湖北省宜昌市2015届高三5月模拟考试数学(理)试题及答案
湖北省宜昌市2015届高三5月模拟考试理科综合试卷(扫描版).pdf
宜昌市201届高三年级考试 理科综合能力测试29.(除标注外,每空2分,共10分) (1) 叶绿体基质(1分) (2) 叶绿体中的色素吸收红光多于黄光,a点真光合速率更高,所以a点净光合速率大于c点 C点CO2浓度高于b点,呼吸速率低 (3) 无(或白色)(1分) (4) 白光(或自然光)(1分) 层析液(1分) 宽窄 30、(每空1分,共分) 感受器 负正 突触 神经-体液调节 第二步:等量的(2mL)肾上腺素 等量的(2mL)鱼用生理盐水 第三步:光 预期实验结果:乙 、丙、 甲 39、(除注明外,每空2分,共15分) ⑴水蒸气蒸馏 (1分) 分液漏斗 无水硫酸钠 除水 挥发性 原料焦糊和有效成分水解 ⑵有机溶剂都是易燃物,直接使用明火加热容易引起燃烧、爆炸 防止有机溶剂的挥发 40、(15分,除注明外,每空2分)(1)排卵(1分) 两个极体 (2)出生前(胎儿时期) (3)促性腺激素 获能液(4)动物血清(5)BCF化学参考答案及评分标准 7.8. 9.10.11.12.13. 26.(15分)(1) ① CO2 (g) + 4H2(g)=CH4(g) + 2H2O(l) ΔH=-252.9 kJ/mol (2分) ② N2 + 8H+ + 6e-=2NH4+(2分) 氯化铵(2) ①0.03 mol/(L·min) (1分) L2/mol2(或9.38L2/mol2) (1分) ②加入催化剂或升高温度 ③图略(15min时改变的条件是再加入0.2 mol的CO,即15 min时CO的物质的量为0.6 mol) (3) ① < (1分) c(Na+)=c(CH3COO-)> c(H+)=c(OH-; ② (2分) 27.(14分)(1) 双氧水的浓度对破氰反应速率的影响(2分) 10(1分) 20(1分) (2)0.0175(2分) (3) 初始pH增大,催化剂Cu2+会形成Cu(OH)2沉淀,影响了Cu2+的催化作用(或初始pH增大,[Fe(CN)6]3较中性和性条件下更稳定,难以氧化)(其他合理答案均给分)(2分)CN-+H2O2+H2O==NH3↑+HCO3-(2分) (4)(每空2分) 实验方案(不要求写出具体操作过程)预期实验现象和结论分别取等体积、等浓度的含氰废水于甲、乙两支试管中,再分别加入等体积、等浓度的双氧水溶液,只向甲试管中加入少量的无水硫酸铜粉末,用离子色谱仪测定相同反应时间内两支试管中的CN浓度。
湖北省宜昌市高三5月模拟考试理科综合物理试题(扫描版)
qvB m
v1 , R1
(3 分)
解得: v1
5qBL . 2m
(2 分)
(2)由题意画出粒子运动轨迹如图所示,设粒子在磁场中做圆 周运动的半径大小为 R2,偏转一次后在 y 负方向偏移量为△y1, 由几何关系得: y1 2R2 cos , (2 分) 粒子与挡板碰撞后,每碰撞一次,粒子进出磁场在 y 轴上上移 的距离为△y2(如图中 A、E 间距)由题给条件有:
y 2 / 2 tan L/3
得 y 2
L . 3
(2 分)
当粒子只碰二次,其几何条件是 3y1 2y2 2L 解得: R2
2 5 L 9
(2 分)
粒子磁场中做匀速圆周运动: qvB m
v2 R2
(2 分)
解得: v
2 5qBL . 9m
(2 分)
33.(1)BCE 5 N t-27 °C (2)①由题图乙可知 = 300 N 327 °C-27 °C 得出 t=32 °C ②温度 t1=327 °C 时,密封气体的压强
对 A 由动能定理有: W mgx2 W弹
25.(18 分) 【解析】: 解:(1)由题意画出粒子运动轨迹如图(甲)所示,设 PQ1 与 x 轴正方向夹角 为 θ ,粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为 R1,由几何关系得:R1cosθ =L 其中:
cos
2 5 5
2
(3 分)
粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有:
湖北省宜昌市 2015 届高三 5 月模拟考试理科综合物理试题(扫描版)
物理参考答案及评分标准
14.B 15.B 16.D 17.A 18.D 19.AD 20.AC 21.BCD 22.(7 分)答案(1) D (3 分) (2) 否 (2 分) (3)
2015届高三5月适应性考试数学【理】试题及答案
2015届高三年级5月适应性考试数学(理科)试题本试题卷共4页,共22题,共中15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{, }A a b =,集合{}23, log (3)B a =+,若{0}A B =, 则A B 等于A .{}1,0,3-B .{}2,0,3-C .{}0,3,4D .{}1,0,32.下列说法中不正确...的是 A .随机变量2(3,)N ξσ,若(6)0.3P ξ>=,则(03)0.2P ξ<<=.B .如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变.C .对命题p :0x ∃∈R ,使得20010x x -+<,则p ⌝:R ∈∀x ,有210x x -+>.D .命题“在ABC ∆中,若sin sin A B =,则ABC ∆为等腰三角形”的逆否命题为真命题. 3.在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{}n a ,已知212a a =,且样本容量为300,则对应小长方形面积最小的一组的频数为A .20B .40C .30D .无法确定4.把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,且分给同一人的多张票必须连号,那么不同的分法种数为 A .96 B .240 C .48D .40 5.一个几何体的三视图如图所示,其主(正)视图是一个等边三角 形,则这个几何体的体积为A.BC.3 D .6.如图,正方形OABC 的边长为1,记曲线2y x =和直线14y =,1,0x x ==所围成的图形(阴影部分)为Ω,若向正方形OABC 内任意投一点M ,则点M 落在区域Ω内的概率为A .14 B .13C .23D .257.已知a ,b 是平面内夹角为90︒的两个单位向量,若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=,则||c 的最大值为A .1BCD .28.设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,若z ax y =+的最大值为24a +,最小值为1a +,则实数a 的取值范围为 A .[1,2]- B .[2,1]- C .[3,2]-- D .[3,1]-9.已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线22y px =(0)p >的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,ABO ∆p 的值为AB. C .2D10.已知函数()11f x mx x x =--+,则关于函数()y f x =的零点情况,下列说法中正确的是 A.当13m -<≤-+()y f x =有且仅有一个零点.B.当3m =-+1m ≤-或1m ≥或0m =时,函数()y f x =有两个零点. C.当30m -+<<或01m <<时,()y f x =有三个零点. D .函数()y f x =最多可能有四个零点.二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分。
2015年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.(1)【2015年湖北,理1,5分】i 为虚数单位,607i 的共轭复数....为( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 【答案】A【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-,共轭复数为i ,故选A .【点评】本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.(2)【2015年湖北,理2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B【解析】依题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯=石,故选B .【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.(3)【2015年湖北,理3,5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) (A )122(B )112 (C )102 (D )92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以37n n C C =,解得10n =,所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=,故选D .【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用 以及计算能力.(4)【2015年湖北,理4,5分】设211(,)X N μσ,222(,)Y N μσ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )(A )21()()P Y P Y μμ≥≥≥ (B )21()()P X P X σσ≤≤≤(C )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤ (D )对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤,故选C .【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.(5)【2015年湖北,理5,5分】设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++,则( ) (A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a 成等比数列,则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠;对命题q ,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要 0=n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++0≠n a 22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==12,,,n a a a条件.故选A .(6)【2015年湖北,理6,5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )(A )sgn[()]sgn g x x = (B )sgn[()]sgn g x x =- (C )sgn[()]sgn[()]g x f x = (D )sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数,令()f x x =,所以()()1g x a x =-,因为1a >,所以()g x 是R 上的减函数,由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知,1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩,故选B .(7)【2015年湖北,理7,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( ) (A )123p p p << (B )231p p p << (C )312p p p << (D )321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈,对事件“12x y -≥”如图(1)阴影部分1S , 对事件“12x y -≤”,如图(2)阴影部分2S ,对事件“12xy ≤”,如图(3)阴影部分3S ,由图知,阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<,正方形的面积为111⨯=,根据几何概型公式可得231p p p <<,故选B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.(8)【2015年湖北,理8,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <(C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D【解析】依题意,22211a b b e a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,()()22221a m b m b m e a m ++++⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭,因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e <;当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,所以12e e >.所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.(9)【2015年湖北,理9,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B⊕中元素的个数为( )(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【答案】C【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有9个元素(即9个点),即图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即25个点):即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个,故选C .【点评】本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.(10)【2015年湖北,理10,5分】设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立....,则正整数n 的最大值是( ) (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<,由2[]2t =得223t ≤<,由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<,可得225t ≤<,所以225t ≤<; 由3[]3t =得334t ≤<,所以5645t ≤<,由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<,与5645t ≤<矛盾,故正整数n 的最大值是4,故选B .【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上....答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14题)(11)【2015年湖北,理11,5分】已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB ⋅= . 【答案】9 【解析】因为OA AB ⊥,3OA =,()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.(12)【2015年湖北,理12,5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 . 【答案】2 【解析】因为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图,由图知,两函数图像右2个交点,所以函数()f x 由2个零点.【点评】本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.(13)【2015年湖北,理13,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD = m .【答案】1006【解析】依题意,30BAC ∠=︒,105ABC ∠=︒,在ABC ∆中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒,所以45ACB ∠=︒,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒,即3002BC =m ,在Rt BCD ∆中,因为30CBD ∠=︒,3002BC =,所以tan303002CD BC ︒==,所以1006CD =m . 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.(14)【2015年湖北,理14,5分】如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准..方程为 ;(2)过点A 任作一条直线 与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论: ①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=; ③22NB MA NAMB+=.其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号) 【答案】(1)()()22122x y -+-=;(2)①②③【解析】(1)依题意,设()1,C r (r 为圆的半径),因为2AB =,所以22112r =+=,所以圆心()1,2C ,故圆的标准方程为()()22122x y -+-=.(2)解法一:联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩,因为B 在A 的上方,所以()0,21A -,()0,21B +,领直线MN 的方程为0x =,此时()0,1M -,()0,1N ,所以2MA =,22MB =+,22NA =-,2NB =,因为22212NA NB-==-,22122MA MB==-+,所以NA MA NBMB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.解法二:因为圆心()1,2C ,()0,2E ∴,又2AB =,且E 为AB 中点,∴()0,21A -,()0,21B +,M ,N 在圆22:1O x y +=,∴可设()cos ,sin M αα,()cos ,sin N ββ,()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--,()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-,()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-,同理21MA MB=-.所以NA MA NBMB=,所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+,()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+,正确结论的序号是①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.(一)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分.)(15)【2015年湖北,理15,5分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=_______.【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,由切割定理知,()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+,因为3BC PB =,所以224PA PB =,即2PA PB =,由A PAB PC ∆∆∽,所以12AB PB AC PA ==. 【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.(16)【2015年湖北,理16,5分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB =.【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=,所以sin 3cos 0ρθρθ-=,所以30y x -=,即3y x =;由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消去t 得224y x -=,联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩,解得2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即232,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,232,B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:共6题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(17)【2015年湖北,理17,11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期(1...........(2)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,A ωϕ===-.数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-. 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z .令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.(18)【2015年湖北,理18,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公、比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .解:(1)由题意知:1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩,得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩. (2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=, 于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 2345113579212222222n n n T -=+++++ ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-,故12362nn n T -+=-. 【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.(19)【2015年湖北,理19,12分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE .(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.解:解法一:(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点, 所以DE PC ⊥. 而PC BC C =,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E =,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线.由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以 PD DG ⊥. 而PD PB P =,所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,设1PD DC ==,BC λ=,有21BD λ=+,在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BD DPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=.所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,22DC BC =. 解法二:(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE =,于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥,而DE EF E =,所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面 PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑, 四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)由PD ABCD ⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+, 解得2λ=. 所以12.DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,2DC BC =. 【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.(20)【2015年湖北,理20,12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.解:(1)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ (1) 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=.当18W =时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.(2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.(21)【2015年湖北,理21,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探 究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.②当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-,可得22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ②将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.(22)【2015年湖北,理22,14分】已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;(2)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212n n b b b a a a 的公式,并给出证明;(3)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.解:(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增;当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞.当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e xx +<. 令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n n nb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.①当1n =时,左边=右边2=,②成立.②假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+. 当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++.所以当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n =++++++12e e e n a a a <+++=e n S . 即e n n T S <.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.。
