【配套K12】广东省广州市2018届高三数学上学期第二次月考试题 文(扫描版)
广东省广州市普通高中18届高三数学12月月考试题061801180221
2018高考高三数学12月月考试题06（满分150分，完卷时间120分钟）一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．223lim 2n n n n n→∞+=- ． 2．已知集合{}0,A a =,{}21,B a =，若{}0,1,4,16A B =，则a = ．3．若行列式,021421=-x 则=x ． 4．若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ．5．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ．6．己知(1,2sin )a θ=，cos 1b θ=-（，），且⊥，则tan θ= ． 7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．8．已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ． 9．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是 ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，则△ABC 的面积等于 ．11．若二项式7()+x a 展开式中5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = ．12．给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）13．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点之间的“折线距离”．则原点)0,0(O 与直线05=-+y x 上一点),(y x P 的“折线距离”的最小值是 ．14.某同学对函数x x x f sin )(=进行研究后，得出以下结论：①函数)(x f y =的图像是轴对称图形；②对任意实数x ，x x f ≤)(均成立；③函数)(x f y =的图像与直线x y =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数k 满足1>k 时，函数()y f x =的图像与直线kx y =有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y --=16．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则22ac bc >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．D ．三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x =，(cos )b x x =，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+．（1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为221x y -=，过点(M 且与C 的伴随曲线相切的直线l 交曲线C 于1N 、2N 两点，求12ON N ∆的面积（O 为坐标原点）（3）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．（1） 求数列{}n a 的通项公式n a ；（2） 设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值．（3）在数列{}n d 中，11d =，且满足11n n n d a d ++=*()n N ∈，求下表中前n 行所有数的和n S . 112d d d 123d d d 213d d d…… 11n n d d d + 211n n d d d -+ ...... 11k n k n d d d -++ (11)n n d d d +参考答案1． 21 2． 4 3．2 4． 1 5． 20 6．21 7． 24yx = 8．29． 2510． 11．21 12．③13．． ①②④15．D 16． C 17．C 18．D19．解：由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅= ……………………… 3分cos 21222x x +=⋅+cos221x x =+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分 ∴最小正周期 22T ππ== ………………………… 8分 当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=…………………10分 当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分 20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += ………… 2分 由22252a b ai i ++=+ 得22522a b a ⎧+=⎨=⎩……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分 ∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分（2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥……………………… 13分 ∴w 1≥ ……………………………… 14分21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分 故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分（2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ ……8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； ……………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+， ()max (10)12.5f x f ==． ……………………………12分 所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．……………………………14分22．解：（1）∵c =1c =………………………1分 由12c c ==，即22224()a b a b +=-可得 2235b a = ………………………3分 ∴C的渐近线方程为y x = ………………………4分 （2）双曲线C 的伴随曲线的方程为221x y +=，设直线l的方程为(y k x =，由l 与圆1= 即 2231k k =+解得2k =± ……………………………6分当2k =时，设1N 、2N 的坐标分别为111(,)N x y 、222(,)N x y由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得221(12x x -+=，即250x --=，∵24(5)320∆=-⋅-=>，x =∴12x x -=∴1212N N x =-==………………………8分∴1212112ON N S N N ∆=⨯⨯=由对称性知，当2k =时，也有12ON N S ∆=…………………………10分 （3）设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，又(2,0)A -、(2,0)B ，∴直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++…………① 直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--…………② …………………………12分 由①②得0042x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………14分 ∵ 00(,)P x y 在双曲线22142x y -=上 ∴222244142y x x -= ∴22142x y += ……………………………………16分23．解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >……………………1分1a 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ……………………2分由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ……………………………3分∴(*)n a n n N =∈……………………………4分 （2）∵11n a n +=+，1221222n n c c c n +++=+ 对*n N ∈都成立 当1n =时，122c =得14c = ……………………………5分 当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+①，及11221222n n c c c n --+++=② ①－②得12n n c =，得2n n c = …………………7分 ∴4(1)2(2)n n n c n =⎧=⎨≥⎩…………………8分 ∴2201123201220131220122(12)42224212c c c -+++=++++=+=- ……………10分 (3)∵111n n n d a n d ++==+ ∴3122341234(1)n n d d d d n d d d d +⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+ 又∵11d = ∴1!n d n = ………………………………13分∵111(1)!(1,2,)!(1)!k k n k n k n d d n C k n d k n k -+-+++===-+ ………………………………14分 ∴第n 行各数之和121121111111122(1,2)n n n n n n n n n n n d d d d d d C C C n d d d +-+++++++++=++⋅+=-=…………16分 ∴表中前n 行所有数的和231231(22)(22)(22)2222n n n S n ++=-+-++-=+++- 222(21)222421n n n n +-=-=--- ……………………………18分。
数学---广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考试题02
广东省广州市普通高中学校2018届高考高三12月月考数学试题02一、填空题1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________．2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0<x <1}，则A ∩U B = ． 3．函数π=sin(2+)3y x 的最小正周期是_________．4．计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ． 5．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______．6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 7．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 8．已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ．9．若直线l ：y=kx 经过点2π2π(sin ,cos )33P ，则直线l 的倾斜角为α = ．10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人．11．双曲线C ：x 2 – y 2 = a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示） 13．若函数y=f (x ) (x ∈R )满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0,⎩⎨⎧=+=+2323y x ny mx3)，则线段MN 长度的最小值是 ． 二、选择题 15．若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） (A) 22a b < (B) 2ab b < (C)2b a a b +> (D) 1<ab16．如图是某程序的流程图，则其输出结果为( )(A)20112010 (B) 20111 (C) 20122011 (D) 2012117．已知f (x )=x 2–2x +3，g (x )=kx –1，则“| k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的（ ） (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件18．给定方程：1()sin 102xx +-=，下列命题中：(1)该方程没有小于0的实数解；(2)该方程有无数个实数解；(3)该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4)若x 0是该方程的实数解，则x 0>–1．则正确命题的个数是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题19．已知集合A ={x | | x –a | < 2，x ∈R }，B ={x |212x x -+<1，x ∈R }． (1) 求A 、B ；(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．20．已知函数ππ()sin(2)sin(2)233f x x x x ma =++-+-，x ∈R ，且f (x )的最大值为1．(1) 求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若()1f B =a b c =+，试判断△ABC 的形状．21．已知函数]2,0(,2)(2∈+-=x xax x x f ，其中常数a > 0． (1) 当a = 4时，证明函数f (x )在]2,0(上是减函数； (2) 求函数f (x )的最小值．22．设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点． (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t∈，求 △B 2PQ 的面积S 的取值范围．23．已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ= (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N *)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．22QB PB ⊥【参考答案】一、填空题 1．23x + 2．