19.2.1 正比例函数的图像(第2课时)教案.2.1 正比例函数的图像(第2课时)教案
19.2.1正比例函数(2)函数图像
襄阳市樊城区牛29中八年级数学学案
当堂测评分层达标
基础落实★
1、函数y=kx(k≠0)的图像过P（-3，7），则k=____，图像过_____象限。
2、在函数y=2x的自变量中任意取两个点x
1
,x
2
,若x
1
＜x
2
,则对应的函数值y
1
与y
2
的大小关系是y
1
___y
2
.
3、当0
>
k时，正比例函数y=kx的大致图像是（）
发展能力★★
4、在同一坐标系中，分别作出下列函数的图像。
x
y
x
y
x
y
2
1
)3(,
)2(,
2
)1(
3
2
1
=
=
=
提升素养★★★
5、在直角坐标系中两条直线6
=
y与kx
y=相交于点A，直线6
=
y与y轴交于点B，若△ABC的面积为12，求k的值。
【课后思考】★★★★
6、已知函数2
(3)2(3)
y a x a x
=-+-是关于x的正比例函数
（1）求正比例函数的解析式。
（2）画出它的图象。
（3）若它的图象有两点
1122
(,),(,)
A x y
B x y，当
12
x x时，试比较
12
,y y的大小。
课件1：19.2.1正比例函数（2）
问题2：这种规律对其他正比例函数适用吗？ 具有一般性吗？
请同学们在同一坐标系内画出
y 1 x 、y 1 x 进行验证。
2
2
总结
一般地正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图 象是一条经过 原点 的直线，我们称它为直线 y=kx．当k>0时，直线y=kx经过第_一__、__三__象限， 从左向右上升，即随着x的增大而__增__大____；当 k<0时，直线y=kx经过第_二__、__四___象限，从左向 右下降，即随着x的增大反而__减__小___．
A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．以上都有可能
第 十 九 章
一
次 函
ห้องสมุดไป่ตู้
数
问题1：经过原点与点（1，3）的直线是哪 个函数的图象？若经过原点与点（1，-4） 呢？你发现什么？
问题2：画正比例函数的图象时，怎样画最 简单？为什么？
试一试：用你认为最简单的方法画出下列正 比例函数的图象：
(1)y=3x
(2) y=-5x
五、课堂总结，发挥潜能 1．正比例函数y=kx图象的画法：过_原__点___与点 (1,k) 的直线即所求图象． 2．正比例函数的性质．
5、若k=2，则直线y=(k-1)x比例系数k-1 > 0(>或 <)从左到右 上升 （上升或下降）
6,若k=-2,则y=(k-1)x的比例系数k-1 < 0(>或<)， 直线y=kx经过第_二__、__四__象限，从左到右 下降 （上 升或下降），即y随x的增大而 减小 （增大或减小）
思考探索
例3：已知正比例函数y=(k-1)x(k是常数，k≠0）
(1)直线y=(k-1)x经过三、一象限，求k的取值范围。 （2）直线y=(k-1)x从左到右上升，求k的取值范围。 （3）直线y=(k-1)x经过二、四象限，求k的取值范围。 （4）直线y=(k-1)x随着x的增大而减小，求k的取值范围。
19.2.1正比例函数(第2课时)
· 八年级(下)
19.2.1 正比例函数
第2课时
1.什么是正比例函数？请举几个实例。
一般地，形如 y=kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数 ， 其中k叫做比例系数．
2.画函数图象的一般步骤是什么？ 描点法：① 列表 ② 描点 ③ 连线
用描点法画正比例函数 y =2x 的图象 练习 在同一坐标系中用描点法画出正比例函数 1 y y = x 的图象． y=2x 3
y =k2 x y =k1 x
5. 函数y=－3x的图象过第二、四 象限,经过点
(0, 0 )与点(1,－3 ),y随x的增大而 减小 .
一、三 象限,经过点 6. 函数y= 3 x 的图象过第 2 3 (0, ０ )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 .
7. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、 三象限， 则m的取值范围（ B ）
O
A
x
O C
练习
练习3 对于正比例函数y =kx，当x 增 大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范 围 （ C ）． A．k＜0 B．k≤0 C．k＞0 D．k≥0
练习
练习4 比较大小： （1）k1 ＜ k2；（2）k3 ＜ k4； （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接． y y =k4 x 4 k1＜k2 ＜k3 ＜k4 y =k3 x 2 -4 -2 O -2 -4 2 4 x
观察
5 ４ ３ ２ １ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2 -3 -4 -5
y
y=2x
1 2 3 4 5
x
y 2 x
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点, 考虑两个函数的变化规律.
