 的前n 项和，求证：.40<<n T2．已知定义在（－1，1）上的函数)1,1(,,1)21()(-∈=y x f x f 且对满足时，有).1()()(xyyx f y f x f --=-（I ）判断)1,1()(-在x f 的奇偶性，并证明之； （II ）令)}({,12,21211n nn n x f x x x x 求数列+==+的通项公式； （III ）设T n 为数列})(1{n x f 的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的34,-<∈*m T N n n 有成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.3．（本小题满分14分）设函数)0()(22>-+=a a x x x f（Ⅰ）求)()(1x f x f -的反函数及定义域；（Ⅱ）若数列}{,),(,3}{111n n n n n n n b aa aa b a f a a a a 求设满足+-===-+的通项公式；（Ⅲ）S n 表示{b n }的前n 项和，试比较S n 与87的大小. 4.（本小题满分14分）已知数列.)11(2,2:}{211n n n a na a a +==+满足 （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n C Bn An b 2)(2⋅++=，试推断是否存在常数A ，B ，C ，使对一切*∈N n 都有n n n b b a -=+1成立？说明你的理由；（3）求证：.2)22(2221+⋅+-≥+++n n n n a a a5. 设函数f （x ）=22-ax x （a ∈N*）, 又存在非零自然数m, 使得f （m ）= m , f （– m ）< –m1成立.（1） 求函数f （x ）的表达式;（2） 设{a n }是各项非零的数列, 若)...(41)1(21n n a a a a f +++=对任意n ∈N*成立, 求数 列{a n }的一个通项公式;（3） 在（2）的条件下, 数列{a n }是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明6. 已知函数)3(1)(b ax f x-=的图象过点A （1，2）和B （2，5）. （1）求函数)(x f 的反函数)(1x f -的解析式；（2）记*)(,3)(1N n a n f n ∈=-，试推断是否存在正数k ，使得12)11()11)(11(21+≥+++n k a a a n对一切*N n ∈均成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由.卷二一、选择题：（每小题5分，共50分）1、数列95,74,53,32,1的一个通项公式n a 是（ ） A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、32+n n2、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且24282a a a =，11=a 则=2a （ ）A 、2B 、2C 、22D 、213、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02564=-+a a a 则=9S （ ）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知)1,0(,21∈a a ，记21a a M =，121-+=a a N 则M 与N 的大小关系（ ） A 、M<N B 、M>N C 、M=N D 、不确定5、若011<<b a ，则下列不等式：bc a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中正确的是（ ）A 、（1）（2）B 、（2）（3）C 、（1）（3）D 、（3）（4）6、不等式1213≥--x x 的解集是 （ ） A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤243x x B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤243x x C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>432x x x 或 D 、{}2<x x7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则（ ）A 、 1B 、 1-C 、 2D 、 128、在的条件下，，00>>b a 三个①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+22，其中正确的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A 、3,12min max ==z zB 、,12max =z z 无最小值C 、z z ,3min =无最大值D 、z 既无最大值，也无最小值10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A 、11<<-aB 、20<<aC 、2321<<-a D 、2123<<-a 二、填空题：（每小题5分，共25分）11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和=4S ___________12、等比数列{}n a 的前n 项和n S ，又2132S S S +=，则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ，则xy 的最大值为___________14、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________15、关于x 的不等式211(1)0(0)x a x a a a a-++++<>的解集为 三、解答题：16、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知16,241==a a ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和248n S n n =-(1) 求数列{}n a 的通项公式 ； (2) 求n S 的最大或最小值.18、（本小题满分12分）已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =，),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若n n a C =·n n b 2+，（1）求数列{}n C 的通项公式； （2）求数列{}n C 的前n 项和n S .19、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+（1）设12-=n nn a b ，证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .20、（本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1112,2--==n n a a a ， ,4,3,2=n ，(1) 求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为等差数列； (2) 求数列{}n a 的通项公式； （3）令∑=+=ni i i n a a T 11，求证：43+<n T n.答案卷一1．解：（I ）1=n 时，.10.0)1()1(1111=⇒>=-⇒-=-a p a p a p a p 由 1分 当,)1(2n n a p S p n -=-≥ ①,)1(11++-=-n n a p S p ②由②－①，有,)1(11++-=-n n n a a a p 2分从而，.111pa a a pa n n n n =⇒=++∴数列}{n a 是以1为首项，p1为公比的等比数列.∴1)1(-=n n pa .∴.)1(1)1(log 1log 11n n pa b n p n p n =--=-=-=-（II ）当21=p 时，.21-==n n n n n a b c 1分 ∵.0.0>∴>n n T c 12102232221-++++=n n n T ， ③ n n n nn T 221222121121+-+++=∴- . ④由③－④，得n n n nT 221212121211210-++++=-.22222122211)21(11n n n n nn n n +-=--=---=-.2241-+-=∴n n nT 1分.40.4,0221<<∴<∴>+∴-n n n T T n1分2．解：（I ）令0)0(,0===f y x 得。
专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)
专题21 数列与不等式结合的问题一、题型选讲题型一 不等式恒成立中的参数的范围，求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数()f x 在定义域为D ，则当x D ∈时，有()f x M ≥恒成立()min f x M ⇔≥；()f x M ≤恒成立()max f x M ⇔≤；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．例1、(2019镇江期末）设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 2a 4＝64.数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式．(2) 若不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围． (3) 已知k ∈N *，对于数列{b n }，若在b k 与b k ＋1之间插入a k 个2，得到一个新数列{c n }．设数列{c n }的前m 项的和为T m ，试问：是否存在正整数m ，使得T m ＝2019？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．规范解答 (1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，因为a 1＝2，a 2a 4＝a 1q ·a 1q 3＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .(1分)当n ＝1时，a 1b 1＝2，则b 1＝1；(2分)当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2 ①，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2 ②， ①－②得a n b n ＝n·2n ，则b n ＝n. 综上，b n ＝n.(4分)(2) 不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，即λ⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n <12n ＋1恒成立． 因为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n >0，当λ≤0时，不等式显然成立．