函数表达式的求法

第四讲 函数解析式的求法
重 点：求解析式的方法．
难 点：求复合函数的解析式．
教学目标：掌握求解析式的几种常用方法
教学过程：
一、导入新课
复习函数定义（重点是构成函数的三要素）．
二、新课
１．求解析式的常用方法：
（１）待定系数法：
例１．若)(x f 是二次函数，其图象过原点，且.5)1(,1)1(=-=f f 求：).(x f
练习：1．若一次函数)(x f 满足()[]{}.78+=x x f f f 求：).(x f
小结：①待定系数法适用于：已知所求函数解析式的一般形式；
②解法是：根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组，解出系数的值，代回所设解
析式．
（２）换元法：（配凑）
例２．⑴2()1f x x =+，求(1)f x +
⑵2(1)22f x x x +=++，求()f x
练习：2(1)21f x x +=+，求()f x
例３．2(2)5f x x x -=+，求()f x
练习：１．1)f x =２．已知：,1)1(22x
x x x f +=+
求).(x f 解法二：.2)(,2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 小结：①应用换元法求解析式的题型特征是：题中没有给出函数最简的解析式
②解法是：通过换元，找出原函数的解析式．（还可以用配凑）
（３）函数方程法（消元法）
例４．已知：.2)(2)(x x f x f =-+求：).(x f
小结：①例４的解法相当于消元法．
②消元法的特点是在所给解析式中)(x f 与)(x f -中的自变量互为相反的数，或)(x f 与)
1(x
f 中的自变量互为倒数；得到相当于两个未知数的两个方程，求解。

（４）特殊值法：（选讲）
例５．对于一切实数y x ,有x y x x f y x f )12()()(+--=-都成立，且.1)0(=f
求).(x f
小结：此类型题的特点是：条件是：对于一切实数y x ,都成立．
课后作业：
求下列函数的解析式：
1． 已知)(x f 是一次函数，且64)]([+=x x f f ，求)(x f ．
（)(x f 62)(22--=+=x x f x 或）
2． 若,1)1(x x x f -=求)(x f ． （)(x f 1
1-=x ） 3．若221)1(x x x x f +=-，求()f x ． （()f x 22x =+） 4．若,)(2)1(x x f x
f =+求)(x f ．()(x f )3122x x -= 5．若x x x f -=-2
)23(，求)2(f ． （)2(f ＝9
4） 6．已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．（)(x f 132x =-） 7．已知3f (x 5) + f (–x 5) = 4x ，求f (x )的解析式.（f (x ) = 25x .）
函数表达式的求法
一，函数的迭代特征
（1）)]([)(),(1x f f x f x f n n -=； （2）na x x f a x x f n +=+=)(,)(；
（3）b a a x a f b ax x f n --+=++=11,)(2
2
（4）n n x f x x f 22,)(==； （5）x x f f x f f ==--)([)]([11； （6）1)1()(;1)(22=++=x f x f x
x x f ； （7）1)1()(,)(=-++=x f x f a a a x f x x
；
二，函数表达式的求法
（1） 拼凑成等号两端相同的形式
已知f （x +1）=x 2x +。

求f(x)。

解：f （x +1）=x 2x ++1-1=21x ）（+-1；ｆ（ｘ）＝－１。

（２）引入新的字母进行转化 已知ｆ（
x
3x +）＝９ｘ＋８，求ｆ（ｘ）。

解：设ｔ＝1
-t 19x 8t f 81-t 39t f ,13x x 3x +=+=-=+）（，）（，t ， ｆ（ｘ）＝1-x 19x 8+ （３）用多项式相等的法则确定系数
已知ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=27x+26，求f （x ）。

解：设f （x ）=ax+b ，ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=26272
3+=+++x b ab b a x a ，
a=3，b=2，f （x ）=3x+2。

另：ｆ｛ｆ[f （x ）]｝=)(3x f =2627113
3
+=--+x b a a x a ， a=3，b=2，f （x ）=3x+2。

（4）设制方程，消元求解
（a ）利用互为倒数关系，一般模式如：
㈠已知af （x ）+bf(x
1)=cx,(a ，b ，c ≠0， 22b a ≠),求f （x ）。

