变化率导学案
人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题
1. 1.1变化率问题课前预习学案。
知道平均变化率的定义。
，课本中的问题1,2预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水h与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案1.学习目标理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;.会求函数在某点处附近的平均变化率3.学习重点： .平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率学习难点： .平均变化率的概念学习过程一：问题提出率问题：1气球膨胀问题dmrVL__________. 之间的函数关系是)(气球的体积单位(单位::)与半径 ___________.,那么r表示为体积V的函数如果将半径___________. 气球半径增加了增加到1时,⑴当V从0___________.气球的平均膨胀率为___________. 气球半径增加了增加到2时,⑵当V从1___________.气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．VV? 气球的平均膨胀率是多少时,思考：当空气容量从增加到h 21___________.问题2 高台跳水问题：）与起跳后的h（单位：m在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：s）存在怎样的函数关系？时间t mh与起跳后的时)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度单位：(st___________.间）存在函数关系（单位：1.82，.5，1≤t≤）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０ot.≤2≤t2.2，时间段里的平均速度≤t≤2，v2?.51?t0?t?0的平均速度思考计算：和5.?00?t在__________.；这段时间里，_2t?1?___________. 这段时间里，在65?t0?：计算运动员在探究这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65)0?hh(()2thtt+10+6.5，探究过程：如图是函数(的图像，结合图形可知，)= -4.94965??t0)/m0(s但实际情况是___________.所以虽然运动员在这段时间里的平均速度为，49运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 1）计算和思考，展开讨论；（.）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上（2）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运3（②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；动状态.:二平均变化率概念)xf)?(xf(12xxxf的平均变化．1上述问题中的变化率可用式子)从到, 表示称为函数 (21x?x12．率?x?x?x?f?f(x)?f(x)?x x的一个“增量”可用 (．若设这里看作是对于, 211122?f??y?f(x)?f(x)x?xx) ,代替+同样2112?y?f??___________. 则平均变化率为3．?x?xfx)的图象( 思考：观察函数?f)f(xf(x)?12?? 表示什么平均变化率x?xx?12（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x-x；②求函数的增量Δf=f(x)-f(x)；③求平1122f(x)?f(x)?f12?. 均变化率?xx?x12注意：①Δx是一个整体符，而不是Δ与x相乘；②x= x+Δx；12③Δf=Δy=y-y；12三．典例分析2xx??)?2?1,A(xf点)=近一及象的(图上的一点1例．已知函数临?y?)?y?x,?2?B(?1?． ,则?x解：2x?xx?y附近的平均变化率。
人民教育A版选修1-1 3.1.1 变化率问题导学案
§3.1.1《变化率问题》导学案制作人 莫莉 审核 高二数学组 2016.02.26【学习目标】1.了解函数平均变化率的概念． 2．掌握函数平均变化率的求法．【预习导航】思考题:1.气球的半径从()1v r 增加到()2v r 气球的平均膨胀率应怎样求？2.高台跳水运动员的高度从()1t h 变化到()2t h 时，他的平均速度为多少？（结合物理知识）3.从刹车开始1t t =到汽车停止2t t =，汽车平均减速【预习效果监测】1．已知函数()12+==x x f y ，则当1.0,2=∆=x x 时，y ∆的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.442.某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x 2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－63．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )A ．0.41B ．2C ．0.3D ．0.24．一物体的运动方程是 23t s +=，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.15.若函数()132+=x x f 的图像上一点()11，及邻近一点()y x ∆+∆+1,1，则xy∆∆等于（ ）A. 4B. 4xC. 6+3x ∆D. 4+2()2x ∆【探究活动一】：1.已知函数y ＝f (x )，令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则当Δx ≠0时， 比值ΔyΔx＝____________，为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率. 2．我们知道，非匀速直线运动的物体，位移s 与所经过的时间t 的规律是s ＝s (t )，设Δt 为时间改变量，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移()()00t s t t s s -∆+=∆，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比，就是这段时间的平均速度v ，即【探究活动二】通过探究，讨论平均变化率的几何意义观察函数()y f x =的图象，平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-表示什么？【课后巩固练习】1．已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( )A ．1B ．2 C.13D ．322.在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中．平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①3．一质点运动的方程为235t s -= ，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应的平均速度为( )A ． 63+∆tB ． 63+∆-tC ． 63-∆tD ． 63-∆-t4．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是________．5． 物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．【总结概括】【课后作业】求函数()2x x f =在=x 1，2，3附近的平均变化率，取x ∆都为31，在哪一点附近平均变化率最大？21()()y f x f x =-1x 2x 1()f x 2()f x xy21x x -()y f x =。
变化率与导数导学案
④ =_________________________________
特别地，当 时，有
试一试：
求下列函数的导数（完成目标1）
（1）、 （2）、
（3）、 （4）、