结论:两图象都是经过原点的 直线 ,函数 y 2 x
人教版八下数学19.2.1 课时2正比例函数的图像和性质教案+学案
人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质教案【教学目标】知识与技能目标1.能够画出正比例函数的图象.2.根据正比例函数的解析式y=kx(k是常数,k≠0)和图象探索并理解其性质.3.根据两点确定一条直线,可以利用两点(两点法)画正比例函数的图象．过程与方法目标在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数性质．情感、态度与价值观目标学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,感知数形结合思想．【教学重点】正比例函数图象的画法和性质的理解.【教学难点】利用正比例函数图象与性质灵活解题.【教学准备】教师准备教学中出示的例题；学生准备坐标纸、学习用具.【教学过程设计】一、情境导入导入一:当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!如果他输入的汉字个数用y(单位:百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:分钟)的函数关系式是什么?这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?用描点法,你能画出这个函数的图象吗?[设计意图]以学生身边感兴趣的问题导入新课,能更好地激发学生学习的积极性.导入二:1.在下列函数中,哪些是正比例函数?并指出正比例系数分别是多少?①y=x,②y=3x2,③y=2x,④y=2x-4,⑤y=,⑥y=-x ,⑦y=-2x.2.画函数图象需要经历哪些步骤?3.你能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗?[设计意图]通过设计一组正比例函数,引导学生利用上一节知识,即函数的图象的画法来画正比例函数的图象,体会数形结合思想的应用.二、新知构建1.画正比例函数的图象[过渡语]你能用描点法画正比例函数的图象吗?思路一画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.(1)y=2x;(2)y=-2x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象.教师根据学生画出的图象进行有针对性的讲解.解:(1)列表:函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y-6 -4 -2 0 2 4 6描点,连线,画出图象,如图所示:(2)列表:y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y 6 4 2 0 -2 -4 -6描点,连线,画出图象,如图所示.练习:在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.(1)y=x;(2)y=-x.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,让学生体会数形结合思想.思路二1.正比例函数的图象问题画出下列正比例函数的图象:①y=2x;②y=-2x;③y=x;④y=-x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象,并观察规律.教师引导学生画图,注意函数图象的三个关键步骤:列表、描点、连线,边巡视边指出学生画图中出现的问题,最后展示正确图象(如图所示),让学生进行对比修改.[设计意图]通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历发现规律的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.2.正比例函数的性质思路一提问:观察上面的图象,发现函数图象有什么特点?师生共同归纳函数y=2x和y=-2x的图象特点.两个函数图象的共同点:都是经过原点的直线.不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,经过第一、三象限,即随着x的增大y也增大.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,经过第二、四象限,即随x 增大y反而减小.学生根据自己所画的图象,以小组形式类似地归纳y=x和y=-x的图象特点:比较两个函数图象可以看出:两个函数图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过第一、三象限,即随x的增大y也增大;函数y=-x的图象从左向右下降,经过第二、四象限,即随x的增大y反而减小.总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:正比例函数y=kx.(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.(2)性质:当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.提问:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.思路二问题:观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:①四个函数图象都是经过的直线.②函数y= 2x的图象经过第象限,从左向右(呈什么趋势),即y 随x的增大而;③函数y=-2x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;④函数y=x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;⑤函数y=-x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而.学生观察图象并回答,教师纠正学生回答中不正确的地方,并适当点拨讲解:①原点;②一、三;上升;增大;③二、四;下降;减小;④一、三;上升;增大;⑤二、四;下降;减小.师生共同归纳总结:正比例函数y=kx(k≠0)的性质:(1)图象是经过原点的一条直线.(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大(递增).(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小(递减).思考:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.[知识拓展](1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y的一组对应值求出k,从而确定关系式.(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k>0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k<0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k≠0)中y随x的增大而增大时,k>0,反之,k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限,则k>0等.3.例题讲解例1(补充)(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是.(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b=.(3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值范围是.〔解析〕(1)设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可;(2)把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质列不等式进行求解.解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,∵正比例函数的图象经过点(-1,3),∴-k=3,∴k=-3,∴这个正比例函数的表达式是y=-3x.(2)∵函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0),∴-b2+9=0,∴b2=9,∴b=±3.(3)∵直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,∴2k-3<0,∴k<.故k的取值范围是k<.[设计意图]通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的解析式和性质列方程或不等式求字母的取值或取值范围.例2(补充)已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.(1)求k的值;(2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;(3)若A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在此函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.〔解析〕(1) 把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解;(2)把点(-1,m)代入(1)中函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质进行求解.解:(1)∵点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,∴2k=-4, ∴k=-2.(2)由k=-2可得y=-2x,∵点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,∴m=-2×(-1)=2.(3)y=-2x,∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2<<1,∴y3<y1<y2.[设计意图]通过设计正比例函数的简单应用,让学生根据正比例函数的解析式和性质进行求解,及时复习正比例函数的性质.例3(教材例1)画出下列正比例函数的图象:(1)y=2x, y=x;(2)y=-1.5x, y=-4x.