自主招生华约2010数学AAA测试试题
华约AAA测试2010-2014数学和物理试题及解答
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 3。
缺 4。
缺5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tantan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14（C ）12（D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF垂直BC 于F ，OH 与AF相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)ax f x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 10．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
华约AAA测试数学复习资料(上海交大自主招生)
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2、有空就拿高考卷出来做 对于整套的高考卷，一套一套做，肯定是帮助巨大的（无论是高考还是自主招生） ，但是在这个过程中，如果将之分 开做，将起不到卷子原来的效果。 只有在紧张的环境下，促使自己在一定的时间内完成高考的数学卷子，才是对卷子充分利用的最最有效的方法。 但是，对于有些要拿一摸、二模卷作为暑假作业的同学，不整套做问题也不是太大，希望在做完这些题目后，可以 找外省市的高考卷，或是历年的一摸、二模卷继续做，而且最好是成套的做，对数学提高是很快的（网上有下载各省市 高考题以及其答案）
二、真题详解例举：
例题精讲一：
1 sin x sin y 3 cos x cos y 1 x, y 满足 5 ，求 cos( x y) 与 sin( x y) 的值。 【2013】已知
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【解析】 这是一道三角函数的成题， 其中大部分学生通过运算都能做出来 cos( x y) 的值， 而 sin( x y)
的值需要通过合理的四则运算、再结合通过计算
tan
x y 2 的值，来获得 sin( x y) 的值。这实际上是一道
基于高考知识的题目，灵活得使用三角公式，是对一个将要进入优秀大学的高中生的基本要求。
例题精讲二： 【2013】设数列
2 {an } 满足 an1 an c an ... 2 , 1 ， （n
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例题精讲四： 【2013】设 的值。
x, y, z 是三个两两不等且都大于 1 的正整数. 若 xyz 整除 ( xy 1)( yz 1)( xz 1) ，求 {x, y, z} 所有可能
【解析】这道题和复旦大学千分考 2011 年的 115 题的想法完全相同，只是在细节处理上繁琐一些。 如果初次在考场上遇到这样的数论的题目， “感觉”很重要。
2010年自主招生考试样题_数学
数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4的算术平方根是 ( )A ．±2B ．2C ．2D ．±2．旱魃肆虐，河流干涸，大地荒芜，近期西南旱情时时牵动着人们的心，截至3月30日，兰州市三县五区受旱农田面积已经达到176.81万亩，将176.81万亩用科学记数法表示为（ ）A ．176.81×104亩B ．1.77×106亩C ．1.7681×104亩D ．1.7681×106亩 3．从小明、小凡、小丽、小红四人中用抽签的方式，选取两人为上海世博会的志愿者，那么能选中小明、小丽两人同时为上海世博会志愿者的概率为 （ ）A ．14B ．112C ．12D ．164．某物体的三个视图如图所示，该物体的直观图是 （ ） 5．如图4，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转300，得到正方形A ＇B ＇C ＇D ＇，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．12 B ． C ．1- D ．1- 6．据报道，在4月22日世界地球日来临之际，世界各地呼吁人们关注地球，热爱地球，珍爱生命，创建和谐世界大型庆祝活动中，四个大城市参加庆祝活动人数统计如下表：A ．27，28B ．27.5，28C ．28，27D ．26.5，27A ．B ．C ．D ． A 第5题图7．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 ( ) A ．S=2 B ．S=2.4 C ．S=4 D ．S 与BE 长度有关8．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成２个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第二次操作，又可将这个长方形分成２个更小的正方形……重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，猜想n n )21()21()21()21(21132+++++- 的值等于（ ） A ．1 B ．n)21(C .1)21(1--nD ．n)21(1-9．如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A开始沿A B CD 的路径匀速前进到D 为止。
华约自主招生2010数学
2010年清华大学等五校合作自主选拔通用基础测试数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分） 1、设复数其中为实数，若的实部为，则的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】复数的基本概念和运算．基础题．【解析】 A ．∴的实部为虚部为．2、设向量满足则的最小值为（ ）A ．2BC ．D【分析】向量的模长与数量积．基础题．【解析】 D ．，∴，当时取到等号．3、如果平面直线点满足：且与所成的角为与所成的角为那么与所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】异面直线所成角．本题用常规的作平行线的方法的话不容易求，由已知条件作出与所成的角后，注意到与垂直，转化为求与所成的角，问题会比较简单． 【解析】 B ．如图，设在内的射影为，则．作于，则． 由三垂线定理，．2i 1i a w +æö=ç÷+èø，a w 2w 32-12-1232()()()()22i 1i 11i 44a a a w +-++-éùéùëûëû==w()()221124a a a +--==()()221113422a a a +--==-,ab !!1a b a b m ==×=!!!!，，()a tb t +ÎR !!1()222222221211a tb a tb ta b t mt t m m m +=++×=++=++--!!!!!!≥a tb +!!≥t m =-a b ，，m n ，，A B ，m n A m B n a b a b ÌÌÎÎ∥，，，，，ABa π4n AB m ⊥，，AB π3，m n π3π4π6π8AB a BAH Ðn AH AH m B a H π4BAH Ð=BC m ^C π3BAC Ð=AC CH ^设，则，． 又，所以面，所以． 于是与所成的角为．4、在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ） A ． B ． C ．D ．【分析】割补法求体积． 【解析】 C ．设四棱锥的体积为，则，，，∴．5、在中，三边长满足则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】正弦定理与三角恒等变换．先将已知条件的边的关系转化为角的等式，再利用三角公式把所有的角都转成，最后化简就可以得出结果． 【解析】 C ．H Cβαnm BA1AB =12AC =AH =π4CAH Ð=n AB n BH ^^，n ^ABH n AH ^m n π4P ABCD -11B D ，PB PD ，11AB CD P ABCD -1:61:51:41:3B 1D 1DCBAPP ABCD -V 112B ABC P ABC V V --=112D ACD P ACD V V --=1114P B D C C PBD V V --=1114P B D A A PBD V V --=11111244A B D C V V V V V -=--=ABC △a b c ，，3a c b +=，tan tan 22A C1514122322A C，3a c b +=sin sin 3sin A C B Þ+=2sincos 6sin cos 2222A C A CB B+-Þ=．【总结】和差化积公式作为三角恒等变换的重要公式，需要熟记．和差化积公式：6、如图的两条高线交于其外接圆圆心为过作垂直于与相交于则与面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】相似三角形的面积比．如果学过平面几何的竞赛知识的话，知道是的欧拉线，马上可以得出是的重心，，结论也就很显然了．如果没学过欧拉线的相关知识的话，纯粹的平面几何方法相对难想，可以考虑用三角结合平面几何求解与的比例关系． 【解析】 A由，可得，又是的欧拉线，所以 另解：中，由正弦定理，有（为的半径），所以．又，所以，于是所求比值为．7、设过点且平行于轴的直线与曲线的交点为曲线过点的切线交轴于点则的面积的最小值是（ ） A ．1BC ．D ．【分析】用导数求最值．