2.3 确定二次函数的表达式

∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
10=a-b+c， ∴ 4=a+b+c
7=4a+2b+c，
解得
a=2， b=-3， c=5.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
y
2x2
3x
5
2
x
3 4
2
31 , 8
∴二次函数图像对称轴为直线
x3 4
，顶点坐标为
3 4
,
31 8
.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
y
1 8
(
x
8)2
9.
三 交点法求二次函数的表达式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、
x2为交点的横坐标.因此得 y=a(x+3)(x+1).
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，
可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
a 3, 2
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是 y 3 x2 3 x 1.
22
当堂练习
a=-1，
a-b+c=0， 解得 b=-4，
c=-3，
c=-
（写表达式） ∴所求的二次函数的表达3式. 是y=-x2-4x-3.
典例精析
例2.已知二次函数的图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)
三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点
坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
C．E，H
D．F，G
7.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那 么c的值等于（ C ）
A．8
B．14
C．8或14
D．-8或-14
8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y 轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是x＝－3，∴ b ＝－3，
5.综合题：如图，已知二次函数y 1 x2 bx c 的
2
图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的表达式；
y
解:∵该图象经过点（2,0）和(1,－6)，
O
A
C
{ { -2+2b+c=0 解得 b=4
c=-6
c=-6
B
x
∴二次函数的表达式为：y 1 x2 4x 6
2
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接
平行于x轴，但不可以平行于y轴.
四 一般式法求二次函数的表达式
合作探究
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待
定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
点法. 其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于 a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可
顶点坐标是（1，6）
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
a-b＋c＝-5，
依题意得 c＝－4，
解得
a＋b＋c＝1，
a＝2， b＝3， c＝－4，
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
2
∴b＝6，∴c＝5， ∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C 在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称． ∵点C在对称轴左侧，且CD＝8， ∴点C的横坐标为－7， ∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B的坐标为(0，5)， ∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7， ∴△BCD的面积＝ 1 ×8×7＝28.
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y
2 1
-4 -3-2 -1-O1 1 2 x
-2 -3 -4 -5
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交
针对训练
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐
标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为
(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
解得 a 1 .
8
∴所求的二次函数的表达式是
a=-1,
5=a-b， 解得 b=-6.
∴ y=-x2-6x.
图象经过 原点
二 顶点法求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个 二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
2
课堂小结
待定系数法 已知条件 求二次函数解析式 所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标 或对称轴或最值
③已知抛物线与 x轴的两个交点
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(xx2)
(x1,x2为交点的横坐标）
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应
是
y 3 x2 4
.
注意 注 y=ax2与y=ax2+k、 y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是
顶点式，只不过前三者是顶点式的
特殊形式.
y
5 4 3 2 1
-4 -3-2-13-O1 1 2 x
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达 式是 y=-2(x-1)2+6 .
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-
待定系数法 3），试求出这个二次函数的表达式.
步骤： 1.设：
解： 设这个二次函数的表达式是
（表达式） y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
2.代： （坐标代入） 3.解： 方程（组） 4.还原：
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0，
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
针对训练 3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、
(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
BA，BC，求△ABC的积．
解:∵二次函数对称轴为 x b 4
∴c点坐标为（2,0）
2a y
S
ABC
126 6 2
OA C
x
B
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4， 2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能 求出抛物线解析式的为（ C ）
A．E，F
B．E，G
{ { ∴ 3=4a+c，
a=2，
解得
－3=a+c，
c=－5.
关于y轴 对称
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
针对1.训已练知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，
8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
{ { ∴ 8=4a-2b，
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)， 且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， 所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1.
a(1+2)2+1=-8， 解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-
3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.