高考数学冲刺130+必做的200道超级好题 (1)

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【习题】高考数学复习必备的20道典型习题

【习题】高考数学复习必备的20道典型习题介绍高考是每个学生都要面临的重要考试，而数学则是其中最为重要的科目之一。

为了顺利通过高考，学生需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

本文将介绍高考数学复习必备的20道典型习题，帮助学生提高数学解题能力和应对高考的信心。

1. 集合与运算1.1 集合的基本概念在数学中，集合是由一些确定的元素组成的整体。

学生需要掌握集合的基本概念，如元素、空集、全集、子集等，并能够灵活应用这些概念进行问题求解。

1.2 集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集等。

学生需要熟练掌握这些运算的定义和性质，并能够运用它们解决实际问题。

2. 函数与方程2.1 函数的概念函数是一种具有特定性质的关系。

学生需要了解函数的定义、定义域、值域、图像和性质，以及常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

2.2 方程的解法方程是数学中常见的问题形式。

学生需要掌握解一元一次方程、一元二次方程和简单的高次方程的方法，能够用方程解决实际问题。

3. 解析几何3.1 直线和圆的基本性质直线和圆是解析几何中的重要概念。

学生需要了解直线的斜率、截距和方程，以及圆的半径、直径和方程等基本性质，能够利用这些性质解决几何问题。

3.2 几何变换几何变换包括平移、旋转、镜像和对称等。

学生需要熟悉这些变换的定义和性质，并能够运用它们解决几何问题。

4. 概率与统计4.1 随机事件和概率概率是描述随机现象发生可能性的数值。

学生需要了解随机事件、样本空间和概率的概念，以及概率的计算方法和性质，能够运用概率解决实际问题。

4.2 统计与数据分析统计是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。

学生需要掌握统计调查的方法和常见的统计指标，如均值、中位数、众数和标准差等，能够对数据进行合理的分析和解释。

5. 数列与数学归纳法5.1 数列的概念与性质数列是按一定规律排列的数的序列。

学生需要了解数列的定义、通项公式、等差数列和等比数列等重要概念，能够分析和求解数列中的问题。

高中数学三年必须吃透的70个必刷题

高中数学是学生在数学学科中学习的重要阶段，数学知识的掌握对于学生进入大学甚至未来的职业发展都是至关重要的。

而在高中数学的学习过程中，大家必须掌握一定的数学题目，才能更好的提高自己的数学水平。

我将在本文中共享70个高中数学必刷题，希望能够帮助更多的学生在高中数学学习过程中取得更好的成绩。

一、代数部分1. 一元二次不等式2. 根据配方法求最值3. 分式方程4. 二项式定理5. 绝对值不等式6. 倍式展开与二项式系数二、函数部分7. 函数奇偶性8. 函数极值问题9. 参数方程问题10. 反函数与复合函数11. 对数函数的性质12. 求极限问题三、方程部分13. 解方程组14. 解不等式组15. 二元一次方程组16. 解三元一次方程组17. 解分式方程18. 二次方程的判别式四、几何部分19. 三角形内角和20. 三角形外角定理21. 直线与平面的交点22. 圆的切线与切点23. 直角三角形的性质24. 平行四边形的几何关系五、概率部分25. 事件的概率26. 条件概率27. 期望与方差28. 排列与组合29. 二项分布30. 正态分布的性质六、数列部分31. 数列的通项32. 数列的性质33. 数列的求和34. 数列的递推公式35. 等差数列与等比数列36. 等比中项问题七、植物生长模型37. 个体生长模型38. 种裙增长模型39. 人口增长模型40. 自然增长模型41. 对数生长模型42. 指数生长模型八、微积分部分43. 函数的极限44. 函数的连续性45. 一元函数的导数46. 函数的微分47. 函数的积分48. 微积分中的应用问题九、向量部分49. 向量的定位问题50. 向量的线性运算51. 向量的数量积52. 向量的夹角问题53. 平面向量的应用54. 空间向量的应用十、解析几何部分55. 曲线与曲面的方程56. 空间中的直线57. 空间中的平面58. 空间中的球面59. 空间中的圆锥曲线60. 空间中的二次曲面十一、复数部分61. 复数的性质62. 复数的运算63. 复数的共轭64. 复数的幂与根65. 复数的几何意义66. 复数方程问题十二、三角部分67. 弧度与角度的转换68. 三角函数的基本关系69. 三角函数的图像70. 三角函数的性质以上便是我整理的高中数学必刷题清单，希望对大家在高中数学学习中有所帮助。

高考逆袭卷02-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新高考新题型专用)(原卷版)

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知一组数据m ，4，2，5，3的平均数为n ，且m ，n 是方程2430x x -+=的两根，则这组数据的方差为（）A ．10B C ．2D2．{(1,1)(1,2),}∣P m m R αα==-+∈ ，{(1,2)(2,3),}∣Q n n R ββ==-+∈ 是两个向量集合，则P Q 等于（）A ．{(1,2)}-B ．{(13,23)}--C ．{(2,1)}-D ．{(23,13)}--3．在ΔABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A 、B 、C 成等差数列，3a 、3b 、3c 成等比数列，则cos A cos B =（）A ．12B ．14C ．23D ．164．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．2C ．2D ．5．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有种A ．10B ．48C ．60D ．806．设1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b =，20c c +=，则()A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a 7．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．43B ．53C ．83D ．28．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+ ，则双曲线的离心率的平方为A BC 1D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i+>+C ．若()212i z =+，则复数z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足2i 3z -=，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆10．设直线系M ：()()cos 2sin 102x y θθθπ+-=≤≤，则下面四个命题正确的是（）A ．点()0,2到M 中的所有直线的距离恒为定值B ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上C ．对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()35f x f x -=-，当[]0,1x ∈时，()2f x x =.设函数()5log 1g x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．()f x 的图象在72x =处的切线方程为174y x =-+C ．()()()()20212022202320242f f f f +++=D ．()f x 的图象与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为10第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-，命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是.13．已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=.14．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B F 平面1A BE .以下命题正确的有.①侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒③平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为④设正方体棱长为1，则过点,,E F A 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.(1)求a 的值：(2)求证：2A B =；(3)πcos 212B ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值16．（15分）如图1，在平面五边形ABCDE 中，//AE BD ，且2DE =，60∠=︒EDB ，CD BC ==，5cos7DCB ∠=，将BCD △沿BD 折起，使点C 到P 的位置，且EP =得到如图2所示的四棱锥P ABDE -．(1)求证；PE ⊥平面ABDE ；(2)若1AE =，求平面PAB 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值．17．（15分）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n 格的概率为()1,2,3,,25n P n =⋅⋅⋅．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X ，求X 的分布列和期望；(2)证明：数列{}()12,3,,24n n P P n --=⋅⋅⋅为等比数列．18．（17分）焦点在x 轴上的椭圆22214x y b+=的左顶点为M ，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为椭圆上不同三点，且当OB OC λ= 时，直线MB 和直线MC 的斜率之积为14-．(1)求b 的值；(2)若OAB 的面积为1，求2212x x +和2212y y +的值；(3)在（2）的条件下，设AB 的中点为D ，求OD AB ⋅的最大值．19．（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xn x x x x n =++++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：e 1x x ≥+；(2)设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；(3)设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.。