cos3sin 22A C B -Þ=cos 3cos 22A C A C-+Þ=cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin 22222222A C A C A C A C Þ+=-4sin sin 2cos cos 2222A C A C Þ=1tan tan 222A C Þ=sin sin 2sin cos22a ba ba b +-+=sin sin 2cossin22a ba ba b +--=cos cos 2cos cos22a b a ba b +-+=cos cos 2sin sin22a b a ba b +--=-ABC △AD BE ，H ，O ，O OF BC F ，OH AF G ，OFG △GAH △FD BCO GH EA1:41:32:51:2OGH ABC △G ABC △12OG GH =AH OF OF AH ∥OGF HGA △△∽OGH ABC △12OG GH =ABH △2sin sin sin AH AB ABR ABH AHB C===ÐÐR ABC △2sin 2cos AH R ABH R A =Ð=cos OF R A =2AH OF =1:4()()e 0ax f x a =>，()0P a ，y ():C y f x =Q ，C Q x R ，PQR △e 22e 4【解析】 B由已知得，，切线方程为，令，解得．所以，于是．令，则，可得处取得最小值．因此．8、设双曲线椭圆，若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（ ） A ．B ．C ．D ．4【分析】圆锥曲线的参数．本题唯一的难点是准线的概念，其它的按常规来算就可以了．【解析】D． 将的一条准线（其中，解出，所以截线段长为．【总结】椭圆（）的准线方程有两条，为左准线，为右准线，其中．由椭圆的第二定义，椭圆上的点到左焦点的距离与到左准线的距离比为常数，等于椭圆的离心率．9、欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】组合最值．典型的竞赛题，因为三角形的个数为，如果不同的三角形使用不同的3色组合，则，即．如果刚好是的话，则种颜色应该是平等的，它们染的线段的条数应该一样，但顶点的连线数不是的倍数，这说明6种不行．然后尝试举出7种可行的例子．【解析】 B如果是种颜色的话，因为种颜色的色组合有种，而正六边形的顶点所形成的三角形共个，由题设，这些三角形的色组合都不同，所以种颜色所有的色组合都恰好出现一次．另一方面，个顶点的连线共条，因此存在一种颜色只有条，含有这种颜色的三角形只有个，但含有此种颜色的色组合却有种，这与色组合都出现一次矛盾，故种颜色不行．2(,e )a Q a ()e ax f x a ¢=22e e ()a a y a x a -=-0y =1x a a=-1,0R a a æö-ç÷èø2111||||e 22a PQR S PR PQ a =×=××△2e ()a g a a =221()2e a g a a æö¢=-ç÷èø()g a ()min12PQR S g ==△()2212:204x y C k a k a -=>>，，2222:14x y C a +=2C 1C 2C 1C 2C 2244a k =Þ=+2C 2a x c =c ==2224a y k c -=2y =±422221x y a b +=0a b >>2a x c =-2a x c=c =n n 36C 336C C n !6n ≥6626C 15=666336C 36C 363626C 15=2248´=325C 10=36染种颜色时，如图，各条线上的数字代表染的颜色，有种，剩下的条对角线染第种颜色，则满足要求．10、设定点是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的旋转，设表示变换的复合，先作，再作，则可以表示为（ ） A ． B ． C ． D ．【分析】空间想象力与代数变换．【解析】 D记四面体为，则，即、分别互换．而故可以表示为，选D ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11、 （本题满分14分）在中，已知，外接圆半径．⑴ 求角的大小；⑵ 求面积的最大值． 【分析】解三角形与均值不等式．基础题． 【解析】 ⑴ 解得或（舍去），于是．⑵ 由正弦定理，又，得．从而仅当时取到．∴面积的最大7637123456654321A B C D 、、、O s OA ()B C s =t OCD l AB CD w l 180°s t !t s w s t s t s !!!!s t s t s t !!!!!t s t s t !!!!s t s s t s !!!!!(),,,A B C D ()(),,,,,,A B C D B A D C w =,A B ,C D (),,,A B C D s t s s t s !!!!!()()(),,,,,,,,,A C D B B C D A C D B A s t s s t s t s s s t s ===!!!!!!!!!()()(),,,,,,,,,D B C A D A C B B A D C s t s ===!w s t s s t s !!!!!ABC △22sin cos 212A BC +-=2R =C ABC △22sin cos 212A BC +-=()()21cos 2cos 11A B C Û-+--=22cos cos 10C C Û--=1cos 2C =-cos 1C =2π3C =2sin c R C ==2222cos 22cos 3c a b ab C ab ab C ab =+--=≥243c ab =!1sin 2sin 2ABC S ab C C ==△≤2a b ==ABC △12、（本题满分14分）设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线．设到直线直线的距离分别为已知．⑴ 判断是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； ⑵ 若的面积为240，求点的坐标及直线的方程．【分析】圆锥曲线问题．第一问是探索性问题，由已知的等式强算的话，是不可行的．需要有一定的联想和猜测能力，由结论反推，很多条件就会豁然开朗，解答也就顺理成章了．如果第一问解决了，第二问会比较简单．【解析】 ⑴ 设、、、，则切线方程为，∴切线斜率为，于是．，于是、因此，．从而．又，∴，∴为直角三角形． ⑵ 由⑴，，．∴，解得，于是点的坐标为，进而容易算得对应的方程为．【总结】对于隐藏一些中间结论，需要一定的观察和联想力的解析几何题，除了平时的扎实基础外，丰富的经验也是不可或缺的．看看下面这道题：已知抛物线上的三个点，抛物线在三点上的切线两两相交，交点分别为，求证：．13、 （本小题满分14分）⑴ 正三棱锥的体积求正三棱锥的表面积的最小值； ⑵正四棱锥的体积求正四棱锥的表面积的最小值； A B CD ，，，24x y =A D ，BC D l D AB ，AC 12d d ，，12d d AD +=ABC △ABC △A BC ()00,A x y -()00,D x y ()11,B x y ()22,C x y ()002x x y y =+02x 02BCxk=2020204AC y y x x k x x --==+104AB x x k -=234BC x x k +=230204AC AB x x x k k +-+==AC AB k k =-12d d =12d d +=45BAD CAD Ð=Ð=°ABC △1AC k =1AB k =-204x x -=104x x -=-))()()201000142422ABC S AC AB x x x x x x =×=++=+-+△240=08x =±A ()8,16±BC 412y x =±-24x y =A B C ，，A B C ，，D E F ，，2ABC DEF S S =△△V =V =⑶ 一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值．【分析】立体几何最值．设出参数，表面积的表达式都很好表达，就是计算有点复杂，由求导求最小值，也可以用均值不等式，但不太好凑．【解析】 设底面中心到底面的边的距离为，底面积为，正棱锥的高为，体积为，表面积为，则． 对于底面的正边形，有，可得．于是，由，可得． 设，则 ，令，求导，得． 令，解得．当时，；当时，，所以（）在时取到最小值，最小值是，故时，侧面与底面所成的角的大小为而且． 对于第⑴问，，，所以正四棱锥表面积的最小值为． 对于第⑵问，，所以正四棱锥表面积的最小值为．对于第⑶问，当正棱锥的体积为定值时，正棱锥的表面积取得最小值的一个充要条件是棱锥侧面与底面的夹角大小为14、（本小题满分14分）假定亲本总体中三种基因型式：的比例为 且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例；n V n n d d S h V S d VS h3=n πtan d d d n S n 1æö2×=ç÷2èøπtan d S d n n 2=πtan dd d d S S S d n S S n d æ2æö=2×=+=1+çç÷çèøèπtan d V S d n h n 23==223223ππtan 9tan d V d S d n V n h n n h æöæöæö==ç÷ç÷ç÷èøèøèø2d x h æö=ç÷èøππtan tan d d S S V n V n x n h n 33323322ææææö=1+=91+=9×1+çççç÷çççèøèèè()32π9tan 1f x V n x n æ=×+ççè())2π9tan 21f x V n x n ¢=-()0f x ¢=18x =108x <<()0f x ¢<18x >()0f x ¢>()f x 3S 18x =2π72tan V n n S 18x =hd=arctan 4d S S =3V n ===4V n ==4=4n n arctan AA Aa aa ，，:2:(0002u v w u v w u v >>>+，，，1)w +=⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．【分析】统计问题. 【解析】 ⑴ 列表如下：∴⑵ 记，，则．⑴中比例为．因此子二代的比例为．于是子二代与子一代的比例相同．15、（本小题满分14分） 设函数且存在函数满足． ⑴ 证明：存在函数满足； ⑵ 设证明：． 【分析】函数、数列与不等式综合．对于数列的分式型递推，通常用不动点法求通项公式． 【解析】 ⑴ ， ∴ 即． 上式对一切恒成立，对比系数必有，， ∴，． 又，． 