相似专题：一线三等角模型
几何模型：一线三等角模型
一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇A同侧锐角直角钝角P异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的心或旁心相关，1902BOC BAC ∠=︒+∠这是心的性质，反之未必是心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
“一线三等角”相似模型
“一线三等角”相似模型“一线三等角”相似模型(一)情景再现问题1:如图,在等腰△ABC中,AB=AC ∠BAC=120°,点P为BC边上的点,过点P作∠MPN=30°,将∠MPN绕点P旋转,∠MPN的两边分别交AB、AC于点E、F时,问:△BPE与△PCF是否相似?证明你的结论。
问题2:如图,在等边△ABC中,边长为6,点D是BC上的动点,∠MDN=60°,当BD=1,NC=3时,求BM的长。
问题3:如图,在正方形ABCD中,边长为1,点E在线段BC 上,BE=,∠AEF=90°,边EF交DC于F,求EF的长。
（二）抽象模型1、模型定义所谓“一线三等角模型”，即两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角”型相似三角形.(通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般会存在相似三角形)2、基本图形：（1）点P在线段AB上（2）点P在线段AB延长线上三、载体(1)等腰或等边三角形底边上的“一线三等角”模型(2) 矩形或正方形中的“一线三等角”模型(“K”字型)（3）平面直角坐标系中的“一线三等角”模型（三）问题探究问题:如图16,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D、E分别在BC、AC上,连接AD、DE,使∠1=∠B 求线段CE的最大值变式1:(2017年无锡中考副卷第28题改编)如图1，在矩形ABCD 中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放于P处，三角板的两直角边分别与AB、BC边相交于点E、F，连接EF。
（1）如图2，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长（2）将三角板从图1中点的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，∠PEF的大小是否发生变化?变式2:（1）在平面直角坐标系中，如图，直线l1:y=-2x+4与x 轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB沿l1翻折，求O的对称点P 的坐标（2）直线l2过点P,且与直线l1的夹角是45°,求两直线l1、l2的交点的坐标。
几何模型一线三等角模型
一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角P异侧相似篇同侧锐角直角钝角异侧三、“一线三等角”的性质1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE.3.中点型“一线三等角”如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， ? 1902BOC BAC ∠=︒+∠这是内心的性质，反之未必是内心.在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）图 3-5其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似 坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C 、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与 的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为 ，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为 ，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。
初三相似三角形几何模型-一线三等角
相似三角形几何模型——一线三等角【模型讲解】模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD模型二：一线三等角图三 图四 ;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACEα∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）∽（2）AB DE=BC CD（3）当C 为BD 中点时，∽∽【典型例题】1.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△EDF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；（3）在（2）的条件下，BP=2，CQ=9，则BC 的长为_______．2．如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥.（1）若9AB =，4CD =，10BD =，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若9AB =，4CD =，12BD =，请问在BD 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长.3．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（点P不与点A，B重合），连接PD，将线段PD 绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求∠PBE的度数；（2）若△PFD∽△BFP，求APAB的值.4．感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，CE=4，则DE的长为______．5.如图，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=︒，BD BE ⊥，AD BC =．若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连结DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE 于点Q ．（1）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值； （2）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）6．如图，在ABC △中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE △是等腰三角形，求此时BD 的长．。
几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初中几何模型之“一线三等角模型”一.【一线三等角概念】“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.【一线三等角的分类】2.1 全等篇_同侧A PA P锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧PDPP锐角直角钝角2.3 相似篇_同侧DCA BPP锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧PDPP锐角直角钝角三、【性质】1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。
3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3，当∠1=∠2 且1902BOC BAC ∠=︒+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图 3-5四、【“一线三等角”的应用】1.应用的三种情况.a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造步骤：找角、定线、构相似【引例】例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．思路引导：【脑洞大开-三角构造】例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.横向构造纵向构造斜向构造斜A相似构造：例 2 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长.纵向横向斜向一线三垂直的补形：角含半角补形练一练：1.如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC= 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD = 2，求△ABC的面积思路提示：【中点型一线三等角】例1、如图，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) ．( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应x 的值; 若不能，请说明理由．例2．如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90∘，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合。
