九年级上期末数学试卷含答案解析 (9)
人教版九年级上学期期末考试数学试卷(解析版)
人教版九年级上学期期末数学试卷（含答案）一、选择题（在下列四个选项中，只有-项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．22．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（）A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×1084．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a25．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．B．C．D．6．sin60°＝（）A．B．C．D．7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2＝5000B．3000（1+x）2＝5000C．3000（1+x%）2＝5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝50008．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：29．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小雨中途休息用了4分钟B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：2a2﹣8a＝．12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是．13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是．14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为．15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C 恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝，FP＝．三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．18．（6分）计算： 19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC 沿x 轴翻折得到△AB 1C 1，在图中画出△AB 1C 1．（2）将△ABC 以点A 为位似中心放大2倍．（3）求△ABC 的面积．20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：社团名称 A ．酵素制作社团B ．回收材料小制作社团C ．垃圾分类社团D ．环保义工社团E ．绿植养护社团 人数 10 15 5 10 5（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ；（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．（1）求证：AB＝AC．（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（在下列四个选项中，只有-项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．2【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．【解答】解：﹣的绝对值为．故选：C．【点评】本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（）A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：5800000000＝5.8×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．4．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a2【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．【解答】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．5．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】解：在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为＝．故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6．sin60°＝（）A．B．C．D．【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：sin60°＝．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝．7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2＝5000B．3000（1+x）2＝5000C．3000（1+x%）2＝5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．8．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3∴S△ADE：S△ABC＝4：9故选：A．【点评】熟练掌握三角形的性质．9．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小雨中途休息用了4分钟B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度【分析】根据函数图象可知，小雨6分钟所走的路程为2400米，6～10分钟休息，10～16分钟所走的路程为（4200﹣2400）米，所走的总路程为4200米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．【解答】解：A、小雨中途休息用了10﹣6＝4（分钟），正确，不符合题意；B、小雨休息前骑车的速度为每分钟＝400（米），正确，不符合题意；C、小雨在上述过程中所走的路程为4200米，错误，符合题意；D、小雨休息后骑车的速度为每分钟＝300（米）＜400米，∴小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm【分析】根据正切的定义计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tan A＝，则＝，解得：AC＝75，则斜坡的水平距离AC为75cm，故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：2a2﹣8a＝2a（a﹣4）．【分析】原式提取2a即可得到结果．【解答】解：原式＝2a（a﹣4），故答案为：2a（a﹣4）【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是x≥5．【分析】根据二次根式的性质被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：依题意，得x﹣5≥0，解得x≥5．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是72．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：56，61，70，74，80，91，处在第3和第4位两个数的平均数为中位数，故中位数是（70+74）÷2＝72．故答案为：72．【点评】本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为1．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，解得m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于π．【分析】根据扇形面积公式S＝进行计算即可．【解答】解：S扇形＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了扇形的面积的计算．解答该题的关键是熟记扇形的面积公式．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C 恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝30°，FP＝2．【分析】先求出DE＝a，CE＝2a，再根据翻折变换的性质可得PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE ＝∠PFE，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠DPE＝30°，从而得到∠DPF，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CFP，再求出∠CFE＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF，利用勾股定理列式求出FC，从而得解．【解答】解：∵DC＝3DE＝3a，∴DE＝a，CE＝2a，由翻折变换得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，∴在Rt△DPE中，∠DPE＝30°，∴∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°，∴∠CFE＝∠CFP＝×60°＝30°，∴EF＝2CE＝2×2a＝4a，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FP＝FC＝＝＝2a，故答案为：30°，2a．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出直角三角形中30°的角是解题的关键．三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+2+4×﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．【点评】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、正整数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键．18．（6分）计算：【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝×﹣＝﹣＝＝﹣1【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折得到△AB1C1，在图中画出△AB1C1．（2）将△ABC以点A为位似中心放大2倍．（3）求△ABC的面积．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出B ，C 的对应点B 1，C 1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出B ，C 的对应点E ，F 即可；（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【解答】解：（1）如图，△AB 1C 1即为所求；（2）如图，△AEF 即为所求；（3）△ABC 的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：社团名称 A ．酵素制作社团B ．回收材料小制作社团C ．垃圾分类社团D ．环保义工社团E ．绿植养护社团 人数 10 15 5 10 5（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 10 ；（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．【分析】（1）根据中位数的定义即可判断；（2）求出没有选择的百分比，高度和E相同，即可画出图形；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；（4）画出树状图即可解决问题；【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，故答案为10．（2）没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%＝10%，条形图的高度和E相同；如图所示：（3）1400×20%＝280（名）答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率＝．【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠P AB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠P AB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BP A＝30°，∴BA＝BP＝50，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝50×＝25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？【分析】（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，可得：，即可解得柏树每棵100元，杉树每棵80元；（2）①由柏树的棵数不少于杉树的3倍，有x≥3（150﹣x），而w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，即知w ＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；②由一次函数性质可得柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．【解答】解：（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，根据题意得：，解得，∴柏树每棵100元，杉树每棵80元；（2）①∵柏树的棵数不少于杉树的3倍，∴x≥3（150﹣x），解得x≥112.5，根据题意得：w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，∴w＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；②∵20＞0，∴w随x的增大而增大，∵x是整数，∴x最小取113，∴当x＝113时，w取最小值20×113+12000＝14260，此时150﹣x＝150﹣113＝37，答：要使此次购树费用最少，柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．（1）求证：AB＝AC．（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DF，进而得出OD∥AC，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明结论；（2）连接BE、AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，BE⊥EC，根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，进而得到AC＝12，得到答案．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：如图，连接BE、AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，BE⊥EC，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵DF⊥AC，BE⊥EC，∴DF∥BE，∵BD＝DC，∴CF＝FE，∵CF＝2AF，AE＝4，∴AC＝12，∴AB＝AC＝12，∴⊙O的半径为6．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．【分析】（1）由于y＝x+2m与y＝都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，即可求“合作点”；（2）假设是“合作函数”，可求“合作点”为x＝m+，再由|x|≤2，可得当﹣≤m≤时，是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，不是“合作函数”；（3）①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，因为只有一个“合作点”则﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y1+y2＝（x﹣m）2+6m﹣3，由①可分两种情况求m的值：当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22＝24，当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3＝24，分别求出符合条件的m值即可．【解答】解：（1）∵y＝x+2m是经过第一、第三象限的直线，y＝是经过第一、第三象限的双曲线，∴两函数有公共点，∴存在x取同一个值，使得y1＝y2，∴函数y＝x+2m与y＝是“合作函数”；当m＝1时，y＝x+2，∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，∴“合作点”为x＝2或x＝﹣4；（2）假设函数y＝x+2m与y＝3x﹣1是“合作函数”，∴x+2m＝3x﹣1，∴x＝m+，∵|x|≤2，∴﹣2≤m+≤2，∴﹣≤m≤，∴当﹣≤m≤时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，函数y＝x+2m 与y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函数”；（3）①∵函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，∴x＝m+3或x＝m﹣1，∵0≤x≤5时有唯一合作点，当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6时，满足题意；②∵y1+y2＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）+x+2m＝x2﹣2mx+m2+6m﹣3＝（x﹣m）2+6m﹣3，∴对称轴为x＝m，∵﹣3≤m＜1或2＜m≤6，当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22，∴m2﹣4m+22＝24，∴m＝2+或m＝2﹣，∴m＝2﹣；当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3，∴m2+6m﹣3＝24，∴m＝3或m＝﹣9，∴m＝3；综上所述：m＝2﹣或m＝3．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；理解题意，熟练掌握一次函数、二次函数的图象及性质是解题的关键．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴﹣＝1，可知b＝﹣2a，再将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求函数的解析式；（2）连接BA交对称轴于点E，连接DE，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，又由∠OAB＝45°，可求CE＝2，则E（1，2）；（3）设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，PM＝P A，过M点作MG⊥PC交于G，证明△PGM≌△ACP（AAS），可求M（1+t，t+2），再将M代入函数解析式即可求M（2，3）；当∠P AM＝90°时，AM＝AP，过A点作AH⊥x 轴，过M点作MH⊥AH交于点H，同理可证△MAH≌△P AC（AAS），求出M（3+t，2），再将M代入函数解析式即可求M（2+，2）；当∠PMA＝90°时，PM＝AM，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），求出M（2+t，1+t），再将M代入函数解析式即可求M（，）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+3，将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，∴9a﹣6a+3＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴D（﹣1，0），令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，连接BA交对称轴于点E，连接DE，∵A、D关于直线x＝1对称，∴DE＝AE，∴BE+DE＝AE+BE≥AB，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，∵OA＝OB＝3，∴∠OAB＝45°，∴AC＝CE，∵AC＝2，∴CE＝2，∴E（1，2）；（3）存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，如图2，PM＝P A，过M点作MG⊥PC交于G，∵∠MP A＝90°，∴∠GPM+∠CP A＝90°，∵∠GPM+∠GMP＝90°，∴∠CP A＝∠GMP，∵PM＝AP，∴△PGM≌△ACP（AAS），∴GM＝CP＝t，PG＝AC＝2，∴M（1+t，t+2），∴t+2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，解得t＝﹣2或t＝1，∵M点在x轴上方，∴t＝1，∴M（2，3）；当∠P AM＝90°时，AM＝AP，如图3，过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H，同理可证△MAH≌△P AC（AAS），∴AH＝AC＝2，CP＝MH＝﹣t，∴M（3+t，2），∴2＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t＝﹣2+或t＝﹣2﹣，∴M（2+，2）或（2﹣，2）（舍去）；当∠PMA＝90°时，PM＝AM，如图4，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），∴TP＝SM，SA＝MT，∴M（2+t，1+t），∴1+t＝﹣（2+t）2+2（2+t）+3，解得t＝﹣3+或t＝﹣3﹣（舍去），∴M（，）；综上所述：M点坐标为（2，3）或（2+，2）或（，）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．。
九年级数学上册期末考试卷(附答案解析)
九年级数学上册期末考试卷（附答案解析）一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上任一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．a C．a D．a2．（3分）如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（）A．都扩大为原来的3倍B．都缩小为原来的C．没有变化D．不能确定3．（3分）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，＝，∠D＝128°，则∠B的度数为（）A．128°B．126°C．118°D．116°4．（3分）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x+8）2＝23 D．（x﹣8）2＝95．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣5C．y＝2（x﹣4）2﹣1 D．y＝2（x﹣4）2﹣56．（3分）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝（）A．2B．2C．D．7．（3分）如图，在长为30m，宽20m的矩形田地中开辟两条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为551m2，求道路的宽度．设道路的宽度为xm，则可列方程（）A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝5518．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣2 ﹣1 0 2 4 5 …y…﹣7 ﹣2 1 1 ﹣7 ﹣14 …下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向上B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．二次函数的最大值是2D．抛物线与x轴只有一个交点二．填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）若关于x的一元二次方程k2x2+（4k﹣1）x+4＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围是．10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为．11．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有．12．（3分）如图，正方形ABCD中，扇形ABC与扇形BCD的弧交于点E，AB＝2cm，则图中阴影部分的面积为cm2．（不求近似值）13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣2，5），则该抛物线上纵坐标为5的另一个点D的坐标是．14．（3分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在 2.5h内到达，则速度至少需要提高到km/h．三、解答题（共78分）15．（4分）计算：﹣12022﹣+|﹣2|．16．（6分）如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）17．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．18．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？19．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF．判断EF和BC的位置关系，并证明．20．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．21．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x 轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求△AOB的面积；（3）结合图象直接写出不等式组的解集．22．（6分）有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？23．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，H1A2取得最小值时，求n的值．参考答案与解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．【分析】首先证明△CAD∽△CBA，得，从而，即可得出答案．【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴，∴，∵△ABD的面积为a，∴S△CAD＝a，故选：C．2．【分析】根据相似三角形的判定方法可得新三角形与Rt△ABC是相似的，从而可得锐角A 的大小是不变的，即可解答．【解答】解：∵Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt△ABC是相似的，∴锐角A的大小是不变的，∴锐角A的正弦、余弦值是没有变化，故选：C．3．【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：连接AC、CE，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠CAE+∠D＝180°，∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，∵＝，∴∠ACE＝∠AEC＝×（180°﹣52°）＝64°，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣64°＝116°，故选：D．4．【分析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2+8x+7＝0，移项得：x2+8x＝﹣7，配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．故选：A．5．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1；故选：A．6．【分析】先判断DA＝DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tan B的值即可计算．【解答】解：∵CA是∠BCD的平分线，∴∠DCA＝∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，∵AB⊥AC，∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），∴点F是AC中点，∴AF＝CF，∴EF是△CAB的中位线，∴EF＝AB＝2，∵＝＝1，∴DF＝EF＝2，在Rt△ADF中，AF＝＝4，则AC＝2AF＝8，tan B＝＝＝2．故选：B．7．【分析】由道路的宽度为xm，可得出剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据剩余田地的面积为551m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵道路的宽度为xm，∴剩余田地部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．依题意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．故选：B．8．【分析】根据给出的自变量x与函数值y的对应值逐一分析解答即可．【解答】解：∵抛物线经过点（﹣2，﹣7），（4，﹣7），则对称轴为x＝1，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+k，代入点（0，1）和（﹣1，﹣2）得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2，∵a＝﹣1，∴抛物线开口向下，故A不符合题意；∵对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故B不符合题意；∵抛物线的顶点坐标为（1，2），开口向下，∴二次函数的最大值为2，故C符合题意；∵抛物线开口向下，顶点为（1，2），∴抛物线与x轴有两个交点，故D不符合题意．故选：C．二．填空题9．答案为：且k≠0．10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：由题意得，点A与点C是对应点，△AOB与△COD的相似比是3，∴点C的坐标为（3×，6×），即（1，2），当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2）故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．11．答案为：②⑤⑥．12．答案为：π．13．答案为：（4，5）．14．答案为：240．三、解答题（共78分）15．（4分）计算：﹣12022﹣+|﹣2|．【分析】这里，先算﹣12022＝﹣1，＝4，|﹣2|＝2﹣，再进行综合运算．【解答】解：﹣12022﹣+|﹣2|＝﹣1﹣4+2﹣＝﹣3﹣．16．（6分）如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到正面为横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度．（参考数据：，，）【分析】过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，则CD＝AD，再由锐角三角函数定义得BD＝AD，则AD﹣AD＝75，求出AD的长，即可解决问题．【解答】解：过A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，如图所示：则∠ACD＝45°，∠ABD＝53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，∴CD＝＝＝AD，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴BD＝≈＝AD，由题意得：AD﹣AD＝75，解得：AD＝300（m），∵此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，∴此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为：20℃﹣×0.6℃＝18.2℃，答：此时热气球（体积忽略不计）附近的温度约为18.2℃．