人教版高中数学高二 变化率问题 名师导学案
5.1.1变化率问题教学设计2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5.1.1变化率问题（高中数学（人教A版（2019）选择性必修二）第五章一元函数的导数及其应用一、内容和内容解析1．内容平均变化率及其求法2．内容解析本节内容通过分析研究2018年天猫双十一成交额在单位时间内增长快慢问题、运动员跑步问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：函数平均变化率的概念。
二、目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。
1．目标（1）理解平均变化率的概念及内涵；（2）掌握求平均变化率的一般步骤及几何意义.2．目标解析达成目标（1）的标志是：经历从生活中变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.达成目标（2）的标志是：通过例题的解析，让学生归纳求平均变化率的一般步骤，从而进一步理解平均变化率的概念，通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想.三、教学问题诊断分析天猫双十一购物狂欢节是每年很多人的生活体验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。
从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象共同的数学问题的本质是本节课的教学关键.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念.四、教学过程设计1．观察实例归纳出函数平均变化率的概念问题情景1先从学生比较熟悉的天猫双十一购物狂欢节，在不同时段内成交额快慢的视频引入课题。
高中数学选修2-2人教A教案导学案1.1.1变化率问题教案
§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
高中数学3.1变化率与导数导学案
§3.1 变化率与导数导学案编号：1.3.1 编制人：陈洪平 二次备课人： 备课组组长：白银仓 年级组长：钟青波 上课时间： 班级： 学习小组： 学生姓名： 教师评价： 二次备课时间：一、学习目标：1理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 2.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；3会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．4.通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数.二、重点难点：1、用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度2、理解导数的概念并会运用概念求导数三、使用说明及学法指导：（读教材P72~ P78，找出疑惑之处）完成下列问题：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率：吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆1、设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆存在，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.2、 物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做 .瞬时速度是平均速度ts ∆∆当t ∆趋近于0时的3、导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为 ，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的 .4、当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C在点P 处的 割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k =5函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k = 四、自学提纲任务1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=任务2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]；五、课堂讨论及展示 课堂学生活动组织： 复备批注探究1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.探究2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度探究3 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)六、学习小结：1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 3、利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()limx yf x x∆→∆'=∆.4函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k = 其切线方程为七．当堂检测：1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.3.56.58.6 11 W(kg)2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.3. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．04. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-5. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆6.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是___ ____7. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是__ __8. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 9. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．110 在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 11、.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 12、. 若0()2f x '=-，则0001[]()2limk f x k f x k→--等于13. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 214. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ． 47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+15. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关16. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为17. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆=八：课外作业：课本79页习题3.1A组1、2、3、4、5、6 B组1、2 九：课后反思：。
人教版高中数学全套教案导学案111变化率问题
1. 1.1变化率问题课前预习学案。
知道平均变化率的定义。
，课本中的问题1,2预习目标：“变化率问题”预习内容：气球膨胀率问题1气球,,随着气球内空气容量的增加我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,如何描述这种现象呢？的半径增加越来越慢.从数学角度43?r?r)V(dmVL r)气球的体积:(单位:之间的函数关系是)与半径(单位33V?)r(V V r,如果将半径那么表示为体积的函数3?4在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________当空气容量从V增加到V时,气球的平均膨胀率为_____________21问题2 高台跳水h与起跳后)单位：m在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(2如何用运动+10. +6.5-4.9tt的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=v? 粗略地描述其运动状态员在某些时间段内的平均速度v5t.?00?=_________________ 这段时间里，在v2?t?1=_________________ 这段时间里，在ot问题3 平均变化率????xffxx到从已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数1x?xx看做是相表示=___________,可把，即习惯上用___________.x??x?x122x?xx__________________,代替对于类似有的一个“增量”，可用，?x)?f(x?211_______________________于是，平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案1.学习目标理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;.会求函数在某点处附近的平均变化率3.学习重点： .平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率学习难点： .平均变化率的概念学习过程一：问题提出率问题：1气球膨胀问题dmrVL__________. 之间的函数关系是)(气球的体积单位(单位::)与半径 ___________.,那么r表示为体积V的函数如果将半径___________. 气球半径增加了增加到1时,⑴当V从0___________.气球的平均膨胀率为___________. 气球半径增加了增加到2时,⑵当V从1___________.气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．VV? 气球的平均膨胀率是多少时,思考：当空气容量从增加到h 21___________.问题2 高台跳水问题：）与起跳后的h（单位：m在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度（单位：s）存在怎样的函数关系？