二次函数专题复习

二次函数

专题一：二次函数的图象与性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a =-时，y 有

最小值2

44ac b a

-．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪

⎝⎭

，．当2b

x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a =-时，y 有最大值

244ac b a

-． 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标

二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2

44ac b a

-）.

例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5

y x

=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．

（1）求m 、c 的值；

（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.

例2．已知二次函数y=－x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点（m ，0），则m 的值为______． 3．（2006，大连）右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，

•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．

考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系

、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a

-

<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；

当0b =时，02b

a -

=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a -

>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，0b

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

例2 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=－mx 2+2x+2（m 是常数，•且m ≠0）的图像可能是（ ）

３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2

的图象如图所示，则下列结论正确的是（

A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0

B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0

C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0

D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（ ）

A ．a<0

B ．abc>0

C ．a+b+c<0

D ．b 2－4ac>0

考点3.二次函数的平移

当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.

例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 例3 抛物线y=－2x 2－4x －5经过平移得到y=－2x 2，平移方法是（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

2

y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c =---； ()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2

y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c =-+； ()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2

y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

专题练习一 1.对于抛物线y=13-

x 2+103x 16

3

-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）