专题 相似三角形一线三等角模型(学生版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.是边A．3B．5C．2D．1B (1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不．．．同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角CPD ∠和PBD ∠．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE V 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE V 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．上一点，轴9,23A．()9,3B．()3．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．分别在边6．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形分别在线段AD、DC上（点E与点A、CD=，在BC边上取中点E，连接DE，过点E 8．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，4做EF ED⊥与AB交于点G，与DA的延长线交于点F．(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG的面积．⊥交AB于点M，9．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形ABCD中，3AB=，4=AD，点E是边AD上一点，EM EC∠=∠．(1)求证：AE是AM和AN的比例中项；(2)当点N在线段AB的延点N在射线MB上（如图），且ANE DCE长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．的两个等腰直角三角形，(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．312．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ∠=∠，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA△∽△(2)设BE x =，AD y =，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．13．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，连接BB '；②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，BAE ADC ∠=∠，1BE CE ==，3CD =，2=AD AB ，求BD 的长．14．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA =，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90︒，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ∠-∠=︒，求点E 的坐标．九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在BC=．点E是线段AD上的动点（点E不与18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6⊥，交AB于点F．点A，D重合），连接CE，过点E作EF CE∽；(1)求证：AEF DCE⊥，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．(2)如图2，连接CF，过点B作BG CF①求AG GM+的最小值；②当AG GM+取最小值时，求线段DE的长．。
2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版
《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
相似的一线三等角模型
相似的一线三等角模型一、 一线三等角模型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D 。
结论：△ABC ∽△CDE 模型分析在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形。
例1：如图在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =23，则△ABC 的边长为 。
例2：如图，∠A =∠B =90°，AB =7，AD =2，BC =3，在边AB 上取一点P ，使得△PAD 民△PBC 相似，则这样的P 点共有 个。
精练1．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =1，点D 是BC 边上的一个动点 （不与B 、C 点重合），∠ADE =45°。
（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长。
精练2．如图，在△ABC 中，AB =AC =10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合）， ∠ADE =∠B =α，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=，下列结论。
①△ADE ∽△ACD ；②当BD =6时，△ABD 与△DCE 全等；图3BCAED图2BCAED1图ABDCE O60ABDCE BCAPDABDCEA BDCE③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或12.5；④0<CE ≤6.4.其中正确的结论是 。
（把你认为正确结论的序号都填上） 精练3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上 的P 点外，折痕与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA 。
（1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长。
初中数学解题模型专题讲解9---一线三等角模型
初中数学解题模型专题讲解专题9 一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。
这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。
对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
的起源“一线三等角”的起源一线三等角”DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：——““一线三直角一线三直角”””——一、直角形一线三等角”直角形““一线三等角ADB ∽△CEACEA结论：△ADB“一线三等角锐角形“二、锐角形结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB三、钝角形钝角形““一线三等角结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB下面总结几种常考类型下面总结几种常考类型：：类型一 三角齐见三角齐见，，模型自现类型一概述以上两例都是典型的建，因此降低了试题的起法本质一 致，均为利用考查学生在图形变换过学能力和思想．典型的“一线三等角”试 题，由于模型的题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变为利用模型构建比例式解决问题． 两道题变换过程中的观察理解、直观感知、推理模型的框架已搭图形变换，但解两道题都 着重推理转化等数类型二 隐藏局部隐藏局部，，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四明显: 均将原有 “一线要求学生理性地从图形征，挖掘蕴含在图中的几的综合考查， 提升了学类型三 一角独处一角独处，别以四边形和一次函数为命题背景，但图形一线三等角”模型中的一角进行了隐藏从图形的角度进行思考与联想，发现其中最中的几何模 型．两道题均较好地体现了对升了学生思维的层次性和灵活性． ，两侧添补但图形的共性较隐藏，而这就其中最本质的特现了对“四基”类型三概述上述几道题虽呈现的背模型于图形之中．题中框架的基础，更是学生质上都是考查学生利用了学生对数学本质属性现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方题中的 “特殊角”是解题的关键，也是是学生解题思路的来源与“脚手架”．生利用模型进行数学思考的能力，同时也有质属性的把握情况．思想方法、数学也是搭建模型 这几道题实时也有效地检测类型四 线角齐藏线角齐藏，类型四概述本题实质上以图形的旋愿，促使学生在模拟图殊角，展开适当的联想建模型框架。