由 对比系数，有，，∴存在函数． ⑵ 用不动点法，求得，∴ AA AA +AA Aa +AA aa +Aa AA +Aa Aa +Aa aa +aa AA +aa Aa +aa aa +AA 2u uv 0uv 2v 0000Aa 0uv uw uv 22v vw wu wv 0aa 00002v vw 0wv 2w ()()()22222::2:2222:2AA Aa aa u uv v uv uw vw v v w vw =+++++++()()()()22:2:u v u v v w v w =++++u v x +=v w y +=1x y +=22:2:x xy y ()()()()222222:2:xxy x xy xy y xy y ++++22:2:x xy y =()1x m f x x +=+，()102s t at b t a f æö==+>¹ç÷èø，，2121t s f t s -+æö=ç÷èø()()0t s cs d s f ==+>，2121s t f s t +-æö=ç÷èø()11312n n x x f x n +===!，，，，，1123n n x --!()212121212121311t mm t t t mt t f t t t t t t-++---+æö===ç÷--+-èø+()2121221at b s at b s at b at b +++++==++()2122131m t at b t at b+-++=-+()()()()2131221m t at b t at b Þ+-+=-++éùëû()()()()2222663221m at bm b a t b at b a t b +++--=++--+12t >4m =3a =1b =-()41x f x x +=+()31s t t j ==-12421161213121s s s f f s s s s++++æöæö=+==ç÷ç÷+èøèø++()2121cs d t t cs d +--=+221cs d cs d +-=+()()22612216666322131s cs d cs d c s d cs d c s d s cs d++-=Þ+++=+-++-++3c =1d =()31s s y =+()12531n n n x x -+=×--()114123531n n n x ---=×--!（∵当为奇数时，当为偶数时，）【总结】对于型如的递推数列，求通项公式的方法：令，解得的两个根，这两个根叫做数列的不动点． 当时，是等比数列；当时，由，两边取倒数，令，可得到关于的一阶递推式，求出的通项公式就可得到的通项公式．1n -()11153115343n n n ---×--=+×>×1n -()11153153143n n n ---×--=×-×≥1n n n ax bx cx d++=+ax bx cx d+=+x a b ，a b ¹n n x x a b ìü-íý-îþa b =1n n n ax b x cx d a a ++-=-+1n n y x a =-n y n y n x。
2010-2013华约试题及答案(精校版+完整版)
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
2010年湖北省武汉市洪山区华师一附中自主招生考试数学试卷及参考答案
2010年湖北省武汉市洪山区华师一附中自主招生考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1．（4分）若关于x的方程的解为正数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A．1.6B．2.5C．3D．3.43．（4分）如图，将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向无滑动翻滚，可依次得到矩形A1B1C1D，矩形A2B2C1D1，矩形A3B2C2D2，…，若AB＝1，BC＝2，那么AA16的长为（）A．12B．36C．24D．184．（4分）函数y＝x2﹣（4a+1）x+3a2+3a的图象与x轴交于A、B两点，若两点间的距离等于2，则a的值为（）A．B．C．D．5．（4分）如图，A、B是曲线y＝上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴＝1，则S1+S2＝（）影A．3B．4C．5D．66．（4分）如图，已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，则∠OAD为（）A．32°B．26°C．28°D．34°二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分）7．（6分）口袋中有4个相同的小球，它们分别写有数字2、3、4、5，从口袋中随机的取出两个球，用所得的两个数a和b构成函数y＝ax﹣2和y＝x+b，则使这两个函数的交点在直线x＝2右侧的概率等于．8．（6分）一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为cm2．9．（6分）已知点P1（x1，2010），P2（x2，2010）是二次函数y＝ax2+bx+7（a≠0）图形上两点，则二次函数当x＝x1+x2时的值为．三、解答题（共4小题，共58分）10．（12分）已知9a2+6ab+b2＝0，求的值．11．（15分）已知等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP 至D，使BD＝AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图1，且圆O的直径为10cm，求CD的长；（2）若AP不过圆心O，如图2，PC＝3cm，求PD的长．12．（15分）甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模（总产量）进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：（1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；（2）第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模（即总产量）比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由；（3）哪一年（取整数）的规模（即总产量）最大？请说明理由．13．（16分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数图象与y轴交于点C（0，8），与x 轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1＜x2），且4a+2b+c＝0，S△ABC＝32．（1）求二次函数的解析式；（2）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF ∥AC交BC于点F，连CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围并求面积S的最大值．2010年湖北省武汉市洪山区华师一附中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1．【解答】解：去分母得：1﹣2a＝2（2x﹣1），去括号得：1﹣2a＝4x﹣2，移项，合并得：4x＝3﹣2a，系数化1，得：x＝，∵关于x的方程的解为正数，∴＞0，且≠，解得：a＜且a≠．故选：C．2．【解答】解：连接EC，由矩形的性质可得AO＝CO，又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC＝AE，设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝5﹣x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2＝DE2+DC2，即x2＝（5﹣x）2+32，解得x＝3.4．故选：D．3．【解答】解：∵AB＝1，BC＝2，∴AA3＝2+1+2+1＝6，∵16÷4＝4，∴AA16＝6×6＝36．故选：B．4．【解答】解：设A（m，0），B（n，0），根据根与系数的关系，得m+n＝4a+1，mn＝3a2+3a，又|m﹣n|＝2，则（m+n）2﹣4mn＝4，即（4a+1）2﹣4×（3a2+3a）＝4，解得：a＝或﹣．故选：C．5．【解答】解：∵A、B是曲线y＝上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，∴S矩形ACOD＝S矩形BEOF＝3，又∵S阴影＝1，∴S1＝S2＝3﹣1＝2，∴S1+S2＝4．故选：B．6．【解答】解：连接OB，∵∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝76°，∴∠AOB＝2∠C＝152°，∵OA＝OB，AD为BC上的高，∴∠OAB＝∠OBA＝＝14°，∠CAD＝90°﹣∠C＝14°，∴∠OAD＝∠CAB﹣∠OAB﹣∠CAD＝60°﹣14°﹣14°＝32°．故选：A．二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分）7．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，使这两个函数的交点在直线x＝2右侧的（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共6种情况，∴使这两个函数的交点在直线x＝2右侧的概率为：＝．故答案为：．8．【解答】解：如图，小圆不能达到的是每个顶点出的六小块，每小块的面积是2 S△OAM﹣S圆O＝×1﹣π＝．故六小块的面积的和是2﹣π．故答案是：2﹣π．9．【解答】解：把点P1（x1，2010），P2（x2，2010）代入y＝ax2+bx+7（a≠0）得ax12+bx1+7＝2010①，ax22+bx2+7＝2010②，①﹣②得ax12﹣ax22+bx1﹣bx2＝0，∴[a（x1+x2）+b]（x1﹣x2）＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，把x＝﹣代入y＝ax2+bx+7得y＝a×（﹣）2+b×（﹣）+7＝7．故答案为：7．三、解答题（共4小题，共58分）10．【解答】解：9a2+6ab+b2＝0，即（3a+b）2＝0，则3a+b＝0．即b＝﹣3a．＝•（a+3b）（a﹣3b）•，＝．把b＝﹣3a代入得：原式＝＝．11．