时间t mh与起跳后的时)在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度单位：(st___________.间）存在函数关系（单位：1.82，.5，1≤t≤）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０ot.≤2≤t2.2，时间段里的平均速度≤t≤2，v2?.51?t0?t?0的平均速度思考计算：和5.?00?t在__________.；这段时间里，_2t?1?___________. 这段时间里，在65?t0?：计算运动员在探究这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65)0?hh(()2thtt+10+6.5，探究过程：如图是函数(的图像，结合图形可知，)= -4.94965??t0)/m0(s但实际情况是___________.所以虽然运动员在这段时间里的平均速度为，49运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 1）计算和思考，展开讨论；（.）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上（2）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运3（②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；动状态.:二平均变化率概念)xf)?(xf(12xxxf的平均变化．1上述问题中的变化率可用式子)从到, 表示称为函数 (21x?x12．率?x?x?x?f?f(x)?f(x)?x x的一个“增量”可用 (．若设这里看作是对于, 211122?f??y?f(x)?f(x)x?xx) ,代替+同样2112?y?f??___________. 则平均变化率为3．?x?xfx)的图象( 思考：观察函数?f)f(xf(x)?12?? 表示什么平均变化率x?xx?12（1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x-x；②求函数的增量Δf=f(x)-f(x)；③求平1122f(x)?f(x)?f12?. 均变化率?xx?x12注意：①Δx是一个整体符，而不是Δ与x相乘；②x= x+Δx；12③Δf=Δy=y-y；12三．典例分析2xx??)?2?1,A(xf点)=近一及象的(图上的一点1例．已知函数临?y?)?y?x,?2?B(?1?． ,则?x解：2x?xx?y附近的平均变化率。
5.1.1变化率问题教学设计2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题（第1课时）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册主备人备课成员课程基本信息1. 课程名称：变化率问题2. 教学年级和班级：2023-2024学年高二（1）班3. 授课时间：2023年9月15日，上午第2节4. 教学时数：45分钟5. 教材版本：人教A版（2019）选择性必修第二册教学目标1. 理解变化率的定义，能够描述变化率的概念。
例如，在研究物体运动速度时，变化率可以表示物体位置的变化与时间变化的比值。
通过实例，让学生理解变化率是描述变量变化快慢的量，它反映了变量变化的绝对量与变化所用时间的比值。
2. 能够运用变化率的定义，解决实际问题。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念计算物体在某一时间段内的平均速度。
通过实际问题，让学生掌握变化率在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。
3. 能够运用变化率的概念，分析实际问题中的变化规律。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念分析物体在不同时间段内的速度变化规律。
通过实际问题，让学生学会运用变化率的概念分析实际问题中的变化规律，提高学生的分析能力。
4. 能够理解变化率的性质，如变化率的大小与自变量和因变量的变化方向的关系。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念分析物体在不同时间段内的速度变化规律。
通过实际问题，让学生理解变化率的大小与自变量和因变量的变化方向的关系，提高学生的理解能力。
5. 能够运用变化率的概念，解决实际问题中的优化问题。
例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念求解物体在某一时间段内的最快速度。
通过实际问题，让学生掌握变化率在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。
学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识。
在学习变化率这一节之前，学生已经学习了函数的概念和性质，包括函数的定义、图像、单调性等。
此外，学生还学习了极限的概念，这为理解变化率提供了基础。
人教A版选修2-2 变化率问题及导数的概念导学案 .docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作变化率问题及导数的概念导学案一、 学习目标：1. 会说出平均变化率的概念和几何意义、物理意义；2. 会求函数在某点处附近的平均变化率；3. 了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念。
二、掌握以下概念和原理： 问题1 气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.（1）当V 从0增加到1时,气球半径增加了__________.气球的平均膨胀率为___________. （2）当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________. 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?___________. 问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里，________.；在21≤≤t 这段时间里，_________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态； 问题3 平均变化率已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x ______.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=__________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f _________,于是，平均变化率可以表示为_____________思考：观察函数f (x )的图象说出平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? 总结计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x fx x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y 2-y 1； 问题4 瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为________。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 变化率问题 导数的概念
1.1．1 变化率问题 1．1.2 导数的概念（结合配套课件、作业使用，效果更佳）周；使用时间16 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. `3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 重点：会利用导数的定义求函数在某点处的导数 难点：会求函数在某一点附近的平均变化率【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答. 【自主学习】知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质： 的增量与 增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示割线P 1P 2的知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？ (1)物体在 的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 导数的概念函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx【合作探究】类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．跟踪训练1 (1)如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2(2)过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．类型二 求平均速度与瞬时速度例2 若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， t ≥3，29＋3(t －3)2， 0≤t <3. 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三 求函数在某一点处的导数例3 (1)设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且li m Δx →0f (x 0－3Δx )－f (x 0)Δx＝a ，则f ′(x 0)＝________.(2)利用导数的定义求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41D ．32．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝li m Δt →0 s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)24．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．5．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.【小结作业】小结：作业：对应限时练。
人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 1-1 变化率问题
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思是：随着气球体积的增大，当气球体积_____________时，相应半径的_______越来越小.
