第 三 章 线性系统的时域分析法之一 (1)

ess 评价系统响应的稳、快、准。
3-2 一阶系统的时域分析
一、一阶系统的数学模型 控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一 阶系统。如RC电路:
duc (t) 微分方程: R C dt uc (t) ur (t) Uc (s) 1 1 传递函数:U (s) R C s 1 1 Ts r
（一）暂态性能指标 因为阶跃输入对系统来说是最一般也是最严峻
的工作状态，如果系统在阶跃信号输入下的暂态性
能满足要求，则在其他形式下的输入信号下，其暂
态性能也会令 人满意。
1. 延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所 需时间。
c(t)
c( ) 1
td:延迟时间
0 .5 c ( )
0
td
积分 d 单位阶跃 积分 2 单位斜坡 d 3 单位抛物线 d 单位脉冲 ) g( t c阶 (t ) c 斜 (t ) c 抛 (t ) 2 3 dt函数响应 dt 函数响应 dt 函数响应 函数响应 积分
可知:
微分 微分 微分 系统输入信号导数的输出响应，等于该输 ★这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任 入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响 何阶线性系统，但不适用于非线性系统。 应，就可推知于其它。
3-1
系统时域的性能指标
引言
系统分析是指一个实际系统的数学模型建立后，
对系统稳定性、稳态误差和瞬态响应等三个方面的性 能进行分析，也就是以数学模型为基础分析系统在指 定的性能指标方面是否满足要求。 数学模型的建立为分析系统的行为和特性提供 了条件。
分析的目的在于揭示系统在外部输入信号作用 下各个变量的运动规律和系统的基本特性，以及改
典型化处理： （1）规定控制系统的初始状态均为零状态； （2）典型输入信号 单位阶跃信号 单位斜波信号 单位加速度信号
(工业过程) (天线) (飞船) (突变过程) (通信) 信号的采用取 决于系统常见 工作状态
单位脉冲信号
单位正弦信号
注意：若在实际条件下，输入信号是随机信 号，则不能用上述典型输入信号。
0 T 2T 3T 4T t
den=[1,1]; step(num,den)
(a) 零极点分布
(b) 单位阶跃响应曲线
h(t) 1 e

1 t T
(t 0)
特点：1) 曲线单调上升，非振荡，非周期； 2）可以用时间常数去度量系统的输出量 的数值； 3）初始斜率为1/T； 4）无超调；稳态误差ess=0 。
td:延迟时间 tr:上升时间 tp:峰值时间
td tr tp t
0 .5 c ( )
0
4. 超调量%：响应的最大偏离量与终值c(∞)之 比的百分比。
c(t) 超调量
c( ) 1
td:延迟时间 tr:上升时间 tp:峰值时间
td tr tp
0 .5 c ( )
%
c(t p ) c( ) c( )
一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐 渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率， 但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值 与时间T相等。 稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1。
五、一阶系统的单位加速度响应
1 2 输入r(t) t 2
1 2 输出c(t) t Tt T 2 (1 e t /T ) 2
善系统特性使之满足工程要求的基本途径。
分析系统的方法可分为三类：时域法、根
轨迹法和频域法。
时域分析法是一种直接在时间域中对系统
进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可 以提供系统时间响应的全部信息。
时域分析法关注控制系统在时间域内的性能。
它通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系
统的时间响应。然后，根据响应表达式和响应曲 线，来分析系统的动态性能和稳态性能。 为了比较系统性能的优劣，必须有一个比较的 基础和标准。 时域性能指标 典型化处理
单位斜坡响应：
1 t T
2
c(t) t T Te (t 0)
四、一阶系统的单位斜坡响应
c(t) t T Te
1 t T
(t 0)
Step(1,[1,1,0]) or Impulse(1,[1,1,0,0]) or t=0:0.1:4; r=t; lsim(1,[1,1],r,t)
跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时 间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟 踪加速度函数。
无零点的一阶系统 g(t)=
1 T
t -T e
Φ(s)=
k ,T 时间常数 Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
自动控制原理
Automatic Control Theory
河南理工电气学院
第 三 章
线性系统的时域分析法
本章主要内容
3-1 系统的时域性能指标 3-2 一阶系统的时域分析 3-3 二阶系统的时域分析 3-4 高阶系统的时域分析 3-5 线性系统的稳定性分析 3-6 线性系统的稳态误差计算
本章基本要求
（二）稳态性能指标
c(t) 超调量
稳态误差ess
1.05c ( )
c( ) 1
td:延迟时间 tr:上升时间 tp:峰值时间 ts:调节时间
td tr tp ts
0.95c ( )