【课堂探究】
题型一：利用公式直接求导
例一：求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
针对训练：
（1） （2） （3）
题型二：利用导数四则运算求导
预习课本12页至15页：
1、求以下函数的导函数。
（1） (c是常数)；（2） ；
（3） ；（4） ；（5）
由（2）到（5）归纳 的导函数。（完成目标2）
函数
导函数
函数
导函数
(c是常数)
( 为实数)
(a>0,a≠1)
(a>0,a≠1)
2、常见函数的导数公式
3、导函数的四则法则
①
② _________________________________
【课后作业】
1、课本P18练习2、（1）（2）（3）（4）；
习题4、（1）（2）（3）
2、活页《课时作业》
高二数学（理科）
变化率与导数编写人：
课题
1.2导数的计算（第一课时）
教学
目标
1、熟记公式，能熟练运用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会归纳思想在数学研究中的应用，进一步发展学生的思维能力。
重点
难点
重点：利用导数公式及四则运算求简单函数的导数。
难点：对导函数概念的理解；导数公式的记忆和运用
【自主预习】
例二：求下列函数的导数
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
总结：
1.1 变化率与导数学案三份
1.1 变化率与导数 §1.1.1 变化率问题1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程． 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；一、新课导学（预习教材P 2~ P 3，找出疑惑之处）探究任务一：问题1：气球膨胀，求平均膨胀率气球的体积V （单位：L ）与半径r （单位：dm ）之间的函数关系是334)(r r V π=，则当体积从0L 增加到1L 时，与从1L 增加到2L 时的平均膨胀率分别是多少．问题2：高台跳水，求平均速度高台跳水中，运动员相对于水面的高度H （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）之间的函数关系是105.69.4)(2++-=t t t H ，则在5.00≤≤t 与21≤≤t 两个时间段里平均速度是多少？新知：平均变化率设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上 另取一点2x ，2x 与1x 的差记为x ∆，即x ∆= ，x∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ； 则比值yx∆∆= 就称为平均变化率．．．．．．※注：(1) 平均变化率就是 的增量与 的增量的比值．(2) x∆是一个整体符号，不是△与x 相乘．※ 典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率．变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y x∆∆=例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]小结：※ 动手试试练1． 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．练2． 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率．小结：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升※ 学习小结1．函数y =()f x 的平均变化率是2．求函数y =()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 ；（2）计算平均变化率 ．※ 知识拓展：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．T(月)639 123．6．8．1．在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ∆满足（ ）A ． x ∆>0B ． x ∆<0C ． x ∆0≠D ． x ∆=0 2．函数21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 3．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆- 4．已知函数12+=x y 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy ∆∆等于（ ）A ． 2B ． 2xC ． x ∆+2D ． 2+2)(x ∆ 5．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +∆ B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆6．已知212s gt=，从3s 到3.1s 的平均速度是 ．7．函数223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是 ．8． 已知函数42)(2-=x x f 的图像上一点(1，-2)及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+，则xy ∆∆=______．9．如果一个质点在时间t 的位移函数是3)(3+==t t f y ，当01.041=∆=t t 且时， （1）求y ∆； （2）求ty ∆∆．10．一运动物体的位移s 与时间t 的关系是23t t s -=．（1）求此物体的初速度； （2）求0=t 到2=t 的平均速度．11． 水经过吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率．12．已知函数)1(||)(x x x f +=，求xf x f ∆-∆)0()(．§1.1.2 导数的概念1．掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；一、课前准备（预习教材P 4~ P 5，找出疑惑之处） 复习：平均变化率设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上 另取一点2x ，2x 与1x 的差记为x ∆，即x ∆= ，x∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ； 则比值y x∆∆= 就称为平均变化率．．．．．． 二、新课导学探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是 ． 新知1——瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度．探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的 ．新知2——导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x f xx∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数．．，记作0()f x '或0|x x y ='． 即 000()()()l i mx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在．(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0，可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0． (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率．(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度．小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球体积V 关于半径r 的导数就是气球的瞬时膨胀率．※ 典型例题例1 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s )．