________________________________________________________
探究任务二：
例1已知f(x)=2x2+1
(1)求:其从x1到x2的平均变化率；
(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1,Δx= 时的平均变化率。
探究任务三：函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 的几何意义是什么？
结论：连接函数图象上对应两点的割线的_________
【达标训练巩固提升】
1. 在 内的平均变化率为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
2.设函数 ，当自变量 由 改变到 时，函数的改变量 为（）
A． B．
C． D．
3.质点运动动规律 ，则在时间 中，相应的平均速度为（）
A． B．
C． D．
4.已知 ，从 到 的1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
学习过程：
【学情调查情境导入】
球的体积公式：V球=____________
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
5、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。
高二数学 1.1.1变化率问题学案 新人教A版选修2-2
1．1 变化率与导数1．1.1 变化率问题基础梳理平均变化率．(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1． (2)作用：刻画函数在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．想一想：函数f (x )＝2x 2－x 在区间[1，3]上的自变量的增量Δx ＝______，函数值的改变量为Δy ＝______，平均变化率Δy Δx＝______． 解析：Δx ＝3－1＝2，Δy ＝2×32－3－(2×12－1)＝14，Δy Δx ＝142＝7 答案：2 14 7自测自评1．在求平均变化率时，自变量的增量Δx 满足(D )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．函数y ＝1x 在[1，a ]上的平均变化率为－12，则a ＝(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：Δx ＝a －1，Δy ＝11＋Δx －11＝－Δx 1＋Δx ，所以Δy Δx ＝－11＋Δx ＝－1a ＝－12，所以a ＝2.故选B.3．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积的增加量ΔS 等于(B )A ．8πR ΔRB ．8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2，故选B.基础巩固1. 一物体的运动方程是s ＝2t 2，则从2 s 到3 s 这段时间内路程的增量为(C )A ．18B ．8C ．10D ．122．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是(C )A.v －＝s （t ）tB.v －＝s （Δt ）ΔtC.v －＝Δs ΔtD.v －＝s （t ＋Δt ）Δt解析：v －＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt ＝Δs Δt.故选C. 3．某质点A 沿直线运动的方程为y ＝－2x 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为(C )A ．－4B ．－8C ．－6D ．6解析：Δy Δx ＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）2－1＝－6. 4．y ＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为__________． 解析：因为Δy ＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20， 所以y ＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20Δx＝－2x 0＋Δx（x 0＋Δx ）2x 20. 答案：－2x 0＋Δx （x 0＋Δx ）2x 20能力提升5．一个做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则此物体在区间[0，0.001]内的平均变化率接近(B )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t6．下表为某大型超市一个月的销售收入情况表，则本月销售收入的平均增长率为(B)A.一样 B ．越来越大C ．越来越小 D ．无法确定7．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：∵Δx ＝1，∴2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.∴k AB ＝Δy Δx ＝－16. 答案：－168．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0)＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10)＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20＝60q 0＋300.答案：60q 0＋3009．比较函数f (x )＝2x 与g (x )＝3x ，当x ∈[1，2]时，平均增长率的大小．解析：设f (x )＝2x 在x ∈[1，2]时的平均增长率为k 1，则 k 1＝f （2）－f （1）2－1＝2， 设g (x )＝3x 在x ∈[1，2]时的平均增长率为k 2，则k 2＝g （2）－g （1）2－1＝6. ∵k 1<k 2，故当x ∈[1，2]时，g (x )的平均增长率大于f (x )的平均增长率．10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解析：因为函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为：Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝－（2＋Δx ）2＋（2＋Δx ）－（－4＋2）Δx＝－4Δx ＋Δx －（Δx ）2Δx＝－3－Δx ， 所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，所以Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。
2021-2022年高中数学 1.1.1 变化率问题、§1.1.2 导数的概念 导学案 新人教A
2021年高中数学 1.1.1 变化率问题、§1.1.2 导数的概念导学案新人教A版选修2-2学习目标：1、了解导数概念的实际背景；2、会增长函数在某一点附近的平均变化率；3、会利用导数的定义求函数在某点处的导数。
一、主要知识：
1、对于函数，当自变量从变到时，函数值从变到，则称式子为从到的平均变化率，简记作：。
2、函数在处的瞬时变化率是函数从到的平均变化率在时的极限，即。
3、函数在处的称为函数在处的导数，记作，即。
二、典例分析：
〖例1〗：求函数在到之间的平均变化率，并计算当时平均变化率的值。
〖变式训练1〗：在区间内的平均变化率为。
〖例2〗：求函数在处的导数。
〖变式训练2〗：已知函数，且，求的值。
〖例3〗：若一物体运动方程为：
()
()()
2
2
323
293303
t t
s
t t
⎧+≥
⎪
=⎨
+-≤<
⎪⎩
（位移：，时间：）。
求：（1）物体在内的平均速度；（2）物体的初速度；（3）物体在时的瞬时速度。
〖变式训练3〗：一个质量为的物体按照（位移：，时间：）的规律作直线运动，物体的动能为，求运动开始后第时该物体的动能。
人教新课标版数学高二-(人教A)选修2-2学案 1.1.1变化率
变化率问题班级： 姓名：【学习目标】：通过具体案例理解函数平均变化率的概念。
【学习重点】：理解函数平均变化率的概念及几何意义。
【学习难点】：求函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率。
【问题导学】1.阅读教材p72,在【气球膨胀率】问题中：（1）空气容量从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率约为：0.62（dm/L);空气容量从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率约为：0.16（dm/L);请计算出空气容量从2L 增加到2.5L 时，气球的平均膨胀率约为多少？空气容量从2.5L 增加到4L 时，气球的平均膨胀率约为多少？（2）从以上数据可以看出：随着气球体积的增大，比值体积的增加量半径的增加量发生怎样的变化？说明了什么(快慢）？（3）概括出：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率的表达式？2.阅读教材p73,在【高台跳水】问题中：（1）在5.00≤≤t 时间段内，平均速度)/(05.4s m v =，那么运动员相对于水面的高度h 是在平均增大还是减小？在21≤≤t 时间段内呢？能概括出：运动员在1t 到2t 时间段内的平均速度吗？（2）计算运动员在49650≤≤t 时间段里的平均速度，思考下面的问题： ①运动员在这段时间内是静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？3.阅读教材p73,回答什么是函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率？并阅读p74的思考栏目回答相应问题？【实践演练】例1：一物体做直线运动，其位移s 与时间的关系为23)(t t t s s -==，求物体在[]t t t ∆+00,这段时间内的平均速度。