【解答】解：（1）∵△ABC为等腰三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝60°，∵AP过圆心O，∴AP平分∠CAB，AP为直径，∴∠CAP＝30°，∠ACP＝90°，∴CP＝AP＝×10＝5（cm），在△CAP和△CBD中∵，∴△CAP≌△CBD，∴CP＝CD，∵∠CPD＝∠CAB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴CD＝PC＝5cm；（2）与（1）一样可证明得到△CAP≌△CBD，则CP＝CD，∵∠CPD＝∠CAB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴CD＝PC＝3cm．12．【解答】解：由题意可知，图甲图象经过（1，1）和（6，2）两点，将两点代入y甲＝ax+b得：，解得：，从而求得其解析式为y甲＝0.2x+0.8，图乙图象经过（1，30）和（6，10）两点．将两点代入y乙＝kx+c得：，解得：，从而求得其解析式为y乙＝﹣4x+34．（1）当x＝2时，y甲＝0.2×2+0.8＝1.2，y乙＝﹣4×2+34＝26，y甲×y乙＝1.2×26＝31.2．所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．（2）第1年出产鳗鱼1×30＝30（万条），第6年出产鳗鱼2×10＝20（万条），可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．（3）设当第m年时的规模，即总出产是量为n，那么n＝y甲•y乙＝（0.2m+0.8）（﹣4m+34）＝﹣0.8m2+3.6m+27.2＝﹣0.8（m2﹣4.5m﹣34）＝﹣0.8（m﹣2.25）2+31.25因此，当m＝2时，n最大值为31.2．即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．13．【解答】解：（1）由已知得：c＝8，又∵4a+2b+c＝0，∴抛物线经过（2，0），∴点B的坐标为（2，0），∵S△ABC＝32．∴×8×AB＝32解得：AB＝8∴A（﹣6，0），将点A（﹣6，0）B（2，0）代入y＝ax2+bx+c得：解得：故二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+8．（2）依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴＝，即＝∴EF＝过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝∴FG＝•＝8﹣m∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）＝（8﹣m）（8﹣8+m）＝（8﹣m）m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣4）2+8自变量m的取值范围是0＜m＜8∴当m＝4时，S最大值＝8．。
2010年四川省南充高中自主招生考试数学试卷及参考答案(一)
2010年四川省南充高中自主招生考试数学试卷（一）一、选择题（每小题5分，共计30分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）1．（5分）关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＞﹣1且a≠0C．a＜﹣1D．a＜﹣1且a≠﹣2 2．（5分）若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（）A．21B．29C．21或29D．21或22或29 3．（5分）已知α为锐角，下列结论：①sinα+cosα＝1；②如果α＞45°，那么sinα＞cosα；③如果cosα＞，那么α＜60°；④＝1﹣sinα，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9．则k•b的值（）A．14B．﹣6C．﹣6或21D．﹣6或14 5．（5分）一块边长为a的正方形桌布，平辅在直径为b（a＞b）的圆桌上，若桌布四角下垂的最大长度相等，则该最大长度为（）A．B．C．D．6．（5分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．则其内心和外心之间的距离是（）A．10cm B．5cm C．cm D．2cm二、填空题（每小题5分，共计40分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）7．（5分）已知|a|＝3，|b|＝7，且|a﹣b|＝b﹣a，那么a+b＝．8．（5分）点P在上，P A⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，矩形P AOB绕y轴旋转一周所得的圆柱的侧面积为．9．（5分）等腰三角形两边长为2，5，P为底边上任一点，P到两腰距离之和是．10．（5分）观察下列数的规律填空：0，﹣3，8，﹣15，24，…，则第2010个数是．11．（5分）如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB的周长是．12．（5分）y＝2x2+4x+5﹣a与x轴只有一个交点A，与y轴交于B，则直线AB关于抛物线对称轴对称的直线的解析式为．13．（5分）在半径为1的圆中，有两条弦AB、AC，其中AB＝，AC＝，则∠BAC的度数为．14．（5分）抛掷红、蓝两枚六面分别编号为1到6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面向上的编号分别作为二次函数y＝x2+mx+n的一次项系数m和常数项n 的值，则抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象的顶点恰好在x轴上的概率为．三、解答题：（本大题共8个小题，共80分，解答应写出必要的说明，证明过程和推演步骤）15．（6分）阅读理解并解答：如果＝ad﹣bc，例如＝2，请按此方法化简，并取一个你喜欢的a值代入求值．16．（8分）A、B两地相距240km，甲从A地骑车开往B地，半小时后，乙从B地骑车出发，相向而行，乙每小时比甲多行3km，当乙行至中点C处时，车出现故障，刚好在修车90分钟时，甲经过C点，求两车的速度．17．（8分）已知点A（0，﹣6），B（﹣3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法．）18．（10分）如图，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG＝30°，求证：OG＝DC．19．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，DC＝，点P在BC边上运动（与B、C不重合），设PC＝x，四边形ABPD的面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若以点D为圆心，为半径作⊙D；以点P为圆心，以PC长为半径作⊙P，当x 为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积．20．（12分）已知：如图所示，O为等腰直角△BCD斜边BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE•GB＝4﹣2，求△DBG的面积．21．（12分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），以OA为直径作圆B．若点D是x轴上的一动点，连接AD交圆B于点C．（1）当tan∠DAO＝时，求直线BC的解析式；（2）过点D作DP∥y轴与过B、C两点的直线交于点P，请任意求出三个符合条件的点P的坐标，并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式；（3）若点P满足（2）中的条件，点M的坐标为（﹣3，3），求线段PM与PB的和的最小值，并求出此时点P的坐标．22．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC＝60°，点B的坐标是（0，8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动设t（0＜t≤8）秒后，直线PQ交OB于点D．（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（3）当a＝3，OD＝时，求t的值及此时直线PQ的解析式；（4）当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O，Q，D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明．2010年四川省南充高中自主招生考试数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共计30分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）1．【解答】解：去分母得，2x+a＝x﹣1∴x＝﹣1﹣a∵方程的解是正数∴﹣1﹣a＞0即a＜﹣1又因为x﹣1≠0∴a≠﹣2则a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2故选：D．2．【解答】解：当腰长为3时，等腰梯形不成立．同理，当腰长为4时，也不能构成等腰梯形．故只有一个条件，当腰长为11时，这个等腰梯形的周长为29．故选：B．3．【解答】解：①如图，sinα＝，cosα＝，则sinα+cosα＝+＝＞1，故结论错误；②因为sin45°＝cos45°＝，且在锐角范围内，正弦函数为增函数，余弦函数为减函数，故α＞45°时，sinα＞，cosα＜，于是sinα＞cosα，故结论正确；③因为cos60°＝，且在锐角范围内，余弦函数为减函数，故cosα＞时，α＜60°，故结论正确；④因为在sinα≤1，所以＝1﹣sinα，故结论正确．故选：C．4．【解答】解：分为两种情况：①过点（﹣3，1）和（1，9）代入得：则有，解之得，∴k•b＝14；②过点（﹣3，9）和（1，1）代入得：则有，解之得，∴k•b＝﹣6，综上：k•b＝14或﹣6．故选：D．5．【解答】解：∵正方形的对角线为a，圆桌的直径为b ∴桌布下垂的最大长度为（a﹣b）＝．故选：C．6．【解答】解：如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，∴AM为外接圆半径．