{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2} 3．π 4．2 5．–2 6．21 7．–1608．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭9．5π6 10．40 11．14422=-y x12．181713．4 14．24- 二、选择题15．D 16．C 17．A 18．C 三、简答题19．解：(1) 由| x –a | < 2，得a –2<x <a +2，所以A ={x | a –2<x <a +2} 由212x x -+<1，得32x x -+<0，即 –2<x <3，所以B ={x |–2<x <3}． (2) 若A ⊆B ，所以2223a a -≥⎧⎨+≤⎩，所以0≤a ≤1．20．解：(1)=)(x f m x x -+2cos 32sin π2sin(2)3x m =+- 因为max ()2,f x m =-所以1m =， 令–π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π得到：单调增区间为5ππ[k π-,k π+]1212(k ∈Z ).(2) 因为()1f B =，则π2sin(2)113B +-=，所以π6B =b c =+sin sin A B C =+15πsin()26A A =+- 化简得π1sin()62A -=，所以π3A =， 所以π2C =，故△ABC 为直角三角形．21．解：(1) 当4=a 时，24)(-+=xx x f ， 任取0<x 1<x 2≤2，则f (x 1)–f (x 2)=121244x x x x +--212121)4)((x x x x x x --=， 因为0<x 1<x 2≤2，所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在]2,0(上是减函数；(2)2)(-+=xax x f 22-≥a ， 当且仅当a x =时等号成立，当20≤<a ，即40≤<a 时，)(x f 的最小值为22-a ，当2>a ，即4>a 时，)(x f 在]2,0(上单调递减， 所以当2=x 时，)(x f 取得最小值为2a ， 综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=.42,4022)(mina a a a x f22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b ，在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .因此所求椭圆的标准方程为：221204x y +=. (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=- ，所以 212122)2)(2(y y x x B B +--=⋅2216645m m -=-+，由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅ =0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0. (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ， 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ， 联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-= 设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S ，综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S . 23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a ， 由3122a a a ⋅=，计算得67-=λ． (2) 由题意01121=-+⋅⋅⋅++++n n a a a a λ， 可得：)2(01121≥=-+⋅⋅⋅+++-n a a a a n n λ， 所以有0)1(1=-++n n a a λλ)2(≥n ，又1,0-≠≠λλ， 得到：)2(11≥+=+n a a n n λλ，故数列}{n a 从第二项起是等比数列， 又因为λ712=a ，所以n ≥2时，2)1(71-+=n n a λλλ， 所以数列{a n }的通项⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=-=-.2)1(71,1762n n a n n λλλ(3) 因为31=λ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅=-=-.2473,1762n n a n n假设数列{a n }中存在三项a m 、a k 、a p 成等差数列，①不防设m >k >p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p ， 即：2⨯(37)⨯4k –2 = 37⨯4m –2 + 37⨯4p –2，化简得：2⨯4k - p = 4m –p +1， 即22k –2p +1=22m –2p +1，若此式成立，必有：2m –2p =0且2k –2p +1=1， 故有：m=p=k ，和题设矛盾，②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时， 不妨设m =1，k >p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ， 2⨯(37)⨯4p –2 = –67 + (37)⨯4k –2，所以2⨯4p –2= –2+4k –2，即22p –4 = 22k –5 – 1， 因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k =3且p =2时成立， 因此，数列{a n }中存在a 1、a 2、a 3或a 3、a 2、a 1成等差数列.。
高三数学-【数学】广东省广州市2018届高三上学期第二次调研(理)精品
广东省广州市2018届高三上学期第二次调研（数学理）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，ii 25=Ai 21 Bi 21 Ci21 Di212.设变量x,y 满足约束条件3213y xy x y x，则目标函数y xz 2的最小值为A 6B 7C 8D 233．设””是“则“x xx R x31,的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4.若函数()yf x 是函数1xya a a（>0，且）的反函数，且(2)1f ，则()f x A ．x2log B ．x21C ．x21log D ．22x 5.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21 B.22 C.2D.26.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7.设m ，n 是平面内的两条不同直线，1l ，2l 是平面内的两条相交直线，则//的一个充分而不必要条件是A.m // 且l //B. m // l 且n // l2C. m //且n //D. m //且n //l28.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。
2017-2018学年广东省高三(上)第二次联考数学试卷(文科)Word版(解析版)
2017-2018学年广东省高三（上）第二次联考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5} B．[2，4，5} C．{2，5，6} D．{2，4，5，6}2．（5分）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣3．（5分）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题4．（5分）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣16．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c7．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（x+） C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin （2x+）8．（5分）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09．（5分）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2 C．2π+2﹣1 D．2π+211．（5分）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ= ．14．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是．15．（5分）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a= ．16．（5分）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续小时．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．18．（12分）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．20．（12分）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．2017-2018学年广东省高三（上）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•广东月考）设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，则集合B=（）A．{2，5} B．[2，4，5} C．{2，5，6} D．{2，4，5，6}【分析】根据交集和并集的定义即可求出，【解答】解：∵设集合A={1，2，3，5}，集合A∩B={2，5}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，∴B={2，4，5，6}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的交集并集，属于基础题．2．（5分）（2015秋•贺州月考）已知sin（﹣α）=，则sin2α的值为（）A．B．C．D．﹣【分析】直接利用两角和一次的正弦函数化简，利用平方求解即可．【解答】解：sin（﹣α）=，可得（cosx﹣sinx）=，即cosx﹣sinx=，两边平方可得1﹣sin2x=，sin2α=．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．3．（5分）（2015秋•广东月考）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥β，则α⊥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题【分析】本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．【解答】解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；若l⊥β，l⊂α时，根据平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②为真命题；故选：B．【点评】要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．4．（5分）（2015秋•贺州月考）已知A（﹣1，1）、B（x﹣1，2x），若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（）A．（﹣1，）∪（，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣1，3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由条件利用两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，可得1﹣x+2x＞0，且≠，由此求得x的范围．【解答】解：若向量与（O为坐标原点）的夹角为锐角，则＞0 且向量与不共线，∴1﹣x+2x＞0，且≠，求得x＞﹣1，且 x≠，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．（5分）（2016春•莆田校级期末）各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，a3，2a1成等差数列，则的值为（）A．2 B．2或﹣1 C．D．或﹣1【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意得q＞0，根据条件和等差中项的性质列出方程求出q的值，利用等比数列的通项公式化简即可得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，因为a2，a3，2a1成等差数列，所以2×a3=a2+2a1，则，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），所以===，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，考查整体思想，方程思想，属于中档题．6．（5分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）是偶函数，当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，设a=f（﹣2），b=f（1），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】根据条件先判断函数在[0，+∞）上是增函数，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：当0≤x1＜x2时，＞0恒成立，∴此时函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∵函数f（x）是偶函数，∴a=f（﹣2）=f（2），b=f（1），c=f（3），则f（1）＜f（2）＜f（3），即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），则b＜a＜c，故选：D【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．7．（5分）（2016•岳阳校级模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+） B．