例2：求函数21x y =在)0(00≠x x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
【基础练习】：1.在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆是否一定大于0？2.函数)(x f y =，当自变量x 由0x 变到x x ∆+0时，函数值的改变量为：3.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(及邻近一点)4,1(y x ∆+∆+，则xy∆∆等于多少？4.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(P 及附近一点),(00y x Q ，且21=∆∆x y ，则点Q 的坐标为多少？若P 为)1,0(呢？为)4,1(-呢？5.求函数122-=x y 在1-=x 和2-=x 处的平均变化率，并比较当21=∆x 时变化率的的大小。
高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 .2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝ΔfΔx ，称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ．4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 ΔfΔx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程1.平均变化率[例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式1某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 2.瞬时变化率[例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．应用变式2一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．3.利用定义求函数某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．应用变式3求y ＝f(x)＝123++x x 在x ＝1处的导数．[例4] 设f (x )在x 0处可导，求lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x )Δx的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx)22．如果质点A 按规律s ＝2t3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．6B ．18C ．54D ．813．当自变0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[0x ，1x ]上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的导数 D ．在区间[0x ，1x ]上的导数4．已知f(x)＝x x 32-，则f ′(0)＝ ( )A ．Δx －3B ．(Δx)2－3ΔxC ．－3D ．0 二、填空题5．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于______．6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________． 三、解答题7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．课后强化作业 一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ②y ＝x 2③y ＝x 3④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 25．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52C ．1D ．0 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b10．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )2h等于( ) A ．f ′(a ) B.12f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )二、填空题11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________. 12．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．13．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S ＝t 2(S 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在 t ＝5时的瞬时速度为______． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2.(1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；2)求t ＝3秒时的瞬时速度．16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h.17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．3.1.2导数的几何意义 学习目标1．知识与技能：了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．过程与方法：会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习重、难点重点：导数的几何意义．难点：对导数几何意义的理解． 知识梳理1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝ 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ = ②导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 学习过程1.求割线的斜率[例1] 过曲线y ＝f(x)＝3x 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．2.用定义求切线方程[例2] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？应用变式1 已知曲线y ＝23x 上一点A(1,2)，则点A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx2D ．63.求切点坐标[例3] 抛物线y ＝2x 在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．应用变式2 若抛物线y ＝2x 与直线2x －y ＋m ＝0相切，求m.4.导数几何意义的应用[例4] 若抛物线y ＝42x 上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，求点P 的坐标．应用变式3 求抛物线y ＝42x 上的点到直线y ＝4x －5的距离的最小值．[例5] 曲线y ＝3x 在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．应用变式4已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程为( )A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0B ．4x －y ＋1＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上都不对 [例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y ＝3x ＋1相切的直线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．曲线y ＝－22x ＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π43．若曲线y ＝h(x)在点P(a ，h(a))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么 ( ) A ．h ′(a)＝0 B ．h ′(a)<0 C ．h ′(a)>0 D ．h ′(a)不确定 4．曲线y ＝3x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1,1),(－1，－1)C ．(2,8)D ．(－12，－18)二、填空题5．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．6．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．三、解答题7．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－74)处的切线方程．课后强化训练 一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－12．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________． 三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 学习目标1．