湖北省2015年理科数学高考模拟卷1(包含答案)
湖北省2015年高考理科数学模拟试卷(一)出题人:彭连兵一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z 满足i z i 31)3(+-=-(其中i 是虚数单位),则z 的实部为 (A )6 (B )1 (C )1- (D )6- 2.已知,x y R ∈,且2323xyyx --+>+,则下列各式中正确的是A.0x y ->B. 0x y +<C. 0x y -<D.0x y +> 3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图,要使输出的S 值小于1,则输入的t 值不能是下面的 A .2012 B .2013 C .2014 D .20155.已知等比数列{}n a 的前10项的积为32,则以下说法中正确的个数是①数列{}n a 的各项均为正数; ②数列{}n a {}n a 的公比必是正数; ④数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1.(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个6.“n =10”是“n”的展开式中有常数项的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 7.某班组织文艺晚会,准备从A,B 等8个节目中选出4个节目演出,要求:A,B 两个节目至少有一个选中,且A,B 同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序的和数为 A.1860B.1320C.1140D.10208.设函数()()()222ln 2f x x a x a=-+-,其中0x >,R a ∈,存在0x 使得()045f x ≤成立,则实数a 的值为 A .15 B .25 C .12D .1 9.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为,两条曲线在第一象限的交点记为P ,是以为底边的等腰三角形.若,椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ,则12e e ⋅的取值范围是(A ))51,0( (B ))31,51( (C )1(,)3+∞ (D )1(,)5+∞10.已知函数2)(x e x f x -=,b ax x g +=)((0>a ),若对]2,0[1∈∀x ,]2,0[2∈∃x ,使得)()(21x g x f =,则实数a ,b 的取值范围是(A )2502-≤<e a ,1≥b (B )2502-≤<e a ,1≤b (C )252-≥e a ,1≥b (D )252-≥e a ,1≤b二、填空题:本大题共5小题,每小题5分.11.已知ΔABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a = 1,2cos C + c = 2b ,则ΔABC 的周长的取值范围是_____。
2015年湖北省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A .i B.﹣i C.1 D.﹣1考点:虚数单位i及其性质.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的单位的幂运算求解即可.解答:解:i607=i604+3=i3=﹣i,它的共轭复数为:i.故选:A.点评:本题考查复数的基本运算,复式单位的幂运算以及共轭复数的知识,基本知识的考查.2.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A .134石B.169石C.338石D.1365石考点:随机抽样和样本估计总体的实际应用.专题:计算题;概率与统计.分析:根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论.解答:解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,故选:B.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础.3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A .212B.211C.210D.29考点:二项式定理;二项式系数的性质.专题:二项式定理.分析:直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.解答:解:已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得,可得n=3+7=10.(1+x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为:=29.故选:D .点评: 本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.(5分)(2015•湖北)设X ~N (μ1,ς12),Y ~N (μ2,ς22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A . P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B . P (X ≤ς2)≤P(X ≤ς1) C . 对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D .对任意正数t ,P (X ≥t )≥P (Y ≥t )考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 概率与统计.分析: 直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.解答:解:正态分布密度曲线图象关于x=μ对称,所以μ1<μ2,从图中容易得到P (X ≤t )≥P (Y ≤t ). 故选:C .点评:本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数μ和标准差ς这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.5.(5分)(2015•湖北)设a 1,a 2,…,a n ∈R ,n ≥3.若p :a 1,a 2,…,a n 成等比数列;q :(a 12+a 22+…+a n ﹣12)(a 22+a 32+…+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n )2,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件考点:等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列;简易逻辑.分析:运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到.解答:解:由a1,a2,…,a n∈R,n≥3.运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)≥(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,若a1,a2,…,a n成等比数列,即有==…=,则(a12+a22+…+a n﹣12)(a22+a32+…+a n2)=(a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n)2,即由p推得q,但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=a n=0,则a1,a2,…,a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选:A.点评:本题考查充分必要条件的判断,同时考查等比数列的定义,注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnxC.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]函数与方程的综合运用.考点:专函数的性质及应用.题:直接利用特殊法,设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可.分析:解答:解:由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),不妨令f(x)=x,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;对于D,令f(x)=x+1,a=2,则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x﹣1,sgn[f(x)]=sgn(x+1)=;sgn[g(x)]=sgn(﹣x﹣1)=,﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;故选:B.点评:本题考查函数表达式的比较,选取特殊值法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A .P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P1考点:几何概型.专题:概率与统计.分析:作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.解答:解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=,S2=1×1﹣2×=1﹣=,S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2,∴S2<S3<S1,即P2<P3<P1,故选:B.点评:本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.解答:解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,∴=﹣=,∴当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2,故选:D.点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.9.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A .77 B.49 C.45 D.30考点:集合中元素个数的最值.专题:新定义;开放型;集合.分析:由题意可得,A={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)},根据定义可求解答:解:∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)}∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2),(﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3),(﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共45个元素故选:C.点评:本题以新定义为载体,主要考查了几何的基本定义及运算,解题中需要取得重复的元素.10.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A .3 B.4 C.5 D.6考点:进行简单的演绎推理.专题:创新题型;简易逻辑.分析:由新定义可得t的范围,验证可得最大的正整数n为4解答:解:∵[t]=1,∴t∈[1,2),又∵[t2]=2,∴t2∈[2,3),∴t∈[,),又t2∈[2,3),∴t4∈[4,9),∴[t4]=4,∴正整数n的最大值4故选:B.点评:本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•=9.考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.解答:解:由⊥,得•=0,即•()=0,∵||=3,∴.故答案为:9.点评:本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题.12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为2.考点:根的存在性及根的个数判断.专题:函数的性质及应用.分析:利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.解答:解:函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|=2sinx﹣|ln(x+1)|=sin2x﹣|ln(x+1)|,分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,由函数的图象可知,交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为:2.点评:本题考查三角函数的化简,函数的零点个数的判断,考查数形结合与转化思想的应用.13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=100m.考点:解三角形的实际应用.专题:计算题;解三角形.分析:设此山高h(m),在△BCD中,利用仰角的正切表示出BC,进而在△ABC中利用正弦定理求得h.解答:解:设此山高h(m),则BC=h,在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.根据正弦定理得=,解得h=100(m)故答案为:100.点评:本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求解.14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是①②③.(写出所有正确结论的序号)考点:命题的真假判断与应用;圆与圆的位置关系及其判定.专题:创新题型;简易逻辑.分析:(1)取AB的中点E,通过圆C与x轴相切于点T,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;(2)设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),计算出、、的值即可.解答:解:(1)∵圆C与x轴相切于点T(1,0),∴圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,∵|AB|=2,∴|BE|=1,则|BC|=,即圆的半径r=|BC|=,∴圆心C(1,),则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2,故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2.(2)∵圆心C(1,),∴E(0,),又∵|AB|=2,且E为AB中点,∴A(0,﹣1),B(0,+1),∵M、N在圆O:x2+y2=1上,∴可设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),∴|NA|=====,|NB|====,∴===,同理可得=,∴=,①成立,﹣=﹣()=2,②正确.+=+()=,③正确.故答案为:①②③.点评:本题考查求圆的标准方程,用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.选修4-1:几何证明选讲15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.考点:与圆有关的比例线段.专题:推理和证明.分析:利用切割线定理推出PA=2PB,利用相似三角形求出比值即可.解答:解:由切割线定理可知:PA2=PB•PC,又BC=3PB,可得PA=2PB,在△PAB与△PAC中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得△PAB∽△PAC,∴==.故答案为:.点评:本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用,考查逻辑推理能力.选修4-4:坐标系与参数方程16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.考点:简单曲线的极坐标方程;双曲线的参数方程.专题:坐标系和参数方程.分析:化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式得答案.解答:解:由ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得y﹣3x=0,由C的参数方程为(t为参数),两式平方作差得:x2﹣y2=﹣4.联立,得,即.∴A(),B(),∴|AB|=.故答案为:.点评:本题考查极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,是基础的计算题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ)0 5 ﹣5 0(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题:三角函数的图像与性质.分析:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.从而可补全数据,解得函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可得解.解答:解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ)0 5 0 ﹣5 0且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.点评:本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应用,属于基本知识的考查.18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.数列的求和.考点:等差数列与等比数列.专题:(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;分析:(2)当d>1时,由(1)知c n=,写出T n、T n的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.解解:(1)设a1=a,由题意可得,答:解得,或,当时,a n=2n﹣1,b n=2n﹣1;当时,a n=(2n+79),b n=9•;(2)当d>1时,由(1)知a n=2n﹣1,b n=2n﹣1,∴c n==,∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,∴T n=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,∴T n=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,∴T n=6﹣.点评:本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD 中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间向量及应用.分析:解法1)(1)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF,即可判断DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,确定直角.(2)根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF,DG⊥DB,根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可.2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.解答:解法1)(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面ABCD.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如图1,在面BPC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF,DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DGF=∠FDB=,则tan=tan∠DPF===,解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.(解法2)(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ1,﹣1),点E是PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),于是=0,即PB⊥DE.又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.因=(0,1,﹣1),=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,则运用向量的数量积求解得出cos==,解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.点评:本题综合考查了空间直线平面的垂直问题,直线与直线,直线与平面的垂直的转化,空间角的求解,属于难题.20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.考点:简单线性规划的应用;离散型随机变量的期望与方差.专题:不等式的解法及应用;概率与统计.分析:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,列出可行域,目标函数,通过当W=12时,当W=15时,当W=18时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z的分布列.求出期望即可.