部编数学九年级下册专题13一线三等角模型证相似(解析版)含答案
专题13 一线三等角模型证相似1．如图，在边长为9cm的等边ABCD中，D为BC上一点，且3BD cm=，E在AC上，60ADEÐ=°，则AE的长为( )cm．A．B．C．7D．6【解答】解：ABCDQ是等边三角形，9AB BC AC cm\===，60B CÐ=Ð=°，180120BAD ADB B\Ð+Ð=°-Ð=°，60ADEÐ=°Q，180120ADB EDC ADE\Ð+Ð=°-Ð=°，BAD EDC\Ð=Ð，ABD DCE\D D∽，\AB BD DC CE=，\9393CE=-，2CE\=，7()AE AC CE cm\===，故选：C．2．如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若2BF cm=，则小正方形的面积等于2 ．【解答】解：Q正方形ABCD的边长为8cm，2BF cm=，6CF cm\=Q 四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG \Ð=Ð=Ð=°90BEF BFE \Ð+Ð=°，90CFD BFE Ð+Ð=°BEF CFD\Ð=ÐBEF CFD\D D ∽\BE CF BF CD =\628BE =32BE \=\小正方形的面积等于：222EF BE BF =+944=+225()4cm =故答案为：2254cm ．三．解答题（共15小题）3．已知等边ABC D ，E ，F 分别在边AB 、AC 上，将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．（1）求证：BED CDF D D ∽；（2）若2CD BD =时，求ED DF．【解答】解：（1）证明：Q 等边ABCD 60A B C \Ð=Ð=Ð=°Q 将AEF D 沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．60EDF A \Ð=Ð=°180********BED BDE B Ð+Ð=°-Ð=°-°=°Q 180********BDE CDF EDF Ð+Ð=°-Ð=°-°=°BED CDF\Ð=Ð又B CÐ=ÐQ BED CDF \D D ∽；（2）2CD BD=Q \设1BD =，则2CD =，Q 翻折，\设ED AE x ==，DF AF y==3AB BC AC \===，3BE x =-，3CF y=-BED CDFD D Q ∽\ED BD BE DF CF DC ==\1332x x y y -==-由13x y y=-得：31x y x =+①由32x x y -=得：23x y x=-②由①②解得：75x =，74y =\45x y =\45ED DF =．4．如图有一块三角尺，Rt ABC D ，90C Ð=°，30A Ð=°，6BC =，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：90C Ð=°Q ，30A Ð=°，6BC =，212AB BC \==，AC \=，Q 四边形AFED 是正方形，90F E \Ð=Ð=°，AF FE =，90FAC FCA \Ð+Ð=°，90C Ð=°Q ，90FCA BCE \Ð+Ð=°，FAC BCE \Ð=Ð，AFC CEB \D D ∽，\AFACCE CB =，\AFCE =，设AF x =，则CE x =，FC \=，222AF AC Q ，222)x x \+=，2268237x \=+，答：这个正方形的面积为：226837．5．已知：如图，ABC D 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE Ð=°．（1）求证：ABD DCE D D ∽；（2）如果3AB =，23EC =，求DC 的长．【解答】（1）证明：ABC D Q 是等边三角形，60B C \Ð=Ð=°，AB AC =，B BAD ADE CDE Ð+Ð=Ð+ÐQ ，60B ADE Ð=Ð=°，BAD CDE \Ð=ÐABD DCE \D D ∽；（2）解：由（1）证得ABD DCE D D ∽，\BD CE AB DC=，设CD x =，则3BD x =-，\2333x x-=，1x \=或2x =，1DC \=或2DC =．6．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合），作PE AP ^，交CD 于点E ．（1）判断ABP D 与PCE D 是否相似，并说明理由．（2）连接BD ，若//PE BD ，试求出此时BP 的长．【解答】解：（1）ABP D 与PCE D 相似，理由如下：Q 四边形ABCD 是矩形，90B C \Ð=Ð=°，90BAP BPA \Ð+Ð=°，PE AP ^Q ，90CPE BPA \Ð+Ð=°，BAP CPE \Ð=Ð，ABP PCE \D D ∽；（2）连接BD，如图所示：由（1）知ABP PCE D D ∽，\AB BP PC CE =，\AB PC BP CE=，//PE BD Q ，\CP CE CB CD =，\PC CB CE CD =，\AB CB BP CD=，Q 在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，3CD AB \==，5CB AD ==，95AB CD BP CB ×\==．7．如图1，在ABC D 中，AB AC ==，cos B =，点D 在BC 边上从C 向B 运动．以D 为顶点作ADE B Ð=Ð，射线DE 交AB 边于点E ，过点A 作AF AD ^交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：ACD DBE D D ∽．（2）当AD CD =时（如图2)，求AD 和EF 的长．（3）设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中，直接写出点F 运动的路径长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，又ADE B Ð=ÐQ ，ADE B C \Ð=Ð=Ð，180B BDE BED Ð+Ð+Ð=°Q ，180ADC ADE BDE Ð+Ð+Ð=°，BED ADC \Ð=Ð，ACD DBE \D D ∽；（2）解：如图，过点D 作DH AC ^交AC 于点H ，AD CD =Q，AB AC ==，12CH AH AC \===，cos B =Q ，B C Ð=Ð，cos CH B CD\=，6cos CH CD B \===，6AD =，AF AD ^Q ，90FAD \Ð=°，ADE B Ð=ÐQ，6cos ADE DF \Ð==，DF \=，由（1）得ACD DBE D D ∽，\DE BD AD AC =，\6DE DE \=，过点A 作AM BC ^于点M ，cos BM B AB\=，\4BM \=，28BC BM \==，862BD BC CD \=-=-=，DE \==，EF DF DE \=-==，6AD \=，EF =（3）解：F Q 点随着D 点的运动而运动，D 在线段BC 上，F \点的轨迹也是一条线段，如图，当D 与C 点重合时，F 点在1F 的位置，190CAF Ð=°，当D 点与B 点重合时，F 点在2F 的位置，290BAF Ð=°，12F F 为F 点的运动路径，12F AF CAB \Ð=Ð，AC =Q，cos B =，ABC C Ð=Ð，1cos AC C CF \===，112CF \=，在1Rt ACF D中，1AF ==，ADF B Ð=ÐQ，2cos cos ABF B \Ð==22cos ABABF BF Ð==，=，212BF \=，2AF ==，21AF AF \=，△12AF F 是等腰三角形，12F AF CAB Ð=ÐQ ，△12AF F 与CAB D 都是等腰三角形，\△12AF F ACB D ∽，\121F F AF BC AC =，由（2）得8BC =，\128F F，12F F \=\点F运动的路径长为．8．在ABC D 中，点E 、F 在边BC 上，点D 在边AC 上，连接ED 、DF ，AB m AC =，120A EDF Ð=Ð=°（1）如图1，点E 、B 重合，1m =时①若BD 平分ABC Ð，求证：2CD CF CB =×；②若213CFBF =，则ADCD =（2）如图2，点E 、B 不重合．