f（x）=2sin（x+） C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin （2x+）【分析】根据函数的图象求出函数的周期，利用函数的对称性求出ω和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴函数周期T=π，即T==π，即ω=2，即f（x）=2sin（2x+φ），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）=2sin[2（x+）+φ）]=2sin（2x++φ），若图象关于y轴对称．则+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k=0时，φ=，即f（x）=2sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质求出ω和φ的值是解决本题的关键．8．（5分）（2015秋•广东月考）给出如下四个判断：①若“p或q”为假命题，则p、q中至多有一个为假命题；②命题“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”；③对命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”；④在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件．其中不正确的判断的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据“p或q”的真假性判断①是错误的；根据原命题与它的否命题的关系得出②是正确的；根据全称命题的否定是特称命题可判断③是错误的；根据sinA＞时∠A＞成立，充分性成立；∠A＞时sinA＞不一定成立，必要性不成立；得出④正确．【解答】解：对于①，若“p或q”为假命题，则p、q中两个都是假命题，故①错误；对于②，根据原命题与它的否命题的关系知，“若a＞b，则log2a＞log2b”的否命题为“若a≤b，则log2a≤log2b”，故②正确；对于③，命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故③错误；对于④，△ABC中，当sinA＞时，＞∠A＞，即∠A＞成立，是充分条件；当∠A＞时，不能得出sinA＞，即不是必要条件；综上，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故④正确．所以，不正确的判断是①③，共2个．故选：B．【点评】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题，是综合性题目．9．（5分）（2011•浙江模拟）已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】用向量的加法法则将条件中的向量，都用以A为起点的向量表示得到，画出图形，结合点P落在△ABC的内部从而得到选项．【解答】解：在AB上取一点D，使得，在AC上取一点E，使得：．则由向量的加法的平行四边形法则得：，由图可知，若点P落在△ABC的内部，则．故选D．【点评】本题考查向量的线性运算性质及几何意义，向量的基本运算，定比分点中定比的范围等等10．（5分）（2015秋•广东月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3π+2﹣1 B．3π+2 C．2π+2﹣1 D．2π+2【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个半球和一个三棱锥形成的组合体，其直观图如下图所示：半球的曲面面积为：2π，半球的平面面积为：π﹣×2×1=π﹣1，棱锥侧面VAC和VBC的面积均为：=，棱锥侧面VAB的面积为：=，故组合体的表面积为：3π+2﹣1，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．11．（5分）（2015秋•广东月考）定义运算法则如下：a⊕b=+b﹣2，a⊗b=lga2﹣lg；若M=27⊕，N=⊗25，则M+N=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用两个新的运算法则及其指数与对数的运算法则即可得出．【解答】解：M=27⊕=+（）﹣2=3+2=5，N=⊗25=lg（）2﹣lg=﹣lg2﹣lg5=﹣1，∴M+N=5﹣1=4，故选：C【点评】本题考查了新的运算法则、及其指数与对数的运算法则，属于基础题．12．（5分）（2015秋•广东月考）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=，若a3=a1成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意对a进行分类讨论，分别根据递推公式和条件列出方程，求出a在（0，1]内的所有值．【解答】解：由题意知，a1=a∈（0，1]，a2=2a∈（0，2]，①当a∈（0，]时，则a2=2a∈（0，1]，所以a3=2a2=4a，由a3=a1得，4a=a，得a=0（舍去）；②当a∈（，1]时，a2=2a∈（1，2]，所以a3==，由a3=a1得，=a，得a=1或a=（舍去），综上得，a=1，即a在（0，1]内的可能值有1个，故选：D．【点评】本题考查数列的递推式的应用，以及分类讨论思想、方程思想的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）（2015秋•贺州月考）已知=（2，1），=（﹣1，﹣3），若（+λ）⊥，则λ= ．【分析】求出向量+λ，然后利用垂直条件，求解即可．【解答】解：=（2，1），=（﹣1，﹣3），+λ=（2﹣λ，1﹣3λ）．（+λ）⊥，可得λ﹣2+9λ﹣3=0，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•江西）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是（e，e）．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，∴f′（x）=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是（e，e），故答案为：（e，e）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．15．（5分）（2015秋•广东月考）若实数x，y满足，且x2+y2的最大值等于25，则正实数a= 1 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，x2+y2的几何意义表示为点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，∵图象可知，可行域中的点B（，3）离（0，0）最远，故x2+y2的最大值为（）2+32=25，即（）2=16，即=4或﹣4，解得a=1或a=﹣（负值舍去），故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用x2+y2的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．16．（5分）（2015秋•广东月考）2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为400千米．预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心500千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续15 小时．【分析】过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米，在BC线上取点D使得AD=500千米进而根据勾股定理求得DC，进而乘以2，再除以速度即是 A港口受到台风影响的时间．【解答】解：由题意AB=400千米，过A作AC垂直BC，垂足为点C，则BC=AC=400千米台风中心500千米的范围都会受到台风影响所以在BC线上取点D使得AD=500千米因为AC=400千米，AD=500千米∠DCA是直角根据勾股定理 DC=300千米因为500千米的范围内都会受到台风影响所以影响距离是300×2=600千米T==15（小时）故答案为15．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分．17．（12分）（2015秋•贺州月考）在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求角A的值；（2）若a=，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．【分析】（1）由题知：||=||=1，cos==cos2A﹣sin2A，由此能求出A．（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），从而y=，利用导数性质能求出y=f（x）的最大值．【解答】解：（1）∵向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），∴由题知：||=||=1，∵与的夹角为，∴cos==cos2A﹣sin2A，即cos2A=﹣，又∵0＜A＜，0＜2A＜π，∴2A=，故A=．（2）由正弦定理，得==2，b=2sinx，c=2sin（120°﹣x），（x＜120°），∴y=y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x），令y′=2cosx﹣2cos（120°﹣x）=0，得x=60°，∴x=60°时，y=f（x）取最大值y max==3．【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知：数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*（1）求数列{a n}的通项；（2）设b n=log3，求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）利用递推关系即可得出．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=n，n∈N*，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=n﹣1，两式作差得：3n﹣1a n=1，∴a n=．当n=1时，a1=1也满足上式．∴a n=（n∈N*）．（2）b n=log3=n，=n•3n﹣1．数列{}的前n项和S n=1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1，3S n=3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，∴﹣2S n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n，∴S n=﹣+．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•沈阳校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，P为线段AD1上的动点，（1）当P为AD1中点时，求证：PD⊥平面ABC1D1（2）求证：无论P在何处，三棱锥D﹣PBC1的体积恒为定值；并求出这个定值．【分析】（1）由正方形ADD1A1可得PD⊥AD1，由AB⊥平面ADD1A1可得AB⊥PD，故而PD⊥平面ABC1D1；（2）三棱锥P﹣BDC1的底面积为定值，由AD1∥BC1可知AD1∥平面BDC1，故P到平面BDC1的距离为定值，当P与A重合时，求出三棱锥C1﹣ABD的体积即可．【解答】证明：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，PD⊂平面AA1D1D，∴AB⊥PD．∵AD=AA1，∴四边形AA1D1D为正方形，P为对角线AD1的中点，∴PD⊥AD1，又∵AB∩AD1=A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，∴PD⊥平面ABC1D1．（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD1∥BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，∵P为线段AD1上的点，∴点P到平面BDC1的距离为定值．而三角形BDC1的面积为定值，∴三棱锥P﹣BDC1的体积为定值，即三棱锥D﹣PBC1的体积为定值．V=V=V=V==．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）（2015秋•广东月考）已知函数f（x）=a﹣（x∈R）为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈[﹣1，]，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用函数定义取到R的奇函数的性质：f（0）=0求解实数a的值．（2）利用定义法证明其单调性．（3）利用（2）函数的单调性，将不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立等价变换后求解实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意：∵函数f（x）=a﹣是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即，解得：a=1．当a=1时，f（x）=1﹣=f（﹣x）═==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．故得a=1满足题意．所以：a=1．（2）由（1）可知f（x）=；设x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴所以：f（x1）﹣f（x2）＜0；故，函数f（x）为R上的增函数．（3）由（2）知：函数f（x）为R上的增函数，且f（x）是奇函数．从而不等式：f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0等价于f（t2+2）＞f（﹣t2+tk），即得：t2+2＞﹣t2+tk．∴2t2﹣tk+2＞0对任意于t∈[﹣1，]，恒成立．记g（t）=2t2﹣tk+2，开口向上，对称轴x=，则g（t）在∈[﹣1，]上的最小值大于0．即恒成立．①当＜﹣1时，即k＜﹣4时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调增函数，g（t）min=g（﹣1）=4+k＞0，解得：k＞﹣4，故得k无解，②当﹣1≤时，即﹣4≤k≤2时，g（t）min=g（）=2﹣＞0，解得：4＞k＞﹣4，故得﹣4＜k≤2．③当＞时，即k＞2时，g（t）=2t2﹣tk+2在[﹣1，]上是单调减函数，g（t）min=g（）=＞0，解得：k＜5，故得2＜k＜5，综上所述：实数k的取值范围是{k|﹣4＜k＜5}．【点评】本题考查了函数的性质之奇函数的运用，单调性的证明以及恒等式的问题的转化为二次函数最值的讨论．属于难题．21．