高一数学函数的基本性质2

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高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质

高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质1．高中数学必修一函数的基本性质——函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零;(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3. 高中数学必修一函数的基本性质——函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y) 的集合C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系y=f(x) ，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y) ，均在C 上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线), 也可能是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。

3.2.2函数的基本性质单调性与最大(小)值课件高一上学期数学人教A版

问题1：已知函数y=x2+2x-3 ,且x [-03，，-22],
求函数的最值．
y
解：因为由图易知:对称轴
x0= -1[0，2]
f(x)在区间[0，2]上
-10 1 2
x
单调递增。
所以：ymin= f(0)= -3 ymax= f(2)= 5
答：函数的最小值为-3，最大值为5
例三：二次函数在闭区间上的最值
y f (x)
2 O 6
11
x
例5已知函数 f (x) 2 (x [2, 6]),求函数f (x) x 1
的最大值和最小值.
y
2
0.5
02
6x
猜想证明运用(结论)
证明: 设任意 x1, x2 [2, 6], 且 x1 x2 , 则
22
f
(x1)
f
(x2 )
x1
1
x2
1
2[(x2 1) (x1 1)] 2(x2 x1) . (x1 1)(x2 1) (x1 1)(x2 1)
h(t) 4.9(t 14.7 )2 4 (4.9) 18 14.72
2 (4.9)
4 (4.9)
当 t 14.7 1.5 时,函数h(t)有最大值 2 (4.9)
h(t ) max
h(1.5)
4 (4.9) 18 14.72 4 (4.9)
2.9
于是, 烟花冲出后 1.5s 是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度约为 29 m.
例三：二次函数在闭区间上的最值
问题3:已知函数y=x2 +2x-3,且x[-2，2],
求函数的最值.
解：因为由图易知：对称轴
x0=-1 [-2，2] 所以 ymin= f(-1) = -4 ;

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。

本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。

二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。

在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。

值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。

同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。

三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。

四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。

函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。

函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。

五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

高一数学函数的基本性质

第 1 页共13 页函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x，且)(x f ＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数.设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x，且)(x g ＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x 也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x 对称，则)2()(a x f x f ；若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a xf x f .2.单调性（1）定义：一般地，设函数()y f x 的定义域为A ，区间I A .如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x 时，都有12()()f x f x ，那么就说()yf x 在区间I 上是单调增函数，I 称为()yf x 的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x 时，都有12()()f x f x ，那么就说()yf x 在区间I 上是单调减函数，I 称为()yf x 的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.。

高一数学第2课-函数的基本性质

第2讲函数的基本性质一、要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有，则称f (x )为偶函数。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否 ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 = 0，则f (x )是奇函数。

（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称； 2．单调性（1）定义：注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是或是，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有，区间D 叫做y =f (x )的。

（3）判断函数单调性的方法（ⅰ）定义法：利用定义严格判断（ⅱ）利用已知函数的单调性如若()f x 、)(x g 为增函数，则①()f x +)(x g 为；②1()f x 为（()f x ＞0）；为（()f x ≥0）；④-()f x 为（ⅲ）利用复合函数【y = f （u ），其中u =g(x ) 】的关系判断单调性：复合函数的单调性法则是“ ” （ⅳ）图象法（ⅴ）利用奇偶函数的性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反； 3．最值：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 4．周期性（1）定义：如果存在一个常数T ，使得对于函数定义域内的，都有，则称f (x )为周期函数；（2）f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。

高一数学的函数知识点归纳

高一数学的函数知识点归纳在高一的数学学习中，函数是一个非常重要的知识点。

函数的概念在数学中具有广泛的应用，并且在之后的学习中也会经常用到。

因此，熟练掌握函数的相关知识对于学习数学是非常重要的。

一、函数的定义和表示方式函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数可以用多种不同的方式来表示，包括文字描述、图像、表格和公式等。

函数的定义通常形式为“y=f(x)”，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域之间的关系。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，而值域是函数输出的所有可能值的集合。

2. 单调性：函数的单调性指函数在自变量增大的过程中是否单调递增或单调递减。

如果函数在整个定义域上都是单调递增，则称为严格递增函数；如果函数在整个定义域上都是单调递减，则称为严格递减函数。

3. 奇偶性：函数的奇偶性指函数图像是否对称于y轴。

如果对于任意x∈定义域，f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意x∈定义域，f(-x)=f(x)，则函数为偶函数。

