1.1.1变化率问题学案

1.1.1变化率问题学案
【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。

【学习重点】通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；
1. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 【学习难点】平均变化率的概念．
【自学点拨】
一．阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ 二、问题提出
问题1气球膨胀率问题：
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.
如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________. ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________. 气球的平均膨胀率为___________.
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________. 问题2 高台跳水问题：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度. 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49
650≤
≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65(h h =，
所以___________.， 虽然运动员在49
650≤
≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运
动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）计算和思考，展开讨论；
（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
（3
）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的
运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 1
212)
()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变
化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用
x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为
=∆∆=∆∆x
f x
y ___________.
思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x
f 1
212)
()(x x x f x f --表示什么?
（1） 一起讨论、分析，得出结果；
（2）
计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量
x=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)化率
f x
∆=
∆注意：①Δ与x 相乘； ②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1；
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y ．
解：
例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
3.过曲线y =f (x )=x 3
上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
六．补充实例
例１ 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
七．作业
①看书，复习今天内容；②思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什么量？③预习下节内容.
温度T (℃d ）。