（12分）（2015秋•贺州月考）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）记g（x）=f′（x）﹣+m，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间和极值，可得最小值；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，求出m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，求出导数，求得x=1是φ（x）的最大值点，求出最大值，画出图象，讨论m的范围，即可得到所求的结论．【解答】解：（1）由题设，当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞），可得f′（x）=﹣=即有当0＜x＜e时，f′（x）＜0，此时f（x）在（0，e）上单调递减；当x＞e时，f′（x）＞0，此时f（x）在（e，+∞）上单调递增；则当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=lne+1=2；（2）假设存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）成立．则方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有解，由g（x）=f′（x）﹣x+m=﹣﹣x+m（x＞0），f（1）=m，方程g（x）=f（1）可化为m=﹣x3+x，设φ（x）=﹣x3+x，则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减；所以x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点，φ（x）的最大值为φ（1）=﹣+1=又φ（0）=φ（）=0，结合y=φ（x）的图象，可知①当m＞或m=0时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上无解；②当0＜m＜时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有两解；③当m＜0或m=时，方程g（x）=f（1）在区间（0，）∪（，+∞）上有一个解．综上所述，当m＞或m=0时，不存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）；当m≤且m≠0时，存在x0∈（0，）∪（，+∞），使得g（x0）=f（1）．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和数形结合的思想，考查运算能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2015秋•广东月考）如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．【分析】（1）连接BC．由直线CD与⊙O相切于点C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分线的性质可得：△ACD ∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可证明．（2）利用切割线定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，，JKDC．【解答】（1）证明：连接BC．∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA=∠B．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．（2）解：由切割线定理得：DA×DE=DC2，即DA×（DA﹣3）=4，解得：DA=4．由（1）知：AD⊥CD，∴AC2=AD2+CD2=20，又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴，∴AB==5．∴OC==．【点评】本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•广东月考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（1）直线l的参数方程化为普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为极坐标方程；（2）求出曲线C的化为普通方程，与直线方程联立，求得直角坐标方程，再求直线l与曲线C交点的极坐标．【解答】解：（1）将直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程：x﹣y+2=0；…（2分）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程得：ρcosθ﹣ρsinθ+2=0．…（4分）（2）将曲线C的化为普通方程得：x2+y2﹣4y=0．…（6分）由直线与圆方程联立解得：或…（8分）所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为：（2，），（2，）．…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015秋•广东月考）设函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1，g=﹣x+a．（1）求不等式f（x）≥0的解集；（2）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解，求a的取值范围．【分析】（1）化简函数的解析式，分类讨论求得x的取值范围．（2）分类讨论求得方程f（x）=g（x）的解集，结合x的范围，求得对应的a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|﹣1=，当x≥2时，f（x）=﹣4，不合题意；当﹣1≤x＜2时，f（x）=﹣2x≥0，解得﹣1≤x≤0；当x＜﹣1时，f（x）=2＞0，符合题意．综上，f（x）≥0的解集为（﹣∞，0]．（2）当x≥2时，方程f（x）=g（x），即﹣4=﹣x+a，解得：x=a+4；当﹣1≤x＜2 时，方程f（x）=g（x），即﹣2x=﹣x+a，解得：x=﹣a；当x＜﹣1时，方程f（x）=g（x），即2=﹣x+a，解得：x=a﹣2．使方程方程f（x）=g（x）有三个不同的解，则，解得：﹣2＜a＜1．所以a的取值范围是（﹣2，1）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求方程的解，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2018届广东省“十二校”高三第二次联考文科数学及答案
广东省“十二校”2018届高三第二次联考数学（文科）试题 2本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，若i )i (2-a （i 为虚数单位）为正实数，则a =( )A ．2B ．1C ．0D ．1-2．已知{}{}{}5,4,2,5,4,35432==N M U ，，，，＝，则（ ）A ．{}4=⋂N MB ．M N U =C ．U M N C U =⋃)(D ．N N M C U =⋂)(3. 下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．0,3<∈∃x R x B ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件C ．,20x x R ∀∈>D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题4. 若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则.A α内的所有直线与l 异面 B. α行C.α内不存在与l 平行的直线D. α5．在等差数列}{n a 中，21232a a +=，则1532a a +的值是（A ．24 B ． 48 C ．6. 某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．63 B ．31 C ．27 D ．157．动圆M 经过双曲线2213y x -=左焦点且与直线2x =相切，则圆心M的轨迹方程是（ ）图1A ．24y x =B ．24y x =-C ．28y x =D ．28y x =- 8. O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足（－）·（+－2）= 0，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形9.已知平面直角坐标系xoy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A ，则||z AM =的最大值为 ( )A. 6C .4 D. 210. 已知a 是函数x x f x 21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足（ ）A ．0)(0=x fB ．0)(0>x fC ．0)(0<x fD ．)(0x f 的符号不能确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11. 某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是12．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C所对的边，,13A a c π===，则ABC ∆的面积S= ______． 13. 已知实数0m ≠，函数2,1()2,1x m x f x x m x +<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f m f m -=+，则m 的值为________.14、（坐标系与参数方程选做题） 已知点P是曲线cos :(sin =⎧⎨=⎩43x θC θy θ为参数，)πθπ≤≤2上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为4π，则点P的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图2，O 和'O 相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点，连接DB 、CB ，已知3BC =，4BD =，则AB = ．图2三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若函数()f x 的图象过点6(,)5α，344ππα<<.求()4f πα+的值．17（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如 图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19， 且第二组的频数为8.（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；图3（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.[来18（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =． （1）求证：AC BD ⊥； （2）求三棱锥E BCD -的体积．图419（本小题满分14分）已知数列2{}n a a p =有（常数0p >），其前n 项和为,n S 1()2n n n a a S -=满足（*n N ∈）（1）求数列}{n a 的首项1a ，并判断}{n a 是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由； （2）令}{,2112n n n n n n n P T S S S S P 是数列+++++=的前n 项和，求证：32<-n T n20 (本小题满分14分)如图5，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，2ABF ∆ 的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，证明：点(1,0)M 在以PQ图521（本小题满分14分） 若函数()f x y x=在(,)m +∞上为增函数（m 为常数），则称()f x 为区间(,)m +∞上的“一阶比增函数”，(,)m +∞为()f x 的一阶比增区间. (1) 若2()ln 2f x x x ax =-是(0,)+∞上的“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围； (2) 若32()ln f x x x x x λ=-- (0λ>，λ为常数)，且()()f x g x x=有唯一的零点，求()f x 的“一阶比增区间”； (3)若()f x 是(0,)+∞上的“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+.广东省“十二校” 2018届高三第二次联考文科数学试卷参考答案一、选择题1．B2． B3． D4． A5． B6． A7． C8． C9． B【解析】试题分析：根据线性规划的知识,画出可行域如下图所示因为Z 最小值即为可行域内到点A 的距离最大值, 即为可行域中的点()2,0B ,所以max z =故选B考点：线性规划 向量的模 10．C 【解析】试题分析：不妨设()()122,log x g x h x x ==,则()()()f x g x h x =-,作出()(),g x h x 图像如下则可以得到B 点的横坐标即为x x f x 21log 2)(-=的零点a,所以a x <<00，则()()000()0f x g x h x =-<,故选C二、填空题 11．3812．2 13． 34-【解析】试题分析：由题得,函数f(x)在区间(),1-∞上单调递增,在区间()1,+∞单调递减,因为(1)(1)f m f m -=+且11m m -≠+,所以1,1m m -+应分别在分段函数的两段上,则当0m <时,因为11>1m m ->+,所以()()(1)(1)2112f m f m m m m m-=+⇒++=---34m ⇒=-,当m >时,111m m-<<+,所以()()(1)(1)2112f m f m m m m m -=+⇒-+=-+-32m ⇒=-(不符合题意),综上34m =-,故填34-.14． (--15．三、解答题 16．【解】 (1)由题意得,()2sin 4f x x x x x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,因为1sin 14x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的值域为[2,2]-,函数()f x 的周期为2π.