若BE CF =，ABDFm AC DE ==，37BEEF =，求m 的值．【解答】解：（1）①Q 1ABm AC ==，AB AC \=，BD Q 平分ABC Ð，ABD DBF \Ð=Ð，BDC A ABD BDF CDF Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，且120A BDF Ð=Ð=°，ABD CDF DBF \Ð=Ð=Ð，且C C Ð=Ð，CDF CBD \D D ∽，\CD CF BC CD=，2CD BC CF \=×；②如图1，过A 作AG BC ^于G ，过F 作FH BC ^，交AC 于H ，30C Ð=°Q ，2CH FH \=，设2FH a =，4CH a =，则CF =，Q 213CF BF =，BC \=，CG =Q ，152AG a \=，15AC a =，11AH a \=，120BAD BDF DHF Ð=Ð=Ð=°Q ，18012060ADB FDH ADB ABD \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，ABD FDH \Ð=Ð，ABD HDF \D D ∽，\AB AD HD FH =，即152a AD DH a=，设AD x =，则11DH a x =-，230(11)a x a x \=-，2211300x ax a -+=，(5)(6)0x a x a --=，5x a =或6a ，\51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==，故答案为：12或23；（2）如图2，过E 作//EH AB ，交AC 于H ，过D 作DM EH ^于M ，过F 作//FG ED ，交AC 于G ，BE CF =Q ，37BE EF =，\37CF EF =，//FG ED Q ，\37CF CG EF DG ==，\设3CG a =，7DG a =，Q AB DF m AC DE==，120A EDF Ð=Ð=°，ABC DFE \D D ∽，DEC C \Ð=Ð，10DE DC a \==，//FG DE Q ，GFC DEF C \Ð=Ð=Ð，3FG CG a \==，同理由（1）得：EHD DFG D D ∽，\ED DH DG FG =，即1073a DH a a=，307a DH =，Rt DHM D 中，60DHM Ð=°，30HDM \Ð=°，11527a HM DH \==，DM =，657EM a \===，651550777EH a a a \=-=，5017302107a AB EH m AC CH a a \====+．9．已知：在EFG D 中，90EFG Ð=°，EF FG =，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且1DG =，2AE =，则EG =（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：AEF FEN Ð=Ð；（3）如图3，若AE AD =，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：2MG MN MD =×．【解答】（1）解：90EFG Ð=°Q ，90AFE DFG \Ð+Ð=°，90AEF AFE Ð+Ð=°Q ，AEF DFG \Ð=Ð，又90A D Ð=Ð=°Q ，EF FG =，()AEF DFG AAS \D @D ，2AE FD \==，FG \==EG \==，；（2）证明：延长EA、NF 交于点M ，Q点F为AD的中点，\=，AF DFQ，AM CD//Ð=Ð，\Ð=Ð，MAD DM DNF\D@D，MAF NDF AAS()\=，MF FN^Q，EF MG\=，ME GE\Ð=Ð；MEF FEN（3）证明：如图，过点G作GP AD^交AD的延长线于P，\Ð=°，P90D@D，AEF PFG AAS同（1）同理得，()=，\=，PF AEAF PGQ，=AE AD\=，PF AD\=，AF PD\=，PG PDQ，Ð=°P9045PDG \Ð=°，45MDG \Ð=°，在Rt EFG D 中，EF FG =，45FGE \Ð=°，FGE GDM \Ð=Ð，GMN DMG Ð=ÐQ ，MGN MDG \D D ∽，\MG MN DM MG=，2MG MN MD \=×．10．在ABC D 中，BA BC =，(0180)ABC a a Ð=°<<°，点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，直线PM 与直线CN 相交于点Q ．（1）当点P 在线段BC 上，当60a =°时，如图1，直接判断BP CQ 的大小；（2）当点P 在线段BC 上，当BC k AC=时，如图2，试判断线段BP CQ 的大小，并说明理由；（3）当点P 在直线BC 上，当90a =°，AC =17AP =时，请利用备用图探究PCQ D 面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接AQ ，BA BC =Q ，60ABC a Ð==°，ABC \D 是等边三角形，60BAC ACB ABC \Ð=Ð=Ð=°，Q 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，60APQ ACQ \Ð=Ð=°，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，60AQP ACB \Ð=Ð=°，APQ \D 是等边三角形，AP AQ \=，60PAQ Ð=°，BAC PAQ \Ð=Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，()BAP CAQ SAS \D @D ，BP CQ \=，\1BP CQ=；（2）BP k CQ =，理由如下：如图2，连接AQ ，BA BC =Q ，ABC a Ð=，1802ACB BAC a °-\Ð=Ð=，QQ 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转a 得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转a 得到直线CN ，APQ ACQ a \Ð=Ð=，\点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，1802AQP ACB a °-\Ð=Ð=，1802PAQ BAC a °-\Ð==Ð，BAP CAQ \Ð=Ð，又ABC ACQ a Ð=Ð=Q ，ABP ACQ \D D ∽，\AB BC BP k AC AC CQ===；（3）17AC AP =<=Q ，\点P 不在线段BC 上，当点P 在点C 的右侧时，如图3，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，7CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，11105715222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；当点P 在点B 的左侧时，如图4，过点Q 作QH BC ^于H ，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，AC =8AB BC \==，45ACB Ð=°，15BP \===，23CP \=，90ACQ Ð=°Q ，45ACB Ð=°，45QCH \Ð=°，由（2）可知AB BP AC CQ =，\15CQ=，CQ \=，45QCH Ð=°Q ，QH BH ^，15CH QH \==，113452315222CPQ S CP QH D \=´´=´´=；综上所述：PCQ D 面积为1052或3452．11．如图，在ABC D 中，已知5AB AC ==，6BC =，且ABC DEF D @D ，将DEF D 与ABC D 重合在一起，ABC D 不动，DEF D 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．（1）求证：ABE ECM D D ∽；（2）当DE BC ^时，①求CM 的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在DEF D 运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求BE 的长．