高考数学选择必做130道

选择题必做100题1. 下列函数中,定义域是且为增函数的是（）A. x y e -=B. 3y x =C. ln y x =D. y x =2. 已知向量()()2,4,1,1,a b ==-则2a b -=（）A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,93. 设,a b 是实数,则“a b >”是“22a b >”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件4. 已知,,a b ∈ i 是虚数单位,若2,a i bi +=-则()2a bi +=( )A. 34i -B. 34i +C. 43i -D. 43i +5. 设集合{}2|20,A x x x =-<{}|14,B x x =≤≤则A B = （）A. (]0,2B. ()1,2C. [)1,2D. ()1,46. 函数()f x =的定义域为（） A. ()0,2 B. (]0,2 C. ()2,+∞ D. [)2,+∞7. 已知实数,x y 满足()01,x y a a a <<<则下列关系式恒成立的是（）A. 33x y >B. sin sin x y >C. ()()22ln 1ln 1x y +>+ D.221111x y >++ 8.已知向量(()1,3,,a b m ==若向量,a b 的夹角为,6π则实数m =（）A.B. C. 0D. 9. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC,BD.则“四边形ABCD 为菱形”是AC BD ⊥的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件10. 为了得到函数sin3cos3y x x =+的图像，可以将函数y x = 的图像（）A. 向右平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移12π个单位 D. 向左平移4π个单位 11. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面（）A. 若,//,m n n α⊥则m α⊥B. 若//,,m ββα⊥则m α⊥C.若,,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥D.若,,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥12. 若集合{}|24,P x x =≤<{}|3,Q x x =≥则P Q 等于（）A. {}|34x x ≤<B. {}|34x x <<C. {}|23x x ≤<D. {}|23x x ≤≤13. 复数()32i i +等于（）A. 23i --B. 23i -+C. 23i -D.23i +14. 以边长为1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得柱形的侧面积等于（）A. 2πB. πC. 2D. 115. 命题[)3"0,,0"x x x ∀∈+∞+≥的否定是（）A. ()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B. ()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C. [)30000,,0x x x ∃∈+∞+<D. [)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥16. 已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（）A. 20x y +-=B. 20x y -+=C. 30x y +-=D. 30x y -+=17. 将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（）A. ()y f x =是奇函数B. ()y f x =的周期为πC. ()y f x =的图像关于直线2x π=对称D. ()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 18. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++ 等于（）A. OMB. 2OMC. 3OMD. 4OM19. 设i 是虚数单位，复数321i i i+=+（） A. i - B. i C. -1 D. 120. 抛物线214y x =的准线方程是（） A. 1y =- B. 2y =- C.1x =- D. 2x =-21. 设 1.1 3.13log 7,2,0.8,a b c ===则（）A. b a c <<B. c a b <<C. c b a <<D. a c b <<22.过点()1P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦23. 若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（） A. 8π B. 4π C. 38π D. 34π 24. 若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（）A. 5或8B. -1或5C. -1或-4D. -4或825.已知全集{},|0,U A x x ==≤ {}|1,B x x =≥则集合()U C A B = （）A. {}|0x x ≥B. {}|1x x ≤C. {}|01x x ≤≤D. {}|01x x <<26. 设复数z 满足()()225,z i i --=则z =（）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -27. 已知13212112,log ,log ,33a b c -===则（） A. a b c >> B. a c b >> C. c b a >> D.c a b >>28. 已知,m n 表示两条不同的直线,α表示平面.下列说法正确的是（）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若,,m n αα⊥⊂则m n ⊥C. 若,,m m n α⊥⊥则//n αD. 若//,,m m n α⊥则n α⊥29. 设,,a b c 是非零向量.已知命题:p 若0,0,a b b c ⋅=⋅=则0;a c ⋅=命题:q 若//,//,a b b c 则//.a c 则下列命题中真命题是（）A. p q ∨B. p q ∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ∨⌝30. 已知点()2,3A -在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为（）A. 43- B. -1 C. 34- D. 12- 31. 设等差数列{}n a 的公差为.d 若数列{}12n a a 为递减数列，则（）A. 0d >B. 0d <C. 10a d >D. 10a d <32. 设i 是虚数单位，复数734i i+=+( ) A. 1i - B. 1i -+ C.17312525i + D. 172577i -+ 33. 设变量,x y 满足约束条件20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D.534. 已知命题:0,p x ∀>总有()11,x x e +>则p ⌝为（）A. 00,x ∃≤使得()0011x x e +≤B. 00,x ∃>使得()0011x x e +≤C. 0,x ∀>总有()11x x e +≤D. 0,x ∀≤总有()11x x e +≤35. 设2212log ,log ,,a b c πππ-===则( )A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D.c b a >>36. 设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和.若1S ,2S ,4S 成等比数列，则1a =（）A.2B. 2-C. 12D. 12- 37. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:210,l y x =+双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为（） A. 221520x y -= B. 221205x y -= C. 2233125100x y -= D. 2233110025x y -= 38. 已知函数()()cos 0,.f x x x x ωωω=+>∈ 在曲线()y f x = 与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为,3π则()f x 的最小正周期为（） A. 2π B. 23π C. π D. 2π 39. 设命题2:,10,p x x ∀∈+> 则p ⌝为（）A. 200,10x x ∃∈+>B. 200,10x x ∃∈+≤C. 200,10x x ∃∈+<D. 2,10x x ∀∈+≤40. 已知集合{}|2,A x x =>{}|13,B x x =<<则A B = （）A. {}|2x x >B. {}|1x x >C. {}|23x x <<D. {}|13x x <<41. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,,p p p 则（）A. 123p p p =<B. 231p p p =<C. 132p p p =<D. 123p p p ==42. 下列函数中，即是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（）A. ()21f x x= B. ()21f x x =+C. ()3f x x =D. ()2x f x -=43. 在区间[]2,3-上随机选取一个数,X 则1X ≤ 的概率为（） A. 45 B. 35 C. 25D. 15 44.若圆122:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切,则m = ( )A. 21B. 19C. 9D. -1145. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,U =集合{}1,3,5,6,A =U C A =( )A. {}1,3,5,6B. {}2,3,7C. {}2,4,7D. {}2,5,746. 设i 是虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（） A. 1 B.-1 C. i D. i -47. 命题“2,x x x ∀∈≠ ”的否定是（）A. 2,x x x ∀∉≠B. 2,x x x ∀∈=C. 2,x x x ∃∉≠D. 2,x x x ∃∈=48. 若变量,x y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值为（）A. 2B. 4C. 7D.849. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1,p 点数之和大于5的概率记为2,p 点数之和为偶数的概率记为3,p 则（）A. 123p p p <<B. 213p p p <<C. 132p p p <<D. 312p p p <<50. 已知()f x 是定义在上的奇函数，当0x ≥时,()23,f x x x =-则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为（）A. {}1,3B. {}3,1,1,3--C. {}2,3-D. {}2--51. 设复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位）,则z =（）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集为 ,集合{}2|90,A x x =-<{}|15,B x x =-<≤则()A C B = （）A. ()3,0-B. ()3,1--C. (]3,1--D. ()3,3-53. 掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ) A. 118 B. 19 C. 16D. 112 54. 已知函数()2,02,0x x a x f x x -⎧⋅≥⎪=⎨<⎪⎩()a ∈ ,若()11f f -=⎡⎤⎣⎦,则a =( ) A. 14 B. 12C. 1D. 2 55. 在ABC ∆中,内角,,,A B C 所对的边分别是,,.a b c 若32,a b =则2222sin sin sin B A A-的值为( ) A. 19- B. 13C. 1D. 72 56. 下列叙述中正确的是( )A. 若,,a b c ∈ ,则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B. 若,,a b c ∈ ,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C. 命题“对任意x ∈ ,有20x ≥”的否定是“存在x ∈ ,有20x ≥”D. l 是一条直线,,αβ是两个不同的平面,若,,l l αβ⊥⊥则//αβ57. 过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O 两点（O 为坐标原点）,则双曲线C 的方程为（）A. 221412x y -= B. 22179x y -= C. 22188x y -= D. 221124x y -= 58. 设集合{}|0,,M x x x =≥∈ {}2|1,,N x x x =<∈ 则M N = （）A. []0,1B. ()0,1C. (]0,1D. [)0,159. 函数()cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（） A. 2π B. π C. 2π D. 4π 60. 已知复数2,z i =-则z z ⋅的值为（）A. 5B. C.3D. 61. 将边长为1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A. 4πB. 3πC. 2πD. π62. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 4563. 下列函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（）A. ()3f x x =B. ()3x f x =C.()12f x x =D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 64. 实部为2-,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限65. 在等差数列{}n a 中,1352,10,a a a =+=则7a =( )A. 5B. 8C. 10D. 1466. 某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（）A. 100B. 150C. 200D. 25067. 下列函数为偶函数的是（）A. ()1f x x =-B. ()2f x x x =+C.()22x x f x -=-D. ()22x x f x -=+68. 已知集合()(){}|120,A x x x =+-≤集合B 为整数集,则A B = （）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}2,1,0,1--D. {}1,0,1,2-69. 在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )A. 总体B. 个体C. 样本的容量D. 从总体中抽取的一个样本70. 为了得到函数()sin 1y x =+的图像,只需把函数sin y x =的图像上所有的点( )A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C. 向左平行移动π个单位长度D. 向右平行移动π个单位长度71. 若0,0a b c d >><<,则一定有( ) A.a b d c > B. a b d c < C.a b c d > D. a b c d< 72. 已知50,log ,lg ,510,d b b a b c >===则下列等式一定成立的是( )A. d ac =B. a cd =C.c ad =D. d a c =+73. 已知集合{}2,3,4,M ={}0,2,3,5,N =则M N = （）A. {}0,2B. {}2,3C. {}3,4D. {}3,574. 已知复数z 满足()3425,i z -=则z =（）A. 34i --B. 34i -+C. 34i -D. 34i +75. 已知向量()()1,2,3,1,a b ==则b a -=（）A. ()2,1-B. ()2,1-C. ()2,0D. ()4,376. 若变量,x y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =+的最大值为（）A. 7B. 8C. 10D.1177. 下列函数为奇函数的是（） A. 122x x - B. 3sin x x C. 2cos 1x + D.22x x + 78. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A. 50B. 40C. 25D.2079. 在ABC ∆中,角,,,A B C 所对应的边分别是,,.a b c 则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的（）A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件80. 若实数k 满足05k <<,则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=- 的( )A.实半轴长相等B. 虚半轴长相等C.离心率相等D. 焦距相等81. 若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,//,,l l l l l l ⊥⊥则下列结论一定正确的是（）A. 14l l ⊥B. 14//l lC. 1l 与4l 既不垂直也不平行D. 1l 与4l 的位置关系不确定82. 已知集合{}1,2,3,4,A ={}2|,,B x x n n A ==∈则A B = （）A. {}1,4B. {}2,3C. {}9,16D. {}1,283. ()2121ii +=- A.112i -- B. 112i -+ C. 112i + D. 112i - 84. 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A. 12B. 13C. 14D. 1685. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2,则C 的渐近线方程为（）A. 14y x =±B. 13y x =± C. 12y x =± D. y x =± 86. 已知命题:,23;x x p x ∀∈< 命题32:,1,q x x x ∃∈=- 则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝87. 设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 则（） A.21n n S a =- B. 32n n S a =-C.43n n S a =-D. 32n n S a =-88. O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若PF =则POF ∆的面积为( )A. 2B.C.D. 489. 已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 223cos cos20,7,6,A A a c +===则b =( )A.10B.9C. 8D. 590. 已知集合{}|31,M x x =-<<{}3,2,1,0,1,N =---则M N = （）A. {}2,1,0,1--B.{}3,2,1,0---C. {}2,1,0--D. {}3,2,1---91. 21i=+A. B. 2C. D. 192. 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则23z x y =-的最小值为（） A. 7- B. 6- C. 5- D. 3- 93. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 已知2,,64b B C ππ===,则ABC ∆的面积为 ( )A.2+B. 1+C. 2D. 194. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点,21212,30,PF F F PF F ⊥∠= 则C 的离心率为（）A.6B. 13C. 12D. 3 95. 已知2sin 2,3α=则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.16 B. 13 C. 12 D. 2396. 设352log 2,log 2,log 3,a b c ===则（）A.a c b >>B.b c a >>C. c b a >>D. c a b >>97. 设,,,a b c ∈ 且,a b >则（）A. ac bc >B. 11a b< C. 22a b > D. 33a b > 98. 下列函数中，即是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（）A. 1y x= B. x y e -= C. 21y x =-+ D. lg y x = 99. 在ABC ∆中,13,5,sin ,3a b A ===则sin B =( ) A.15 B. 59C. 3D. 1 100. 双曲线221y x m -=） A.12m > B. 1m ≥ C.1m > D. 2m > 101. 已知集合{}1,0,1,A =-{}|11,B x x =-≤<则A B = （）A. {}0B.{}1,0-C. {}0,1D. {}1,0,1- 102. 在复平面内，复数()2i i -对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 103. 复数()22i z i -=（i 为虚数单位）,则z =（）A. 25B. C.5D. 104. 已知集合A,B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集,且(){}4,U C A B ={}1,2,B =则U A C B = ( )A. {}3B.{}4C. {}3,4D. ∅105. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时,()21,f x x x =+ 则()1f -=（）A. 2B. 1C. 0D. 2- 106. 函数()f x =+ ）A. (]3,0-B. (]3,1-C. ()(],33,0-∞--D. ()(],33,1-∞--107. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 若2,1,B A a b ===则c =( )A. B. 2 C. D. 1 108. 给定两个命题,.p q 若p ⌝是q 的必要不充分条件,则p 是q ⌝的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 109. 设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=.则当z xy取得最小值时，2x y z +-的最大值为（）A.0B. 98C. 2D. 94 110．设集合{}|2,S x x =>-{}|41,T x x =-≤≤则S T = （）A. [)4,-+∞B.()2,-+∞C. []4,1-D. (]2,1- 111. 已知i 是虚数单位，则()()23i i ++=（）A. 55i -B. 75i -C. 55i +D. 75i + 112. 若,α∈ 则“0α=”是“sin cos αα<”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 113. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面（）A. 若//,//,m n αα则//m nB. 若//,//,m m αβ则//αβC. 若//,,m n m α⊥则n α⊥D. 若//,,m αβα⊥则m β⊥114.函数()sin cos 2f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是（） A. ,1π B. ,2π C. 2,1π D. 2,2π 115. 已知,,,b c α∈ 函数()2.f x ax bx c =++若()()()041,f f f =>则（）A. 0,40a a b >+=B. 0,40a a b <+=C. 0,20a a b >+=D. 0,20a a b <+= 116. 复数12z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 117. 设点(),,p x y 则“2x =且1y =-”是“点p 在直线:10l x y +-=上”的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 118. 若集合{}1,2,3,A ={}1,3,4,B =则A B 的子集个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 16 119. 双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）A. 12B. 2C.1D. 120. 若变量,x y 满足约束条件2,1,0,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值和最小值分别为（）A. 4和3B. 4和2C. 3和2D. 2和0 121. 若221x y +=,则x y +的取值范围是（）A. []0,2B. []2,0-C. [)2,-+∞D. (],2-∞-122. 将函数()()s i n 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像,若()(),f x g x 的图像都经过点0,,2P ⎛ ⎝⎭则ϕ的值可以是（） A.53π B.56π C.2π D. 6π 123. 在四边形ABCD 中,()()1,2,4,2,AC BD ==- 则该四边形的面积为（）B. C.5 D. 10 124. 复数()2z i i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 125. 若集合{}2|10A x ax ax =∈++= 中只有一个元素，则a =（）A. 4B. 2C.0D. 0和4 126.若sin 23α=则cos α=（） A.23- B. 13- C. 13 D. 23 127. 集合{}2,3,A ={}1,2,3,B =从,A B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是（） A.23 B. 12 C. 13 D. 16128. 下列选项中, 使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是（） A. (),1-∞- B.()1,0- C. ()0,1 D. ()1,+∞129. 已知集合{}|2,A x x =∈≤ {}|1,B x x =∈≤ 则A B = （）A. (],2-∞B.[]1,2C. []2,2-D. []2,1-130. 设变量,x y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（）A. 7-B. 4-C. 1D. 2 131. 设,,a b ∈ 则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 132. 已知过点()2,2p 的直线与圆()2215x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（） A. 12- B. 1 C. 2 D. 12133. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（） A. 1-B. 2-C. 2D. 0 134. 已知集合{}0,1,2,3,4,A ={}|2,B x x =<则A B = （）A. {}0B. {}0,1C. {}0,2D. {}0,1,2 135. 复数11z i =-的模为（） A. 12B. 2C. D. 2 136. 已知点()()1,3,4,1,A B -则与向量AB 同方向的单位向量为（）A. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 137. 下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A. 1p ,2pB. 3p ,4pC. 2p ,3pD. 1p ,4p 138. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >,则B ∠=( ) A.6πB. 3πC. 23πD. 56π139. 已知函数())ln 31f x x =-+,则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭() A.1- B. 0 C. 1 D. 2。