(2)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可.解答:(12分)解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1000x+1200y变形为,当x=2.4,y=4.8时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)..将z=1000x+1200y变形为,当x=3,y=6时,直线l:在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C (6,4),D(9,0).将z=1000x+1200y变形为:,当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为:Z 8160 10200 10800P 0.3 0.5 0.2因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:.点评:本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,线性规划的应用,二项分布概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:创新题型;开放型;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(1)根据条件求出a,b即可求椭圆C的方程;(2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.解答:解:(1)∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立,同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.∴椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为.(2)①当直线l的斜率k不存在时,直线l为:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ=,②直线l的斜率k存在时,直线l为:y=kx+m,(k),由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,由,可得P(,),同理得Q(,),原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|,可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②,将①代入②得S△OPQ=||=8||,当k2>时,S△OPQ=8()=8(1+)>8,当0≤k2<时,S△OPQ=8||=﹣8()=8(﹣1+),∵0≤k2<时,∴0<1﹣4k2≤1,≥2,∴S△OPQ=8(﹣1+)≥8,当且仅当k=0时取等号,∴当k=0时,S△OPQ的最小值为8,综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,三角形OPQ的面积存在最小值为8.点评:本题主要考查椭圆方程的求解,以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.22.(14分)(2015•湖北)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.考点:数列与不等式的综合.专题:创新题型;导数的综合应用;点列、递归数列与数学归纳法;不等式的解法及应用.分析:(1)求出f(x)的定义域,利用导数求其最大值,得到1+x<e x.取x=即可得到答案;(2)由b n=n(1+)n a n(n∈N+),变形求得,,,由此推测=(n+1)n.然后利用数学归纳法证明.(3)由c n的定义、=(n+1)n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及,利用放缩法证得T n<eS n.解答:(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1﹣e x.当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令,得,即.①(2)解:;=;.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(2)假设当n=k时,②成立,即.当n=k+1时,,由归纳假设可得=.∴当n=k+1时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.(3)证明:由c n的定义,②,算术﹣几何平均不等式,b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====<ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n<eS n.点评:本题主要考查导数在研究函数中的应用,考查利用归纳法证明与自然数有关的问题,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了利用放缩法法证明数列不等式,是压轴题.2015年湖北省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•湖北)i 为虚数单位,i 607的共轭复数为( ) A . i B . ﹣i C . 1 D . ﹣1 2.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) A . 134石 B . 169石 C . 338石 D . 1365石3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A . 212B . 211C . 210D . 294.(5分)(2015•湖北)设X ~N (μ1,ς12),Y ~N (μ2,ς22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A . P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B . P(X ≤ς2)≤P (X ≤ς1) C . 对任意正数t ,P (X ≤t )≥P (Y ≤t ) D . 对任意正数t ,P(X ≥t )≥P (Y ≥t )5.(5分)(2015•湖北)设a 1,a 2,…,a n ∈R ,n ≥3.若p :a 1,a 2,…,a n 成等比数列;q :(a 12+a 22+…+a n ﹣12)(a 22+a 32+…+a n 2)=(a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n )2,则( ) A . p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 B . p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 C . p 是q 的充分必要条件 D . p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则()A.s gn[g(x)]=sgnx B.s gn[g(x)]=﹣sgnx C.s gn[g(x)]=sgn[f(x)]D.s gn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()A.P1<P2<P3B.P2<P3<P1C.P3<P1<P2D.P3<P2<P18.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e29.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()A.77 B.49 C.45 D.3010.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[t n]=n同时成立,则正整数n的最大值是()A.3B.4C.5D.6二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•=.12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为.13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②﹣=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)选修4-1:几何证明选讲15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=.选修4-4:坐标系与参数方程16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ)0 5 ﹣5 0(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD 中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(14分)(2015•湖北)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.。
2015年高考湖北理科数学卷(含解析、答案)word
湖北省教育考试院 保留版权 数学(理工类) 第1页(共18页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工类)本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭..复数..为 A .i B .i - C .1 D .1-答案:A 解析:6084152607i i 1ii i i i⨯====-,其共轭复数为i .故选(A ). 2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为 A .134石 B .169石 C .338石 D .1365石答案:B解析:这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石.故选(B). 3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 A .122 B .112C .102D .92答案:D解析:因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等,所以37C C n n =,解得10n =.所以根据二项式系数和的相关公式得,奇数项的二项式系数和为1922n -=.故选(D).数学(理工类) 第2页(共6页)4.设211(,)X N μσ ,222(,)Y N μσ ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥ 答案:C解析:对于选项(A),因为正态分布曲线关于直线x μ=对称,所以12μμ<.所以()()120.5P Y P Y μμ≥>=≥.故选项(A )错误;对于选项(B ),因为X 的正态分布密度曲线比Y 的正态分布密度曲线更“瘦高”,所以12σσ<.所以()()21P X P X σσ≤<≤.故选项(B )错误;对于选项(C),在y 轴右方作与x 轴垂直的一系列平行线,可发现在任何情况下,X 的正态分布密度曲线与x 轴之间围成的图形面积都大于Y 的正态分布密度曲线与x 轴之间围成的图形面积,即对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤.故选项(C) 正确;5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥. 若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ,则A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 答案:A解析:柯西不等式“数学(理工类) 第3页(共6页)()()()222222212-1231223-1n n n n aa a a a a a a a a a a ++⋯+++⋯+≥++⋯+”等号成立的条件是“-11223n na a a a a a ==⋯=(即12,,,,n a a a …成等比数列)”或“230n a a a ====…”,故p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.故选(A ).6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-答案:B解析:不妨令()1f x x =+,2a =,则()()()2g x f x f x x =-=-. 则()()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦,排除选项(A ); ()()sgn sgn 1f x x =+⎡⎤⎣⎦是以1+x 与0比较,排除选项(C ),(D ). 故选(B ).7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则 A .123p p p << B .231p p p << C .312p p p << D .321p p p <<答案:B解析:在同一平面直角坐标系中,依次作出不等式01,11,,01,22x x y x y y ≤≤⎧+≥-≤⎨≤≤⎩12xy ≤的可行域如下图所示:数学(理工类) 第4页(共6页)则OCDEBACDE S S p 四边形曲边多边形=1,OCDEBOAFDGS S p 四边形曲边多边形=2,3GEOCF OCDES p S =曲边多边形四边形.因为D G F BEG ABO S S S ∆∆∆== ,所以BOAFDG GEOCF BACDE S S S <<曲多形曲多形曲多形边边边边边边. 所以BOAFDGGEOCF BACDE OCDEOCDEOCDES S S S S S <<曲多形曲多形曲多形四形四形四形边边边边边边边边边.即231p p p <<.故选(B ).8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则 A .对任意的,a b ,12e e > B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e < C .对任意的,a b ,12e e < D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >答案:D解析:2211a b e +=,2e =.不妨令21e e <,化简得()0b b m m a a m +<>+,得am bm <,得b a <.所以当a b >时,有m a m b a b ++>,即21e e >;当a b <时,有ma mb a b ++<,即21e e <.故选(D ).9.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为A .77B .49C .45D .30 答案:C解析:如图,集合A 表示如下图所示的所有红心圆点,集合B 表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心数学(理工类) 第5页(共6页)圆点,集合A B ⊕显然是集合(){},|3,3,,x y x y x y ≤≤∈Z 中除去四个点()()()(){}3,3,3,3,3,3,3,3----之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A B ⊕表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点+所有黄心圆点,共45个.故A B ⊕中元素的个数为45 . 故选(C ).10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n = 同时成立....,则正整数n 的最大值是 A .3 B .4 C .5 D .6 答案:B二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题......号.的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)11.已知向量OA AB ⊥ ,||3OA =,则OA OB ⋅= .答案:9 解析:由OA AB ⊥ ,得0OA AB =.所以()2O A O B O A O A A B O AO=+=+22039OA =+== .12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 .答案:2解析:()()()224cossin 2sin ln 12sin 2cos 1ln 122x x f x x x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭数学(理工类) 第6页(共6页)()sin 2ln 1x x =-+,令()0f x =,得()sin 2ln 1x x =+.在同一坐标系中作出两个函数sin 2y x =与函数()ln 1y x =+的大致图象如右图所示.观察图像可知,两函数图像有2个交点,故函数()f x 有2个零点.13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75 的方向上,仰角为30 ,则此山的高度CD = m.答案:解析:依题意,在ABC ∆中,600AB =,30BAC ∠=︒,753045ACB ∠=︒-︒=︒,由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠,即600sin 30sin 45BC =︒︒,所以BC =.在BCD ∆中,30CBD ∠=︒,tan tan30CD BC CBD =∠=︒=AB数学(理工类) 第7页(共6页)14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方), 且2AB =.(Ⅰ)圆C 的标准..方程为 ; (Ⅱ)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点,下列三个结论:①NA MA NBMB=; ②2NB MA NAMB-=;③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)答案:(Ⅰ)22(1)(2x y -+=;(Ⅱ)①②③解析:(1)由题意设圆心()1,C r (r 为圆C 的半径),则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,解得r =所以圆C 的方程为()(2212x y -+=.(2)在()(2212x y -+=中,令0x =,得1y =.又由图可知,点A 在下B在上,所以点()1A,()1B .设()()1122,,,,M x y N x y数学(理工类) 第8页(共6页)当直线MN 的斜率不存在时,令()()0,1,0,1,M N -则1NA NB ==, 1.MAMB == 所以.NA MA NBMB=当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为1y kx =,由221,1,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(1)1)2(10k x kx +++=,则1212222(12(1,,11k x x x x k k +==++12121212111(1)1(1)BM NB y y kx kx k k x x x x ----+=+=+----21212121222(12222()220,1kkx kx x x k k x x x x k -⨯--+=+=-+==--+. 所以,BM NB k k =-所以,MBA NBA∠=∠BA 是MBN ∠的平分线.由内角平分线定理得,MB MA NBNA=即.NA MA NBMB=故NA MA NBMB =恒成立.当0k =时,可求得1NA NB =.故1NA NB=为定值.所以12,NB MA NAMB-==.故②正确;1NB MA NAMB+==.故③正确. 综上,正确结论的序号是①②③.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.(选修4-1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线, 且3BC PB =,则ABAC= .数学(理工类) 第9页(共6页)答案:12解析:由切割线定理知2PA PB PC =⋅,且3B C P B =,所以2P A P B =.由弦切角定理知PCA PAB ∠=∠,又APC BPA ∠=∠,所以PAB PCA ∆∆ .所以12AB PA AC PC ==. 16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ,l 与C 相交于A ,B 两点,则||AB = .答案:直线l 的极坐标方程()sin 3cos 0ρθθ-=化为直角坐标方程为30x y -=,曲线C 的参数方程1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩两式经过平方相减,化为普通方程为224y x -=,联立2230,4,x y y x -=⎧⎨-=⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22A ⎛-- ⎝⎭,22B ⎛ ⎝⎭.所以AB ==APBC数学(理工类) 第10页(共6页)三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置...........,并直接写出函数()f x 的解 析式;(2)将()y f x =图像上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图像. 若()y g x =图像的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 解:(1)根据表中已知数据,解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表:且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.(2)由(1)知 π()5sin(2)6f x x =-,得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称,令ππ5π21212k θ+-=, 解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =.数学(理工类) 第11页(共6页)(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)当1d >时,记nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n T . 解:(1)由题意有,111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n na nb -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩(2)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是 2341357921122222n n n T --=++++++ , ① 2345113579212222222n n n T -=++++++ . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- , 故n T 12362n n -+=-. 19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于 点F ,连接,,,.DE DF BD BE(1)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体D BEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3, 求DCBC的值.数学(理工类) 第12页(共6页)解:(解法1)(1)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D = ,所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥.而PC BC C = ,所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面,所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥,DE EF E = ,所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,. (2)如图1,在面PBC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由(1)知,PB DEF ⊥平面,所以PB DG ⊥.又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ,所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角, 设1PD DC ==,BC λ=,有BD 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则πtantan 3BD DPF PD=∠==解得λ=所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC = 第19题图数学(理工类) 第13页(共6页)解答图2解答图1(解法2)(1)如图2,以D 为原点,射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ,(,1,1)PB λ=-,点E 是PC 的中点,所以11(0,,)22E ,11(0,,)22DE = , 于是0PB DE ⋅=,即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥,而DE EF E = ,所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅= , 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠,,EFB DFB ∠∠,.