设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∠C＝90°，∵四边形OECD是正方形，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，即8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2cm，∴AN＝4cm；在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝1cm，OM＝cm．故选：C．二、填空题（每小题5分，共计40分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）7．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝7，∴a＝±3，b＝±7，∵|a﹣b|＝b﹣a≥0，∴b≥a，①：当b＝7，a＝3时，a+b＝10，②：当b＝7，a＝﹣3时，a+b＝4，故答案为：10或4．8．【解答】解：设P的坐标是（x，y），则xy＝3．P A＝|y|，|PB|＝|x|，则P A•PB＝3．矩形P AOB绕y轴旋转一周所得的圆柱的底面半径是PB，则底面周长是2π•PB，高是P A．则圆柱的侧面积为：2π•PB•P A＝2π×3＝6π．故答案是：6π．9．【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点A作AH⊥BC于点H，连接AD．∵2+2＜5，∴等腰△ABC的腰AB＝AC＝5；∴AH＝＝2；有∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•ED+AC•FD＝AB•（ED+FD），∴ED+FD＝CG；∵S△ABC＝AB•CG＝BC•AH，∴CG＝，即ED+FD＝；故答案是：．10．【解答】解：依题意得，第2010个数是﹣（20102﹣1）＝﹣4040099，故答案为：﹣4040099．11．【解答】解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+4x+5﹣a与x轴只有一个交点，∴△＝42﹣4×2×（5﹣a）＝0，解得a＝3，∴抛物线解析式为y＝2x2+4x+2，即y＝2（x+1）2，∴A（﹣1，0），B（0，2），对称轴为x＝﹣1，A、B两点关于抛物线对称轴的对称点为A′（﹣1，0），B′（﹣2，2），设直线A′B′解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线A′B′解析式为y＝﹣2x﹣2．故答案为：y＝﹣2x﹣2．13．【解答】解：有两种情况：①O在∠BAC内时，如图所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OF A＝90°，由垂径定理得：AE＝BE＝，AF＝CF＝，cos∠OAE＝＝，cos∠OAF＝＝，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°；②如图所示：当O在∠BAC外时，同法求出∠OAF＝45°，∠OAE＝30°，则∠BAC＝45°﹣30°＝15°，故答案为：75°或15°．14．【解答】解：∵二次函数图象的顶点恰好在x轴上，∴＝＝0，解得m2＝4n，共有36种情况，m＝2，n＝1和m＝4，n＝4两种情况符合，∴顶点恰好在x轴上的概率是P＝＝．故答案为：．三、解答题：（本大题共8个小题，共80分，解答应写出必要的说明，证明过程和推演步骤）15．【解答】解：根据题意得：＝（﹣）﹣•（a2﹣1）＝﹣a﹣＝﹣a+（a+1）＝+1．∵1﹣a≠0，a≥0，a≠0，∴a＞0且a≠1，取a＝2，∴原式＝+1．16．【解答】解：设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是（x+3）千米/时，由题意得：﹣2＝，解得：x1＝﹣15（不合题意舍去），x2＝12，经检验得：x＝12是原方程的根，即x+3＝15．答：甲车的速度是12千米/时，乙车的速度是15千米/时．17．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝k1x+b．（1分）则（2分）解得k1＝﹣2，b＝﹣6．所以直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣6．（3分）∵点C（m，2）在直线y＝﹣2x﹣6上，∴﹣2m﹣6＝2，∴m＝﹣4．即点C的坐标为C（﹣4，2）．（4分）由于A（0，﹣6），B（﹣3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C（﹣4，2）．设经过点C的反比例函数的解析式为y＝．则2＝，∴k2＝﹣8．即经过点C的反比例函数的解析式为y＝﹣．（6分）图象如图所示．（正确）（8分）18．【解答】证明：连接OB，∵EF⊥AC，∴△AOE是直角三角形∴OG＝AG＝GE，∴∠BAC＝∠AOG＝30°，∠AEO＝60°，∠GOE＝∠AOE﹣∠AOG＝60°，∴△OEG是正三角形，∴OG＝OE＝GE，∴∠ABO＝∠BAC＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BOE＝∠AOB﹣90°＝30°，∴△OEB是等腰三角形，∴OE＝EB，∴OG＝AG＝GE＝EB＝OE，∴OG＝AB＝DC．19．【解答】解：作DE⊥BC于E，∴∠BED＝90°，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°∵AD∥BC，∴∠A＝90°，∴四边形ABED是矩形．∴AD＝BE，AB＝DE，∵AD＝1，AB＝2，∴BE＝1，DE＝2，在Rt△DEC中，由勾股定理，得EC＝＝＝2，∴BC＝3，∵PC＝x，∴BP＝3﹣x，y＝×2×（1+3﹣x）＝﹣x+4．∵P点与B、C不重合，∴0＜x＜3．（2）解：当圆P与圆D外切时，如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP＝90°，∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABED为矩形，又AD＝1，AB＝2，∴AB＝DE＝2，AD＝BE＝1，在Rt△CED中，DC＝2，DE＝2，根据勾股定理得：EC＝＝2，∴EP＝EC﹣PC＝2﹣x，∵圆D与圆P外切，圆D半径为，圆P半径为x，∴DP＝+x，在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP2＝DE2+EP2，即（+x）2＝22+（2﹣x）2，解得：x＝；即x＝时⊙D与⊙P外切．此时S四边形ABPD＝﹣+4＝．当圆P与圆D内切时，如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于点E，可得∠DEP＝90°，∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABED为矩形，又AD＝1，AB＝2，∴AB＝DE＝2，AD＝BE＝1，在Rt△CED中，DC＝2，DE＝2，根据勾股定理得：EC＝＝2，∴EP＝EC﹣PC＝2﹣x，∵圆D与圆P内切，圆D半径为，圆P半径为x，∴DP＝x﹣，在Rt△DEP中，根据勾股定理得：DP2＝DE2+EP2，即（x﹣）2＝22+（2﹣x）2，解得：x＝，综上，当x＝或时，圆D与圆P相切．即x＝时⊙D与⊙P内切．此时S四边形ABPD＝﹣+4＝．20．【解答】（1）证明：在△BCE与△DCF中，，∴△BCE≌△DCF．（2）解：OG＝BF．理由如下：∵△BCE≌△DCF，∴∠CEB＝∠F，∵∠CEB＝∠DEG，∴∠F＝∠DEG，∵∠F+∠GDE＝90°，∴∠DEG+∠GDE＝90°，∴BG⊥DF，∴∠BGD＝∠BGF，又∵BG＝BG，∠DBG＝∠FBG，∴△BGD≌△BGF，∴DG＝GF，∵O为BD的中点，∴DO＝OB，∴OG是△DBF的中位线，∴OG＝BF．（3）解：设BC＝x，则DC＝x，BD＝，由（2）知，△BGF≌△BGD，∴BF＝BD，∴CF＝（﹣1）x，∵∠DGB＝∠EGD，∠DBG＝∠EDG，∴△GDB∽△GED，∴＝，∴GD2＝GE•GB＝4﹣2，∵DC2+CF2＝（2GD）2，∴x2+（﹣1）2x2＝4（4﹣2），（4﹣2）x2＝4（4﹣2），x2＝4，正方形ABCD的面积是4个平方单位．∴S△DBG＝S△BDF＝××x2＝个平方单位．21．【解答】解：（1）如图所示，当点D在x轴的正半轴上时，连接OC，过C点作CK⊥y 轴于点K．∵OA为圆B的直径，点C在圆B上∴∠ACO＝90°∴∠1＝∠2∵tan∠1＝∴tan∠2＝设OK的长为x，则KC＝2x，可得AK＝4x∵点A的坐标为（0，2），OK+KA＝OA∴点B的坐标为（0，1），5x＝2∴x＝∴KC＝∴点C的坐标为（，）设直线BC的解析式为y＝kx+1（k≠1），得：＝k+1∴k＝﹣∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1当点D在x轴的负半轴上时，同理可得直线BC的解析式为y＝x+1∴满足题意的直线BC的解析式为y＝﹣x+1或y＝x+1．（2）∵DP∥y轴∴DP⊥x轴当点D位于如图的位置时，有D（1，0）可得P点的纵坐标为y＝﹣×1+1＝∴点P的坐标为（1，）如图所示，当点D的坐标为（2，0）时，△AOD为等腰三角形连接OC∵OA为圆B的直径∴OC⊥AD∴C为AD中点∴BC∥OD又∵DP1∥y轴∴点P1的坐标为（2，1）如图所示，类似地，可得点P2的坐标为（﹣2，1）设图象经过P、P1、P2、三点的二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），得：①＝a+b+c；②1＝4a+2b+c；③1＝4a﹣2b+c解得a＝，b＝0，c＝0∴图象经过这三点的二次函数的解析式为y＝x2．（3）如图所示∵AB∥PD，∴PD⊥x轴，∵AB＝BC∴DP＝PC∴PM+PB＝PM+PC+BC＝PM+PD+BC由几何知识可知，当直线DP经过点M（﹣3，3）时，PM+PD的值最小又∵BC是圆B的半径∴当直线BP过点M时，PM+PB的值最小∴PM+PB的最小值是MD+BC＝3+1＝4∵OD＝3，OA＝2由勾股定理有AD＝又可证DO是圆B的切线∴OD2＝DC•AD∴CD＝，则AC＝AD﹣CD＝由△PDC∽△BAC，得：＝即DP＝∴点P的坐标为（﹣3，）．22．【解答】解：（1）因为四边形ABCO是菱形，∠AOC＝60°，所以∠AOB＝30°．连接AC交OB于M，则OM＝OB，AM⊥OB所以AM＝tan30°×OM＝4．