17．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC＝AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN•MC的值．【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN •MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝8．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径．∴PC是⊙O的切线．（2）证明：∵AC＝PC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠COB＝∠CBO，∴BC＝OC．∴BC＝AB．（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴＝．∴BM2＝MN•MC．又∵AB是⊙O的直径，＝，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝8，∴BM＝4 ．∴MN•MC＝BM2＝32．18．（10分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包．当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格＝原价×（1+这两次价格上调的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝16.9，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．答：这两次价格上调的平均增长率为30%．（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3．答：每包应该降价3元．19．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF．判断EF和BC的位置关系，并证明．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠EAD＝∠FAD，则根据圆周角定理得到＝，再利用垂径定理的推理得到AD⊥EF，于是可判断EF∥BC．【解答】解：EF∥BC．理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠EAD＝∠FAD，∴＝，∵AD为直径，∴AD⊥EF，而AD⊥BC，∴EF∥BC．20．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点．①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围．【分析】（1）由题意可知b＝0，再将（2，2）代入y＝ax2+bx﹣2即可求解析式；（2）①求出A（，0），B（﹣，0），再由2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），即可求c；②由题意可得m＝﹣，k＜0，再由m＞6，可得﹣＜k＜0，联立，得到AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，与x轴的交点P （﹣，0），与y轴的交点为N（0，b），由∠PNO＝∠AMO，可得k'＝m＝﹣，则有线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++，所以N点纵坐标为n＝+，即可求＜n＜．【解答】解：（1）∵顶点在y轴上，∴b＝0，∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），∴4a﹣2＝2，∴a＝1，∴y＝x2﹣2；（2）①当k＝0时，y＝c，联立，∴A（，c），B（﹣，c），∵△ABP为等腰直角三角形，∴P点在AB的垂直平分线上，∴P点在抛物线的顶点（0，﹣2）处，∵AB＝2，AP＝BP＝，∴2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），∴c＝﹣1；②∵c＝1，∴y＝kx+1，∴m＝﹣，由题意可知，k＜0，∵m＞6，∴﹣＜k＜0，联立，∴x2﹣kx﹣2＝0，∴x A+x B＝k，∴AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，∴与x轴的交点P（﹣，0），与y轴的交点为N（0，b），∵PN⊥AB，∴∠PNO＝∠AMO，∴＝，∴k'＝m＝﹣，∴y＝﹣x+b，∴线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++，∴N点纵坐标为n＝+，∴＜n＜．21．（10分）如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x 轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求△AOB的面积；（3）结合图象直接写出不等式组的解集．【分析】（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求即可；（3）根据图象即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y＝x+m的图象上，∴2+m＝1，即m＝﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k＝2；（2）连接OA、OB，∵一次函数解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得x＝1，∴点C的坐标是（1，0），由解得，，∴由图象可得：点B的坐标为（﹣1，﹣2），∴；（3）由图象可知不等式组的解集为1＜x≤2．22．（6分）有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．（1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？为什么？【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．【解答】解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：1 2 3 45 5 10 15 206 6 12 18 247 7 14 21 288 8 16 24 32由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率为P甲＝．（4分）（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率P甲＝，乙获胜的概率P乙＝，，所以，游戏对双方是不公平的．（6分）23．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为H1，当点H1落在第二象限内，H1A2取得最小值时，求n的值．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过点P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1），S△PAC＝﹣（t ﹣）2+当t＝时，△PAC的面积最大值为，此时P（，）；（3）由题意可知H1在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，再由H1A2＝（t﹣）2+，可得当t＝时，A2有最小值，求出n的值即可．H1【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）两点代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（2）设AC的直线解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+1，过点P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1），∴PG＝﹣t2+t+2，∴S△PAC＝×3×（﹣t2+t+2）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，△PAC的面积最大值为，此时P（，）；（3）点H（n，t）为抛物线上的一个动点，点H1与H点关于y轴对称，∴H1（﹣n，t），H1在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴t＝﹣n2﹣2n+3，∴H1A2＝（n+1）2+t2＝t2﹣t+4＝（t﹣）2+，∴当t＝时，H1A2有最小值，∴＝﹣n2+2n+3，解得n＝1+．。
2022-2023学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷-含答案详解
2022-2023学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列事件中，为必然事件的是( )A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进3. 抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)4. 若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是( )A. 36B. −36C. 9D. −95. 如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 70°6. 不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”.随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为( ) A. 34B. 12C. 13D. 147. 如图，正方形ABCD的边长为4，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 16−4πB. 16−2πC. 4πD. 2π8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x−3)2+k与x轴交于(a,0)，(b,0)两点，其中a<b.将此抛物线向上平移，与x轴交于(c,0)，(d,0)两点，其中c<d，下面结论正确的是( )A. 当m>0时，a+b=c+d，b−a>d−cB. 当m>0时，a+b>c+d，b−a=d−cC. 当m<0时，a+b=c+d，b−a>d−cD. 当m<0时，a+b>c+d，b−a<d−c二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 在平面直角坐标系中，点(5,−1)关于原点对称的点的坐标是______．10. 方程x2−4=0的根是______．11. 写出一个与抛物线y=3x2−2x+1开口方向相同的抛物线的表达式：______．12. 如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m.若将该绿地的长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是______.(填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”)13. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB=35°，则∠ABP=______°.14. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是1，则涂上红色的小扇形有______3个．15. 某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下：种子个数1002003004005008001100140017002000发芽种子个94187282337436718994125415311797数发芽种子频0.9400.9350.9400.8430.8720.8980.9040.8960.9010.899率根据试验数据，估计1000kg该种作物种子能发芽的有______kg．16. 某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．(1)若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为______元；(2)若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为______.(写出一种即可)三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 解方程：x2+4x+3=0．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。
人教版九年级(上)期末数学试卷(解析版)
人教版九年级第一学期期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．15．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.58．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．811．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+512．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．413．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．414．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜015．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为，m的值是．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？参考答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称【分析】直接利用关于原点对称点的性质可得答案．解：因为点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1）的横坐标和纵坐标均互为相反数，所以A、B两点关于原点对称．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）【分析】根据二次函数的顶点式解析式解答即可．解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．故选：B．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．5．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．解：∵a＝1，b＝0，c＝﹣3，∴Δ＝02﹣4×1×（﹣3）＝12＞0，则方程x2﹣3＝0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据直径的定义，等圆的定义，等弧的定义，弧和圆心角的关系定理解答即可．解：A．过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故A选项说法错误；B．面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故B选项说法正确；C．在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故C选项说法错误；D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项说法错误；故选：B．【点评】本题主要考查了对圆的认识和弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握相关定义和定理是解答本题的关键．7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.5【分析】利用2023年顺平县森林覆盖率＝2021年顺平县森林覆盖率×（1+这两年顺平县的森林覆盖年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：根据题意得39.7%（1+x）2＝50%，即0.397（1+x）2＝0.5，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．【分析】根据题意得到xy＝200（定值），故y与x之间的函数解析式，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．解：∵根据题意xy＝200，∴y＝（x＞0，y＞0）．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点【分析】把解析式化为顶点式，利用二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，1），∴抛物线与x轴没有交点．故A，C，D正确；B不正确．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，然后利用相似多边形的性质可得＝，进行计算即可解答．解：设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴＝，解得：x＝6，故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．11．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+5【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．解：A、y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，符合题意；B、y＝2x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；C、y＝﹣3x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，不合题意；D、y＝x2+4x+5，当x＜0时，y随x先减小，然后增大，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．12．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形的性质求出OH即可．解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，∵⊙O的直径为4cm，∴OB＝OA＝2cm，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵OH⊥AB，∴BH＝AB＝×2＝1（cm），∴OH＝＝（cm），∴正六边形纸片的边心距是cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．13．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．4【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM 长的最小值．解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A错误；∵﹣＜0，∴b＜0，故B错误；∵与y轴的交点在正半轴，∴c＞0；故C错误；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，∴a+b+c＜0，故D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．解：∵反比例函数y＝﹣，∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；当x＝﹣2时，y＝3，故③正确；若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为3，m的值是6．【分析】设另一个根为x1，则根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m，求出即可．解：设另一个根为x1，则x1+2＝5，2x1＝m，解得：x1＝3，m＝6．故答案为：3，6．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝BC，∴BD＝sin60°×OB＝，∴BC＝2BD＝，劣弧BC＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝﹣2；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是0≤t＜4．【分析】（1）通过抛物线对称轴为直线x＝﹣求解；（2）将抛物线解析式化为顶点式，通过﹣3≤x≤1时y的取值范围求解．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴函数最大值为y＝4，∵（﹣1）﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1），∴x＝1时，y＝﹣1﹣2+3＝0为﹣3≤x≤1的函数最小值，∴0≤t＜4时，直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，故答案为：0≤t＜4．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线顶点坐标公式，掌握二次函数与方程的关系．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．解：（1）x2+4x＝5，x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x+5＝0，x1＝1，x2＝﹣5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2，x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣2＝0或2x﹣1＝0，x1＝2，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.25，据此可得答案；（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．解：（1）由频率统计表知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25，从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.25＝0.75＝，故答案为：0.25，；（2）由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.25＝1，红球的个数为4﹣1＝3，列表如下：白红1红2红3白白红1白红2白红3红1红1白红1红2红1红3红2红2白红2红1红2红3红3红3白红3红1红3红2由表可知共有12种情况，其中一红一白的有6种，所以摸到一个红球一个白球的概率为＝．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为（22﹣2x）m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）由题意：建造一个面积为60m2的长方形花坛，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．解：（1）由题意得：花坛DE边的长为（22﹣2x）m，故答案为：（22﹣2x），（2）根据题意得：x（22﹣2x）＝60，整理得：x2﹣11x+30＝0，解得：x1＝5，x2＝6，当x＝5时，DE＝22﹣2×5＝12＞11（不符合题意，舍去）；当x＝6时，DE＝22﹣2×6＝10＜11，符合题意；答：CD边的长为6m，DE边的长为10m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）由勾股定理的逆定理可求∠EFC＝90°，即可求解．解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形，设BE＝BF＝x，则x2+x2＝（2）2，解得：x＝2，∴BF的长为2；（2）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF＝1，在△CEF中，EF＝2，CF＝1，EC＝3，∵CF2+EF2＝12+（2）2＝9，CE2＝9，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．（2）通过证明△AEC∽△ACB，进而根据比例式求得半径．【解答】（1）连OC（如图），∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠OAC，∵∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴OC⊥DE，∵点C在⊙O上，∴OC＝r，∴DE为⊙O的切线．（2）连BC（如上图），∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠AEC，又∵∠EAC＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝r＝，∴r＝．【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝6×2＝12，进而可得反比例函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得mn＝12，再根据△ABC面积为9，可得×BC×（6﹣n）＝9，解可得m的值，进而可得n的值，从而可得点B的坐标；（3）根据函数图象即可得到结论．【解答】解；（1）把A点坐标为（2，6）代入反比例函数y＝得，k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设点B坐标为（m，n），分三种情况：①当B点在第一象限且在A点的上方时，（y B﹣y A）×CB＝9 即（n﹣6）×m＝9，×（﹣6）×m＝9，解得m＝﹣1（不符合题意，舍去），②当B点在第一象限且在A点的下方时，（y A﹣y B）×CB＝9 即（6﹣n）×m＝9，（6﹣）×m＝9，解得m＝5，∴点B坐标为（5，）；③当B点在第三象限时，（y A﹣y B）×CB＝9，（6﹣n）×（﹣m）＝9 （6）×（﹣m）＝9，解得m＝﹣1，∴点B坐标为（﹣1，﹣12），所以点B的坐标为（5，）或（﹣1，﹣12）；（3）由图象知，当y＜3时，自变量x的取值范围为x＞4 或x＜0．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）①当0≤x≤30时由顶点坐标为（10，1800），可设y＝a（x﹣30）2+1800，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；②当30＜x≤40时，根据等候的人数不变得出函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w 关于x的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案；（3）设从一开始就应该增加m个监测点，根据在10分钟内让全部学生完成体温检测得到关于m的不等式解不等式即可．解：（1）①当0≤x≤30时，∴设y＝a（x﹣30）2+1800，将（0，0）代入，得：900a+1800＝0，解得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣30）2+1800＝﹣2x2+120x（0≤x≤30），②当30＜x≤40时，y＝1800（30＜x≤40），∴y与x之间的函数表达式为y＝；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x，①0≤x≤30时，w＝﹣2x2+120x﹣40x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，w的最大值是800；②当30＜x≤40时，w＝1800﹣40x，∵﹣4＜0，∴w随x的增大而减小，∴200≤w＜600，∴排队人数最多是600人，要全部学生都完成体温检测：1800﹣40x＝0，解得：x＝45，∴要全部学生都完成体温检测需要45分钟，（3）设从一开始就应该增加m个监测点，由题意得：10×20（m+2）≥1800，解得：m≥7，∴从一开始就应该增加7个监测点．【点评】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是()A.圆B.等边三角形C.直角三角形D.正五边形2.将一元二次方程化为一般形式后，其中一次项系数和常数项分别是()A.1，B.1，C.，0D.，03.如图，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若，，则的长是()A.2B.3C.4D.54.如图，在中，，的度数是()A.B.C.D.5.关于x的一元二次方程的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定6.已知反比例函数，下列结论中不正确的是()A.图象经过点B.图象在第一、三象限C.当时，D.当时，y随着x的增大而增大7.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上.若线段，则线段BC长为()A.6B.8C.10D.128.根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，可以判断关于x的方程的一个解x的范围是()x01272A. B. C. D.9.如图，在中，，，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是()A. B.DE垂直平分线段AC C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.将二次函数向左平移2个单位再向下平移1个单位得到新的二次函数的解析式为______.11.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.投篮次数n50100150200300400500投中次数m284978102153208255投中频率根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为______.12.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与相切于点C，D，延长AC，BD交于点若，的半径为6cm，则图中的长为______结果保留13.如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为96米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.设人行通道的宽度为x米，则所列方程是______.14.如图，点A，B，C都在上，如果，那么的度数为__________.15.已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线平行；②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限；③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交；④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧，所有合理推断的序号是______.三、解答题：本题共8小题，共90分。
九年级(上)期末数学试卷付答案解析
九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．第1-8小题每小题3分，第9-12小题每小题3分。