(5分) 当λ>0时，不等式等价于⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1<1λ. 设f(n)＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1，则f （n ＋1）f （n ）＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14…⎝⎛⎭⎫1－12n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋22n ＋3⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－14—⎝⎛⎭⎫1－12n 2n ＋1＝2n ＋12n ＋32n ＋2＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1.(7分)所以f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n)>…，所以1λ>f(n)max ＝f(1)＝32，故λ<233，则0<λ<233.综上，λ<233.(8分)例2、(2019南京、盐城二模）已知数列{a n }各项均为正数，且对任意n ∈N *，都有(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1.(1) 若a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求a 2a 1的值；(2) ①求证：数列{a n }为等比数列；②若对任意n ∈N *，都有a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n －1，求数列{a n }的公比q 的取值范围．规范解答 (1)因为(a 1a 2)2＝a 31a 3，所以a 22＝a 1a 3，因此a 1，a 2，a 3成等比数列．(2分)设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3a 1，于是4t ＝1＋3t 2，解得t ＝1或13，所以a 2a 1＝1或13.(4分)(2)①因为(a 1a 2…a n )2＝a n ＋11a n －1n ＋1，所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2＝a n ＋21a nn ＋2，两式相除得a 2n ＋1＝a 1a n n ＋2a n －1n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a 1a n n ＋2，(*)(6分)由(*)，得a n ＋2n ＋2＝a 1a n ＋1n ＋3，(**)(*)(**)两式相除得a n ＋2n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋1n ＋3a n n ＋2，即a 2n ＋2n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋1n ＋3， 所以a 2n ＋2＝a n ＋1a n ＋3，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *，(8分) 由(1)知a 22＝a 1a 3，所以a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *，因此数列{a n }为等比数列．(10分) ②当0<q ≤2时，由n ＝1时，可得0<a 1≤1，所以a n ＝a 1q n －1≤2n －1，因为a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2n －1＝2n －1，所以0<q ≤2满足条件．(12分) 当q >2时，由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n－1，得a 1（1－q n ）1－q≤2n －1，整理得a 1q n ≤(q －1)2n ＋a 1－q ＋1.(14分)因为q >2，0<a 1≤1，所以a 1－q ＋1<0， 因为a 1q n<(q －1)2n，即⎝⎛⎭⎫q 2n<q －1a 1，由于q 2>1，因此n <log q 2q －1a 1，与任意n ∈N *恒成立相矛盾，所以q >2不满足条件．综上，公比q 的取值范围为(0，2]．(16分)例3、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.(1) 求a 1，a 2的值；(2) 证明：数列{a n }是等比数列；(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的所有值．思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0，令n ＝1，2得到方程，解得a 1，a 2的值．(2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中，对n 赋值作差，消去T n ，再对n 赋值作差，消去S n ，从而得到a n ＋1＝－12a n ，证得数列{a n }是等比数列．(3)先求出a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，确定λ＝0适合，再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，n ∈N *.令n ＝1，得3a 21－4a 1＋a 21＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0，即2a 22＋a 2＝0，因为a 2≠0，所以a 2＝－12.(3分) (2)解法1 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0， ① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0， ②②－①得，3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0，因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0， ③(5分) 所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2)， ④当n ≥2时，③－④得，3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝－12a n ，因为a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－12.又因(1)知，a 1＝1，a 2＝－12，所以a 2a 1＝－12，所以数列{a n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(8分)解法2 因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0，① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0，②②－①得，3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0， 因为a n ＋1≠0，所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0， 所以3(S n ＋1＋S n )－4＋(S n ＋1－S n )＝0，(5分) 整理为S n ＋1－23＝－12⎝⎛⎭⎫S n －23，又S 1－23＝a 1－23＝13， 所以S n －23＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1，得S n ＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1＋23，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，而a 1＝1也适合此式，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，所以a n ＋1a n ＝－12所以数列{a n }是以－12为公比的等比数列．(8分)(3)解法1 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立， 所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n<0对任意的n ∈N *恒成立，所以λ＝0适合．(10分) 若λ>0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有λ<n2n －1恒成立．记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n ≤1，所以n 2n ≤1n(*)，从而当n ≥5且n ≥2λ时，有λ≥2n ≥n2n －1，所以λ>0不符．(13分)若λ<0，当n 为奇数时，n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立，从而有－λ<n2n 恒成立．由(*)式知，当n ≥5且n ≥－1λ时，有－λ≥1n ≥n2n ，所以λ<0不符．综上，实数λ的所有值为0. 解法2 由(2)知，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，故a n a n ＋1<0，所以当λ＝0时，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0即n 2a n a n ＋1<0，对任意的n ∈N *成立，符合题意；(10分)因为对任意的n ∈N *，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立，所以对任意的大于3的偶数n ，(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0即⎝⎛⎭⎫λ＋n 2n －1⎝⎛⎭⎫λ－n 2n <0成立，亦即对任意的大于3的偶数n ，|λ|<n 2n －⎝⎛⎭⎫－n 2n －1＝3n2n 成立，(13分) 先证，当n ≥4时，n 2n ≤1n，记p (n )＝n 22n (n ≥4)，因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0， 所以p (n )≤p (4)＝1，即n 22n 41，所以n 2n ≤1n (*)，所以对任意的大于3的偶数n ，|λ|<3n成立，但若λ≠0，当n >3|λ|时，|λ|>3n ，所以λ≠0不合题意，综上，实数λ的所有值为0.(16分)题型二、运用放缩法证明不等式与常数的关系此类问题往往与数列和有关，通过数列求和的方法研究求和或者通过放缩法研究数列和的不等关系，一般会得出数列的和与常数与一个变量之间的关系，进而得到与常数之间的不等关系。
数列与不等式(有答案)