ess
0 .5 c ( )
0
t
稳态误差
e ss ：对于单位反馈系统，当 t
t t
1.掌握典型输入和典型响应的特性; 2.熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶 跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构 参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶 系统动态性能的计算方法。
3.了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的 特点。
本章基本要求
4. 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运 用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关 的参数计算、分析。 5. 掌握误差及稳态误差的概念,学会分析 典型输入信号作用下控制系统稳态误差的 方法。
r(t)= δ(t)
k’(0)=-1/T2
结论：
一阶系统的典型响应与时间常数T密 切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响 应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞 后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速 度函数。
注意到，线性定常系统具有以下重要性质： 系统对输入信号导数的响应，等于系统对 输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，等于系统对 输入信号响应的积分。 掌握阶跃响应，有利于熟悉其它典型激励 下的响应。
h(t) 1 e

1 t T
(t 0)
二、一阶系统的单位阶跃响应
h(t) 1 e

1 t T
(t 0)
结论：R(s)的极点形成系统 响应的稳态分量。传递函数 的极点是产生系统响应的瞬 态分量。
S平面
j
P=-1/T
0

这一个结 论适用于 y(t) 任何线性 初始斜率为1/T 定常系统 1 0.95 0.982。 0.865 0.632 num=1; -t/T h(t)=1-e
例3.1 某一阶系统如图,（1）求调节时间ts,（2） 若要求ts=0.1s,求反馈系数 Kh 。
R(s) E(s) 100/s
在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰 值之比。如图，n=B：B’。
n愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过渡 过程的衰减程度也愈小。 0.15 当n＝1时，过渡过程则为等 0.1 幅振荡。 一般操作经验希望过程有两、 0.05 A 三个周波结束，n=4:1~10:1。
0
y ( )
tp
ts t
过渡过程中，当时间趋于无穷大时系统的输出 状态，反映出系统的稳态性能。
1.5 1 0.5 0 -0.5 0 5 10 15
注意：
稳态过程不是指输出数值不变，而是指输出 变化形式固定不变。
系统响应由稳态响应和暂态响应组成，稳态响 应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描述， 故系统的性能指标也就由稳态性能指标和暂态性能 指标组成。
根据一阶系统三种响应的输入输出信号: 1 e-t/T c(t)= T r(t)=δ(t) c(t)=1-e-t/T r(t)=1(t) c(t)=t-T+Te-t/T r(t)=t
d d2 d3 1 2 . (t ) 1(t ) 2 t 1(t ) 3 t 1(t ) dt dt dt 2
单位脉冲响应：
1 g (t ) e T
-
t T
三、一阶系统的单位脉冲响应
1 1 T t g(t) e (t 0) T
g(t)
1 T
g(t)
1 et / T T
1 T2
初始斜率为
0.368/T 0.135/T
0.05/T 3T
0.018/T
impulse(1,[1,1]) 0
T
时，系统响应的实际值与期望值（即输入量）之差：
e ss lim [r ( t ) c( t )] lim e ( t )
稳态误差ess是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
t 上述各种性能指标中，r、 t p 描述系统起始段的快
慢； %和 反映暂态过程振荡的剧烈程度；
ts
总体上反映系统的 表示系统过渡过程的持续时间， 快速性； ss 反映系统复现输入信号的最终精度。一 e 般以 % 、t s 和
动态过程和稳态过程
时域分析法研究系统输入变化时，其输出随时 间变化的响应特性。y(t)=f(x(t)) 系统的时间响应分为动态响应和稳态响应或称 动态过程与稳态过程。。