5.1 简谐振动
简谐振动的特性与公式
简谐振动的特性与公式简谐振动是指物体在回复力的作用下，以一个固定的角频率在平衡位置周围做往复运动的现象。
它是力学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学以及其他领域。
本文将探讨简谐振动的特性以及相关的公式。
一、简谐振动的特性1. 平衡位置与位移：简谐振动的平衡位置是物体在无外力作用下所处的位置，位移是物体相对于平衡位置的偏移量。
在简谐振动中，物体在平衡位置附近做往复运动，位移大小与方向随时间变化。
位移可以用矢量表示，方向与偏离平衡位置的方向相反。
2. 振动的周期与频率：简谐振动的周期是完成一次完整往复运动所需的时间，用符号T表示。
频率是单位时间内完成的往复运动次数，用符号f表示。
周期和频率之间存在以下关系：f=1/T。
3. 振幅与最大速度：简谐振动的振幅是位移的最大值，表示振动的幅度大小。
最大速度是物体在振动过程中达到的最大速度，与振幅相关。
振幅越大，最大速度越大。
4. 角频率与周期：角频率是简谐振动中角度随时间变化的快慢程度，用符号ω表示。
角频率与周期之间存在以下关系：ω=2πf=2π/T。
二、简谐振动的公式1. 位移与时间的关系：简谐振动的位移随时间的变化可以用正弦函数来描述。
当物体从平衡位置出发向一个方向运动时，位移的函数关系可以表示为：x(t) = A * sin(ωt)，其中x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率。
2. 速度与时间的关系：简谐振动的速度随时间的变化也可以用正弦函数来描述。
速度的函数关系可以表示为：v(t) = A * ω * cos(ωt)，其中v(t)为时间t时刻的速度。
3. 加速度与时间的关系：简谐振动的加速度随时间的变化同样可以用正弦函数来描述。
加速度的函数关系可以表示为：a(t) = -A * ω^2 *sin(ωt)，其中a(t)为时间t时刻的加速度。
以上公式是简谐振动中最基本的公式，通过它们可以计算出简谐振动过程中任意时刻的位移、速度和加速度。
三、应用举例简谐振动的特性与公式在实际应用中有着广泛的应用。
5.1简谐振动.pdf
衡”在 OA 位置，
g ，此单摆可以在车厢中以 OA 为中心做简谐振动。当
小球相对静止在平衡位置 A 处时，绳中张力为 m a2 + g 2 ，等效重力加速度 g = a2 + g 2 ，单摆的周期
T = 2
l a2 + g2
（2）等效摆长 l
l
单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距 离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图 5-2-9 中
x = A cos(t + 0 )
（2）
这就是简谐振动方程，式中0 是 t=0 时的相位，称为初相：t + 0 是 t 时刻的相
位。
参考圆上的质点的线速度为 A ，其方向与参考圆相切，这个线速度在 x 轴
上的投影是
v = − A cos(t + 0 ） 这也就是简谐振动的速度
（3）
参考圆上的质点的加速度为 A 2 ，其方向指向圆心，它在 x 轴上的投影是
=
3 2
mg
/
k
=
3l
/
2
的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成 5 次全振动，因此两个阶段内
振子的振幅都是 l / 2 。弹簧的伸长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示，读者可以
思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始
的，那么 l ~ t 图线将是怎样的？
度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。
现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧，上端固定在 P 点，下端固定一个质量为
m 的物体，物体平衡时的位置记作 O 点。现把物体拉离 O 点后松
手，使其上下振动，如图 5-1-1 所示。
P
大物第五章课后习题答案
简答题5.1 什么是简谐运动？说明下列运动是否是简谐运动？（1）活塞的往复运动；（2）皮球在硬地上的跳动；（3）一小球在半径很大的光滑凹球面底部的来回滑动，且经过的弧线很短；（4）锥摆的运动。
答：质点的简谐振动一定要有平衡位置，以平衡位置作为坐标原点，如果以x 表示质点偏离平衡位置的位移，质点所受合外力一定具有F kx =-的形式。
（１）活塞的往复运动不是简谐运动，因为活塞受力的方向和它的位移是同一方向，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以活塞的往复运动是简谐运动。
（２）皮球在硬地上的跳动不是简谐运动，因为忽略空气阻力，皮球在上升和下落阶段，始终受到竖直向下的重力的作用，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以皮球的运动不是简谐运动。
（３）一小球在半径很大的光滑凹球面底部的来回滑动，且经过的弧线很短是简谐运动。
符合简谐运动的定义。
（４）锥摆的运动不是简谐运动，此时锥摆受到重力和绳的拉力的作用，这两个力的合力的大小为恒量，而方向在不断的改变，任一时刻所受的合外力不具有F kx =-的形式，所以锥摆的运动不是简谐运动。