知识与技能：了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝x α(α∈Q)的导数．2．过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 学习重、难点重点：常数函数、幂函数的导数难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 知识梳理1．若f(x)＝c ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝nx (n ∈N*)，则f ′(x)＝ .2．若f(x)＝sinx ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝cosx ，则f ′(x)＝ . 3．若f(x)＝xa ，则f ′(x)＝．若f(x)＝xe ，则f ′(x)＝ .4. 若f (x )＝log a x ，则f ′(x )= ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ . 学习过程1.导数公式的直接应用[例1] 求下列函数的导数．(1)y ＝2a (a 为常数)． (2)y ＝12x . (3)y ＝cosx.应用变式1求下列函数的导数(1)y ＝1x2 (2)y ＝3x (3)y ＝2x(4)y ＝log 2x2.求某一点处的导数 [例2] 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．应用变式2 已知f (x )＝n x1，且f ′(1)＝－13，求n .3.利用导数求切线的斜率及方程 [例3] 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,3π且与在这点的切线垂直的直线方程．应用变式3 求曲线y ＝32x 的斜率等于12的切线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－144．下列结论中不正确的是 ( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3二、填空题5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 6．若函数y ＝sint ，则y ′|t ＝6π＝________. 三、解答题7．求抛物线y ＝2x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．课后强化训练 一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率 B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0D.123．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③ 4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2D.125．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )6．已知函数f (x )＝21x ，则'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝( )7．y ＝1x在点A (1,1)处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝08．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2xln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A ．0B ．1C ．2D ．3 9．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1x 3xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 210．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32二、填空题11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是 ．12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于 ．13．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为 ．14．y ＝10x在(1,10)处切线的斜率为 ． 三、解答题 15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1x4 (3)y ＝55x17．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,4π且与在这点处的切线垂直的直线方程．3.2.2 导数的运算法则 学习目标能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点重点：导数的四则运算及其运用． 难点：导数的四则运算法则的推导． 知识梳理1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；(f(x)·g(x))′＝ ． 2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ＝ 学习过程1.导数公式法则的直接应用 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝()()112-+x x ；(2)y ＝x x sin 2；(3)y ＝1x ＋2x 2＋3x 3；(4)y ＝x tan x －2cos x .应用变式1求下列函数的导数：(1)y ＝2x －2＋3x －3 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) (3)y ＝x －sin x 2·cos x 22.求导法则的灵活运用[例2] 求函数y ＝sin 4x4＋cos 4x4的导数．应用变式2求函数y ＝－sin x2(1－2sin 2x4)的导数．3.利用导数求有关参数[例3] 偶函数f(x)＝e dx cx bx ax ++++234的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．应用变式3已知抛物线y ＝72-+bx ax 通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．[例4] 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 课堂巩固训练 一、选择题1．函数y ＝2sinxcosx 的导数为 ( )A ．y ′＝cosxB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin2x －cos2x)D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是( )A.1(x 3＋2x ＋1)2B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2D.－3x2(x 3＋2x ＋1)2 3．函数y ＝(x －a)(x －b)在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a(a －b)C ．0D ．a －b 4．函数y ＝x ·lnx 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x二、填空题5．函数y ＝143223-+-x x x 的导数为 6．函数y ＝xsinx －cosx 的导数为__________________． 三、解答题7．函数f(x)＝123+--x x x 的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f(x)的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB.课后强化作业 一、选择题1．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x 2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 22．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1033．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．124．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x 5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2x D ．y ＝1cos x6．函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的导数为( ) A ．－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 4π B ．cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π C ．－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π D ．－sin ⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x＝x 0处( )A ．可导B ．不可导C ．不一定可导D ．不能确定 8．(x －5)′＝( )A ．－15x －6 B.15x －4 C ．－5x －6 D ．－5x 49．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( )A ．