(2)由PD ABCD⊥平面,所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB DEF ⊥平面,所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD所成二面角的大小为π3,则π1cos 32||||BP DPBP DP ⋅===⋅, 解得λ=所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC = 20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品数学(理工类) 第14页(共6页)的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量.(1)求Z 的分布列和均值;(2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 解:(Ⅰ)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ,相应的获利为z ,则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ ① 目标函数为 10001200z x y =+.当12W =时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当 2.4, 4.8x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.当15W =时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,当3, 6x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=. 当18W =时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+,解答图1 解答图2解答图3数学(理工类) 第15页(共6页)3311(1)10.30.973.p p =--=-=当6,4x y ==时,直线l :561200zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=.因此,()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= (2)由(1)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若解:(1)设点(,0)(||2)Dt t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,2MD DN = ,且||||1DN ON ==,图1图2解答图数学(理工类) 第16页(共6页)所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x y x y ==-,代入22001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=(2)1)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.2)当直线l 的斜率存在时,设直线1:()2l y kx m k =+≠±,由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =|||P Q PQ x x -,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合1)2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ,e 为自然对数的底数.(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n+与e 的大小;数学(理工类) 第17页(共6页)(2)计算11b a ,1212b b a a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式,并给出证明; (3)令112()nn n c a a a = ,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明:e n n T S <. 解:(Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-.当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增; 当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e x x +<.令1x n=,得111e n n +<,即1(1)e n n +<. ①(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=;22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=;2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测:1212(1).n nnb b b n a a a =+ ②下面用数学归纳法证明②.1)当1n =时,左边=右边2=,②成立. 2)假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kkb b b k a a a =+ .当1n k =+时,1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++,由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++ .所以当1n k =+时,②也成立.根据1)2),可知②对一切正整数n 都成立. (3)由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++= 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++数学(理工类) 第18页(共6页)1212n b b b n <+++ 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S .即e n n T S <.。
湖北宜昌2015届高三5月模拟考试理科综合物理试题扫
湖北省宜昌市2015届高三5月模拟考试理科综合物理试题(扫描版)物理参考答案及评分标准14.B 15.B 16.D 17.A 18.D 19.AD 20.AC 21.BCD22.(7分)答案(1) D (3分) (2) 否 (2分) (3)m kM -=1 (2分) 23. (8分)答案:(1)电路图如图所示 (4分) (2)R 2=E I -R -r =260Ω. 增大(每空2分)24. (14分)解析 :⑴当AB 一起运动达最大位移时,对A 受力分析有:mg -F N1-kx 1=0 (3分)A .B 分离瞬间F N1=0,故:x 1 = mg /k =0.15(m ) (3分)⑵设AB 一起运动最大位移为2,对受力分析:-F N2-kx 2=ma (2分) A 、B 分离瞬间F N2=0, t =0.17s (2分) 弹簧弹力对A 弹=k x 2 (1分) 分离时物块A 的速度222ax v = (1分)对A 由动能定理有:(1分) 代入数据得B 对A (1分) 25.(18分)【解析】: 解:(1)由题意画出粒子运动轨迹如图(甲)所示,设PQ 1与x 轴正方向夹角为θ,粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R 1,由几何关系得:R 1cos θ=L 其中:552cos =θ (3 分) 粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有:121R v m qvB =, (3 分) 解得:m qBL v 251=. (2分) (2)由题意画出粒子运动轨迹如图所示,设粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R 2,偏转一次后在y 负方向偏移量为△y 1,由几何关系得:θcos 221R y =∆, (2分)粒子与挡板碰撞后,每碰撞一次,粒子进出磁场在y 轴上上移的距离为△y 2(如图中A 、E 间距)由题给条件有:θtan 3/2/2=∆L y 得32L y =∆. (2分) 当粒子只碰二次,其几何条件是L y y 22321=∆-∆解得:L R 9522= (2分) 粒子磁场中做匀速圆周运动:22R v m qvB = (2分) 解得:mqBL v 952=. (2分)33.(1)BCE(2)①由题图乙可知5 N 300 N =t -27 °C 327 °C-27 °C得出t =32 °C②温度t 1=327 °C 时,密封气体的压强p 1=p 0+F S=p 0+1.2×105 Pa 密封气体发生等容变化,则p 0273+t 0=p 1273+t 1联立以上各式并代入数据解得p 0=1.2×105 Pa34.(1)ACD(2)光路图如图所示,由折射定律知,光线在AB 面上折射时有n =sin 60°sin α在AD 面上出射时n =sin γsin β联立以上各式并代入数据解得α=β=45°,γ=60°光在棱镜中通过的距离s =22d =c nt 设点光源到P 点的距离为L ,有L =ct 解得L =32d35.(1)BCE(2)设铁块向左运动到达竖直墙壁时的速度为v 1,根据动能定理得22101122mgL mv mv μ-=- 解得v 1=4 m/s 假设发生弹性碰撞后小铁块最终和平板小车达到的共同速度为v 2,根据动量守恒定律得mv 1=(M +m )v 2解得v 2=1 m/s设小铁块运动的位移为x 时与平板小车达到共同速度,则根据功能关系得222111()22mgx M m v mv μ-=+- 解得x =43 m 由于x>L 说明铁块在没有与平板小车达到共同速度时就滑出平板小车. 所以小铁块在平板小车上运动的过程中系统损失的机械能为 ΔE =2μmgL =18 J。
湖北省黄冈中学2015届高三5月模拟考试理科数学试卷及答案
(图二)2015届黄冈中学高三下5月模拟考试 数学试题(理)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数122ii +-的共轭复数是 A.35i B.35i -C. iD. i -2.设全集U R =,函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ,集合{|sin 0}B x x π==,则()U C A B 的元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 43.下列四种说法中,正确的个数有①命题“x ∀∈R ,均有232x x --≥0”的否定是:“x ∃∈R ,使得2320x x --≤” ②“命题p ∨ q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;③∃m R ∈,使()22mmf x mx+=是幂函数,且在()0,+∞上是单调递增④若数据123,,x x x ,…,n x 的方差为1,则1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的方差为2 A .0个B .1个C .2个D .3个4.已知x ,y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩,且的最大值是最小值的4倍,则a 的值是A .34 B .14 C .211D .4 5. 如图所示的茎叶图(图一) 为高三某班50名学生的化学考 试成绩,图(二)的算法框图中 输入的i a 为茎叶图中的学生成绩, 则输出的n m ,分别是A .12,38==n mB .26,12m n ==C . 12,12m n ==D .24,10m n ==6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.2 C.(图一)7.先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x ,y ,设事件A 为“y x +为偶数”, 事件B 为“x ,y 中有偶数且y x ≠”,则概率)|(A B P 等于A .31 B .21 C .61 D .418.设函数sin ()11cos xf x x=++的所有正的零点从小到大依次为,.....,,321x x x .设1232015....x x x x α=++++,则cos α的值是A.0B.23-C.23D.1 9. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线,设切点为M ,延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ,其中13C C 、有一个共同的焦点,若1MF MN =,则曲线1C 的离心率为11 D.1210.已知非零向量,,a b c 满足||||4a b b -==,()()0a c b c -⋅-=,若对每一个确定的b ,||c 的最大值和最小值分别为,m n ,则m n -的值为A.随||a 增大而增大B. 随||a 增大而减小C.是2D. 是4 二、填空题:本大题共6个小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一) 必考题(11—14题)11.若1)nx的二项展开式中各项的二项式系数的和是64,展开式中的常数项为 ___________(用数字作答).12.已知等差数列{}n a 满足2420122014032a a a a π+++=⎰,n S 是该数列的前n 项的和,则2015S = .13.计算12323nn n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+,可以采用以下方法:构造等式:0122n n n n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+,两边对x 求导, 得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+,在上式中令1x =,得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅.类比上述计算方法,计算12223223nn n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+=_________.14.如果)(x f y =的定义域为R ,对于定义域内的任意x ,存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立,则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题:①函数x y sin =具有“)(a P 性质”;②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”,且1)1(=f ,则(2015)1f =;③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”, 图象关于点(10),成中心对称,且在(1,0)-上单调递减,则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增;④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”,且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,,都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立,则函数)(x g y =是周期函数. 其中正确的是(写出所有正确命题的编号).(二) 选考题(请考生在第15、16两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.如图,圆A 与圆B 交于C 、D 两点,圆心B 在圆A 上,DE 为圆B 的直径,已知4,1==DE CE ,则圆A 的半径为_______.16.在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P 为直线cos sin 40ρθρθ--=上一点,点Q 为曲线2(14x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)上一点,则||PQ 的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)在锐角△ABC 中,222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)若a =7sin cos()12B C π+-取得最大值时,求B 和b . 18.(本小题满分12分) 黄冈市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策.根据规定,每年发放10万个小汽车名额,其中电动小汽车占20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半.政策推出后,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查,结果如下表所示:(Ⅰ)采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人,求其中各种意向人数; (Ⅱ)在(Ⅰ)中选出的10个人中随机抽取4人,求其中恰有2人有竞价申请意向的概率; (Ⅲ)用样本估计总体,在全体市民中任意选取4人,其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ,BA =AD =DC =21BC =a ,E 是BC 的中点,将△BAE 沿AE 折起到1B AE ∆的位置,使平面1B AE ⊥平面AECD ,F 为B 1D 的中点. (Ⅰ)证明:B 1E ∥平面ACF ;(Ⅱ)求平面ADB 1与平面ECB 1所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,满足4231-⋅-=++n n n n a S ,*N ∈n ,且42,,321+a S a 成等比数列.(Ⅰ)求1a ,2a ,3a 的值; (Ⅱ)设2n n n a b =,n N *∈,求{}n a 的通项公式.21.(本小题满分13分)已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设F 为椭圆C 的右焦点,T 为直线(,2)x t t R t =∈≠上纵坐标不为0的任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q .(ⅰ)若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点),求t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当||||PQ TF 最小时,求点T 的坐标.22. (本小题满分14分)已知xe exx g m x a mx x f =--=)(,ln )(( 2.71828)e =,其中a m ,均为实数.(Ⅰ)求)(x g 的极值;(Ⅱ)设1,0m a ==,求证:对[]2112122121,3,4(),()()()()ex exx x x x f x f x g x g x ∀∈≠-<-恒成立;(Ⅲ)设2=a ,若对∀给定的(]e x ,00∈,在区间(]e ,0上总存在)(,2121t t t t ≠使得)()()(021x g t f t f ==成立,求m 的取值范围.答 案15- DCCBB 610- CAADD11.15 12. 4030 13. 2(1)2n n n -+⋅ 14. ①③④ 15. 4 16.217.18.19(1)连结ED 交AC 于O ,连结OF ,因为AECD 为菱形,OE=OD 所以FO ∥B 1E , 所以1//B E ACF 面。
2015年高考理数真题试卷(湖北卷)【答案加解析】
2015年高考理数真题试卷(湖北卷)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(2015·湖北)为虚数单位,的共轭复数为()A. B. - C. 1 D. -12.(2015·湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石3.(2015·湖北)已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A. B. C. D.4.(2015湖北)设,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()A. B.C. 对任意正数,D. 对任意正数,5.(2015·湖北)设. 若p:成等比数列;q:,则()A. p是q的充分条件,但不是q的必要条件B. p是q的必要条件,但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.(2015·湖北).已知符号函数是R上的增函数,,则()A. B.C. D.7.(2015·湖北)在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,为事件“”的概率,则()A. B. C. D.8.(2015·湖北)将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线,则()A. 对任意的,B. 当时,;当时,C. 对任意的,D. 当时,;当时,9.(2015·湖北)已知集合,,定义集合,则中元素的个数为()A. 77B. 49C. 45D. 3010.(2015·湖北)设整数. 若存在实数,使得,,…,同时成立,则正整数n的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 6二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(2015·湖北)已知向量AB,,则________ .12.(2015·湖北)函数的零点个数为 ________ .13.(2015·湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75∘的方向上,仰角为30∘,则此山的高度CD=________ m.14.(2015·湖北)(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则ABAC=________ .15.(2015·湖北)(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为,曲线C的参数方程为 ( t为参数) ,与C相交于两点,则________ .三.解答题16.(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值.17.(2015·湖北)设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q.已知,,,.(1)求数列,的通项公式;(2)当时,记,求数列的前项和.18.(2015·湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P-ABCD中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接(1)证明:平面.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面与面所成二面角的大小为,求的值.19.(2015·湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为(Ⅰ)求Z的分布列和均值;该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.20.(2015·湖北)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.21.(2015·湖北)已知数列的各项均为正数,,为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间,并比较与的大小;(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令,数列,的前项和分别记为,, 证明:.答案解析部分一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