）1．（3分）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）下列说法正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0 B．概率很小的事件不可能发生C．随机事件发生的概率为D．概率很大的事件一定发生3．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，△ABO的面积为4，反比例函数y=（k≠0）的图象过B点，则k的值是（）A．2 B．4 C．﹣8 D．85．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0） B．（1，1） C．（，）D．（2，2）6．（3分）聪聪的文件夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文6页，数学4页，英语2页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A处，则小明的影长为（）米．A．4 B．5 C．6 D．78．（3分）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣69．（4分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：210．（4分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y 轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（）A．10 B．8 C．4D．211．（4分）如图，已知∠1=∠2，欲证△ADE∽△ACB，可补充条件（）A．∠B=∠C B．DE=AB C．∠D=∠E D．∠D=∠C12．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．二、选择题（本大题共4小题，共16分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）sin30°+tan45°=．14．（4分）如图，随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为．15．（4分）如图，D是△ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为．16．（4分）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P 的坐标表示为=（m，n），已知：=（x1，y1），=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么与互相垂直，下列四组向量：①=（2，1），=（﹣1，2）；②=（cos30°，tan45°），=（﹣1，sin60°）；③=（﹣，﹣2），=（+，）；④=（π0，2），=（2，﹣1）．其中互相垂直的是（填上所有正确答案的符号）．三、解答题：（本大题共6小题，共64分，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）如图是一个立体图形的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积．18．（10分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是；（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．19．（10分）莒县某学校新建一教学楼，九年级数学兴趣小组想要测量其高度，在5米高的台子AB上A处，测得楼顶端E的仰角为30°，他走下台阶到达C处，测得楼顶端E的仰角为60°．已知∠BCA=30°，且A、B、C三点在同一直线上．（1）求∠ACE的度数；（2）求教学楼DE的高度．20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0，k≠0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB、BC分别相交于M、N两点，△OMA的面积为6．（1）求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）若动点P在x轴上，求PM+PN的最小值．21．（12分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=4，⊙O的半径为，求BC的长．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，﹣4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明；参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．第1-8小题每小题3分，第9-12小题每小题3分。
九年级(上)期末数学试卷含答解析
九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=23．如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球D．正方体4．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）A．B．C．D．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C．D．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（）A．πB．πC．πD．π7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞48．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对9．一次函数y=﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．410．已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD 的长为（）A． B． C． D．7二、填空题11．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b=．12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的表达式是．13．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为m（结果保留根号）．14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD 的长为．15．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k=．16．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是．三、解答题17．（2015秋•江门校级期末）已知α，β均为锐角，且满足，求α+β的值．18．（2013•海珠区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=，BC=6，求切线BD的长．19．（2015秋•江门校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0．（1）若该方程无解，求a的取值范围；（2）当a=1时，求该方程的解．20．（2015秋•江门校级期末）如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得的俯角β=45°，已知BC=60m，求山高CD（精确到1m，≈1.732）21．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．22．（2015秋•江门校级期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2，（1）求该反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．四、解答题23．（2015•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，（1）画出△AB′C′；（2）写出点B′，C′的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．24．（2015•滕州市校级模拟）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．25．（2015秋•滦县期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．参考答案与试题解析一、选择题1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．【解答】解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；C．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；D．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；故选D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．3．如图，是某几何体的俯视图，该几何体可能是（）A．圆柱 B．圆锥 C．球D．正方体【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据几何体的俯视图是从上面看，所得到的图形分别写出各个几何体的俯视图判断即可．【解答】解：圆柱的俯视图是圆，A错误；圆锥的俯视图是圆，且中心由一个实点，B正确；球的俯视图是圆，C错误；正方体的俯视图是正方形，D错误．故选：B．【点评】本题考查了三视图的概念，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．4．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可．【解答】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：=；B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：=；C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，∵＞＞＞，∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．故选：A．【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】压轴题；网格型．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（）A．πB．πC．πD．π【考点】弧长的计算；圆周角定理．【分析】根据圆周角得出圆心角为90°，再利用弧长公式计算即可．【解答】解：因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，所以可得圆心角∠BOC=90°，所以的长==π，故选B．【点评】此题考查弧长公式，关键是根据圆周角得出圆心角为90°．7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．【解答】解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．8．如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．9．一次函数y=﹣x+a﹣3（a为常数）与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时a的值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．4【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的点的坐标．【专题】计算题；压轴题．【分析】设A（t，﹣），根据关于原点对称的点的坐标特征得B（﹣t，），然后把A（t，﹣），B（﹣t，）分别代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3，=t+a﹣3，两式相加消去t得2a﹣6=0，再解关于a的一次方程即可．【解答】解：设A（t，﹣），∵A、B两点关于原点对称，∴B（﹣t，），把A（t，﹣），B（﹣t，）分别代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3，=t+a﹣3，两式相加得2a﹣6=0，∴a=3．故选C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．10．已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD 的长为（）A． B． C． D．7【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据y=﹣x2+4x+5可以求得此抛物线与x轴的交点A和点B的坐标，与y轴交点C的坐标，从而可以求得点D的坐标，进而可以求得CD的长．【解答】解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣5）（x+1），∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．又∵D为AB的中点，∴点D的坐标为（1，0）．∴CD==．故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标，此题利用抛物线的三种形式间的相互转换得到点A、B的坐标，求出线段AB中点D的坐标是解决问题的关键．二、填空题11．若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b=．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴a b=2﹣1=．故答案为：．【点评】此题考查了关于原点对称的点的坐标，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的表达式是y=x2+2x+2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解答】解：抛物线y=x2+2x﹣1向上平移3个单位得到y=x2+2x﹣1+3=x2+2x+2．故答案为y=x2+2x+2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为10m（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．【解答】解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．14．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD 的长为4．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．15．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k=﹣4．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，∴OD=OB=2，BD=OB•sin60°=4×=2，∴B（﹣2，2），∴k=﹣2×2=﹣4；故答案为﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．16．由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是5．【考点】由三视图判断几何体．【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．【解答】解：结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有2个，左边下层最多有2个，右边只有一层，且只有1个．所以图中的小正方体最多5块．故答案为：5．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．三、解答题17．（2015秋•江门校级期末）已知α，β均为锐角，且满足，求α+β的值．【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：由题意得，sinα=0，tanβ﹣1=0，则sinα=，tanβ=1，解得α=30°，β=45°，则α+β=75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值、掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．18．（2013•海珠区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=，BC=6，求切线BD的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）如图，连接OD，欲证明直线BD与⊙O相切，只需证明OD⊥BD即可；（2）连接DE．利用圆周角定理和三角形中位线定理易求DE的长度，而AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的长度；最后利用切割线定理来求切线BD的长度．【解答】（1）证明：∵OA=OD，∴∠A=∠ADO（等边对等角）．又∵∠A+∠CDB=90°（已知），∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代换），∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．又∵OD是圆O的半径．∴BD是⊙O切线；（2）解：连接DE，则∠ADE=90°（圆周角定理）．∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C，∴DE∥BC，又∵D是AC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=3，AE=BE．∵AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3，则AB=6．∴BD2=AB•BE=6×3=54，∴BD=3．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质．其中要证某直线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．19．（2015秋•江门校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0．（1）若该方程无解，求a的取值范围；（2）当a=1时，求该方程的解．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围；（2）把a=1代入，原方程化为x2+2x﹣1=0，根据公式法即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，解得a＜﹣1，∴a的取值范围是a＜﹣1；（2）当a=1时，原方程化为x2+2x﹣1=0，∴x==﹣1，∴该方程的解为：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．20．（2015秋•江门校级期末）如图，在山顶上有一座电视塔，在塔顶B处，测得地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得的俯角β=45°，已知BC=60m，求山高CD（精确到1m，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△DBA、△ADC，应利用其公共边AD构造等量关系，借助BC=DB﹣DC构造方程关系式，进而可求出答案．【解答】解：设山高CD=x（米），∵∠CAD=∠β=45°，∠BAD=∠α=60°，∠ADB=90°，∴AD=CD=x，BD=AD•tan60°=x．∵BD﹣CD=BC=60，∴x﹣x=60．∴x==30（+1）．∴CD=30×（1.732+1）≈82（米）．答：山高CD约为82米．【点评】本题考查了学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（2009•陕西）甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．【考点】游戏公平性．【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．【解答】解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：3 4 5 6第二次第一次3 33 34 35 364 43 44 45 465 53 54 55 566 63 64 65 66表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．（5分）∴P（甲获胜）=，P（乙获胜）=．（7分）∵，∴这个游戏不公平．（8分）【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（2015秋•江门校级期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为C，且△AOC的面积为2，（1）求该反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）由S△AOC=xy=2，设反比例函数的解析式y=，则k=xy=4；（2）连接AB，过点B作BE⊥x轴，交x轴于E点，通过分割面积法S△AOB=S△AOC+S梯形﹣S△BOE 求得．【解答】解：（1）∵S△AOC=2，∴k=2S△AOC=4；∴y=；（2）连接AB，过点B作BE⊥x轴，S△AOC=S△BOE=2，∴A（a，），B（2a，）；S梯形ACEB=（+）×（2a﹣a）=3，∴S△AOB=S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE=3．【点评】此题重点考查了函数性质的应用和图形的分割转化思想．同学们要熟练掌握这类题型．四、解答题23．（2015•阜新）如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，（1）画出△AB′C′；（2）写出点B′，C′的坐标；（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．【分析】（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，然后根据网格结构找出点B、C的对应点B′，C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据图形即可得出点A的坐标；（3）利用AC的长，然后根据弧长公式进行计算即可求出点B转动到点B′所经过的路程．【解答】解：（1）△AB′C′如图所示；（2）点B′的坐标为（3，2），点C′的坐标为（3，5）；（3）点C经过的路径为以点A为圆心，AC为半径的圆弧，路径长即为弧长，∵AC=4，∴弧长为：==2π，即点C经过的路径长为2π．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．24．（2015•滕州市校级模拟）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；（2）分别得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得：b=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．y=（x﹣）2﹣，∴顶点D的坐标为：（，﹣）；（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0），∴OA=1，OB=4，AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）如图所示：连接AM，点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，设直线BC解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC的解析式为：y=x﹣2，当x=时，y=﹣，∴M（，﹣），△ACM最小周长是：AC+AM+MC=AC+BC=+2=3．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及利用轴对称求最短路线和勾股定理的逆定理等知识，得出M点位置是解题关键．25．（2015秋•滦县期末）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=6，根据勾股定理可得DE=8，由题可得DC=DE=8，则有BC=10﹣8=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t 的值．【解答】（1）证明：如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，∴t的值为2秒或10秒．【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．。
2022-2023学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷1. 下列图形是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )A. B.C. D.3. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是( )A. B. C. D.4. 如图，点A，B，C，D在上，，则的度数为( )A. B.C. D.5. 下列事件：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是；③明天太阳从东边升起，其中是随机事件的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6. 图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则n的值至少是( )A. 144B. 120C. 72D. 607. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是( )A.， B. ，C. ，D. ，8. 下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y与行驶时间xB. 当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻xC. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径xD. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x9. 一元二次方程的实数根为__________.10. 如图，AB是的弦，于点C，若，，则半径的长为__________.11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为__________.12. 若一个扇形的半径是3cm，所对圆心角为，则这个扇形的面积是__________13. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式__________.14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为__________.15. 十八世纪法国的博物学家布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表：试验次数15002000250030003500400045005000相交频数4956237999541123126914341590相交频率可以估计出针与直线相交的概率为__________精确到，由此估计的近似值为__________精确到16. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到着陆的过程中，它的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系小明进行了两次掷实心球训练．第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离123456竖直高度根据上述数据，实心球竖直高度的最大值是____ m ；第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的着陆点的水平距离为，则____填“>”，“=”或“<”17. 解方程：18. 已知二次函数在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图象；当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．19. 已知关于x的一元二次方程求证：方程总有两个实数根；如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．20. 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，及外一点求作：过点P的的切线．作法：①连接OP，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线MN交OP于点T；②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交于点A、点B；③作直线PA，所以直线PA，PB就是所求作的的切线．根据小东设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；完成下面的证明．证明：连接是的直径，________填推理的依据又为的半径，直线PA是的切线____填推理的依据同理可证，直线PB也是的切线．21. 某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地，其总收入由技术收入、产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构．2022年7月份该科技园的总收入为500亿元，到9月份达到720亿元，求该科技园总收入的月平均增长率．22. 在圆周角定理的证明过程中，某小组归纳了三种不同的情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三，并补全该情况的证明过程．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．已知：中，所对的圆周角为，圆心角为求证：证明：情况一如图：点O 在的一边上．，，即情况二如图：点O 在的内部．情况三如图：点O 在的外部．23. 在一次试验中，每个电子元件的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．用列表或画树状图的方法，求图中A ，B 之间电流能够通过的概率．24. 如图，AB 是的直径，AC ，BC 是弦，过点O 作交AC 于点D ，过点A作的切线与OD 的延长线交于点P ，连接求证：PC 是的切线；如果，，求PC 的长．25. 数学活动课上，老师提出一个探究问题：制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省底面边长不超过3dm，且不考虑接缝某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：设长方体包装盒的底面边长为xdm，表面积为可以用含x的代数式表示长方体的高为根据长方体的表面积公式：长方体表面积底面积+侧面积．得到y与x的关系式：____；列出y与x的几组对应值：…………a说明：表格中相关数值精确到十分位则____；在图2的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为____ dm时，需要的材料最省．26. 在平面直角坐标系xOy中，点和点在抛物线上．当时，①求抛物线的对称轴；②若点，在抛物线上，且，直接写出t的取值范围；若，求b的取值范围．27. 已知等边，点D、点B位于直线AC异侧，如图1，当点D在BC的延长线上时，①根据题意补全图形；②下列用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系：；，其中正确的是____填“Ⅰ”或“Ⅱ”；如图2，当点D不在BC的延长线上时，连接BD，判断②中线段AD，BD，CD之间的正确的数量关系是否仍然成立．若成立，请加以证明；若不成立，说明理由．28. 对于平面直角坐标系xOy内的点P 和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M 关于原点O的“伴随点”．已知点，，①在点，，中，点____是线段AB关于原点O的“伴随点”；②如果点是关于原点O的“伴随点”，求m的取值范围；的圆心坐标为，半径为1，如果直线上存在关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为，故选：3.【答案】A【解析】【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是，故选：4.【答案】C【解析】【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求解即可．【解答】解：四边形ABCD是的内接四边形，，，，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：①篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；②在平面上任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件；③明天太阳从东边升起，是必然事件；故其中是随机事件的有1个．故选：6.【答案】C【解析】【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，旋转的度数至少为，故选：7.【答案】A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．【解答】解：抛物线的对称轴为：，根据抛物线的对称性得：抛物线与x轴的另一个交点是，关于x的一元二次方程的两个实数根是：，，故选：8.