高考数学三轮冲刺选填题必刷卷

高考数学（理）三轮冲刺必刷卷3练1模拟（一）一、选择题1．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}【解析】由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C.2．已知i是虚数单位，a∈R，则“a＝1”是“(a＋i)2为纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为(a＋i)2＝a2－1＋2a i，当a＝1时，(a＋i)2＝2i，是纯虚数，当(a＋i)2为纯虚数时，a＝±1.故选A.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【解析】m∥α，m∥β⇒m∥l，又AB∥l，∴m∥AB，A正确；m∥l，又l ⊥AC，∴m⊥AC，B正确；AB∥l，AB⊄β，l⊂β，∴AB∥β，C正确；要使AC⊥β，AC应在平面α内，∴D不一定成立，故选D.4. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法．在△ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为()A．15B．14C．13D．12【解析】由题意，得“盈”部分的面积为12×a2×h2，又△ABC的面积为12ah，则该点落在标记“盈”的区域的概率为12×a 2×h 212ah＝14.故选B.5．函数f (x )＝sin x2＋cos x(－π≤x ≤π)的图象大致为( )【解析】因为f (－x )＝－sin x2＋cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除C ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π22＋cos π2＝12>0，排除D ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin 2π32＋cos 2π3＝33，且33>12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3.故选A.6．等差数列{a n }为递增数列，若a 21＋a 210＝101，a 5＋a 6＝11，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．1B ．2C ．9D ．10【解析】由等差数列的性质得a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝11.所以(a 1＋a 10)2＝121，即a 21＋2a 1a 10＋a 210＝121，又a 21＋a 210＝101，所以a 1a 10＝10.又因为数列{a n }是递增数列，所以由⎩⎨⎧a 1＋a 10＝11，a 1a 10＝10，得a 1＝1，a 10＝10，公差d ＝a 10－a 110－1＝1.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝(4c －b )cos A ，则cos2A ＝( )A．78B．18C．－78D．－18【解析】∵a cos B＝(4c－b)cos A.∴sin A cos B＝4sin C cos A－sin B cos A，即sin A cos B＋sin B cos A＝4cos A sin C，∴sin C＝4cos A sin C，又∵0＜C＜π，∴sin C≠0.∴1＝4cos A，即cos A＝14，则cos2A＝2cos2A－1＝－78.故选C.8．如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q－BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为()A．1 B．32C．52D．2【解析】由正视图可知，M是AD1的中点，N在B1处，Q在C1D1的中点，俯视图如图所示，其面积为2×2－12×2×1－12×1×1－12×1×2＝32.故选B.9．《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢．”翻译为“今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸，葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问需要多少日两蔓相遇．”其中1尺＝10寸，为了解决这一问题，设计程序框图如下所示，则输出的k的值为()A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】运行该程序，S ＝9－1.7＝7.3(运行)；k ＝2，S ＝7.3－1.7＝5.6(运行)；k ＝3，S ＝5.6－1.7＝3.9(运行)；k ＝4，S ＝3.9－1.7＝2.2(运行)；k ＝5，S ＝2.2－1.7＝0.5(运行)；k ＝6，S ＝0.5－1.7＝－1.2(输出)，结束，即输出的k 值为6.故选C.10．已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】如图，由直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，l ⊥F 2M ，可得|PM |＝|PF 2|，则|F 1M |＝|PF 1|＋|PM |＝|PF 1|＋|PF 2|＝10.故选A.11．函数f (x )＝sin2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，下列结论正确的是( ) ①f (x )的最小正周期为π；②对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝0；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④由y ＝2sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . A ．①② B ．③④ C ．①②③D ．①②③④【解析】 f (x )＝sin2x －3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故①正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝2sin0＝0，即函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，即对任意x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝0成立，故②正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数，故③正确．④由y ＝2sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，故④错误．故正确的结论是①②③.选C.12．设函数g (x )＝13x 3－12ax 2＋(x －a )cos x －sin x ，若a >0，则g (x )极值的情况为( )A ．极小值是g (0)＝－aB ．极大值是g (0)＝aC ．极大值是g (a )＝－16a 3－sin aD ．极小值是g (a )＝－16a 3－sin a【解析】 ∵g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，(x －sin x )′＝1－cos x ≥0，若a >0，则当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，x －sin x <0，∴g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，x －a <0，x －sin x >0，∴g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，x －sin x >0，∴g ′(x )>0，g (x )单调递增．∴当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ；当x ＝a 时，g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a ，故选D.二、填空题13．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝2，若(λa ＋b )⊥(a －2b )，则λ＝________.【解析】因为平面向量a ，b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝2，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝4， a ·b ＝|a ||b |cos 2π3＝－1.又因为(λa ＋b )⊥(a －2b )，所以(λa ＋b )·(a －2b )＝λa 2＋(1－2λ)a ·b －2b 2＝λ－(1－2λ)－8＝0.解得λ＝3. 14．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于________．【解析】由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.15．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________．【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的通项为T r ＋1＝C r 8()2x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18x 3r ＝C r 828－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18r ·x 8－4r . 令8－4r ＝0，得r ＝2，∴常数项为T 3＝C 2826⎝⎛⎭⎪⎫－182＝28. 16．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．【解析】由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.。

高中数学好题经典题总结400题(251—300)含答案

好题速递251题设,m k 为正整数，方程220mxkx 在区间0,1内有两个不同的根，则mk 的最小值是．解：2220mxkxkmxx于是问题转化为直线yk 与打勾函数2ymxx的图象的两个交点的横坐标均在区间0,1内，于是222mkm注意到2m 为整数，于是在区间22,2m m 上存在整数k 的充要条件为2221mm 解得322m 故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k 的最小值为13好题速递252题已知21xy，求22xxy的最小值是．解法一：令22xxym ，则222myxm因此22212myym，整理得22y my m m故用判别式2240mm m，解得45m解法二：设cos x r ，sin yr ，条件转化为2cossin1r r ，即12cossinr所求代数式转化为cos1cos 2cossinr r的最小值由此可有斜率角度求值域：2cos sin 2cos2sin2sin 252cos 1cos 1cos 14，（视为单位圆上的点与1,2连线斜率），则22cos 142cossin5xxy也可由三角函数角度求值域：22cos 14sin21cos12112cossin5mm m mm m评注：这里因为遇到22xy 的结构，故三角换元设cos x r ，sinyr 。

解法三：数形结合当0x时，点P 为21xy 上的一点，则22x xyPOPH如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21xy的对称点42,55Q 到y 轴的距离为45当0x 时，点P 为21x y上的一点，则22x xyPO PH而21POOHOB PH PH于是1PO PH好题速递253题如图，直线m 与平面，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是．解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OBOC 不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。

高中数学好题速递400题(第01—50题,word版,含问题详解解析汇报)

1．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有个．答案：30个好题速递21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为．【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有种．答案：192种好题速递31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE所以1OD OE ED ≤+当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2．将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有种．答案：30种1．在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP，则a = （2）当2a <时，min AP =1a =-2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种．答案：90种好题速递51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为．解：构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．答案：140种好题速递61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有种．答案：6种好题速递71．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x =+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+，所以22221x y a a c a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有个．答案：28个好题速递81．已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种．解： 48种好题速递91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是种．答案：20种好题速递101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2A C B C ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ，设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有种．答案：45种好题速递111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是．解：()421111421212x x x x xx k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有种．答案：55种好题速递121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有种．答案：31116322C C C C 种好题速递131．已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是．答案：2好题速递141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2．有种．答案：144种好题速递151．若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2．若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：121．函数()22fx x x =+，集合()()(){},|2A xy f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B 的元素构成的图形的面积是．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式种．答案：1680种好题速递171．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1E F F C +最小，则这个最小值为．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +最小．其最小值就是2EC ．连接212,A C B C ，计算可得2121AC B C AB ==，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2．若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m 的值为．答案：1或-31．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q a m b m m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫ ⎪⎝⎭所以22b b ac a -=-⋅，即2c a =，所以2e =2．现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为．答案：18好题速递191．已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42．已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C ++1n n n a C += ．答案：23n n +好题速递201．已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤≤即55MN ≤≤2．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是个．答案：48好题速递211．已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<- 2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有项．答案：5好题速递221．已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y Cx y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是．解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72好题速递231．数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2．设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为．答案：150好题速递241．已知集合(){}2,|21A x y y xbx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN （红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