(2)由题得,因为函数()f x 过点6(,)5α,所以()6632sin sin 54545f ππααα⎛⎫⎛⎫=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为344ππα<<,所以40cos 0cos 42445ππππααα⎛⎫⎛⎫<-<⇒->⇒-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而2sin 2sin 2sin cos 2cos sin4444444f πππππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭45f πα⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭,综上45f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭考点：正余弦和差角公式 辅助角公式 周期 17．【答案】(1)320 (2)50 (3)47【解析】 试题解析：(1)由频率分布直方图可得在抽取的样本中学生中百米成绩在[16，17）内的频率为0.3210.32⨯=,则该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数为10000.32320⨯=.(2)设前三个组的频率分别为x,y,z.则有0.3210.0811::3:8:19x y z x y z +++⨯+⨯=⎧⎨=⎩0.060.160.38x y z =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩,所以第二组的频率为0.16,又因为第二组的频数为8,所以随机抽取的学生人数为8500.16=,故随机抽取了50名学生的百米长跑成绩.(3)由(1)(2)可得到第一组[13,14)的频数为0.06503⨯=,第五组[17,18)的频数为0.08504⨯=,分别编号为A,B,C,D,E,F,G(其中第一组为A,B,C),从这7名同学成绩中选取两人的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F ),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)共21个,而满足两个成绩的差的绝对值大于1秒的基本事件有(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E ),(C,F),(C,G)共12个,所以根据古典概型的概率计算公式得124217P == ,故从第一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为47.18．【答案】(1) 证明过程详见解析(2) 73试题解析：(1)证明AE ⊥ 面ABC (即AD ⊥面ABC)且AC ⊂面ABCAC AD ∴⊥又AC AB ⊥ 且,AD AB ⊂面ABD,AB AD A =AC ∴⊥面ABD BD ⊂ 面ABDAC BD ∴⊥(2)因为正视图和侧视图的面积分别为11和12,所以1AEO S ∆=,又因为AE=2,所以OA=1,12A A =,因为正视图的面积为11,所以111105A ADD S A A AD AD ==⇒= ,因为底面三角形ABC 为等腰直角三角形且斜边的中线OA=1,所以112ABC S OA BC ∆== ,又因为EA ⊥面ABC 且AD ⊥面ABC,所以E BCD E ABC D ABC V V V ---=+()1733ABC EA AD S ∆=+=,综上73E BCD V -=. 考点：三视图 垂直 圆柱19．【答案】(1) 1n a n =- (2)证明过程详见解析 【解析】 (1)当n=1时,()111102a a S a-=⇒=,则2nn na S =……① 当2n ≥时,()1112n n n a S ---=……②,则①-②得()11122n n n n n a na S S ----=-()121n n n a na n a -⇒=-- ()()121n n n a n a -⇒-=-112n n a n a n --⇒=-1n a n ⇒=-, 检验n=1时也符合,故1n a n =-,则11n n a a --=,所以n a 为等差数列.综上n a 是等差数列且1n a n =-.(2)由(1)()12n n n S -=n P ⇒()()()()()()211121n n n n n n n n +++=+=+++22n n n n ++=+222211222n n n n ⎛⎫++-=+- ⎪++⎝⎭, 则12222222213242n n T P P P n nn ⎛⎫=+++=+-+-++-⎪+⎝⎭2222221231212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭, 所以222312n T n n n -=--++,因为202n >+且201n >+,所以2222312n T n n n -=--<++. 考点：等差数列 前n 项和 裂项求和20．【答案】(1)22143x y += (2)证明过程详见解析 试题解析：(1)由题得,因为点A,B 都在椭圆上,所以根据椭圆的定义有12||||2AF AF a +=且12||||2BF BF a +=,又因为2ABF ∆ 的周长为8,所以221212||||||8||||||||8AB BF AF AF AF BF BF ++=⇒+++=482a a ⇒=⇒=, 因为椭圆是关于x,y,原点对称的,所以12AF F ∆为正三角形当且仅当A 为椭圆的短轴定点,则21a c c =⇒=,2223b a c =-=,故椭圆E 的方程为22143x y +=.(2)由题得,动直线l 为椭圆的切线,故不妨设切点()00,P x y ,因为直线l 的斜率是存在且为k ,所以00y ≠,则直线()00:l y k x x y =-+,联立直线l与椭圆E的方程得()0022143y k x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩ ()220034120x k x x y ⇒+-+-=⎡⎤⎣⎦,0304x k y ∆=⇒=-.则直线l 的方程为00143x x y y+=,联立直线l 与直线4x =得到点()00314,x Q y -⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()()()()0000310114x PM QM x y y -⎛⎫=⇒--+-- ⎪⎝⎭()()0031310x x =--+-=,所以PM QM ⊥,即点M 在以PQ 为直径的圆上.考点：椭圆 切线 内积 圆 21．【答案】(1) (,0]-∞ (2)()1,+∞试题解析：(1)由题得,()ln 2f x y x ax x ==- 在区间()0,+∞上为增函数,则1'20y a x =-≥在区间()0,+∞上恒成立,即min12a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭0a ⇒≤,综上a 的取值范围为(,0]-∞. (2)由题得,()()2ln f x g x x x x xλ==--(x >),则()2121'21x x g x x x xλλ--=--=,当()'0g x =时,因为0λ>,所以1x =, 2x =.因为120,0x x ><,所以函数()g x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减,在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增,即()max g x g =⎝⎭.又因为()()f x g x x =有唯一的零点,所以01g λ=⇒=⎝⎭(使ln 0=⎝⎭解得1λ=带入验证),故()g x 的单调增区间为()1,+∞.即()f x 的“一阶比增区间”为()1,+∞.(3)由题得,因为函数()f x 为()0,+∞上的“一阶比增函数”,所以()f x y x=在区间()0,+∞上的增函数,又因为1210x x x +>>,所以()()()()()()12111212112111200f x x f x x f x x x x f x x x x x x x ++-+->⇒>++()()()1121210x f x x x x f x ⇒+-+>……○1,同理,()()()2121220x f x x x x f x +-+>……○2,则○1+○2得 ()()()()()121211110x x f x x x x f x f x ++-++>⎡⎤⎣⎦()()()12110f x x f x f x ⇒+-+>⎡⎤⎣⎦()()()1211f x x f x f x ⇒+>+,所以12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+.考点：单调性定义 不等式 导数 新概念。
2018年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）若a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）执行如图的程序框图，若输出y＝，则输入x的值为（）A．log23﹣1或B．1﹣log23或C．1﹣log23D．4．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）根据如图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（）A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣7，1]D．[﹣7，3]8．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+]（k∈Z）9．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若＝，S7＝﹣21，则a10＝（）A．8B．9C．10D．1210．（5分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+πB．18+2πC．16+πD．16+2π11．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．312．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为（）A．πB．πC．πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝2，||＝，则||＝．14．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a ＝．15．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15+21；②49＝18+31；③64＝28+36；④81＝36+45中符合这一规律的等式是．（填写所有正确结论的编号）16．（5分）设点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P到x轴的距离为d，点P1是圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1上的动点，当d+|PP1|最小时，点P的坐标为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是AB1和BC的中点．（1）证明：MN∥平面AA1C1C；（2）若AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，求棱锥C1﹣AMN的高．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+3与椭圆C相交于不同的两点M，N，点P为线段MN的中点，OP∥FM，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx．（1）若函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，求k的取值范围；（2）证明：∀n∈N*，（1+）•（1+）•（1+）…（1+）＜e2．（其中e为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）＝a（a＞0）．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|+|a﹣b|≤1．2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N＝{﹣1，2}，∴集合M∩N中元素的个数为2．故选：B．2．（5分）若a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2，∴2a＝2，即a＝1．故选：C．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出y＝，则输入x的值为（）A．log23﹣1或B．1﹣log23或C．1﹣log23D．【解答】解：当x≤1时，由y＝2x＝得：x＝log23﹣1，当x＞1时，由y＝2﹣log2x＝得：x＝，综上可得：若输出y＝，则输入x的值为log23﹣1或，故选：A．4．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，可得，，故选：B．5．（5分）根据如图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（）A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年我国实际利用外资同比增速最大【解答】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：∵判别式△＝1﹣4（﹣1）＝5＞0，∴∀x∈R，x2+x﹣1＞0不成立，即命题p 是假命题，当x＝﹣1时，2﹣1＞3﹣1，即命题q：∃x∈R，2x＞3x，是真命题，则（￢p）∨q是真命题，其余为假命题，故选：C．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣7，1]D．[﹣7，3]【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，可知A（﹣1，4），化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣7．B（1，0），由图可知，当直线y＝3x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3．∴z＝3x﹣y的取值范围是[﹣7，3]．故选：D．8．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+]（k∈Z）【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝2，再根据五点法作图可得2×+φ＝0，求得φ＝﹣，∴f（x）＝sin（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．9．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若＝，S7＝﹣21，则a10＝（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：设{a n}是公差d不为零的等差数列，∵＝，S7＝﹣21，∴+＝+，7a1+d＝﹣21，∴2a1+9d＝0，a1+3d＝﹣3，解得a1＝﹣9，d＝2．则a10＝﹣9+2×9＝9．故选：B．10．（5分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+πB．18+2πC．