数列与不等式1. 不等式的解集是B. C. D.2. 已知实数，满足，则的最大值为．3. 已知，，，则的最小值为．4. 若，，且，则的最小值为．5. 记等差数列的前项和为．若，，，则正整数．6. 设是等差数列的前项和，，，则．7. 已知在各项都为正数的等比数列中，若首项，，则的值为．8. 设等比数列的前项和为，若，则．9. 若正实数，满足，则的最小值是．10. 设两个等差数列和的前项和分别为和，且，则．11. 已知为锐角，且．（1）求的值；（2）求的值．12. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求的值；（2）若，，求的面积．13. 为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．14. 设数列的前项和为．已知．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．答案第一部分1. D 【解析】由，得，即．所以原不等式等价于即所以所以原不等式的解集是．第二部分4.5.【解析】因为，，所以公差．又因为，所以，所以．6.【解析】由题意得整理得解得所以7.【解析】由，，得由，解得，从而8.【解析】设等比数列的首项为，公比为，由，得，即，所以．9.【解析】根据题意，，满足，则即的最小值是．10.【解析】由题意，可设，，则，，所以．第三部分11. （1）已知为锐角，所以，由得，解得或，由为锐角，得．（2）且为锐角，，．故12. （1）由正弦定理得，，，所以，即，即有，即，所以．（2）由知：，即，又因为，所以由余弦定理得：，即，解得，所以，又因为，所以，故的面积为．13. （1）由题意得，所以．两式相减整理得．又，所以．又由得（负值舍去）．所以是首项为，公差为的等差数列，故．（2）由（1）知．于是数列的前项和14. （1）因为，所以，故．当时，，此时，即，所以（2）因为，所以．当时，．所以；当时，，所以，两式相减，得所以．经检验，时也适合．综上可得．。
数列不等式综合练习题
数列不等式综合练习题一、等差数列与不等式1. 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=3，求满足不等式a_n > 0的最小正整数n。
2. 设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若S4=8，S8=24，求满足不等式b_n < 5的最小正整数n。
3. 已知等差数列{cn}的公差为2，首项为1，求满足不等式c_n > 7的所有正整数n的个数。
二、等比数列与不等式1. 已知等比数列{dn}中，d1=2，d3=8，求满足不等式d_n < 64的所有正整数n。
2. 设等比数列{en}的前n项和为Tn，若T3=13，T6=121，求满足不等式e_n > 1的所有正整数n。
3. 已知等比数列{fn}的公比为1/2，首项为16，求满足不等式f_n < 1的所有正整数n的个数。
三、数列与不等式综合1. 已知数列{gn}的通项公式为gn = n^2 n + 1，求满足不等式gn > 10的所有正整数n。
2. 设数列{hn}的通项公式为hn = 3^n 2^n，求满足不等式hn < 100的所有正整数n。
3. 已知数列{kn}的通项公式为kn = 2n + 1，求满足不等式kn > 30的所有正整数n的个数。
四、数列不等式证明1. 证明：对于等差数列{an}，若a1 > 0，公差d > 0，则数列中存在正整数n，使得an > 0。
2. 证明：对于等比数列{bn}，若b1 > 1，公比q > 1，则数列中存在正整数n，使得bn > 1。
3. 证明：对于数列{cn}，若cn = n^2 + n + 1，则数列中存在正整数n，使得cn > 100。
四、数列不等式证明（续）4. 证明：对于数列{dn}，若dn = 2^n n^2，则存在正整数N，使得对于所有n > N，不等式dn > 0恒成立。
5. 证明：对于数列{en}，若en = n! / 2^n，则存在正整数M，使得对于所有n > M，不等式en < 1恒成立。
数列与不等式12种题型
数列与不等式12种题型方法题型1 数列基本量运算例题1 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【解析】由题知41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，选A练习1.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】设正数的等比数列{a n }公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==选C练习2. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q = 又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--题型2 数列性质运用例题2 设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【解析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12= 取112a =，∴2111022n a a ==，，＜∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误 对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=取1a =，∴2a =…，n a =10 ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10 故A 正确，选A练习1．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．-66D ．-132【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=- 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，选D练习2. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+ 题型3 数列求和法的运用例题3 数列{}n a 中，12a =，且112(2)n n n n n a a n a a --+=+≥-，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为（ ）A ．40362019B ．20191010C ．40372019D ．40392020【解析】∵1122n n n n n a a n a a （）--+=+≥-，∴()22112n n n n a a a a n ----=﹣， 整理得：()()22111n n a a n ----=， ∴()()()2211112n a a n n ---=+-++，又12a =，∴()()2112n n n a +-=，可得：()()212112111n n n n n a ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭-．则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为：111111201921212232019202020201010⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B 练习1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+= 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-练习2．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯= 题型4 数列应用题例题4 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为（ ） A ．20% 369B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石，由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧-=⎪-+-=⎨⎪++=⎩解得125b =,20%a =,369m =，选A题型5 数列的项和互化例题5 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+，记 22122log log n n n b a a -=+，则数列(){}21nn b -⋅的前10项和为______． 【解析】∵1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+，∴32332a =-+=， ∵2123n n n a S S ++=-+，∴2n ≥时，1123n n n a S S +-=-+， 两式相减可得，()()21112n n n n n n S a a S S S ++-+-=---，（2n ≥） 即2n ≥时，2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=，∵312a a =，∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，12222n n n a -=⨯=，1121122n n n a ---=⨯=∴22122121n n n b log a log a n n n -=+=-+=-，则数列()()()221211nnn b n -⋅-=-，则(){}21nn b -⋅前10项和()()()22222231751917S =-+-++-()2412202836=⨯++++200=题型6 数列与不等式例题6 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-，则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列， 即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+.(2)结合(1)中的通项公式可得：()()112221211nn n a n C n n b n n n n nn n -==<=<=--+++-，则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=.练习1. 已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是241,a a -的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【解析】()I 设等差数列{}n a 的公差d6336a a d -==，即2d =，3313a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+31a -是21a -，4a 的等比中项，()()232411a a a ∴-=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+（II ）由()I 得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭由()13237n n <+，得9n <，∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8题型7 与函数有关的不等式比较大小 例题7 设x 、y 、z 为正数，且，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【解析】令，则，，∴，则，，则，选D练习1. 