4. 周期性：函数的周期性指函数图像是否在某个区间内重复出现。

如果存在一个正数T，对于任意正整数n，有f(x+Tn)=f(x)，则函数具有周期T。

三、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是函数图像为一条直线的函数，表示为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。

线性函数的图像是直线，且斜率为k，截距为b。

2. 幂函数：幂函数是形如f(x)=x^a的函数，其中a为常数。

幂函数的图像形状与a的正负和大小有关，当a为正数时，图像从左上方逼近x轴，当a为负数时，图像从右上方逼近x轴。

3. 指数函数：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正常数且不等于1。

指数函数的图像具有一定的特点，包括过点(0,1)、严格递增或递减等。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，表示为f(x)=loga(x)，其中a为正常数且不等于1。

函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)

问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数具有对称性、增减性、最值等性质，即对于，①其图象是抛物线，关于直线成轴对称图形；②若，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；③若，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；④若，则当时，有最小值，为，若，则当时，有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数在处取得最小值，最小值为，在处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数在区间上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为，且，所以当时，；当时， .故选B.
（2）求函数的最大值.
[解析] 当时，，；当时，，；当时，， .综上所述，．
1.函数在上的图象如图所示，则此函数在上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2）若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3）若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4）函数调递减，则函数在区间上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).

数学教案高一数学函数的基本性质

数学教案高一数学函数的基本性质高一数学函数的基本性质数学教案I. 引言在高中数学中，函数是一个非常基础且重要的概念，广泛应用于各种数学领域和实际问题中。

而了解和掌握函数的基本性质对于学生的数学学习和发展至关重要。

本教案将介绍高一数学函数的基本性质，帮助学生全面了解函数的特点和应用。

II. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合的元素（因变量）。

函数可以用多种方式表示，包括代数式、图像和表格等形式。

在数学中，通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

III. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量可能取值的集合，而值域是指因变量可能取值的集合。

通过确定函数的定义域和值域，可以限定函数的运算范围，使其在特定情境中更具实际意义。

IV. 函数的性质1. 一一对应性质函数的一一对应性质是指每个自变量都对应唯一的因变量，而不会存在多个自变量对应同一个因变量的情况。

这种性质使得函数具有唯一性和可逆性。

2. 奇偶性质函数的奇偶性质是指函数关于原点的对称性。

如果对于任意x值，有f(-x) = f(x)成立，那么函数是偶函数；如果对于任意x值，有f(-x) = -f(x)成立，那么函数是奇函数；如果既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则函数是既非奇函数也非偶函数。

3. 单调性质函数的单调性质是指函数在定义域内的变化趋势。

如果对于定义域内的任意两个x值，有f(x₁) ≤ f(x₂)或f(x₁) ≥ f(x₂)成立，那么函数是递增函数或递减函数。

4. 周期性质周期性是指函数呈现出固定重复模式的性质。

如果存在一个正数T，对于任意x值，有f(x+T) = f(x)成立，那么函数是周期函数。

常见的周期函数包括三角函数和正弦函数等。

V. 函数图像与性质的关系函数的图像可以直观地展示函数的性质。

通过观察函数的图像，可以推断函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性等特征。

高一数学必修1《函数的基本性质》教案

高一数学必修1《函数的基本性质》教案教学目标：1. 理解函数以及函数的各种表达方式。

2. 掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性和零点。

3. 实现函数的简单变换，例如平移、伸缩和反转等。

4. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。

教学重点：1. 理解函数的概念以及函数的各种表达方式。

2. 掌握函数的基本性质，实现函数的简单变换。

3. 能够应用函数的基本性质，解决实际问题。

教学难点：1. 如何理解函数的概念以及函数的各种表达方式。

2. 如何应用函数的基本性质，解决实际问题。

教学方法：一、讲授法。

二、探究法。

三、案例分析法。

教学过程：一. 引入新知识(5分钟)：教师简单介绍函数的概念和历史背景，引导学生关注函数在实际生活中的应用，引出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。