(1)当t =2，Δt =0．01时，求ts ∆∆；(2)当t =2，Δt =0．001时，求ts ∆∆；(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度．例2 已知函数2()715(08)f x x x x =-+≤≤．求)2(f '、)6(f '，并说明其意义．小结：利用导数的定义求导的步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y xx+∆∆=∆∆；第三步：取极限得导数00()limx y f x x∆→∆'=∆．※ 动手试试练1． 若23)()(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)(0x f '= ．练2． 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度1． 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0limt s t∆→∆∆为（ ）A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；C ．当时间为t ∆时物体的速度；D ．从时间t 到t t +∆2． 2y x =在 x =1处的导数为（ ）A ．2xB ．2C ．2x +∆D ．1 3．设4)(+=ax x f ，且2)1(='f ，则a 等于（ ）A ．2B ．-2C ．3D ．-3 4． 在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 5． 给出下列结论：①函数122-=x y 在3=x 处的导数为11；②一个做直线运动的物体从时间t到t t ∆+时，物体的位移为s ∆，则ts t ∆∆→∆0lim表示时间t 时该物体的瞬时速度；③物体做直线运动时，它的运动规律可用函数)(t v v =表示，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，则该物体在t 时刻的加速度为tt v t t v t ∆-∆+→∆)()(lim．其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6． 如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 ． 7． 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f x k→--等于 ．8． 函数x x f =)(，若21)(0/=x f ，则0x 等于 ．9． 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m)，求运动员在1t s =时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．10． 一质量为3kg 的物体作直线运动，设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U m v=． 求物体开始运动后第5s 时的动能．11．若2)(0-='x f ，求hh x f h x f h )()(lim000--+→的值．§1.1.3 导数的几何意义通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用一、课前准备（预习教材P 6~ P 7，找出疑惑之处）复习1：曲线上两点11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，则斜率y k x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，则平均变化率为 ；如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．．．．．．即当x ∆ 时， →l ． 函数()f x 在=x 0x 处的瞬时变化率．．．．．叫做函数()f x 在=x 0x 处的 ，记作 ． 二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着 曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的 变化趋是什么？新知1：当割线P n P 无限地趋近于某一极限 位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于 切线PT 的斜率．因此，函数()f x 在0x x = 处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆．新知2：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率．即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象．根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况．小结：例2 求双曲线1y x=在点1(,2)2处的切线的斜率，并写出切线方程．变式：函数y =-2x 2+x 在x =2处的切线的斜率是 ．例3 求与曲线y=x 2相切且平行于直线y=4x-5的直线方程，并求出切点坐标．变式：求在曲线y=x 2上过哪一点的切线垂直于直线2x-6y+5=0．※ 知识拓展——导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度．即000()limx t y v f x x∆→∆'==∆．而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()limt v v t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度．1． 已知曲线22y x =上一点，则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ）A ． 4B ． 16C ． 8D ． 2 2． 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+ 3．已知函数)(x f 的图像是点（0,0）和（1,0）上的一段圆弧（如图）， 若1021<<<x x ，则（ ） A ．2211)()(x x f x x f < B ．2211)()(x x f x x f =C ．2211)()(x x f x x f > D ．无法确定4．设)(x f 为可导函数，且12)21()1(lim 0-=∆∆--→∆xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为（ ）A ． 2B ． -1C ． 1D ． -2 5．函数23x x y -=在1=x 处的切线斜率是_________________.6．若曲线p x x y +-=422与直线1=y 相切，则p =_________________. 7．曲线x x y 42-=的经过点（1，3）的切线方程是 . 8．已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f M 处的切线方程是221+=x y ，则)1()1(f f '+=_________.9．已知曲线C ：y=x 3，求曲线C 上1=x 处的切线方程.10．已知函数122+=ax y 过点)3,(a P ，求该曲线在点P 处的切线方程11．已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点（1,0）处的切线，直线2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥．求：（1）直线2l 的方程；（2）由直线1l ，2l 和x 轴围成的三角形的面积．。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念