〔解析〕根据正比例函数的图象是一条直线,两点确定一条直线来作图.解:(1)列表,得:x0 1y=2x0 2y=x0描点,连线,即为函数y=2x, y=x的图象(如下图).(2)列表,得:x0 1y=-1.5x0 -1.5y=-4x0 -4描点,连线,即为函数y=-1.5x, y=-4x的图象(如下图).[设计意图]通过设计正比例函数图象的简单画图,让学生知道利用两点确定一条直线来作图,体验数形结合思想的应用.三、教学小结师生一起总结正比例函数的图象和性质:(1)正比例函数的图象是经过坐标原点的一条直线.(2)作y=kx的图象时,应先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);然后在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k);最后过点(0,0)与点(1,k)画一条直线.(3)当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即:随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即:随着x的增大y反而减小..【板书设计】19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质1.画正比例函数的图象2.正比例函数的性质3.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下列函数解析式中,不是正比例函数的是()A.xy=-2B.y+8x=0C.3x=4yD.y=-x解析:根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的解析式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么y就叫做x的正比例函数.不是正比例函数的是A.故选A.2.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是()A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1解析:∵函数y=(1-k)x中,y随着x的增大而减小,∴1-k<0,解得k>1.故选B.3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小红同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小红离开x h后水龙头滴了y mL水.则y关于x的函数解析式为.解析：因为水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL,所以当小红离开x h后水龙头的滴水量y=3600×2×0.05x=360x.故填y=360x.4.直线y=x经过(0,),(,2),且过第象限,y随x的增大而.解析:由y=x可知当y=2时,x=3,故直线y=x经过(0,0),(3,2).由k=>0可知直线y=x 过第一、三象限,y随x的增大而增大.答案:03一、三增大5.已知函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,那么k=. 解析:∵函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,∴∴k=-5.故填-5.6.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升.所使用的93汽油今日涨价到5元/升.(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程x(km)之间的函数关系式;(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数图象;(3)计算娄底到长沙220 km所需油费是多少?解:(1)y=5×x=0.75x.(2)列表,得:x0 1y=0.75x0 0.75描点,连线,得到函数y=0.75x的图象(如下图).(3)当x=220时,y=0.75×220=165(元).【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质学案【学习目标】1．理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．2．掌握正比例函数的性质．3．能结合正比例函数的图象和性质解答有关问题．【学习重点】正比例函数的图象和性质．【学习难点】利用正比例函数的图象和性质解答有关问题．【自主学习】一、知识链接1.已知正比例函数y=3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= .2.画函数图象的步骤有：、、.二、新知预习1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x，13y x=；（2）y=-1.5x，y=-4x.2.函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是__________________________；函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是____________________________.3.自主归纳：(1)函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过的；（2）k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；（3）k＞0时，函数值y随自变量x 的增大而；k<0时，函数值y随自变量x 的增大而.三、自学自测1.函数y=－3x的图象是经过点（0，__）和（1，___）的一条______，图象经过第___、____象限，从左到右呈_____趋势，即y随x的增大而______.2.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（）．四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的图象问题1：正比例函数的图象什么？画正比例函数的图象只需要确定几个点？【典例探究】例1用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）-3y x=；（2）3.2 y x =方法总结:画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可. 例2已知正比例函数y=(k+1)x.（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.知识点2：正比例函数的性质问题2：在函数y=x，y=3x，12y x=-和-4y x=中，随着x的增大，y的值分别如何变化?要点归纳：在正比例函数y=kx中：当k>0时，y的值随着x值的增大而________;当k<0时，y的值随着x值的增大而________.例3已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大三、归纳总结正比例函数y=kx(k≠0)图象正比例函数的图象是一条过原点的直线.k>0 k<0图象是自左向右上升的，经过第一、三象限图象是自左向右下降的，经过第二、四象限|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小【学习检测】1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）2.正比例函数y=2x的图象所过的象限是()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限A(解析:∵正比例函数y=2x中,k=2>0,∴正比例函数y=2x的图象经过第一、三象限.)3.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜2B．k≤2 C．k＞2D．k≥24.已知正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,则k的值是()A.±3B.±2C.2D.-2D(解析:由正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,可得故k=-2.)5.正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m等于()A.2B.-2C.4D.-4B(解析:∵正比例函数y =mx 的图象经过点A (m ,4),∴m 2=4,∴m =±2.又∵y 的值随x 值的增大而减小,∴m <0,∴m =-2.故选B .)6.函数y=-7x 的图象经过第_________象限，经过点_______与点_______，y 随x 的增大而_______.7.已知正比例函数y =kx (k ≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y 随x 的增大而 .(填增大或减小)减小(解析:∵点(2,-3)在正比例函数y =kx (k ≠0)的图象上,∴2k =-3,解得k =-,∴正比例函数解析式是y =-x ,∵k =-<0,∴y 随x 的增大而减小.)8.点(x 1,y 1)与点(x 2,y 2)是正比例函数y =x 的图象上两点,且x 1<x 2,则y 1 y 2.(填“>”“=”或“<”号)<(解析:由k =>0可知y 随x 的增大而增大,故当x 1<x 2时,y 1<y 2.故填<.) 9.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m_______，函数图象经过第一、三象限； （2）当m_______，y 随x 的增大而减小； （3）当m_______，函数图象经过点（2，10）.10.如图分别是函数x k y 1=，x k y 2=，x k y 3=，x k y 4=的图象. （1）k 1 k 2，k 3 k 4(填“>”或“<”或“=”)； （2）用不等号将k 1， k2， k 3， k 4及0依次连接起来．11.已知函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,求正比例函数的解析式,并画出函数图象.解:∵函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,∴|a |-3=0,∴a =±3,当a =3时,y=6x+6(舍);当a=-3时,y=-6x.