数学高考近三年真题-冲刺2024年高考数学考前必刷题10之08(新结构通用)原卷版

10天刷完高考真题（新高考Ⅰ和Ⅱ卷2021-2023）-冲刺2024年高考数学考前必刷题（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第八天目录一览Ⅰ真题知识点分析Ⅱ真题限时训练Ⅲ精选模拟题预测Ⅳ真题答案速览Ⅴ自查自纠表Ⅰ真题知识点分析1 0.65 正弦定理边角互化的应用；基本不等式求和的最小值；20.65频率分布直方图的实际应用；由频率分布直方图估计平均数；利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率；3 0.40利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间；Ⅱ 真题限时训练新高考真题限时训练打卡第八天难度：一般建议用时:60分钟一、单选题1．（2021·全国·高考真题）设集合，则（） A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高考真题）已知，则（） A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）A ．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等4．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立5．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（） A ．B ．C ．D ．6．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===()U A B = ð{3}{1,6}{5,6}{1,3}2i z =-()i z z +=62i -42i -62i +42i +()210,N σσ(9.9,10.1)(9.9,10.2)(10,10.3)5log 2a =8log 3b =12c =c b a <<b a c <<a c b <<a b c <<(),a b e x y =A ．B ．C ．D ．二、多选题7．（2021·全国·高考真题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（） A ．两组样本数据的样本平均数相同 B ．两组样本数据的样本中位数相同 C ．两组样本数据的样本标准差相同 D ．两组样本数据的样本极差相同8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）A ．B ．C ．D ．三、填空题9．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．10．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是．四、解答题11．（2022·全国·高考真题）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．(1)若，求B ； (2)求的最小值．e b a <e a b <0e b a <<0e a b <<1x 2x n x 1y 2y n y i i y x c =+1,2,,),i n c =⋅⋅⋅()f x ()f x 'R ()()g x f x '=322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)g x +(0)0f =102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)(4)f f -=(1)(2)g g -=221x y +=22(3)(4)16x y -+-=()e x y x a =+ABC cos sin 21sin 1cos2A BA B=++23C π=222a b c+12．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.13．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a 的取值范围； (3)设．Ⅲ精选模拟题预测一、单选题1．已知集合，，则的真子集个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数的共轭复数是，若，则（）[20,70)0.1%[40,50)16%[40,50)()e e ax x f x x =-1a =()f x 0x >()1f x <-n *∈N ln(1)n ++>+ {}2,0,1,3A =-{}1,0,1,2B =-A B ⋂z z i 1i z ⋅=-z =A ．B ．C ．D ．3．某校有200人参加联合考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到120分之间的人数约为（） A ．75 B ．105C ．125D ．1504．若，则（） A ．事件与互斥 B ．事件与相互独立C ．D ．5．已知，则（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数，只有一个极值点，则实数m 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题79时到16时每隔一个小时测得同一个金属材料的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm ），则（） A ．该金属材料的长度的极差为0.04cm B ．该金属材料的长度的众数为3.63cm C ．该金属材料的长度的中位数为3.625cm D ．该金属材料的长度的第80百分位数为3.63cm8．已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（） A ． B ． C ． D ．三、填空题9．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成1i -+1i --1i -1i +()2105,N σ18()()()131,,1054P AB P A P B ===A B A B ()1320P A B +=1()5P AB =1225log 5,log 2,e a b c ===c a b <<a c b <<a b c <<b c a <<2()e 2xx f x m =-(,0]-∞(,0)-∞1(,0]e ∞⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ()g x R ()21f x +()21g x -(1)0f -=(8)()f x f x +=(3)0g =91()0k g k ==∑果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 .10．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为．四、解答题11．记的内角的对边分别为，已知． (1)求角；(2)若，点为的重心，且的面积．12．某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100(1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？(3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．()1λλ≠()0,0O ()3,0A (),P x y 12PO PA=P ()22:11C x y -+=()f x '()f x ()''f x ()f x '()y f x =()(),x f x ()()()3221f x K f x =⎡⎤+⎢'⎥⎣⎦''()()2cos 1f x x =-()y f x =()()1,1f ABC ,,A B C ,,a b c sin sin sin sin a b C Bc A B+-=-A 6a =M ABC AM =ABC x x x 95%x附：，其中．13．已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，判断函数是否存在零点？如果存在，求出零点的个数；(3)当且时，试讨论函数的单调区间和极值.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++20()P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010K 2.706 3.841 6.6357.87910.828()()211ln 2f x x a x a x =-++a 2a =-()y f x =()()22f ,59a =-()y f x =1a <0a ≠()y f x =。

高中数学必做100道题

高中数学必做100道题在高中数学学习过程中，数学题的练习是非常重要的一部分，可以帮助学生巩固知识、提高解题能力。

下面我为大家整理了一份高中数学必做的100道题，希望可以帮助大家更好地备考。

1. 计算：$3 \times 4 =$？2. 计算：$2^3 =$？3. 计算：$5 \times 6 - 2 =$？4. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} =$？5. 求下列代数式的值：$a = 3, b = 5$，计算 $2a + b = $？6. 求下列代数式的值：$x = 4, y = 2$，计算 $x^2 - y^2 = $？7. 求下列代数式的值：$m = 6, n = 3$，计算 $mn - 2m =$？8. 求下列代数式的值：$c = 8, d = 4$，计算 $cd + c =$？9. 求下列方程的解：$2x + 5 = 11$。

10. 求下列方程的解：$3y - 4 = 8$。

11. 求下列方程的解：$4z = 16$。

12. 求下列方程的解：$5w + 6 = 21$。

13. 简化下列分式：$\frac{8}{12}$。

14. 简化下列分式：$\frac{15}{20}$。

15. 简化下列分式：$\frac{18}{27}$。

16. 简化下列分式：$\frac{24}{36}$。

17. 求下列等式的值：$3a - 2 = 7$。

18. 求下列等式的值：$4b + 5 = 13$。

19. 求下列等式的值：$5c \div 2 = 10$。

20. 求下列等式的值：$6d \times 3 = 24$。

21. 计算三角形的面积：底边长为 5，高为 4。

22. 计算三角形的周长：边长分别为 3，4，5。

23. 计算正方形的面积：边长为 6。

24. 计算正方形的周长：边长为 8。

25. 解方程 $2x + 3 = 11 - x$。

26. 解方程 $3y + 5 = 2y - 1$。

高三必刷题试卷数学

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上的图像是单调递增的，则f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值分别是：A. 0，-2B. 2，0C. -2，0D. 0，22. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，那么数列{an^2}的通项公式是：A. (n+1)^2B. n^2 + 2n + 1C. n^2 + 2nD. (n+1)^2 - 2n3. 下列各式中，能表示x=2为方程的解的是：A. x + 1 = 3B. x - 1 = 2C. 2x + 1 = 5D. 2x - 1 = 34. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(x)的图像是：A. 一个顶点在(2, 0)的抛物线B. 一个顶点在(0, 4)的抛物线C. 一个顶点在(2, 4)的抛物线D. 一个顶点在(0, 0)的抛物线5. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的位置是：A. 位于实轴上B. 位于虚轴上C. 位于原点D. 位于第一象限6. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形的面积是：A. 6B. 8C. 10D. 127. 下列各函数中，在定义域内连续的函数是：A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2C. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 + 18. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1 = 1，a2 = 2，那么数列{an}的通项公式是：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^nD. 2^n - 29. 下列各式中，表示直线y = 2x + 1的方程是：A. 2x - y = 1B. x + 2y = 1C. 2x + y = 1D. x - 2y = 110. 若函数g(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，那么a、b、c的关系是：A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = x^3 - 3x在x = 1处的导数为0，则f(x)在x = 1处的极值是______。

2021年高三高考冲刺卷(一)数学试题 Word版含答案

绝密★启用前2021年高三高考冲刺卷（一）数学试题 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1.已知集合，，若，则实数的值为．2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于第象限．3.运行如图所示的伪代码，其结果为 .4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么．5．函数的单调减区间是 .6．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .7．以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．8.已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足，且，那么．S ←1For I From 1 To 79.若、均为锐角，且，，则．10. 若实数满足，且，则的最小值为 .11．已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面,则三棱锥的体积为．12．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为. 13．是等差数列{a n}的前n项和，若，则________．14．已知函数,.若方程恰有4个互异的实数根,则实数的取值范围为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知中，角、、所对的边分别为、、，满足．⑴求角的值；⑵若，，成等差数列，试判断的形状．16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平面A1C1FE.17．（本小题满分14分）已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝(Ⅰ)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），，为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；C1E OB1A1FD CB（2）若，求椭圆离心率的取值范围19．（本小题满分16分）已知数列满足，其中是数列的前项和．（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．20．（本小题满分16分）已知函数（），其中是自然对数的底数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵的特征值和特征向量．C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值. D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知正实数满足，求证：. A BDEOC·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4， AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．23．（本小题满分10分)已知，若存在互不相等的正整数…，使得…同时小于，则记为满足条件的的最大值．（１）求的值；（２）对于给定的正整数，（ⅰ）当时，求的解析式；（ⅱ）当时，求的解析式．1A 1B 1C ABCxx年高考数学冲刺卷01（江苏卷）答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题．．．．．．．卡相应位置上．．1.【命题意图】本题考查集合的运算，解题关键是掌握集合并集的概念．【答案】2【解析】由题意，得,则,则.2.【命题意图】本题考查复数的运算与复数的几何意义，考查运算求解能力．【答案】一【解析】因为，所以复数在复平面上对应的点位于第一象限.3.【命题意图】本题考查算法中的循环结构、伪代码等知识，考查学生阅读图表能力与运算求解能力．【答案】17【解析】第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17．4．【命题意图】本题考查抽样方法中的分层抽样，考查学生的数据处理能力与运算求解能力．【答案】200【解析】男学生占全校总人数为，那么5．【命题意图】本题考查复合函数的单调性、函数的定义域与一元二次不等式的解法，考查学生的运算求解能力．【答案】6．【命题意图】本题考查古典概型的基本计算方法，考查用列举法求事件的个数，考查运算求解能力．【答案】【解析】从5个数中，随机抽取2个不同的数共有10种情况，其中满足2个数的和为偶数共有1+3,1+5,2+4,3+5这4种，则这2个数的和为偶数的概率是．7.【命题意图】本题考查双曲线的标准方程、抛物线与双曲线的几何性质，考查运算求解能力．【答案】．【解析】设双曲线的标准方程为，y 2＝4x 的焦点为，则双曲线的焦点为；y ＝±x 为双曲线的渐近线，则，又因，所以，故双曲线标准方程为．8.【命题意图】本题考查向量的数量积运算，考查向量的线性运算，考查运算求解能力．【答案】3【解析】设正边长为，11()22DC AC AD AC AB AC AC AB =-=-+=-，所以，即，即，则．9.【命题意图】本题考查三角恒等变换中的两角和与差的余弦公式、同角三角函数关系，考查对公式的灵活运用能力以及配角法等方法．【答案】10.【命题意图】本题考查用基本不等式求最值，考查对数的运算性质及配方法．考查学生的推理论证能力．【答案】4【解析】由已知，，又，所以（当且仅当时取等号），所以最小值为4.11．【命题意图】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力和运算求解能力．【答案】【解析】因为平面平面,所以D 到直线BC 距离为三棱锥的高，134123412346,,25555ABC S h h ∆⨯⨯=⨯⨯=====．12．【命题意图】本题考查直线与圆相交问题、点到直线的距离、直线方程等基础知识，考查运算求解能力．【答案】【解析】如果直线与轴平行，则,不是中点，则直线与轴不平行；设，圆心到直线的距离，令中点为，则，在中,得，解得，则直线的方程为．13．【命题意图】本题考查等差数列的前项和公式，考查推理能力与运算求解能力．【答案】35．14．【命题意图】本题考查含绝对值的二次函数的图象与性质，以及函数与方程、零点等知识，考查学生运用分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想等综合解决问题的能力．【答案】(0,1)∪(9,+∞)【解析】由，得，作出函数，的图象，当，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则，此时，当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，，，此时不成立，∴此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得（舍去）或，综上a 的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，等差数列的性质，考查运算求解能力．16．（本小题满分14分）【命题意图】本题考查平面的基本性质，线面垂直的判断与性质．【解析】（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．………………………2分由直棱柱知，所以四边形为平行四边形，所以AC∥．……5分所以EF∥，故，，F，E四点共面．……………7分17．（本小题满分14分）【命题意图】本题考查函数的应用题，用基本不等式求函数的最值等数学知识，考查学生阅读理解能力、数学建模能力与运算求解能力．渗透了数形结合思想与数学应用意识．【解析】(1)当0<x≤40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；........ 2分当x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7360............4分所以，W＝....................................6分(2)①当0<x≤40，W＝－6(x－32)2＋6104，所以W max＝W(32)＝6104；.............10分②当x>40时，W＝－－16x＋7360，由于＋16x≥2＝1600，当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5760...........12分综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6104..................14分18．（本小题满分16分）【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆相交问题、直线的位置关系等基础知识，，考查运算求解能力和数形结合思想的应用．联立方程得：，消去得：解得：或…………14分解得：综上，椭圆离心率的取值范围为．…………16分19．（本小题满分16分）【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，等差数列的判断与通项公式，函数与方程思想，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识解决问题的能力．（3）由（2）得，对于给定的，若存在，使得，只需，即，即，则，…………12分取，则，∴对数列中的任意一项，都存在和使得．…………16分20．（本小题满分16分）【命题意图】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性以及零点等知识，考查综合运用数学方法分析与解决问题的能力．①当，即时，在上单调增，………8分②当，即时，在上单调减，在上单调增，解得：综上，的取值范围是． ………10分（3）设，令，令0 0增极大值减极小值增， ………13分，∴存在，时，，时，．在上单调减，在上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=->由零点的存在性定理可知：的根，即． ………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力与推理论证能力．B．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查矩阵的特征值与特征向量的概念、矩阵乘法等基础知识，考查运算求解能力．【解析】矩阵的特征多项式为，……………2分由，解得，. …………………………………………4分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量；………………………………7分当时，特征方程组为故属于特征值的一个特征向量．…………………………10分C．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查极坐标系与极坐标的概念、圆与直线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式，考查转化与化归能力与运算求解能力．D．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分）【命题意图】本题考查基本不等式的应用，考查转化与化归能力和推理论证能力．【解析】因为正实数满足，所以，即，…………………………5分所以因此，……………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分)【命题意图】本题考查空间向量、二面角和直线垂直的应用等基础知识，考查应用向量法解决空间角和距离的能力与运算求解能力．【解析】（1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以.由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.………5分23．（本小题满分10分)【命题意图】本题考查分类讨论思想、归纳推理能力，考查对有一定难度和新颖性问题的进行分析与解决的能力．【解析】（1）由题意，取，，满足题意，若，则必有，不满足题意，综上所述：的最大值为，即．………………4分（2）由题意，当时，设…，…，显然，时，满足，∴从集合中选出的至多个，时，，∴从集合中选出的必不相邻，又∵从集合中选出的至多个，∴从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间，∴，………………6分（ⅱ）当时，从中选出的个：…，考虑数的两侧的空位，填入集合的两个数，不妨设，则，与题意不符，∴，取一串数为：…（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给1分．）40201 9D09 鴉31356 7A7C 穼25551 63CF 描K836182 8D56 赖922064 5630 嘰36629 8F15 輕35459 8A83 誃21979 55DB 嗛| -27868 6CDC 泜。