2015年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2015年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.已知集合A={-1,i},i为虚数单位,则下列选项正确的是()A.∈AB.∈AC.i3∈AD.|-i|∈A【答案】D【解析】解:A.∉A,不正确;B.===-i∉A,不正确;C.i3=-i∉A,不正确;D.|-i|=1∈A,正确.故选:D.利用复数的运算经过计算即可判断出.本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.2.“ab>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解:∵由“ab>0”,不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”,例如a<0,b<0时,“方程ax2+by2=1不表示椭圆”.“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab>0”,∴“ab>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.由“ab>0”,不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”,“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab>0”,所以∴“ab>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件.本题考查充分条件、必要条件和充要条件,解题时要注意椭圆的定义和性质的灵活运用.3.若任取x,y∈(0,1],则点P(x,y)满足y≤x的概率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】解:由题意可得,x,y∈(0,1)所对应区域为边长为1的正方形,面积为1记“点P(x,y)满足y≤为事件A,则A包含的区域由确定的区域的面积为S===,∴P(A)=.故选:D.确定x,y∈[0,1]所对应区域为边长为1的正方形,面积为1,由确定的区域的面积,代入等可能事件的概率公式即可求解.本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解,解题的关键是准确求出基本事件所对应的区域的面积.4.将函数f(x)=sin(2x+φ)(φ<π)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)=cos (2x+)的图象,则φ的值为()A.-πB.-C.D.【答案】C【解析】解:将函数f(x)=sin(2x+φ)(φ<π)的图象向左平移个单位后,得到y=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ)的图象.再根据所得到的图象对应函数为g(x)=cos(2x+),∴sin(2x++φ)=cos(2x+),∴2x+=2x++φ-,求得φ=,故选:C.由条件利用y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律可得sin(2x++φ)=cos(2x+),故有2x+=2x++φ-,由此求得φ的值.本题主要考查y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式的应用,属于基础题.5.公差不为0的等差数列{a n},其前23项和等于其前10项和,a8+a k=0,则正整数k=()A.24B.25C.26D.27【答案】C【解析】解:由题意设等差数列{a n}的公差为d,d≠0,∵其前23项和等于其前10项和,∴23a1+d=10a1+d,变形可得13(a1+16d)=0,∴a17=a1+16d=0,由等差数列的性质可得a8+a26=2a17=0,∴k=26故选:C由等差数列的求和公式和性质可得a8+a26=2a17=0,可得k值.本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题.6.(1+2x)6(1+y)4的展开式中xy2项的系数为()A.45B.72C.60D.120【答案】B【解析】解:由于(1+2x)6(1+y)4=(1+12x+60x2+160x3+…+64x6)(1+4y+6y2+4y3+y4),可得xy2项的系数为12×6=72,故选:B.把所给的式子利用二项式定理展开,可得xy2项的系数.本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.7.某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课,如果第一节不排生物,最后一节不排物理,那么不同的排法共有()A.36种B.39种C.60种D.78种【答案】B【解析】解:若第一节排生物,有=12种方法,第五节排物理,有=12种方法,若第一节排生物,第五节排物理,有=3种方法,第一节不排生物,第五节不排物理共有-2+=60-24+3=39种方法.故选:B利用排除法进行求解即可.本题主要考查排列组合的计算问题,根据特殊元素的满足的条件,利用分类讨论和排除法是解决本题的关键.8.已知函数f(x)=(2x-)x,则下列结论中正确的是()A.若-3≤m<n,则f(m)<f(n)B.若m<n≤0,则f(m)<f(n)C.若f(m)<f(n),则m2<n2D.若f(m)<f(n),则m3<n3【答案】C【解析】解:函数f(x)=(2x-)x的定义域为R,f(-x)=(2-x-2x)(-x)=x(2x-2-x)=f(x),则f(x)为偶函数,f(x)的导数f′(x)=x(2x ln2+2-x ln2)+2x-2-x,当x>0时,2x>1,0<2-x<1,则f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,则由偶函数的性质,可得f(x)在(-∞,0]上递减.对于A,若-3≤m<n,有f(m)>f(n),A不正确;对于B,若m<n≤0,则f(m)>f(n),B不正确;对于C,若f(m)<f(n),即为f(|m|)<f(|n|),则有|m|<|n|,即有m2<n2,C正确;对于D,若f(m)<f(n),则m,n不好比较大小,则D不正确.故选C.求出函数f(x)的定义域,运用奇偶性的定义,判断f(x)为偶函数,再求f(x)的导数,讨论x>0,结合指数函数的单调性,即可判断单调性,对选项一一加以判断即可得到答案.本题考查函数的奇偶性和单调性的运用,同时考查指数函数的单调性的运用,属于中档题和易错题.9.已知过x轴上一点E(x0,0)(0<x0<)的直线l与椭圆+y2=1相交于M、N两点,若+为定值,则x0的值为()A.1B.C.D.【答案】B【解析】解:设直线MN的方程为.M(x0+t1cosα,t1sinα),N(x0+t2cosα,t2sinα)..把直线MN的方程代入椭圆的方程+y2=1,化为(1+sin2α)t2+2x0tcosα+x02-2=0.∴t1+t2=,t1t2=.∴t12+t22=∴+=.∵+为定值,∴4-6x02=0,又x0>0.解得x0=.故选:B.设直线MN的参数方程,可得M,N的坐标,把直线MN的方程代入椭圆的方程,得到根与系数的关系,可得+=,由于+为定值,因此4-6x02=0,解出即可.本题考查了直线与椭圆相交定值问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的参数方程及其参数的意义,考查了推理能力和计算能力,属于难题.10.若关于x的方程(x-1)4+mx-m-2=0各个实根x1,x2…x k(k≤4,k∈N*)所对应的点(x i•),(i=1,2,3…k)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是()A.(-1,7)B.(-∞,-7)U(-1,+∞)C.(-7,1)D.(-∞,1)U(7,+∞)【答案】D【解析】解:方程的根显然x≠1,原方程等价于(x-1)3+m=,原方程的实根是曲线y=(x-1)3+m与曲线y=的交点的横坐标.而曲线y=(x-1)3+m是由曲线y=(x-1)3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(xi,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为:(-1,-1),(2,2);所以结合图象可得,由(2-1)3+m=2,解得:m=1,由(-1-1)3+m=-1,解得:m=7∴m<1或m>7,故选:D.原方程等价于(x-1)3+m=,原方程的实根是曲线y=(x-1)3+m与曲线y=的交点的横坐标,分别作出左右两边函数的图象:分m>0与m<0讨论,可得答案.本题综合考查了反比例函数,反比例函数与一次函数图象的交点问题,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,属于中档题.二、填空题(本大题共6小题,共20.0分)11.已知向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),则|λ|= ______ .【答案】【解析】解:设=(x,y).∵向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),∴=λ(x,y)+(2,1)=(λx+2,λy+1),∴,化为λ2=5.解得.故答案为:.设=(x,y).由于向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),可得,解出即可.本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法,属于基础题.12.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为4,则输入p的取值范围是______【答案】(,]【解析】解:模拟执行程序框图,可得n=1,S=0满足条件S<P,S=,n=2满足条件S<P,S=+=,n=3满足条件S<P,S=++=,n=4由题意可得,此时,不满足条件<P,退出循环,输出n的值为4,既有:≥P>,可解得p的取值范围是:(,].故答案为:(,].模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当S=时由题意此时不满足条件<P,退出循环,输出n的值为4,从而可解得p的取值范围.本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的S,n的值是解题的关键,属于基础题.13.在半径为5的球面上有不同的四点A、B、C、D,若AB=AC=AD=2,则平面BCD 被球所截得图形的面积为______ .【答案】16π【解析】解:设A在平面BCD上的射影为H,则H为△BCD的外心.∵AB=AC=AD=2,R=5,∴由射影定理可得20=10AH,∴AH=2,∴BH==4,∴平面BCD被球所截得图形的面积为π×42=16π.故答案为:16π.设A在平面BCD上的射影为H,则H为△BCD的外心,利用射影定理求出AH,可得BH,即可求出平面BCD被球所截得图形的面积.本题考查平面BCD被球所截得图形的面积,考查射影定理,求出△BCD的外接球的半径是关键.14.若实数x,y满足|x-3|≤y≤1,则z=的最小值为______ .【答案】【解析】解:依题意,得实数x,y满足,画出可行域如图所示,其中A(3,0),C(2,1),z==,设k=,则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率,则OC的斜率最大为k=,OA的斜率最小为k=0,则0≤k≤,则1≤k+1≤,≤≤1,故≤1+≤2,故z=的最小值为.故答案为:.把已知的不等式转化为不等式组,然后作出可行域,化目标函数为含有的代数式,然后由的几何意义求出其范围,代入目标函数求得目标函数的最小值.本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的应用,利用数形结合是解决本题的关键.是中档题.15.在极坐标系中,圆ρ2-4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=(ρ∈R)的距离最小值是______ .【答案】-1【解析】解:圆ρ2-4ρcosθ+3=0化为x2+y2-4x+3=0,配方为(x-2)2+y2=1,可得圆心C(2,0),半径r=1.直线θ=(ρ∈R)化为.∴圆心C到直线的距离d==,∴圆ρ2-4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=(ρ∈R)的距离最小值=d-r=-1.故答案为:-1.圆ρ2-4ρcosθ+3=0化为x2+y2-4x+3=0,可得圆心C(2,0),半径r=1.直线θ=(ρ∈R)化为.利用点到直线的距离公式可得:圆心C到直线的距离d,即可得出圆ρ2-4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=(ρ∈R)的距离最小值=d-r.本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆上的点到直线的距离,考查了计算能力,属于基础题.16.(几何证明选讲选做题)如图,PT是圆O的切线,PAB是圆O的割线,若PT=2,PA=1,∠P=60o,则圆O的半径r= ______ .【答案】【解析】解:连接AT在△APT中,P=60°,PT=2,PA=1,AT=∴∠TAP=90°,∴∠BAT=90°,∴BT是圆的直径,∵PT是圆O的切线,PAB是圆O的割线,∴PT2=PA•PB,∴△PAT∽△PTB∴∴BT=2∴圆的半径是,故答案为:在三角形中,根据一角和两边可以做出要用的边长,根据切线和割线定理,得到三角形对应边成比例,把已知代入比例式,得到要求的边长,而本边长是圆的直径,得到半径.本题考查圆的切割线定理,考查三角形相似,考查直径所对的圆周角是直角,本题是一个比较简单的综合题目.三、解答题(本大题共6小题,共75.0分)17.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且△ABC的面积S=.(1)求角B的大小;(2)若a=2,且,求边c的取值范围.【答案】解:(1)由已知及三角形面积公式得S=acsin B=accos B,化简得sin B=cos B,即tan B=,又0<B<π,∴B=.(2)由正弦定理得,即c==,由C=-A,得c===,又由,知1≤tan A≤,故c∈[2,+1].【解析】(1)根据正弦定理,建立条件关系,即可求出角B的大小;(2)根据正弦定理表示出c,根据三角函数的图象和性质即可得到结论.本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,要求熟练掌握相应的定理,属于中档题.18.某校为了提高学生的身体素质,决定组建学校足球队,学校为了解学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.(1)求该校报名学生的总人数;(2)从报名的学生中任选3人,设X表示体重超过60kg的学生人数,求X的数学期望.【答案】解:(1)∵从左到右3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.∴从左到右3个小组的频数分别为6,12,18,共有36人,第4,5小组的频率之和为(0.0375+0.0125)×5=0.25,则前3小组的频率之和为1-0.25=0.75,则该校报名学生的总人数为36÷0.75=48;(2)第4,5小组的频数为48×0.25=12,则体重超过60kg的学生人数为12+18=30,则X=0,1,2,3,则P(X=0)==≈0.047,P(X=1)==≈0.265,P(X=2)=≈0.453,P(X=3)==≈0.235,则EX=0×0.047+1×0.265+2×0.453+3×0.235=1.876,即X的数学期望EX=1.876【解析】(1)根据频数关系求出每段的频数即可求该校报名学生的总人数;(2)X=0,1,2,3,求出每个变量对应的概率,即可得到结论.本题主要考查概率和统计的应用,以及随机变量的期望的计算,求出每个变量的概率是解决本题的关键.19.已知等差数列{a n}为递增数列,且P(a2,14),Q(a4,14)都在y=x+的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n;(2)设b n=,求{b n}的前n项和T n.【答案】解:(1)由题意可得,又数列{a n}为递增数列,解得a2=5,a4=9.∴等差数列{a n}的公差d=.∴a1=5-2=3.则a n=3+(n-1)×2=2n+1,;(2)b n==.当n为奇数时,=;当n为偶数时,=.∴,为奇数,为偶数.【解析】(1)由已知列式求出a2,a4,再由等差数列的通项公式求得公差,进一步求得首项,代入通项公式和前n项和得答案;(2)把等差数列的通项公式代入b n=,然后分n为奇数和偶数利用裂项相消法求{b n}的前n项和T n.本题考查了数列的函数特性,考查了等差关系的确定,考查等差数列的通项公式和前n 项和,训练了裂项相消法求数列的前n项和,是中档题.20.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A、B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC…(1分),∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC…(2分),∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD…(3分)∵CD∥BE,CD=BE,∴BCDE是平行四边形,BC∥DE,∴DE⊥平面ACD…(4分),∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD…(5分)(Ⅱ)依题意,∠…(6分),由(Ⅰ)知==,当且仅当时等号成立…(8分)如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),,,,,,,,,∴,,,,,,,,,,,,…(9分)设面DAE的法向量为,,,,即,∴,,,…(10分)设面ABE的法向量为,,,,即,∴,,,∴,>…(12分)∵,>与二面角D-AE-B的平面角互补,∴二面角D-AE-B的余弦值为.…(13分)【解析】(Ⅰ)由已知条件推导出BC⊥平面ACD,BC∥DE,由此证明DE⊥平面ACD,从而得到平面ADE⊥平面ACD.(Ⅱ)依题意推导出当且仅当时三棱锥C-ADE体积最大,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D-AE-B的余弦值.本题考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.21.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P(3,t)到其焦点的距离为4.(1)求p的值;(2)过点Q(1,0)作两条直线l1,l2与抛物线分别交于点A、B和C、D,点M,N 分别是线段AB和CD的中点,设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=3,求证:直线MN过定点.【答案】解:(1)抛物线y2=2px的焦点为(,0),准线为x=-,由抛物线的定义可得,3+=4,解得p=2;(2)证明:由题意知,k1+k2=3,不妨设AB的斜率k1=k,则CD的斜率k2=3-k,所以AB的直线方程是:y=k(x-1),CD的直线方程是y=(3-k)(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,所以y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(2+)-2k=,因为M是AB的中点,所以点M(1+,),同理可得,点N(1+,),所以直线MN的方程是:y-=(x-1-),化简得,y=(k-k2)(x-1)+,令x=1,得y=,所以直线MN过定点(1,).【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义,可得p=2;(2)不妨设AB的斜率k1=k,求出CD的斜率k2=3-k,利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程,与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程,根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标,利用点斜式方程求出直线MN的方程,化简后求出直线MN经过的定点坐标.本题主要考查抛物线的几何性质,直线方程的求解,以及直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.22.已知函数f(x)=(a、b∈R,a、b为常数),且y=f(x)在x=1处切线方程为y=x-1.(1)求a,b的值;(2)设h(x)=,k(x)=2h′(x)x2,求证:当x>0时,k(x)<+.【答案】解:(1)由题意知,f′(x)=,故f(1)=ln(1+a)+b=0,f′(1)=-[ln(1+a)+b]=1,解得,a=b=0;(2)证明:h(x)==,h′(x)=,k(x)=2h′(x)x2=;当x>0时,令t=2x,=的导数为,显然t=1取得最大值.即有∈(0,],设m(x)=1-2xlnx-2x,m′(x)=-2lnx-4=-2(lnx+2),故m(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故m max(x)=m()=1+且g(x)与m(x)不于同一点取等号,故k(x)<(1+)=+.【解析】(1)先求导f′(x),从而由f(1)=ln(1+a)+b=0,f′(1)=1组成方程组求解即可;(2)化简h(x),求导h′(x),从而化简k(x)=2h′(x)x2,分别判断与1-2xlnx-2x的最大值即可证明.本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法,属于中档题.。
高三年级模拟(五)数学(理)考试试题
鄂托克旗高级中学2015年高三年级第五次模拟数学(理科)试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<,则( )A .M N ⊆B .N M =C .{2,3}M N ⋂=D .(1,4)M N ⋃= 2.已知复数z 43i =--(i 是虚数单位),则下列说法正确的是( ) (A )复数z 的虚部为3i - (B )复数z 的虚部为3(C )复数z 的共轭复数为z 43i =+ (D )复数z 的模为53.设2log 3a =,4log 6b =,8log 9c =,则下列关系中正确的是( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c b a >> D .c a b >> 4.若552sin =α,1010)sin(=-αβ,且],4[ππα∈,]23,[ππβ∈,则αβ+的值是( ) (A )74π (B )94π (C )54π或74π (D )54π或94π 5.程序框图如图所示,若其输出结果是140,则判断框中填写的是( )A .7i <B .8i <C .7i >D .8i >6.函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为( )7.把半径为2的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为( )A .14-πB .π2 C .214-π D .21 8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4,点H 在棱1AA 上,且11HA =.在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ,P 是侧面11BCC B 内一动点,且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时, 2HP 的最小值是 ( )G FEHPACBDA 1B 1C 1D 1(A )21 (B )22 (C )23 (D )259.已知抛物线人24y x =的焦点为F ,过点(2,0)P 的直线交抛物线于A ,B 两点,直线AF ,BF 分别与抛物线交于点C ,D 设直线AB ,CD 的斜率分别为12,k k ,则12kk 等于( )A.12k kB.12C.1D.2 10.已知P (x,y )为区域2200y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点,当该区域的面积为4时,2z x y =-的最大值是( )A.6B.0C.2D.11.已知0a b >>,椭圆1C的方程为2222=1x y a b +,双曲线2C的方程为22221y x a b-=,1C 与2C 的2C 的渐近线方程为 A .. 0A x = B ..0B y ±= C ..20C x y ±= D ..20D x y ±=12.对于函数()f x ,若在定义域内存在..实数x ,满足()()f x f x -=-,称()f x 为“局部奇函数”,若()12423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”,则实数m 的取值范围是 ( )A .3131+≤≤-mB .2231≤≤-mC .2222≤≤-mD .3122-≤≤-m二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式521-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中x 的系数为___________________.14.一家5口春节回老家探亲,买到了如下图的一排5张车票:其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置,小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一,则座位的安排方式一共有__________种。
2015届湖北省部分高中高三元月调考(理)(解析版)
大冶一中 广水一中 天门中学 仙桃中学 浠水一中 潜江中学2015届高三元月调考 数学(理科)试卷【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本能力为载体,,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、复数、向量、椭圆、导数、数列、三角函数的性质,立体几何等;考查学生解决实际问题的能力。