∴正比例函数的解析式为y=-6x.列表,得:x0 -1y0 6描点,连线即可得到函数y=-6x的图象,如图所示.12.已知y与x成正比例,且当x=-2时y=-4.(1)写出y与x的函数关系式;(2)用两点法画出函数图象;(3)设点(a,-2)在这个函数图象上,求a的值;(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,求y的取值范围.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx,∵当x=-2时y=-4,∴-2k=-4,∴k=2,∴y与x的函数关系式为y=2x.(2)列表,得:x0 1y=2x0 2描点,连线得到函数y=2x的图象,如图所示.(3)∵点(a,-2)在这个函数图象上,∴2a=-2,∴a=-1.(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,那么y的取值范围为0≤y≤10.13.正比例函数y=2x的图象如图所示,点A的坐标为(2,0),函数y=2x的图象上是否存在一点P,使△OAP的面积为4,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.解:存在.理由如下:因为点A的坐标为(2,0),所以OA=2,设点P的坐标为(n,m),因为△OAP的面积为4,所以×OA×|m|=4,即×2×|m|=4,所以m=±4,当m=4时,把x=n, y=m=4代入y=2x,得4=2n,所以n=2,此时点P的坐标为(2,4),当m=-4时,把x=n, y=m=-4代入y=2x,得-4=2n,所以n=-2,此时点P的坐标为(-2,-4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(-2,-4).。
人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数的图像与性质教学设计
（激发学生主动学习的热情，树立自信心，形成积极向上的学习态度。
2.通过小组合作交流，培养学生团结协作、互相帮助的精神，增强团队意识。
3.让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识和实践能力。
-重难点突破设想：通过动态演示或手工绘制正比例函数图像，让学生直观感受图像的形成过程，并结合实际例子，引导学生发现和总结性质。
2.正比例函数在实际问题中的应用是另一个教学难点，学生需要掌握如何将现实问题转化为数学模型，并利用正比例函数的知识解决。
-重难点突破设想：设计多样化的实际问题，如涉及速度、比例尺等，让学生在解决问题的过程中学会建立数学模型，运用正比例函数的知识。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，让每个小组讨论以下问题：
a.正比例函数图像的特点；
b.正比例函数在实际生活中的应用；
c.如何根据给定的点或斜率求解正比例函数的表达式。
2.分享交流：各小组派代表分享讨论成果，其他小组进行补充或质疑。通过讨论，让学生深入理解正比例函数的性质和图像特点。
（四）课堂练习
2.情境创设：向学生展示一组生活实例，如一辆汽车以恒定速度行驶，行驶时间和行驶距离的关系。引导学生观察数据，发现行驶距离与时间成正比关系，从而引出正比例函数的概念。
3.提出问题：在复习一次函数的基础上，提问学生：“一次函数y=kx+b中，当b=0时，图像会有什么特点？”通过这个问题，激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，通过启发式教学、小组合作等方式，引导学生主动探究，提高学生的数学素养和解决问题的能力。同时，注重激发学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯，使学生在轻松愉快的氛围中学习正比例函数的知识。
八年级数学19.2.1 正比例函数教案
§19．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程:Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3 y642-2-4-6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线． 不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．正是由于正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx ． [活动二]经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？经过原点与点（1，k ）的直线是函数y=kx 的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅣ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6§19．2．2 一次函数(一)教学目标：1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点：一次函数解析式特点 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律 教学难点1、一次函数与正比例函数关系 2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
人教版八年级下册19.2.1正比例函数的图像和性质(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生的数学抽象能力：通过正比例函数的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学关系，形成数学模型。
2.提升学生的逻辑推理能力：引导学生通过观察和分析正比例函数的图像，推理出其性质，并理解性质背后的逻辑关系。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于正比例函数的概念和图像性质的理解程度各有不同。在讲解正比例函数的图像时，我尽量用生动的语言和具体的例子来帮助学生形象地理解，比如通过实际的速度与时间的关系来说明斜率k的含义。这样的教学方法似乎对学生们的理解有所帮助，他们能够更直观地感受到函数图像的变化。
我还注意到，在教学难点和重点部分，需要更加细致地进行解释。尤其是斜率k的正负及其对应的图像特征，这一点对于学生来说是理解上的一个挑战。在未来的教学中，我可能会考虑引入更多的互动环节，比如让学生自己动手绘制不同斜率的正比例函数图像，通过亲身体验来加深理解。
在总结回顾环节，我觉得可以更加注重学生的反馈。了解他们在学习过程中的困惑和疑问，有助于我及时调整教学方法，更好地满足学生的学习需求。
1.教学重点
-函数解析式的理解：使学生掌握正比例函数y=kx的定义，理解k代表的是函数图像的斜率。
-图像的绘制：培养学生能够根据给定的正比例函数解析式，正确绘制出对应的图像。
-性质的掌握：让学生理解并记住正比例函数的性质，如当k>0时函数图像斜率为正，函数随x增大而增大；当k<0时，图像斜率为负，函数随x增大而减小。
3.增强学生的直观想象能力：借助图像的绘制和观察，让学生对正比例函数的几何特征形成直观的认识。
4.培养学生的数学运算能力：使学生掌握正比例函数解析式的求解和运用，提高解决实际问题的运算技能。
19.2.1正比例函数图象与性质教学设计
正比例函数的图像和性质一、教学目标（一）知识与能力1、进一步巩固正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤。
2、能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用。
（二）过程与方法1、通过实例函数图象画法的学习，发现并总结正比例函数图象的常用画法。
2、通过观察、探究、分析、引导学生发现正比例函数的性质。
3、培养学生善于观察问题发现结论，了解数形结合及由一般到特殊的数学思想。
（三）情感态度及价值观培养学生积极参与数学活动，勇于探究，发现数学的现象和规律，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。
二、学情分析教材分析：正比例函数图象是在学习正比例函数解析式的后续内容，这一节内容是正比例函数与直角坐标系的完美结合。
学生在这节课中如果能内化和感悟数形结合的思想，将会为以后研究更为复杂的反比例函数及二次函数的图象打下坚实的基础。
学生分析：在这节课之前，该班学生已经较好的拥有了解决平面坐标系的一些基本问题的能力，理解了变量以及常量和代数式的内容，因此在学习新知识的时候也不存在多大的问题，形成了较理想的先决条件，但学生运用数学知识解决实际问题以及推理总结的能力有待进一步加强。
三、重点难点教学重点：正比例函数图象的画法及性质的探索。
教学难点：发现、归纳正比例函数的性质。
四、教学过程1、复习检查1、形如的函数，叫做正比例函数。
2、下列的哪个点是在函数y=3x的图象上？3、画函数的图象哪三步骤？2、合作探索1、在同一直角坐标系下画出下列正比例函数的图象（1）y=2x （2）y= -2x自学指导：1、作图的三步骤。
2、完成后同桌互相检查，如果检查出问题请进行记录。
1、 y=2x2、 y=-2x解：（1）列表得： 解：（1）列表得：（2）描点、连线：3、画一画4、探索发现5、归纳x …-2-1012…y=2x (x)…-2-1012…y=-2x ……（2）描点、连线6、脑力奔腾画下列正比例函数的图象时,怎样画最简单?y =－3x由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.7、快速出击1、函数y=－7x的图象在第象限内,从左向右,y 随x的增大而 .函数y=7x的图象在第象限内,从左向右 ,y随x的增大而 .2、关于正比例函数y=2x，有下列结论①函数图象都经过点（2,1）；②函数图像经过第二、四象限；③y随x的增大而增大；④不论x取何值，总有y﹥0.其中，错误的结论是 .8、例题讲解例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像经过二、四象限，求a的取值范围。
初中人教版数学八年级下册：19.2.1 第2课时 正比例函数的图象和性质 习题课件(含答案)
k＜0
大 致 图 象
k>0
k＜0
大 图象是自左向右_上__升__ 图象是自左向右_下__降_
致 的，经过第 一、三 象 的，经过第 二、四 象
图 限.