5.2（1）试述相位和初相的意义，如何确定初相？（2）在简谐振动表达式)cos(ϕω+=t A x 中，t = 0是质点开始运动的时刻，还是开始观察的时刻？初相20/,πϕ=各表示从什么位置开始运动？答：1）相位是决定谐振动运动状态的物理量，初相是确定振动物体初始时刻运动状态的物理量。
由初始条件可以确定初相。
2）在简谐振动表达式)cos(ϕω+=t A x 中，t = 0是质点开始计时时刻的运动状态，是开始观察的时刻。
初相0ϕ=是物体处于正最大位移处开始运动，初相/2ϕπ=是物体处于平衡位置且向初相x 轴负向开始运动。
5.3 一质点沿x 轴按)cos(ϕω+=t A x 作简谐振动，其振幅为A ，角频率为ω，今在下述情况下开始计时，试分别求振动的初相：（1）质点在x = +A 处；（2）质点在平衡位置处、且向正方向运动；（3）质点在平衡位置处、且向负方向运动；（4）质点在x =A /2处、且向正方向运动；（5）质点的速度为零而加速度为正值。
《简谐振动》课件
3
谐振共振现象
在一些特殊情况下，简谐振动会出现共振现象，引起丰富的物理现象和效应。
课堂练习与小结
实验：简谐振动的观测
通过实验，我们可以直观地观测 和验证简谐振动的各种特性和规 律。
练习题：简谐振动的计算
通过练习题，我们可以更加熟练 地掌握和运用简谐振动的计算方 法。
小结：简谐振动的本质及 其应用
简谐振动的本质是物体在恢复力 作用下的周期性振动，具有广泛 的应用价值和理论意义。
《简谐振动》PPT课件
什么是简谐振动？
定义
简谐振动是指物体在一个固 定轨迹上以恒定速度来回振 动的运动。
周期、频率与角频率的 关系
周期与频率是简谐振动的关 键参数，它们之间遵循特定 的数学关系。
物ห้องสมุดไป่ตู้实例
弹簧振子和单摆振动是常见 的简谐振动实例，它们展示 了简谐振动的特征。
简谐振动的数学描述
1 振动方程的一般形式
简谐振动可以用振动方程的一般形式来描述，这是简谐振动理论的核心。
2 欧拉公式及其应用
欧拉公式是描述简谐振动的数学工具，对于求解振动问题具有重要意义。
3 谐振曲线与相位差
谐振曲线和相位差是简谐振动中常见的图像表示形式，能帮助我们更好地理解振动的性 质。
简谐振动的能量
动能与势能的变化
简谐振动中的动能和势能随时 间的变化呈周期性规律，相互 转化。
振动量的计算方法
我们可以通过计算振动量来了 解简谐振动的强度和特性。
能量守恒定律
简谐振动遵循能量守恒定律， 能量在振动过程中始终保持不 变。
简谐振动的阻尼与受迫振动
1
阻尼振动的特征
阻尼振动是简谐振动受到阻碍或阻尼力的情况，具有一些特殊的行为与性质。
简谐振动的基本概念与公式
简谐振动的基本概念与公式简谐振动是物理学中的一个重要概念，它广泛应用于多个领域，如机械振动、电磁振动等。
本文将介绍简谐振动的基本概念，探讨简谐振动的公式，并阐述其在实际应用中的重要性。
一、简谐振动的概念简谐振动是一种基本振动形式，它的特点是系统在平衡位置附近以一定频率围绕平衡位置作一定幅度的振动。
简谐振动可以通过一定的数学模型进行描述和分析。
假设一个质点在某个固定轴上振动，当它距离平衡位置的位移与时间的关系满足正弦函数或余弦函数规律时，就称这种振动为简谐振动。
简谐振动的特点在于系统的振动是周期性的，即经过一段时间后，质点会回到初始状态并重复振动。
这个时间段称为振动的周期，用符号T表示。
另外，简谐振动的频率f是指单位时间内振动的次数，其倒数与周期T之间存在关系：f=1/T。
频率的单位是赫兹（Hz），周期的单位是秒（s）。
二、简谐振动的公式对于简谐振动，可以通过数学公式来描述其位移、速度和加速度与时间的关系。
1. 位移的公式简谐振动的位移公式一般采用正弦函数或余弦函数形式表示。
对于给定的简谐振动，其位移y与时间t之间的关系可以表示为：y = A * sin(ωt + φ)其中，A为振幅，表示质点离开平衡位置的最大位移；ω为角速度，表征振动的频率；φ为初相位，反映振动的起始状态。
2. 速度的公式简谐振动的速度与位移之间存在一定的关系。
对于给定的简谐振动，其速度v与时间t之间的关系可以表示为：v = Aω * cos(ωt + φ)3. 加速度的公式简谐振动的加速度与位移之间也存在特定的数学关系。
对于给定的简谐振动，其加速度a与时间t之间的关系可以表示为：a = -Aω² * sin(ωt + φ)其中，负号表示加速度的方向与位移相反。
三、简谐振动的应用简谐振动在多个领域都有重要的应用。
以下列举了几个常见的实际应用场景：1. 机械振动简谐振动广泛应用于机械工程中，如弹簧振子、摆锤等。
利用简谐振动的特性，可以设计和控制机械系统的振动，改善其运行稳定性，提高效率和精度。
简谐振动的图像和公式上课用
峰值位置
速度图像的峰值表示振动 物体在各个时刻的速度最 大值或最小值。
方向变化
速度图像可以反映振动物 体的速度方向变化，表明 物体在振Байду номын сангаас过程中有加速 度。
加速度图像
加速度图像
描述了振动物体在各个时刻的加速度 情况，呈现出一个正弦或余弦曲线。
峰值位置
方向变化
加速度图像可以反映振动物体的加速 度方向变化，表明物体在振动过程中 受力方向不断变化。
简谐振动的图像
02
振动位移图像
01
02
03
振动位移图像
描述了振动物体在各个时 刻的位移情况，呈现出一 个正弦或余弦曲线。
峰值位置
位移图像的峰值表示振动 物体偏离平衡位置的最大 距离，即振幅。
周期性
位移图像呈现周期性变化， 反映了振动物体的振动频 率。
速度图像
速度图像
描述了振动物体在各个时 刻的速度情况，呈现出一 个正弦或余弦曲线。
简谐振动的特性
周期性
简谐振动具有周期性，即物体 在每个周期内都会重复相同的
运动轨迹。
往复性