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，AEF B \Ð=Ð，AEF CEM AEC B BAE Ð+Ð=Ð=Ð+ÐQ ，CEM BAE \Ð=Ð，ABE ECM \D D ∽；（2）①当DE BC ^时，AB AC =Q ，BAE EAM \Ð=Ð，ABC DEF D @D Q ，B DEF \Ð=Ð，ABE AEM \D D ∽，\AB AE AE AM=，90AME AEB Ð=Ð=°，5AB AC ==Q ，DE BC ^，6BC =，132BE EC BC \===，在Rt ABE D 中，4AE ===，\544AM=，165AM \=，169555CM AC AM \=-=-=；②在Rt AEM D 中，125EM ===，11161296225525AEM S AM EM D \=×=´´=，\重叠部分的面积为9625；（3）①当AE EM =时，ABE ECM D @D ，5CE AB ==Q ，651BE BC EC \=-=-=，②当AM EM =时，则MAE MEA Ð=Ð，MAE BAE MEC MEA \Ð+Ð=Ð+Ð，即CAB CEA Ð=Ð，C C Ð=ÐQ ，CAE CBA \D D ∽，\CE AC AC CB=，\2256AC CE CB ==，\2511666BE BC EC =-=-=；③当AE AM =时，点E 与点B 重合，即0BE =，此时重叠部分图形不能构成三角形；1BE \=或116．12．如图，直线y =+0)y x =>的交点为A ，与x 轴的交点为B ．（1）求ABO Ð的度数；（2）求AB 的长；（3）已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点，当60AOC Ð=°时，求点C 的坐标．【解答】解：（1）设直线y =+y 轴交于点D ，如图所示：当0x =时，y =．即点D ．当0y =时，1x =-，即点(1,0)B -．\1OD BO ==．\tan DO ABO BOÐ==．60ABO \Ð=°．（2）过点A 作AE x ^轴，垂足为E ，如图所示．设点A 坐标为：(m ．且0m >．OE m \=，AE =//DO AE Q ．BDO BAE \D D ∽．\BO DOBE AE=．即：11m =+1m \=或2m =-（舍)．\A ．\4AB ==．即：4AB =．（3）过C 作60CFO Ð=°，点F 在x 轴上，再过点C 作CH OF ^于H 点，如图所示．设(C a，0a >．\OH \4CF a ==．\2HF a =．\2OF a a=+．AOF AOC COF Ð=Ð+ÐQ ，且AOF Ð是ABO D 一内角的外角．BAO COF \Ð=Ð．ABO OFC \D D ∽．\AB BOOF CF =即：4124a a a=+．\a=．Q．a>\a\C．^交BC 13．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE∽．（不需要证明）于点F．易证：AED BFED D^交BC于点【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DEF．D D∽．（1）求证：AED BFE（2）若10AD=，E为AB的中点，求BF的长．AB=，6AB=．E为AB边上一点（点E不与【应用】如图③，在ABCACB=，4D中，90Ð=°，AC BC点A、B重合），连结CE，过点E作45D为等腰三角形时，BECEFÐ=°交BC于点F．当CEF的长为 【解答】【探究】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=°，90A B\Ð+Ð=°，ADE AED90^Q，DE EF\Ð=°，DEF90\Ð+Ð=°，BEF AED90\Ð=Ð，ADE BEFQ，又A BÐ=Ð\D D∽；AED BFEQ为AB的中点，（2）解：E\==，AE BE5∽，由（1）知AED BFED D\AD AEBE BF =，即655BF=，256BF \=；【应用】解：如果CE CF =，则45CEF CFE Ð=Ð=°，90ECF Ð=°，则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意，②如果CE EF =，则1804567.52ECF EFC °-°Ð=Ð==°，EFC ÐQ 为BEF D 的外角，EFC B BEF \Ð=Ð+Ð，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，45A B \Ð=Ð=°，67.54522.5BEF EFC B \Ð=Ð-Ð=°-°=°，909067.522.5ACE ECF Ð=°-Ð=°-°=°，ACF BEF \Ð=Ð，又A B Ð=ÐQ ，CE EF =，()AEC BFE AAS \D @D ，BE AC \=，90ACB Ð=°Q ，AC BC =，4AB =，AC \==，BE \=；如果CF EF =，则45CEF ECF Ð=Ð=°，90CFE \Ð=°，在BEC D 中，45B BCE Ð=Ð=°，90BEC \Ð=°，CE AB \^，又AC BC =Q ，\点E 为AB 的中点，122BE AB \==，综上，BE 的长为2，故答案为：2．14．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是射线BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接FC ，观察并猜测tan FCN Ð的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB m =，(BC n m =，n 为常数），E 是射线BC 上一动点（不含端点)B ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线CN 运动时，请用含m ，n 的代数式表示tan FCN Ð的值．【解答】解：（1）tan 1FCN Ð=，理由是：如图1，作FH MN ^于H ，90AEF ABE Ð=Ð=°Q ，90BAE AEB \Ð+Ð=°，90FEH AEB Ð+Ð=°，FEH BAE \Ð=Ð，在EHF D 和ABE D 中EHF ABE FEH BAE EF AE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EHF ABE AAS \D @D ，FH BE \=，EH AB BC ==，CH BE FH \==，90FHC Ð=°Q ，tan 1FHFCH CH\Ð==；（2）如图（2）作FH MN ^于H ．由已知可得90EAG BAD AEF Ð=Ð=Ð=°，结合（1）易得FEH BAE DAG Ð=Ð=Ð，又G Q 在射线CD 上，90GDA EHF EBA Ð=Ð=Ð=°，在EFH D 和AGD D 中FHE GDA FEH DAG EF AG Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EFH AGD AAS \D @D ，BAE FEH Ð=ÐQ ，ABE FHE Ð=Ð，EFH AEB \D D ∽，EH AD BC n \===，CH BE \=，\EH FH FHAB BE CH==，\在Rt FEH D 中，tan FH EH nFCN CH AB mÐ===，\当点E 沿射线CN 运动时，tan n FCN mÐ=．15．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，N 是CD 边上一动点，在运动过程中，始终保持AM MN ^，设BM x =，CN y =．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 010x …… ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2)利用描点法画出此抛物线，直接写出m = ；x¼2345678¼y¼22183m32182¼（3）结合图象，指出M 、N 在运动过程中，当CN 达到最大值时，BM 的值是 ；并写出在整个运动过程中，点N 运动的总路程 ．【解答】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，908B C AB CD \Ð=Ð=°==，90BAM AMB \Ð+Ð=°，AM MN ^Q ，90AMN \Ð=°，90AMB CMN \Ð+Ð=°，BAM CMN \Ð=Ð，ABM MCN \D D ∽，\AB MCBM CN=，\810x x y-=，21584y x x \=-+，10BC =Q ，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，010x \……，故答案为：010x ……；（2）当5x =时，代入21584y x x =-+中得：2152555848y =-´+´=，故答案为：258，画出的抛物线如图所示：（3）21584y x x =-+Q ，2215125(5)8488y x x x \=-+=--+，108a =-<Q ，\当5x =时，y 最大258=，\当CN 达到最大值时，BM 的值是5；Q2525284´=，\在整个运动过程中，点N 运动的总路程为254，故答案为：5，254．16．【基础巩固】（1）如图1，在ABC D 中，90ACB Ð=°，直线l 过点C ，分别过A 、B 两点作AE l ^，BD l ^，垂足分别为E 、D ．求证：BDC CEA D D ∽．【尝试应用】（2）如图2，在ABC D 中，90ACB Ð=°，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若BE DE =，4tan 5BAD Ð=，20AC =，求BD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED Ð=°，若AE AB =，43BE EC =，CD =ABCD 的面积．