限.
象
|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）.
性 质 y随x的增大而 增大 .
y随x的增大减而小 .
例 已知正比例函数 y＝（m＋2）x.求： （1）m 为何值时，函数图象经过第一、三象限； 解：（1）由题可知 m＋2>0，解得 m>－2.
（2）m 为何值时，y 随 x 的增大而减小； （3）m 为何值时，点（1，3）在该函数的图象上. （2）由题可知 m＋2<0，解得 m<－2. （3）∵点（1，3）在正比例函数 y＝（m＋2）x 的 图象上， ∴m＋2＝3.解得 m＝1.
方法点拨：正比例函数 y＝kx（k≠0）中，k 的符号决定直线上升或下降，在利用正比例 函数的性质解决问题时，常结合方程或不等 式求解.
y＝－2x（答案不唯一）
.
4.在正比例函数 y＝（k－2）x 中，y 随 x 的增大而
增大，则 k 的取值范围是 k＞2 .
5.已知正比例函数 y＝kx 的图象经过点 M（－2，4）. （1）求 y 的值随 x 值的 变化情况；
（1）∵正比例函数 y＝kx 的图象经过点 M（－2，4）， ∴4＝－2k. 解得 k＝－2＜0. ∴y 随 x 的增大而减小.
（2）画出这个函数的图象. （2）如图所示.
知识要点 正比例函数的象和性质
正比例函数y＝kx（k≠0） 正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一 形状 条经过 原点 的直线，我们称它为
直线y＝kx .
正比例函数y＝kx（k≠0） 根据两点确定一条直线，画y＝kx 画法 （k≠0）的图象时，一般选（0，0 ）和（1，k）两点比较简便.
正比例函数的图像(教案)
19.2 一次函数19.2.1.2 正比例函数的图像【知识与技能】1.初步理解正比例函数的图象的特征.2.能够画出正比例函数的图象.【过程与方法】通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想.【情感态度】结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度.【教学重点】正比例函数的图象与性质.【教学难点】正比例函数的特征.一、回顾旧知1、正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
2、已知y=(k+1)x+k-1是正比例函数，求k的值.【分析】联想正比例函数定义可知，应用时考虑k+1≠0，k-1=0，综合可得k=1.【教学说明】这类问题看三点：(1)自变量的最高次数为1；(2)含自变量x的系数k≠0；(3)常数项为0，三者必须同时满足.二、情景导入下面我们一起来研究正比例的图象。
你还记得函数图象的画法吗？我们能不能用同样的方法画出正比例函数的图象。
三、学习目标1、能够画出正比例函数的图像2、理解正比例函数图像的特征3、用简便方法画正比例函数的图像四、学情前测1、用描点法画函数图象的步骤：①确定两个函数自变量的取值范围.②列表③画图象2、画出正比例函数的图象：x y3= 五、典例精析画出以下正比例函数的图象：（1） （2）六、发现归纳师生共同画出图象，并鼓励学生探索图象特征，引导学生归纳的结果围绕以下几个方面：(1)两图象都是经过原点的直线.(2)函数y=12x 的图象从左向右递增，经过一、三象限. (3)函数y=-12x 的图象从左向右递减，经过二、四象限. 教师总结正比例函数的图象与性质：一般地，正比例函数y=kx(k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k ＞0时，直线过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.x y 21=x y 312=xy 42-=x y 5.11-=七、思考画正比例函数图像时，怎样画最简单？为什么？因为两点确定一条直线，所以能够用两点法画正比例函数y=kx （k≠0）的图像。
19.2.1正比例函数 教学设计 第2课时
教学过程三、课堂练习四、课堂小结正比例函数的图象特征：1、 (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线.2、当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限。
思考：你能用最简单的方法画出下列函数的图象吗？(1)3y x=-活动二、探究正比例函数的性质1、在函数 , , 和中，随着x的增大,y的值分别是如何变化的?2、我们还可以借助函数图象分析此问题观察图象可以发现：①当k>0时，从左向右逐渐上升, 即y的值随x的增大而增大；②当k<0时，从左向右逐渐下降，即y的值随x的增大而减小。
课堂练习见PPT通过本节课的学习，你所学到的正比例函数的图象是什么样的？它具有哪些特征？它又具有哪些性质呢？板书设计19.2.1正比例函数的图象与性质一、图象：经过原点的一条直线.当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.二、性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小.作业布置1、用两点法画出下列函数的图象2、课本第98页，第1、2题。
课题19.2.1正比例函数的图象与性质课型新授课时第2课时核心素养1.会画正比例函数的图象 .2.根据正比例函数的图象探究图象的特征与性质.3.利用正比例函数的性质解答有关的问题.教学重点难点重点：正比例函数的图象与性质难点：探究正比例函数的性质及其性质的应用教学准备课件、三角尺教学方法合作探究教学过程教学程序师生活动一、复习回顾二、探究新知1、用描点法画函数图象有哪几个步骤？①列表②描点③连线2、正比例函数的定义是什么？一般地，形如式（ k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k是比例系数。
活动一、探究正比例函数的图象特征1、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。
2、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。
19.2.1正比例函数(共2课时)教案 【新人教版八年级下册数学】
八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（1）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】1.经历从实际问题抽象得出正比例函数的过程,正确理解正比例函数的概念；2.会根据已知条件求正比例函数的解析式.【前置学习】一、基础回顾：写出下列每个问题中的两个变量之间的函数关系式：1.京沪高铁列车的平均速度为300km/h ，列车的行程y(km)随时间t(h)的变化而变化；2.圆的周长 随半径的大小变化而变化；l r 3.铁的密度为7.8，铁块的质量（单位：）随它的体积V （单位：）的3/cm g m g 2cm 大小变化而变化；4．每个练习本的厚度为0.5，一些练习本摞在一起的总厚度（单位：）随这cm h cm 些练习本的本数的变化而变化；n 5.冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度（单位：℃）随冷冻时间T t （单位：分）的变化而变化.解:1. ；2. ；3. ；4. ；5. .二、自主探究请认真学习课本至页“练习”以前的内容后，思考：86P 87P 1.