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 【题文】1.设复数z 满足i i21=+z,则 z =( ) A.i 2+- B.i 2-- C.i 2+D.i 2-【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案】C 【解析】12i i z +=,可得z=212(12)i i i i i ++==2-i, z =2+i 【思路点拨】直接化简复数方程,复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,求出复数z 即可.【题文】2.设集合P ={x |⎰>=+-x02006103x dt t t ,)(},则集合P 的非空子集个数是( )A.2B.3C.7D.8【知识点】集合及其运算A1 【答案】B【解析】∵P={x|∫0x (3t 2-10t+6)dt=0,x >0},∴P={2,3} 因为集合A 中有2个元素,所以集合A 子集有22=4个,则集合A 的非空子集的个数是4-1=3. 【思路点拨】先根据定积分求出集合P ,根据集合子集的公式2n (其中n 为集合的元素),求出集合A 的子集个数,然后除去空集即可得到集合A 的非空真子集的个数. 【题文】3.下列结论正确的是( )A.若向量//a b ,则存在唯一的实数λ使得a λb =B.已知向量,a b 为非零向量,则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“,a b <0”C.命题:若12=x ,则1=x 或1-=x 的逆否命题为:若1≠x 且1-≠x ,则21x ≠D.若命题012<+-∈∃x x x P ,R :,则012>+-∈∀⌝x x x P ,R : 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2 【答案】C湖北省 六校【解析】若向量//a b ,0b ≠,则存在唯一的实数λ使a λb =,故A 不正确; 已知向量a ,b 为非零向量,则“a ,b 的夹角为钝角”的充要条件是“a •b <0,且向量a ,b 不共线”,故不正确;条件否定,结论否定,逆命题,可知C 正确;若命题p :∃x ∈R ,x 2-x+1<0,则¬p :∀x ∈R ,x 2-x+1≤0,故D 不正确.【思路点拨】根据向量共线定理判断A ,向量a ,b 为非零向量,则“a ,b 的夹角为钝角”的充要条件是“,a b <0,且向量a ,b 不共线”,可判断B ,条件否定,结论否定,逆命题可判断C ;命题p :∃x ∈R ,x 2-x+1<0,则¬p :∀x ∈R ,x 2-x+1≤0,可判断D .【题文】4.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是( ) A.π36 B.π9 C.π29 D.π827【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案】C【解析】∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形,故底面外接圆半径r=2, 由主视图中棱锥的高h=1,故棱锥的外接球半径R 满足:R=221()(2)2+=32, 故该几何体外接球的体积V=43πR 3=92π. 【思路点拨】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥,求出底面外接圆半径和棱锥的高,进而利用勾股定理,求出其外接球的半径,代入球的体积公式,可得答案.【题文】5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,27),...(43211n 2312=+++=-a a a a a a S n ,则6a =( )A.27B.81C.243D.729 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3 【答案】C【解析】利用等比数列的性质可得,a 1a 2a 3=a 23=27 即a 2=3因为S 2n =4(a 1+a 3+…+a 2n-1) 所以n=1时有,S 2=a 1+a 2=4a 1从而可得a 1=1,q=3所以,a 6=1×35=243 【思路点拨】利用等比数列的性质可得,a 1a 2a 3=a 23=27 从而可求a 2, 结合S 2n =4(a 1+a 3+…+a 2n-1)考虑n=1可得,S 2=a 1+a 2=4a 1从而可得a 1及公比 q ,代入等比数列的通项公式可求a 6 【题文】6.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则( ) A.)(x f 的图象过点)21,0( B.)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC.)(x f 在]32,12[ππ上是减函数D.将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案】B【解析】因为函数的周期为π,所以ω=2,又函数图象关于直线x=23π对称, 所以由f(x)=3sin(2x+φ)(ω>0,-2π<φ<2π), 可知2×23π+φ=k π+2π,φ=k π-56π,-2π<φ<2π,所以k=1时φ=6π.函数的解析式为:f(x)=3sin(2x+6π).当x=0时f (0)=32,所以A 不正确.当x=512π时f (x )=0.函数的一个对称中心是(512π,0)B 正确;当12π<x <23π,2x+6π∈[3π,32π],函数不是单调减函数,C 不正确;f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin (ωx+φ-ωφ)的图象,不是函数y=3sin ωx 的图象,D 不正确;【思路点拨】根据三角函数的单调性周期性对称性求出。
湖北省宜昌一中高考数学一模试卷 理(a卷)(含解析)
湖北省宜昌一中2015届高考数学一模试卷(理科)(A卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x||x+1|≤2},B={x|y=lg(x2﹣x﹣2)},则A∩∁R B()A.[3,﹣1)B.[3,﹣1] C.[﹣1,1] D.(﹣1,1]2.(5分)设复数z=﹣1﹣i(i为虚数单位),则对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.(5分)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算的结果,认为H0成立的可能性不足1%,那么K2的一个可能取值为()参考数据P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83A.6.635 B.7.897 C.5.024 D.3.8414.(5分)函数y=cos2(x+)的单调递增区间()A.(kπ,kπ+)k∈Z B.(kπ+,kπ+π)k∈ZC.(2kπ,2kπ+π)k∈Z D.(2kπ,2kπ+2π)k∈Z5.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是()A.n=6 B.n<6 C.n≤6D.n≤86.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.B.64 C.D.7.(5分)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有()A.48种B.72种C.78种D.84种8.(5分)三棱锥P﹣ABC中,已知∠APC=∠BPC=∠APB=,点M是△ABC的重心,且•++=9,则||的最小值为()A.2B.C.D.29.(5分)如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q.若∠PAQ=60°且=4,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.10.(5分)若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是()A.B.1 C.2 D.二、填空题:本大题共4小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)11.(5分)已知sinα+cosα=,则=.12.(5分)已知(x﹣)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015,则(a0+a2+a4…+a2014)2﹣(a1+a3+a5…+a2015)2=.13.(5分)已知函数f(x)是R上的减函数,且y=f(x﹣2)的图象关于点(2,0)成中心对称.若u,v满足不等式组,则u2+v2的最小值为.14.(5分)给定可导函数y=f(x),如果存在x0∈[a,b],使得f(x0)=成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“平均值点”.(1)函数f(x)=x3﹣3x在区间[﹣2,2]上的平均值点为;(2)如果函数g(x)=+mx在区间[﹣1,1]上有两个“平均值点”,则实数m的取值范围是.三、选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(3分)如图,AB是⊙O的直径,C,F是⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD 交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E,OA=3,DB=3,则DE=.16.(3分)已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+α=0与曲线(θ为参数),有且仅有一个公共点,则正实数a的值为.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角A的值;(2)若∠B=,BC边上中线AM=,求△ABC的面积.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,且首项a1≠3,a n+1=S n+3n(n∈N*).(1)求证:{S n﹣3n}是等比数列;(2)若{a n}为递增数列,求a1的取值范围.19.(12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:学生1号2号3号4号5号甲班 6 5 7 9 8乙班 4 8 9 7 7(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);(2)若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作M,N和Y,试求X和Y的分布列和数学期望.20.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=2,AC=6,点D 在线段BB1上,且BD=,A1C∩AC1=E.(Ⅰ)求证:直线DE与平面ABC不平行;(Ⅱ)设平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ,若cosθ=,求AA1的长;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面ADC1∩平面ABC=l,求直线l与DE所成的角的余弦值.21.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为P(0,﹣1),P到焦点的距离为.(Ⅰ)设Q是椭圆上的动点,求|PQ|的最大值;(Ⅱ)若直线l与圆O:x2+y2=1相切,并与椭圆C交于不同的两点A、B.当•=λ,且满足≤λ≤时,求△AOB面积S的取值范围.22.(14分)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=•e2x﹣2+x2﹣2f(0)x,g(x)=f()﹣x2+(1﹣a)x+a,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)解析式;(Ⅱ)求函数g(x)单调区间;(Ⅲ)若x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|,则称x比y更接近m.当a≥2且x≥1时,试比较和e x﹣1+a哪个更接近lnx,并说明理由.湖北省宜昌一中2015届高考数学一模试卷(理科)(A卷)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x||x+1|≤2},B={x|y=lg(x2﹣x﹣2)},则A∩∁R B()A.[3,﹣1)B.[3,﹣1] C.[﹣1,1] D.(﹣1,1]考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:求出集合A,B的等价条件,即可得到结论.解答:解:A={x||x+1|≤2}={x|﹣3≤x≤1},B={x|y=lg(x2﹣x﹣2)}={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x >2或x<﹣1},则∁R B={x|﹣1≤x≤2},则A∩∁R B={x|﹣1≤x≤1},故选:C点评:本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.2.(5分)设复数z=﹣1﹣i(i为虚数单位),则对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解答:解:∵z=﹣1﹣i,∴==.∴对应的点的坐标为(﹣1,2),位于第二象限.故选:C.点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.(5分)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算的结果,认为H0成立的可能性不足1%,那么K2的一个可能取值为()参考数据P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83A.6.635 B.7.897 C.5.024 D.3.841考点:独立性检验的应用.专题:计算题;概率与统计.分析:查对临界值表知P(K2≥6.635)≈0.010,认为H0成立的可能性不足1%,对照选项,即可得出结论.解答:解:查对临界值表知P(K2≥6.635)≈0.010,认为H0成立的可能性不足1%,故选:B.点评:独立性检验中研究两个量是否有关,这是一种统计关系,不能认为是因果关系.利用独立性检验不仅能考查两个变量是否有关系,而且能较精确地给出这种判断的可靠性程度.因此,在生物统计、医学统计、处理社会调查问题数据等方面都有广泛的应用.4.(5分)函数y=cos2(x+)的单调递增区间()A.(kπ,kπ+)k∈Z B.(kπ+,kπ+π)k∈ZC.(2kπ,2kπ+π)k∈Z D.(2kπ,2kπ+2π)k∈Z考点:余弦函数的图象;二倍角的余弦.专题:三角函数的图像与性质.分析:函数y=cos2(x+)=的单调递增区间,即函数t=cos2x的减区间.再根据余弦函数的减区间求得故函数t的减区间.解答:解:函数y=cos2(x+)=sin2x=的单调递增区间,即函数t=cos2x的减区间.令 2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈z,求得kπ≤x≤kπ+,故函数t的减区间为[kπ,kπ+],k∈z,故选:A.点评:本题主要考查半角公式,余弦函数的单调性,体现了转化的数学思想,属于基础题.5.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是()A.n=6 B.n<6 C.n≤6D.n≤8考点:程序框图.专题:算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当n=8时,S=,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为,故判断框中填写的内容可以是n≤6.解答:解:模拟执行程序框图,可得S=0,n=2满足条件,S=,n=4满足条件,S==,n=6满足条件,S==,n=8由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为,故判断框中填写的内容可以是n≤6,故选:C.点评:本题主要考查了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的S的值是解题的关键,属于基础题.6.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.B.64 C.D.考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为4,代入棱锥体积公式,可得答案.解答:解:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为4,∴其体积V=×4×4×4=,故选D.点评:本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式.7.(5分)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有()A.48种B.72种C.78种D.84种考点:排列、组合及简单计数问题.专题:排列组合.分析:由题意知先使五个人的全排列,共有A55种结果,去掉相同颜色衣服的人相邻的情况,穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况,得到结果解答:解:由题意知先使五个人的全排列,共有A55=120种结果.穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况,有2A22A44=96种,穿红色相邻且穿黄色也相邻情况,有A22A22A33=24种,故:穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48,故选:A点评:本题是一个简单计数问题,在解题时注意应用排除法,从正面来解题时情况比较复杂,所以可以写出所有的结果,再把不合题意的去掉,属于基础题.8.(5分)三棱锥P﹣ABC中,已知∠APC=∠BPC=∠APB=,点M是△ABC的重心,且•++=9,则||的最小值为()A.2B.C.D.2考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:设,根据条件以及数量积公式,即可得到++=18,连接CM,延长之后交AB的中点D,连接PD,根据向量加法的几何意义及重心的性质便可得到,只要求出的最小值即可.解答:解:设,根据条件以及数量积公式,即可得到++=18,连接CM,延长之后交AB的中点D,连接PD,D为AB中点,所以,所以|,∴+2=,因为,,,相加得到=18,所以,所以,所以;∴2;故选D.点评:本题考查向量数量积的计算公式,向量加法、数乘的几何意义,向量加法的平行四边形法则,重心的性质:重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍,以及基本不等式的应用9.(5分)如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q.若∠PAQ=60°且=4,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.考点:双曲线的简单性质.专题:平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:确定△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则,OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理和离心率公式,计算即可得出结论.解答:解:因为∠PAQ=60°且=4,所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则PQ=2R,OP=R,渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=,由勾股定理可得(2R)2﹣R2=()2,所以(ab)2=3R2(a2+b2)①,在△OQA中,=,所以R2=a2②①②结合c2=a2+b2,可得e==.故选:B.点评:本题考查双曲线的性质:离心率,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档题.10.(5分)若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是()A.B.1 C.2 D.考点:函数恒成立问题.专题:函数的性质及应用.分析:利用基本不等式和参数分离可得a≤在x>0时恒成立,构造函数g(x)=,通过求导判断单调性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值.解答:解:当x=0时,不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2,显然成立;当x>0时,设f(x)=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2,不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立,即为不等式4ax≤f(x)恒成立.即有f(x)=e x﹣2(e y+e﹣y)+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2(当且仅当y=0时,取等号),由题意可得4ax≤2+2e x﹣2,即有a≤在x>0时恒成立,令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,即有(x﹣1)e x﹣2=1,令h(x)=(x﹣1)e x﹣2,h′(x)=xe x﹣2,当x>0时h(x)递增,由于h(2)=1,即有(x﹣1)e x﹣2=1的根为2,当x>2时,g(x)递增,0<x<2时,g(x)递减,即有x=2时,g(x)取得最小值,为,则有a≤.当x=2,y=0时,a取得最大值.故选:D点评:本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题,运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键.二、填空题:本大题共4小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)11.(5分)已知sinα+cosα=,则=﹣.考点:同角三角函数基本关系的运用.专题:三角函数的求值.分析:已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出2sinαcosα的值,原式利用同角三角函数间的基本关系化简,将2sinαcosα的值代入计算即可求出值.解答:解:把sinα+cosα=,两边平方得:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,即2sinαcosα=﹣,则原式====﹣.故答案为:﹣点评:此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.12.(5分)已知(x﹣)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015,则(a0+a2+a4…+a2014)2﹣(a1+a3+a5…+a2015)2=1.考点:二项式系数的性质.专题:二项式定理.分析:分别在原二项式中取x=1,﹣1,得到a0+a1+a2+…+a2015=,a0﹣a1+a2﹣…﹣a2015=,然后把要求解的式子展开平方差公式得答案.解答:解:由(x﹣)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015,取x=1,得a0+a1+a2+…+a2015=,取x=﹣1,得a0﹣a1+a2﹣…﹣a2015=,∴(a0+a2+a4…+a2014)2﹣(a1+a3+a5…+a2015)2=(a0+a1+a2+…+a2015)(a0﹣a1+a2﹣…﹣a2015)=×=1,故答案为:1.点评:本题考查二项式系数的性质,考查了特殊值法,训练了学生的灵活变形能力,是中档题.13.(5分)已知函数f(x)是R上的减函数,且y=f(x﹣2)的图象关于点(2,0)成中心对称.若u,v满足不等式组,则u2+v2的最小值为.考点:简单线性规划.专题:不等式的解法及应用.分析:根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简,利用线性规划的知识进行求解即可.解答:解:∵y=f(x﹣2)的图象关于点(2,0)成中心对称.∴y=f(x)的图象关于点(0,0)成中心对称.即函数f(x)是奇函数,则不等式组,等价为,即,作出不等式组对应的平面区域如图,则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方,则由图象知原点到直线u=1﹣v,即v+u﹣1=0的距离最小,此时d=,故u2+v2的最小值为d2=,故答案为:点评:本题主要考查线性规划的应用,利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化,以及点到直线的距离公式是解决本题的关键.14.(5分)给定可导函数y=f(x),如果存在x0∈[a,b],使得f(x0)=成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“平均值点”.(1)函数f(x)=x3﹣3x在区间[﹣2,2]上的平均值点为,0;(2)如果函数g(x)=+mx在区间[﹣1,1]上有两个“平均值点”,则实数m的取值范围是[].考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:(1)首先由新定义求出f(x0),然后代入解析式求出x0;(2)求出g(x)=,然后解使方程g(x)==+mx有两个解的m范围.解答:解:(1)因为f(x0)===0,而f(x0)=0为x03﹣3x0=0解得x0=,0;(2)如果函数g(x)=+mx在区间[﹣1,1]上有两个“平均值点”,即g(x)=的x值有两个,==,即+mx=由两个解,所以m的取值范围为[].