【答案】D【解析】【分析】根据每个选项的意义，找出它们之间的函数关系，逐一判断．【解答】解：汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程y是行驶时间x的一次函数，图象应该是线段，故A不符合题意；当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻x成反比例关系，图象应该是双曲线的一支，故B不符合题意；圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径x成二次函数关系，开口向上，故C不符合题意；用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x成二次函数关系，开口向下，故D符合题意.故选：9.【答案】，【解析】【解答】解：，，解得，故答案为：，10.【答案】5【解析】【分析】根据垂径定理得出AC，根据勾股定理解答即可．【解答】解：连接OA，，为AB的中点，在中，，，的半径5，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，解方程可求得k的值．【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得故答案为13.【答案】答案不唯一【解析】【分析】根据二次函数的性质得到，由于二次函数图象经过点，则当a取1，b取0时可得到满足条件的一个二次函数解析式．【解答】解：设二次函数解析式为，二次函数的图象开口向上，二次函数图象经过点，，当a取1，b取0时，二次函数解析式为故答案为：答案不唯一14.【答案】【解析】【分析】利用外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点的性质，找出点P的位置，利用网格图确定点P的坐标．【解答】解：分别作出边OA，OB的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图，则，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据频率和概率的关系判断即可．【解答】解：由题意可以估计出针与直线相交的概率为，由此估计的近似值为：故答案为：；16.【答案】解：：【解析】【分析】先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值；设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可．解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，实心球竖直高度的最大值是故答案为：把代入得：，解得，当时，负值舍去，在中，令得：，解得负值舍去，，，，故答案为：17.【答案】解：，或，所以，【解析】【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．18.【答案】解：，则抛物线的顶点坐标为，函数图象如图所示：观察图象得：当时，；当时，，当时，y的取值范围为【解析】【分析】先把解析式配成顶点式为，则抛物线的顶点坐标为，再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；先计算，时，y的值，然后利用图象写出对应的y的范围．19.【答案】证明：，方程总有两个实数根．，解得，，方程只有一个根是正数，，【解析】【分析】先计算判别式的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；先利用求根公式解方程得，，再根据题意得到，从而得到m的范围．20.【答案】解：如图，PA、PB为所作；，直径所对的圆周角为直角；过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形；连接OA，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线PA为切线，同理可证，直线PB也是的切线．21.【答案】解：设该科技园总收入的月平均增长率为x，根据题意得：，解得：，不符合题意，舍去答：该科技园总收入的月平均增长率为【解析】【分析】设该科技园总收入的月平均增长率为x，利用2022年9月份该科技园的总收入年7月份该科技园的总收入该科技园总收入的月平均增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论．22.【答案】证明：情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，，，同理可得：，，；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点，，，，同理可得：，，【解析】【分析】情况二：当点O在的内部，如图2：连接AO并延长交于点D，利用等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得：，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；情况三：当点O在的外部，如图3：连接AO并延长交于点E，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，同理可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．23.【答案】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，、B之间电流能够正常通过的概率为【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种，再由概率公式求解即可．24.【答案】证明：如图1，连接OC，是的切线，，是的直径，，，，，，，，≌，，点C在上，是的切线，解：由得：≌，，，，，，，，，，，，，，，，，【解析】【分析】连接OC，可证明OD是AC的垂直平分线，从而得出，进而证明≌，进而得出，进一步得出结果；可证明，进而得出，在中求出AP，进而得出结果．25.【答案】解：函数图像如图所示：【解析】【分析】根据长方体的表面积公式求解即可；求出时，y的值即可；利用描点法画出函数图象即可；利用图象法判断即可．26.【答案】解：①，把代入，得，，抛物线的对称轴为直线：②在上，，，它的对称点为，，或把点和点代入，得，，当，有两种情况，①，得，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组无解．②，则，解不等式①，得，解不等式②，得，此不等式组的解集为，综上所述，b的取值范围是：【解析】【分析】①把代入，得，求出解析式，进而求出顶点坐标；②把代入，求出，再求出它的对称点，根据，求出t的取值范围；当，有两种情况，①，得，②，则，求出不等式组的解．27.【答案】解：①图形如图所示．②是等边三角形，，，，，故Ⅰ错误．，，，，，故Ⅱ正确．故答案为：结论：理由：如图2中，以AD为边向下作等边，连接为等边三角形，，为等边三角形，，，，，≌，，，，为直角三角形，，【解析】【分析】①根据要求作出图形即可；②证明，，利用勾股定理，三角形的三边关系判断即可；结论：如图2中，以AD为边向下作等边，连接证明≌，推出，，推出，可得结论．28.【答案】解：①，②过点D作轴交于点P，过点作轴交于点Q，，，，，，≌，，，，，，在第一象限，，设直线AC的解析式为，，解得，，当在AC上时，，当在AB上时，，时，点是关于原点O的“伴随点”．在直线上，圆E的半径为1，将圆E绕点O逆时针旋转得到圆，圆E关于原点的“伴随点”在圆的内部及其边界上，，在直线上，直线上存在关于原点O的“伴随点”，当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，与直线平行，，，，令，解得，，，解得，时，直线上存在关于原点O的“伴随点”．【解析】【分析】①，，轴，顺时针旋转后，得到点，不是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”．顺时针旋转后，得到点，是线段AB关于原点O的“伴随点”，是线段AB关于原点O的“伴随点”；故答案为：，②由三角形全等可知，当在AC上时，，当在AB上时，，则时，点是关于原点O的“伴随点”；圆E上的点顺时针旋转后的对应点在以，半径为1的圆上，由直线上存在关于原点O的“伴随点”，可知当圆与直线有交点，过作垂直直线交于点G，由，可知，求出，则，解得。
九年级(上)期末数学试卷(答案解析)
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN 与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞05．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B．C．D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x=﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有个．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF=．11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为m．12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1y2（填“＞”“＜”或“=”）13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）16．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1=0；（2）x2﹣2x=2x+1；（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．求证：DF=DC．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E 点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第=．二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO（1）求这两个函数的表达式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，M N 与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选：B．3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选：D．4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0【解答】解：根据题意，方程k1x=没有实数解，而x2=，所以k1与k2异号，即k1k2＜0．故选：C．5．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=B．cosB=C．tanB=D．tanB=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，∴AB==，则sinB===，cosB===，tanB==，故选：C．7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x=﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点【解答】解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x=2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，∵∠A OB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠DBO+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∵∠BDO=∠ACO=90°，∴△BDO∽△OCA，∴==，∵OB=2OA，∴BD=2m，OD=2n，因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有8个．【解答】解：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，∴=20%，解得：x=8，∴黑色小球的数目是8个．故答案为：8．10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= 2.4．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB，∴=，∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，∴BE=2.5，∴=，解得：FC=2.4．故答案为：2.4．11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为7.5m．【解答】解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE，∴=，∵AE=5m，∴=，解得：EF=7.5m．故答案为：7.5．12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1＜y2（填“＞”“＜”或“=”）【解答】解：∵点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，∴﹣2×y1=3×y2=2，∴y1=﹣1，y2=，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．∴tan∠BAD′===．故答案为：．14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是①④（填写序号）．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b=﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）【解答】解：根据该密封纸盒的三视图知道它是一个六棱柱，∵其高为12cm，底面边长为5cm，∴其侧面积为6×5×12=360（cm2），密封纸盒的上、下底面的面积和为：12×5××5×=75（cm2），∴其表面积为（75+360）c m2．16．（12分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1=0；（2）x2﹣2x=2x+1；（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1=0；这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5．x==，所以：x1=，x2=．（2）移项，得x2﹣4x=1，配方，得x2﹣4x+4=1+4，即（x﹣2）2=5．两边开平方，得x﹣2=±，即x=2±所以x1=2+，x2=2﹣．（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1整理，得2x2+2x﹣1=0，这里a=2，b=2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．x===，即原方程的根为x1=，x2=．（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0，解得x1=﹣，x2=4．17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．求证：DF=DC．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB=CD，且∠B=90°，∴∠DAF=∠BEA，∵DF⊥AE，∴∠DFA=∠B，在△ADF和△EBA中∴△ADF≌△EBA（AAS），∴AB=DF，∴DF=DC．18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．【解答】解：根据题意画图如下：（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是=；（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．【解答】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．∵∠B=45°，∴CD=BD，∵BC=，∴BD=，∵∠A=30°，∴tan30°=，∴AD===3，∴AB=AD+BD=3+．20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E 点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm．21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，所以A点坐标为（﹣2，4），把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，所以一次函数解析式为y=x+5；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得﹣=x+5﹣m，整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，即m的值为1或9．22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，得，∴a=1，c=﹣6，∴y=x2﹣4x﹣6；（2）对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，﹣10）；（3）∵点P（m，m）在函数图象上，∴m2﹣4m﹣6=m，∴m=6或﹣1．23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第=．二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO（1）求这两个函数的表达式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．==，【解答】解：（1）由题意S△ABO∵k＜0，∴k=﹣3，∴y=﹣y=﹣x+2（2）由，解得或，∴A（﹣1，3）C（3，﹣1），∵直线y=﹣x+2交y轴与D（0，2），S△AOC=S△AOD+S△OCD=×2×1+×2×3=4．24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴B（﹣3，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2∴M（﹣1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）．。
2022-2023学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为( )A. B.C. D.2. 点关于原点对称的点的坐标为( )A. B. C. D.3. 二次函数的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为( )A. B.C. D.4. 如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作，点C与的位置关系为( )A. 点C在外B. 点C在内C. 点C在上D. 无法确定5. 若点，在抛物线上，则m的值为( )A. 2B. 1C. 0D.6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心O旋转一定角度a后能与自身重合，则该角度a可以为( )A. B.C. D.7. 如图，过点A作的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接过上一点D作的切线，交AB，AC于点E，若，的周长为4，则BC的长为( )A. 2B.C. 4D.8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从F口驶出的概率是( )A. B. C. D.9. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为_____________.10. 半径为3，圆心角120度的扇形面积为__________.11. 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．投篮次数n50100150200300400500投中次数m284978102153208255投中频率根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为__________.12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为__________.13. 二次函数的图象如图所示，则ab__________填“>”“<”或“=”14. 如图，是的内接三角形，于点E，若的半径为，，则__________.15. 对于二次函数，y与x的部分对应值如表所示．x在某一范围内，y 随x的增大而减小，写出一个符合条件的x的取值范围__________.X…0123…y…1331…16. 如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC 平分；④连接BC，CD，则与的面积比为1：，所有正确结论的序号是__________.17. 解方程：18. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．19. 已知a为方程的一个根，求代数式的值．20. 如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，若，求的度数．21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．小明抽到甲训练场的概率为____；用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．22. 已知：如图，AP是的切线，A为切点．求作：的另一条切线PB，B为切点．作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交于点B；作直线直线PB即为所求．根据上面的作法，补全图形保留作图痕迹；完成下面证明过程．证明：连接OA，OB，是的切线，A为切点，在与中，( )≌于点是的半径，是的切线____填推理的依据23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及，使用方法如图当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B 两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径r的长．24. 如图，AB是的直径，点C在上．过点C作的切线l，过点B作于点求证：BC 平分；连接OD，若，，求OD的长．25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字如图，其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面米．请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；②“技”与“科”距地面的高度差为米．小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点求用含a的式子表示；抛物线过点，，，①判断：____填“>”“<”或“=”；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．27. 如图，在中，，是AB边上一点，交CA的延长线于点用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；连接BE，延长BE至F，使连接DC，CF，①依题意补全图形；②判断的形状，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．已知，，①在点，，中，线段AB的融合点是____；②若直线上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；对称线段为若对于实数a，存在直线l，使得上有的融合点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：2.【答案】A【解析】【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是故选：3.【答案】D【解析】【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：，将二次函数的图象在平面直角坐标系中向左平移1个单位长度所得函数解析式为：，故选：4.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论．【解答】解：正方形ABCD的对角线，点C在外，故选：5.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【解答】解：因为点，的纵坐标相同，都是5，所以对称轴为直线，故m的值为故选：6.【答案】C【解析】【分析】由于是等边三角形，那么，所以要使等边三角形旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为，由此即可求出绕中心旋转的角度．【解答】解：如图，连接OA、OB、是等边三角形，，它们都是旋转角，而它们的和为，将该勒洛三角形绕其中心O旋转后能与自身重合．故选：7.【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理得到，再根据切线长定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：、AC为的切线，，、FC为的切线，，同理，，的周长，，故选：8.【答案】B【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中该赛车从F口驶出的结果有1种，该赛车从F口驶出的概率为，故选：9.【答案】【解析】【分析】将代入解析式求解．【解答】解：将代入得，抛物线与y轴交点坐标为，故答案为：10.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：，故答案为：11.【答案】【解析】【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为，故答案为：12.【答案】【解析】【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：方程有两个不相等的实数根，，，，解得，故答案为：13.【答案】<【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由图象可知：，，，故答案为：14.【答案】1【解析】【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接AO，BO，，，，，，，，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合x、y的值确定答案即可．【解答】解：观察表格知：二次函数的图象经过点和，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故答案为：16.【答案】①③④【解析】【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，应用圆内接正多边形的性质，圆周角定理，弧长计算公式，三角形面积的计算公式，可以解决问题．【解答】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接OA，OB，OC，OD，作交AB延长线于M，于N，是圆内接正六边形的一边，的度数，是等边三角形，，该圆的半径为是圆内接正方形的一边，的度数，的度数，是圆内接正三边形的一边，的度数，的度数，，，平分的长，，，中，，，平分，，，，：：正确的有①③④．故答案为：①③④．17.【答案】解：，，即，，，【解析】利用配方法求解即可．18.【答案】解：抛物线过点和，，解得，所以，该二次函数的解析式为【解析】将，代入求得b，c的值，得到此函数的解析式．19.【答案】解：原式为方程的一个根，，原式【解析】直接利用平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把已知数据整体代入得出答案．20.【答案】解：如图，连接，，，为直径，，【解析】【分析】连接AC，根据圆周角定理得到，再利用AB为直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余计算的度数．21.【答案】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率为【解析】【分析】直接由概率公式求解即可；画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的结果有3种，再由概率公式求解即可.22.【答案】解：如图，PB为所作；；经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可；先根据切线的性质得再证明≌得到，然后根据切线的判定定理得到PB是的切线．23.【答案】解：连接OB，若，在中，，，，，解得答：这个紫砂壶的壶口半径r的长为【解析】【分析】连接OB，根据垂径定理求出BD，在中，根据勾股定理即可求出24.【答案】证明：连接，是的切线，OC是的半径，，，，，平分解：连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，在中，，设，，则，，在中，根据勾股定理得：【解析】【分析】连接OC，由题意可证，进而证明BC平分；连接OD，过点O作于点G，得矩形OCDG，可得，由勾股定理求出OB的长，再由勾股定理可得出答案．25.【答案】解：以过拱顶为原点，以过拱顶平行于地面的直线为x轴建立如图所示坐标系.设抛物线解析式为，抛物线过点，，解得，抛物线解析式为能实现，由知抛物线解析式为，设“之”的坐标为，则“星”的坐标为，，，，解得，，，能实现，【解析】【分析】建立如图所示坐标系，由待定系数法求函数解析式即可；根据题意求出“之”和“星”的坐标，然后求出a 的值即可．26.【答案】解：将代入抛物线表达式得：，解得：由得，抛物线的表达式为：，则抛物线的对称轴为直线，将点M 、N 、P 的坐标代入抛物线表达式得：，，，①，故答案为：②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，即且，解得：当时，同理可得：点N、P在x轴上方，即且，解得：；综上所述，a的取值范围的为：或【解析】【分析】将代入抛物线表达式得：，即可求解；①，即可求解；②当时，由点M、N、P的坐标知，点N的函数值最小，则点M、P在x轴上方，进而求解；当时，同理可解．27.【答案】解：结论：理由：，，，，，①图形如图所示：②结论：是等边三角形．证明：延长BA至点H使，连接CH，FH，如图.，，是等边三角形.，，，，，，，≌，是等边三角形.【解析】【分析】结论：利用直角三角形30度角的性质证明即可；①根据要求作出图形即可；②结论：是等边三角形．延长BA至点H使，连接CH，FH，.证明≌，推出，，可得结论．28.【答案】解：①，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，，，，当与圆相切时，或，当时，直线上存在线段AB 的融合点．由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，，，上有的融合点，圆O 与圆、有交点，圆O 与圆、圆的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当时，a 的最大值为，最小值为，；当时，a 的最大值为，最小值为，综上所述：a 的取值范围为或【解析】【分析】①，，的线段垂直平分线与x 轴的交点为，是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，不是线段AB的融合点．，，设直线的垂直平分线与x轴的交点为，，解得，直线的垂直平分线与x轴的交点为，是线段AB的融合点．故答案为：，②线段AB的融合点在以A、B为圆心，AB为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段AB的融合点；由可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，圆O与圆、圆的公共区域为以O为圆心2为半径，以O为圆心6为半径的圆环及内部区域满足题意，当时，a的最大值为，最小值为，当时，a的最大值为，最小值为，由此可求a的取值范围为或。
人教版九年级上册数学期末考试试卷(含解析)