观察上面五个函数的解析式，他们有什么共同特点？2.这五个函数解析式用一个一般形式如何表达呢？归纳：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做 . 3.下列函数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥中，x y -=3x y =x y 8=23+=x y x y 2=2x y =属于正比例函数的是 .三.疑难摘要.【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一：1.正比例函数的一般形式是什么？比例系数k 必须满足什么条件？自变量的指数是几？2.若y =5x是正比例函数，则m = ；若是关于x 的正比例函数，则3m-2(4)y m x =-m.3.已知当m = 时，y 是x 的正比例函数. 82)3(--=m x m y八年级数学（上）导学练案总第 课时学习反思展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题例题 已知y 与x 成正比例，且x =2时，y =-6.（1）求出y 与x 之间的函数解析式；（2）若点在这个函数的图象上，求a 的值.)2,(-a三、巩固新知,当堂训练课本P 87练习 第1、2题.四、反思小结本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？【自我检测】 1.一列火车以120km/h 的速度匀速前进，那么它行驶的路程s （km ）随行驶时间t （h ）变化的函数解析式为 ；此函数是 函数.2.下列函数关系中,属于正比例函数关系的是（ ）(A)圆的面积s 与它的半径r ； (B)面积一定时，长方形的长y 与宽x .(C)路程是常数s 时，行驶的速度v 与时间t.(D)三角形的底边是常数a 时，它的面积s 与这条边上的高h3.若函数是正比例函数，则常数a 的值为（ ）ax a y )1(-=（A ）0 （B ）±1 （C ）1 （D ）-14.已知y 与x 成正比例，且x =3时，y =-6.（1）写出y 与x 之间的函数解析式； （2）当y =-2时，求x 的值；（3）若点P （-6,m +4）在该函数图象上，求m 的值.【应用拓展】5. 已知y -2与x +1成正比例，当x ＝8时，y ＝6，写出y 与x 之间的函数关系式，并分别求出x ＝4和x ＝-3时y 的值.八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（2）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】１．会画正比例函数图象，能结合图象说出正比例函数性质；２．渗透数形结合的思想，培养学生多途经解决问题的思维方法.【前置学习】一、基础回顾：1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？① ② ③ ④ ⑤ x y 2=23x y =x y 4-= 1.5y x =-13-=x y2.用描点法画函数图象的步骤是. 二、自主学习请自学课本P 87“例1”至P 89“练习”以前的内容后，解答下列问题：1.用描点法画出下列正比例函数的图象（1） （2）x y 2= 1.5y x =-2.观察图象回答：正比例函数y =2x 与y =-1.5x 的图象是什么图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？2．对照课本P 88页中的图象，说一说函数与y =-4x 的图象各有什么特征？ 13y x =3．总结规律：（1）正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过 的 ；我们称它为直线y=kx .（2）当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 ；k ＜当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 .k ＜四、 疑难摘要【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一： 1.说一说正比例函数的图象特征及其性质.八年级数学（上）导学练案 总第 课时学习反思 2.点（0,0）、（1，k ）、（2，2k ）、（3，3k ）是否都在正比例函数y=kx 的图象上？既然正比例函数的图象是一条直线，画正比例函数图象时，怎样画最简单？展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题1.直线经过第 象限，y 随x 增大而 ；5y x =直线经过第象限，y 随x 增大而 . x a y )1(2+-=2.若直线经过二、四象限，则k 的取值范围是 . x k y )32(-=3.若直线经过一、三象限，则m = . 32)1(-+=mx m y 三、巩固新知,当堂训练课本P 89练习.四、反思小结 本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.画函数的图象，你认为过 与 两点画直线最简单.0.6y x =-2.若函数y ＝k x 的图象经过点（2，－3），则k = ，y 随x 的增大而 .3.关于函数,下列说法正确的是( )x y 3-=(A) 图象必经过点（0，0）和（-1，-3） (B) 图象经过一、三象限(C) y 随x 的增大而减小 (D) 不论x 为何值，总有0<y 4.已知点P 1（-2，y 1）、P 2（1，y 2）是正比例函数()图象上的两点，则y 1ax y -=0<a 与y 2的大小关系是 .5.已知关于x 的正比例函数的图象经过第二、四象限，则m = .4)92(--=m x m y 6.一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，-3a ）与 点（a ，-6），求这个函数的解析式.【应用拓展】7.已知y 与x 成正比例，且当x ＝-2时y ＝-4（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）用两点法画出函数图象；（3）如果x 的取值范围是0≤x ≤5，利用图象求y 的取值范围.。
人教版八年级下册19.2.1正比例函数第2课时正比例函数的图象和性质课件
∴ y与∵x之当间x=函8时数，关y系=6式是∴：7yk==676 （∴x-1k ） 76
当x=4时，y=
6 7
×（4－1）= 18
7
当x=-3时，y=
6 7
×（-3－1）=
24 7
的图象？
y=-2x
y
2
y1x 2
5
4 -2小却更陡，说明
3 2 1
是k的绝对值越大， 函数图像越陡！
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
练一练
1. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限， 则m的取值范围是（ B ） A. m=1 B. m＞1 C. m＜1 D. m≥1
当k ＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升, 即随着x的增大y也增大;
当k ＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降， 即随着x的增大y反而减小. 我们称它为直线y=kx.