简谐振动是往复运动，物体在 平衡位置附近来回移动，而不 是单向移动。
能量守恒
简谐振动过程中，系统的能量 是守恒的，即动能和势能之和 保持不变。
初相
简谐振动的初相 $varphi$ 决定 了物体开始运动时的相位，决 定了运动轨迹的形状和方向。
概述
非线性振动是指振幅与位移之间不满足线性关系的振动。
特点
非线性振动的振幅和频率随时间变化，且系统对初始条件非常敏 感。
应用
非线性振动在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用，如心 脏跳动、电路中的振荡等。
5.1 简谐振动 简谐振动的振幅、周期、频率和相位
试证物体作简谐振动，并写出振动的运动学
方程；（2）求速度和加速度及其最大值；
x
（3）求最大回复力。
第5章 机械振动
5.1简谐振动 简谐振动的振幅、周期、频率和相位
解（1）物体在平衡位置时所受合力为零，即
mg kl 0 （1）
在任一位置x处，物体所受合力为
F mg k(l x)
（2）
d2x dt 2
2x
3）简谐振动的运动学描述 x Acos(t ) （在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
➢ 简谐振动的特征 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
（由振动系统本身性质决定）
第5章 机械振动
5.1简谐振动 简谐振动的振幅、周期、频率和相位
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
机械振动 物体在某一确定位置附近作来回往复
的运动. 运动形式: 直线、平面和空间振动.
例如 分子热运动、电磁运动、晶体中原子的运 动及机械振动
周期和非周期振动
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 分解
g l
9.8 9.8102 rad / s 10 rad / s
设方程（3）的解为 x Acos( t ) （4）
依题意，t 0 时，有
x0 Acos 0 v0 Asin 3 m / s
由此可得
A
x02
( v0
)2
v0
3 10
m 0.3
v dx Asin( t ) 3sin(10t ) m / s
dt
2
简谐振动的概念
简谐振动的概念
简谐运动随时间按余弦（或正弦）规律的振动，或运动。
又称简谐振动。
简谐运动是最基本也最简单的机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
扩展资料
简谐振动位移公式：x=Asinωt
简谐运动恢复力：F=-KX=-md^2x/dt^2=-mω^2x
ω^2=K/m
简谐运动周期公式：T=2π/ω=2π(m/k)^1/2
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率,ω=√(k/m)；
φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度(逆时针为正方向)，叫做简谐运动的初相位。
在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos(ωt+φ)，简谐运动的速度v=-ωRsin(ωt+φ)，简谐运动的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),这三个式子叫做简谐运动的方程。
简谐振动规律
简谐振动规律简谐振动是物理学中常见的一种振动现象，它包括弹簧振子、摆锤等。
简谐振动的规律可以用正弦函数描述。
在本文中，我们将探讨简谐振动的规律及其应用。
简谐振动的基本规律是物体在恢复力作用下沿着一条直线做一来回运动。
这种运动的特点是周期性、速度变化与位置变化成正弦关系。
简谐振动的规律可以由以下公式描述：x(t) = A * sin(ωt + φ)，其中x(t)是位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相。
首先，我们来探讨简谐振动的周期和频率。
周期T是振动完成一个来回所需的时间，频率f则是单位时间内的振动次数。
周期和频率的关系是T = 1/f。
角频率是频率的2π倍，即ω = 2πf，单位是弧度/秒。
其次，简谐振动的速度和加速度也有规律可循。
速度v(t)等于位移对时间的导数，即v(t) = dx(t)/dt = Aωcos(ωt + φ)。
加速度a(t)等于速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt = -Aω^2sin(ωt + φ)。
可以看出，速度与位移之间的关系是相差90度，而加速度则是速度的负数乘以角频率的平方，也就是相差180度。
简谐振动在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在钟摆上。
当一个物体用一根轻细的线或杆悬挂起来，放任它摆动，便会出现简谐振动。
钟摆的周期与摆长有关，即T = 2π√(L/g)，其中L是摆长，g是重力加速度。
这就是为什么钟摆在摆长相同的情况下只需要相同的时间来完成摆动。
除了钟摆，简谐振动还应用于弹簧振子。
当一个质点用弹簧连接到一个固定点上时，当质点从平衡位置偏离时，被弹簧施加的恢复力将使其发生简谐振动。
弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数和质量有关，即T = 2π√(m/k)，其中m是质量，k是劲度系数。