人教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．下列属于一元二次方程的是（ ）A ．x 2-3x+y=0B ．x 2+2x= C ．2x 2=5x D ．x(x 2-4x)=32．抛物线的顶点坐标为（ ）A ．（3，0） B．（-3,0） C ．（0,3） D ．（0，－3）3．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ． B ． C ． D ．4．若关于x 的方程x 2﹣2x ﹣k ＝0有实数根，则k 的值可能为（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．05．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF =3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为A ．3：4B ．4：3C 2D ．26．如图，将就点C 按逆时针方向旋转75°后得到，若∠ACB ＝25°，则∠BCA′的度数为（ ）A ．50°B ．40°C ．25°D ．60°7．为了迎接春节，某厂10月份生产春联万幅，计划在12月份生产春联万幅，设11、12月份平均每月增长率为根据题意，可列出方程为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）1x 2y 2x 3=-（）()2019nCoV -ABC A B C ''△50120,x ()()2501501120x x +++=()()250501501120x x ++++=()2501120x +=()50160x +=A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°9．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．10．关于x 的方程k 2x 2＋(2k-1)x+1 =0有实数根，则下列结论正确的是（）A ．当k=时，方程的两根互为相反数B ．当k=0时，方程的根是x=-1C ．若方程有实数根，则k≠0且k≤D ．若方程有实数根，则k≤二、填空题。
2023-2024学年广东省中山市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.“明天连云港会下雨”，这个事件是( )A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件3.抛物线y=2(x−2)2+5的顶点坐标是( )A. (2,5)B. (−2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)4.平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP=7cm，则点P( )A. 在⊙O外B. 在⊙O上C. 在⊙O内D. 不能确定5.在一个不透明的布袋中装有10个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中黄球可能有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 7个6.据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人.设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为( )A. 12.1(1+2x)=14.4B. 12.1(1+x)2=14.4C. 14.4(1−x)2=12.1D. 12.1+12.1x+12.1(1+x)2=14.47.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°8.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠ACD=51°，则∠BAC的度数为( )A. 39°B. 49°C. 51°D. 29°9.对于实数a，b，定义运算“※”：a※b=a2−2b，例如：5※1=52−2×1=23.若x※x=−1，则x的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 1或−110.如表是一组二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y−0.36−0.010.360.75 1.16那么下列选项中可能是方程ax2+bx+c=0的近似根的是( )A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
2023-2024学年山东省济南市市中区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（）A ．B ．C ．D ．2．（4分）已知＝，则的值为（）A ．B ．C ．D ．3．（4分）已知反比例函数的图象经过点A （﹣2，6），则下列各点中也在该函数图象上的是（）A ．（2，6）B ．（1，﹣12）C ．（﹣3，﹣4）D ．（4，3）4．（4分）抛物线y ＝2（x +9）2﹣3的顶点坐标是（）A ．（9，3）B ．（9，﹣3）C ．（﹣9，3）D ．（﹣9，﹣3）5．（4分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（）A ．10个B ．11个C ．12个D ．13个6．（4分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（）A ．1B ．C ．D ．7．（4分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（）A．85°B．75°C．70°D．65°8．（4分）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（）A．3B．5C．6D．79．（4分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．10．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0≤x≤3时对应的函数值y 均为正数，则a的取值范围为（）A．﹣1＜a＜0B．a＞3C．a＜﹣1或a＞3D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11．（4分）若∠A是锐角，cos A＝，则∠A＝度．12．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，△ABC 的面积为2，则△DEF的面积为．13．（4分）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x 轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为．14．（4分）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．15．（4分）如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得，恰好都经过圆心O，折痕为AB，BC，则阴影部分的面积为cm2．16．（4分）如图，AB＝5，BC＝10，以AC为斜边在AC的右侧作△ACD，其中，当BD长度最大时，点D到BC的距离是．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2sin30°+．18．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．19．（6分）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）（1）求y关于x的函数解析式．（2）当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？20．（8分）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为A、B、C、D．（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择A闸口通过的概率；（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．21．（8分）如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．（2）求旗杆的AC高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB上一点，以OB为半径的⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，连结BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）已知，AB＝6，求⊙O的半径r．23．（10分）把边长为44cm的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2）．若剪掉的小正方形的边长为x cm，长方体形的无盖盒子的侧面积为S cm2．（1）①求S与x的函数关系式；②直接写出x的取值范围．（2）求当x取何值时，S达到最大，并求出最大值．24．（10分）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点A（2，2），在第一象限内存在一点B（m，n），满足mn ＞4．（1）求k的值；（2）如图1，过点B分别作平行于x轴，y轴的直线，交双曲线于点C、D，记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为W（含边界），①当m＝n＝4时，区域W的整点个数为；②直线y＝ax﹣5a+4（a＞0）过一个定点，若点B为此定点，这条直线将W分成两部分，直线上方（不包含直线）的区域记为W1，直线下方（不包含直线）的区域记为W2，当W1与W2的整点个数之差不超过2时，请求出a的取值范围．25．（12分）（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB ＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：＝；∠AMB＝；（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD绕点O旋转至点C与点M重合，若OD＝1，OB＝，填空：AC＝．26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）该抛物线的表达式为；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点Q，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【分析】根据观察方向即可求解．【解答】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形，且两个长方形在左侧位置对齐，故选：A．【点评】本题考查几何体的三视图，解题的关键是具有一定的空间观念．2．【分析】根据已知条件设m＝2k，n＝3k，再代入求出答案即可．【解答】解：设m＝2k，n＝3k，则＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．3．【分析】首先利用待定系数法求出k的值，再分别计算出四个选项中的点的横纵坐标的积，等于k的值的就在反比例函数图象上，反之则不在．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，6），∴k＝﹣2×6＝﹣12，A、2×6＝12≠﹣12，故此点不在此函数图象上；B、1×（﹣12）＝﹣12，故此点在此函数图象上；C、﹣3×（﹣4）＝12，故此点不在此函数图象上；D、4×3＝12，故此点不在此函数图象上．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．4．【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．5．【分析】由摸到白球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出黑球个数即可．【解答】解：设黑球个数为：x个，∵摸到白色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到白色球的概率为25%，∴＝0.25，解得：x＝11，故黑球的个数为11个．故选：B．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．6．【分析】在直角△ACD中利用正切函数的定义即可求解．【解答】解：在直角△ACD中，AD＝2，CD＝6，则tan∠ACB＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．7．【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB＝90°是解题的关键．8．【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB 于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，∵AB∥A′B′，∴△PAB∽△PA′B′，∴＝，即＝，∴A′B′＝6，故选：C．【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．9．【分析】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y＝应该位于第一、三象限，故本选项不可能；B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项有可能；故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．10．【分析】分两种情况讨论，根据题意得到关于a的不等式，计算即可．【解答】解：当a＜0时，抛物线开口向下；∵当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，对称轴为直线x＝﹣＝1，x＝0时，y＝3＞0，∴x＝3时，9a﹣6a+3＞0，解得a＞﹣1，故﹣1＜a＜0，当a＞0时，抛物线开口向上；∵当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，对称轴为直线x＝﹣＝1，∴x＝1时，a﹣2a+3＞0，∴a＜3，故0＜a＜3，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11．【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解．【解答】解：∵∠A是锐角，cos A＝，∴∠A＝30°．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．12．【分析】利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴，∵△ABC∽△DEF，∴，＝9S△ABC＝9×2＝18．∴S△DEF故答案为：18．【点评】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．13．【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，然后根据反比例函数y＝中k的几何意义，知△AOB的面积＝|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．14．【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c ＞0的解集．【解答】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3．故答案为：﹣5＜x＜3．【点评】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．15．【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2得出阴影部∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S扇形AOC 分的面积是⊙O面积的，即可得出结果．【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：∵OD＝AO，∴∠OAD＝30°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，同理∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，＝×S圆＝×π×22＝π（cm2），∴阴影部分的面积＝S扇形AOC故答案为：π．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、扇形面积的计算等知识，解题的关键是确定∠AOC＝120°．16．【分析】以AB为斜边构造与△ADC相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出BD最大时的情况，再根据相似三角形的判定和性质进行求解即可．【解答】解：以AB为斜边构造直角三角形ABE，使AE＝4，BE＝3，∠AEB＝90°，连接DE，如图：∵AE：BE＝AD：CD＝4；3，∴＝，又∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∴△AEB∽△ADC，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE，即∠BAC＝∠EAD，又∵＝＝，∴△ABC∽△AED，∴＝，∴DE＝8，在△BDE中，DE+BE≥BD，∴当BD最大时，B，D，E共线，即AE⊥BD，此时，过D作DF⊥AC于F，如图：∵△ABE∽△ACD，∴∠ABD＝∠ACD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AB∥DF，∴∠ABE＝∠BDF，∴△ABE∽△BDF，∴＝，∴DF＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，构造出与△ADC相似的三角形得出BD取最大时的情况是本题解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（）﹣1+（π+1）0﹣2sin30°+＝2+1﹣2×+3＝2+1﹣1+3＝5．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，∴，∴AC＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；（2）将x＝1.5代入（1）中所求解析式，即可得出y的值．【解答】解：（1）由题意可得：xy＝1200×0.5，则y＝，即y关于x的函数表达式为y＝；（2）∵y＝，∴当x＝1.5时，y＝＝400，故当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键．20．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）一名乘客通过该站闸口时，他选择A闸口通过的概率为；（2）画树状图得：由树状图可知：有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，∴两名乘客选择相同闸口通过的概率＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据题意可得：DB＝32m，则EH＝GB＝48m，然后在Rt△CEH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m，∴EG＝DE•sin37°≈20×0.60＝12.0（m），DG＝DE•cos37°≈20×0.80＝16.0（m），∴斜坡ED的铅直高度EG约为12.0m，水平宽度GD约为16.0m；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，由题意得：DB＝32m，∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m），在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，∴CH＝EH•tan30°＝48×＝16（m），∴AC＝CH+BH﹣AB＝16+12﹣37≈2.7（m），∴旗杆的AC高度约为2.7m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．22．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，进而得到OD∥BC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）根据余弦的定义求出BC，根据△AOD∽△ABC列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠ODB＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠CBD，即BD平分∠ABC；（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos∠ABC＝，∵cos∠ABC＝，AB＝6，∴BC＝，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：r＝．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．【分析】（1）①依据题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为（44﹣2x）cm，进而列式可以得解；②依据题意，列不等式，进而计算可以得解；（2）依据题意，结合（1）得S＝4x（44﹣2x）＝﹣8x2+176x＝﹣8（x﹣11）2+968，从而根据二次函数的性质进行判断可以得解．【解答】解：（1）①由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为（44﹣2x）cm，∴盒子的侧面积S＝4x（44﹣2x）．②由题意，，∴0＜x＜22．（2）由题意得，S＝4x（44﹣2x），即S＝﹣8x2+176x，即S＝﹣8（x﹣11）2+968，＝968．∴当x＝11时，S最大即当剪掉的正方形的边长x为11cm时，长方形盒子的侧面积S最大为968cm2．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能找到关键描述语从而根据等量关系准确地列出函数关系式是关键．24．【分析】（1）根据点A在y＝的图象上，可求出k的值．（2）①标出区域W，再统计区域内的整数点即可．②过定点即表示与a的取值无关，则有a的系数（x﹣5）等于0，便可解决问题．利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可．【解答】解：（1）因为双曲线经过点A（2，2），所以k＝2×2＝4．即k的值为：4；（2）①当m＝n＝4时，由图1可知，BC上的整点有4个，BD上的整点有4个，双曲线上CD段的整点有3个，区域W内部的整点有3个，又点B，C，D都被算了2次，所以区域W的整点个数为：4+4+3+3﹣3＝11．故答案为：11；②由题知，y＝ax﹣5a+4＝（x﹣5）a+4，则不论a为何值，x＝5时，y＝4，即直线过定点（5，4），所以B（5，4）．如图所示，当B（5，4）时，区域W内的整点共有15个．又被分成的区域W1和W2的整点个数之差不超过2，则当直线经过点（4，3）时，W1的整点个数是7，W2的整点个数是5，满足要求．此时4a﹣5a+4＝3，得a＝1．当直线过点（3，3）时，W1的整点个数是5，W2的整点个数是8，不满足要求．故当点（3，3）在直线上方时，即可．此时3a﹣5a+4＝3，得a＝．故a的取值范围是：．【点评】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．25．【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，比值为1；由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则＝，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC ∽△BOD，则∠AMB＝90°，，可得AC的长．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠COA＝∠DOB，∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1；∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB+∠ABO＝140°，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，故答案为：1；40°；（2）如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，∴，同理得：，∴，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝，∠CAO＝∠DBO，在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；（3）点C与点M重合时，如图，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，，x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，x1＝3，x2＝﹣2，∴AC＝3；②点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，+（x+2）2＝x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x1＝﹣3，x2＝2，∴AC＝2；综上所述，AC的长为3或2．故答案为：3或2【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．26．【分析】（1）由对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），得出B（3，0），由交点式得出函数关系式；（2）方法一：作AD⊥BC于D，可知D在对称轴上，求出E的坐标，得出直线CE的关系式与抛物线求交点即可；方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，证明△ABC≌△DBC，得AB＝BD，可得D的坐标，从而求出CP解析式，得到P的坐标；（3）分P在Q上方和下方两种情况，当P在Q上方时，构造出△PKQ≌△QTP'，得P'（m+2，﹣m）代入抛物线即可求得m的值，从而可得Q的坐标，当Q在P上方时，由抛物线的对称性可得出Q（2，）．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），∴B（3，0），∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，故答案为：y＝x2﹣4x+3；（2）方法一：作AD⊥BC于D，交CP于E，如图：在y＝x2﹣4x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），∵B（3，0），∴OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∵A（1，0），B（3，0），∴D（2，1），∵∠PCB＝∠ACB，∴AD＝DE，∴E（3，2），∴直线CE的关系式为：y＝﹣x+3，由﹣x+3＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，），方法二：过点B作BD垂直于x轴，交CP于D，如图：∵OC＝OB，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠ABC＝45°，∵∠PCB＝∠ACB，BC＝BC，∴△ABC≌△DBC（ASA），∴BD＝AB＝2，∴D（3，2），∴直线CP的解析式为y＝﹣x+3，由﹣x+3﹣＝x2﹣4x+3得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；（3）在对称轴上存在一点Q，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°，使点P恰好落在抛物线上，理由如下：点P旋转后的对应点为P'，当P在Q上方时，作PK⊥对称轴于K，P'T⊥对称轴于T，∵P（，），对称轴为直线x＝2，∴PK＝，设KQ＝m，∵将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°得线段QP'，∴∠PQP'＝90°，PQ＝P'Q，∴∠PQK＝90°﹣∠TQP'＝∠QP'T，∠PKQ＝90°＝∠P'TQ，∴△PKQ≌△QTP'（AAS），∴P'T＝KQ＝m，QT＝PK＝，∴P'（m+2，﹣m），∵P'恰好落在抛物线上，∴（m+2）2﹣4（m+2）+3＝﹣m，解得m1＝，m2＝﹣，∴Q（2，），当Q在P上方时，作PW⊥对称轴于W，如图：由图可得，P，P'关于直线x＝2对称，∴△PQP'是等腰直角三角形，∴△P'QW，△PQW是等腰直角三角形，∴QW＝PW＝，∴Q（2，），综上所述：Q（2，）或Q（2，）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键。