1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念（结合配套课件、作业使用，效果更佳）周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. `3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ (1)物体在 的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx【合作探究】类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．跟踪训练1 (1)如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．类型二 求平均速度与瞬时速度例2 若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数例3 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx＝a ，则f ′(x 0)＝________.(2)利用导数的定义求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41D ．32．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝li m Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)24．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．5．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.【小结作业】小结：作业：对应限时练。
选修2-2导学案：变化率问题与导数 平均变化率
新源县第二中学
主备：万银环：
编号：1
（第二课时）导数的几何意义
教学目标： 1、感受曲线上某点切线斜率的实际背景，经历运用数学探索、描述和刻画 现实世界的过程．体验数学中的极限思想。 2、 理解曲线上某点切线斜率的几何与代数意义， 掌握求曲线的切线的方法。 教学重点：掌握求曲线的切线斜率的方法。 教学难点：理解曲线上某点切线斜率的几何与代数意义。 教学过程 一、问题引入 问题 1：平均变化率几何意义：曲线上两点连线的斜率就是两点间的平均 变化率。 问题 2：如何精确刻画曲线上某一点处的变化趋势？（以直代曲的思想） 二：新课讲解 1：导数的几何意义 （1）切线
f ( x x) f ( x) f ( x x) f ( x) ( x x) x x
f ( x x ) f ( x ) 无限趋近于 x
当 Q 沿曲线无限接近于 P 时，即 x 0 ，
P( x, f ( x)) 处的切线的斜率。
3、导数：函数 y f ( x) 在区间 ( a, b) 上有定义， x0 (a, b) ,若 x 0 ， 比值
新源县第二中学
主备：标： 1、 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中， 经历运用数学描述和刻画现 实世界的过程，体会数学的博大及学习数学的意义。 2、理解平均变化率的意义。 3：理解瞬时变化率 ----导数的定义 4：会求平均变化率和求函数在某一点处的导数 教学重点：平均变化率的实际意义与数学意义。求平均变化率和求函数在 某一点处的导数 教学难点。对导数概念的理解 教学过程 一、问题情境 问题 1：气球膨胀率 （见课本） 问题 2： 。高台跳水（见课本） 二、函数的变化率 1：平均变化率 定义： 一般地， 函数 f ( x ) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(导学案)
5.1.1变化率问题 导学案1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝ ＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2－f x 1x 2－x 1；f x 1＋Δx －f x 1Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx＝ . 某一时刻； lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x－f x0x－x0＝f x0＋Δx－f x0Δx为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y ＝f (x)在x0处的____的斜率即k＝.斜率；切线；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0．(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx．2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f (x0＋Δx)B．f (x0)＋ΔxC．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是()A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1一、学习导引在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。
完整版变化率问题与导数的概念导学案
第1课时 变化率问题与导数的概念a 课得学□目标1. 通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念2. 掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤3.通过构建导数概念，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验 •4. 通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的 重要过程.・iJLil ML It*从it 申豊代 知识徉系梳理借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人 10米跳台冠军的视频•上节课我们已经学习了平均变化率的问题 ，我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态，而运动员在不同时刻的运动状态是不同的，我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画，那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢？问题1:根据以上情境，设陈若琳相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间t (单 位:s)存在函数关系 h (t )=-4. 9t 2+6. 5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动 状态，那么：(1)在O W t <0.5这段时间里，运动员的平均速度v =(2)在1< t <2这段时间里，运动员的平均速度■-= ______________________ .问题2:函数y=f (x )从X 1到X 2的平均变化率公式是 _________________ .如果用X 1与增量△ x 表示，平均变化率的公式是 ______________ .问题3:函数f (x )在x=x o 处的瞬时变化率的定义：一般地，函数y=f (x )在x=x o 处的瞬时变第一章导数及其应用匕知识记忆与理解-化率是 =,我们称它为函数y=f (x )在x=x o 处的导数，记作f (x o )或y ,Ar —HIJ E J T -*Dir二殆即 f'（X o ）=二鶴 ~ .问题4:在导数的定义中,对△ X T 0的理解是：△ x>0, △ x<0,但_____________ .如哄鬥削也，旳氧覃盘化基础学习交流__ 21. 已知函数 y=f (x ) =x +1,当 x=2, △ x=0.1 时，△ y 的值为().A 0.40B . 0.41C0. 43D 0. 442. 设函数 f (x )在点x o 附近有定义，且有f (x o +A x ) -f (x 0)=a A x+b ( △ x ) (a , b 为常数),则 ( ).Af (x ) =a Bf (x ) =b C.f (x °)=a D.f' (x °)=b3. ____________________________________________________ 一质点按规律s ( t ) =2t 2运动,则在t= 2时的瞬时速度为 _______________________________________ .4. 