必修①3.2 函数模型及其应用课件(人教A版必修1)Ⅱ

成立.
令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000]. 利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3）
y O -50 -100 -150 -200 -250 -300
200
400 600 800 1000 1200 x
由图象可知它是递减的，因此 f(x)<f(10)≈-0.3167<0 即 log7x+1<0.25x. 所以当x∈[10,1000]时，
y x
1 2
log 1 x 2 2
x
最后探究y a x (0 a 1), y x n (n 0), y log a x(0 a 1) 在区间(0,)上的衰减情况 .
在区间(0,+∞)上，总存在一个x0,当x>x0时，总有 xn>ax>logax（n<0,0&l量与函数值的 对应值表（表3）.
x y=x2 y=log2x x y=x2 y=log2x 1 1 0 40 1600 5.322 10 100 3.322 50 2500 5.644 20 400 4.322 60 3600 5.907 30 900 4.907 „ „ „
3.2.2
函数模型的应用实例（1）
复习导入
问：对幂函数、指数函数、对数函数，你是否 注意到函数变化的速度有什么不同？
课堂例题
例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关 系如图3.2-7所示.
（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面 积的实际含义； （2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象.
3.2.1 几类不同增长的函数模（1）
一、实例分析 投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生 对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的 认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数 比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长 得快.（底数a>0）
例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资 方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报 的增长情况（表3-4）。 x 方案一 方案二 方案三 / y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 天 1 40 10 0.4
2 3 4 5 40 40 40 40 0 0 0 0 20 30 40 50 10 10 10 10 0.8 1.6 3.2 6.4 0.4 0.8 1.6 3.2
2
80 30
3
120 60 2.8
4
160 100 6
5
200 150 12.4
6
240 210 25.2
0.4 1.2
天数
回报/元
方案 一 二 三
7
280 280 50.8
8
320 360 102
9
360 450
10
400 550
11
400 660
204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
解：设第x天所得回报是y元， 则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述； 方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述； 方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是 递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们 的增长情况进行分析.
问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？ 问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案 分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描 述一下三个方案的特点吗？ 问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函 数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投 资方案提供依据.
log 7 x 1 0.25. x 说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.
课堂小结
通过师生交流进行小结： 确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论 模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不 同函数类型增长的含义.
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定 一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万 元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元） 随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总 数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个 奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个 模型能符合公司的要求？
0
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它 符合奖金总数不超过5万元的要求. 再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利 润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
y log 7 x 1 0.25 x x
24 y y=x2 22 y=2x 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 O 1234567 8
x
从表1和图1可以看到， y=2x和y=x2的图象有两个交点， 这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系， 有时2x>x2，有时2x<x2.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数 值的对应值表（表2）.
21474 107374182 8364. .4 8
再作出三个函数的图象（图3.2-1）。
由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与 方案二的函数的增长情况很不同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分 别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的， 从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这 种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以 该模型不符合要求； 对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满 足1.002x 5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此 当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
x/ 方案一 方案二 天 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 6 40 60 7 40 0 70 10 8 40 0 80 10 9 40 0 90 10 10 40 0 100 10 … … … … …
30 40 0 300 10
方案三 y/元 增加量/元 12.8 25.6 12.8 51.2 25.6 102.4 51.2 204.8 102.4 … …
探究：
1 通过研究y , y x , y log 1 x这三个具体的 2 2
1 2 x
函数的衰减情况，探究y a x (0 a 1), y x n (n 0), y log a x(0 a 1)在区间(0,)上的衰减情况 .
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对 应值表（表4）. x
x y=2x y=x2 x 0 1 0 50 10 1024 100 60 1.15E+18 20 1.05E+06 400 70 1.18E+21 30 40 1.07E+09 1.10E+12 900 80 1.21E+24 1600 „ „
y=2x 1.13E+15
y=x2
2500
3600
4900
4．一般的，在区间(0,+∞)上， 尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0) 都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’ 上，随着x的增大， y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远 大于y=xn(n>0)的增长速度， 而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有 logax<xn<ax.
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在 第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个 方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿 元.
下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下： 天数 回报/元 方案 一 二 三
1
40 10
3.2.1 几类不同增长的函数模（2）
新课
1．通过图、表比较y=x2，y=2x两个函数的增长速度.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对 应值表（表1）. x
y=2x y=x2
0
1 0
1
2 1
2
4 4
3
8 9
4
16 16
5
32 25
6
7
8
„
64 128 256 „ 36 49 64 „
再在同一平面直角坐标系内 画出这两个函数的图象（图1）
2
3.322 1.737
1
0.515 0.152