故答案为:,0;[].点评:本题考查新定义的理解和运用,主要考查定积分的运算和由方程解的个数求参数范围,属于中档题三、选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(3分)如图,AB是⊙O的直径,C,F是⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD 交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E,OA=3,DB=3,则DE=3.考点:与圆有关的比例线段.专题:选作题;推理和证明.分析:连接OF,利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE,再结合切割线定理证明DE2=DB•DA,即可求出DE.解答:解:连结OF.∵DF切⊙O于F,∴∠OFD=90°,∴∠OFC+∠CFD=90°.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC.∵CO⊥AB于O,∴∠OCF+∠CEO=90°.∴∠CFD=∠CEO=∠DEF,∴DF=DE.∵DF是⊙O的切线,∴DF2=DB•DA.∴DE2=DB•DA,∵OA=3,DB=3,∴DE2=DB•DA=3×9=27,∴DE=3.故答案为:3.点评:本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用,属于基础题之列.16.(3分)已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+α=0与曲线(θ为参数),有且仅有一个公共点,则正实数a的值为a=2或者﹣8.考点:圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:由已知参数方程可知曲线表示的是圆,直线与圆有一个交点,说明直线与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径解a.解答:解:直线3ρcosθ+4ρsinθ+α=0与曲线(θ为参数)对应的普通方程分别为:3x+4y+a=0,(x﹣1)2+y2=1,因为直线与圆有且仅有一个公共点,则圆心到直线的距离为:,解得a=2或者﹣8;故答案为:a=2或者﹣8点评:本题考查了参数方程化为普通方程以及直线与圆的位置关系;属于基础题.四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求角A的值;(2)若∠B=,BC边上中线AM=,求△ABC的面积.考点:正弦定理.专题:计算题;解三角形.分析:(1)利用正弦定理化边为角可求得cosA=,从而可得A;(2)易求角C,可知△ABC为等腰三角形,在△AMC中利用余弦定理可求b,再由三角形面积公式可求结果;解答:解:(1)∵.∴由正弦定理,得,化简得cosA=,∴A=;(2)∵∠B=,∴C=π﹣A﹣B=,可知△ABC为等腰三角形,在△AMC中,由余弦定理,得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°,即7=,解得b=2,∴△ABC的面积S=b2sinC==.点评:该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式,属基础题,熟记相关公式并灵活运用是解题关键.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,且首项a1≠3,a n+1=S n+3n(n∈N*).(1)求证:{S n﹣3n}是等比数列;(2)若{a n}为递增数列,求a1的取值范围.考点:等比数列的性质;等比关系的确定;数列递推式.专题:综合题;等差数列与等比数列.分析:(1)由a n+1=S n+3n(n∈N*),可得数列{S n﹣3n}是公比为2,首项为a1﹣3的等比数列;(2)n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=(a1﹣3)×2n﹣2+2×3n﹣1,利用{a n}为递增数列,即可求a1的取值范围.解答:证明:(1)∵a n+1=S n+3n(n∈N*),∴S n+1=2S n+3n,∴S n+1﹣3n+1=2(S n﹣3n)∵a1≠3,∴数列{S n﹣3n}是公比为2,首项为a1﹣3的等比数列;(2)由(1)得S n﹣3n=(a1﹣3)×2n﹣1,∴S n=(a1﹣3)×2n﹣1+3n,n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=(a1﹣3)×2n﹣2+2×3n﹣1,∵{a n}为递增数列,∴n≥2时,(a1﹣3)×2n﹣1+2×3n>(a1﹣3)×2n﹣2+2×3n﹣1,∴n≥2时,,∴a1>﹣9,∵a2=a1+3>a1,∴a1的取值范围是a1>﹣9.点评:本题考查等比数列的证明,考查数列的通项,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.19.(12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:学生1号2号3号4号5号甲班 6 5 7 9 8乙班 4 8 9 7 7(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明);(2)若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作M,N和Y,试求X和Y的分布列和数学期望.考点:离散型随机变量及其分布列;极差、方差与标准差;离散型随机变量的期望与方差.专题:概率与统计.分析:(1)求出两个班数据的平均值都为7,求出甲班的方差,乙班的方差,推出结果即可.(2)X、Y可能取0,1,2,求出概率,得到分布列,然后分别求解期望.解答:解:(1)两个班数据的平均值都为7,甲班的方差,乙班的方差,因为,甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定.(4分)(2)X可能取0,1,2,,,,所以X分布列为:X 0 1 2P(6分)数学期望(8分)Y可能取0,1,2,,,,所以Y分布列为:Y 0 1 2P(10分)数学期望.(12分)点评:本小题主要考查统计与概率的相关知识,其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法.本题主要考查学生的数据处理能力.20.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=2,AC=6,点D在线段BB1上,且BD=,A1C∩AC1=E.(Ⅰ)求证:直线DE与平面ABC不平行;(Ⅱ)设平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ,若cosθ=,求AA1的长;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设平面ADC1∩平面ABC=l,求直线l与DE所成的角的余弦值.考点:与二面角有关的立体几何综合题.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(Ⅰ)建立坐标系,求出=(﹣2,3,),平面ABC的法向量为,可得,即可证明直线DE与平面ABC不平行;(Ⅱ)求出平面ADC1的法向量,利用平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ,cosθ=,建立方程,即可求得结论.(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求出直线l与DE的方向向量,代入向量夹角公式,可得答案.解答:解:依题意,可建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,设AA1=h,则.(2分)(Ⅰ)证明:由AA1⊥平面ABC可知为平面ABC的一个法向量.∵=(﹣2,3,),∴.(3分)∴直线DE与平面ABC不平行.(4分)(Ⅱ)设平面ADC1的法向量为,则,(5分)取z=﹣6,则x=y=h,故.(6分)∴,(7分)解得.∴.(8分)(Ⅲ)在平面BCC1B1内,分别延长CB、C1D,交于点F,连结AF,则直线AF为平面ADC1与平面ABC的交线.(9分)∵BD∥CC1,,∴.∴,∴.(11分)由(Ⅱ)知,,故,∴.(12分)∴直线l与DE所成的角的余弦值为.(13分)点评:本题考查直线与平面平行的判定,考查二面角的平面角及求法,考查异面直线的夹角,正确运用向量法是关键.21.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为P(0,﹣1),P到焦点的距离为.(Ⅰ)设Q是椭圆上的动点,求|PQ|的最大值;(Ⅱ)若直线l与圆O:x2+y2=1相切,并与椭圆C交于不同的两点A、B.当•=λ,且满足≤λ≤时,求△AOB面积S的取值范围.考点:直线与圆锥曲线的综合问题.专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)由已知椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为P(0,﹣1),P到焦点的距离为,可得a,b,可求椭圆的方程,再求出|PQ|的最大值;(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则设直线l的方程为x=my+n与圆x2+y2=1相切,得n2=m2+1,由x=my+n代入椭圆方程,利用λ=•=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+mn(y1+y2)+n2=,求出S△AOB=•,再由≤λ≤时,求△AOB面积S的取值范围.解答:解:(Ⅰ)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为P(0,﹣1),P到焦点的距离为∴b=1,a=2,∴椭圆的方程为…(2分)设Q(x,y),|PQ|===(﹣1≤y≤1).∴当y=1时,|PQ|的最大值为2.…(5分)(2)依题结合图形知的斜率不可能为零,设直线l的方程为x=my+n(m∈R).∵直线l即x﹣my﹣n=0与圆O:x2+y2=1相切,∴有:=1得n2=m2+1.…(6分)又∵A(x1,y1),B(x2,y2),满足:消去整理得(m2+2)y2+2mny+n2﹣2=0,由韦达定理得y1+y2=﹣,y1y2=.其判别式△=8(m2﹣n2+2)=8,∵λ=•=x1x2+y1y2=(1+m2)y1y2+mn(y1+y2)+n2=.…(9分)∴S△AOB=||||sin∠AOB=|x 1y2﹣x2y1|=|n(y2﹣y1)|==•=•,∵≤λ≤,∴≤S△AOB≤.…(12分)点评:本题考查圆锥曲线的性质和综合应用,解题时要注意向量的数量积公式、点到直线的距离公式的灵活运用,属于中档题.22.(14分)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)=•e2x﹣2+x2﹣2f(0)x,g(x)=f()﹣x2+(1﹣a)x+a,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)解析式;(Ⅱ)求函数g(x)单调区间;(Ⅲ)若x、y、m满足|x﹣m|≤|y﹣m|,则称x比y更接近m.当a≥2且x≥1时,试比较和e x﹣1+a哪个更接近lnx,并说明理由.考点:利用导数研究函数的单调性;函数解析式的求解及常用方法.专题:导数的综合应用.分析:(Ⅰ)通过f(x)得f′(x),令x=1得f(0)=1,再在f(x)中令x=0得f(0),从而得f(x)=e2x+x2﹣2x;(Ⅱ)由(I)知g(x)=e x﹣a(x﹣1),从而g′(x)=e x﹣a,分①a≤0、②a>0,通过g′(x)与0的关系讨论即可;(Ⅲ)通过设设p(x)=﹣lnx,q(x)=e x﹣1+a﹣lnx,对其求导后可得p(x)在[1,+∞)上为减函数,q(x)在∈[1,+∞)上为增函数,分1≤x≤e、x>e两种情况讨论即可.解答:解:(Ⅰ)根据题意,得f′(x)=f′(1)e2x﹣2+2x﹣2f(0),所以f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0),即f(0)=1.又f(0)=f′(1)e﹣2,所以f(x)=e2x+x2﹣2x.(Ⅱ)∵f(x)=e2x﹣2x+x2,∴g(x)=f()﹣x2+(1﹣a)x+a=e x﹣x﹣x2+(1﹣a)x+a=e x﹣a(x﹣1)∴g′(x)=e x﹣a,①a≤0时,g′(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;②当a>0时,由g′(x)=e x﹣a=0得x=lna,∴x∈(﹣∞,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(lna,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.综上,当a≤0时,函数g(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞);当a>0时,函数g(x)的单调递增区间为(lna,+∞),单调递减区间为(﹣∞,lna).(Ⅲ)解:设p(x)=﹣lnx,q(x)=e x﹣1+a﹣lnx,∴p′(x)=﹣﹣<0,∴p(x)在[1,+∞)上为减函数,又p(e)=0,∴当1≤x≤e时,p(x)≥0;当x>e时,p(x)<0.∵q′(x)=e x﹣1﹣,q″(x)=e x﹣1+>0,∴q′(x)在[1,+∞)上为增函数,又q′(1)=0,∴x∈[1,+∞)时,q′(x)≥0,∴q(x)在∈[1,+∞)上为增函数,∴q(x)≥g(1)=a+2>0.①当1≤x≤e时,|p(x)﹣q(x)|=p(x)﹣q(x)=﹣e x﹣1﹣a,设m(x)=2lnx﹣e x﹣1﹣a,则m′(x)=﹣<0,∴m(x)在[1,+∞)上为减函数,∴m(x)≤m(1)=e﹣1﹣a,∵当a≥2,∴m(x)<0,∴|p(x)|<|q(x)|,∴比e x﹣1+a更接近lnx.②当x>e时,|p(x)﹣q(x)|=﹣p(x)﹣q(x)=﹣+2lnx﹣e x﹣1﹣a<2lnx﹣e x﹣1﹣a,设n(x)=2lnx﹣e x﹣1﹣a,则n′(x)=﹣e x﹣1,n″(x)=﹣﹣e x﹣1<0,∴n′(x)在x>e时为减函数,∴n′(x)<n′(e)=﹣e e﹣1<0,∴n(x)在x>e时为减函数,∴n(x)<n(e)=2﹣a﹣e e﹣1<0,∴|p(x)|<|q(x)|,∴比e x﹣1+a更接近lnx.综上:在a≥2且x≥1时时,比e x﹣1+a更接近lnx.点评:本题考查函数的单调性及最值,利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键,注意解题方法的积累,属于难题。
2015年高考理科数学湖北卷(含答案解析)
数学试卷 第1页(共24页)数学试卷 第2页(共24页)数学试卷 第3页(共24页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位,607i 的共轭复数为( )A .iB .i -C .1D .1-2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A .134石B .169石C .338石D .1 365石3.已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A .122B .112C .102D .924.设211(,)X N μσ~,222(,)Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ( )A .21()()P Y P Y μμ≥≥≥B .21()()P X P X σσ≤≤≤C .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D .对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥5.设12,,,n a a a ∈R ,3n ≥.若p :12,,,n a a a 成等比数列;q :222121()n a a a -+++22(a +222312231)()n n n a a a a a a a a -++=+++,则( )A .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件B .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,则( )A .sgn[()]sgn g x x =B .sgn[()]sgn g x x =-C .sgn[()]sgn[()]g x f x =D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-7.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“12x y +≥”的概率,2p 为事件“1||2x y -≤”的概率,3p 为事件“12xy ≤”的概率,则( )A .123p p p <<B .231p p p <<C .312p p p <<D .321p p p <<8.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )A .对任意的,a b ,12e e >B .当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <C .对任意的,a b ,12e e <D .当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >9.已知集合22{(,)|1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤,{(,)|||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为 ( ) A .77B .49C .45D .30 10.设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n =同时成立,则正整数n 的最大值是( )A .3B .4C .5D .6 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上. (一)必考题(11~14题)11.已知向量OA AB ⊥,||3OA =,则OA OB =___________. 12.函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22xf x x x x =---+的零点个数为___________. 13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD =___________m .14.如图,圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方),且2AB =.(1)圆C 的标准方程为___________;(2)过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于M ,N 两点,下列三个结论: ①||||||||NA MA NB NB =; ②||||2||||NB MA NA MB -=;③||||||||NB MA NA MB += 其中正确结论的序号是___________(写出所有正确结论的序号). -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共24页)数学试卷 第5页(共24页)数学试卷 第6页(共24页)(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,如果全选,则按第15题作答结果记分) 15.(选修4—1:几何证明选讲)如图,P A 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且3BC PB =,则ABAC=___________. 16.(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=,曲线C 的参数方程为1,1,x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l与C 相交于A ,B 两点,则||AB =___________.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =,22b =,q d =,10100S =. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)当1d >时,记n n nac b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD , 且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,DE DF BD BE . (Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由; (Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DCBC的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍,设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨)是一个该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z (单位:元)是一个随机变量. (Ⅰ)求Z 的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率. 21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,MN 3=.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数,*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ,e 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数()1e x f x x =+-的单调区间,并比较1(1)n n +与e 的大小; (Ⅱ)计算11b a ,1212b ba a ,123123b b b a a a ,由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式,并给出证明; (Ⅲ)令112()nn n c a a a =,数列{}n a ,{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T ,证明:e n n T S <.数学试卷 第7页(共24页)数学试卷 第8页(共24页)数学试卷 第9页(共24页)2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】60760433i i i i +===-,它的共轭复数为i . 【提示】直接利用复数的单位的幂运算求解即可. 【考点】虚数单位i 及其性质 2.【答案】B【解析】由题意,这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石. 【提示】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论. 【考点】随机抽样,样本估计总体的实际应用 3.【答案】D【解析】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,可得37nnC C =,可得3710n =+=,10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=.【提示】直接利用二项式定理求出n ,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可. 【考点】二项式定理,二项式系数的性质 4.【答案】C【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称,所以12μμ<,从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤.【提示】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 5.【答案】A【解析】由12,,,,3n a a a n ⋯∈≥R ,运用柯西不等式,可得:222222212-1231223-1()()()n n n n a a a a a a a a a a a a ++⋯+++⋯+≥++⋯+,若12,,,na a a ⋯成等比数列,即有32121n n a a a a a a -==⋯=,则22222212-1231223-1()()()nnn n a a a aaa a a a a a a ++⋯+++⋯+=++⋯+,即由p 推得q ,但由q 推不到p ,比如1230n a a a a ===⋯==,则12,,,n a a a ⋯不成等比数列,故p 是q 的充分不必要条件.【提示】运用柯西不等式,可得22222212-1231223-1()()()nn nn a a a aaa a a a a a a++⋯+++⋯+≥++⋯+,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到. 【考点】等比数列的性质 6.