这是为什么一个质点挂在弹簧上的运动会形成规律的来回摆动。
此外，简谐振动还可以用于建筑物的设计。
在地震工程中，建筑物的抗震性能是非常重要的。
通过在建筑物中安装阻尼器或减震器，可以有效减小地震对建筑物的影响。
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点简谐振动是指物体在恢复力作用下，沿着一条直线或绕一条固定轴线作往复运动的现象。
简谐振动具有以下规律和特点：1. 定义和公式：简谐振动的定义是指物体的振动轨迹可以用正弦或余弦函数表示的振动。
它的数学描述是一个关于时间的周期函数，可以用如下公式表示：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)表示物体在时间t时刻的位移，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位差。
2. 周期性：简谐振动具有周期性，即物体在一定时间间隔内，按照相同的轨迹往复振动。
周期是振动完成一个完整往复运动所需要的时间，用T 表示。
简谐振动的周期与角频率的关系是：T = 2π/ω。
3. 恒定的周期和频率：对于给定的简谐振动体系，周期和频率是恒定不变的。
无论振幅的大小如何变化，简谐振动的周期和频率保持不变。
4. 恢复力和弹性势能：简谐振动的存在是由于恢复力的作用。
恢复力是指当物体偏离平衡位置时，恢复物体回到平衡位置的力。
简谐振动的物体通常具有弹性，当物体受力偏离平衡位置时，会产生弹性势能，而恢复力正是由弹性势能转化而来。
5. 振幅和最大速度：振幅是指振动物体从平衡位置最远的距离，用A表示。
最大速度是指振动物体在振动过程中速度达到最大值的时刻，与振幅有关。
6. 相位差和初相位：相位差是指两个相同频率的简谐振动物体之间的时间差。
初相位是指在某一时刻的相位差。
相位差和初相位的变化会导致振动物体之间的相位关系发生变化。
7. 谐振：当外力与振动频率相同时，振动物体会发生共振现象，这种现象称为谐振。
谐振时，振动物体的振幅会显著增大，甚至可能导致破坏。
8. 能量转换：简谐振动过程中，动能和势能之间会不断转换。
当物体通过平衡位置时，动能最大，势能为零；而当物体达到最大位移时，势能最大，动能为零。
这种能量的转换是循环进行的。
9. 简谐振动的应用：简谐振动在物理学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在钟摆、弹簧振子、电磁振荡电路等系统中都存在着简谐振动现象。
简谐振动的基本概念与公式
简谐振动的基本概念与公式简谐振动是物理学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍简谐振动的基本概念、公式以及相关应用。
一、简谐振动的基本概念简谐振动是指物体在一个稳定平衡位置附近以往复性质作振动的现象。
它的特点是周期性、对称性和线性，具有恢复力和惯性力的相互作用。
二、描述简谐振动的公式1. 位移与时间的关系简谐振动的位移与时间的关系可以用正弦函数来描述：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，x(t)表示某一时刻的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
2. 速度与时间的关系速度与时间的关系可以通过位移对时间的导数来表示：v(t) = A * ω * cos(ωt + φ)其中，v(t)表示某一时刻的速度。
3. 加速度与时间的关系加速度与时间的关系可以通过速度对时间的导数来表示：a(t) = -A * ω^2 * sin(ωt + φ)其中，a(t)表示某一时刻的加速度。
三、简谐振动的重要性简谐振动在物理学的许多领域中都有广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：1. 机械振动简谐振动理论被广泛应用于机械振动领域，如弹簧振子、摆锤等。
通过分析系统的位移、速度和加速度，可以预测系统的动态行为，为设计和优化机械系统提供基础。
2. 声学声波的传播可以通过简谐振动的模型进行描述。
例如，音叉的振动可以看作一个简谐振动系统，通过调整频率和振幅可以产生不同的音调。
3. 电路振荡电路中的振荡器常常采用简谐振动的原理。
例如，由电感、电容和电阻构成的LCR电路可以通过调整元件的参数实现简谐振荡，产生稳定的电信号。
4. 分子振动在化学领域，简谐振动理论被用于描述分子的振动模式。
通过分析分子的谐振频率和振幅，可以预测分子的振动能级和光谱特性。
结论简谐振动作为物理学中的基本概念，具有重要的理论和实际应用价值。
通过上述公式和相关实例的介绍，我们可以更加深入地理解简谐振动的基本特性和应用领域。
在实际问题的研究和应用中，我们可以利用简谐振动的理论框架，对系统的动态行为进行分析和优化。
简谐振动特征方程
简谐振动特征方程简谐振动是物理学中一个重要的概念，它描述了许多自然界中的现象，例如弹簧振子、摆钟等等。
简谐振动的特征方程是用来描述振动系统的运动规律的，下面我们来详细介绍一下。
简谐振动是指一个物体在一个平衡位置附近做往复运动的现象。
这个物体可以是一个质点、一个弹簧振子、一个摆钟等等。
这些物体在平衡位置附近的运动可以用一个数学模型来描述，即简谐振动的特征方程。
简谐振动的特征方程可以写成如下的形式：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是振动系统的劲度系数，x是物体的位移。
这个方程描述了物体在振动过程中的运动规律。
我们可以从这个方程中得到一些重要的结论。