16+πD．16+2π【解答】解：由三视图可知长方体的棱长为2，2，1，半圆柱的底面半径为1，高为1，∴长方体的表面积为（2×2+2×1+2×1）×2＝16，半圆柱的侧面积为π×1×1+2×1＝π+2，∴几何体的表面积为16+π+2＝18+π．故选：A．11．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵y＝x3﹣x是奇函数，故y＝x3﹣x的图象关于原点对称，∴y＝x3﹣x+1的函数图象关于点（0，1）对称，∵直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，∴A为函数的对称点，即A（0，1），且B，C两点关于点A（0，1）对称，∴x1+x2+x3＝0，y1+y2+y3＝3．于是（x i+y i）＝3．故选：D．12．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：∵V P﹣ABC＝S△ABC•P A＝＝，∴AB•BC＝6，∵P A⊥平面ABC，P A＝2，∴O到平面ABC的距离为d＝P A＝1，设△ABC的外接圆半径为r，球O的半径为R，R＝＝．由余弦定理可知AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°＝AB2+BC2+6≥2AB•BC+6＝18，当且仅当AB＝BC＝时取等号．∴AC≥3．由正弦定理可得2r＝≥＝2，∴r≥．∴R≥．∴当R＝时，球O的体积取得最小值V＝＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝2，||＝，则||＝．【解答】解：∵向量与的夹角为，||＝2，||＝，∴•＝||•||•cos＝2××＝2，∴||2＝||2+||2﹣2•＝4+2﹣4＝2，∴||＝，故答案为：14．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a ＝1．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x2的导数为f′（x）＝e x﹣2x，函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e﹣2，切点为（1，e﹣1），由切线过点（0，a），可得：e﹣2＝，解得a＝1，故答案为：1．15．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15+21；②49＝18+31；③64＝28+36；④81＝36+45中符合这一规律的等式是①③④．（填写所有正确结论的编号）【解答】解：由已知条件可得如下规律等式4＝1+3，9＝3+6，16＝6+10，25＝10+15，36＝15+2149＝21+2864＝28+36，81＝36+45，．．故答案为①③④16．（5分）设点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P到x轴的距离为d，点P1是圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1上的动点，当d+|PP1|最小时，点P的坐标为（﹣2+2，3﹣2）．【解答】解：抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1．圆的圆心为M（2，﹣1），∴d＝PF﹣1，故当FP1PM四点共线且P，P1在M，F之间时，d+|PP1|取得最小值，此时直线MF的方程为：y＝﹣x+1，联立方程组，得：x2+4x﹣4＝0，解得x＝﹣2，或x＝﹣2﹣2（舍），∴y＝3﹣2．故答案为（﹣2+2，3﹣2）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．18．（12分）A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．【解答】解：（1）根据样本数据知，A药店应选择乙药厂购买中药材；（2）（ⅰ）从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数为＝×（7+9+11+12+12+17+18+21+21+22）＝15；估计A药店所购买的100件中药材的总质量为100×15＝1500克；（ⅱ）乙药厂所提供的每件中药材的质量n＜15的概率为＝0.5，15≤n≤20的概率为＝0.2，n＞20的概率为＝0.3，则A药店所购买的100件中药材的总费用为100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）；依题意得100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）≤7000，解得a≤75，∴a的最大值为75．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是AB1和BC的中点．（1）证明：MN∥平面AA1C1C；（2）若AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，求棱锥C1﹣AMN的高．【解答】（1）证明：连结A1B，CA1，∵四边形ABB1A1是平行四边形，M是AB1的中点，∴M是A1B的中点，又N是BC的中点，∴MN∥A1C，又MN⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴MN∥平面AA1C1C．（2）解：以A1为原点，以A1B1，A1A，A1C1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则C1（0，0，1），A（0，2，0），M（，1，0），N（，2，），∴＝（，1，﹣1），＝（﹣，1，0），＝（，0，），设平面AMN的法向量为＝（x，y，z），则，＝0，∴，令y＝1，得＝（2，1，﹣2），∴cos＜，＞＝＝＝．设直线C1M与平面AMN的夹角为θ，则sinθ＝，∴C1到平面AMN的距离d＝|C1M|sinθ＝×＝．∴棱锥C1﹣AMN的高为．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+3与椭圆C相交于不同的两点M，N，点P为线段MN的中点，OP∥FM，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由题意可知c＝2，2b＝4，即b＝2，∴a＝＝2．∴椭圆方程为＝1．（2）联立方程组，消去y得：（1+2k2）x2+12kx+28＝0，△＝288k2﹣112（1+2k2）＝64k2﹣112＞0，解得k2＞．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，x0＝＝﹣，y0＝kx0+3＝，∴k OP＝＝﹣，∵OP∥FM，∴k FM＝k OP＝﹣，∴直线FM的方程为y＝﹣（x﹣2），解方程组，得，即M（，），∵M在椭圆上，∴（）2+2（）2＝8，解得k2＝2，即k＝．∴直线l的方程为y＝x+3或y＝﹣x+3．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx．（1）若函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，求k的取值范围；（2）证明：∀n∈N*，（1+）•（1+）•（1+）…（1+）＜e2．（其中e为自然对数的底数）【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx，得f′（x）＝a﹣，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，则x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；当x＝时，函数f（x）取得极小值，其值为f（）＝a（﹣1）﹣ln＝1﹣a+lna，令g（a）＝1﹣a+lna（a＞0），则g′（a）＝﹣，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，当a＞1时，g′（a）＜0，故g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，当a＝1时，g（a）取最大值，其值为g（1）＝0，应用函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，则k≥0，故k的范围是[0，+∞），（2）证明：由（1）可知，当a＝1时，函数f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，当x＝1时，函数f（x）取最小值为f（1）＝0，故x＞0时，f（x）≥0，即x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1，∀n∈N*，令x＝1+，得ln（1+）≤，故ln（（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）≤+++…+，令S n＝+++…+①，s n＝+++…+②，①﹣②得s n＝+++…+﹣，＝﹣＝1﹣故S n＝2﹣＜2，故ln[（1+）（1+）（1+）…（1+）]＜2，故（1+）（1+）（1+）…（1+）]＜e2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）＝a（a＞0）．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．【解答】（1）解：由消去参数t，得直线l的普通方程为y＝﹣（x﹣1）．即+y﹣＝0，由ρ2（1+2sin2θ）＝a，即ρ2+2ρ2sin2θ＝a，把ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y代入上式得x2+3y2＝a．所以C的直角坐标方程为x2+3y2＝a．（2）解：由消去y，得10x2﹣18x+9﹣a＝0（1），设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2═，x1x2＝．|AB|＝•|x2﹣x1|＝．又由已知|AB|＝，得＝，解得a＝，此时（1）式的判别式△＝4﹣4×5×（2﹣2×）＝12＞0．所以a的值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|+|a﹣b|≤1．【解答】解：（1）f（x）≤2，即|2x+1|+|2x﹣1|≤2，当x≤﹣时，得﹣（2x+1）+（1﹣2x）≤2，解得：x≥﹣，故x＝﹣，当﹣＜x＜时，得（2x+1）﹣（2x﹣1）≤2，即2≤2，故﹣＜x＜，当x≥时，得（2x+1）+（2x﹣1）≤2，解得：x≤，故x＝，故不等式f（x）≤2的解集M＝{x|﹣≤x≤}；（2）证明：法一：当a，b∈M时，即﹣≤a≤，﹣≤b≤，得|a|≤，|b|≤，当（a+b）（a﹣b）≥0时，|a+b|+|a﹣b|＝|a+b+a﹣b|＝2|a|≤1，当（a+b）（a﹣b）＜0时，|a+b|+|a﹣b|＝|a+b﹣a+b|＝2|b|≤1，故|a+b|+|≤1；法二：当a，b∈M时，即﹣≤a≤，﹣≤b≤，得|a|≤，|b|≤，（|a+b|+|a﹣b|）2＝2（a2+b2）+2|a2﹣b2|＝，由于a2≤，b2≤，则4a2≤1，4b2≤1，故（|a+b|+|a﹣b|）2≤1，故|a+b|+|a﹣b|≤1．。
2018广州市二模文科数学试题及答案教学提纲
2018广州市二模文科数学试题及答案仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1,2M =-，{0N x x =<或}1x >，则M N 中的元素个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．42．若a 为实数，且(1i)(i)=2a a +-，则=aA ．1-B ．0C ．1D ．2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢33．执行如图的程序框图，若输出32y =，则输入x 的值为 A ．2log 31-2 B ．21log 3-2 C ．21log 3- D 24．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程为2y x =，则C 的离心率为 A 6B 5C 6D ．525．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大实际利用外资规模 实际利用外资同比增速仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．已知命题:p x ∀∈R ,210x x +->；命题:q x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是 A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝7．设,x y 满足约束条件11,13,x x y -⎧⎨+⎩≤≤≤≤则3z x y =-的取值范围是A ．[]1,3-B ．[]1,3C ．[]7,1-D ．[]7,3-8．若函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间是A ．,63k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )B ．5,36k k ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．2,263k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )D ．52,236k k ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )9．设{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若22223478a a a a +=+，721S =-，则10a = A ．8B ．9C ．10D ．1212π7π12仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢510．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A ．18+π B ．182+π C ．16+π D ．162+π11．已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同交点()11,A x y ，()()2233,,,B x y C x y ，且AB AC =，则()31i i i x y =+=∑A ．0B ．1C ．2D ．312．体积为3的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A ．77πB ．2873π C ．1919πD ．76193π仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,=a b -=a b . 14．已知函数()f x =e 2x x -的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a = .15．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）……16．