2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年河南省南阳市南召县九年级（上）期末数学试卷1. 下列计算正确的是( )A. B.C. D.2. 关于x的方程的一个解是2，则k值为( )A. 2或4B. 0或C. 4或0D. 或23. 抛物线的顶点坐标是( )A. B. C. D.4. 如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是( )A. B. C. D.5. 如图，已知，AD：：5，，那么CE的长等于( )A. 2B. 4C.D.6. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是( )A. 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”C. 在装有1个红球和2个白球除颜色外完全相同的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是67. 在中，若，，则AB 的长是( )A.B.C. 60D. 808.如图，随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为( )A.B. C.D.9. 已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，当，，时，，，三者之间的大小关系是( )A. B. C. D.10. 如图，在正方形ABCD 中，是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①②∽③；④FE ：：3，其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 若二次根式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为______.12. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______.13. 比较大小：______填“>”或“<”或“=”14. 如图是用杠杆撬石头的示意图，点C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起5cm ，已知AB ：：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压______15. 如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若，，则的最小值为______.16. 计算；解方程17. 数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．数学社团决定从4名同学小明，小红，小强，小芳中通过抽签的方式确定2名同学去参加学校组织的“文明交通行动计划”宣传活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．被抽到的同学去参加宣传活动．“小强被抽中”是______事件填“不可能”、“必然”、“随机”，第一次抽取卡片抽中小强的概率是______；试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小强被抽中的概率．18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：求这个二次函数的表达式；画出这个二次函数的图象；若，结合函数图象，直接写出x的取值范围______.x…012…y…010…19. 如图，在中，，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，若，，求AC的长和的值．20. 某水果商店销售一种进价为40元的优质水果，若售价为50元，则一个月可售出500kg；若售价在的基础上每涨价1元，则月销售量就减少当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？21. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB 的坡度：，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．参考数据：，，，22. 阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则，材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，，，则根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______；_______.类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．23. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；应用拓展：如图3，在中，，D是边BC上一点．连接AD，将沿AD 所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若，，求DE的长；②若，，求DE的长用含m，的式子表示答案和解析1.【答案】D【解析】解：和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；B.3和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；C.，故本选项不符合题意；D.，故本选项符合题意；故选：根据二次根式的加减法则，二次根式的乘法法则和除法法则进行判断即可．本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．2.【答案】B【解析】解：把代入方程，得，整理得，解得，，即k的值为0或故选：直接把代入方程得，然后解关于k的一元二次方程即可．本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．3.【答案】C【解析】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是故选已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为4.【答案】A【解析】解：观察图形可得，符合题意；B.观察图形可得，不符合题意；C.观察图形可得，不符合题意；D.观察图形可得，不符合题意．故选：根据正切的定义分别求出每个图形中的的正切值可得答案．本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中灵活应用是解题的关键．5.【答案】C【解析】【解答】解：，，即，，故选：【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，即，可计算出BC，然后利用进行计算．6.【答案】D【解析】解：由图可知：某种结果出现的频率在附近波动，所以这种结果出现的概率是A、从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率是，故此选项不符合要求；B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率，故此选项不符合要求；C、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率是，故此选项不符合要求；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率，故此选项符合要求，故选：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.7.【答案】D【解析】解：，，，，故选：利用三角函数定义计算出BC的长，然后再利用勾股定理计算出AB长即可．此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦定义．8.【答案】D【解析】【分析】此题考查用列举法求概率，弄清题中的数据是解本题的关键．找出随机闭合开关、、中的所有情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：画树状图，如图所示：随机闭合开关、、中的两个有六种情况，其中能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为故选：9.【答案】D【解析】解：抛物线，对称轴，顶点坐标为，当时，，解得或，抛物线与x轴的两个交点坐标为：，，当，，时，，故选：首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．10.【答案】D【解析】解：是等边三角形，，，，在正方形ABCD中，，，；故①正确；，，，，，，，，，，，∽；故②正确；，，，，∽，，，故③正确；，，，，，，，：：：3，故④正确，故选：由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．11.【答案】【解析】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须，解得：，故答案为：根据二次根式有意义的条件得出，求出即可．本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．12.【答案】答案不唯一【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，能准确找出，是解题的关键．根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．【解答】解：设二次函数的解析式为抛物线开口向下，抛物线与y轴的交点坐标为，取，时，二次函数的解析式为故答案为：答案不唯一13.【答案】<【解析】解：，，故答案为：直接利用锐角三角函数关系，进而结合分子相同，分母越大，分数越小，进而得出答案．此题主要考查了同角三角函数的关系，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．14.【答案】45【解析】解：如图，过点C作水平线PH，过点A作于点P，过点B作于点H，，，，，∽，，：：1，：，：，即，当时，，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压45cm，故答案为：过点C作水平线PH，过点A作于点P，过点B作于点H，由，，证明∽，利用相似三角形的性质得出，进而得出当时，，即可得出答案．本题考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键．15.【答案】6【解析】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值即为的长度，四边形ABCD为矩形，，，在中，，，，，由对称的性质可知，，，，，，，，是等边三角形，，，，，是直角三角形，，的最小值为6，故答案为：作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．本题考查的是矩形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定、特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．16.【答案】解：原式；方程整理得：，这里，，，，，解得：，【解析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂，以及乘方的意义计算即可求出值；方程整理后，利用公式法求出解即可．此题考查了解一元二次方程-公式法，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及方程的解法是解本题的关键．17.【答案】随机【解析】解：“小强被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片抽中小强的概率是；故答案为：随机，；把小明，小红，小强，小芳4名同学的卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小强被抽中的结果有6种，小强被抽中的概率为由随机事件的定义和概率公式即可得出答案；画树状图，共有12种等可能的结果，其中小强被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可．本题考查了树状图法求概率以及随机事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．18.【答案】或【解析】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把点代入，得，故抛物线解析式为，即；由知，抛物线顶点为，对称轴为直线，过原点，根据抛物线的对称性，抛物线过抛物线的图象如图所示：当时，，解得：，，结合函数图象，当时，或利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可；利用描点法画二次函数图象；根据时x的值，再结合函数图象得出时x的取值范围．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．19.【答案】解：在中，，，，，是AB的垂直平分线，，，在中，，的长为8，的值为【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用勾股定理求出CD的长，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而求出BC的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．20.【答案】解：设每千克水果售价为x元，由题意可得：，解得：，，答：每千克水果售价为65元或75元；设每千克水果售价为x元，获得的月利润为w元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，依题意得：，当时，w取得最大值，最大值为答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大，月利润的最大值是9000元．【解析】设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润销售的数量，可列方程，即可求解．设每千克水果售价为x元，获得的月利润为w元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月利润=每千克的销售利润月销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．21.【答案】解：如图，延长EF交AG于点H，则，作于点P，则四边形BFHP是矩形，，，由：，可以假设，，，，或舍去，，，设米，米，，，①，，②，由①②得，，答：塔顶到地面的高度EF约为47米．【解析】如图，延长EF交AG于点H，则，作于点P，则四边形BFHP是矩形，设米，米，构建方程组求解．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．22.【答案】解：，；一元二次方程的两根分别为m、n，，，；实数s、t满足，，与t看作是方程的两个实数根，，，，，，，【解析】一元二次方程的两个根为，，，，故答案为：，；见答案；见答案；根据根与系数的关系进行求解即可；根据根与系数的关系可得：，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把s，t看作是相应的方程的两个实数根．23.【答案】证明：，，，∽，，是的角平分线，，又，，，解：①将沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，，，由可知，，又，，，，，，，，；；②将沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，，，，，由可知，，，，又，，，【解析】证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论；①由折叠的性质可得出，，由可知，，由勾股定理求出，则可求出答案；②由折叠的性质得出，则，方法同①可求出，则可得出答案．本题是相似形综合题，考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
九年级(上)期末数学试卷(附答案解析)
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列事件中是必然事件的是（）A．平安夜下雪B．地球在自转的同时还不停的公转C．所有人15岁时身高必达到1.70米D．下雨时一定打雷2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=54．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦x y=11，y是x的反比例函数的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．56．对于函数y=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣18．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣29．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）10．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则的值为（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离km．14．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．15．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有个．16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为．17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB 的度数为（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）．（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是．三、解答题（共7小题，满分66分）19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．20．在x2□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=5，AD=时，求线段BG的长．25．已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列事件中是必然事件的是（）A．平安夜下雪B．地球在自转的同时还不停的公转C．所有人15岁时身高必达到1.70米D．下雨时一定打雷【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、平安夜下雪是随机事件，故A错误；B、地球在自转的同时还不停的公转，是必然事件，故B正确；C、所有人15岁时身高必达到1.70米是随机事件，故C错误；D、下雪时一定打雷是不可能事件，故D错误；故选：B．2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可作出判断．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．3．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选A．4．下列关系式中：①y=2x；；③y=﹣；④y=5x+1；⑤y=x2﹣1；⑥y=；⑦xy=11，y是x的反比例函数的共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】分别根据反比例函数、二次函数及一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①y=2x是正比例函数；可化为y=5x，是正比例函数；③y=﹣符合反比例函数的定义，是反比例函数；④y=5x+1是一次函数；⑤y=x2﹣1是二次函数；⑥y=不是函数；⑦xy=11可化为y=，符合反比例函数的定义，是反比例函数．故选C．5．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．【解答】解：连接OD．由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则R2=（）2+（R﹣1）2，由此得2R=3，或由相交弦定理得（）2=1×（2R﹣1），由此得2R=3，所以AB=3故选B．6．对于函数y=，下列说法错误的是（）A．这个函数的图象位于第一、第三象限B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大解答即可．【解答】解：函数y=的图象位于第一、第三象限，A正确；图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，C错误；当x＜0时，y随x的增大而减小，D正确，由于该题选择错误的，故选：C．7．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵a=﹣1＜0，∴二次函数图象开口向下，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大而增大．故选B．8．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．故选A．9．已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）【分析】先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．【解答】解：∵线段AB向左平移一个单位，∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6），∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．故选A．10．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由S△BDE：S△CDE=1：3，得到=，于是得到=，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴=，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△ABC，∴==，故选D．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）【分析】作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1，于是可写出C点坐标．【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，∴A点横坐标为2，当x=2时，y=x=2，∴A（2，2），∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，∴BC=BA=2，∠ABC=60°，∴∠CBH=30°，在Rt△CBH中，CH=BC=，BH=CH=3，OH=BH﹣OB=3﹣2=1，∴C（﹣1，）．故选：A．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离150 km．【分析】设两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到15：x=1：1000 000，然后根据比例的性质计算出x，再把单位由cm化为km即可．【解答】解：设两地的实际距离为xcm，根据题意得15：x=1：1000 000，所以x=15000000cm=150km．故答案为150．14．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的面积比为4：9．15．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，估计口袋中黄色玻璃球有18个．【分析】让球的总数×黄色玻璃球的概率即为所求的黄色玻璃球的球数．【解答】解：∵摸到红球、黄球、蓝球的频率为35%、25%和40%，∴摸到黄球的概率为0.25，故口袋中黄色玻璃球有0.25×72=18（个）．故答案为：18．16．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为2．【分析】由正六边形的性质得出∠AOM=60°，OA=4，求出∠OAM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OM=OA=2即可．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，OM⊥AC，∴∠AOM=60°，∠OMA=90°，OA=4，∴∠OAM=30°，∴OM=OA=2，即这个正三角形的边心距OM为2；故答案为：2．17．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2．【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2．故答案为：2．18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB 的度数为30°（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示）90°﹣α．（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是45°＜α＜60°．【分析】（1）由条件可得出AB=BC=AC，再利用旋转可得出QM=MC，证得CB=CD=BA，再由三角形外角的性质即可得出结论；（2）由（1）可得BM为AC的垂直平分线，结合条件可以得出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理可得∠ACQ=∠APQ=α，可得出∠CDB和α的关系；（3）借助（2）的结论和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，结合∠BAD ＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范围．【解答】解：（1）如图1，∵BA=BC，∠BAC=60°，∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，∵M为AC的中点，∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC．∵PQ由PA旋转而成，∴AP=PQ=QM=MC．∵∠AMQ=2α=120°，∴∠MCQ=60°，∠QMD=30°，∴∠MQC=60°．∴∠CDB=30°．故答案为：30°；（2）如图2，连接PC，∵由（1）得BM垂直平分AC，∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，又∵PQ=PA，∴PQ=PC=PA，∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，∴∠ACQ=∠APQ=α，∴∠BAC=∠ACD，∴DC∥BA，∴∠CDB=∠ABD=90°﹣α．故答案为：90°﹣α；（3）∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∴2α＞180°﹣2α＞α，∴45°＜α＜60°．故答案为：45°＜α＜60°．三、解答题（共7小题，满分66分）19．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x2+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）根据一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，可推△≥0，求出k的取值范围，得出k 的数值即可；（2）分别把k的值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1=0有实数根，∴△=4﹣4（k﹣1）≥0．∴k≤2．∵k为正整数，∴k=1，2；（2）设方程x2+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣2，x1•x2=k﹣1，当k=1时，方程x2+2x+k﹣1=0有一个根为零；当k=2时，方程x2+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1．k=2符合题意．二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2，对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．20．在x2□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图）【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中能构成完全平方的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，其中能构成完全平方的有2种情况，∴其中能构成完全平方的概率为：=．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．（1）求反比例函数与一次函数的解析式．（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．【分析】（1）先由点C的坐标求出反比例函数的关系式，再由DE=3，求出点D的坐标，把点C，点D的坐标代入一次函数关系式求出k，b即可求一次函数的关系式．（2）由图象可知：一次函数的值小于反比例函数的值．【解答】解：（1）点C（﹣6，﹣1）在反比例函数y=的图象上，∴m=﹣6×（﹣1）=6，∴反比例函数的关系式为y=，∵点D在反比例函数y=上，且DE=3，∴y=3，代入求得：x=2，∴点D的坐标为（2，3）．∵C、D两点在直线y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的关系式为y=x+2．（2）由图象可知：当x＜﹣6或0＜x＜2时，一次函数的值小于反比例函数的值．22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．【解答】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，∴∠CDB=40°；又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°；∴在△BPD中，∴∠B=180°﹣∠CDB﹣∠BPD=25°；（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；∴OE∥AD；又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴AD=2OE=6．23．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为（10+7x）元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为（12+6x）元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．【分析】（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10•0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12•0.5x）元/件；（2）今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量，得到w=2（1+x）（2﹣x），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案．【解答】解：（1）10+7x；12+6x；（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），∴y=2﹣x （0＜x≤1）；（3）∵w=2（1+x）•y=2（1+x）（2﹣x）=﹣2x2+2x+4，∴w=﹣2（x﹣0.5）2+4.5∵﹣2＜0，0＜x≤1，∴w有最大值，∴当x=0.5时，w最大=4.5（万元）．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．24．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=5，AD=时，求线段BG的长．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形和ADEF是正方形得到判断△ABD≌△ACF的条件；（2）由全等得到∠BGC=90°，利用勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵ADEF是正方形，∴AD=AF，∠BAC=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF，∴BD=CF．（2）①由（1）全等得：∠ABD=∠ACE，∴∠GBC+∠GCB=∠GBC+∠ACF+∠ACB=（∠ABG+∠GBC）+∠ACB=45°+45°=90°，∴∠BGC=90°，∴BG⊥CF．②过D作DH⊥AB于H，AH=DH=AD÷=1，∴BH=3，∴BD==，延长AD交BC于P，则BP=CP，（AD平分∠BAC，AB=AC，等腰三角形三线合一）由∠BCG=90°知：DP∥CG，∴=1，∴BG=2BD=2．25．已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据对称轴公式求出x=﹣，求出即可；（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；（3）由抛物线的解析式可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．【解答】解：（1）由，得x=﹣=﹣=3，∴D（3，0）；（2）方法一：如图1，设平移后的抛物线的解析式为，则C（0，k）OC=k，令y=0即，得，x2=3﹣，∴A，B，∴，=2k2+8k+36，∵AC2+BC2=AB2即：2k2+8k+36=16k+36，得k1=4，k2=0（舍去），∴抛物线的解析式为，方法二：∵，∴顶点坐标，设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标，∴平移后的抛物线：，当y=0时，，得，x2=3+，∴A，B，∵∠ACB=90°，∴△AOC∽△COB，则OC2=OA•OB，即，解得h1=4，h2=0（不合题意舍去），∴平移后的抛物线：；（3）方法一：如图2，由抛物线的解析式可得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，∴，，在Rt△COD中，CD==AD，∴点C在⊙D上，∵，∴DM2=CM2+CD2∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，∴直线CM与⊙D相切．方法二：如图3，由抛物线的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，，由勾股定理得，∵DM∥OC，∴∠MCH=∠EMD，∴Rt△CMH∽Rt△DME，∴得DE=5，由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．∴直线CM与⊙D相切．。