首先，当物体的位移为0时，即物体处于平衡位置时，方程变为0 = 0，这意味着物体处于静止状态。
其次，当物体受到外力作用时，例如一个弹簧的拉力或一个摆钟的重力，方程变为m * a + k * x = F，其中F是外力。
这意味着物体在外力作用下会发生加速度，从而产生振动。
根据简谐振动的特征方程，我们可以推导出振动系统的运动方程。
假设物体在t时刻的位移为x(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，则有以下关系：x(t) = A * cos(ωt + φ)v(t) = -A * ω * sin(ωt + φ)a(t) = -A * ω^2 * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体的最大位移；ω是角频率，表示物体在单位时间内完成的振动周期数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。
从上面的方程可以看出，简谐振动的运动是周期性的，物体在单位时间内完成的振动周期数是固定的。
振幅决定了物体振动的幅度大小，角频率决定了物体振动的快慢，初相位决定了物体振动的起始位置。
简谐振动的特征方程不仅仅在物理学中有重要的应用，还在其他领域中有广泛的应用。
例如在工程学中，简谐振动的特征方程可以用来描述机械振动系统的运动规律，从而帮助工程师设计和优化振动系统。
《大学物理学》(网工)简谐振动部分练习题(解答)
2
2
拓展题：一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的
（D）
1
1
3
3
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
2
2
2
4
【考虑到动能为 Ek
1 m 2 2
1 2
kA2
sin2 ( t
) ，位移为振幅的一半时，有 t
3
,
2 3
，那么，
Ek 1 kA2 ( 3 )2 】
2
3
4
A
3
5
（4）当 x
且正向时，由旋转矢量知4 2
4
（或4
4
）。
A
A
2
1
2
2
2
2
由周期 T 知 ，有： x1 A cos( t ) ；（ x1 A cos( t ) 也行）
T
T
T
2
2
2 3
x2 A cos( t ) ； x3 A cos( t ) ； x4 A cos( t ) 。
6
3
3
2
2 【可用旋转矢量考虑，两矢量的夹角应为 】
3
第九章机械振动-2
合肥学院《大学物理 B》自主学习材料
二、填空题 1．一质点在 X 轴上作简谐振动，振幅 A＝4cm，周期 T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若
t＝0 时质点第一次通过 x＝－2cm 处且向 X 轴负方向运动，则质点第二次通过 x＝－2cm 处
（A）落后 ； （B）超前 ；
2
2
o t
大学物理简谐振动
大学物理简谐振动在大学物理的广袤知识海洋中，简谐振动是一个极其重要的概念。
它不仅在物理学的理论体系中占据着关键的地位，而且在实际生活和众多科学技术领域都有着广泛而深刻的应用。
简谐振动，简单来说，是一种理想化的周期性运动。
想象一下一个小球在光滑水平面上连接着一个弹簧，当小球被拉离平衡位置然后松手，它就会在弹簧的作用下做往复运动，这种运动就是简谐振动。
我们先来看看简谐振动的数学描述。
它可以用一个正弦或余弦函数来表示，形如 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 x 是位移，A 是振幅，ω 是角频率，t 是时间，φ 是初相位。
振幅 A 决定了振动的最大位移，也就是振动的“幅度”；角频率ω 则反映了振动的快慢；初相位φ 则决定了振动的起始位置。
再深入理解一下简谐振动的特点。
首先，它的加速度与位移成正比，且方向总是指向平衡位置。
这意味着，当物体偏离平衡位置越远，它受到的回复力就越大，加速度也就越大，从而促使它更快地返回平衡位置。
其次，简谐振动的能量是守恒的。
在振动过程中，动能和势能相互转化，但总能量始终保持不变。
那么，简谐振动在实际生活中有哪些例子呢？最常见的莫过于钟摆的运动。
钟摆通过重力和绳子的拉力作用，在一定角度范围内做简谐振动，从而实现准确计时。
此外，乐器中的弦振动也是简谐振动的一种表现。
比如吉他弦，当被拨动时，弦在固定的两个端点之间做简谐振动，产生特定频率的声音。
在工程技术领域，简谐振动也有着重要的应用。
例如，汽车的减震系统就利用了简谐振动的原理。
当汽车行驶在不平坦的路面上时，减震器通过弹簧和阻尼器的作用，使车身的振动尽可能接近简谐振动，从而减少颠簸，提高乘坐的舒适性和稳定性。
对于学习大学物理的同学们来说，理解和掌握简谐振动有着重要的意义。
它是进一步学习波动、光学等知识的基础。
通过研究简谐振动，我们能够培养对物理现象的观察、分析和解决问题的能力。
在解决简谐振动相关的问题时，通常需要运用牛顿第二定律、能量守恒定律等物理定律，并结合数学工具进行计算和分析。
大学物理第五章机械振动
A0 B C
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例题2. 弹簧振子放在光滑的水平面上，已知k=1.60N/m，m=0.4kg.
试就下列两种情形分别求运动方程. (1)将物体从平衡位置向右移到
x=0.10m处后释放; (2)将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
物体以向左的速度0.20m/s.