已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，选A ． 题型8 与函数导数有关的构造 例题8 设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【解析】构造新函数()()f x g x x =,()()()2'xf x f x g x x-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃，选A 题型9 均值不等式的应用例题9 若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】 ()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++5=练习1．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b+++的最小值为_______． 【解析】因为1a b +=，且,a b 都是正实数.所以2221241414222a b a b a b a b a b ++⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()14144421277211b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12,33a b ==时，等号成立，所以222124a b a b+++的最小值为11 题型10 数形结合求最值例题10 已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．【解析】22,222463{1034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-=+-+--=--<-由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.练习1．已知,x y R ∈，若24x y +=，则224x y +的最小值为__________；若2244x y +=，则x y +的最大值为__________．【解析】根据题意，x ，y ∈R +，且x +2y ＝4，则有4＝x +2y ≥22xy ，变形可得2xy 4≤，（当且仅当x ＝2y 2=时等号成立），x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，又由4xy 8≤，则有x 2+4y 28≥，即x 2+4y 2的最小值为8； 若2244x y +=，由柯西不等式得（224x y +）（1+14）()2x y ≥+，（当且仅当x ＝4y 455=时等号成立）所以()2x y +≤454⨯，即x y +的最大值为5 题型11 与导数有关的不等式证明 例题11 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【解析】（1）的定义域为，.（i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii ）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.练习1. 已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f aln ⎛⎫⎪⎝⎭，所以不满足题意；②若＞0a ，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥.故a=1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --，令1=1+2nx 得111+＜22n n ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3. 练习2. 已知函数有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是的两个零点，证明：.【解析】（Ⅰ）．（Ⅰ）设，则，只有一个零点．（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，取满足且，则故存在两个零点．（Ⅲ）设，由得或．若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以． 设，则．所以当时，，而，故当时，． 从而，故．练习3设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求,a b ；(2)证明()1f x >【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞()112'ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+，由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b = （2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e⎛⎫=-⎪⎝⎭设函数()2xh x xe e-=-，则()()'1xh x e x -=- 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x < 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >函数导数不等式求参数例题12 已知函数（1）若，证明：当时，；当时，（2）若是的极大值点，求【解析】（1）当时，，.设函数，则当时，；当时，.故当时，，且仅当时，从而，且仅当时，，所以在单调递增又，故当时，；当时，（2）（i）若由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾. （ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点如果，则当，且时，，故不是的极大值点如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点如果，则.则当时，；当时，所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
数列与不等式30大题(有答案)
n∈
∗
．
13. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a1 = 1，Sn = an+1 − 3，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，点 an ,bn (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 求 Tn ；
5 2 n2
在函数 y = nx−1 图象上．
恒成立，求 λ 的取值范围．
⋅ an ，记其前 n 项和为 Tn ，若不等式 2n−1 λ < 2n−1 Tn + n 对一切 n ∈
− tbn (t 为非零整数，n ∈
+ ，求证：数列 bn 是等比数列；
+ )，试确定
t 的值，使得对任意 n ∈
+ ，都有 cn+1
> cn
4. 已知数列 an 满足 a1 = ，2an+1 − an = 1． (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 证明：
a1 +a2 +⋯+an n
(2) 记 Tn = x2 x2 ⋯x2 ，证明：Tn ≥ 1 3 2n−1
数列与不等式综合问题 30 道
1. 已知数列 an 是等差数列，bn =
2. 已 知 曲 线 C:xy = 1 ， 过 C 上 的 点 An xn,yn 作 斜 率 为 kn =− An+1 xn+1 ,yn+1 ，点列 An 的横坐标构成数列 xn ，其中 x1 = (1) 求 xn 与 xn+1 的关系式； (2) 令 bn = 3. 设 n ∈ (3) 若 cn = 成立．
Sn 1
an +1 2
．
< 2．
第 1页（共 23页）
10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0 ，a3 = b3 > 0 ，a1 ≠ a3 ，试比较 a5 和 b5 的大 小． 11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ (1) 求数列 an 的通项公式； ⋯ + bn 的大小．
数列及函数不等式
证：
1 4 x2n x2n1
1
1 1
4 (2n 1)(2n 1) 4 4n2 1 4 4n2
2 2n
1 n1 n
1
显然成立
2n
n1 n
左 2(1 2 2 3 .... n n 1） 2( n 1 1)
(三)其他结构裂项 *例1、数列 满足：
求 解：
的整数部分。
例2、
求证：
1
1
a1 a2 ... an1 a1 a2 ... an
左(1 1 )( 1
1 ) ... (
1
1
)
a1 a1 a2 a1 a2 a1 a2 a3
a1 a2 ... an1 a1 a2 ... an
1
1
1
a1 a1 a2 ... an a1
*2、an n(n 1), bn (n 1)2
背景：递归数列，数列不等式。 策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形， 裂项求和，放缩法。
解析(1)
解析(2)
Sn
(a1
a2 )
(a2
a3 )
... (an
an1 )
1 2
an1
1
1 Sn 2 an1 1
2n 2 n
n 2(n 1)
练习：
*1、设 a1 1，an1 an n 1
2
... 2( 1
(k 1) k k k 1
k
1) k 1
累加得证。
例4、求证：
证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。 累加得证。
练习：
1、设 x1 1，xn nn(n（1为n奇为数偶）数），求证：
1 1 ... 1 2( n 1 1)
函数不等式三角向量数列算法等大综合问题二轮复习专题练习(一)附答案人教版高中数学高考真题汇编
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求△ 的面积。
9．设平面向量 ＝ ， ， ， ，
⑴若 ，求 的值；⑵若 ，证明: 和 不可能平行；
⑶若 ，求函数 的最大值，并求出相应的 值．(汇编年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)（14分）
10．已知O为坐标原点，向量
∥ ，即
是锐角
，即cos2α＝ ．
解析：当 时，集合A是以（2，0）为圆心，以 为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为 此时无解；当 时，集合A是以（2，0）为圆心，以 和 为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为
6．；
评卷人
得分
三、解答题
7．(1) ， ，且 ，
，即 ，
(2)
, .