设点P 是抛物线24=x y 上的动点，点P 到x 轴的距离为d ，点1P 是圆()()22211x y -++=上的动点，当1d PP +最小时，点P 的坐标为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin b A a B =. （1）求A ；（2）若2=a ，△ABC ABC 的周长.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢718．（本小题满分12分）A 药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A 药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A 药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂． （1）根据样本数据，A 药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药 店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：（ⅰ）估计A 药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A 药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a 的最大值．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，,M N 分别是1AB 和BC 的中点． （1）证明：MN ∥平面11AAC C ；每件中药材的质量n （单位：克）购买价格（单位：元/件）15n < 50 1520n ≤≤ a 20n >100仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8（2）若12,1AA AB AC ===，90BAC ︒∠=，求棱锥1C AMN -的高．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，右焦点为()2,0F ，短轴长为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:32l y =k x+与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，点P 为线段MN 的中点，OP FM ∥，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =()1ln a x x --.（1）若函数()f x 的极小值不大于k 对任意0a >恒成立，求k 的取值范围；（2）证明：∀n ∈N *，2231231111e 2222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（其中e 为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,2x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M . （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10。
广东省广州市2018届高三4月综合测试(二模)数学理试题(答案打印版)
2 π 2π 或 sin sin ，所以 + 3 3 6 3 3
F O
A
π 2 ，解得 或 0 （舍去） + 3 3 3
F2
7．解析：如图，设椭圆的右焦点为 F2 ，连结 AF2 ，由对称性可知 AF AF2 ，在 Rt△AFF2 中， AO 为 斜边 FF2 上的中线，所以 AO FO F2O ，又 AOF2 60 ，所以 AF2 F 60, AFF2 30 ，所 以 AF2 : AF : FF2 1: 3 : 2 ，所以离心率 e 8．解析：直观图如图所示，其表面积
2018 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学参考答案
1 B 13 2 D 3 A 4 B 14 5 C 6 C 7 D 15 8 A 9 B 10 C 16 11 B 12 D
2
①③④
120
13 3 8
1． 解析： z1 z2 z1 z2
5 2 10
2．解析： M {2, 1, 0,1, 2}, N {x | ( x 1)( x 3) 0} {x | 1 x 3}, M N {0,1, 2} 3．解析： y
2 log 2 x, x 1 2 ,
x
x
x ≤1
，所以当 x 1 时， y 2 log 2 x
3 1 , log 2 x , x 2 1 ， 2 2
当 x ≤ 1 时，y 2
3 3 , x log 2 log 2 3 log 2 2 log 2 3 1 1 ， 所以输入 x 的值为 log 2 3 1 或 2 ． 2 2
广东省广州市高三数学上学期第二次月考试题文(扫描版)(new)
广东省广州市2018届高三数学上学期第二次月考试题文（扫描版）
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广东中学2018届高三上第二次月考数学试卷
广东省实验中学2018届高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．1+i C．i D．1﹣i2．（5分）等差数列{a n}中，a=a3+a11，{b n}为等比数列，且b7=a7，那么b6b8的值为（）A．4 B．2 C．16 D．83．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件4．（5分）以下说法，错误的选项是（）A．绘制频率散布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率B．在线性回归模型中，相关指数R2表示说明变量关于预报变量转变的奉献率，R2越接近1，表示回归的成效越好C．设随机变量ξ服从正态散布N（4，22），那么P（ξ＞4）=D．设a、b、c别离表示数据1五、17、14、10、1五、17、17、1六、14、12的平均数、中位数、众数，那么b＜a＜c5．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部份后所得，那么该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π6．（5分）关于实数m＞﹣3，假设函数图象上存在点（x，y）知足约束条件，那么实数m的最小值为（）A．B．﹣1 C．﹣D．﹣27．（5分）有一球的内接圆锥，其底面圆周和极点均在球面上，且底面积为3π．已知球的半径R=2，那么此圆锥的侧面积为（）A．2πB．6πC．6π或2πD．4π8．（5分）已知双曲线，过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），那么双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F别离是棱A1B1，B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，那么直线m，n的夹角为（）A．0 B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=2|cos x|sin x+sin2x，给出以下四个命题：①函数f（x）的图象关于直线x=对称；②函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增；③函数f（x）的最小正周期为π；④函数f（x）的值域为[﹣2，2]．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个11．（5分）在抛物线y=x2与直线y=2围成的封锁图形内任取一点A，O为坐标原点，那么直线OA被该封锁图形解得的线段长小于的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）假设函数在（0，2）上存在两个极值点，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）D．（﹣e，﹣）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）（﹣）6的展开式中常数项是．14．（5分）已知a=，b=125，c=log，那么a，b，c的大小关系是：．15．（5分）已知平面向量的夹角为120°，且．假设平面向量知足，那么=．16．（5分）设数列{a n}知足a1=2，a2=6，且a n+2﹣2a n+1+a n=2，假设[x]表示不超过x的最大整数，那么=．三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=．（1）假设f（x）=1，求cos（﹣x）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边别离是a，b，c，且知足a cos C+c=b，求f（B）的取值范围．18．（12分）某大学生从全校学生中随机选取100名统计他们的鞋码大小，取得如下数据：鞋码35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 合计男生﹣﹣ 3 6 8 11 12 6 7 2 55 女生 4 6 12 9 9 2 2 ﹣﹣ 1 45 以各性别各鞋码显现的频率为概率．（1）从该校随机挑选一名学生，求他（她）的鞋码为奇数的概率；（2）为了解该校学生考试作弊的情形，从该校随机挑选120名学生进行抽样调查．每位学生从装有除颜色外无不同的4个红球和6个白球的口袋中，随机摸出两个球，假设同色，那么如实回答其鞋码是不是为奇数；假设不同色，那么如实回答是不是曾在考试中作弊．那个地址的回答，是指在纸上写下“是”或“否”．假设调查人员回收到32张“是”的小纸条，试估量该校学生在考试中曾有作弊行为的概率．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，取得如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）假设AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD﹣E的余弦值．20．（12分）已知点，点P是圆上的任意一点，设Q为该圆的圆心，而且线段P A的垂直平分线与直线PQ交于点E．（1）求点E的轨迹方程；（2）已知M，N两点的坐标别离为（﹣2，0），（2，0），点T是直线x=4上的一个动点，且直线TM，TN别离交（1）中点E的轨迹于C，D两点（M，N，C，D四点互不相同），证明：直线CD恒过必然点，并求出该定点坐标．21．（12分）已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=e x ln x（e=…）．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，到点（1，0）的距离为，求a的值；（Ⅱ）假设关于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确信a的取值范围；（Ⅲ）当a=﹣1时，是不是存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）﹣f（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由．请考生在以下两题中任选一题作答[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系于直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣），曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，射线θ=α﹣，θ=α，θ=α+，θ=α+与曲线C1别离交异于极点O的四点A，B，C，D．（1）假设曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（2）设f（α）=|OA|•|OB|+|OC|•|OD|，当≤α≤时，求f（α）的值域．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（Ⅰ）假设a=1，解不等式f（x）＜6；（Ⅱ）假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】=，应选：B．2．A【解析】等差数列{a n}中，a3+a11=2a7，又a=a3+a11，因此a72=2a7，解得a7=2，或a7=0（舍去），因此b7=a7=2，因此b6b8=a72=4．应选：A．3．B【解析】假设函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，那么f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，那么0＜m＜1，现在函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，应选：B4．D【解析】关于A，绘制频率散布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率，故A 正确，关于B，R2越接近于1，表示回归的成效越好，故B正确关于C，设随机变量ξ服从正态散布N（4，22），那么函数图象关于x=4对称，那么P（ξ＞4）=；故C正确，关于D，10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，取得其平均数为，中位数为15，众数为17，那么有c＞b＞a；故D不正确应选：D．5．B【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，应选：B．6．B【解析】作出不等式组表示的平面区域，取得如图的三角形ABC，其中A（m，3+m），再作出指数函数的图象，可得该图象与直线x﹣y+3=0交于点（﹣1，2）因此，当A点与（﹣1，2）重合时，图象上存在点（x，y）知足不等式组，且现在m达到最小值．即m的最小值为﹣1，应选：B．7．C【解析】底面积为3π，∴底面半径是，设圆锥的高为h，那么由射影定理可得3=h（4﹣h），解得h=1或3，当h=1时，母线长为l===2∴圆锥的侧面积为πrl=2π；当h=3时，母线长为l===2，∴圆锥的侧面积为πrl=π••2=6π；综上，圆锥的侧面积为6π或2π．应选：C．8．B【解答】解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），那么x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，则==，由直线AB的斜率k==1，∴=1，那么=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，应选B．方式二：设A（12+m，15+n），B（12﹣m，15﹣n），则，两式相减得：=，由直线l的斜率k==，直线AB的斜率k==1，∴=1，那么=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，应选B．9．