二. 讲解函数的概念(10分钟)：1. 函数的定义：任何能够使$x$值唯一对应一个$y$值的规律都称为函数，可以表示为$y=f(x)$。

$x$为自变量，$y$为因变量，函数$f(x)$表示$y$与$x$之间的关系。

2. 函数的图像：函数可以通过绘制它们的图像进行可视化。

函数的图像是平面直角坐标系上的一条曲线。

3. 函数的表示方法：函数可以用表格、图像、公式等多种方式表示。

例如$f(x)=x^2$就是一种表示方式。

三. 掌握函数的基本性质(30分钟)：1. 单调性：单调递增和单调递减；2. 奇偶性：奇函数、偶函数和常函数；3. 周期性：周期函数和非周期函数；4. 零点：零点定义以及求零点的方法。

四. 实现函数的简单变换(10分钟)：1. 平移变换：表示为$f(x-a)$或$f(x)+b$，注意$a$和$b$的正负性；2. 伸缩变换：表示为$f(kx)$或$f(x)/k$，注意$k$的正负性；3. 反转变换：表示为$f(-x)$或$f(-y)$，注意反转后的坐标轴位置变化。

五. 应用函数的基本性质(10分钟)：1. 求函数的最值。

高一数学必修一对数函数的基本性质

高一数学必修一对数函数的基本性质对数函数是高中数学中重要的一类函数，具有许多特殊的性质和应用。

本文将介绍对数函数的基本性质。

1. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底的对数函数，一般表示为$y=\log_{a}x$，其中 $a>0$，$a\neq 1$，$x>0$。

其中，$a$ 为底数，$x$ 为真数，$y$ 为对数值。

2. 对数函数的图像特征对数函数的图像呈现出以下特征：- 当 $0<x<1$ 时，$\log_{a}x<0$；- 当 $x=1$ 时，$\log_a1=0$；- 当 $x>1$ 时，$\log_a x>0$；- 对数函数的图像在 $x$ 轴的正半轴上单调递增，但增长速度越来越慢；- 对数函数的图像通过点 $(1, 0)$，并且与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别渐近。

3. 对数函数的基本性质对数函数具有以下基本性质：- $\log_ab$ 为 $x=a^y$ 的反函数，即 $\log_ab=y\Rightarrowa^y=x$；- $\log_a(mn)=\log_am+\log_an$，即可以将乘积化为求和；- $\log_a\frac{m}{n}=\log_am-\log_an$，即可以将商化为差；- $\log_aa^x=x$；- $a^{\log_ax}=x$。

4. 对数函数的常用公式对数函数的常用公式有：- $\log_aa=1$；- $\log_a1=0$；- $\log_a a^k=k$。

5. 对数函数的应用对数函数在实际问题中具有广泛的应用，例如：- 在科学计算中，对数函数可以用于简化复杂的数值计算；- 在经济学中，对数函数可以用于描述指数增长和指数衰减的现象；- 在物理学中，对数函数可以用于描述某些物理现象的特性；- 在生物学中，对数函数可以用于研究生物体的生长和衰退规律。

以上就是对数函数的基本性质和应用的简要介绍。

对数函数在数学中具有重要的地位，通过深入理解对数函数的性质和应用，可以更好地解决实际问题。

沪教版高一数学函数的基本性质必修二知识点

沪教版高一数学函数的基本性质必修二知识点【导语】学习是一个坚持不懈的进程，走走停停便难有成绩。

比如烧开水，在烧到80度是停下来，等水冷了又烧，没烧开又停，如此周而复始，又费精力又费电，很难喝到水。

学习也是一样，学任何一门功课，都不能只有三分钟热度，而要一鼓作气，天天坚持，久而久之，不论是状元还是伊人，都会向你招手。

作者高一频道为正在努力学习的你整理了《沪教版高一数学函数的基本性质必修二知识点》，期望对你有帮助！【一】函数的概念和图象重难点：在对应的基础上知道函数的概念并能知道符号“y=f(x)”的含义，掌控函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，知道和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映照的概念的知道.考纲领求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要挑选恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;③了解简单的分段函数，并能简单运用;经典例题：设函数f(x)的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：(1)H(x)=f(x+1);(2)G(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0).求函数y?x;13.已知f(x)=x+4x+3，求f(x)在区;第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1.2函数的;重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局;考纲领求：①知道函数的单调性、(小)值及其几;②会运用函数图像知道和研究函数的性质.;经典例题：定义在区间(-∞，+∞)上的奇函数f(;①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)②f12.求函数y?x【二】一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判定和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