解： k m 1.6 0.4 2rad s1
k
m
(1) t 0， x0 0.10m， v0 0
o
x
A
x02
v02
2
x0 0.10m
cos x0 1
A
0
x 0.1cos2t (m)
(2)
t
0，
x0
0.10m，
v0
0.20m/s
cos
x0
1
A
x02
v02
2
0.1
2m
A2
sin v0 0
A
x 0.1 2 cos(2t ) (m)
设弹簧振子在任一时刻 t 的位移为x，速度为v，则
振动系统所具有的弹性势能Ep和动能Ek分别为：
Ep
1 kx2 2
x Acos( t )
Ep
1 2
kA2
cos2 (
t
)
Ek
1 2
mv2
v A sin( t )
Ek
1 2
m 2 A2
sin2 (
t
)
2 k /m
1 kA2 sin2 ( t )
大加速度为 4.0 ms-2. 求：(1) 振动的周期；(2) 通过平衡位置的动
能；(3) 总能量；(4) 物体在何处其动能和势能相等？
解: (1) amax A 2
简谐振动_精品文档
简谐振动简谐振动是一种经典物理学中的基本运动形式，它在许多领域都有着重要的应用，包括力学、电磁学、天文学等等。
简谐振动的研究不仅可以帮助我们理解自然界中的一些基本现象，还能够指导我们设计和优化各种工程和技术应用。
首先，我们来看一下什么是简谐振动。
简谐振动是指一个物体在受到一个恢复力和阻尼力的作用下以振动的方式运动。
恢复力的大小是与物体偏离平衡位置的距离成正比的，阻尼力则是与物体运动速度成正比的。
这两个力的组合使得物体产生振动，而振动的形式就是简谐振动。
简谐振动的特点之一是它具有周期性。
也就是说，一个物体在一次完整的振动过程中，从振动的一极值位置到另一个极值位置再返回原点的时间是相等的。
这个时间被称为振动的周期，用T来表示。
周期与振动的频率是倒数关系，频率用f来表示，可以用单位时间内的振动次数来描述。
我们可以用公式f=1/T来表达频率和周期的关系。
简谐振动还有一个重要特点是其振幅的恒定性。
振幅是指物体在振动过程中从平衡位置偏离的最大距离。
在没有外力干扰的情况下，简谐振动的振幅是恒定的，也就是说物体每次振动的极值位置离开平衡位置的距离是相等的。
简谐振动在实际生活中有很多应用。
一个常见的例子就是钟摆的运动。
当我们把一个钟摆拉到一边，然后松开，它将开始以简谐的方式摆动。
钟摆的运动也可以用简谐振动的数学模型来描述，这使得我们能够准确地预测和控制钟摆的振动。
另一个重要的应用是弹簧振子。
弹簧振子由于受到弹簧的恢复力和重力的作用而产生振动。
弹簧振子的简谐振动模型可以用来研究和设计一些工程中的系统，比如悬挂系统和减震系统等。
除了力学领域，简谐振动在电磁学中也有广泛的应用。
一个常见的例子是电路中的振荡器。
振荡器是由一个电容器和一个电感器组成的电路，它产生的振荡信号可以用于无线电通信和其他电子设备中。
最后，简谐振动也有重要的应用于天文学。
天体的运动可以用简谐振动的模型来描述，这有助于我们认识和解释天体运动中的一些规律和现象。
物理5 简谐振动
弹簧振子的能量曲线
E
1 2 E E p Ek kA 2 1 Ek m 2 A2 sin 2 ( t ) 2 1 2 2 E p k A cos ( t )
o
Ep
Ek
A
t
2
o x
Ep A
1 2 E p kx 2
x
本次作业： 完成作业 5-7、5-8、5-10 下次上课内容：
amax 20s 1 A
T
2π
0.314 s
§5-5 简谐振动的合成 一、两个同方向同频率简谐运动的合成 分振动
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
v0 A sin 0, sin 0, 2
v0 0, 则 2
例题 一弹簧振子放在一光滑的水平面上，已知k =1.60N/m， m=0.4kg。试就下列二情形分别求运动方程。 (1) 将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后释放。(2) 将物体从 平衡位置向右移到x=0.10m处后并给物体以向左的速度0.20m/s .