2022-2023学年吉林省长春七十二中九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年吉林省长春七十二中九年级（上）期末数学试卷1. 如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为( )A. B. C. D.2. 据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是( )A. B. C. D.3. 如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是( )A. 新B. 冠C. 病D. 毒4. 果园2020年水果产量为50吨，2022年水果产量为75吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则方程为( )A. B. C. D.5. 如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度的长为( )A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，AB是的直径，以点B为圆心，以OB长为半径画圆弧交于点C，D为上一点，连结CD，AD，则的大小是( )A.B.C.D.7.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形是等腰直角以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为( )A. B. C. D.8. 如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是和，则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为( )A. 18B. 20C. 28D. 369. 抛物线的对称轴是直线______.10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是______填一个即可11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积比为______.12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为__________.13. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若厘米，则的长度为______厘米．结果保留14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线的顶点为E，且经过点A、B，若为等腰直角三角形，则a的值是______ .15. 解方程：16. 一个不透明的袋子里装有三个分别标有数字、1、2的小球，除所标有的字不同外，其它方面均相同，现随机从中摸出一个小球，记录所摸出的小球上的数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，记录小球上的数字．请用画树状图或列表的方法，求两次记录数字之和是正数的概率．17.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点的坐标分别为，，作出关于y轴对称的并写出点的坐标______.在第题的变换下，若点是线段AC上的任意一点，那么点M的对应点的坐标为______.在y轴上找一点P，使，则P点坐标为______.18. 为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，历下区某校为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论．为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据上面提供的信息，回答下列问题：本次接受问卷调查的学生共有______人，在扇形统计图中“在线听课”所占的百分比为______，在扇形统计图中“在线讨论”所对应扇形圆心角为______度．请补全条形统计图；若该校共有800名学生，请你估计该校学生对“在线听课”和“在线答疑”感兴趣的共有多少人？19. 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点0处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点和点C的仰角分别为和，点A距地面米，点B距地面米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：，，，20. 如图，BE是的直径，点A和点D是上的两点，过点A作的切线交BE延长线于点若，求的度数；若，，求半径的长．21. 如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点求m的值及点B的坐标；求的面积；该二次函数图象上有一点，使，请求出D点的坐标．22. 《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法．教材呈现如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．定理证明：请根据教材图的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜力上的中线等于斜边的一半”的证明．定理应用：如图②，在中，，垂足为点点D在BC上，CE是AB边的中线，DG垂直平分CE，求证：拓展提高：如图③，在中，，，AD恰好是中线，求的度数．23. 如图，在中，，，，D是AC的中点．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位的速度向点B运动，连接PD，以PD、CD为邻边作▱设点P的运动时间为秒的长是______.当PD与的斜边垂直时，求t的值．当▱CDPM是轴对称图形时，求t的值．作点A关于直线PD的对称点当与的某一条直角边垂直时，直接写出t 的值．24. 已知抛物线L：抛物线L的对称轴为直线______.当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．当时，直线、与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且轴．若抛物线L在矩形ABCD内部包含边界最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．点M的坐标为，点N的坐标为，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于，且小于，因此在选项中，只有选项C符合题意，故选：由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．本题考查数轴和比较有理数的大小，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．2.【答案】C【解析】解：204000米/分，这个数用科学记数法表示，故选：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“抗”字一面相对面上的字是“病”，故选：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4.【答案】C【解析】解：依题意得，故选：利用该果园2022年水果产量=该果园2020年水果产量该果园水果产量的年平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：由图可知，中，，，米．故选：根据求解．本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．6.【答案】C【解析】解：连接OC由题意知：，四边形ABCD是圆内接四边形，，故选：连接OC，则是特殊三角形，求得的度数．根据圆内接四边形的性质，可得结论．题目考查了等腰三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质．解决本题的关键是连接OC得正三角形．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．7.【答案】C【解析】解：点，，，为等腰直角三角形，点C的坐标为，与位似，位似比为，点坐标为，即点坐标为，故选：根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换的性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的性质是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：点A、B的坐标分别是为，，若将线段AB平移至的位置，与坐标分别是和，可知将线段AB向右平移4个单位，向上平移3个单位得到的位置，，，与坐标分别是和，线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积的面积，故选：直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段AB在平移过程中扫过的图形面积=四边形的面积的面积求解即可．本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9.【答案】【解析】解：，此函数的对称轴就是直线故答案为由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．本题考查了二次函数的性质．10.【答案】0【解析】解：根据题意得且，解得且，所以a可以取故答案为根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出a的范围即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．11.【答案】1：4【解析】解：根据网格可知：，，，，，∽，：：，：：：4，故答案为：1：∽，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．12.【答案】【解析】解：如图，过点C作于点D，则，由勾股定理得：，故答案为：过点C作于点D，则在中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．本题属于对解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键．13.【答案】【解析】解：故答案为：弧长的计算圆周长公式：弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为本题考查了弧长公式的应用，注意以下几点：①在弧长的计算公式中，n是表示的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用表示．14.【答案】【解析】解：抛物线，该抛物线的对称轴为直线，，点A的坐标为，为等腰直角三角形，，点E到AB的距离为3，点E的坐标为，抛物线为，点在该抛物线上，，解得，故答案为：根据题意和二次函数的性质，可以得到抛物线的对称轴，从而可以得到AB的长，然后即可得到点A的坐标，再根据为等腰直角三角形，即可得到点E到AB的距离，从而可以得到点E 的坐标，然后根据点A在抛物线上，即可求得a的值．本题考查二次函数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，，，，【解析】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式解方程时，需要弄清楚公式中的字母所表示的含义．利用求根公式解方程即可．16.【答案】解：列表如下121232034所有等可能的情况有9种，其中两次记录数字之和是正数的有4种结果，所以两次记录数字之和是正数的概率为【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次记录数字之和是正数的情况，即可求出所求的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】【解析】解：如图，为所作，点的坐标为；点关于y轴的对称点的坐标为；故答案为：；点坐标为；故答案为利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可；利用关于y轴对称的点的坐标特征求解；作AB的垂直平分线交y轴于P点，从而得到P点坐标．本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点也考查了线段垂直平分线的性质．18.【答案】【解析】解：人，本次调查的人数为100人；在扇形统计图中“在线听课”所占的百分比为：；在扇形统计图中“在线讨论”所对应扇形圆心角为：故答案为：100；；54；在线答疑”的人数为：人，补全条形统计图如图所示：名答：估计该校学生对“在线听课”和“在线答疑”感兴趣的共有480人．由在线阅读人数及其所占百分比求出总人数；用“在线听课”的人数除以总人数可得在扇形统计图中“在线听课”所占的百分比；用乘“在线讨论”所占百分比可得在线讨论”所对应扇形圆心角度数；根据四种方式的人数之和等于总人数求出在线答疑人数，从而补全图形；用总人数乘以样本中“在线听课”和“在线答疑”感兴趣人数所占比例可得答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．19.【答案】解：如图作于在中，，，，在中，，，【解析】如图作于想办法求出BH、CH即可解决问题；本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20.【答案】解：连接OA，是的切线，OA是的半径，，，，，，；，，，，，，，，，，设的半径为r，，，解得：，的半径为【解析】【分析】此题考查切线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是根据切线的性质进行解答．连接OA，利用切线的性质和圆周角定理解答即可；利用圆周角定理和等腰三角形的性质得出，然后根据直角三角形的性质解答即可．21.【答案】解：函数过，，，该函数解析式为：，当时，，，点B的坐标为；点坐标为，；，，，①当时：，解得：，，点坐标为或，②当时：，解得：，，点坐标为、点坐标为、、、【解析】先把点A坐标代入解析式，求出m的值，进而求出点B的坐标；根据二次函数的解析式求出点C的坐标，进而求出的面积；根据求出点D纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点D的坐标．本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答问需要分类讨论．22.【答案】证明：如图①，延长CD至点E，使，，四边形EBCA为平行四边形，，平行四边形EBCA为矩形，，，；证明：如图②，连接DE，垂直平分CE，，，，在中，点E是AB的中点，，，；解：过点C作于H，连接DH，在中，，，，点D是BC的中点，，，为等边三角形，，，，，，，，，【解析】延长CD至点E，使，证明四边形EBCA为矩形，根据矩形的性质证明结论；连接DE，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据直角三角形的性质得到，证明，等量代换证明结论；过点C作于H，连接DH，证明为等边三角形，得到，证明，得到，结合图形计算，得到答案．本题考查的是直角三角形的性质、矩形的判定和性质、三角形的外角性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．23.【答案】8【解析】解：在中，，，，，故答案为：8；如图1中，当时，是AC的中点，，，，∽，，，；如图2中，当时，四边形PDCM是矩形，满足条件．，，，；如图中，当时，延长交AC于点J，连接，，，，，，在中，，解得，如图中，当时，，，，，，如图中，当时，过点D作，设交AC于点，，，，，，，，，，综上所述，满足条件的t的值为或或利用勾股定理求解即可；利用相似三角形的性质求解；如图2中，当时，四边形PDCM是矩形，满足条件．分三种情形，如图中，当时，延长交AC于点J，连接，如图中，当时，如图中，当时，过点D作，设交AC于点分别画出图形求解即可．本题属于四边形综合题，考查了平行三角形的性质，轴对称图形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．24.【答案】【解析】解：，抛物线的对称轴为直线，故答案为：；抛物线开口向下，与抛物线有两个不同的交点，抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，，即；由题意可知，，，，由题意可得，解得或，当时，，，矩形ABCD的周长；当时，，，矩形ABCD的周长；综上所述：矩形ABCD的周长为24或；，，轴，当时，，当时，，当时，，此时抛物线L与线段MN有且只有一个公共点；当或时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，解得；综上所述；a的取值范围为或时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点．由，即可求解；由题意可得，即可求解；分别求出A、B、C、D四点坐标，由题意可得，求出a值即可求解；当时，，此时抛物线L与线段MN有且只有一个公共点；当或时，抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，解得本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．。
2022-2023学年湖北省孝感市孝南区九年级(上)期末数学试题及答案解析
2022-2023学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片，它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是( )A. “抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件B. “抽出的图形是六边形”属于随机事件C. 抽出的图形为四边形的概率是25D. 抽出的图形为轴对称图形的概率是352. 如果，AB是⊙O的弦，半径为OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长为( )A. 2√5B. 3√2C. 2√3D. 2√23. 用配方法解方程x2−4x−3=0，下列配方结果正确的是( )A. (x−4)2=19B. (x+2)2=7C. (x−2)2=7D. (x+4)2=194. 如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为( )A. 34π B. 32π C. 34D. 325. 对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程1☆x=2的根的情况为( )A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根6. 如图，在⊙O中，AB是弦，∠E=30°，半径为4，OE=6.则AB的长( )A. √7B. √5C. 2√7D. 2√57. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c(a≠0)和二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象大致为( )A.B.C.D.8. 如图，正方形ABCD的顶点A、D在⊙O上，边BC与⊙O相切，若正方形ABCD的周长记为C1，⊙O的周长记为C2，则C1、C2的大小关系为( )A. C1>C2B. C1<C2C. C1=C2D. 无法判断二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 在直角坐标系中，点A(1,−2)关于原点对称的点的坐标是．10. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为______．11. 若二次函数y=(x−m)2−1.当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______ ．12. 将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是______．13. 若函数y=(a+1)x2−2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为______．14. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B(3,0)，则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是______．15. 当−2≤x≤1时，二次函数y=(x+m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为______．16. 如图，正方形内接于圆O，已知正方形的边长为2√2cm，则图中的阴影部分的面积是______ cm2(用π表示)．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17. 解下列方程(1)x2+x−1=0(2)x(x−2)+x−2=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。
2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级(上)期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.若点是反比例函数图象上一点，则此函数图象一定经过点()A. B. C. D.3.如图，将绕点O，按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是()A. B. C. D.4.如果将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是()A. B. C. D.5.在坡度的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离是6米，则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是()A.6米B.米C.13米D.米6.一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度米与经过的时间秒满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间秒是()A.1B.2C.5D.107.如图，正五边形ABCDE内接于，点F在上．若，则度数为()A. B. C. D.8.如图，点D是为钝角边BC上一点，若，，，，则的面积是()A. B.3 C. D.69.已知二次函数为常数，且，给出如下结论：①函数图象一定经过第二、三、四象限；②函数图象一定不经过第一象限；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小．其中所有正确．．．．结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④10.在中，，，点M是CB的中点，点P是CA上一点，AM与BP相交于点N，连接CN，若，则下列结论错误．．的是()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若，则__________.12.抛物线与y轴的交点坐标是__________.13.如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧AC为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，则的长为__________.14.如图，在中，，，，O，D分别为AB，BC的中点，E为边AC上动点，为直角三角形，点F在DE的上方，且，若点E与点C重合，则DF的长是__________；点E运动过程中OF的最小值为__________.三、计算题：本大题共1小题，共8分。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面内，的半径为3，若点P 在外，则OP 的长可能为( )A. 4B. 3C. 2D. 12.一元二次方程的根的情况是2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷( )A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根3.下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是( )A. 正方体集装箱的体积，棱长xmB. 高为14m 的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xmC. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D. 小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh ，距上海ykm 4.如图，D ，E 分别是的边AB ，AC 上的点，，，若的周长为6，则的周长等于( )A. 24B. 18C. 12D. 95.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为其中g 取值为小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s 后落地，则该建筑物的高度约为( )A. 98mB.C. 49mD. 6.平面直角坐标系内，已知点，，当时，若最大，则t 的值为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若，则为__________.8.点C是线段AB的黄金分割点，若，则__________9.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为__________.10.一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为__________11.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为__________.12.有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本正确的序号为__________.13.如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则OA长为__________.14.分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为__________15.如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上．已知小莉身高为，则灯杆AB的高度为__________16.中，，，点I是的内心，点O是的外心，则__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
2023-2024学年湖北省武汉市九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）A．一定是红球B．摸出红球的可能性最大C．不可能是黑球D．摸出黄球的可能性最小3．（3分）方程x2﹣6x﹣5＝0经过配方后，所得的方程是（）A．（x﹣6）2＝30B．（x﹣6）2＝41C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2＝14 4．（3分）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离5．（3分）已知x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b 的值分别是（）A．a＝3，b＝1B．a＝3，b＝﹣1C．a＝﹣，b＝﹣1D．a＝﹣，b＝16．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象大致是（）A．B．C．D．7．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 8．（3分）四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB＝1，∠AOB＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（）A．B．C．D．10．（3分）定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”．现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于原点对称点P′的坐标是．12．（3分）如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是．13．（3分）如图，直线EF与⊙O相切于点C，直线EO与⊙O相交于点D，连接CD．若∠DEF＝3∠D，则∠DCF的度数为．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A'BC'，则AC，，A'C'，CC'围成的面积（图中阴影部分面积）为．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个不相等的实数根；③；④当x＝﹣t2﹣2（t为常数）时，y＞c．其中正确结论的序号是．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E为CD边上一动点，以BE为边构造等边△BEF（点F位于AB下方），连接AF，则，①当CE＝BC时，∠BAF＝°；②点E在运动的过程中，AF的最小值为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）小明在解方程x2﹣5x＝﹣3的过程中出现了错误，其解答如下：解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，……第一步∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37，……第二步∴x＝，……第三步∴x1＝，x2＝．……第四步（1）问：小明的解答是从第步开始出错的；（2）请写出本题正确的解答．18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上．（1）求证：DA平分∠BDE；（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．19．（8分）小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中S1、S2、S3分别表示三个可开闭的开关，“⊗”表示小灯泡，“”表示电池．（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；（2）当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为F．（1）求证：BC＝DE；（2）若AC＝6，BF＝2，求AE的长．21．（8分）如图，在7×6的网格中，A，B，C三点均为格点（点A，B，C均在圆上）．请仅用无刻度的直尺作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．（1）在图1中，画的中点D，再作△ABC的高BE；（2）在图2中，在上画点G，使BG∥AC，再在AC上画点F，使．22．（10分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了了解制造车间某型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，得出汽车A刹车后刹车距离y（单位：m）与刹车时的速度x（单位：m/s）满足二次函数y＝0.08x2+bx+c．测得部分数据如下表：刹车时车速（m/s）0510152025刹车距离（m）0 6.51731.55072.5（1）求刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式（不必写自变量的取值范围）；（2）有一辆该型号汽车A在公路上（限进100km/h）发生了交通事故，现场测得刹车距离为99m，请问司机是否因为超速行驶导致了交通事故？请说明理由；（3）制造车间生产另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：m/s）满足：y＝0.12x2+βx，若刹车时车速满足在10≤x≤20范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求β的取值范围．23．（10分）在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB'，将AC绕点A逆时针旋转β至AC'（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB'C'，使∠BAC+∠B'AC'＝180°，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．（1）当△ABC为等边三角形时，画图研究△ABC的“旋补中线”AD与BC的数量关系是；（2）如图，当△ABC为任意三角形时，（1）中的结论是否成立？并给予证明；（3）若AB＝AC＝4，BC＝6，求△ABC的“旋补三角形”的周长．24．（12分）如图1，抛物线经过点（3，1），与y轴交于点B（0，5），直线与抛物线交于P，Q两点，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一点，过点E作EF∥y轴交直线PQ于点F，连接BE，当BE＝DF 时，求点E的坐标；（3）如图2，C为平面内一点，直线CQ，CP分别交抛物线于另一点M，N，连接MN，若MN∥PQ，求点C的横坐标．2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【解答】解：选项B、C、D均能找到一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故不符合题意；选项A不能找到一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故符合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．2．【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案．【解答】解：由题意可得，摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，故选：B．【点评】本题考查概率定义及树状图法求概率，解题的关键是正确理解概率的定义．3．【分析】先把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0，∴x2﹣6x＝5，∴x2﹣6x+9＝5+9，∴（x﹣3）2＝14．故选：D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．【分析】由已知点（﹣3，4）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x轴相离，与y轴相切，故选：A．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．5．【分析】利用根与系数的关系，构建方程求解即可．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，∴x1+x2＝﹣2a，x1•x2＝b．又∵x1+x2＝3，x1x2＝1，∴﹣2a＝3，b＝1，∴a＝﹣，b＝1．故选：D．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．6．【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及顶点位置逐一判断可得．