8．解：
（1）
（2）由余弦定理知：
12．已知
（1）当 时，求函数 的最小正周期；
（2）当 ∥ 时，求 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．A
2．D
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
3．①④.
4．
5．当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有.又因为
高中数学专题复习
《函数不等式三角向量数列算法等大综合问题》单元过关检测
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2017年高考真题分类汇编(理数)专题4数列与不等式(解析版)
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题4 数列与不等式一、单选题（共13题；共25分）1、（2017·天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A、B、1 C、D、32、（2017•北京卷）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A、1B、3C、5D、93、（2017•新课标Ⅰ卷）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A、1B、2C、4D、84、（2017•山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A、a+ ＜＜log2（a+b））B、＜log2（a+b）＜a+C、a+ ＜log2（a+b）＜D、log2（a+b））＜a+ ＜5、（2017•山东）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A、0B、2C、5D、66、（2017•浙江）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件7、（2017•浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[0，6]B、[0，4]C、[6，+∞）D、[4，+∞）8、（2017•新课标Ⅰ卷）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为________．9、（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A、﹣15B、﹣9C、1D、910、（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A、1盏B、3盏C、5盏D、9盏11、（2017•新课标Ⅲ）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A、﹣24B、﹣3C、3D、812、（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R 上恒成立，则a的取值范围是（）A、[﹣，2]B、[﹣，]C、[﹣2 ，2]D、[﹣2 ，]13、（2017•新课标Ⅰ卷）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A、440B、330C、220D、110二、填空题（共7题；共7分）14、（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为________15、（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=________16、（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=________．17、（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3= ，S6= ，则a8=________．18、（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．19、（2017•北京卷）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则=________．20、（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．三、解答题（共5题；共30分）21、（2017•山东）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…P n+1（x n+1，n+1）得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n．22、（2017·天津）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．23、（2017•浙江）已知数列{x n}满足：x1=1，x n=x n+1+ln（1+x n+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n；（Ⅱ）2x n+1﹣x n≤ ；（Ⅲ）≤x n≤ ．24、（2017•北京卷）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（13分）(1)若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．25、（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．2、【答案】D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，3），目标函数的最大值为：3+2×3=9．故选：D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．3、【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．4、【答案】B【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选：B．【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b= ．代入计算即可得出大小关系．5、【答案】C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y=﹣x+ z在y轴上的截距最大，所以目标函数z=x+2y的最大值为z max=﹣3+2×4=5．故选：C．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是由解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．6、【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．7、【答案】A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过坐标原点时，函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由解得A（0，3），目标函数的直线为：0，最大值为：36目标函数的范围是[0，6]．故选：A．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．8、【答案】-5【考点】简单线性规划【解析】【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．9、【答案】A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．10、【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381= =127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．11、【答案】A【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列【解析】【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为= =﹣24．故选：A．【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．12、【答案】A【考点】函数恒成立问题，分段函数的应用【解析】【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值，则﹣≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（x+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+ ）≤a≤ + ，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．13、【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：设该数列为{a n}，设b n= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），则= a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n ﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，… ，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n= ，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=2，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=17，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．二、填空题14、【答案】﹣1【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划【解析】【解答】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y= x﹣，通过平移可知当直线y= x﹣，经过点B（1，1）时，直线y= x﹣在y轴上的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合平移过程，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．15、【答案】-8【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解方程组即可得出．16、【答案】【考点】等差数列的前n项和，数列的求和【解析】【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n= ，= ，则=2[1﹣+ +…+ ]=2（1﹣）= ．故答案为：．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．17、【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= ，S6= ，∴= ，= ，解得a1= ，q=2．则a8= =32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= ，S6= ，可得= ，= ，联立解出即可得出．18、【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出．19、【答案】1【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．可得=1．故答案为：1．【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．20、【答案】4【考点】基本不等式【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+ ≥2 =4，当且仅当，即，即a= ，b= 或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．三、解答题21、【答案】解：（I）设数列{x n}的公比为q，则q＞0，由题意得，两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），∴x1=1，∴x n=2n﹣1．（II）过P1，P2，P3，…，P n向x轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Q n，即梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n，则b n= =（2n+1）×2n﹣2，∴T n=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①∴2T n=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②①﹣②得：﹣T n= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．∴T n= ．【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．22、【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n= ．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【考点】数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．