【解答】（1）证明：90ACB Ð=°Q ，90BCD ACE \Ð+Ð=°，AE CE ^Q ，90AEC \Ð=°，90ACE CAE \+Ð=°．BCD CAE \Ð=Ð．BD DE ^Q ，90BDC \Ð=°，BDC AEC \Ð=Ð．BDC CEA \D D ∽．（2）解：过点E 作EF BC ^于点F ．由（1）得EDF DACD D∽．\DE DF DA AC=．AD DE^Q，4tan5BADÐ=，20AC=，\4520DF =，16 DF\=．BE DE=Q，BF DF\=．232BD DF\==．（3）解：过点A作AM BC^于点M，过点D作DN BC^的延长线于点N．90AMB DNC\Ð=Ð=°．Q四边形ABCD是平行四边形，//AB CD\，AB CD=．B DCN\Ð=Ð．()ABM DCN AAS\D@D．BM CN\=，AM DN=．AB AE=Q，AM BC^，BM ME\=，Q43 BEEC=，设AM b=，4BE a=，3EC a=．2BM ME CN a\===，5EN a=．90AEDÐ=°Q，由（1）得AEM EDN D D ∽．\AM ENME DN =，\25b aa b=，\b =，Q CD =22(2)14a b \+=，1a \=，b =．\平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =´´=´=．17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED Ð=Ð=Ð=°，由12180BAD Ð+Ð+Ð=°，2180D AED Ð+Ð+Ð=°，可得1D Ð=Ð；又因为90ACB AED Ð=Ð=°，可得ABC DAE D D ∽，进而得到BC AC =我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在ABC D 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B Ð=Ð．①求证：ABP PCD D D ∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当APD D 为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【解答】（1）解：ABC DAE D D Q ∽，\BC ACAE DE =，\BC AEAC DE=，故答案为：AEDE；（2）①证明：AB AC=Q，B C\Ð=Ð，APC B BAPÐ=Ð+ÐQ，APC APD CPDÐ=Ð+Ð，APD BÐ=Ð，BAP CPD\Ð=Ð，B CÐ=ÐQ，ABP PCD\D D∽；②解：12BC=Q，点P为BC中点，6BP PC\==，ABP PCDD DQ∽，\AB BPPC CD=，即1066CD=，解得： 3.6CD=；（3）解：当PA PD=时，ABP PCDD@D，10PC AB\==，12102BP BC PC\=-=-=；当AP AD=时，ADP APDÐ=Ð，ADP B CÐ=Ð=ÐQ，ADP C\Ð=Ð，不合题意，AP AD\¹；当DA DP=时，DAP APD BÐ=Ð=Ð，C CÐ=ÐQ，BCA ACP\D D∽，\BC ACAC CP=，即121010CP=，解得：253CP=，25111233BP BC CP\=-=-=，综上所述：当APDD为等腰三角形时，BP的长为2或113．。
中考数学几何专项练习：相似模型-一线三等角及“K”模型(解析版)
中考数学几何专项练习：相似模型--一线三等角及“K”模型A．1.8B．【答案】C△△【分析】证明ADC∽为等边三角形，【详解】解：∵ABC∴60，B CA．1B．3【答案】D【分析】结合矩形的性质，证明A．2B．73【答案】D 【分析】证明CAD CBA ∽△△，得出【详解】解：∵EA ED ，∴1EAD ，∵1B ，∴EAD B ，∵C C ，∴CAD CBA ∽△△，∴CA CD CB CA =，∴686CD ，∴9CD =，A．3【答案】A 【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到成比例即可得CF 的长．【详解】解：∵矩形ABCD 6CD ，又E ∵是CD 的中点，3DE CE ，Rt ADE △中，6AD 由题可得，D C 90AED CEF AED EFC ，ADE EFC ∽，CF CE DE DA ，即3CF 解得3CF ，故选：A．【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5．如图，在等边ABCA．1B．4 3【答案】D【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【详解】解：ABC∵ 为等边三角形，60B C∴．【答案】2132/2【分析】根据菱形的性质，折叠的性质，以及角和和平角的意义，得出BEG DGF例式列出方程，再根据AE AB，解出【答案】1或2【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出【详解】设BP=x，则PC=3-x，【答案】2.4【分析】根据折叠的性质可得∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠到23CF BDDF DE，即6CF【答案】31：【分析】（1）由等边三角形的性质得到再由FD BC 推出BED （2），用k 表示DC 和似比，即可求出BE ，然后用【详解】解：（1）∵三角形∴60A B ，由折叠的性质可得AE ∵FD BC ，∴90FDB ，∴30EDB ，∴90BED ，∴3AE DE BE ，∴:31AE EB ：，设,2CD k BD k ，∴3AB AC k ，∵ABC 为等边三角形，∴60A B ，由折叠的性质可得EDF ∴BED C BE DE BD △∴EDB FDC BED ∴BED FDC∵60B C ，∴BED CDF ∽，BED CDFC BE DC C ，∴54BE k k k，∴5,34BE k AE k∴:7:5AE BE ；【答案】32145【分析】根据DE同时平分BDE FDE△△，由三角形全等性质据BDE FDE△△和ABC是等边三角形，证明【答案】15 8【分析】过C作CF C D∥交B C 于CF和C D 的长，再由CFE DC E∽【详解】解：如图，过C作CF C D∥AB C D 是菱形，则AB C D ∥，∴CF AB ∥，∴B FC AB F B CF AB B ，∵AB C B ⅱÐ=Ð，∴B FC B ，【答案】8【分析】根据等边三角形的性质得相似，再根据相似三角形的性质即可得．PCD∵【详解】解：ABC，AB BC AC【答案】215【分析】证明BPE ADP ∽，由相似三角形的性质得出23CD x ，得出22633PB x x x 【详解】解：ABC ∵是等边三角形，【答案】30114【分析】延长BC 至M 使CD CM ，连接MD 【详解】∵EF DE ，60EFD∵在ABCD Y 中，3460AB BC B ，，，∴3460AB CD CM BC B DCM ，，∴DCM △是等边三角形∴3DM ，60B M EFD ，【答案】5:7【分析】如图，作EJ 等边三角形的性质得到相应的线段，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：连接BE 交设AE a ，3EC a ，【点睛】此题主要考查了翻折变换、等边三角形的性质、勾股定理、含似三角形的判定与性质，通过三角形相似求出相关线段是关键．16．如图，矩形ABCD中，角线AC与EF交于点G，则7【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例．17．如图，在△ABC中，AB交AC于点E，且cos∠α＝∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝∴BG＝ABcosB，【答案】21 2【分析】设AF x，由等边三角形的性质得出由折叠的性质得：AE证明BDE CFD△∽△识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．（1）如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，90DPC A B ，求证：AD 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当DPC A B 时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】△∽△(1)求证：ABF FCEAD，求(2)若23AB ，4(3)当点F是线段BC的中点时，求证：【答案】(1)证明见解析(1)求证：ABP PCM ∽△△；(2)设BP x ，CM y ，求y (3)当APM △为等腰三角形时，求∵PM PC PA AB，∴5PC AB ，∵APM B C ，∴PAM BAC 即点P 与点∵P 不与点B 、C 重合，舍去．∴MAP MPA ，∴MAP ABC △∽，∴5MP AC ．