A【解析】如下图：∵E，F别离是棱A1B1，B1C1的中点，故EF∥AC，那么面OEF即平面EFCA与面BCC1B1相交于CF，即直线m，由CF∥OE，可得CF∥平面OD1E，故面OD1E与面BCC1B1相交于n时，必有n∥CF，即n∥m，即直线m，n的夹角为0，应选：A10．C【解析】关于①，函数f（x）=2|cos x|sin x+sin2x，由于f（﹣）=﹣2，f（）=0，∴f（﹣）≠f（），故f（x）的图象不关于直线x=对称，故①错．关于②，区间[﹣，]上，f（x）=2|cos x|sin x+sin2x=2sin2x单调递增，故②正确．关于③，函数f（）=，f（）=0，∴f（）≠f（），故函数f（x）的最小正周期不是π，故③错误．关于④，当cos x≥0时，f（x）=2|cos x|sin x+sin2x=2sin x cos x+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为﹣2；当cos x＜0时，f（x）=2|cos x|sin x+sin2x=﹣2sin x cos x+sin2x=0，综合可得，函数f（x）的最大值为2，最小值为﹣2，故④正确，应选：C11．C【解析】抛物线y=x2与直线y=2所围成的面积为S阴影=（2﹣x2）dx=（2x﹣x3）|=，以O为原点，为半径的圆与抛物线y=x2别离交于B，C两点，则OB=OC=，圆O的方程为x2+y2=2，故A点只有在红色区域内时，直线OA被直线OA被该封锁图形解得的线段长小于，由，解得或，∴B（﹣1，1），C（1，1），∴直线OB，OC的解析式别离为y=﹣x或y=x，∴红色区域面积S红=+（x﹣x2）d x=（﹣）|+（）|=+，∴直线OA被该封锁图形解得的线段长小于的概率P===，应选：C12．C【解析】函数f（x）=a（x﹣2）e x+ln x+在（0，2）上存在两个极值点，等价于f′（x）=a（x﹣1）e x+﹣在（0，2）上有两个零点，令f′（x）=0，那么a（x﹣1）e x+=0，即（x﹣1）（a e x+）=0，∴x﹣1=0或a e x+=0，∴x=1知足条件，且a e x+=0（其中x≠1且x∈（0，2））；∴a=﹣，其中x∈（0，1）∪（1，2）；设t（x）=e x•x2，其中x∈（0，1）∪（1，2）；则t′（x）=（x2+2x）e x＞0，∴函数t（x）是单调增函数，∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e2），∴a∈（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．应选C．二、填空题13．﹣160【解析】展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3因此展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故答案为：﹣160．14．c＜a＜b【解析】a==＜b=125，c=log=log67＜＜．∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．15．【解析】如图，设，则A（1，0），B（﹣1，），再设，由，得，解得．∴||=．故答案为：．16．2016【解析】∵构造b n=a n+1﹣a n，那么b1=a2﹣a1=4，由题意可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=b n+1﹣b n=2，故数列{b n}是4为首项，2为公差的等差数列，故b n=a n+1﹣a n=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，a n﹣a n﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得a n﹣a1=4+6+…+2n=，解得a n=n（n+1），∴==，∴+…+=++…+ =1﹣，∴2017（+…+）=2017﹣=2016+．则=2016．故答案为：2016．三、解答题17．解：（1）由题意得：函数f（x）==+=sin（+）+．∵f（x）=1，即sin（+）=，那么cos（﹣x）=2﹣1=2﹣1=﹣．（2）在△ABC中，由a cos C+c=b可得a•+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cos A==．再由0＜A＜π，可得A=，∴B+C=．∴0＜B＜，0＜＜，∴＜+＜，∴＜sin（+）＜1．∴f（B）=sin（+）+∈（1，）．18．解：（1）由题意知样本中鞋码为奇数的同窗共55人，∴从该校随机挑选一名学生，他（她）的鞋码为奇数的概率p==．（2）摸球实验中，两球同色的概率为=，两球异色的概率为1﹣，设所求概率为p，那么有，解得p=，∴该校学生在考试中曾有作弊行为的概率p=．19．解：（Ⅰ）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，因此DC⊥平面ABD．因为AB⊂平面ABD，因此DC⊥AB．又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，因此AB⊥平面ADC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，因此二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，因此DC⊥AD．依题意．因为AD=1，因此．设AB=x（x＞0），那么．依题意△ABD～△BDC，因此，即．解得，故．如下图，成立空间直角坐标系D﹣xyz，那么D（0，0，0），，，，，因此，．由（Ⅰ）知平面BAD的法向量．设平面ADE的法向量由得令，得，因此．因此．由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，因此二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．20．解：（1）∵|EA|+|QE|=|EQ|+|PE|=4，且|QA|=2＜4，∴点E的轨迹是以A，Q为核心的椭圆，设椭圆方程为=1，那么2a=4，c=，∴a=2，b==1．因此点E的轨迹方程为：．（2）依题意设直线CD的方程为：x=my+n，代入椭圆方程x2+4y2=4得：（4+m2）y2+2mny+（n2﹣4）=0设C（x1，y1），D（x2，y2），那么，．∵直线TM方程为，直线TN方程为，由题知TM，TN的交点T的横坐标为4，∴，即3y1（x2﹣2）=y2（x1+2），即：3y1（my2+n﹣2）=y2（my1+n+2），整理得：2my1y2=（n+2）y2﹣3（n﹣2）y1，∴化简可得：．∵当m，y1转变时，上式恒成立，∴n=1，∴直线CD恒过必然点（1，0）．21．解：（Ⅰ）f′（x）=e x+a，f（1）=e+a．y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=e+a，∴切线l的方程为y﹣（e+a）=（e+a）（x﹣1），即（e+a）x﹣y=0．又点（1，0）到切线l的距离为，∴=，解之得，a=﹣e+1或a=﹣e﹣1．（Ⅱ）∵x≥0，f（x）=e x+ax＞0恒成立，若x=0，f（0）=1＞0恒成立；若x＞0，f（x）=e x+ax＞0恒成立，即a＞﹣，在x＞0上恒成立，设Q（x）=﹣，那么Q′（x）=﹣=，当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，那么Q（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，+∞0时，Q′（x）＜0，那么Q（x）在（1，+∞）上单调递减；∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（1）=﹣e，∴a的取值范围为（﹣e，+∞）．（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为y=e x ln x﹣e x+x，令M（x）=e x ln x﹣e x+x，∴M′（x）=+1=（）•e x+1，设h（x）=，那么h′（x）=﹣+=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0，故h（x）在[1，e]上单调增函数，因此h（x）在[1，e]上的最小值为h（1）=0，即h（x）=≥h（1）=0，又x0∈[1，e]时，e x＞0，≥0，∴M′（x）=（）•e x+1＞0，曲线y=e x ln x﹣e x+x在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程M′（x）=0有实数解，可是M′（x）＞0，M′（x）=0没有实数解，故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）﹣f（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直．22．解：（1）C1：ρ=4cos（θ﹣），即ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=4把C2的方程化为直角坐标方程为x+﹣2a=0，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线x+﹣2a=0通过圆心（1，），解得a=2，故C2的直角坐标方程为x+﹣4=0．（2）由题意可得，当≤α≤时，|OA|=4sinα；|OB|=4cos（α﹣）；|OC|=4cosα；|OD|=4sin（﹣α），∴设f（α）=|OA|•|OB|+|OC|•|OD|=16sinα•cosα+16cos（α﹣）•sin（﹣α）=8sin2α﹣8sin（2α﹣）=12sin2α+4cos2α=8sin（2α+），当≤α≤时，≤2α+≤，4≤8sin（2α+）≤8，故f（α）的值域为[4，8]23．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）＜6，即|2x﹣1|+|2x+3|＜6，即或或，∴或或，∴﹣2＜x＜1，因此不等式f（x）＜6的解集为{x|﹣2＜x＜1}．（Ⅱ）对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，那么有{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，从而|a+3|≥2，解得a≤﹣5或a≥﹣1，故a∈（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）．。
广州市数学高三上学期文数第二次月考试卷A卷
广州市数学高三上学期文数第二次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·安徽模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·吕梁模拟) 已知复数，则（）A .B .C .D . 53. （2分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）A .B . 且C . ，D .4. （2分）(2017·衡阳模拟) 如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是（）A .B . 8C .D . 45. （2分）下列说法中正确的是（）A . 若为真命题，则均为真命题B . 命题“”的否定是“”C . “”是“恒成立“的充要条件D . 在中，“”是“”的必要不充分条件6. （2分）设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2 ，则的值为（）A . ﹣2或﹣1B . 1或2C . ±2或﹣1D . ±1或27. （2分） (2018高二下·遵化期中) 函数的递减区间是（）A .B . 和C .D . 和8. （2分）数列为各项为正数的等比数列，且已知函数，则A . ﹣6B . ﹣21C . ﹣12D . 219. （2分）函数的图像关于（）A . y轴对称B . 直线y=xC . 坐标原点对称D . 直线y=-x10. （2分） (2018高三上·长春期中) 在△ABC中，有如下三个命题：① ；②若D为BC 边中点，则；③若，则△ABC为等腰三角形．其中正确命题的序号是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③11. （2分）将函数的图象经过怎样的平移后所得图象关于点中心对称（）A . 向右平移B . 向右平移C . 向左平移D . 向左平移12. （2分）不等式对一切x都成立，则a的取值范围是（）A . 或B .C . 或D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若关于x的方程lnx+2=（a+1）x无解，则数实a的取值范围为________．14. （1分） (2016高一下·无锡期末) 不等式组，所表示的可行域的面积是________．15. （1分） (2018高三上·湖南月考) 正四棱锥的体积为，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为________．16. （1分） (2016高一上·武清期中) 一批材料可以建成100m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块封闭的矩形场地，中间隔成3个面积相等的小矩形（如图），则围成的矩形场地的最大总面积为（围墙厚度忽略不计）________ m2 ．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*，都有2Sn=（n+1）an ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为Tn ，求证：≤Tn＜1．18. （10分）(2018·河北模拟) 已知某地区中小学生人数和近视情况如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生作为样本进行调查.附：，其中 .（1）求样本容量和抽取的高中生近视人数分别是多少？（2）在抽取的名高中生中，平均每天学习时间超过9小时的人数为，其中有12名学生近视，请完成高中生平均每天学习时间与近视的列联表：平均学习时间不超过9小时平均学习时间超过9小时总计不近视近视总计（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为高中生平均每天学习时间与近视有关？19. （10分） (2017高二上·西华期中) 在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且（1）确定∠C的大小；（2）若c= ，求△ABC周长的取值范围．20. （10分） (2018高一下·抚顺期末) 已知函数 .（1）若对任意的，均有，求的取值范围；（2）若对任意的，均有，求的取值范围.21. （10分） (2017高二上·大连期末) 已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex ．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．22. （10分） (2017高三上·古县开学考) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．23. （10分）(2020·南昌模拟) 已知函数 .（Ⅰ）解关于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、。