求y=2x +4x 在点x=3处的导数.£点难点探究««-求平均变化率_ 2 _____________________________________________________________________(1)已知函数f (x )=-x +x 的图象上的一点A (-1, -2)及附近一点 耳-1 + A x , - 2+A y ),则(2)求y=x 2在x=X 0附近的平均变化率求物体运动的瞬时速度若一物体运动方程为s =：爲4^(思维探究与创新-早学色*視不讲求此物体在t= 1和t= 4时的速度.导数定义的应用 已知f (x °)=2,求.A —D上才港it 为您■削力鼻律牝，思维拓展应用GD"函数y=5x 2+6在区间［2,2 +△ x ］内的平均变化率为 _____ .5閉二质点M 按规律s (t )=at 2+1作直线运动(位移单位：m,时间单位：s),若质点M 在t=2 s 时 的瞬时速度为8 m/s,求常数a 的值.1. 自变量x 从X 0变到X i 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )•A 在区间［x o , x i ］上的平均变化率B.在x o 处的变化率 C 在x i 处的变化量D 在区间［X o , x i ］上的导数 2.函数f (x )=x 2在x o 到x o +A x 之间的平均变化率为 k i ,在x o - △ x 到x o 之间的平均变化率为 k 2,则k i , k 2的大小关系是( ).Ak i >k 2B k i =k 2C k i <k 2D 无法确定3. (i)设函数y=f (x ),当 兰自变量x由x o 变化到x o +A x 时，函数值的改变量A y为⑵设函数 y=f (x ) =3x 2,则A y=f (i +A x )-f (i)= 5/U'區甕=,f'(i)=.4.已知自由下落物体的运动方程是 s= gt 2( s 的单位是m,t 的单位是s),求:(1) 物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均速度； (2) 物体在t o 时的瞬时速度；⑶物体在t o =2 s 到t i =2. i s 这段时间内的平均速度； ⑷ 物体在t=2 s 时的瞬时速度.全新视角拓展__3求函数f (x ) =x +2x+i 在x o =i 处的导数f (i).3已 知 f (x )=x-8x ,贝U 殳也|ide考题变式（我来改编）:思维导图构建求雷嫂值的塔蜃g 松1出臥）廝歌的甲却变牝牢—1一求学数歩■卜十平购变化卓®严宀加愛連运成的n 时產鹰」A A K导 珀dm 牡fJU —2学习体验廿拿第一章导数及其应用第1课时 变化率问题与导数的概念知识体系梳理问题 1:(1)；：'九=4. 05 m/s (2)：；T ；「'=-8.2 m/s士如［讥％JHr—卄一...."卄蚯矶吋冋题3： \ —: ----------- 问题4: △ x 工0基础学习交流2 2第 E9S»总结评价与反思-昭学図■不址不1L问题1. B T x=2, △x=0.1,二△y=f(x+A x)-f (x)=f(2. 1)-f (2) =(2.1 +1)-(2 +1) =0.41.二物体在t= 1和t=4时的瞬时速度分别是6和6.2. C 二=' =a+b A x , f' (x o)=b.；：：「=、i“(a+b A x )=a.2 2 23. 8 s (2 +A t )-s (2) =2(2 +A t ) -2X 2 =2( A t ) +8A t ,2 2 24.解:A y=2(3 + A x ) +4(3 +A x ) -(2 X 3 +4X 3) =2( A x ) +16A x , ]=2A x+16,=i (2 A x+16) =16,即 y'| X =3=16. 重点难点探究探究一：【解 析】2 2 2(1) v A y=f (-1+A x ) -f (-1)=-(-1 + A x ) +(- 1 + A x )-[-(-1) +(-1)] =-( A x ) +3 A x ,•[ =^£=- A x+3⑵ 因为 A y=(x o +A x )2-彳，所以壬= _=2x 0+ A x ,所以y=x 2在X =X O 附近的平均变化率为 2x 0+ A x.【小结】1.本题需利用平均变化率的定义来解决，但要注意A x 可正、可负、不可为零，A y 可正、可负、可为零 .2. 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量 A x 与函数值的增量 A y ,求平均变化率的主要步骤是：(1) 先计算函数值的改变量 A y=f (X" -f (x o ). (2) 再计算自变量的改变量 A X =X 1-X 。
§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案
§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案第一篇：§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案sx-14-(2-2)-015§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案编写：袁再华审核：沈瑞斌编写时间:2014.4.25班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿【学习目标】1.通过实例，了解变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想方法；3.在了解瞬时速度的基础上抽象出瞬时变化率，建立导数的概念,掌握用导数的定义求导数的一般方法.【学习重难点】重点：导数的概念。
难点：平均变化率、瞬时变化率的理解。
【知识链接】：请阅读本章导言【学习过程】：一、知识点一.变化率阅读教材 P2-3页内容，回答下列问题：问题1：在气球膨胀率问题中，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.(1)当V从0增加到1时,气球半径r增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.由以上可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系为h(t)=-4.9t+6.5t+10, 计算运动员在下列各时间段的平均速度v 2（1）在0≤t≤0.5这段时间里，=_______________________________（2）在1≤t≤2这段时间里，v=__________________二、知识点二.平均变化率概念问题1：函数f(x)从x1到x2的平均变化率用式子表示为。
变化率问题导学案
§1.1.1 变化率问题 使用时间： 2012-11-19编制人：文吉洪 审核人： 审批人：[使用说明及学法指导]1、先精神读一遍教材P 2～P 6，，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过20分钟；2、限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 完成所有题目，对于选做部分，BC 层可以不做；3找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4、必须记注的内容：平均变化率[学习目标]1. 知识与技能 平均变化率的概念;平均变化率的几何意义， 函数在某点处附近的平均变化率2. 过程与方法 理解平均变化率的概念; 会求函数在某点处附近的平均变化率3．能利用平均变化率解决生活中的实际问题.[课前预习]一、预习导学：问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是=)(r V 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么=)(V r分析: 343)(πV V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里,=v在21≤≤t 这段时间里,=v探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0()4965(h h =,所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.