高中数学好题速递400题(201—250)

好题速递201题之巴公井开创作解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=, ()2,0A -, 存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ, 对曲线C 上的任意一点(),M x y , 都有MA MBλ=成立, 则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最年夜距离为．解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=-故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩, 将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=, 得12b =-, 2λ=又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-, 所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最年夜距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52解法二：作为小题, 由MA MBλ=知是阿氏圆轨迹, 故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-, 即可得1311b bλ==+-, 解得12b =-, 2λ= 好题速递202题解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点, 点N 是其焦点, 点P 在该抛物线上, 且满足PMm PN=, 当m 取得最年夜值时, 点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上, 则该双曲线的离心率为．解：作''PP M P ⊥, 由抛物线界说'PP PN ='1cos PN PP PM m PN m PM PMθ=⇒===, 其中'MPP NMP θ=∠=∠要使m 取得最小值, 即cos θ最小, 即NMP θ=∠最年夜值, 即''2PMP MPP π∠=-∠最小, 此时MP 是抛物线的切线．设MP 的方程为2y kx =-, 与28x y =联立得()2820x kx --= 因为相切, 故264640k ∆=-=, 解得1k =故()4,2P , 2424a PM PN =-=-由24c =, 得21e =+好题速递203题解析几何模块6．已知斜率为1的直线l过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点F , 且与双曲线左、右支分别交于,A B 两点, 若A 是线段BF 的中点, 则双曲线的离心率为．解：由题意知122y y = 所以222492c b a =-, 所以221832c a e =⇒= 好题速递204题解析几何模块7．已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的动点,12,F F 是其左、右焦点, O 坐标原点, 若12PF PF OP+的最年夜值是则此双曲线的离心率是．解：设12,PF m PF n ==, 则()22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+又2m n a -=, 所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+-所以22244m n b OP OP +⎛⎫=+⎪⎝⎭所以m nOP +的最年夜值在OP a =时取到, 所以22446b a+=所以222b a =, 即e 好题速递205题解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy中, 圆C 的方程为()()22119x y -+-=, 直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点, M 为弦AB 上一动点, 以M 为圆心, 2为半径的圆与圆C 总有公共点, 则实数k 的取值范围是．解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤, 而5CM ≤恒成立, 故只要min1CM≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知, min CM 为点C到直线l 的距离d , 所以1d =≥, 解得34k ≥-好题速递206题解析几何模块9．已知点()1,0A m -, ()1,0B m +, 若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P , 使得0PA PB =, 则m 的最年夜值为．解：由0PA PB =得P 在以AB 中点()1,0M 为圆心,2AB 为半径的圆上, 所以P 的轨迹方程为()2221x y m -+=, 所以圆M 的半径为m, 又由P在圆C上,22:88310C x y x y +--+=的圆心()4,4C , 半径为1, 当圆M 与圆C 内切时, MP 最年夜为516MC CP +=+=好题速递207题立体几何模块1．如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中, E 是棱1CC 的中点, F 是正面11B BCC 上的动点, 而且1//A F 平面1AED , 则动点F的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．线段解：如图, 取1BB 的中点M , 11B C 的中点N , 显然可证明平面1//A MN 平面1AED , 当F 在线段MN 上时, 均有1//A F 平面1AED , 即动点F 的轨迹是线段MN .点评：善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键.例如, 考虑“线线平行”时,可转化为“线面平行”或“面面平行”；考虑“线面平行”时, 可转化为“线线平行”或“面面平行”；考虑“面面平行”时, 可转化为“线线平行”或“线面平行”.在斜二测画法画图时, 平行关系不会改变, 因为要找平行线, 可以考虑在图象上推平行线, 然后关注哪个位置看起来比力特殊, 例如中点, 中位线之类.好题速递208题立体几何模块2．如图, 在三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 与1BB 上各有一个动点P , Q , 且满足1A P BQ =, M 是棱CA 上的动点, 则111M ABQPABC A B C M ABQPV V V ----的最年夜值是．解法一：设111ABC A B C V V-=, 则11113M ABQP M B BA C B BA B CBA V V V V V ----=≤==（注：这里用到了梯形ABQP 的面积与1ABB ∆的面积相等.）即M 与C 重合时, M ABQPV-最年夜,1111112113M ABQPABC A B C M ABQPM ABQPV V V V V V V ----=≤=--- 解法二：设M ABQPV V-=, 1110ABC A B CV V -=为定值, 则()0V f V V V=-是关于V 的增函数所以()max000113123C ABQP C ABQPV V f V V V V V --===--好题速递209题立体几何模块3．已知线段//AD α, 且AD 与平面α的距离为4, 点B 是平面α上的动点, 且满足5AB =, 若10AD =, 则线段BD 长度的取值范围是．解：如图, 将线段AD 投影到平面α上, 获得射影''A D , 将空间问题平面化, 则动点B 的轨迹是以'A 为圆心, 半径为22543-=的圆,又22''BD DD BD =+, 103'103BD -≤≤+, '4DD =,所以491616916BD +≤≤+, 即65185BD ≤≤好题速递210题立体几何模块4．已知P 为正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 上的一点,且()()10,1BP BD λλ=∈, 下面结论：①11A D C P ⊥；②若1BD ⊥平面PAC , 则13λ=；③若PAC ∆为钝角三角形,则10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；④若2,13λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则PAC ∆为锐角三角形．其中正确结论的序号为．解：在正方体1111ABCD A B C D -中, 1A D ⊥平面11ABCD , 又1C P ⊂平面11ABC D ,故11A D C P ⊥, ①正确；由题可知1BDAC ⊥, 若1BD ⊥平面PAC , 则1BD CP ⊥设正方体的棱长为1, 则1BC =, 12CD =, 13BD =, 在1Rt BCD ∆中,21BC BP BD =所以33BP =, 所以113BP BD =, ②正确；在正方体1111ABCD A B C D -中, 以11A B 为x 轴, 11A D 为y 轴, 1A A 为z 轴建系, 设棱长为2, 则()()()()10,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,0A B C D设(),,P x y z , 由1BP BD λ=, 得22,2,22x y z λλλ=-==- 所以()22,2,2PA λλλ=--, ()2,22,2CP λλλ=--+-, ()2,2,0CA =-- 若PAC ∆为钝角三角形, 则APC ∠为钝角, 21280PA PC λλ=-<, 解得20,3λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, ③错；同理, 那时2,13λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 21280PA PC λλ=->, 所以PAC ∆为锐角三角形,④正确.所以正确结论为①②④.好题速递211题立体几何模块5．如图, 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中, 若点P 是棱上一点, 则满足12PA PC +=的点有个．解：点P 既在以1,A C 为焦点, 长轴为2的椭球上,又在正方体的棱上. 因为1122BA BC +=+>, 故点B 在以1,A C 为焦点, 长轴为2的椭球外,所以椭球必与线段AB相交（交点就是AB的中点）, 同理在111111,,,,AD AA C B C D C C 上各有一个交点满足条件又若点P 在1BB 上,则12PA PC +>, 故1BB 上不存在满足条件的点P , 同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上也不存在满足条件的点P .好题速递212题立体几何模块6．将一个长宽分别为(),0a b b a <<的铁皮的四个角切去相同的正方形, 然后折成一个无盖的长方体的盒子（不计粘合处）, 若这个长方体的外接球的面积存在最小值, 则a b的取值范围是．解：设切去的小正方形的边长为x , 长方体的外接球的半径为R则()()()()22222224229402b R x a x b x x a b x a b x ⎛⎫=+-+-=-+++<< ⎪⎝⎭因为长方体的外接球的面积存在最小值, 所以()20920a b b b a +⎧<<⎪⎨⎪<<⎩, 解得514a b << 好题速递213题在直角梯形ABCD 中, //AB CD , 1AB BC ==, CD AB BC ⊥, 动点M在以C为圆心且过点D的圆内运动（不含鸿沟）, 设(),AM mAB nBC m n =+∈R , 则m n +的取值范围是．解：建立直角坐标系, ()','M x y , ()1,0A , ()0,0B , ()0,1C, D ⎫⎪⎪⎝⎭由(),AM mAB nBC m n =+∈R 得'1,'x m y n =-=动点M 在()22112x y +-≤内运动, 所以()()221112m n -+-≤求目标函数m n +的取值范围是()1,3好题速递214题在曲线()22:20C x y x -=>上任取,A B 两点, 则OA OB 的最小值为．解：记()()1122,,,A x y B x y , 则1212OA OB x x y y =+且()2211120x y x -=>, ()2222220x y x -=>,同时满足()1,2i i x y i >=, 即0i i x y +>, ()01,2i i x y i ->=当且仅那时1212,x x y y ==-取得“=”, 故OA OB 的最小值为2．好题速递215题已知函数()f x 是界说在R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数x都有()()()11xf x x f x +=+, 则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．解：令12x =-, 则111111222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭令0x =, 则()00f =那时0x ≠, 由()()()11xf x x f x +=+得()()11x f x f x x++=则535353512203122323222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故()5002f f f ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦好题速递216题已知实数a b c <<, 设函数()111f x x a x b x c=++---的两个零点分别为()1212,x x x x <, 则下列关系中恒成立的是（）（A ）12a x x b c <<<< （B ）12x a b x c <<<< （C ）12a x b x c <<<< （D ）12a x b c x <<<<解：()111f x x a x b x c=++---的两个零点,即()()()()()()()g x x a x b x a x c x c x b =--+--+--的两个零点因为()g x 开口向上, ()()()g b b a b c =--, 又a b c <<, 所以()0g b < 即函数()g x 的零点一个年夜于b , 一个小于b , 且()0g a >, ()0g c > 所以根据“一上一下, 中间一点”的原则, 可知12a x b x c <<<<, 选C好题速递217题已知点()1,2A 在抛物线2:2y px Γ=上, 若ABC ∆的三个极点都在抛物线Γ上, 记三边,,AB BC CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k , 则123111k k k -+=．解：2:4y x Γ=, 设211,4y B y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 222,4y C y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以222212121122123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=---点评：抛物线题目的计算量相对椭圆、双曲线要小一些, 主要是基于抛物线上的点的设法2,2y y p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, 在化简过程中利用好平方差公式, 可以使得计算简便.这个过程要做到比力熟练.好题速递218题已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(),b c 上都有零点, 则2222242a ab ac bcb bc c +++-+的最小值为．解：由题意知, 30320b a b a +<⎧⎨+<⎩, 两式相加得20a b +<30320c a c a +>⎧⎨+>⎩, 两式相加得20a c +> 所以()()()()()()()()()2222222222222222412a b a c a b a c a b a c a ab ac bc b bc c b c b c b c --++⎡⎤⎢⎥++--++++⎣⎦==-≥-≥--+--- 当且仅那时22a b a c --=+取得等号.点评：这里用到了基本不等式, 如果一下子看不出来, 也可以先利用齐次化思想, 将分子分母同除以2a , 令,b c x y aa==, 将式子简化,就容易发现了.好题速递219题已知函数()()4sin cos ,4cos bx x bx x f x a a b x++=+∈+R , 若()f x 在R 上既有最年夜值又有最小值, 且最年夜值与最小值的和为4, 则32a b -=．解：()4sin cos sin 4cos 4cos bx x bx x xf x a a bx xx++=+=++++已知()f x 在R 上既有最年夜值又有最小值, 故0b =又()sin 4cos x f x a x=++是奇函数, 且最年夜值与最小值的和为4, 则24a =, 2a =故326a b -=好题速递220题对函数()y f x =, 如果存在区间[],m n , 同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 内是单调的；②当界说域是[],m n 时, ()f x 的值域也是[],m n , 则称[],m n 是该函数的“和谐区间”．