解：用x 1代替x 后与原等式联立方程组得，{c
x x bf x af cx x bf x af =+=+)()1()1()( 解得，f(x)=
)(2
2x b ax b a c --。

㈡，已知2f （x
1）+f(x)=x,(x ≠0),求f （x ）。

解：2f （x 1）+f(x)=x …⑴ 2 f(x)+ f （x 1）=x
1…⑵ 解得f （x ）=x x 322- （b ）利用互为相反数（或倒置）关系，一般模式如：
㈠，已知af （4x-3）+bf （3-4x ）=5x ，22b a ≠求f （x ）。

解：设t=4x+3，则3-4x=-t ，5x=4155+t ；将它们代入原式得af(t)+bf(-t)= 4
155+t ；用-t 代替t ，与上式联立方程组得，{4515)()(415
5)()(t t bf t af t t bf t af -=+-+=
-+ （1）×a-（2）×b 得，（22b a -）f （t ）=a （
4155+t ）-b （4515t -） f(t)=)(4)(15)(4)(152222b a b a b a b a --+-+= )
(415)(415b a b a t ++-；f(x)= )(415)(415b a b a x ++-。

㈡，已知3f （x-1）+2f （1-x ）=2x ，求f （x ）。

解：设t=x-1，-t=1-x ，则，3f （t ）+2f （-t ）=2（t+1）
3f （t ）+2f （-t ）=2（t+1）…⑴
3f （-t ）+2f （t ）=2（1-t ）…⑵ 解得f （t ）=2t+
52 f （x ）=2x+5
2。

（5）根据题意找出与题设所求的相关量的等价关系，进行字母代换。

（一）若f （x ）=x+1，求f （x+1）关于直线x=2对称的直线方程。

解：f （x ）=x+1，则f （x+1）=x+2，
设点A （x ，y ）在所求直线的图像上，点),(000y x A 在f （x+1）的图像上，两点关于直线x=2对称，则有0x =4-x ，0y =y
将0x ，0y 代入得：y=6-x 。

（二）在x ∈R 上，函数f （x ）关于直线x=2对称，并且[0,2]上的解析式为f(x)=2x-1，求f(x)在[2,4]的解析式。

解：设点A （x ，y ）在所求函数的图像上，点),(000y x A 为A 关于x=2的对称点，则有0x =4-x ，0y =y 。

因0y =20x -
将0x ，0y 代入得：y=7-2x 。

（6）利用所含字母的“+”“-”号的变化以改变定义域，再利用函数的奇偶性改变函数的“+”“-”号，进行等条件转化。

如，已知函数f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)=x/x-2/,求当x ＜0时，函数f(x)的表达式。

解：设x ＜0，则-x ＞0； 又因f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，
因x ＞0时，f(x)=x/x-2/, f(-x)=-f(x)=-x/x+2/，
f(-x)=(-x)/(-x)-2/=-x/x+2/ f(x)=x/x+2/。

若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=
1
1-x ，求函数f(x),g(x)的表达式。

解：由已知可得，f(-x)+g(-x)=11--x ， ①+②得：f(x)=1
12-x (奇函数)； 则有f(x)-g(x)= 11--x …① ， ①-②得：g(x)=1
2-x x （偶函数）。

又有已知f(x)+g(x)=11-x …②，
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则
b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===321
2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。

但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221)1(x
x x x f +=+
)0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x
三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。

与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x
x x x f 2)1(+=+
∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1)(2-=∴x x f )1(≥x
x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32
22y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上
x x y '+'='∴2
把⎩
⎨⎧-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y
整理得672
---=x x y ∴67)(2---=x x x g
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
解 x x f x f =-)1(2)( ①
显然,0≠x 将x 换成x
1，得： x
x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：
x
x x f 323)(--= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1
1)()(-=
+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数， )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴
又1
1)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-
=-+-x x g x f 即1
1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得
11)(2-=x x f ， x
x x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f
再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘
或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f
解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，
∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，
又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①
分别令①式中的1,21x n =- 得：
(2)(1)2,(3)(2)3,
()(1),f f f f f n f n n -=-=--
=
将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，
2)1(321)(+=
+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2。