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），由a＝﹣1＜0知抛物线的开口向下，故选项B正确．故选：B．【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．7．【分析】先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．【解答】解：二次函数y＝ax2+4ax+a（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，∴y2＜y1＜y3．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．8．【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．【解答】解：树状图如图所示，一共有12种等可能性，其中王明选中的卡片中有偶数的可能性有10种可能性，故王明选中的卡片中有偶数的概率为：＝，故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．9．【分析】首先求出点B的坐标，探究规律利用规律解决问题．【解答】解：在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，∠AOB＝30°，∴OA＝AB＝，∴B（，1），第一次旋转B1（1，﹣），第二次旋转B2（﹣，﹣1），第三次旋转B3（﹣1，），四次一个循环，2023÷4＝505……3，∴第2023次旋转结束时，点B的坐标为（﹣1，），故选：D．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．10．【分析】当等弦圆O最大时，则⊙O经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB 于F，连接OE，DK，再证明DK经过圆心，CF⊥AB，分别求解AC，BC，CF，设⊙O 的半径为r，再分别表示EF、OF，OE，再利用勾股定理求解半径r即可．【解答】解：如图，当等弦圆O最大时，则⊙O经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，∵CD＝CK＝EQ，∠ACB＝90°，∴∠COD＝∠COK＝90°，DK过圆心O，CF⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝2．∴，设⊙O的半径为r，∴，∵CF⊥AB，∴r，∴，整理得：r2﹣4r+2＝0，解得，∵OC＜CF，∴r＝2+不符合题意，舍去，∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为．故选：B．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：点P（3，﹣4）关于原点对称点P′的坐标是（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．12．【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．【解答】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是，故答案为：．【点评】本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法，是解题的关键．13．【分析】连接OC，如图，先利用切线的性质得到∠OCE＝90°，则根据三角形内角和得到∠E+∠EOC＝90°，再根据圆周角定理得到∠EOC＝2∠D，加上∠E＝3∠D，所以3∠D+2∠D＝90°，从而可求出∠D的度数，然后利用三角形外角性质可计算出∠DCF 的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵直线EF与⊙O相切于点C，∴OC⊥EF，∴∠OCE＝90°，∴∠E+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝2∠D，∠E＝3∠D，∴3∠D+2∠D＝90°，解得∠D＝18°，∴∠E＝54°，∴∠DCF＝∠D+∠E＝18°+54°＝72°．故答案为：72°．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．14．【分析】将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A'BC'，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S扇形CBC′﹣S△ABC＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，可得出阴影部分面积．【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，∴AC 2＝AB 2﹣BC 2，∵将△ABC 绕点B 逆时针旋转30°得到△A 'BC '，∴△ABC ≌△A ′BC ′，∴∠ABA ′＝30°＝∠CBC ′，∴S 阴影＝S 扇形ABA ′+S △A ′BC ′﹣S 扇形CBC ′﹣S △ABC＝S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′＝﹣＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．15．【分析】根据点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上，可求出抛物线的对称轴，根据点A 的坐标即可求出点B 坐标，可以判断①选项；根据图象可知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y ＝2有两个交点，可以判断②选项；将A ，B 点坐标代入抛物线解析式，可得，再根据a ＞0，即可判断③选项；根据对称性可知当x ＝﹣2时和x ＝0时函数值相等都是c ，即可判断④选项．【解答】解：∵点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上，∴该抛物线的对称轴为：x ＝＝﹣1，∵A （﹣3，0），∴B （1，0），故①选项符合题意；∵图象开口向上，与x 轴交于A ，B 两点，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y ＝2有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根，故②选项符合题意；将A，B点坐标代入抛物线解析式，得，得，∴a+c＝a﹣3a＝﹣a，∵a＞0，∴﹣a＜0，即a+c＜0，故③选项符合题意；∵x＝﹣t2﹣2≤﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣2时和x＝0时函数值相等，当x＝0时，y＝c，∴当x＝﹣2时，y＝c，∴当x＝﹣t2﹣2时，y≥c，故④选项不符合题意；故答案为：①②③．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16．【分析】①连接AC、BD交于O，连接OF，根据已知可得△BOC是等边三角形，再证明△BOF≌BOE，BOE是等要直角三角形得∠ABE＝45°，利用面积法证明AF∥BE，进而得结论；②在①中所得结论的基础上，结合其他条件，可得AF⊥OF时有最小值，即可得结论．【解答】解：①如图所示，连接AC、BD交于O，连接OF，AE，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，AC＝BD＝2OA＝2OB＝2OC＝2OD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AC＝＝4，∴OC＝OB＝OA＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△BOC是等边三角形，∠OBC＝∠COB＝60°，∴∠AOB＝120°，.∵△EFB是等边三角形，∴∠EBF＝60°，EB＝FB，∴∠EBC＝∠FBO，∴△EBC≌△FBO（SAS），∴∠BOF＝∠BEC＝90°，∴∠AOF＝30°；当CE＝BC＝2时，则BE＝＝2，∠CBE＝∠CEB＝45°，＝BE2＝6，∠ABE＝45°，∴S△BEF＝，又∵S△ABE＝S△BEF，∴S△ABE∴AF∥BE，∴∠BAF＝∠ABE＝45°，故答案为：45°；②由①知△EBC≌△FBO，∴∠C＝∠BOF，∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝30°，＝S△BEF，∵S△ABE∴AF∥BE，当点F在直线OF上运动（直线OF与OA的夹角为30°），∴当AF⊥OF时，AF有最小值，此时AF＝OA＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定与性质定理，面积法的应用是关键，理解题意掌握方法更是关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．【分析】（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到a＝1，b＝﹣5，c＝3，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）小明的解答是从第一步开始出错的；故答案为：一；（2）方程化为一般式为x2﹣5x+3＝0，a＝1，b＝﹣5，c＝3，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．18．【分析】（1）根据旋转的性质可得：∠1＝∠B，AD＝AB，然后利用等边对等角可得∠2＝∠B，从而可得∠1＝∠2，即可解答；（2）设AC与DE交于点O，根据旋转的性质可得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，再根据垂直定义可得∠AOE＝90°，从而可得∠C＝∠E＝90°﹣α，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠2＝∠B＝90°﹣α，再根据三角形的外角性质可得∠4＝∠B+∠C，从而可得α＝90°﹣α+90°﹣α，最后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：如图：由旋转得：∠1＝∠B，AD＝AB，∴∠2＝∠B，∴∠1＝∠2，∴DA平分∠EDB；（2）解：如图，设AC与DE交于点O，由旋转得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，∵AC⊥DE，∴∠AOE＝90°，∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，∵AB＝AD，∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，∵∠4是△ABC的一个外角，∴∠4＝∠B+∠C，∴α＝90°﹣α+90°﹣α，解得：α＝72°，∴旋转角α的度数为72°．【点评】本题考查了旋转的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．19．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）当开关S1闭合时，再随机闭合开关S2或S3其中一个，小灯泡发光的概率为；（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有4种，∴小灯泡发光的概率为＝．【点评】本题考查了用树形图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】（1）由垂径定理可得弧DE与弧DB的数量关系，结合已知可得弧BC与弧DB 的数量关系，从而得到弧BC与弧DE相等，进而得到对应的弦相等；（2）连接OD，由已知可得OD⊥CB，再由∠ACB是直角可得OD∥AC，进一步得到∠CAB＝∠DOF，进而可以得到∴△ACB∽△OFD，利用相似三角形的性质可得到OF的长，进而得到半径的长度，在△DOF中利用勾股定理求出DF的长，进而得到EF的长，再利用△AEF即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵弦DE⊥AB，AB为⊙O的直径，∴，∵D是的中点，∴，∴，∴BC＝DE．（2）解：连接OD交CB于点H，∵DE⊥AB，∴∠OFD＝90°，DF＝EF，∵D是的中点，∴OD⊥BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAB＝∠DOF，又∵∠ACB＝∠DFO＝90°，∴△ACB∽△OFD，∴∴OF＝AC＝3，∴OD＝OA＝OB＝OF+FB＝3+2＝5，∴，∴EF＝4，∴．故答案为：．【点评】此题主要考查的是垂径定理以及相似在圆中的综合运用，解决此题的关键是正确作出辅助线，利用相似求出半径．21．【分析】（1）利用网格特征作出AB的中点Q，连接CQ，延长CQ交△ABC的外接圆于点D，取格点T，连接BT交AC于点E，点D，点E即为所求；（2）取网格线的中点H，连接BH，延长BH交⊙O于点G（可以证明△BRH∽△CWA，推出∠RBH＝∠ACW，可得BG∥AC，利用网格特征作出线段AC的垂直平分线交网格线一点K，连接CK交⊙O于点F，连接AF，点G，点F即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点D，线段BE即为所求；（2）如图2中，点G，点F即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是善于利用网格特征解决问题．22．【分析】（1）把（0，0），（5，6.5）代入y＝0.08x2+bx+c可得刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为y＝0.08x2+0.9x；（2）结合（1）令y＝99得：x＝30或x＝﹣（舍去），根据30m/s＝108km/h＞100km/h，即可得到答案；（3）由题意得，可解得答案．【解答】解：（1）把（0，0），（5，6.5）代入y＝0.08x2+bx+c得：，∴刹车距离关于刹车时的速度的函数表达式为y＝0.08x2+0.9x；（2）该司机是因为超速行驶导致了交通事故，理由如下：在y＝0.08x2+0.9x中，令y＝99得：99＝0.08x2+0.9x，∵30m/s＝108km/h＞100km/h，∴该司机是因为超速行驶导致了交通事故；（3）∵0.12＞0.08，汽车B刹车距离的函数图象更靠近y轴，由题意得，解得：≤β≤．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数解析式．23．【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC＝AB'＝AC'，∠BAC ＝60°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BC＝2AD；（2）由“SAS”可证△BAC≌△AB′E，可得BC＝AE＝2AD；（3）通过证明平行四边形AC'EB'是菱形，可得B'C'⊥AE，B'D＝C'D，由勾股定理可求B'C'的长，即可求解．【解答】解：（1）由旋转可得：AB＝AB'，AC＝AC'，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝AB'＝AC'，∠BAC＝60°，∵∠BAC+∠B'AC'＝180°，∴∠B'AC'＝120°，∵AB'＝AC'，AD是B'C'上中线，∴∠B'＝∠C'＝30°，AD⊥B'C'，B'D＝C'D，∴AB'＝2AD，∴BC＝2AD，故答案为：BC＝2AD；（2）结论仍然成立，理由如下：延长AD至E，使DE＝AD，连接B'E，C'E，∵AD是中线，∴B'D＝C'D，∴四边形AC'EB'是平行四边形，∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠BAC＝∠AB′E，∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，在△BAC和△AB′E中，，∴△BAC≌△AB′E（SAS），∴BC＝AE，∵AE＝2AD，∴BC＝2AD；（3）∵BC＝6，∴AD＝3，∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，∴平行四边形AC'EB'是菱形，∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，∴B'D＝＝＝，∴B'C'＝2，∴△ABC的“旋补三角形”的周长＝B'C'+AB'+AC'＝8+2．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设E（t，﹣t2+t+5），则F（t，t﹣4），利用两点间距离公式分别求出BE、DF，从而建立方程求出t的值即可求E点坐标；（3）设直线MN的解析式为y＝x+m，当x﹣4＝﹣x2+x+5时，x P+x Q＝1，当x+m＝﹣x2+x+5时，x M+x N＝1，可知线段PQ与线段MN的中点的连线与y轴平行，再由△CMN∽△CQP，可知两个三角形的中线经过点C，从而得到C点的横坐标为．【解答】解：（1）将点（3，1）和点B（0，5）代入抛物线，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）设E（t，﹣t2+t+5），∵EF∥y轴，∴F（t，t﹣4），∴BE＝，DF＝，∵BE＝DF，∴＝，解得t＝0（舍）或t＝1或t＝，∴E点坐标为（1，）或（，）；（3）∵MN∥PQ，设直线MN的解析式为y＝x+m，当x﹣4＝﹣x2+x+5时，x P+x Q＝1，当x+m＝﹣x2+x+5时，x M+x N＝1，∴线段PQ与线段MN的中点的连线与y轴平行，∵MN∥PQ，∴△CMN∽△CQP，∴两个三角形的中线经过点C，∴C点的横坐标为．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形相似的性质，两点间距离公式是解题的关键。
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九年级上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，选出你认为正确的答案代号，填入题后的括号内．1．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限 B．第一，三象限 C．第三，四象限 D．第二，四象限2．下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（）A．y=x B．y=2x﹣1 C．y=D．y=x23．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中，是真命题的是（）A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似6．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：17．计算cos45°值（）A．B．C．D．8．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°9．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD=40°，则∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．90°10．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情况均有可能二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．11．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．13．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=cm．14．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=．三、解答题：本题共2小题，每小题6分，共12分．15．直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．求m、n的值及y=的表达式．16．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．四、解答题：本题共2小题，每小题6分，共12分．17．如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）18．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，链接AC，AD，延长AD交BM地点E．（1）求证：△ACD是等边三角形．（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．五、解答题：10分．19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．六、解答题：10分．20．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？七、解答题：10分．21．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，A T=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．安徽省淮北市濉溪县2016届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，选出你认为正确的答案代号，填入题后的括号内．1．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限 B．第一，三象限 C．第三，四象限 D．第二，四象限【考点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．【解答】解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限．2．下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（）A．y=x B．y=2x﹣1 C．y=D．y=x2【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别利用一次函数以及二次函数和反比例函数的性质分析得出即可．【解答】解：A、y=x，y随x的增大而增大，故A选项错误；B、y=2x﹣1，y随x的增大而增大，故B选项错误；C、y=，当x＞0时，y值随x值的增大而减小，此C选项正确；D、y=x2，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，此D选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、正比例函数以及反比例函数的性质等知识，熟练应用函数的性质是解题关键．3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴=，∴EF=2BC=2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比．5．下列命题中，是真命题的是（）A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似【考点】命题与定理；相似三角形的判定．【分析】利用相似三角形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误；B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确；C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误；D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理及相似三角形的判定的知识，解题的关键是了解相似三角形的判定定理，难度不大．6．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．7．计算cos45°值（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°=．故选C．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单．8．已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°【考点】圆周角定理．【专题】探究型．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=45°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD=40°，则∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．90°【考点】圆周角定理．【分析】要求∠ABD，即可求∠C，因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，又∠C=40°，故∠ABD 可求．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；又∵∠DAB=∠DCB=40°（同弧所对的圆周角相等）∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣40°=50°．故选B．【点评】本题利用了圆周角定理和直径对的圆周角是直角求解．10．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情况均有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可．【解答】解：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．11．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b 大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．故答案为：四．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为5．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=×10=5cm．故答案为：5．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．13．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=8cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC=AB=12cm．由半径相等，得OA=OD=13cm．由勾股定理，得OC===5．由线段的和差，得CD=OD﹣OC=13﹣5=8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．14．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB=3．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答．【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC=2，AD=1，∴，解得DB=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．三、解答题：本题共2小题，每小题6分，共12分．15．直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．求m、n的值及y=的表达式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；【解答】解：把x=﹣1，y=2；x=2，y=b代入y=，解得：k=﹣2，b=﹣1；把x=﹣1，y=2；x=2，y=﹣1代入y=mx+n，解得：m=﹣1，n=1；∴y=的表达式为：y=﹣．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．16．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．四、解答题：本题共2小题，每小题6分，共12分．17．如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】由ED与BC都和AC垂直，得到ED与BC平行，得到三角形AED与三角形ABC相似，由相似得比例，在直角三角形AED中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形BDC 中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．【解答】解：∵ED⊥AC，BC⊥AC，∴ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴=，在Rt△AED中，DE=12米，∠A=22°，∴tan22°=，即AD==30米，在Rt△BDC中，tan∠BDC=，即tan38.5°==0.8①，∵tan22°===0.4②，联立①②得：BC=24米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，链接AC，AD，延长AD交BM地点E．（1）求证：△ACD是等边三角形．（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到=，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证得；（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+r，BE=AE=，在R t△DEF与R t△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴AB⊥CD，∴=，∴AD=AC，∵DA=DC，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=2+r，BE=AE=，在R t△NEO与R t△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（）2+（2+）2=r2+（）2，∴r=2，∴OE2=（）2+25=28，∴OE=2．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．五、解答题：10分．19．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE；（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，以求得AC⊥BD，由垂径定理即可证得CD=CB．【解答】证明：（1）如图，∵∠A与∠B是对的圆周角，∴∠A=∠B，又∵∠1=∠2，∴△ADE∽△BCE；（2）如图，∵AD2=AE•AC，∴，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠AED=∠ADC，又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，即∠AED=90°，∴直径AC⊥BD，∴=，∴CD=CB．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．六、解答题：10分．20．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）S=y（x﹣40）=（x﹣40）（﹣10x+1200）=﹣10x2+1600x﹣48000；（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．【点评】此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．七、解答题：10分．21．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，A T=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．【考点】切线的判定；解直角三角形．【专题】证明题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；（2）作CD⊥AT于D，设OA=x，则AT=2x，根据勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出==，即==，从而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函数即可求得．【解答】解：（1）∵∠ABT=45°，A T=AB．∴∠TAB=90°，∴TA⊥AB，∴AT是⊙O的切线；（2）作CD⊥AT于D，∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，设OA=x，则AT=2x，∴OT=x，∴TC=（﹣1）x，∵CD⊥AT，TA⊥AB∴CD∥AB，∴==，即==，∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，∴tan∠TAC===．【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．。