若()()110a f x a ax+=->存在“和谐区间”, 则a 的取值范围是．解：因为()()110a f x a a x+=->在(),0-∞和()0,+∞上是增函数, 所以[](),,0m n ⊆-∞或[](),0,m n ⊆+∞, 且()f m m =, ()f n n =因此,m n是方程11a x a x+-=的两个不相等且同号的实数根, 即()210ax a x a -++=有两个不相等且同号的实数根又1210a x x a++=>且121a x x a==, 故只需()22140a a ∆=+->, 解得113a -<<又0a >, 故01a <<好题速递221题已知以4T =为周期的函数())()11213x y f x x x ⎧≤⎪==⎨--<≤⎪⎩, 其中0m >, 若()3f x x =恰有5个实数解, 则m 的取值范围是．解：那时[]1,1x ∈-, 原函数式化为方程()22211y xy m+=≥, 暗示一个半椭圆, 那时[]1,3x ∈, 是两线段()112y x x =-<≤和()323y x x =-<≤组成的折线,再根据周期性画出年夜致图象如图所示. 由图象可知, 当直线3x y =与第二个半椭圆()()222410y x y m-+=≥相交,而与第三个半椭圆()()222810y x y m -+=≥无交点时, 方程()3f x x =恰有5个实数解, 由方程组()()2223041x y y y x m ⎧=⎪⎪≥⎨⎪-+=⎪⎩消去y得()22229172350m xm x m +-+=由0∆>,解得m >由方程组()()2223081x y y y x m ⎧=⎪⎪≥⎨⎪-+=⎪⎩消去y 得()2222911445670m x m x m +-+= 由0∆<,解得0m <m <<好题速递222题（2015重庆理科第16题）若函数()12f x x x a=++-的最小值为5,则a = ________．解法一：依照1,1a a <-≥-两类分类讨论, 画出()12f x x x a=++-的折线图, 图象最低点的纵坐标为5, 求得6a =-或4a = 解法二：由题意得125x x a ++-≥, 从而1522x x a +-≥-设()()15,22x g x x a h x +=-=-()g x x a=-的图象是以(),0a 为极点的开口向上的“V ”形图.()1522x h x +=-的图象是以51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为极点的开口向下（开口比()g x x a=-的图象开口年夜）的“V ”形图, 且与x 轴交点的坐标为()()6,0,4,0-. 当6a =-或4a =时, 1522x x a +-≥-, 所以若函数()12f x x x a=++-的最小值为5, 则6a =-或4a =好题速递223题若动点P 在直线1:20l x y --=上, 动点Q 在直线2:60l x y --=上, 设线段PQ的中点为()00,M x y , 且()()2200228x y -++≤, 则2200x y +的取值范围是________．解法一：设点()11,P x y 满足1120x y --=, 点()22,Q x y 满足2220x y --= 两式相加得点()00,M x y 的轨迹是直线0040x y --= 同时点()00,M x y 满足()()2200228x y -++≤所以满足条件的点M 在线段AB 上, 其中点()0,4A -, ()4,0B 分别为直线40x y --=与圆()()22228x y -++=的交点, 2200x y +暗示线段AB 上的点与坐标原点连线距离的平方, 所以当M 运动到()0,4A -或()4,0B 时, 2200x y +取得最年夜值为16, 当M 运动到圆心()2,2C -时, 220x y +取得最小值为8,故[]22008,16x y +∈解法二：将0040x y --=代入()()2200228x y -++≤, 获得[]04,0y ∈-将0040x y --=代入2200x y +得()[]22220000028162288,16x y y y y +=++=++∈好题速递224题★设反比例函数()1f x x=与二次函数()()20g x ax bx a =+>的图象有且仅有两个分歧的公共点()11,A x y , ()22,B x y , 且12x x <, 则12y y =．解：()1f x x=与()()20g x ax bx a =+>的图象有且仅有两个分歧的公共点⇔方程21ax bx x=+有两个分歧的实数根12,x x ⇔方程3210ax bx +-=有两个分歧的实数根12,x x三次方程仅有两个实根, 故必有一个是一次根, 一个是重根.⇔方程()()232121ax bx a x x x x +-=--或()()232121ax bx a x x x x +-=--对第一种情况, 等式两边展开比力系数得()122b a x x =--, 211220x x x +=,2121ax x -=-故1220x x +=, 因为12x x <, 所以120x x <<, 122x x =-对第二种情况, 等式两边展开比力系数得()122b a x x =--, 221220x x x +=, 2121ax x -=-故1220x x +=, 因为12x x <, 所以120x x <<, 但由2121ax x -=-知10ax >, 与10,0a x ><矛盾, 故舍去.点评：本题是自山东高考题改编而来, 解法中运用了三次方程求根的因式分解, 奇次根穿过与偶次根反弹的问题.浙江高考曾屡次考过类似的问题, 值得注意.例如：（2014浙江文7）已知函数32()f x x ax bx c=+++, 且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤, 则A ．3≤cB ．63≤<c C ．96≤<cD ．9>c解：方程(]32()0,3f x x ax bx c t =+++=∈的三个根为1,2,3---, 故()()()32123x ax bx c t x x x +++-=+++ 比力系数得6c t -=, 故(]66,9c t =+∈（2012浙江理17）设a R ∈, 若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥, 则a =____．解：()()2121x ax x x x x --=--, 且120x x <<, 因为2[(1)1](1)0a x x ax ----≥对0x >恒成立, 则11x a =-必是二重零点代入得：211011aa a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭, 解之得：230==a a 或, 舍去0=a , 得谜底：23=a （2013浙江文16）设,ab ∈R , 若0x ≥时恒有()243201x x ax b x ≤-++≤-, 则ab =.【解析】那时1x =, 有00a b ≤+≤, 所以得b a =-, 代回原式故1x =肯定是重根, 即3x a +中必有因子1x -, 所以1,1a b =-=, 所以1ab =-点评：这三道题都是加深零点意义理解的好题.零点就像是x 轴上的守门员, 关系着函数正负性变动的重任, “奇重零点穿过, 偶重零点反弹”.好题速递225题设,x y 是正实数, 且1x y +=, 则2221x y x y +++的最小值是________．解：设2x m+=,1y n+=, 则题目酿成“已知4m n +=, 求()()2221m n mn--+的最小值.当且仅当2,4m n m n =+=, 即84,33m n ==, 即21,33x y ==时取得等号点评：本题还是分母换元使得式子简化, 灵活运用均值不等式.好题速递226题（重庆高考题）函数())02f x x π=≤≤的值域是__________．解：()()2232cos 2sin 1cos 1sin x x x x --=-+- 设1sin ,1cos x a x b -=-=,则问题酿成求y =解法一：那时0a ≠,有y =将b a视为圆()()22111a b -+-=上任一点与原点连线的斜率, 结合图形可知0b a≥,所以10y -≤<, 那时0a =, 0y =综上可知, []1,0y ∈- 解法二：注意到22a y a b-=+, 联想其结构特征与三角函数中的正余弦界说式相似于是设直线OP 的倾斜角为θ, 则02πθ≤≤所以[]cos 1,0y θ=-∈-好题速递227题已知(),a xb yc x y =+∈R , 2a b ==, 1c =, ()()0a c b c -⋅-=, 则a b -的取值范围是________．解法一：考虑向量模的几何意义由2a b ==和()()0a c b c -⋅-=, 可作出图形c的终点C 必在以AB 为直径的圆'O 上又1c =, 故c 的终点C 必在以O 为圆心, 1为半径的圆上所以问题转化为'O 与O （半径为1的小圆）有交点注意到'O 的半径为22AB a b -=, 圆心距1'2OO a b =+所以两圆相交需满足11222a b a b a b -+--≤≤+且有2222216a ba b a b ⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭作一个整体换元, 设a b x +=, a b y -=问题转化为规划问题, 已知2216222,x y x y x y x y +⎧+=⎪-≤-≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩R , 求y 的取值范围. 如图可得71,71y ⎡⎤∈-+⎣⎦解法二：代数方法22282a b a a b b a b-=-+=-, 因此只需求a b 的取值范围由()()0a c b c -⋅-=得()20a b a b c c -++= 所以()1cos a b a b c a b c a b θ+=+=+≤+即()2221282a b a a b b a b +≤++=+, 解得77a b -≤≤所以22282827,827a b a a b b a b ⎡⎤-=-+=-∈-+⎢⎥⎣⎦, 故71,71a b ⎡⎤-∈-+⎣⎦解法三：解析几何坐标方法解：设()1,0c =, 设A , B 是以O 为圆心, 2为半径的圆上两点, 且AC BC , 则 | a －b | = AB = 2 MC ． ∵MO2MA 2 = OA 2, 而MA = MC , ∴MO 2MC 2 = 4．设(),M x y , 则2222(1)4x y x y ++-+=, 即2232x y x +-=．（*）| a －b | = AB = 2 MC =222(1)x y -+223221221522x y x x x x =+-+=+-+=-． yxOMC BA由（*）知x ,∴即11．171a b ≤-≤+．好题速递228题已知实数,,a b c , 满足222a b a b ++=, 2222a b c a b c ++++=, 则c 的最年夜值是________．解：记2,2,2a b c x y z ===, 则x y xyx y z xyz +=⎧⎨++=⎩因为4x y xy xy +=≥≥故141113xy z xy xy ==+≤-- 即c 的最年夜值是24log 3好题速递229题设函数()241x f x x =+, ()cos2cos g x x k x ππ=+, 若对任意的1x ∈R , 总存在2x ∈R , 使得()()21g x f x =成立, 则实数k的取值范围是________．解法一：由题意知()f x 的值域是()g x 值域的子集, 易得()f x 的值域是[]2,2-设cos t x π=, 则()g x 的值域为()[]221,1,1h t t kt t =+-∈-的值域, 再通过分类讨论进行解答()()141212k h h ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤-⎨⎪≥⎪⎪⎩或()210482812k k h ⎧-≤-≤⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩或()201482812k k h ⎧<-<⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩或()()141212k h h ⎧-≥⎪⎪⎪≤-⎨⎪-≥⎪⎪⎩ 解得(),2222,k ⎤⎡∈-∞-+∞⎦⎣ 解法二：解法一惯例, 但计算量较年夜, 作为填空题不划算.故从数形结合的角度, 利用函数图象给出解法二.()f x 的值域是[]2,2-, 设[]cos 1,1t x π=∈-,则问题可以转化为对任意实数[]2,2m ∈-, 关于t 的方程221t kt m +-=在[]1,1-上有解,即对任意实数[]2,2m ∈-, 总存在k , 使得直线1y kt =-与22y m t =-在[]1,1-是有公共点,即直线1y kt =-与一簇函数[][]22,1,1,2,2y m t t m =-∈-∈-个个都有公共点, 从图象上显然看到, 只要直线1y kt =-与函数[]222,1,1y t t =--∈-有公共点即可, 于是求得(),2222,k ⎤⎡∈-∞-+∞⎦⎣ 好题速递230题在ABC∆中,AB边上的中线2CO =, 若动点P满足()22sin cos AP AO AC θθθ=+∈R , 则()PA PB PC +的最小值是．解：因为()22sin cos AP AO AC θθθ=+∈R , 系数之和为1, 故,,C P O 三点共线, 且[]22sin ,cos 0,1θθ∈, 所以点P 在线段OC 上, 设[]()0,2PQ t t =∈,故()()()2222124PA PB PC PO PC t t t t +==--=- 那时1t =, 取最小值2-好题速递231题设数列{}n a 满足121,2a a ==, 且121max ,44n n na a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭=, 则2015a =．解：找规律.易知31max 2,14412a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭==⨯, 411max ,1244216a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭==⨯, 511max ,11641842a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭==⨯, 611max ,8411416a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭==⨯, 71max 1,42148a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭==⨯, ……, 故数列{}n a 是周期为5的数列, 所以2015518a a ==好题速递232题设数列{}n a 满足191,7a a ==, 且211221n nn n n a a a a a +++-+=+, 则5a =．解：()()2221111211121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++--+-+===-+++即()212111n n n a a a ++++=+令1n n b a =+, 则221n n n b b b ++=, 即数列{}n b 是等比数列, 且192,8b b ==, 故54b =, 即53a =好题速递233题已知113k ≤<, 函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <, 函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <, 则()()4321x x x x -+-的最小值为．解：()()()12122221021,21log 1,log 1xx x f x k k k x k x k =--=⇒=-=+⇒=-=+由（1）（2）得()()432122314log log 311k x x x x kk +⎛⎫-+-==-⎪--⎝⎭因为113k ≤<, 故()()43212log 3x x x x -+-≥好题速递234题已知函数()()222147f x ax a x a =+-+-, 其中*a ∈N , 设0x 为()f x 的一个零点, 若0x ∈Z , 则符合条件的a 的值有个．解：()()()()222722147022x f x ax a x a a x x +=+-+-=⇒=≠-+因为*a ∈N , 故()22712x x +≥+, 解得()312x x -≤≤≠-由0x ∈Z 知, 03,1,0,1x =--那时03x =-, 1a =；那时01x =-, 5a =；那时00x =, 74a =（舍去）；那时01x =, 1a =综上, 符合条件的1a =或5a =, 有两个值.好题速递235题已知O是ABC∆的外心,2AB a=,()20AC a a=>,120BAC ∠=, 若(),AO AB AC αβαβ=+∈R , 则αβ+的最小值为．解：因为2222222242242a a AO AB AB AB ACAO AC AB AC AC a a αβαβαβαβ⎧=-⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨=-+⎪⎪=+⎩⎩,解得22133aα=+ , 2233a β=+故22412333a a αβ+=++≥点评：这里又是三角形外心与向量的罕见结合题, “外心点积转边投影”是正道.