3x 2＋6B ．6x 2C ．9x 2＋6D ．6x 2＋6 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)= ．12．曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ．13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝ .14．设f (x )＝ln a 2x(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝ . 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)f (x )＝ln x ＋2xx 2.16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．17．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．18．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点 P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数知识梳理1．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；(2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．2．如果函数y ＝f(x)在x 的某个开区间内，总有f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x 在某区间上，总有f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． 学习过程1.用导数求函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间(1)f(x)＝133+-x x (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)应用变式1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x x x 9323-+ (2)f(x)＝sinx －x ，x ∈(0，π)2.利用导数证明不等式[例2] 已知x ＞1，求证x ＞lnx.应用变式2已知：x ＞0，求证：x ＞sinx.3.已知函数的单调性，确定参数的取值范围[例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围． 应用变式3已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[例4] 已知函数f(x)＝32x a x-，x ∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a 的取值范围．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x)＝2x －sinx 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 2．函数y ＝xlnx 在区间(0,1)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，1)上是减函数3．若在区间(a ，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a ，b)内有 ( )A ．f(x)＞0B ．f(x)＜0C ．f(x)＝0D ．不能确定 4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin2xB ．x xeC ．3x x -3D ．－x ＋ln(1＋x)二、填空题5．函数f(x)＝x x -3的增区间是 和 ，减区间是 ． 6．已知函数y ＝322++x ax 在(－1，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题7．已知函数f(x)＝83++ax x 的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．课后强化作业 一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0内部C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞02．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞)D ．(－12，0)及(0，12)3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πC.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤136．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件你B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2 9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为 ．12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 ．14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围 ．三、解答题 15．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l . (1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．18．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．3.3.2函数的极值与导数，函数的最大（小）值与导数知识梳理1．已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x ，如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得，并把0x 称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得 ，并把0x 称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．2．假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条 ，该函数在[a ，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a ，b)内是 ，该函数的最值必在 取得． 3．当函数f(x)在点0x 处连续时，判断f(0x )是否存在极大(小)值的方法是： (1)如果在0x 附近的左侧，右侧，那么f(0x )是极值；(2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(0x )是极 值； (3)如果f ′(x)在点0x 的左右两侧符号不变，则f(0x ) 函数f(x)的极值． 学习过程1.利用导数求函数的极值[例1] 求函数y ＝133+-x x 的极值．应用变式1函数y ＝x x x 9323--(－2＜x ＜2)有( )A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11C ．极大值为5，无极小值D ．极大值为－27，无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值[例2] 求函数f(x)＝1223+-x x 在区间[－1,2]上的最大值与最小值．应用变式2求函数f(x)＝2824+-x x 在[－1,3]上的最大值与最小值．3.求函数极值的逆向问题[例3] 已知f(x)＝cx bx ax ++23(a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．应用变式3设a >0，(1)证明f (x )＝ax ＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a 和b 的值．[例4] 已知函数f(x)＝c bx x ax -+44ln (x>0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥22c -恒成立，求c 的取值范围．[例5] 已知f(x)＝2233a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数y ＝f(x)是定义在R 上的可导函数，则f ′(x)＝0是x0为函数y ＝f(x)的极值点( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为 ( )A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为－17C ．最大值为3，最小值为－17D ．最大值为9，最小值为－19 3．函数y ＝3x ＋1 的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在4．y ＝f(x)＝a x x +-2332的极大值是6，那么a 等于 ( ) A ．6 B ．0 C ．5D ．1二、填空题5．(2009·辽宁文，15)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝ .6．函数y ＝x ·ex 的最小值为________． 三、解答题7．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求出函数f (x )的解析式．