A2
x
3 2 t 10 2
A1
第二个振子比第一个 3 振子超前
10
5-3 单摆和复摆
一、单 摆
M m glsin d 2 M J J 2 J m l2 dt 2 2 d ml m glsin 2 dt 当 很小 ( 50 ) 时, sin
振幅决定振动的范围和能量。
2.频率 frequency 周期：作简谐运动的物体作一次全振动所需的 时间称为周期,用T 表示。 x A cos( t ) A cos[ (t T ) ] k T 2 m 2 2 T 2 T k m
高中物理教案：简谐振动的特性
高中物理教案：简谐振动的特性简谐振动是物理学中一个重要的概念，在高中物理课程中也占有重要地位。
掌握简谐振动的特性对于深入理解振动现象和应用具有重要意义。
本文将从几个方面介绍简谐振动的特性，并探讨其在实际中的应用。
一、简谐振动的定义和特点1. 简谐振动的定义简谐振动指的是系统围绕平衡位置做周期性且幅度相同的往复运动。
典型的例子就是弹簧振子和单摆。
2. 简谐振动的周期和频率简谐振动周期T与频率f之间满足T=1/f，其中周期指一次完整振动所需时间，频率指单位时间内完成的振动次数。
3. 简谐振动的幅度和初相位简谐振动存在一个最大位移值，称为幅度A。
而初相位Φ则描述了系统在t=0时刻的位置，通常用弧度或角度来表示。
二、简谐振动力学模型1. 弹簧质点体系弹簧质点体系是最常见且容易理解的简谐振动力学模型。
质点的运动受质点自身的惯性力和弹簧所受的弹性力共同作用。
2. 单摆单摆是一个具有一定质量的绳子或杆与一个固定点连接，并允许在重力作用下摆动的系统。
当摆角较小时，单摆运动近似为简谐振动。
三、简谐振动特性1. 力学特性简谐振动具有定常周期、频率和幅度相等的特点。
在没有阻尼和外界扰动情况下，简谐振动会一直保持下去。
2. 能量特性简谐振动的能量由势能和动能组成，在一个周期内能量交替转化。
当物体完全通过平衡位置时，其势能最小，而速度最大；反之，速度最小，势能最大。
3. 相位特性简谐振动各个时刻的位移可以通过正弦函数来表示。
因此，在分析简谐振动时需要考虑相位差对位移的影响。
四、应用领域1. 音乐乐器许多音乐乐器利用了简谐振动原理产生声音。
以弦乐器为例，琴弦的振动就是基于简谐振动的，通过改变弦长和张力可以调节音高。
2. 电路在交流电路中，简谐振动被广泛应用。
例如，LC电路中的交流振荡器利用简谐振动产生稳定的频率信号。
3. 物理实验在物理实验中，利用简谐振动的特性进行测量和验证理论也十分常见。
例如，利用单摆进行重力加速度的测量。
力学实验简谐振动
力学实验简谐振动简谐振动是力学学科中的重要内容之一。
在力学实验中，简谐振动的研究对于了解物体的振动特性和运动规律具有重要意义。
本文将介绍简谐振动的定义、特征以及力学实验中的应用。
一、简谐振动的定义和特征简谐振动是指振动系统在平衡位置附近以固定角频率、固定振幅进行的振动。
其数学描述可由简单的线性微分方程表示，常见的简谐振动包括弹簧振子、摆锤等。
简谐振动具有以下几个主要特征：1. 稳定性：简谐振动是稳定的，振动周期恒定，振幅不发生改变。
2. 周期性：简谐振动的运动状态是周期性的，即循环重复。
3. 同频性：简谐振动的频率由振动系统的固有特性决定，与初始条件无关。
4. 能量守恒：在理想情况下，简谐振动的能量在振动过程中保持不变。
二、力学实验中的简谐振动在力学实验中，研究简谐振动可以通过多种实验设备和方法完成。
下面将介绍一些常见的力学实验中的简谐振动应用。
1. 弹簧振子实验弹簧振子实验是一种常见的研究简谐振动的实验方法。
实验中，将一端固定的弹簧上挂上一个质量，然后将质量拉伸或压缩后释放，观察质量的振动情况。
通过调整弹簧的劲度系数和质量的重量，可以研究振动的周期、频率等特征。
2. 单摆实验单摆实验是研究简谐振动的经典实验之一。
实验中，通过将质量固定在一根轻杆的下端，使其能够自由摆动。
通过测量摆动的周期和摆长等参数，可以计算出摆的频率和角频率，并验证简谐振动的特点。
3. 万有引力实验万有引力实验也可以用来研究简谐振动。
在该实验中，将两个带电或带质量的物体放置在一定距离上，由于万有引力的作用，物体将呈现简谐振动。
通过测量振动的周期、力的大小和方向等参数，可以得到简谐振动的相关特征。
4. 悬挂系统实验悬挂系统实验是研究简谐振动的常见方法之一。
通过将质量在弹簧或绳子上悬挂，并施加适当的外力，可以观察到振动现象。
实验中可以改变劲度系数、质量和外力的大小等参数，以研究简谐振动的特征。
通过以上实验方法，可以研究简谐振动的不同特性和参数。
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x.v .a.