问题3：观察函数()y f x =的图像，平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-二、预习检测1、1．在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆≠D ．0x ∆=2．已知2()3f x x =-，当x 从1变化到1.1 时，f ∆等于( ）A ．0.021B ．0.21C ．0.12D ．0.13．已知函数25y x =+，则当1x =时，y x ∆=∆ 4．国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.右图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理的效率比效较高？为什么？[我的疑惑][课内探究]探究点一：[例1] 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy .)x[拓展提升] 已知函数2()35f x x x =-+，求函数()f x 从1到2的平均变化率.[小结]探究点二：[例2] 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.[C 层选做] 在自行车比赛中，运动员的位移s （单位：m ）与比赛的时间t （单位：s ）存在函数关系2105s t t =+.求20t =，0.1t ∆=，0.01t ∆=时的s ∆与s t∆∆.[BC 层选做] .过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线,求出当1.0=∆x 时割线的斜率.[ 小结 ][巩固练习]1、已知函数21y x =+，当x 从1变化到1x +∆时，则y x ∆∆等于（ ） A ．2 B ．2x C ．2x +∆ D ．22()x +∆2.函数225y x =+在区间[2,2]x +∆内的平均变化率是 .3.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .4.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.5.求函数2y x =从0x 到0x x +∆的平均变化率，并计算当01x =，12x ∆=时平均变化率的值.[我的收获]1、 知识方面2、 数学思想方法 我的感悟。
《111变更率与导数》导学案.doc
第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题学习目标1.庖受平扬变化率广泛存在于日常牛活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的廨人精深以及学习数学的意义；2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习过程—、课前准备(预习教材，找出疑惑之处)二、新课导学学习探究探究任务一:问题1:气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象？问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：/<X2)-/U.)= V试试：设y = f(x) , X］是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点勺，乃与x2的差记为Ax , 即~ ~Ar = ____________ 或者x2 = __________ , Ar就表示从禹到x2的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为3,即少u _________________ ；如果它们的比值型，则上式就表示为________________ ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是_____________ 的增量与__________________ 的增量的比值.典型例题例1过曲线y = f(x) = x\k两点P(l,l)和e(l + Ax,l + Ay)作曲线的割线,求出当Ar = 0.1时割线的斜率.变式：已知函数f(x) = -x2 +x的图象上一点(-1,-2)及邻近一点(-1 +Ar,-2 +Ay),则绥=Av例2已知函数/(%) = X2 ,分别计算/(力在下列区间上的平均变化率:(1)[1, 3]；(2)[1, 2]；(3)[1, 1.11；(4)[1, 1.001]小结：动手试试练1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分別计算从出生到第3个月与第6个刀到第12个刀该婴儿体重的平均变化率.练2.已知函数/(x) = 2x + l, g(x) = -2x,分别计算在区间［-3, -1］, ［0, 5］上/⑴及g⑴的平均变化率.(发现：y = kx + b在区间［m, n］上的平均变化率有什么特点？)三、总结提升学习小结1 •函数.f(x)的平均变化率是_______________________2.求函数于(兀)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增最 ________________________(2)计算平均变化率 ________________________知识拓展平均变化率是曲线陡們程度的“数量化"，曲线陡嵋程度是平均变化率“视觉化”.学习评价当堂检测(吋量：5分钟满分：10分)计分：1.y = 2x4-1在(1,2)内的平均变化率为( )A. 3B. 2C. 1D. 02.设函数y = f(x),当口变量兀由兀。
变化率与导数教学设计(共7篇)
变化率与导数教学设计（共7篇）第1篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备1. 教学目标知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具多媒体4. 标签变化率与导数教学过程课堂小结课后习题第2篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究 [1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
变化率导学案
《变化率问题》导学案【学习目标 】1． 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.【重点】：函数在某一点的平均变化率【难点】：准确求解函数的平均变化率 一、问题导学（预习教材P 2~ P 4，找出疑惑之处）问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?V （r ）=r(V)=当空气量从0L 增加到1L 时，气球半径增加了：气球的平均膨胀率为：当空气量从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为：当空气量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率为：问题2：高台跳水，求平均速度设运动员于水面的高度h 起跳后的时间t 存在的函数关系 h(t)= -4.9t 2+6.5t+10（1）当01t ≤≤时，v =（2）当02t ≤≤时，v =（3）研究P3探究问题问题3：平均变化率的概念 新知：平均变化率：2121()()f x f x y x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.思考：函数f(x) 在区间［x 1 ,x 2］上的平均变化率的几何意义是什么？二、小试牛刀：1． 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ） A －4 B －8 C 6 D －62． 2.将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ）A R R ∆π8B ()248R R R ∆+∆ππC ()244R R R ∆+∆ππD ()24R ∆π 三、合作、探究、展示：例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y x∆∆=例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1 ， 3]； （2）[1，2]；（3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]变式：. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.思考：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？四 、课后小结、反思、感悟、还有疑惑的问题1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）求自变量的增量（3）计算平均变化率五 、课后练习1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3.在区间[m ，n]上，下列函数的平均变化率为定值的是 （ ）A.y=x 2 B .y=x 3 C .y= lnx D.y=3x+44. 质点运动动规律 23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（）A ．6t +∆B ．96t t +∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆5.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_____ __6. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是___ _7. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？8.一运动物体的位移s与时间t的关系式s=3t-t2（1）求此物体在[0，2]这一段的平均速度。
3.1变化率导学案
3.1变化率与导数导学案【学习目标】1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.4.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念，。
【教学重、难点】重点：理解平均变化率及瞬时变化率的概念;会求函数在某点处附近的平均变化率.难点：体会由平均变化率到瞬时变化率的变化过程. 【预习案】1. 函数的平均变化率及其意义 （1）平均变化率__________________________称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率，简记作：y xD D 。
（2）几何意义平均变化率的几何意义是表示函数y=f(x)图象上割线AB 的______（其中A(x 1, f((x 1)),B(x 2, f(x 2))， 即AB k =________=1212)()(x x x f x f --。
（3）物理意义平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s=s(t)在时间段[t 1, t 2]上的______，即1212)()(t t t s t s v --=。
（4）作用平均变化率可以刻画 在 上变化的快慢。
平均速度可以刻画 在 的快慢。
2. 瞬时速度我们把物体在______的速度称为瞬时速度。
3. 瞬时变化率 （1）定义：一般地，函数()y f x =在自变量x 从0x 变到1x 时，设 ， ，则当 时，平均变化率 趋于函数()y f x =在x=x 0处的瞬时变化率。
（2）作用瞬时变化率可以刻画 在 变化的快慢。
【探究案】【例1】自由落体运动过程中，物体走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为221,9.82s gt g g m s ==其中为重力加速度（），计算物体t 从3 s 到3.1 s 时间段内的平均速度.【练1】自由落体运动过程中，物体走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系式为221,9.82s gt g g m s ==其中为重力加速度（），计算物体t= 3s 时的瞬时速度. 【解】【例2】求y=2x 2＋1在x 0到x 0＋△x 之间的平均变化率。
3.1变化率与导学案卢
3.1.1变化率问题学习目标：理解平均变化率，会求函数平均变化率. 预习：1.如何求球体的体积？2.如何计算物体运动的平均速度？ 探究（一）平均变化率问题1：有关气球膨胀率思考1.当气球的体积增加1L 时，气球半径半径的变化情.思考2.当气球的容量V 1增加到V 2时，气球的半径增大的幅度是如何变化的？气球的平均膨胀率是多少?问题2：有关高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.思考1：计算运动员在5.00≤≤t 和21≤≤t 时的平均速度v ，并粗略地描述其运动状态?思考2：计算49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？ ⑵ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？一、平均变化率1.定义：把上述问题进行推广，对于函数()y f x =式子 来表示对于函数()y f x =，我们把 称为()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.若设2121-, ()-()x x x y f x f x == ，平均变化率表示为()()2121f x f x y x x x -=- . 2.思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?探究二：计算平均变化率例1． 质点运动规律为32+=t s ，则在时间3s 到5s 中相应的平均速度.计算平均变化率的步骤：【当堂检测】1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy．2.求2x y =在0x x =附近的平均变化率.3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.4.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.3.1.2导数的概念学习目标：1.通过实例的分析经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程2. 2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； 探究：问题：第一课时的学习我们认识到：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；动手尝试：求高台跳水运动员在2秒时的瞬时速度思考1：跳水运动员在2秒时的瞬时速度与其平均速度之间有何关系？如何用符号表示？跳水运动员在0t t =的瞬时速度如何表示？思考2：瞬时变化率与平均变化率的关系是怎样的？函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？二、导数的概念1.函数()x f y =在0x x =处的瞬时变率是 ；我们称它为函数()x f y =在0x x =处的 ，记作即()0'x f =xx f x x f x fx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000。
高中数学 1.11变化率问题导学案 新人教A版选修2-2