课后强化作业 一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值也有极小值4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④ 6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( )A ．y 有极小值0，且0也是最小值B ．y 有最小值0，但0不是极小值C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.388．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为09．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( )A ．y 有极小值，但无极大值B ．y 有极小值0，但无极大值C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．16．求下列函数的最值(1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22ππx .17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．3.4生活中的优化问题举例学习过程1.面积、容积最大问题[例1] 在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？应用变式1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．2.利用导数解决几何中的问题[例2]将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？应用变式2已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．3.获利最大[例3]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．应用变式3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．[例4] 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？课堂巩固训练一、选择题1．三次函数当x ＝1时,有极大值4;当x ＝3时,有极小值0,且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x x x 9623++B ．y ＝x x x 9623+-C ．y ＝x x x 9623--D ．y ＝x x x 9623-+2．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <123．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V二、填空题5．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是________．6．函数f(x)＝)2(2x x -的单调递减区间是________．三、解答题7．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？课后强化作业一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对2．某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．以上都不正确3．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R C.43R D.34R 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm 6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )A ．h ＝2RB ．h ＝RC ．h ＝2RD ．h ＝2R7．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．508．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A.3V B.3V π C.34V D ．23V 2π9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8 10．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2 二、填空题11．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．12．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为________．13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．14.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为___．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？。
高二数学《平均变化率》导学案
1.1.1 平均变化率一、学习目标1．通过大量的实例分析，了解平均变化率.2. 理解平均变化率的意义，会求函数在指定区间的平均变化率二、教学难点、重点平均变化率的实际意义和数学意义三、课前预习1．函数()f x 在区间[x 1 、x 2]上的平均变化率为 .2．某市2018年6月20日的最高温度为28℃，6月22日的最高温度为37℃，则这三天的最高温度的变化率为（ ）A ．5B ．6C ．3D ．43．五·一黄金周期间，本市某大型商场的日营业额从1500万元，增加到4300万元，则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是____________．4．甲年收入为3.6万元，乙月收入为0.35万元，你如何比较和评价甲、乙两人的收入状况？5．甲、乙两汽车在10s 内，速度从0/km h 分别加速到h km /100和h km /80，如何评判两车的性能？6．已知函数13)(+=x x f ，分别计算在区间]9.0,1[],2,1[---上)(x f 的平均变化率.四、教学过程（一）问题情境1.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化曲线的陡峭程度？2. 学生活动① 曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度.② 由点B 上升到C 点，必须考察C B y y -的大小，但仅仅注意C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，(d)20为什么？③ 在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变.1212)()(x x x f x f x f --=∆∆. （二）例题分析例1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.例2.水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积V(t)=5×2-0.1t （单位：cm 3），计算 第一个10s 内V 的平均变化率.例3. 已知函数f(x)=x 2，分别计算函数f(x)在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.例4. 已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算函数f(x)及g(x)在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率。
变化率问题导学案
变化率问题及导数概念 使用时间：2012年3月20日【使用说明与学法指导】1.先精读一遍课本P .2—P .6，用红色笔把重点、难点画出来，再做课前预习案，遇到问题再重点读相关知识。
牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过30分钟。
AA 完成所有题目，BB 完成（**）外的所有题目，CC 完成不带（*）题目。
2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3.小组长在课上讨论环节要在组内起引导作用，控制讨论节奏。
4.必须掌握的思想：逼近思想. 【学习目标】1．通过实际问题来体会导数产生的时代背景 2．会用定义求闭区间上的函数的平均变化率. 3．理解导数的定义并会求函数在某点处的导数值.4．自主学习，合作交流，探究并归纳出求函数的平均均变化率及函数在某点处的导数值的规律与方法。
5．激情投入，高效学习，养成扎实严谨的数学思维品质。