人教版高中数学高一培优讲义第3讲函数的基本性质

第3讲函数得基本性质(2)一、函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性（是一个局部概念）（1）单调性定义（2）单调区间的定义【例】1.已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（） A.30a -≤< B.32a -≤≤- C.2a ≤- D.0a <注：单调区间之间用“，”或“和”。

定义域的区间之间用“ ”（3）.判断函数单调性的方法步骤：取值→作差→变形→定号→下结论【例】2.证明函数3)(x x f =在R 为增函数。

2．函数的最值（是一个整体含义）【考点分析】考点一求函数的单调区间【例1】（1）求下列函数的单调区间：1||22++-=x x y ；（2）已知函数()f x 为R 上的减函数，则满足1<(1)f f x ⎛⎫⎪⎝⎭的实数的取值范围是（）A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) D.(-,1)(1,)∞-+∞ ►归纳提升函数单调区间的求法(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域。

对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等。

(2)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间。

强化训练1（1）设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围为（）（2）已知函数=)(x f 1,5)3(1,2{≤+->x x a x x a，若对R 上的任意)(,2121x x x x ≠，恒有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围（）考点二函数单调性的判断与证明【例2】求证：函数)0()(>+=a x a x x f ，在),[+∞a 上是增函数。

高一数学必修一教案 3.2 函数的基本性质

3．2 函数的基本性质3．2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．1．如果f (x )在区间[a ，b ]和(b ，c ]上都是增函数，则f (x )在区间[a ，c ]上是增函数．( × ) 2．函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( √ )3．若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( × )4．若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数，则函数y ＝－f (x )在区间D 上是减函数．( √ )一、函数单调性的判定与证明例1 根据定义，研究函数f (x )＝axx －1在x ∈(－1,1)上的单调性．解当a ＝0时，f (x )＝0，在(－1,1)上不具有单调性，当a ≠0时，设x 1，x 2为(－1,1)上的任意两个数，且x 1<x 2，所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1－1－ax 2x 2－1＝ax 1x 2－1－ax 2x 1－1x 1－1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1因为x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以x 2－x 1x 1－1x 2－1>0，当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递减，当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1 求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．二、求单调区间并判断单调性例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．(2)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图象如图所示，由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练2 (1)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)，(1，＋∞)解析方法一 y ＝1x －1的图象可由y ＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．方法二函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x 1，x 2∈(－∞，1)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－1x 2－1.因为x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，同理函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．(2)函数y ＝|x 2－2x －3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解 y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．三、单调性的应用例3 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的开口方向向上，对称轴为x ＝1－a ， ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数， ∴4≤1－a ， ∴a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析因为y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23，所以所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 延伸探究在本例(2)中，若将定义域R 改为(－1,1)，其他条件不变，则a 的范围又是什么？解由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1.解得0<a <1.①因为f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (1－a )<f (2a －1)，所以1－a <2a －1，即a >23.②由①②可知，23<a <1，即所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a 的取值范围．解函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．1．函数y ＝6x的减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C2．函数f (x )在R 上是减函数，则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5) D ．f (3)≥f (5)答案 C解析因为函数f (x )在R 上是减函数，3<5，所以f (3)>f (5)． 3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上( )A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析因为y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．4．若f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[3，＋∞)，则a 的值是________．答案－1解析 ∵f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋2的单调增区间为[2－a ，＋∞)， ∴2－a ＝3，∴a ＝－1.5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义． (2)函数的单调区间． 2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析单调区间不能用“∪”连接．2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|答案 B解析 y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12答案 C4．若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析因为f (x )是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a 2＋1>a 2，所以f (a 2＋1)<f (a 2)．故选D.5．已知函数y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( ) A ．减函数且f (0)<0 B ．增函数且f (0)<0 C ．减函数且f (0)>0 D ．增函数且f (0)>0答案 A解析因为y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，f (x )＝bx ＋a 为减函数且f (0)＝a <0，故选A.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．答案 (－∞，1)解析当x ≥1时，f (x )是增函数，当x <1时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)．7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，2]解析因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. 8．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 9．已知函数f (x )＝2－x x ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．证明任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1x 1＋1－2－x 2x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1. 因为x 2>x 1>－1，所以x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，因此f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．10．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0的图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．11．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性答案 D解析函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．12．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2) 答案 A解析对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x －1，x ≤1.若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为________．答案 [4,8) 解因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 2>0，4－a 2－1≤1，解得4≤a <8. 14．函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ①a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在R 上单调递减，∴a ＝0满足条件；②a ≠0时，f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1，对称轴为x ＝－a －32a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，－a －32a ≤－1，解得－3≤a <0.由①②得－3≤a ≤0，故a 的取值范围是[－3,0]．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案 A 解析画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上单调递增，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.16．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1.因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1.所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．。