所以，OA＝AM÷sin30°＝8，（2）由（1）可知A（4，4），B（0，8），C（﹣4，4）设经过A、B、C三点的抛物线为y＝ax2+c所以16a+c＝4，c＝8，∴a＝﹣所以经过A、B、C三点的抛物线为y＝﹣x2+8（3）当a＝3时，CP＝t，OQ＝3t，OD＝．所以PB＝8﹣t，BD＝8﹣＝由△OQD∽△BPD得即，所以t＝当t＝时，OQ＝．同理可求Q（，）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则k+b＝，b＝；所以k＝﹣所以直线PQ的解析式为y＝﹣x+．（4）当a＝1时，△ODQ∽△OBA；当1＜a＜3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；当a＝1时，△ODQ∽△OBA．理由如下：①若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ＝∠OBA，此时PQ∥AB．故四边形PCOQ为平行四边形，所以CP＝OQ即at＝t（0＜t≤8）．所以a＝1时，△ODQ∽△OBA②若△ODQ∽△OAB（I）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD所以所以，即＝；所以OD＝．因为△ODQ∽△OAB，所以即＝∴a＝1+．∵0＜t≤8，∴a＞3，不符合题意．即a＞3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△ABO不能相似；（II）当P与B重合时，此时D点也与B点重合．可知此时t＝8．由△ODQ∽△OAB 得．所以OB2＝OA×OQ．即（8）2＝8×8a所以a＝3符合题意．故当a＝3时△ODQ∽△OAB．第21页（共21页）。
“华约”自主招生试题及解答
“华约”自主招生试题解析一、选择题■1.设复数vv = (—)2,其中d为实数，若R的实部为2,则w的虚部为() 1 + /3 (A)——(B) -- (C)丄3(D)-2 2 222.设向量“”，满足\a\=^b\= \,a b=m ,则\a+tb\(t^R)的最小值为()(A) 2(B) y/l + m2(C) 1(D) Jl_屛3。
缺4。
缺A r5.在AABC中，三边长a.b.c ,满足“ + <? = 3/儿贝ij tan — tan —的值为()2 2(A) —(B) — (C) —(D)—5 4 2 36.如图，AABC的两条髙线AD、BE交于H ,其外接圆圆心为0 ,过O作OF垂直BC于F , OH 与AF相交于G,则△OFG与NGAH而积之比为()(A) 1:4 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 1:27.设/(x) = e at(«>0)・过点P(aO)且平行于y轴的直线与曲线C:y = f(x)的交点为曲线C过点Q的切线交X轴于点R ,则APQR的而积的最小值是()(A) 1 (B) —(C) - (D)—2 2 4X2 V2V2 V28.设双曲线G :r—— = k(d>2K>0)，椭圆G：r + — = 1・若G的短轴长与G的实轴长cr 4 4的比值等于c?的离心率，则G在c?的一条准线上截得线段的长为()(A) 2丿2 + «(B) 2 (C) 4J4 + R (D) 49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为〃种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则〃的最小值为()(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910.设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用o■表示空间以直线Q4为轴满足条件b(3) = C的旋转，用7•表示空间关于OCD所在平而的镜而反射，设/为过AB中点与CD中点的直线，用。
自主招生考试数学试卷及参考答案
自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
【精品】2010年湖北省武汉市洪山区华师一附中自主招生考试数学试卷【解析版】
2010年湖北省武汉市洪山区华师一附中自主招生考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分） 1．（4分）若关于x 的方程的解为正数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．2．（4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.43．（4分）如图，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向无滑动翻滚，可依次得到矩形A 1B 1C 1D ，矩形A 2B 2C 1D 1，矩形A 3B 2C 2D 2，…，若AB ＝1，BC ＝2，那么AA 16的长为（ ）A ．12B ．36C ．24D ．184．（4分）函数y ＝x 2﹣（4a +1）x +3a 2+3a 的图象与x 轴交于A 、B 两点，若两点间的距离等于2，则a 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．（4分）如图，A 、B 是曲线y ＝上的点，经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影＝1，则S 1+S 2＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．（4分）如图，已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，则∠OAD为（）A．32°B．26°C．28°D．34°二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分）7．（6分）口袋中有4个相同的小球，它们分别写有数字2、3、4、5，从口袋中随机的取出两个球，用所得的两个数a和b构成函数y＝ax﹣2和y＝x+b，则使这两个函数的交点在直线x＝2右侧的概率等于．8．（6分）一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为cm2．9．（6分）已知点P1（x1，2010），P2（x2，2010）是二次函数y＝ax2+bx+7（a≠0）图形上两点，则二次函数当x＝x1+x2时的值为．三、解答题（共4小题，共58分）10．（12分）已知9a2+6ab+b2＝0，求的值．11．（15分）已知等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP 至D，使BD＝AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图1，且圆O的直径为10cm，求CD的长；（2）若AP不过圆心O，如图2，PC＝3cm，求PD的长．12．（15分）甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模（总产量）进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：（1）第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；（2）第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模（即总产量）比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由；（3）哪一年（取整数）的规模（即总产量）最大？请说明理由．13．（16分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数图象与y轴交于点C（0，8），与x 轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（x1＜x2），且4a+2b+c＝0，S△ABC＝32．（1）求二次函数的解析式；（2）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF ∥AC交BC于点F，连CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围并求面积S的最大值．2010年湖北省武汉市洪山区华师一附中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分）1．【解答】解：去分母得：1﹣2a＝2（2x﹣1），去括号得：1﹣2a＝4x﹣2，移项，合并得：4x＝3﹣2a，系数化1，得：x＝，∵关于x的方程的解为正数，∴＞0，且≠，解得：a＜且a≠．故选：C．2．【解答】解：连接EC，由矩形的性质可得AO＝CO，又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC＝AE，设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝5﹣x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2＝DE2+DC2，即x2＝（5﹣x）2+32，解得x＝3.4．故选：D．3．【解答】解：∵AB＝1，BC＝2，∴AA3＝2+1+2+1＝6，∵16÷4＝4，∴AA16＝6×6＝36．故选：B．4．【解答】解：设A（m，0），B（n，0），根据根与系数的关系，得m+n＝4a+1，mn＝3a2+3a，又|m﹣n|＝2，则（m+n）2﹣4mn＝4，即（4a+1）2﹣4×（3a2+3a）＝4，解得：a＝或﹣．故选：C．5．【解答】解：∵A、B是曲线y＝上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，∴S矩形ACOD＝S矩形BEOF＝3，又∵S阴影＝1，∴S1＝S2＝3﹣1＝2，∴S1+S2＝4．故选：B．6．【解答】解：连接OB，∵∠CAB＝60°，∠ABC＝44°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝76°，∴∠AOB＝2∠C＝152°，∵OA＝OB，AD为BC上的高，∴∠OAB＝∠OBA＝＝14°，∠CAD＝90°﹣∠C＝14°，∴∠OAD＝∠CAB﹣∠OAB﹣∠CAD＝60°﹣14°﹣14°＝32°．