23、【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x n＞0，当n=1时，x1=1＞0，成立，假设当n=k时成立，则x k＞0，那么n=k+1时，若x k+1＜0，则0＜x k=x k+1+ln（1+x k+1）＜0，矛盾，故x n+1＞0，因此x n＞0，（n∈N*）∴x n=x n+1+ln（1+x n+1）＞x n+1，因此0＜x n+1＜x n（n∈N*），（Ⅱ）由x n=x n+1+ln（1+x n+1）得x n x n+1﹣4x n+1+2x n=x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1），记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）=0，因此x n+12﹣2x n+1+（x n+1+2）ln（1+x n+1）≥0，故2x n+1﹣x n≤ ；（Ⅲ）∵x n=x n+1+ln（1+x n+1）≤x n+1+x n+1=2x n+1，∴x n≥ ，由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴x n≤ ，综上所述≤x n≤ ．【考点】利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，数列递推式，数列与不等式的综合，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由≥2x n+1﹣x n得﹣≥2（﹣）＞0，继续放缩即可证明24、【答案】（1）解：a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d1＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，此时c n+1﹣c n=d2﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时= =﹣a n+ ，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+ ，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[ +1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[ +1]+B＞A• +B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[ ]+1，当n≥m时，≥An+B+ ≥Am+B+C＞A• +B+C ≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【考点】数列的应用，等差关系的确定【解析】【分析】（1.）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；（2.）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+ 对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．25、【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；﹣2（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．。
2020年高考数学压轴题专题复习： 数列与不等式的综合问题【解析版】
第二章 数列与不等式专题 数列与不等式的综合问题纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．【压轴典例】例1.（2013·全国高考真题（理））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【答案】B 【解析】因为11b c >，不妨设111142,33a a b c ==，13()22p a b c a =++=；故211S ==； 21a a =，112125326a ab a +==，112147326a a c a +==，2216S a ==； 显然21S S >；同理，31a a =，112159428a a b a +==，113137428a a c a +==，231S ==，显然32S S >.例2. （2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27 【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥ 所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27. 例3.（2018·浙江高考模拟）设数列的前项和分别为，其中，使成立的最大正整数__________,__________．【答案】 6. 114. 【解析】根据题意，数列{a n }中，a n =-3n+20，则数列{a n }为首项为17，公差为-3的等差数列，且当n≤6时，a n ＞0，当n ＞7时，a n ＜0，又由b n =|a n |，当n≤6时，b n =a n ，当n ＞7时，b n =-a n ， 则使T n =S n 成立的最大正整数为6，T 2018+S 2018=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+（b 1+b 2+……+b 6+b 7+b 8+……+b 2018）=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+（a 1+a 2+……+a 6-a 7-a 8-……-a 2018） =2（a 1+a 2+……+a 6）=，故答案为：6，114 例4.（2019·江西师大附中高考模拟（文））数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．27【答案】B 【解析】第一行为4，其和为4，可以变形为：1232T =⨯-；第二行为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为：()22241323213T -==⨯--；第三行为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为()33341323213T -==⨯--；依此类推：第n 行的和：232nn T =⨯-；则前6行共：12345621+++++=个数 前6行和为：()()()()26267212322322322333123152172S =⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯++⋅⋅⋅+-=-=满足2019n S >而第六行的第6个数为：543972⨯=，则202197212002019S S =-=<∴满足2019n S >的最小正整数n 的值为：21本题正确选项：B例5.（2019·内蒙古高考模拟（理））数列()11n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 值为______. 【答案】8 【解析】∵()11111n a n n n n ==-++，∴11111122311n nS n n n =-+-++-=++， 又1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，∴()21m n S S S =⋅， 即()221211m n n m =⋅++，()22211m n n m =++， ∴()2221m m <+，即2210m m --<，解得1212m -<<+，结合1m 可得2m =， ∴8n =，故答案为8.例6.（2016·天津高考真题（理））已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的，是和的等比中项.（Ⅰ）设求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】（Ⅰ）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（Ⅱ）证明：所以.例7.（2016·四川高考真题（理））已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n 项和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等差数列，可得，即，则，由已知,，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.因为，所以.于是，故.例8.（2016·浙江高考真题（理））设数列满足，．（Ⅰ）证明：，；（Ⅱ）若，，证明：，．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）由得，故，，所以，因此．（Ⅱ）任取，由（Ⅰ）知，对于任意，，故．从而对于任意，均有．由的任意性得．①否则，存在，有，取正整数且，则，与①式矛盾．综上，对于任意，均有．【压轴训练】1.（2019·安徽高考模拟（理））设是等差数列，下列结论一定正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；又{a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2＝a 1+a 3＞2，∴a 2，即C 正确；若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＝﹣d 2≤0，即D 不正确． 故选：C ．2．（2018·浙江高考模拟）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比数列，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由成等比数列．可得，可得（，即，∵公差不等于零，故选：C ．3．（2019·山东高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得18m n a a a =，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=， 432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =， 存在两项m a ，n a 使得18m n a a a =， 2221164m n a q a +-∴=，整理，得8m n +=，∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m +=++=++ 19(102)28m n n m+=， 则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，又m ，*n N ∈．8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：24．（2019·湖南师大附中高考模拟（理））已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若124a =-，489a =-，则当T n 取最大值时，n 的值为_____. 【答案】4 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为124a =-，489a =-，可得341127a q a ==，解得13q =，则()()()1112312(2131)(32424)n n nnn n n T a a a a q-+++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=-=-， 当T n 取最大值时，可得n 为偶数，函数13xy =（）在R 上递减， 又由2192T =，4489T =，66983T =，可得246T T T <>，当6n >，且n 为偶数时，6n T T <， 故当4n =时，T n 取最大值.5．（2019·安徽高考模拟（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若，，则使不等式成立的的最小值是________.【答案】11 【解析】由可得，则（）（）=0，又数列的各项均为正数，∴，即，可得数列{a n }是首项为公比为q ＝2的等比数列，∴,则n>10，又，∴n 的最小值是11，故答案为11.6．（2019·甘肃天水一中高考模拟（文））已知数列{}n a 满足11a =，0n a >，11n n a a +=，那么32n a <成立的n 的最大值为______ 【答案】5 【解析】11n n a a +=， 所有{}na 11a =，公差d 1=n n a =，2n a n = 解232n a n =<，得n 42<所以32n a <成立的n 的最大值为5 故答案为：57．（2019·河北高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2119*2n n n nS S n N +-+=∈，若24a <-，则n S 取最小值时n =__________.【答案】10 【解析】由21192n n n nS S +-+=，()21(1)1912n n n n S S ----+=，两式作差可得：1110(2)n n S S n n +--=-≥，即110(2)n n a a n n ++=-≥，由110n na a n ++=-，219n n a a n +++=-，两式作差可得：21(2)n n a a n +-=≥，则328a a +=-，24a <-，故234a a <-<，进一步可得：4567891011,,,a a a a a a a a <<<<，又10110a a +=，则10110a a <<，且111212130a a a a <+<+<，则n S 取最小值时10n =.8．（2019·河南高考模拟（理））记首项为11(0)a a >，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1212a d =-，且1n n n S a S λ+≤+，则实数λ的取值范围为__________． 【答案】19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由1n n n S a S λ+≤+，得11n n n n S S a a λ++-=≤. 因为10a >，所以0d <，()12312n a a n d n d ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭. 所以当111n ≤≤时，0n a >，当12n ≥时，0n a <. （1）当111n ≤≤时，由1n n a a λ+≥得1211223n n n n n a a d d a a a n λ++≥==+=+-. 