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结

高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结一、内容描述高一数学必修一函数的概念与性质知识点总结涵盖了高中阶段关于函数基础概念及其性质的核心内容。

文章首先介绍了函数的基本概念，包括函数的定义、表示方法以及函数的性质等。

文章详细阐述了函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性以及复合函数的性质等。

文章还介绍了函数图像的画法及其与性质之间的关系，以及如何利用函数性质解决实际问题。

文章总结了函数在数学学习中的重要性，强调掌握函数概念与性质对于后续数学学习的基础作用。

通过本文的学习，学生可以更好地理解和掌握函数知识，为后续数学学习打下坚实的基础。

1. 简述函数概念的重要性函数是描述自然现象和规律的重要工具。

在物理、化学、生物等自然学科中，许多现象的变化过程都可以通过函数关系进行描述。

物理学中的运动规律、化学中的化学反应速率与浓度的关系等，都需要借助函数概念进行建模和分析。

函数是数学体系中的核心和基础。

函数连接了代数、几何、三角学等多个分支，是数学知识和方法综合运用的基础。

对函数概念的深入理解，有助于我们更好地理解和掌握数学的其它分支和领域。

函数也是解决实际问题的重要工具。

在现实生活中，很多问题的解决都需要建立数学模型，而函数作为构建数学模型的基本元素之一，能够帮助我们准确地描述问题并找到解决方案。

在经济学、统计学、工程学等领域，函数的运用非常广泛。

函数概念的重要性不言而喻。

高一学生在学习数学时，应深入理解函数的概念，掌握其性质和特点，为后续学习和解决实际问题打下坚实的基础。

2. 引出本文目的：总结函数的概念与性质本文旨在系统梳理和归纳高一数学必修一课程中函数的核心概念与基本性质。

函数是数学中的核心概念之一，具有广泛的应用领域。

在高中阶段，学生需要深入理解函数的基础定义、性质和图像特征，为后续学习奠定坚实基础。

本文的目的在于帮助学生全面总结函数的相关知识点，加深对函数概念与性质的理解，以便更好地掌握和应用函数这一重要的数学工具。

高一数学函数的基本性质知识总结

函数的性质要求层次重点难点单调性C①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象①函数单调性的证明和判断②简单函数单调区间的求法奇偶性 B简单函数奇偶性的判断和证明①复合函数的奇偶性判断与证明②抽象函数的奇偶性周期性 B简单函数周期性的判断和证明①复合函数的周期性判断与证明②抽象函数的周期性一知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ,当12x x <时都有()()12f x f x <,则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >,则()f x 在D 内时减函数．知识框架高考要求例题精讲函数的基本性质板块一：函数的单调性②设函数()y f x =在某区间D 内可导,若()0f x '>,则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<,则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈,那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增递减且1212()()f x f x x x <⇔<1x 2,x D ∈；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．1x 2,x D ∈． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等二主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ,2x 是该区间内的任意两个值,且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方,有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -或21()()f x f x -的符号,若符号不确定,可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论,注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；⑷如果()f x 在区间D 上是增减函数,那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增减函数；⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ；复合函数的概念：如果y 是u 的函数,记作()y f u =,u 是x 的函数,记为()u g x =,且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空,则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =,这时y 叫做x 的复合函数,其中u 叫做中间变量,()u f u =叫做外层函数,()u g x =叫做内层函数．注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内,增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数⑽函数(0,0)by ax a b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②三典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数【例2】【例3】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例4】根据函数单调性的定义,证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例5】证明函数()f x =【例6】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例7】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+0x >．【例8】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例9】作出函数2||y x x =-的图象,并结合图象写出它的单调区间．【例10】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例11】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数,在[1,)+∞上是增函数,则(1)f =______【例12】讨论函数y =【例13】求函数212y x x =++的单调区间．【例14】设1n >,()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数,且对任何,x y A ∈,有()()()()f x f x f y f y =．那么, A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例15】若()f x 是R 上的减函数,且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，,则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为．A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例16】函数21x y x =-x ∈R ,1x ≠的递增区间是A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤或x【例17】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--0a >且1a ≠是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例18】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且当*n ∈N 时,*()f n ∈N ,[()]3f f n n =,则(1)(2)f f += ．【例19】求函数1()f x x x=+,0x >的最小值．点评由对函数1(),0f x x x x=+>的分析,可以很快得到函数2(),0a f x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数,在0a x -<<上为减函数,在0x a <<上为减函数,在x a >上为增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ,在0x <上有最大值为2a -．【例20】求函数y =【例21】求函数y =【例22】已知()f x 是定义在+R 上的增函数,且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =,()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =,解不等式1()()23f x f x -≤-．【例23】已知函数()f x 对任意实数x ,y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时,()0f x >,试判断()f x 的单调性,并说明理由．【例24】已知给定函数()f x 对于任意正数x ,y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ,且()f x ≠0,当1x >时,()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性,并说明理由．【例25】设a 是实数,2()()21xf x a x =-∈+R , ⑴试证明对于任意a ,()f x 为增函数；⑵试确定a 值,使()f x 为奇函数．一主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ,都有x D -∈,且()()f x f x -=-,那么函数()f x 就叫做奇函数；板块二：函数的奇偶性()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数,则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形,反之,如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数． 4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =．二主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称,则为非奇非偶函数；若对称,则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇⨯奇=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±-．三典例分析：【例26】判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=．【例27】判断下列函数的奇偶性：⑴ 1y x=；⑵ 422y x x =++；⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．⑴ ()(f x x =- ⑵ 11()()()12x f x F x a =+-,其中0a >且1a ≠,()F x 为奇函数．【例29】判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵ ()f x =；⑶ 2()5||f x x x =+．【例30】已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++,当,m n 为何值时,()f x 是奇函数【例31】【例32】⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数,则(0)f =__________；⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数,(3)2f =,且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=,则(25)f =__________；⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+,则函数()y f x =是___________指明函数的奇偶性【例33】设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,那么当(,0)x ∈-∞时,()f x =_________．【例34】已知函数()f x 为R 上的奇函数,且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【例35】()y f x =图象关于1x =对称,当1x ≤时,2()1f x x =+,求当1x >时()f x 的表达式．【例36】设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根,那么这两根之和等于_____．【例37】已知函数()f x 是偶函数,而且在(0,)+∞上是减函数,判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【例38】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且1()()1f xg x x -=+,求()f x 、()g x ．【例39】设函数322||2()2||x x x xf x x x +++=+的最大值为M ,最小值为m ,则M 与m 满足．A ．2M m +=B ．4M m +=C ．2M m -=D ．4M m -=【例40】已知()ln(4f x ax c x =+++a 、b 、c 为实数,且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是． A ．5-B ．3-C ．3D ．随a 、b 、c 而变【例41】已知()f x =)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【例42】函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域,对定义域中任何x ,有()()0f x f x +-=,()()1g x g x -=,则2()()()()1f x F x f xg x =+-是A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【例43】已知函数()f x ,当,R x y ∈时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数； ②若(3)f a -=,试用a 表示(24)f ． ③如果R x +∈时()0f x <,且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性,并求它在区间[2,6]-上的最大值与最小值．【例44】已知(),()f x g x 都是奇函数,()0f x >的解集是2(,)a b ,()0g x >的解集是2,22a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22ba >,那么求()()0f x g x >的解集．【例45】已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21x F x f x =+-x ≠0是偶函数,且()f x 不恒为0,判断()f x 的奇偶性．【例46】已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+,则求()f x 与()g x 的表达式．【例47】函数()f x =为奇函数,则a 的取值范围是．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【例48】已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>,230x x +>,310x x +>．则123()()()f x f x f x ++ ．A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零【例49】函数()f x 在R 上有定义,且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．【例50】已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数,且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =,解不等式41(log )0f x -<≤,【例51】设函数()y f x =x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12,x x ,恒有1212()()()f x x f x f x =+,⑴求证：(1)(1)0f f =-=； ⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0,)+∞上的增函数,求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．一主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT ,0k Z k ∈≠也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x 其中a 为常数, ①()()f x f x a =+,则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；板块三：函数的周期性③()()1f x a f x +=±,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ⑤1()()1()f x f x a f x -+=+,则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-,则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-0a >,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =,若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；二主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ,一般来说,周期函数的定义域均为无限集． 2．解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．三典例分析：【例52】已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形,且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,(1)1f -=,(0)2f =-．那么,(1)(2)(2006)f f f +++的值是A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例53】定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=,且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．给出以下3个命题：①函数()f x 的周期是6；②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称；③函数()f x 的图象关于y 轴对称,其中,真命题的个数是． A ．3B ．2C ．1D ．0【例54】已知()f x 为定义在区间(-∞,)+∞上以2为周期的函数,对k ∈Z ,用k I 表示区间(21k -,21]k +,已知0x I ∈时,2()f x x =． ⑴求()f x 在k I 上的解析式；⑵对自然数k ,求集合{|k M a =使方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}．【例55】已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ,都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =⋅,且(0)0f ≠．⑴求证：()f x 为偶函数；⑵若存在正数m 使得()0f m =,求满足()()f x T f x +=的1个T 值T ≠0．【例56】设()f x 是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,(1)0f a =>．⑴求1()2f 及1()4f ；⑵证明()f x 是周期函数；⑶记1(2)2n a f n n=+,求lim(ln )n n a →∞．【例57】函数()g x f xf=；⑶()(1)=-是奇函f x是偶函数；⑵(0)999f x在R上有意义,且满足：⑴()数,求(2008)f．【例58】()++≥,设f x f xf x f xf x是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有(3)()3++≤和(2)()2 =-,g x f x x()()⑴求证()g x是周期函数；⑵如果f998=1002,求f2000的值．。