好题速递236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R , 设a b <, ()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩, 若函数()y f x x a b =++-有四个零点, 则b a -的取值范围是．解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定, 极点(),t t -在y x =-上运动的抛物线, 于是当,a b 取分歧值时所对应的函数()f x 图象如图所示, 是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-=函数()y f x x a b =++-有四个零点, 可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点, 故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离年夜于b a -即可.故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭, 解得25b a ->+ 好题速递237题在ABC ∆中, 若2AB =, 2210AC BC +=, 则ABC ∆的面积取得最年夜值时, 最长的边长即是．解法一：设CH h =, AH x =,由题知2210a b +=, 2c =, 12ABC S ch h ∆==因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤故()max 2ABC S ∆=, 当且仅那时1x =, 取得最年夜值, 此时5,2a b c ===解法二：由余弦定理知2222239cos sin 2AC BC AB AC BC C C AC BC AC BCAC BC+-⋅-==⇒=⋅⋅⋅故22222111sin 9922222ABCAC BC S AC BC C AC BC ∆⎛⎫+=⋅⋅=⋅-≤-= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅那时5AC BC ==, 等号成立, 故最长边为5好题速递238题如图, ,C D 在半径为1的O 上, 线段AB 是O 的直径, 则AC BD 的取值范围是．解法一：极化恒等式角度显然当,DC DB 均为O 的直径时, DC DB 最年夜为4；取BC 的中点M , 则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=-故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度要求max AC BD , 显然在AC确定的情况下, CE最年夜.如图, 当DE AE ⊥且DE AE ⊥与圆相切时, CE 最年夜. 此时设CEx =, 则,1DF x OF x ==-, ()21AC x =-所以()21121222x x AC BD AC CE x x +-⎛⎫==-≤⋅= ⎪⎝⎭显然当且仅当D 与A 重合, C 与B 重合, 即AC 与BD 反向且模长均为直径时, ()min 4AC BD =- 解法三：坐标角度设()cos ,sin C αα, ()cos ,sin D ββ所以()()cos 1,sin cos 1,sin AC BD ααββ=+- 令1cos 0,2t β⎡⎤=-∈⎣⎦则AC BD 222112222t t t ⎛⎫≤-=-++≤ ⎪ ⎪⎝⎭令1cos 0,2t β⎡⎤=-∈⎣⎦则AC BD 22212422t t t ⎛⎫≥--=-++≥- ⎪ ⎪⎝⎭（当且仅那时2t =取得等号）解法四：利用竞赛知识设AOC α∠=, COD β∠=, BOD γ∠= 则αβγπ++=在竞赛中证明过一个不等式, 在ABC ∆中, 有3cos cos cos 2A B C ++≤所以3cos cos cos 2A B C ++≤这里用了三角的积化和差、和差化积公式, 属于超纲内容. 所以1cos cos cos 12AC BD βγα=++-≤好题速递239题★在平面直角坐标系xOy 中, 设,,A B C 是圆221x y +=上分歧的三个点, 若存在实数,λμ, 使得OC OA OB λμ=+, 则()223λμ-+的取值范围是．解法一：222cos 1OC OA OB λμλμλμθ=+⇒++=（这里的θ就是向量夹角, 由于三点分歧, 故()cos 1,1θ∈-）那时0λμ>有222111λμλμλμ+-<⇒-<-< 那时0λμ<有222111λμλμλμ++<⇒-<+< 画出可行域如图,于是将()223y λμ=-+视为可行域内的(),λμ到点()3,0的距离的平方, 易得那时()(),2,1λμ→-, 2y →, 那时λ→+∞, y →+∞, 故()2232λμ-+> 解法二：222cos 1OC OA OB λμλλθμ-=⇒-+= 于是()()()()2222222cos 3cos 3cos 3332cos 1210102222θθθλμλλλθλ+++⎛⎫-+=-+-+=-+-≥-> ⎪⎝⎭解法三：由0OA OB CO λμ++=可以构造三角形法则故设,OM OA MC OB λμ==, 则,,1λμ构成OM C ∆的三边（否则,,A B C 三点中至少有两个点重合）, 如图所示于是满足111λμλμμλ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩, 画出可行域, 后续如解法一.好题速递240题★已知二次函数()()20f x ax bx c b a =++>>为非负, 则a b c b a++-的最小值为．解法一：齐次化思想根据条件有0,0a >∆≤,则1b a <≤因此22111c c a b c a b b a a ++++=+≥--12t >, 则()223219132124421a b c t t b a t t +++-≥+=++≥---当且仅当2t =及b a=时取得最小值, 即4b c a ==时取得.解法二：根据条件有0,0a >∆≤, 则24b c a≥故24b a b a b c a b a b a++++≥-- 令()0b a t t =+>得23943244b a b a b c a t a b a b a t a ++++≥=++≥-- 当且仅当3t a =及24b c a=时取得最小值, 即4b c a ==时取得.解法三：令()0a b c t t b a++=>-, 得()()c t b a b a =--+, 代入240b ac ∆=-≤得()()()()()()2222222344343332a b a b a b t a b a a b a a b a+++≥=≥=-+-⎡⎤⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦当且仅那时4b c a ==取得等号解法四：待定系数法假设a b c t b a++≥-, 化简为()()110t a t b c ++-+≥又20x a xb c ++≥故比对系数得21,1x t x t =+=-, 得()211t t -=+, 即3t =, 此时2x =- 即因为()20f -≥, 所以()4203a b c a b c b a -+≥⇒++≥- 因为b a >, 所以3a b c b a++≥-好题速递241题已知,a b +∈R , 223a b ab +-=, 则2a b +的最年夜值是．解法一：判别式法令2t a b =+, 2b t a =-代入223a b ab +-=得227530a at t -+-= 关于a 的一元二次方程有解得()22252830t t ∆=--≥, 即228t ≤所以2t a b =+≤当且仅那时()55214142a a t a b b a b ⎧=⎧⎪==+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩取得等号.解法二：化齐次式令353,5u t u t -+==故2252531312849114911u y u u u u ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+=+≤ ⎪ ⎪-+⎝⎭ ⎪-+ ⎪⎝⎭ 当且仅那时47,5u t ==取得等号.解法三：222232b a b ab a ⎫⎛⎫+-=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令,2b m a n =-=, 即223m n +=设,m n θθ==,则sin ,2sin a b θθθ==故()24sin a b θθθϕ+=+=+解法四：利用余弦定理构造三角形设ABC ∆的三边分别为,,a b c 由223a b ab +-=得60C =由正弦定理2sin sin sin a b cA B C===, 故2sin ,2sin a A b B == 故()()()222sin 2sin 4sin 4sin 1205sin a b A B A A A A A ϕ+=+=+-==+其中tan ϕ=<, 故取0,6πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 23A πϕϕϕ<+<+故2a b +∈⎝ 评注：本题是很罕见的最值问题, 解法一、解法二是惯例的两种方法, 解法三利用三角换元, 解法四构造三角形的方法不单求出了最年夜值, 还取到了最小值.好题速递242题（2015全国联赛2）若实数α满足cos tan αα=, 则41cos sin αα+的值为．解：由cos tan αα=得2cos sin αα=,评注：这里用了1的逆用, 简化了计算, 固然也可以把sin ,cos αα都算出来, 不外计算量比力年夜.好题速递243题（2015全国联赛4）在矩形ABCD 中, 2,1AB AD ==, 边DC 上（包括,D C）的动点P 与CB 的延长线上（包括点B ）的动点Q 满足DP BQ=,则PA PQ 的最小值为．解：无妨设()()()0,0,2,0,0,1A B D , 则()(),102P t t ≤≤, 则由DP BQ=得()2,Q t -,故()(),1,2,1PA t PQ t t =--=---评注：坐标法解决向量问题是罕见方法.好题速递244题（2015全国联赛6）在平面直角坐标系xOy中, 点集()()(){},|36360K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为．解：设(){}1,|360K x y x y =+-≤先考虑1K 在第一象限中的部份, 此时有36x y +≤, 故这些点对应于图中的OCD ∆及其内部, 由对称性知, 1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部同理设(){}2,|360K x y x y =+-≤, 则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部. 由点集K 的界说知, K 所对应的平面区域是被1K , 2K 中恰好一个所覆盖的部份, 因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S由直线:36CD x y +=, 直线:36GH x y +=得交点33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭由对称性知, 138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=好题速递245题（2015全国联赛7）设ω为正实数, 若存在(),2a b a b ππ≤<≤, 使得sin sin 2a b ωω+=, 则ω的取值范围是．解：由sin sin 2a b ωω+=知, sin sin 1a b ωω== 而[][],,2a b ωωωπωπ⊆, 故题目条件等价于：存在整数(),k l k l <, 使得22222k l ππωπππωπ≤+<+≤①那时4ω≥, 区间[],2ωπωπ的长度不小于4π, 故必存在(),k l k l <满足①式那时04ω<<, 注意到[](),20,8ωπωππ⊆, 故仅需要考虑如下几种情况：（i ）2222ππωππωπ≤<+≤, 此时12ω≤且54ω≥, 无解（ii ）24222ππωπππωπ≤+<+≤, 此时9542ω≤≤（iii ）46222ππωπππωπ≤+<+≤, 此时13942ω≤≤, 得1344ω≤<综上, 可知9542ω≤≤或134ω≥好题速递246题（2015全国联赛9）若实数,,a b c 满足242a b c +=, 424a b c +=, 则c 的最小值是．解：设2,2,2a b c x y z ===, 则,,0x y z > 由条件知2x y z +=, 22x y z += 故()22222242z y x z y z y z y -==-=-+故42211112442y y z y y y y ⎛⎫+==++≥⋅= ⎪⎝⎭当且仅当212yy =, 即y =z由于2log c z =, 故c 的最小值为225log log 33=- 评注：本题又是“三个字母两个方程, 少一个合情合理”的问题.在处置的时候用到了三元均值不等式a b c ++≥好题速递247题（2015安徽全国联赛3）设平面向量,a b 满足[],,1,3a b a b +∈, 则a b 的取值范围是．解法一：由于22211722a b a ba b ⎛⎫=+--≥- ⎪⎝⎭, 那时3,3,1a b a b ==+=取得等号又221944a b a ba b ⎛⎫=+--≤ ⎪⎝⎭, 那时3,a b a b +==取得等号故179,24a b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：取平面内OA a =, OB b =-, 则ABa b =+于是问题转化为在同心圆环（13r ≤≤）内的两点,A B 之间的距离在[]1,3之间, 求OA OB -的取值范围.（评注：又是一个点发出的两个向量做点积, 极化恒等式又有用武之地啦！）2214OA OB OM AB =-, 其中M 是线段AB 的中点如图所示, 由圆的垂径定理得, 2224AB OM OA =-当,A B 位于半径为3的圆周上, 且1AB =时2OM 取得最年夜值为2135344-=当,O M 重合时, 2OM 取得最小值为0所以2350,4OM ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因此229135104444OM AB -≤-≤-, 即917,42OA OB ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 即179,24a b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦好题速递248题在平面直角坐标系中, 已知点()3,0P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内, 动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点, 若ABC ∆面积的最年夜值为16, 则实数m 的取值范围是．解：()()22222:24280232C x y mx y m x m y +--+-=⇒-+-=2232AB CH =-,故()222212321616162ABC S CH CH CH ∆=⋅-⋅=--+≤故ABC ∆面积的最年夜值为16, 即CH 能取得4. 由图象可知, CH CP R ≤≤, 故442CP ≤≤解不等式()()221630232m ≤-+-≤得327323m -≤≤-或323327m +≤≤+好题速递249题如图, 已知边长为1的正'A BC ∆的极点'A 在平面α内, 极点,B C 在平面α外的同一侧, 点','B C 分别为,B C在平面α内的投影, 设''BB CC ≤, 直线'CB 与平面''A CC 所成的角为ϕ.若'''A B C ∆是以角'A 为直角的直角三角形, 则tan ϕ的取值范围是．解法一：如图建系, 设()0,,B b m , (),0,C c n , 则ABC PH O因为12mn =且0m n <≤, 故22m ≤又因为221c n +=, 故1n <, 又12mn =, 故12m > 又因为2tan 1b mϕ==-, 1222m <≤, 故23tan ,22ϕ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭解法二：注意到tan cos ''sin 'BA B BA z ϕ=∠=∠考虑'BA z ∠为直线'BA 与平面'ACC 所成的角, 显然其上界（无法取得）为60, 此时3sin '2BA z ∠=；其最小值那时''BB CC =取得, 为45,因此所求的范围为23,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭好题速递250题在ABC ∆中, BC 边上的中垂线分别交,BC AC 于,D M, 若6AM BC =, 2AB =, 则AC =．解：取,AB a AC b ==作为基底向量, 则()12AD a b =+,设AM b λ= 由6AMBC =得()6b b a λ-=, 即6a b b b λλ=-①而0MD BC =得()022a b b b a λ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭, 整理得2211022a ab b λλ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭② 将①式代入②式得216b =, 故4AC=创作时间：二零二一年六月三十日。