(1)证明：BDA CED ∽；(2)若45B ，6BC ，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C BD 的长．【答案】(1)详见解析∴ADE∽ACD∴DA DE AC DC∴AC DC；(1)求证：AB CM BP PC△为直角三角形时，求线段PB (2)当PCM【答案】(1)见解析∵，AB AC，B C∵，APM B180180BAP B APB△△，BAP CPM∽由（1）知，90APB PMCAB AC ∵，点P 为BC 中点，8cm BC Q ，14cm BP CP BC ，由（1）知，90BAP CPM ∠∠作AD BC 于点D ，则14cm 2BD CD BC ，BDA 90BAP BDA(1)当ADEV是等腰三角形时，求(2)当22BD 时，求DE【答案】(1)422或2或35（2）解：取BC 的中点M ，连接AM ，ABC ∵ 是等腰直角三角形，122AM BM BC ，90AMB ，22BD ∵，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题关键．27．已知等边三角形ABC的边长为(1)如图，在边BC上有一个动点(2)如图，若点P在射线(3)在（2）的条件下，将点D【答案】(1)见详解(2)7(3)532∴90AEP ，∵ABC 是等边三角形，边长为∴4AC ，60ACB ，∴60PCE ACB ，在Rt CPE △中，2PC ，CPE ∴11CE PC ，根据勾股定理得，由（2）知，7AD ，∵4AC ，∴743CD AD AC ，由旋转知，120DCD ，CD ∵60DCP ，∴D CP DCD DCP(1)若55AP 时，求BE 的值．(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．(3)当DEC 与APD △相似时，求AP 的长度．【答案】(1)94(2)215(025)2y x x x (3)259或22535195210BH PH PB ，90BHE C ∵，B B BEH BAC ∽，BE BH AB BC， 9510425BE ，9BE ；11522BH PB x ∵，cos BH BC B BE AB，5524x BE ，35424x CE BE ，当DEC 与APD △相似时，有A CDE ，90ACB DCE Q ，ABC DEC ∽，CD AC CE BC， 52123524x x，AE (1)当点D为BC的中点时，EB∵点D 为BC 的中点，ABC 为等边三角形，∴AD BC ，DAB DAC ∵将等边ABC 折叠，使点A 与点∴30ADE DAB ，∴903060EDB B ，。
相似专题三一线三等角相似模型
相 似
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝∠。不同 地区对此有不同的称呼，义乌通常称为“ K形图 ”，哈尔滨通常称为“ M形图”，以下统称为“ 一线三等角”。
K字型的一般形式
且∠ BEF=110°，若AE=3，
DF长为__1_.5_____．
? 4如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝3，E在 AD上，且AE＝2，在边AB上是否存在点P，使 得以P，A，E为顶点的三角形与以P，B，C为 顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由
；若存在，这样的点有几个？并计算出AP的 长.
? 如图，正方形ABCD边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
? （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
? （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式； 当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大 面积；
你能证明吗？
证明：? 在? ABC中 ? 1? ? A? ? ACB ? 180? 又? ? 2 ? ? DCE ? ? ACB ? 180? ? ? 1? ? 2? ? 3 ?? A ? ? DCE ? △ABC∽△CDE
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
? （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的 值．
AC上取点E，使∠ ADE=60度，AE
长为（ c ）A. 3 B. 2 Nhomakorabea2
一线三等角相似模型
在物理学中，可以利用一线三等角 相似模型来研究物理现象和规律， 如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证 明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的 方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后， 通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和 推理技巧，以及能够灵活运用已知条 件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析 法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及 灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后 推导出矛盾，从而证明结论成立的方 法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据 已知条件和反证法的原理，推导出与 已知条件相矛盾的结论；最后，根据 矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线 段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛 的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例 的多边形。
相似专题：一线三等角相似模型
注意事项：需要熟练掌握代数公式和定理以及灵活运用代数方法进行证明
三角函数证明法
利用三角函数的性质通过角度相等来证明三角形相似 利用三角函数的诱导公式将角度相等转化为边长比例相等 利用三角函数的和差公式将角度相等转化为边长比例相等 利用三角函数的倍角公式将角度相等转化为边长比例相等
一线三等角相似的判定条件
两个三角形中如果一个角分别与另两个角相等则这两个三角形相似。
在两个三角形中如果一个角的对边与另一个角的对边成比例则这两个三角形相似。 在两个三角形中如果一个角的对边与另一个角的邻边成比例则这两个三角形相似。
在两个三角形中如果一个角的对边与另一个角相等则这两个三角形相似。
一线三等角相似模型的 应用
单击添加标题
题目：在三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且E：EC=1：2 则S△DE：S△BC=？
代数表达式简化：利用一线三等角 相似模型可以将复杂的代数表达式 进行简化。
代数应用实例
代数不等式证明：利用一线三等角 相似模型可以证明一些代数不等式。
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代数方程求解：通过一线三等角相 似模型可以求解一些代数方程。
一线三等角相似模型的 应用实例
几何证明实例
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题目：已知三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且D：DB=2： 1则S△DE：S△BC=？
单击添加标题
题目：在三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且E：EC=2：1 则S△DE：S△BC=？
单击添加标题
题目：在三角形BC中D是B上一点E是C上一点DE平行于BC且BD：B=1：3 则S△DE：S△BC=？
最新相似专题三：一线三等角相似模型教学讲义ppt
3、经方药症与方证
人民军医出版社
4、经方妙用治百病
人民军医出版社
5、经方临证答疑
人民卫生出版社
6、经方配伍用药指南
中国中医药出版社
7、经方学用解读
人民军医出版社
8、经方辨治疑难杂病技巧 甘肃科学技术出版社
9、经方药物药理临证指南 中医古籍出版社
10、仲景方临床应用指导 人民卫生出版社
学好用活仲景的基本要素
DF长为__1_.5_____．
小试身手
• 4如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝3，E在 AD上，且AE＝2，在边AB上是否存在点P，使 得以P，A，E为顶点的三角形与以P，B，C为 顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由 ；若存在，这样的点有几个？并计算出AP的 长.