新高一数学预备知识点总结

新高一数学预备知识点总结一、函数与图像在高一数学学习中，函数与图像是一个重要的知识点。

函数是一种特殊的关系，它将各个数域中的元素按照一定的规则进行对应。

在平面直角坐标系中，我们可以用图像来表示函数。

函数的图像是函数与坐标轴相交的点的集合。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数能够接收的自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的取值。

2. 奇偶性：一个函数称为奇函数，若对于定义域内的任意实数x，有f(-x)=-f(x)；一个函数称为偶函数，若对于定义域内的任意实数x，有f(-x)=f(x)。

3. 单调性：一个函数称为单调递增函数，若对于定义域内的任意实数x1<x2，有f(x1)<f(x2)；一个函数称为单调递减函数，若对于定义域内的任意实数x1<x2，有f(x1)>f(x2)。

4. 零点：函数f(x)的零点是指满足f(x)=0的x值。

三、函数的图像和性质1. 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有常数斜率。

线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。

2. 二次函数：二次函数的图像是一条抛物线，具有对称轴。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

3. 指数函数：指数函数的图像是一个单调递增的曲线。

指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为常数。

4. 对数函数：对数函数的图像是一个单调递增的曲线。

对数函数的一般形式为y=logₐ(x)，其中a为底数。

四、三角函数三角函数是高一数学中重要的一部分，它是解决直角三角形相关问题的关键工具。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

1. 正弦函数：正弦函数的图像是一个周期性的曲线，它描述了角度和正弦值之间的关系。

正弦函数的一般形式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。

2. 余弦函数：余弦函数的图像也是一个周期性的曲线，它描述了角度和余弦值之间的关系。

余弦函数的一般形式为y=Acos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数。