o
T/4
x a
T/4
T t
v
vm
A
90
0
0
90
t+
o
am
·
x
由图可见：
v 超前 x 2 a 超前 v 2
v x vm cos(t 2) a x am cos(t ) 2 A cos(t 2) A cos(t )
mg kl 0
F2
m
a
mg
T
x
当m有位移x时
RJ
mg T ma
a T k ( l x )R J R 联立得:
k
T
m
F2
m
o
a T J kx R 2 a R mg x d2x k 物体作简谐振动 x0 dt 2 m J R 2 k 2 2 m J R 2 T 2 m J R2 k
1 1 1 2 2 2 0.01 (0.01) 2 (2) 2 J 2 10-5 J Ek mv m mA 2 2 2
（3）弹簧振子的总能量
E 1 m 2 A2 EK 2.0 105 J 2
1 （4）当 x A 时，势能为 2
EP 1 2 1 1 2 1 1 2 1 kx k ( A) ( kA ) E 2 2 2 4 2 4
（或正弦）规律变化的振动。
x A cos( t 0 )
一、弹簧振子模型 弹簧振子：弹簧—物体系统
物体—可看作质点 轻弹簧—质量忽略不计，
形变满足胡克定律
平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置
k O
m
F kx
d2x kx m 2 dt
简谐振动 微分方程
km
2
x
d x 2 x 0 2 dt
O x X
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
对同一谐振动取不同的计时起点不同,但、A不变
1.6 Hz
例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹 簧、一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质 量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后 放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其 周期T. RJ 解：取位移轴ox，m在 k 平衡位置时，设弹簧伸 o T 长量为l，则: m
6
)cm
方法2：用旋转矢量法辅助求解。
v A sin(t ) v m cos(t ) 2
x A cos(t )
1
v m A 31.4cms
v的旋转矢量与v轴夹 角表示t 时刻相位:
t
2
2 由图知 2 3
0 是t =0时刻的位相—初位相
t 0时 x0 A cos 0
v0 A sin 0
v0 tan 0 x 0
位相差
两振动位,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
当=(2k+1) , k=0,±1,±2... 两振动步调相反,称反相
A
x0 (
2
v0
)
2
2、周期 、频率、圆频率
周期T ：物体完成一次全振动所需时间。
1 频率：单位时间内振动的次数。 T 2 2 角频率 2
T
对弹簧振子
k m
A cos( t 0 ) A cos ( t T ) 0
势能占总能量为 动能为 动能占总能量为
EP 25% E
Ek E EP E 1 3 E E 4 4
Ek 75 % E
实际振动系统 系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存 在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。
在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开 dE p d 2Ep 1 Ep( x ) Ep( 0 ) ( )x 0 x ( )x 0 x 2 dx 2 dx 2 2 dE p 1 d Ep 2 x0 0 Ep( x ) Ep( 0 ) ( )x 0 x 2 dx 2 dx
2
二、微振动的简谐近似 单摆
C
T
摆球对C点的力矩 M mgl sin 当 sin 时
d 2 ml 2 mgl dt
M mgl
O
f
mg
g/l
2
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 角频率,振动的周期分别为： g 2 l 0 T 2 l 0 g
x
A1
x
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x A cos( t 0 )
v A sin( t 0 ) v m cos( t 0
2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
a A 2 cos(t )
am A 2 ，所以圆频率为 加速度最大值为
am 0.04 2s 1 A 0.01
T
2
2 3.14s 2
（2）弹簧振子作简谐振动时，速度为
v A sin(t )
通过平衡位置时速度最大，速度最大值为 v m A 此时动能最大，有
二、描述简谐振动的特征量 1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位 移（或角位移）的绝对值。
x A cos( t 0 )
v A sin( t 0 )
v0
初始条件 t 0 , x x0 , v v0
x0 A cos 0
A sin 0
A v m 31.4cms
v0 15.7 1 sin 0 A 31.4 2
5 0 或 6 6
a0 0 ,则cos 0 0
0
6
t 1 v 15.7cms
1
7 11 1 或 6 6 6
a1 0 , 则
例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线 如图所示，试求其振动方程。
v(cms 1 )
解：方法1 设振动方程为
x A cos( t 0 )
31.4 15.7 0 15.7 31.4
1
1
t (s )
v0 A sin 0 15.7cms
1
a0 2 A cos 0 0
6
1
t 0
1 s
2
v
t 1s
o
v m 31.4 A 10cm 3.14
x 10 cos(t
6
)cm
简谐振动的能量
以弹簧振子为例 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
v A sin( t 0 )
v v 1 sin( 1 ) 6 A vm 2
cos( 1 0 ) 0 1
7 6 6
3.14 s
1
v m 31.4 A 10cm 3.14
故振动方程为: x 10 cos(t
机械振动 与机械波
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。 广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。
振动分类
线性振动 自由振动 非线性振动
受迫振动
5.1 简谐振动
最简单最基本的线性振动。 简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离
平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦
作谐振动 设振动方程为
x A cos( t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A
x0 (
2
v0
) 0.098m
2
v0 0 arctg( ) 0 , x 0
由x0=Acos0= - 0.098<0 cos0<0, 10rad / s 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+) m m (2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 1 g 固有频率 2 2 l
C
mg
简谐振动的特征量
一、简谐振动的运动学方程
d2x 简谐振动的微分方程 2x 0 dt 2 其通解为：
x A cos( t 0 ) 简谐振动的运动学方程
cos( t 0 ) sin( t 0
2
)
0
2
x sin( t )
势 能
1 kx 2 Ep 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
E p max , E p min , E p
情况同动能。 简谐振动系统机械能守恒
机械能
1 2 E E k E p kA 2
例 质量为0.1kg的弹簧振子，以0.01m的振幅作简谐振动， 其最大加速度为0.04ms-1，求：（1）振动周期；（2）通 过平衡位置时的动能和势能；（3）弹簧振子的总能量； （4）位移等于振幅一半时，弹簧振子的势能占总能量多 少？动能占总能量多少？ 解 （1）弹簧振子作简谐振动时，加速度为
0
2 超前于1 或 1滞后于 2