因为221911223212321n +≤+=-⨯-，所以1921λ≥.（2）当12n ≥时，由1n n a a λ+≥得121223n n a a n λ+≤=+-. 因为211223n +>-，所以1λ≤.综上所述，λ的取值范围是19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 9．（2019·四川重庆南开中学高考模拟（理））在正项递增等比数列{}n a 中，51a =，记12...n n S a a a =+++，12111...n nT a a a =+++，则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________． 【答案】9【解析】由题得11111(1)(1)(1)11(1)1n nn nq q a q a q q q a q q--⋅-≤=---，因为数列是正项递增等比数,所以10,1a q >>，所以2111n a q -≤.因为51a =，所以44281111,,a q a q a q --=∴=∴=，所以81901,,9n n q qq q n ---⋅≤∴≤∴≤.所以使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为9. 故答案为：910．（2017·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++，求证：()1.2n n n T ->【答案】(1) 见解析；(2)见解析. 【解析】(1) 由题可知()*n N∈，从而有13n n b b +=，11112b a =-=，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.(2) 由(1)知13n n b -=，从而1132n n a -=+，11331log 3log 312n n n c n --⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，有()12101212n n n n T c c c n -=+++>+++-=，所以()12n n n T ->.11．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）．（1）若k ＝12，t ＝14，数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ． 【答案】（1）a 1＝（2）见解析 【解析】（1）∵k＝12，t ＝14，∴2111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝2，则212211a a a 124+=-，令n ＝3，则2123311124a a a a ++=-，两式相减可得：()()()2332321124a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．由212211124a a a +=-，且d ＝2，化为2112a a -﹣4＝0，a 1＞0．解得a 1＝（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n∈N *，所以S n +ka n+1＝2n 1ta +﹣1②， ②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]， 令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2﹣1）， ∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *， 1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数； ∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0， 故k ＜t ．12．（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a ，首项为12，其前n 项和是n S ，且3312a S +，5S ，44a S +成等差数列，数列{}n b 满足条件1231(2)n b na a a a =（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设1n n nc a b =-，记数列{}n c 的前n 项和是n T . ①求n T ；②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n T T ≥.【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)n b n n =+；(2)①.1112n n T n =-+；②.4k =. 【解析】(1)设11n n a a q -=.由已知得53344122S a S a S =+++，即5341222S a S =+， 进而有()543122S S a -=.所以53122a a =，即214q =，则12q =±.由已知数列{}n a 是单调等比数列，且112a =，所以取12q =.数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 1231(2)n b na a a a =，(1)2322222222n b n nn+∴⨯⨯⨯⨯==，则(1)n b n n =+.即数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+. (2)①.由(1)可得：1111112(1)21n n n n n c a b n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭， 分组求和可得：1111112112n n nT n n ⎛⎫=---=- ⎪++⎝⎭. ②由于11111111(1)(2)222122(1)(2)n n n n n n n n T T n n n n ++++++--=--+=++++， 由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减.所以，4T 最大.即当4k =时，k n T T ≥.13．（2019·安徽高考模拟（文））已知数列为等差数列，且公差，其前项和为，，且，，成等比数列. （1）求等差数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】 （1）由题意得： ，解得：，∴（2）由（1）得，∴ ∴14．（2019·广东高考模拟（理））已知数列{}n a 满足11*121(22)2()n n n a a a n N n-++++=∈.（1）求12,a a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) 1a 4= 26;a = 22n a n =+ (2) 125[,].52【解析】(1)由题意得111222?2n n n a a a n -++++=，所以23112124,222,a a a =⨯=+=⨯得26;a =由111222?2n n n a a a n -++++=,所以()2121221?2n n n a a a n --+++=-（2n ≥），相减得()1+12?21?2n n n n a n n -=--，得22,1n a n n =+=当也满足上式. 所以{}n a 的通项公式为22n a n =+.(2)数列{}n a kn -的通项公式为()2222,n a kn n kn k n -=+-=-+ 是以4k -为首项,公差为2k -的等差数列,若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时,n S 取得最大值,所以()()4544220,55220.a k k a k k ⎧-=-+≥⎪⎨-=-+≤⎪⎩解得125.52k ≤≤ 所以实数k 的取值范围是125,.52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15.（2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a 的首项112a =，*1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<；（Ⅱ） 记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立；②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立，即01k a <<， 那么当1n k =+时，11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=，所以101k a +<<， 即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列， 所以111nn a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列， 所以当2n ≥时，111n n a a +-22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940= 所以当2n ≥时， ()211n n nn n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭当1n =时， 11934010n T T b ===<，成立； 当2n ≥时， 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦()12994040n a a +=+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上，对任意正整数n ， 310n T <16.（2017·浙江高考模拟）已知数列{}n a 满足： 11p ap +=， 1p >， 11ln n n na a a +-=.（1）证明： 11n n a a +>>； （2）证明：12112n nn n a a a a ++<<+； （3）证明：()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）先用数学归纳法证明1n a >. ①当1n =时，∵1p >，∴111p a p+=>； ②假设当n k =时， 1k a >，则当1n k =+时， 1111ln 1k k k k k a a a a a +--=>=-. 由①②可知1n a >. 再证1n n a a +>.111ln ln ln n nn nn n n n na a a a a a a a a +----=-=， 令()1ln f x x x x =--， 1x >，则()'ln 0f x x =-<， 所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=，所以1ln 0ln n n nna a a a --<，即1n n a a +>.（2）要证12112n nn n a a a a ++<<+，只需证2111ln 2n n n n n a a a a a -+<<+， 只需证()2210,{1220,n n n n n na lna a a lna a -+<+-+>其中1n a >， 先证22ln 10n n n a a a -+<，令()22ln 1f x x x x =-+， 1x >，只需证()0f x <. 因为()()'2ln 2221220f x x x x x =+-<-+-=， 所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=. 再证()1ln 220n n n a a a +-+>，令()()1ln 22g x x x x =+-+， 1x >，只需证()0g x >，()11'ln 2ln 1x g x x x x x +=+-=+-， 令()1ln 1h x x x =+-， 1x >，则()22111'0x h x x x x -=-=>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，从而()'0g x >，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g >=， 综上可得12112n nn n a a a a ++<<+. （3）由（2）知，一方面， 1112n n a a ---<，由迭代可得()1111111122n n n a a p --⎛⎫⎛⎫-<-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ln 1x x ≤-，所以111ln 12n n n a a p -⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以()1212ln ln ln ln n n a a a a a a ⋯=++⋯+ 0111111222n p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111112121212nn n p p -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⨯=⨯-；另一方面，即11112n n n na a a a ++-->， 由迭代可得111111111212n n nn a a a a p ----⎛⎫⎛⎫>⨯= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.因为1ln 1x x ≥-，所以1ln 1n n a a ≥- 11112n p -⎛⎫> ⎪+⎝⎭，所以()01112121111ln ln ln ln 1222n n n a a a a a a p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯=++⋯+>⨯++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦112112n n p --=⨯+；综上，()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+.。
高三数列专题练习30道带答案
高三数列专题训练二一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ． 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ． 13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：数列、不等式(含答案)