随堂练习 画出正比例函数 y 2x , y 1 x
的图象？
y
2
这两个正比例函 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点,考虑
的图象从左向右下降，经过第二、四象限．
么影响？ ∴ y与x之间函数关系式是：y= （x-1）
当k＞0时,图象(除原点外)在一,三象限， 就是函数y= x 的图象
2 1
K代表一次函数的斜率即倾斜程度，k的值越大函数图像越陡！
则m的取值范围是（ ）
-5 -4 x增大时,y的值也增大；
-3 -2 -1 0
x
-1
-2
-3
-4
-5
y 2x
y y=2x
学案3：19.2.1正比例函数（2）
19.2.1正比例函数（2）教学目标：掌握正比例函数的定义及解析式特点，知道正比例函数的图象是一条直线，并能根据图象分析理解正比例函数的性质。
教学重难点：由函数的图象归纳得出函数的性质及对性质的理解。
自学指导：一、学生看书并思考一下问题：如何判定两个变量之间是否存在正比例的关系正比例函数意义及解析式特点是什么．画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？正比例函数图象的性质特点有那些？教学指导理解正比例函数及正比例的意义；根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。
二，自学检测：1.若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（）A.(1，2)B. (－1，－2)C.(2，－1)D.(1，－2)2.正比例函数y=ax中，y随x的增大而增大，则直线y=（-a-1）x经过（）A.第一、三象限B.第二、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限3.正比例函数y=-k2x（k≠0），下列结论正确的是（）A.y＞0B.y随x的增大而增大C.y＜0D.y随x的增大而减小4.正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条（）A.射线B.双曲线C.线段D.直线5.正比例函数y=（n+1）x图象经过点（2，4），则n的值是（）A.-3B.C.3D.16.函数y=-3x中，y随x的变化正确的是（）A.增大而增大B.不变C.减小而减小D.增大而减小7.若正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，则k的取值可以是（）A.1B.0或1C.±1D.-18.正比例函数的图象一定经过的点的坐标为________．9.正比例函数y=-x的图象经过第________象限。
10.写一个图象经过第二、四象限的正比例函数：________。
11.正比例函数y=2x的图象经过第________象限。
12.写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式________．。
《正比例函数的图像与性质》教学设计5
19.2.1正比例函数（2）教学目标：1、能够画出正比例函数图像；2、根据正比例函数的解析式y=kx （k 是常数，且k ≠0）图像探索并理解其性质； 教学重点：正比例函数图象的画法和性质的理解.教学难点：利用正比例函数图象与性质灵活解题.教学过程：1、情景导入问题1.用描点法画函数图象有哪几个步骤？二、合作研讨 探究性质问题2:例1 画出下列正比例函数的图象：（1）Y 1=2x Y 2=31x, （2Y 3=—1.5x Y 3=— 4X问题3：思考 怎样画正比例函数图象最简单？为什么？练一练用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）x y23= （2）x y 3-=讨论交流追问：通过画正比例函数图象，你发现正比例函数有何性质（规律）？练一练：①y=4x ②y=-3x ③ y=21x ④y= －31x ⑤y=－0.2x y 随x 的增大而减小的函数是_____________，y 随x 的增大而增大的函数是 _____________.三、知识拓展，巩固知识问题4：补充例题已知点（2，-4）在正比例函数y=Kx 的图像上。
（1）求k 的值； （2）画出函数图像；（3）判断点A （-1，2），是否在这个函数图象上；（4）若点（-1，m ）在函数y=kx 的图像上，试求出m 的值。
（5）若 A(0.5，y 1), B(-2，y 2), C(1，y 3)都在此函数图像上，试比较y 1，y 2，y 3的大小 追问：若第（5）问函数解析式y=2x,结论还成立吗？四、强化训练1、函数y=-5x的图象在第 _____象限内，经过点（0，）与点（1，），y随x的增大而_______ .2、正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）A. m=1B. m＞1C. m＜1D.m≥13、已知y与x成正比例，且x=2时，y=-6，则当x=9时，求y的值.五、课堂小结：本节课你有哪些收获？分享一下你的观点1 怎样用简便方法画正比例函数的图象？2 正比例函数图象有哪些性质？3 我们是怎样对正比例函数图象进行研究的？六、作业1 教材P98第2题，P99 第4题补充：2 已知y关于x的正比例函数y=(2-k)x的图象经过一、三象限,则对y关于x的函数y=(k-3)x的说法不正确的是（）A.图象是经过原点的直线B. y随x的增大而减小C.图象经过二、四象限D.图象从左到右呈上升趋势3 已知y关于x的正比例函数y=(k+3)x|k|-4，且y随x的增大而减小那么k=________.4 若y=k1x，y=k2x，y=k3x，y=k4x的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A.k1<k2<k3<k4B.k2<k1<k4<k3C.k4<k2<k1<k3D.k4<k2<k3<k15 已知y与x成正比例,且当x=-2时y=-4.(1)写出y与x的函数关系式;(2)用两点法画出函数图象; (第4题图)(3)设点(a,-2)在这个函数图象上,求a的值;(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,求y的取值范围拓展探究6 正比例函数y=2x的图象如图所示,点A的坐标为(2,0),函数y=2x的图象上是否存在一点P,使△OAP的面积为4,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.。
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19.2.1正比例函数的图像（第2课时）
淋山河中学 童 鹏 知识与技能：理解并掌握正比例函数图像的性质与特点
过程与方法：学生通过合作交流动手操作归纳总结出正比例函数图像的性质特点 培养学生的动手和观察归纳能力，提高学生自主学习和合作探究能力 1.重点：理解正比例函数图像的性质特点
2.难点：掌握正比例函数图像的性质特点及运用
一.复习引入
（活动一）师：什么样的函数是正比例函数呢？
生：形如y=kx(k 是常数且k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 师：在上面的这四个选项中，y 是正比例函数的是哪一个？
生： 我觉得应该选择C 选项，因为A 选项中函数右边不是单项式，B 选项中x 的最高次数是2，D 选项中x 含有根号.
