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理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出
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看用数学和计算机解决实际问题的过程： 实际问题 应用数学研究的任务
数学模型
数值计算方法 数值分析研究的对象
上机计算求出结果
最终提供的是针对各类数学问题的数值算法 （即计算公式、计算方案、计算过程）
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数值分析提供的算法具有下面四个特点： 1、面向计算机 2、有可靠的理论分析 3、具有好的计算复杂性 4、通过数值实验验证有效性
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1.2
数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类 引言——为什么要进行误差分析？
例1 用具有舍入功能的八位计算器直接计算下式：
y arctan5430 arctan5429
结果为
y arctan5430 arctan5429 1.5706122 1.5706121 0.000000 1
6个 零
事实上 y arctan5430 arctan5429
0.0000000 3392191
7个 零
结果 不可靠
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例2 用求根公式在尾数为八位的浮点计算机上，求下面方程的根：
x 2 (109 1) x 109 0
解
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
效数字.
表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字， a1 0, m 为整数， 且
x x* 1 10 m n 1. 2
（2.2）
例如
3.142，3.141,3.1416分别作为π的近似值时分别有几
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四、有效数字与相对误差限的关系
定理1
设近似数 x *表示为
(2.1)
x* 10 m (a1 a2 10 1 al 10 (l 1) ),
其中 ai (i 1,, l ) 是0到9中的一个数字， 1 0, m a 为整数. 若 x* 具有 n位有效数字， 则其相对误差限为
* 1
1 1 * 10 2 m/s 2 , 2 10 5 km/s 2 , 2 2
但相对误差都是
* r 0.005 / 9.80 0.00005 / 0.00980.
注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差 与误差限是有量纲的.
例4说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
数
值
分
析
（第 4 版）
李庆扬 王能超 易大义 编
清华大学出版社
施普林格出版社
1
• 数值分析课程
• 教师：罗蕴玲 • 电话：81720522 • E-mail:
• 学时：50＋10
• 讲课时间：3～16周 • 上机时间：16～18周 • 平时成绩：上机 测验 作业 出勤
yunlingluo@
若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
上界，即
e * x * x *,
则 * 叫做近似值的误差限， 它总是正数.
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对于一般情形 x * x * 即 x * * x x * *, ， 也可以表示为
x x * * .
1 1 1 2 1 例3 求 3的近似值，使其绝对误差限精确到 10 ， 10 ， 10 3. 2 2 2 解 因为 3 1.73205 ，而
• 办公室：1－812 答疑时间： 周一下午2：30－4：30 周三下午3：30－5：00
• 期末考试：半开卷
具体考核方案
2
第1章
1.1
绪
论
数值分析研究对象与特点
3
先看两个例子。 例1 精确解。 例2 用Cramer法则求解n元线性方程组。 显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时 会出现什么问题呢？ 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。
一、绝对误差
误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x * 为 x 的一个近似值， 称
e* x * x
为近似值的绝对误差，简称误差. 误差 e *可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫 强近似值； 当绝对误差为负时近似值偏小，叫弱近似值. 通常准确值 x 是未知的， 因此误差 e *也未知.
9个 零
计算机上
b 109 1 0.1 1010 0.000000000 1010＝0.1 1010 1
b 2 4ac (0.1 1010 )2 4 1 109 (0.1 1010 )2 4 0.1 1010 0.1 1019 0.00000000 1019 0.1 1019 4
1 101 2 1 * (1.73) 3 1.73 0.00205 0.005 10 2 2 1 * (1.732) 3 1.732 0.00005 0.0005 10 3 2
* (1.7)
3 1.7 0.03205 0.05
① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则x*必有n位 有效数字。如3.142作为 的近似值有4位有效数字，而
3.141为3位有效数字； ② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定相同。例 如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者均有5位有效数字但 绝对误差不一样 x - x1* = x - 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x - x2* = x - 12.345≤0.0005=1/210-3 ③ 把任何数乘以10 p(p=0,1,…)不影响有效位数； ④ 准确值具有无穷多位有效数字,如1/2=0.5 因0.5是真值, 没有误差,*=0,因此n,准确值具有无穷位有效数字。
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当 f 为多元函数，如计算 A f ( x1 , xn ) 时, 如果
* * x1 ,, xn 的近似值为 x1 , , xn ，则 A 的近似值为
* * A* f ( x1 , xn ),
* er 的平方项级，故可忽略不计. 是
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限， 记作 ， 即
* r
* r
*
x*
.
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三、有效数字 当准确值 x 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x 的前几位近似值 x * 例如 ，
x π 3.14159265
Hale Waihona Puke 取3位x3 * 3.14,
8个 零
计算机上
求得
x1 0, x2 0.1 1010 109
x1 1, x2 109 事实上
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用计算机解决实际问题的一般过 程
应用数学解决的问题 数值分析解决的问题
实际问题
建立数 学模型
确定数 值解法
上机求解
模型误差、观测误差
截断误差
舍入误差
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在此主要研究这两种误差
1.2.2
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本门课程学习的主要内容： 误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分， 解线性方程组的直接方法和迭代方法，非线性方程求根， 矩阵特征值问题计算．
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1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本
任务，主动适应“公式多”的特点； 2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入； 3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本
g 0.00980 1 10 5 , 2
这里 m 3, n 3. 它们虽然写法不同，但都具有3位有效数字.
20 x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同,
由此可得：
df ( x ) | x x* o( x x*)
e( f ( x*)) f ( x*) e( x*).
( f ( x*)) f ( x*) ( x*).
f ( x*) x * f ( x*) er ( f ( x*)) e( x*) er ( x*). f ( x*) f ( x*) f ( x*) x * f ( x*) r ( f ( x*)) ( x*) r ( x*). f ( x*) f ( x*)
1 10 ( n 1). 2a1
* r
由于
， 20 4.4 , 知 a1 4， 故只要取 n 4 就有
* r 0.125 103 103 0.1%,
即只要对
20 的近似值取4位有效数字，其相对误差限就
小于0.1%. 此时由开方表得 20 4.472.
通常取 实际计算中， 由于真值 x 总是未知的，
* er
e* x*x x* x* e* | 此时利用 较小， x*
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* 作为 x *的相对误差， 条件是 | er ||
e* x * x , 知
e* e* e * ( x * x) x x* x* x
( e*) 2 x * ( x * e*) ( e * / x*) 2 1 ( e * / x*)
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1.2.3
数值运算的误差估计
一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 其误差限可利用函数的微分进行估计. 设 f (x)是一元函数， x 的近似值为 x * ，以 f (x*) 近 似 f (x)，其误差界记作 ( f ( x*)) ，利用微分
f ( x ) f ( x*) f ( x*)( x x*) o( x x*)
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位有效数字?
重力常数g， 如果以 m/s2 为单位，g 9.80m/s 2 , 例4 若以km/s2为单位， 0.00980km/s 2，它们具有几位有效 g