1．1.1变化率问题【学习目标】理解平均变化率的概念, 会用平均变化率公式来求某一区间上的平均变化率 【重点难点】在实际背景下，借助函数图像直观的理解平均变化率 一、自主学习要点1 平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为ΔyΔx＝ .要点2 求函数y ＝f (x )在点x 0附近的平均变化率的步骤(1)求函数自变量的改变量Δx ＝x －x 0； (2)求函数的增量Δy ＝ ；(3)求平均变化率ΔyΔx＝ .要点3 平均变化率的几何意义表示函数y ＝f (x )图像上割线P 1P 2的斜率(其中P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，即 .要点4 平均变化率的物理意义看成时间t 的函数s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即 .二、合作，探究，展示，点评 题型一 平均变化率例1 求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？思考题1 求函数f (x )＝x 3在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．题型二 平均速度例2 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．思考题2 一质点作直线运动其位移s 与时间t 的关系s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．题型三 曲线的割线的斜率例3 过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．思考题3 已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)、B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________． 三、知识小结关于平均变化率应注意以下几点：(1)Δx 、Δy 可以是正值也可以是负值，Δy 可以为零，但是Δx 不可以为零．(2)在求函数的平均变化率时，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．(3)平均变化率的几何意义：观察函数f (x )的图像(如左图)，我们可以发现x 2－x 1＝AC ，f (x 2)－f (x 1)＝BC ，所以平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示的是直线AB 的斜率．《变化率问题》课时作业 一、选择题1．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )22．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( ) A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt 3．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)4．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx等于 ( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )25．某质点沿直线运动的方程为y ＝－2t 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 6．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.97．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( ) A ．④B ．③C ．②D ．①8．已知y ＝14x 2和其上一点P (1，14)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则Q 的坐标为( )A ．(1＋Δx ，14(Δx )2)B ．(Δx ，14(Δx )2)C ．(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2)D ．(Δx ，14(1＋Δx )2)二、填空题9．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积增加量ΔS 等于________．10．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]上相应的平均速度v 与Δt 满足的关系式为________．11．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，则自运动始到4 s 时，物体的平均速度为________． 12．已知函数f (x )＝1x，则此函数在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为________．13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为_______． 三、解答题14.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？15.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．16．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．17．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.。
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《变化率问题》学案
编写人：刘艳霞 审核人：张亚飞 时间：2013-12-5
学习目标
1.通过两个实例，总结出平均变化率的定义；
2.会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.
情景创设
很多人都吹过气球，在吹气球的时候，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学的角度，如何描述这种现象呢？这就是这节课研究的问题.
问题导学
一、气球膨胀率
1.气球的体积V 与半径r 之间的函数关系是什么？
2.请分别计算V 从0增加到1L 时，从1L 增加到2L 的平均膨胀率 .
3. 随着气球体积的增大，当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量变大还是变小？
4.当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？
二、高台跳水平均速度
1.如何计算运动员的平均速度？
2.如果用运动员在某时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态，分别计算5.00≤≤t ，21≤≤t ，2.22≤≤t 时间段里的平均速度.
3. 计算运动员在49
650≤
≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
三、平均变化率:上述两个问题中的函数关系用)(x f y =表示，那么问题中的变化率可用式子 ________________表示.把这个式子称为_________________________________习惯用_____表示12x x -，即__________，用y ∆表示__________，所以平均变化率可以
表示为_____________
问题探究
1. 结合74页思考和图3.1--1，平均变化率x
y ∆∆的含义是什么？用自然语言叙述. 2. 运用平均变化率能准确地描述研究对象的变化状态吗？请举例说明.
课堂训练
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2. 已知212
s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
3.设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）
A ．0()f x x +∆
B ．0()f x x +∆
C ．0()f x x ∆
D ．00()()f x x f x +∆-
4. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +∆
B ．96t t +∆+∆
C ．3t +∆
D ．9t +∆ 5.已知函数22)(x x f =的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求x
y ∆∆； 6.在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
我的问题
自主小结
选做题
函数2x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率为1k ，在x x ∆-0到0x 之间的平均变化率为2k ，则（ ）
A.21k k >
B. 21k k <
C. 21k k =
D. 21k k 与大小关系不确定。