数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.2．等差数列的有关概念及性质（1）等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． （2）等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . （3）等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .（4）等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列． ③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 3．等比数列的有关概念及性质（1）等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.（2）等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.（3）等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．（4）等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . （5）等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] （1）在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. （2）各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.4．数列求和的方法（1）公式法：等差数列、等比数列求和公式； （2）分组求和法； （3）倒序相加法； （4）错位相减法；（5）裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .（6）并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．5．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示． [问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________．6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件．7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)（1）推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． （2）用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1.易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 找准失分点 忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.找准失分点 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．282．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．3966．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________．10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .1．⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．A 3．(1)512 (2)10 4．925．⎝⎛⎭⎫23，1 6．充分不必要 7．9 8．221．1或－1 2．S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7)3．150 4．252CBAAC 6．22 7．4 8．4 9．(4,8) 10．解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，① 知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1， 整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项． 当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。
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数列与不等式专题练习一、选择题1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．2972．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．1923．12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．21 4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．85．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）A ．513B ．512C ．510D ．8225 6．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．21 8．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ）A ．1B ．0或32C ．32D ．5log 29．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．15(0,)2+B ．15(,1]2-C ．15[1,)2+D ．)251,251(++- 10．在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对11．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．都不对12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．31log 5+D ．32log 5+13．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。
A ．98B ．99C ．96D ．9714．在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．1715．在等比数列{}n a 中，若62=a ，且0122345=+--a a a 则n a 为（ ）A ．6B ．2)1(6--⋅nC ．226-⋅nD ．6或2)1(6--⋅n 或226-⋅n16．在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（ ）A ．22.5-B ．21.5-C ．20.5-D ．20-17．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） A ．23 B ．2131n n -- C ．2131n n ++ D ．2134n n -+ 二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。
2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________3．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =___________. 4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.5．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________. 6．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。
7．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
8．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。
9．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。
10.等比数列{}n a 前n 项的和为21n -，则数列{}2n a 前n 项的和为______________。
11．已知数列{}n a 中，11a =-，11n n n n a a a a ++⋅=-，则数列通项n a =___________。
12．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________。
13．三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________。
14．在等差数列{}n a 中，公差21=d ，前100项的和45100=S ，则99531...a a a a ++++=_____________。
15．若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S =三、解答题1.成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。
2.在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。
3.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q4.已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a不等式一、选择题1．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ） A ．1[,2)8 B ．1[,2]8 C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞2．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．b a 11<B ．b a 11>C ．2a b >D ．22a b > 3．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 4．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是 ( )A ．31a -<<B ．20a -<<C ．10a -<<D ．02a <<5．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）。
A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 6．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，2131 7．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2232x y x +=+ D ．21y x x =+- 8．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( )A ．3B ．51 C ．4 D ．59．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[)2,3D ．[]1,310．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）．A ．4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m11．若()a ax x x f ++-=12lg )(2在区间]1,(-∞上递减，则a 范围为（ ）A ．[1,2)B ． [1,2]C ．[)1,+∞D ． [2,)+∞12．不等式22lg lg x x <的解集是 ( ) A ．1(,1)100 B ．(100,)+∞ C ．1(,1)100(100,)+∞ D ．(0,1)(100,)+∞13．若不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A ．1116a ≤< B ．1116a << C ．1016a <≤ D ．1016a << 14．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6 15．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( ) A ．12 B ．32 C ．52 D ．1 二、填空题1．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。
3．若121log a x a -≤≤的解集是11[,]42,则a 的值为___________。
4．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是________。
5．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________. 6．不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________。
7．设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。
8．当=x ______时，函数)2(22x x y -=有最_______值，且最值是_________。
9．不等式122log (21)log (22)2x x +-⋅-<的解集是_______________。
10．已知0,0,1a b a b ≥≥+=，则12a ++21+b 的范围是____________。