思考练习1
• 如图，正方形ABCD边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为 顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存 在，请说明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点 为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长； （3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点 为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长； （4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三 点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三 个P点？
注：仲景言几枚、几个等，均以实物折算为准。
中考数学专题---相似三角形中的常考模型 课件
C
D
8字型
3.如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， 是线段 上一动点， 的延长线交抛物线于点 .(1)求这个函数关系解析式：(2)求 的最大值．
8字型
将 ， ， 代入 ，得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为 ．设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，得
A字型
1.如图， ， 分别为 的边 ， 上的点，若 ， ， 的面积等于2，则 的面积为( )
A. B. C. D.
2.如图，在 <m></m> 中， <m></m> ，点 <m></m> ， <m></m> 分别在 <m></m> ， <m></m> 边上， <m></m> ，且 <m></m> ，若 <m></m> ，则 <m></m> 的长为 _____．
C
一线三垂直型
13.如图，在四边形 中， ， ，以 为直径的半圆 与边 相切于点 ， ，求 的长．
解：如右图，连接 ， ,
是 的切线， 是切点， .又 ， ， ， ． ， ．
一线三垂直型
设 ，则 . 为 的直径， ， ． ， ， ， ，
一线三等角型
1.如图，已知 ， ， 分别为 的边 ， ， 上的点， ， ， ， ， ， ，则 的长为( )
A. B. C. D.
2.如图，在四边形 中, , , ,若点 是 边上一点 ，且 ,则 ( )
，解得 ，∴直线 的解析式为 ． 轴， ，∴易得 ， .
一线三等角模型相似证明
一线三等角模型相似证明好嘞，今天咱们聊聊一线三等角模型相似证明的事儿。
听起来挺高大上的，但其实说白了就是个有趣的几何故事。
你想啊，几何这个东西，跟生活其实是有很多相似之处的。
就像我们在生活中总是喜欢找到一些规律、一些相似性，这些其实也能帮助我们理解这个世界。
一线三等角模型，其实就是一个很简单的图形构造。
你可以想象一下，就像把三根小棒子拼成一个三角形，哎呀，没事儿，别紧张，这三角形可不复杂。
它的角都是等的，等于是给你一个平等的机会，不管你是哪个角，都是那样的。
这个想法，感觉就像是朋友之间的公平交易，大家都有发言权。
每个角都在发光发热，绝对不是“独角戏”。
再说这相似证明，哈哈，感觉就像是在做一道拼图。
你只要找到那几个对应的边和角，就能搞定。
就像生活中，朋友之间的默契，彼此之间总有些共同点，这种相似感就像是在说：“嘿，我也懂你！”每当你发现这种相似性，心里那个乐啊，真是巴适得很。
想象一下，假如我们把这个模型带到生活中，大家都在一个大舞台上，三角形的三个角分别代表不同的人。
有的人热情似火，有的人冷静如水，还有的人嘛，幽默搞笑，三者相辅相成，缺一不可。
就像在团队中，每个人的特长都能让这个团队更加出彩。
这个时候，你就会发现，只要大家心往一处想，劲往一处使，那绝对能完成一场精彩的表演。
这时候就要提到相似的概念了。
模型里的每个部分都有相同的比例，就像我们生活中那些互相借鉴的经验。
你说我今天遇到的麻烦，你也可能经历过，咱俩一交流，嘿，问题就解决了。
这种相似就像是生活的魔法，能让我们从彼此的经验中获益。
别小看这种分享，生活中的每一份理解都是让人暖心的存在。
咱们再说说那些三等角的性质吧。
这可是个亮点，三角形的内角加起来就是180度，哦，真是太妙了。
这就像是在说，无论你的人生经历如何，最终都要回归到一个平衡的状态。
这种平衡在我们的生活中也很重要。
就像一盘菜，调料、主料、辅料，每样东西都得有适量，才能做出美味佳肴。
否则，光放盐可不行啊，得有个搭配，才能味道更佳。
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由于角顶点位置的改变，或角绕顶点旋转会产生各 种各样的变式，但万变不离其宗： 都是构造相似三角形列比例式解决问题.
常见类型
考题赏析：
考题赏析
应用举例
应用举例.
2、当等角所对的边相等时的两个三角形全等. 如图，当CE=ED时，易得△AEC≌△BDE.
3、“中点型一线三等角”的特殊性质
如图，当∠1=∠2=∠3且D是BC中点时， △BDE∽△CFD∽△DFE.
四、一线三等角的常见构图（以等腰三角形为例）
A与E重合时如图所示
也可以在射线上
点D也可以在线段 BC外面
练习中的问题：
相似专题复习 ：
合肥实验学校 孙红涛
引例
已知相邻两条平行线间距离相等，若等腰直角三角形顶 点分别在三条平行线上，则sinα =
C
a
B
起源
二、“一线三等角”的两种基本类型
1.三等角都在直线的同侧
2.三等角分居直线的两侧
三、“一线三等角”的性质
1.一般情况下，由∠1=∠2=∠3易得△AEC∽△BDE.