师：前面我们讲函数的画法时，是通过把解析式中的x,y 的值分别取出来，作为横纵坐标在直角坐标系中描点，连线得到函数图像，那么对于正比例函数的图像我们同样也可以用列表，描点，连线的方法来画出它的图像. 二．讲授新课
（活动二）（1）画出正比例函数y=2x ，y=
x 3
1
的图像. 师：我们在画函数图像的时候首先要列表，然后再平面直角坐标系中描点，最后连线。
下面就y=2x 的函数图像我们一起来看一下它的图像有何特点？ 1.解：（1）由于函数y=2x 中自变量x 可以取任意实数，表19-7是y 与x 的几组对应值.
师（点拨）：注意由于自变量x 的值可以任意取，为了我们便于在直角坐标系中观察它的图像，我们这里x 取的都是整数.
师：接下来我们再来描点，在平面直角坐标系中画出函数y=2x 的函数图像.
师：函数y=2x 的函数图像有什么特点呢？
生：它的图像是经过原点的一条直线，图像经过一.三象限，y 随x 的增大而增大. 师：下面请大家用列表描点的方法将y=
x
1
的图像在平面直角坐标系中画出来，观察它的图像与y= 2x 的图像有哪些共同的特点？ （图19.2-1）
生：这两个正比例函数的解析式中比例系数k 都大于0，他们的图像都是过原点的直线，并且图像都过一,三象限，y 都随x 的增大而增大.
师：回答的很好。
我们刚才画出的正比例函数图像都是k>0的情况，这里的k 除了可以大于0，它的符号还可以怎么取？
生：还可以小于0. （活动三）（2）画出正比例函数y=-1.5x,y=-4x 的函数图像 学生动手操作，老师巡视指导.
19.2-2
师：从图像上观察这两个图像有什么特点呢？
生：这两个正比例函数的图像都是经过原点的直线，它们的图像都经过二.四象限，y 随x 的增大而减小。
（活动四）归纳总结：（学生交流讨论，教师请一名学生代表总结正比例函数图像特点） （1）正比例函数y=kx(k 为常数且k ≠0)的图像是一条经过原点的一条直线.
（2）当k>0时，直线 y=kx 经过一 .三象限,从左向右上升，y 随x 的增大而增大. （3）当k<0时，直线 y=kx 经过二.四象限,从左向右下降，y 随x 的增大而减小. 三．例题精讲
（活动四）例1.对于函数y=x 2
1
-，下列说法，不正确的是（ C ） A. 经过点（0,0） B.过点（1，-0.5） C.因为k=2
1
-，所以y 随 x 的增大而增大D.经过二
四象限 （教师点拨，学生选出正确答案）
变式一：已知正比例函数y=(1-2m)x 的图像经过第二，四象限，则m 的取值范围为( A ) A.m>
21 B.m<2
1
C.m<0
D.m>0 变式二：已知直线y=(2-3m)x 经过点A ），（11y x ，B ），（22y x ，当1x <2x 时，有1y >2y ，则m 的取值范围为m>
3
2
.（学生交流讨论，教师指导） 例2.已知 y=3
-2
1-2m
x m ）（ 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，求m 的值.
（教师点拨）【思路导析】 y=3
-2
1-2m
x m ）（ 是正比例函数的条件是1-213-2
m m 且=≠0，
要使y 随x 的增大而减小，则还应满足条件2m-1<0,故当0
1-213-2<=m m ｛
，y=3-21-2m x m ）（是正比例函数，y 随x 的增大而减小.
师：前面我们在学习直线的时候知道，在平面上过不重合的两点有且仅有一条直线，也就是两点确定一条直线，由于正比例函数的图像是一条过原点的直线，所以我们在画它的图像时，只需要几个点的坐标呢？ 生（交流讨论）：两个点的坐标
师：正比例函数的图像一定y=kx(k 是常数且k ≠0)一定经过原点与点（1，k ）吗？为什么？ 生：是的，因为原点与点（1，k ）满足解析式y=kx 师：我们在确定正比例函数的解析式的时候根据它的图像需要几个点的坐标就可以将它的解析式求出来呢？
生：一个点的坐标，因为它的图像一定过原点.
师：请同学们用最简单的方法画出下列函数的图像： （1）x y 2
3
=
； （2）x y 3-= 例3.如图，点B 的坐标为（-2,0），AB 垂直x 轴于点B,交直线l 于点A ，如果ABC D
的面积为3，求直线l 的解析式
（教师点拨）【思路导析】要求出直线l 的解析式首先要求出点A 的坐标
三.布置作业：长江作业76P 2,4,6题
四.学后反思：
（1）正比例函数y=kx(k 为常数且k ≠0)的图像是一条经过原点的一条直线.
（2）当k>0时，直线 y=kx 经过一 .三象限,从左向右上升，y 随x 的增大而增大. （3）当k<0时，直线 y=kx 经过二.四象限,从左向右下降，y 随x 的增大而减小. （4）正比例函数的图像一定y=kx(k 是常数且k ≠0)一定经过原点与点（1，k ）。