高中数学好题速递400题(第301—350题,word版,含问题详解解析汇报)

好题速递301已知正数,x y 满足()()11124x y y x y x+=++，则xy 的最大值为．解：()()112424x yxy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦ 解法一：令2,4x y u x y v +=+=，得42,77u v v ux y --==则426142477777x y u v v u v u x y x y u v u v --⎛⎫+=+=-+≤ ⎪++⎝⎭当且仅当u v =，即3x y =时取得等号。

解法二：112424x y y x x y x y x y+=+++++令yt x =，则()2222115149211161442122414924924t t t t t t t t t t t t t t+++++++=+==++++++++ 令15142t m +=，则4215m t -=原式2211444242424249249215151515m mm m m m =+=+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2122512251941964644761964428764476m m m m m=+=+≤+=++++ 当且仅当74m =，即13t =时取得等号好题速递302设函数()()()()()0101111(),,(),1,222xn n n f x f x f x f x f x n n N -==-=-≥∈，则方程()()12nf x n n =+有个实数根．解：令1()()2n g n n =+，问题化为观察)(x f n 与)(n g 图像的交点有几个．由于)(0x f 是偶函数，故)(x f n 是偶函数，只要考虑0x ≥时的交点个数．n =1时，)(1x f 的图像是把)(0x f 的图像下移12，再把x 轴下的图像往上翻而得，1max 1()2f x =，有1个零点，以零点为界，)(1x f 呈“减增”状态，最后趋于12，如图1，有2个交点；n =2时，)(2x f 的图像是把)(1x f 的图像下移212⎛⎫⎪⎝⎭，再把x 轴下的图像往上翻而得，2max 21()2f x =，有2个零点，以2个零点为界，)(2x f 呈“减增减增”状态，最后趋于212⎛⎫⎪⎝⎭，如图2，有22个交点；……n = n ≥2时，max 11()()()()22n n n f x g n n =>=+，且有12n -个零点以12n -个零点为界，)(x f n 呈“减增减增…减增”状态，最后趋于12n⎛⎫⎪⎝⎭，故)(x f n 的每1个零点都对应产生2个两函数图像的交点，∴有1222n n -⋅=个交点，再由对称性知x <0时，也有2n 个交点，故共有12n +个交点，从而原方程有12n +个实根好题速递303已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为．解：11123344222323424n n n n n n n n n a a a a b a a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥-+--===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦因为数列{}n b 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-．好题速递304已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在()0,4上有两个实数解，则k 的取值围是 .解：()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在()0,4上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--好题速递305已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为．解：易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而ABCNPDE 2222 111551025====由得，，a ca c 22214=5552⋅=⨯⨯则 a c 评注：这个题要注意向量的夹角是共起点的，所以要特别留意取本身还是补角。

高考数学三轮冲刺押题基础技能闯关夺分必备数列的应用(含解析)

图1 图2 图3 图4数列的应用【考点导读】1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】1．将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24第4行 32 30 28 26 … … … … … 则2008在第 251 行，第 5 列。

2．图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含 2221n n -+ 个互不重叠的单位正方形.3．若数列{}n a 中，311=a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a 13n . 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为2- 。

5．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a = 6- 。

【范例导析】例1．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自然数1时，从B 口得到13 ，记为()113f = ；②当从A 口输入自然数()2n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一个结果()1f n -的()()211213n n ---+倍。

（1）当从A 口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B 口分别得到什么数？并求()f n 的表达式；（2）记n S 为数列(){}f n 的前n 项的和。

当从B 口得到16112195的倒数时，求此时对应的n S 的值.分析：根据题意可以知道()f n =()1f n -⋅()()211213n n ---+，所以可以采用迭乘法求出()f n 的表达式，这样就可以解决题目中的问题。