函数表达式的求法

第四讲 函数解析式的求法

重 点：求解析式的方法．

难 点：求复合函数的解析式．

教学目标：掌握求解析式的几种常用方法

教学过程：

一、导入新课

复习函数定义（重点是构成函数的三要素）．

二、新课

１．求解析式的常用方法：

（１）待定系数法：

例１．若)(x f 是二次函数，其图象过原点，且.5)1(,1)1(=-=f f 求：).(x f

练习：1．若一次函数)(x f 满足()[]{}.78+=x x f f f 求：).(x f

小结：①待定系数法适用于：已知所求函数解析式的一般形式；

②解法是：根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组，解出系数的值，代回所设解

析式．

（２）换元法：（配凑）

例２．⑴2()1f x x =+，求(1)f x +

⑵2(1)22f x x x +=++，求()f x

练习：2(1)21f x x +=+，求()f x

例３．2(2)5f x x x -=+，求()f x

练习：１．1)f x =２．已知：,1)1(22x

x x x f +=+

求).(x f 解法二：.2)(,2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 小结：①应用换元法求解析式的题型特征是：题中没有给出函数最简的解析式

②解法是：通过换元，找出原函数的解析式．（还可以用配凑）

（３）函数方程法（消元法）

例４．已知：.2)(2)(x x f x f =-+求：).(x f

小结：①例４的解法相当于消元法．

②消元法的特点是在所给解析式中)(x f 与)(x f -中的自变量互为相反的数，或)(x f 与)

1(x

f 中的自变量互为倒数；得到相当于两个未知数的两个方程，求解。

（４）特殊值法：（选讲）

例５．对于一切实数y x ,有x y x x f y x f )12()()(+--=-都成立，且.1)0(=f

求).(x f

小结：此类型题的特点是：条件是：对于一切实数y x ,都成立．

课后作业：

求下列函数的解析式：

1． 已知)(x f 是一次函数，且64)]([+=x x f f ，求)(x f ．

（)(x f 62)(22--=+=x x f x 或）

2． 若,1)1(x x x f -=求)(x f ． （)(x f 1

1-=x ） 3．若221)1(x x x x f +=-，求()f x ． （()f x 22x =+） 4．若,)(2)1(x x f x

f =+求)(x f ．()(x f )3122x x -= 5．若x x x f -=-2

)23(，求)2(f ． （)2(f ＝9

4） 6．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．（)(x f 132x =-） 7．已知3f (x 5) + f (–x 5) = 4x ，求f (x )的解析式.（f (x ) = 25x .）

函数表达式的求法

一，函数的迭代特征

（1）)]([)(),(1x f f x f x f n n -=； （2）na x x f a x x f n +=+=)(,)(；

（3）b a a x a f b ax x f n --+=++=11,)(2

2

（4）n n x f x x f 22,)(==； （5）x x f f x f f ==--)([)]([11； （6）1)1()(;1)(22=++=x f x f x

x x f ； （7）1)1()(,)(=-++=x f x f a a a x f x x

；

二，函数表达式的求法

（1） 拼凑成等号两端相同的形式

已知f （x +1）=x 2x +。求f(x)。

解：f （x +1）=x 2x ++1-1=21x ）（+-1；ｆ（ｘ）＝－１。

（２）引入新的字母进行转化 已知ｆ（

x

3x +）＝９ｘ＋８，求ｆ（ｘ）。 解：设ｔ＝1

-t 19x 8t f 81-t 39t f ,13x x 3x +=+=-=+）（，）（，t ， ｆ（ｘ）＝1-x 19x 8+ （３）用多项式相等的法则确定系数

已知ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=27x+26，求f （x ）。

解：设f （x ）=ax+b ，ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=26272

3+=+++x b ab b a x a ，

a=3，b=2，f （x ）=3x+2。 另：ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=)(3x f =2627113

3

+=--+x b a a x a ， a=3，b=2，f （x ）=3x+2。

（4）设制方程，消元求解

（a ）利用互为倒数关系，一般模式如：

㈠已知af （x ）+bf(x

1)=cx,(a ，b ，c ≠0， 22b a ≠),求f （x ）。 解：用x 1代替x 后与原等式联立方程组得，{c

x x bf x af cx x bf x af =+=+)()1()1()( 解得，f(x)=

)(2

2x b ax b a c --。 ㈡，已知2f （x

1）+f(x)=x,(x ≠0),求f （x ）。 解：2f （x 1）+f(x)=x …⑴ 2 f(x)+ f （x 1）=x

1…⑵ 解得f （x ）=x x 322- （b ）利用互为相反数（或倒置）关系，一般模式如：

㈠，已知af （4x-3）+bf （3-4x ）=5x ，22b a ≠求f （x ）。

解：设t=4x+3，则3-4x=-t ，5x=4155+t ；将它们代入原式得af(t)+bf(-t)= 4

155+t ；用-t 代替t ，与上式联立方程组得，{4515)()(415

5)()(t t bf t af t t bf t af -=+-+=

-+ （1）×a-（2）×b 得，（22b a -）f （t ）=a （

4155+t ）-b （4515t -） f(t)=)(4)(15)(4)(152222b a b a b a b a --+-+= )

(415)(415b a b a t ++-；f(x)= )(415)(415b a b a x ++-。