故选：A．二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分）7．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，使这两个函数的交点在直线x＝2右侧的（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共6种情况，∴使这两个函数的交点在直线x＝2右侧的概率为：＝．故答案为：．8．【解答】解：如图，小圆不能达到的是每个顶点出的六小块，每小块的面积是2 S△OAM﹣S圆O＝×1﹣π＝．故六小块的面积的和是2﹣π．故答案是：2﹣π．9．【解答】解：把点P1（x1，2010），P2（x2，2010）代入y＝ax2+bx+7（a≠0）得ax12+bx1+7＝2010①，ax22+bx2+7＝2010②，①﹣②得ax12﹣ax22+bx1﹣bx2＝0，∴[a（x1+x2）+b]（x1﹣x2）＝0，∵x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，把x＝﹣代入y＝ax2+bx+7得y＝a×（﹣）2+b×（﹣）+7＝7．故答案为：7．三、解答题（共4小题，共58分）10．【解答】解：9a2+6ab+b2＝0，即（3a+b）2＝0，则3a+b＝0．即b＝﹣3a．＝•（a+3b）（a﹣3b）•，＝．把b＝﹣3a代入得：原式＝＝．11．【解答】解：（1）∵△ABC为等腰三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝60°，∵AP过圆心O，∴AP平分∠CAB，AP为直径，∴∠CAP＝30°，∠ACP＝90°，∴CP＝AP＝×10＝5（cm），在△CAP和△CBD中∵，∴△CAP≌△CBD，∴CP＝CD，∵∠CPD＝∠CAB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴CD＝PC＝5cm；（2）与（1）一样可证明得到△CAP≌△CBD，则CP＝CD，∵∠CPD＝∠CAB＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴CD＝PC＝3cm．12．【解答】解：由题意可知，图甲图象经过（1，1）和（6，2）两点，将两点代入y甲＝ax+b得：，解得：，从而求得其解析式为y甲＝0.2x+0.8，图乙图象经过（1，30）和（6，10）两点．将两点代入y乙＝kx+c得：，解得：，从而求得其解析式为y乙＝﹣4x+34．（1）当x＝2时，y甲＝0.2×2+0.8＝1.2，y乙＝﹣4×2+34＝26，y甲×y乙＝1.2×26＝31.2．所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．（2）第1年出产鳗鱼1×30＝30（万条），第6年出产鳗鱼2×10＝20（万条），可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．（3）设当第m年时的规模，即总出产是量为n，那么n＝y甲•y乙＝（0.2m+0.8）（﹣4m+34）＝﹣0.8m2+3.6m+27.2＝﹣0.8（m2﹣4.5m﹣34）＝﹣0.8（m﹣2.25）2+31.25因此，当m＝2时，n最大值为31.2．即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．13．【解答】解：（1）由已知得：c＝8，又∵4a+2b+c＝0，∴抛物线经过（2，0），∴点B的坐标为（2，0），∵S△ABC＝32．∴×8×AB＝32解得：AB＝8∴A（﹣6，0），将点A（﹣6，0）B（2，0）代入y＝ax2+bx+c得：解得：故二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+8．（2）依题意，AE＝m，则BE＝8﹣m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴＝，即＝∴EF＝过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝∴＝∴FG＝•＝8﹣m∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）＝（8﹣m）（8﹣8+m）＝（8﹣m）m＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣4）2+8自变量m的取值范围是0＜m＜8∴当m＝4时，S最大值＝8．。
2010年全国高中数学联赛试题参考答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数()f x =的值域是______________.2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++L . 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK MN ⊥,则,,,A B D C 四点共圆.二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+.记()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l l f r f f r l -=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥.三、（本题满分50分）给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a L 满足1k a ≤,1,2,,k n =L ,记12,1,2,,.k k a a a A k n k+++==L L 求证：1112n n k k k k n a A ==--<∑∑.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A L 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
“华约”自主招生数学全真模拟试题
2013年“华约” 高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1数学与逻辑A 1/2B 2/5C 3/5D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++L n n n n na a a a a n n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1Λ的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且1 2 3 4 5 6 7 89“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D1209．设a n =2n，b n =n ，（n=1，2，3，。
2010年华约自主招生数学试题及详解
2010年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学部分一、选择题 1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）（A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B ）21m + （C ）1 （D ）21m -3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，A B n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为（ ）．（A ）n/3 （B ）n/4 （C ）n/6 （D ）n/84．正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点，则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B C D P A B C DV V --（ ）．（A ）1:6 （B ）1:5 （C ）1：4 （D ）1:3 5．在A B C ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=， 则tantan22A C 的值为（ ）（A ）15（B ）14（C ）12（D ）236．如图，A B C ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作O F 垂直B C 于F ，O H 与A F 相交于G ，则O F G ∆与G AH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B ）2e 2（C ）e 2（D ）2e48．设双曲线2212:(2,0)4x yC k a k a-=>>，椭圆2222:14x yC a+=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ） （A ）22k + （B ）2 （C ）44k + （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线O A 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于O C D 所在平面的镜面反射，设l 为过A B 中点与C D 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ 表示变换的复合，先作τ，再作σ。
自主招生试题初中数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = 1，则f(x)的解析式为（）A. f(x) = 2x - 1B. f(x) = 2x + 1C. f(x) = 2x - 3D. f(x) = 2x + 32. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 90°，若AB = 6，则BC的长度为（）A. 6B. 6√2C. 3√2D. 33. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0的两根分别为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值为（）A. 5B. 6C. 2D. 34. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于y轴的对称点为（）A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)5. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a² > b²B. a² < b²C. a > b²D. a < b²二、填空题（每题5分，共25分）1. 若a² + b² = 25，则a² - b²的值为______。
2. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
3. 已知函数f(x) = 3x² - 2x + 1，则f(2)的值为______。
4. 在平面直角坐标系中，点P(3, 4)关于原点的对称点为______。
5. 若a + b = 5，a - b = 1，则a的值为______。
三、解答题（每题15分，共45分）1. 解下列方程：x² - 4x + 3 = 0。
2. 在△ABC中，AB = 5，AC = 8，∠A = 30°，求BC的长度。
3. 已知函数f(x) = 2x² - 3x + 1，求f(x)的对称轴方程。
绵阳中学2010年自主招生数学测试题目
绵阳中学2010年招生数学测试题目一、选择题（每题5分，共60分）1、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+〉+-〈-23122762x x x x 的整数解是（ ）A 、1，2B 、0，1，2C 、31＜x ＜413D 、1，2，32、反比例函数y=xk在第二象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A 、-1B 、-2C 、-3D 、-43、Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=8，AC=6，把Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转120°后，得Rt △AB 1C 1，则点B 所走过的路程的长为（ ）A 、103B 、340π C 、5π D 、320π 4、如图，点A 在函数y=-21x+3+1的图象上，△AOB 是等边三角形，则点B 的坐标为（ ）A 、（2，0）B 、（4，0）C 、（3，0）D 、（23，0）5、如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB=30°，圆O 的直径为4cm ，则弦CD 的长为（ ）A 、3 cm,B 、2cmC 、23 cmD 、5cm6、如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A 、34B 、1C 、2D 、237、已知关于x 的一元二次方程x 2－4x+m+1=0的两个实数根是x 1,x 2，且x 12+x 22=24，则m 的值是（ ）A 、5B 、-5C 、6D 、-68、甲、乙两个袋中分别各放有编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球鞋，现从两 袋中各摸出一个球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数5的概率是（ ）A 、21B 、81C 、31D 、419、二次函数y=ax+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则 下列结论中正确结论的个数是（ ）①c ＞0 ②c(2a+b)＜0 ③b 2－4ac ＞0 ④(a+c)2－b 2＜0图2EDCBA图1EDCBAOBEAD CA 、4B 、3C 、2D 、110、在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2－2x －3关于x 轴作对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A 、y =－x 2+2x+3B 、y =－x 2－2x －3C 、y =－x 2－2x+3D 、y=x 2+2x －3 11、下图是正方体，其展开图是（ ）12、有一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…a,a n ，其中 a 1=3×2，a 2=3×3+1, a 3=3×4+2 ,a 4=3×5+3,a 5=3×6+4,…,当 a n =2010时，则n=（ ） A 、2010 B 、2009 C 、502 D 、504 二、填空题（每题4分，共20分）13、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=p ，BC=q ，则（cos A ）2+(cos B )2=_______。
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7．
设 f x eax a 0 ， 过点 P a ，0 且平行于 y 轴的直线与曲线 C : y f x 的交点为 Q ， 曲 线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R ， 则 △PQR 的面积的最小值是 A．1 B．
2e 2
e 2
C．
D．
件 B C 的旋转， 用 表示空间关于 OCD 所在平面的镜面反射， 设 l 为过 AB 中点与 CD 中 点的直线，用 表示空间以 l 为轴的 180 旋转，设 表示变换的复合，先作 ，再作 ， 则 可以表示为 A． B． C． D． 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11． （本题满分 14 分） A B 在 △ABC 中，已知 2sin 2 cos 2C 1， 外接圆半径 R 2 ． 2 ⑴ 求角 C 的大小； ⑵ 求 △ABC 面积的最大值． 12． （本题满分 14 分） 设 A，B ，C ，D 为抛物线 x2 4 y 上不同的四点， A，D 关于该抛物线的对称轴对称， BC 平 行于该抛物线在点 D 处的切线 l ．设 D 到直线 AB ， 直线 AC 的距离分别为 d1 ，d2 ， 已知
e2 4
8．
x2 y 2 x2 y 2 k a 2 ，k 0 ， 椭圆 C2 : 2 1， 若 C2 的短轴长与 C1 的实轴长 2 a a 4 4 的比值等于 C2 的离心率，则 C1 在 C2 的一条准线上截得线段的长为
设双曲线 C1 :
A． 2 2 k B． 2 C． 4 1 k D．4 9． 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n 种颜色之一，使得以正六边形的任何 3 个顶点作 为顶点的三角形有 3 种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的 3 色组合，则 n 的最小 值为 A．6 B．7 C．8 D．9 10． 设定点 A、B、C、D 是以 o 点为中心的正四面体的点，用 表示空间以直线 OA 为轴满足条
2010 年五校合作自主选拔通用基础测试 数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 1．
2s 1 2t 1 证明：存在函数 t s cs d s 0 ， 满足 f ； t s 1 ⑵ 设 x1 3，xn1 f xn ，n 1，2 ， ， 证明： xn 2 ≤ n 1 ． 3
4．
5．
6．
A．2 B． 1 m 2 C． 1 D． 1 m 2 如果平面 ， ， 直线 m ，n ， 点 A，B 满足： ∥ ，m ，n ，A ，B ， 且 AB π π 与 所成的角为 ，m ⊥ AB ，n 与 AB 所成的角为 ， 那么 m 与 n 所成角的大小为 4 3 π π π π A． B． C． D． 3 4 6 8 在四棱锥 V ABCD 中， B1 ，D1 分别为侧棱 VB ， VD 的中点，则四面体 AB1CD1 的体积与四棱 锥 V ABCD 的体积之比为 A． 1: 6 B． 1: 5 C． 1: 4 D． 1: 3 A C 在 △ABC 中，三边长 a ，b ，c 满足 a c 3b ， 则 tan tan 的值为 2 2 1 1 2 1 A． B． C． D． 4 2 3 5 如图 △ABC 的两条高线 AD ，BE 交于 H ， 其外接圆圆心为 O ， 过 A O 作 OF 垂 直 BC 于 F ， OH 与 AF 相 交 于 G ， 则 △OFG 与 E △GAH 面积之比为 A． 1: 4 B． 1: 3 C． 2 : 5 D． 1: 2 H O
ai 设复数 w ， 其中 a 为实数，若 w 的实部为 2，则 w 的虚部为 1 i 3 1 1 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 设向量 a ，b 满足 a b 1，a b m ， 则 a tb t R 的最小值为
2
2． 3．
d1 d2 2 AD ．
⑴ 判断 △ABC 是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； ⑵ 若 △ABC 的面积为 240，求点 A 的坐标及直线 BC 的方程． 13． （本小题满分 14 分） 2 ⑴ 正四棱锥的体积 V ， 求正四棱锥的表面积的最小值； 3 ⑵ 一般地， 设正 n 棱锥的体积 V 为定值， 试给出不依赖于 n 的一个充分必要条件， 使得正 n 棱 锥的表面积取得最小值． 14． （本小题满分 14 分） 假定亲本总体中三种基因型式： AA，Aa ，aa 的比例为 u : 2v : w(u 0 ，v 0 ，w 0 ， u 2v w 1) 且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． ⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例； ⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15． （本小题满分 14 分） 1 xm 2t 1 2s 1 a 0 ， 满足 f 设函数 f x ． ， 且存在函数 s t at b t ， 2 s x 1 t ⑴