重点难点：函数的平均变化率及其几何意义和物理意义； 一、课前预习案1.（C ）函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为 ，简记为： ；2. (C)平均变化率的物理意义是运动的路程关于时间t 的函数()S S t =在时间段12[,]t t 的 ，即v = ；3. (B) 平均变化率的几何意义是什么？4.(C) 瞬时速度的定义为：5. (B)如何理解x ∆，y ∆及x ∆的取值情况如何？6. (A)如何理解0lim x ∆→？7.(B) 运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎么表示？8.(B) 函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率怎么表示？9.(B) 函数()y f x =在0x x =的导数怎么表示？练一练1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 22．一质点运动的方程为253S t =-，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为 A ．36t -∆- B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t ∆+ 3．在函数21y x =+的图象上取一点(1,2)A 及附近一点(1,2)B x y +∆+∆，则斜率A B k = A ．12x x∆++∆ B ．12x x∆--∆ C ．2x ∆+D ．12x x+∆-∆4．一物体的运动方程是1()S t t=，当3t =时的瞬时速度为A ．18B ．19C ．18- D ．19-（**）5. 函数()4f x ax =+，若(1)2f '=，则a 的值为 A ．2 B ．2- C ．3D ．3-（*）6. 下列是函数()f x 在点0x x =的导数的是 A ．0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ B ．0000()()()limx f x x f x f x x∆→-∆-'=-∆C ．0000(2)()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ D ．0000(2)()()lim3x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆我的疑惑：。
5.1.1变化率问题(导学案)- (人教A版 高二 选择性必修第二册)
5.1.1变化率问题 导学案1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝ ＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)； f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限， 即lim Δx →0ΔyΔx＝ . 某一时刻； lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx3．曲线的切线斜率(1)设P 0(x 0，f (x 0))，P (x ，f (x ))是曲线y ＝f (x )上任意不同两点，则平均变化率f x －f x 0x －x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx为割线P 0P 的_____．(2)当P 点逐渐靠近P 0点，即Δx 逐渐变小，当Δx →0时，瞬时变化率 就是y ＝f (x )在x 0处的____的斜率即k ＝ .斜率；切线 ；lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx 趋近于零时表示Δx ＝0． ( ) (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．( ) (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． ( )(4)函数y ＝f (x )在某x ＝x 0的切线斜率可写成 k ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx．( )2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．若一质点按规律s ＝8＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( ) A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．－1.1一、 学习导引在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。
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变化率问题
课前预习学案
一、
预习目标
了解平均变化率的定义。
二、预习内容
[问题1] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________ [问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )
与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21≤≤t 这段时间里，v =_________________ 在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________
[问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，
分母是区间两端点间的_______的差。
（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题4] 平均变化率=
∆∆x f
12)()(x x x f x f --表示什么?
三、提出疑惑
x 2
A
课内探究学案
一、学习目标
知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
二、学习过程
学习探究
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水，求平均速度
新知：平均变化率：21
21
()()
f x f x f
x x x
-∆
=
-∆
试试：设()
y f x
=，
1
x是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点
2
x，
1
x与
2
x的差记为x∆，即
x∆= 或者
2
x= ，x∆就表示从
1
x到
2
x的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y
∆，即y
∆= ；如果它们的比值
y
x
∆
∆
，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值.
典型例题
例1 过曲线3
()
y f x x
==上两点(1,1)
P和(1,1)
Q x y
+∆+∆作曲线的割线，求出当0.1
x∆=时割线的斜率.
例2 已知函数2
()
f x x
=，分别计算()
f x在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]
有效训练
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.
反思总结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率
当堂检测
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）
T(月)
6
3
9
12
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-
3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +∆
B ．9
6t t
+∆+∆
C ．3t +∆
D ．9t +∆
4.已知21
2s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
5. 2
23y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
6、已知函数12)(2
-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求
x
y ∆∆
课后练习与提高
1、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），
试求此一次函数的表达式。
2. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器 甲中水的体积0.1()52t
V t -=⨯（单位：3
cm ），
计算第一个10s 内V 的平均变
化率.
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林
3.1.1变化率问题
教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义
教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程： 情景导入：
展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案
合作探究：
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?
交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：
例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.
例2 已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]
有效训练
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 反思总结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率
当堂检测
1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-
3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +∆
B ．9
6t t
+∆+∆
C ．3t +∆
D ．9t +∆
4.已知21
2
s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______
5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
6、已知函数12)(2
-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求
x
y ∆∆ 【板书设计】：略 【作业布置】：略
T(月)
6
3
9
12。