【答案】B【解析】由于本题是选择题,可以常用特殊法,符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,()f x 是R 上的增函数,()()()(1)g x f x f ax a =->,令()f x x =,2a =,则()()()g x f x f a x x=-=-,sgn[()]sgn()g x x =-,所以A 不正确,B 正确,sgn[()]sgn()f x x =,C 不正确;D 正确;对于D ,令()1f x x =+,2a =, 则()()()g x f x f ax x=-=-,1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x >⎧⎪=+==-⎨⎪-<-⎩;1,0sgn[()]sgn()0,01,0x g x x x x >⎧⎪=-==⎨⎪-<⎩,1,1sgn[()]sgn(1)0,11,1x f x x x x ->-⎧⎪-=+==-⎨⎪<-⎩;所以D 不正确;故选B .【提示】直接利用特殊法,设出函数()f x ,以及a 的值,判断选项即可.【考点】函数与方程的综合运用 7.【答案】B【解析】分别作出事件对应的图象如图(阴影部分).P 1:10,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,(0,1)A ,(1,1)B ,(1,0)C ,则阴影部分的面积11111711122288S =⨯-⨯⨯=-=,211113112122243S =⨯-⨯⨯⨯=-=, 31111121ln 212222S dx x =⨯+=+⎰,231S S S ∴<<,即231p p p <<.【提示】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可. 【考点】几何概型 8.【答案】D【解析】由题意,双曲线C 1:222c a b =+,1ce a =;双曲线C 2:222()()c a m b m '=+++,2e =,222222122()(2)()b b m abm bm am e e a a a m +++∴-=-+,∴当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e >.【提示】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.【考点】双曲线的简单性质 9.【答案】C【解析】因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,所以集合A 中有5个元素,即图中圆中的整点,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,中有5525⨯=个元素,即图中正方形ABCD 中的整点,12121122{(,)|(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点(除去四个顶点),即77445⨯-=个.数学试卷 第10页(共24页)数学试卷 第11页(共24页)数学试卷 第12页(共24页)【提示】分别求出集合A 与集合B 的解集,将其在坐标系中标出,即可求. 【考点】集合中元素个数的最值 10.【答案】B【解析】若[]1t =,则[1,2)t ∈,若2[]2t =,则t ∈(因为题目需要同时成立,则负区间舍去),若3[]3t =,则t ∈,若4[]4t =,则t ∈,若5[]5t =,则t ∈,1.732≈1.587≈1.4951.431 1.495≈<; 通过上述可以发现,当4t =时,可以找到实数t使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,但当5t =时,无法找到实数t 使其在区间334554[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)上,∴正整数n 的最大值4.【提示】由新定义可得t 的范围,验证可得最大的正整数n 为4. 【考点】进行简单的演绎推理第Ⅱ卷二、填空题 (一)必考题 11.【答案】9【解析】由OA AB ⊥uu r uu u r ,得0O A A B =u u r u uur g ,即()0O A O B O A -=uu r uu u r uu r g ,3OA =uu rQ ,2||9OA AB OA ∴==u u r u u u r u u r g .【提示】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【考点】平面向量数量积的运算 12.【答案】2【解析】函数()f x 的定义域为{|1}x x >-.22π()4cos cos 2sin |ln(1)|2sin 2cos 1|ln(1)|sin 2|ln(1)|222x x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,分别画出函数sin 2y x =,|ln(1)|y x =+的图象,由函数的图象可知,交点个数为2,所以函数的零点有2个.【提示】利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.【考点】根的存在性及根的个数判断 13.【答案】【解析】设此山高h (m ),则BC =,在ABC △中,30BAC ∠=,105CBA ∠=,45BCA ∠=,600AB =,根据正弦定理得600sin 30sin 45=,解得h =m ). 【提示】设此山高h (m ),在BCD △中,利用仰角的正切表示出BC ,进而在ABC △中利用正弦定理求得h .【考点】解三角形的实际应用 14.【答案】(1)22(1)(2x y -+= (2)①②③【解析】解:(1)Q 圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,∴圆心的横坐标1x =,取AB 的中点E ,||2AB =Q ,||1BE ∴=,则||BC=,即圆的半径||rBC ==∴圆心C ,则圆的标准方程为22(1)(2x y -+=.(2)Q 圆心C,E ∴,又||2AB =Q,且E 为AB 中点,1)A ∴,1)B ,Q M 、N 在圆O :221x y +=上,∴可设(cos ,sin )M αα,(cos ,sin )N ββ, ||NA ∴=====||NB====||1||NA NB∴===, 同理可得||1||MA MB =,||||||||NA MA NB MB ∴=,①成立; ||||1)2||||NB NA NA NB-==,②正确; ||||1)||||NB MA NA MB +==,③正确.【提示】(1)取AB 的中点E ,通过圆C 与x 轴相切于点T ,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;(2)设(cos ,sin )M αα,(cos ,sin )N ββ,计算出||||MA MB 、||||NA NB、||||NB NA 的值即可. 【考点】命题的真假判断与应用,圆与圆的位置关系及其判定 (二)选考题 15.【答案】12数学试卷 第13页(共24页)数学试卷 第14页(共24页)数学试卷 第15页(共24页)【解析】由切割线定理可知2PA PB PC =g ,又3BC PB =,可得2PA PB =,在PAB △与PAC △中,P P ∠=∠,PAB PCA ∠=∠(同弧上的圆周角与弦切角相等),可得PAB PCA△∽△, 122AB PB PB AC PA PB ∴===.【提示】利用切割线定理推出2PA PB =,利用相似三角形求出比值即可. 【考点】与圆有关的比例线段 16.【答案】【解析】由(sin 3cos )0ρθθ-=,得30y x -=,由C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),两式平方作差得224x y -=-.联立2234y x x y =⎧⎨-=-⎩,得212x =,即2x =±,22A ⎛∴ ⎝⎭,,22B ⎛-- ⎝⎭,||AB ∴==.【提示】化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化为普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式可得答案. 【考点】简单曲线的极坐标方程,双曲线的参数方程 三、解答题 17.【答案】(Ⅰ)π127π12 13π12π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(Ⅱ)π6【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得5A =,2,ω=,π6ϕ=-,数据补全如下表:且函数表达式为()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)由(Ⅰ)知π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z ,令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z , 由于函数()y g x =的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称, 令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z . 由0θ>可知,当1k =时,θ取得最小值π6. 【提示】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得5A =,2,ω=,π6ϕ=-,从而可补全数据,解得函数表达式为π()5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(Ⅱ)由(Ⅰ)及函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律得π()5sin 226g x x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.令π22π6x k θ+-=,解得ππ212k x θ=+-,k ∈Z ,令ππ5π21212k θ+-=,解得ππ23k θ=-,k ∈Z ,由0θ>可得解.【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换18.【答案】(Ⅰ)21n a n =-,12n n b -=或1(279)9n a n =+,1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g (Ⅱ)12362n n n T -+=-【解析】(Ⅰ)设1a a =,由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩,解得12a d =⎧⎨=⎩,或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,当12a d =⎧⎨=⎩时,21n a n =-,12n nb -=; 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时,1(279)9n a n =+,1299n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭g .(Ⅱ)当1d >时,由(Ⅰ)知21n a n =-,12n n b -=,1212n n n n a n c b --∴==, 23411111113579(21)22222n n T n -∴=++++++-g g g g L g ,234111*********(23)(21)2222222n n n T n n -∴=+++++-+-g g g g L g g 23421111111232(21)322222222n n n n n T n -+=++++++--=-L g 12362n n n T -+∴=-.【提示】(Ⅰ)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;(Ⅱ)当1d >时,由(Ⅰ)知1212nn n c --=,写出n T 、12n T 的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可. 【考点】数列的求和 19.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)DC BC =【解析】解法一:(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥,由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D =,所以BC ⊥平面PCD , 而DE ⊂平面PDC ,所以BC DE ⊥.又因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE PC ⊥, 而PC CB C =I ,所以DE ⊥平面PBC ,而PB ⊂平面PBC ,所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥,DE FE E =I ,所以PB ⊥平面DEF .数学试卷 第16页(共24页)数学试卷 第17页(共24页) 数学试卷 第18页(共24页)由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB ∠,DEF ∠,EFB ∠,DFB ∠. (Ⅱ)如图,在面BPC 内,延长BC 与FE 交于点G ,则D G 是平面DEF 与平面ACBD 的交线.由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD DG ⊥, 而PD PB P =I ,所以DG ⊥平面PBD , 所以DG DF ⊥,DG DB ⊥.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角, 设1PD DC ==,BC λ=,有BD =在Rt PDB △中,由DF PB ⊥,得π3DPF FDB ∠=∠=,则πtan tan 3BDDPF PD=∠===解得λ=1DC BC λ=, 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =解法二:(Ⅰ)以D 为原点,射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设1PD DC ==,BC λ=,则(0,0,0)D ,(0,0,1)P ,(,1,0)B λ,(0,1,0)C ,(,1,1)PB λ=-uu r,点E 是PC 的中点,所以110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,110,,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuur ,于是0PB DE =uu r uuu rg ,即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥,而ED EF E =I ,所以PB ⊥平面DEF , 因(0,1,1)PC =-uu u r ,0DE PC =uuu r uu u rg ,则DE PC ⊥,所以DE ⊥平面PBC .由DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB ∠,DEF ∠,EFB ∠,DFB ∠.(Ⅱ)由PD ⊥底面ABCD ,所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,则运用向量的数量积求解得出π1cos 32==,解得λ=12DC BC λ==, 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时,DC BC =【提示】解法一:(Ⅰ)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB EF ⊥,DE FE E =I ,所以PB ⊥平面DEF ,即可判断DE ⊥平面PBC ,PB ⊥平面DEF ,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,确定直角;(Ⅱ)根据公理2得出DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线,利用直线平面的垂直判断出DG DF ⊥,DG DB ⊥,根据平面角的定义得出BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.解法二:(Ⅰ)以D 为原点,射线DA ,DC ,DP 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可;(Ⅱ)由PD ⊥底面ABCD ,所以(0,0,1)DP =uu u r是平面ACDB 的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB ⊥平面DEF ,所以(,1,1)BP λ=--uu r是平面DEF 的一个法向量,根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【考点】用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定 20.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)0.973【解析】(Ⅰ)设每天A ,B 两种产品的生产数量分别为x ,y ,相应的获利为Z ,则有2 1.51.512200,0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩①,如图1,目标函数为10001200Z x y =+.当12W =时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为(0,0)A ,(2.4,4.8)B ,(6,0)C ,将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当 2.4x =, 4.8y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 2.41000 4.812008160Z Z ==⨯+⨯=; 当15W =时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为(0,0)A ,(3,6)B ,(7.5,0)C , 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当3x =,6y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 310006120010200Z Z ==⨯+⨯=; 当18W =时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为(0,0)A ,(3,6)B ,(6,4)C ,(9,0)D , 将10001200Z x y =+变形为561200Zy x =-+,当6x =,4y =时,直线l :561200Zy x =-+在y 轴上的截距最大,最大获利max 610004120010800Z Z ==⨯+⨯=.因此,()81600.3102000.5108000.29708E Z =⨯+⨯+⨯=.数学试卷 第19页(共24页)数学试卷 第20页(共24页)数学试卷 第21页(共24页)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7P P Z =>=+=,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为311(1)0.973P P =--=.【提示】(Ⅰ)设每天A ,B 两种产品的生产数量分别为x ,y ,相应的获利为z ,列出可行域,目标函数,通过当12W =时,当15W =时,当18W =时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z 的分布列,求出期望即可;(Ⅱ)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可. 【考点】简单线性规划的应用,离散型随机变量的期望与方差21.【答案】(Ⅰ)221164x y += (Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)设(,0)(||2)D t t ≤,00(,)N x y ,(,)M x y ,由题意得2MD DN =uuu r uuu r,且||||1DN ON ==uuu r uuu r ,00(,)2(,)t x y x t y ∴--=-,且22002200()11x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩,即00222t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩,且0(2)0t t x -=, 由于当点D 不动时,点N 也不动,∴t 不恒等于0,于是02t x =,故04x x =,02yy =-, 代入2201x y +=,得方程221164x y +=.(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率k 不存在时,直线l 为:4x =或4x =-,都有14482OPQ S =⨯⨯=△, (2)直线l 的斜率k 存在时,直线l 为:12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭,由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=, 直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,2222644(14)(416)0k m k m ∴∆=-+-=,即22164m k =+①. 由20y kx m x y =+⎧⎨-=⎩,可得2,1212m m P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭,同理得2,1212mm Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭, 原点O 到直线PQ的距离d =和|||P Q PQ x x -, 可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ==-=+=-+-△②. 将①代入②得222224181441OPQm k S k k +==--△, 当214k >时,22241288184141OPQ k S k k ⎛⎫+⎛⎫==+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭△, 当2104k ≤<时,22222414128881414114OPQ k k S k k k ⎛⎫++⎛⎫==-=-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭△, 2104k ≤<时,20141k ∴<-≤,22214k ≥-, 2281814OPQS k ⎛⎫∴=-+≥ ⎪-⎝⎭△,当且仅当0k =时取等号,0k ∴=时,OPQ S △的最小值为8.综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,三角形OPQ 的面积存在最小值为8. 【提示】(Ⅰ)根据条件求出a ,b 即可求椭圆C 的方程;(Ⅱ)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.【考点】直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程22.【答案】(Ⅰ)()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ (Ⅱ)见解析 (Ⅲ)见解析【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,()1e x f x '=-, 当()0f x '>,即0x <时,()f x 单调递增, 当()0f x '<,即0x >时,()f x 单调递减,故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞,单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时,()(0)0f x f <=,即1e x x +<,令1x n =,得111e n n +<,即11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭①(Ⅱ)1111111121b a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭g ;222121212121221(21)32b b b b a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ;32331233121231231331(31)43b b b b b b a a a a a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭g g ; 由此推测:1212(1)n nnb b b n a a a =+L L ② 下面用数学归纳法证明②,(1)当1n =时,2==左边右边,②成立.(2)假设当n k =时,②成立,即1212(1)k kk b b b k a a a =+L L , 当1n k =+时,1111(1)11k k k b k a k +++⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭,由归纳假设可得111211211211211(1)(1)1(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++⎛⎫==+++=+ ⎪+⎝⎭L L g L L∴当1n k =+时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n 都成立.(Ⅲ)证明:由n c 的定义,②,算术-几何平均不等式,n b 的定义及①得数学试卷 第22页(共24页) 数学试卷 第23页(共24页) 数学试卷 第24页(共24页)111131212311212312()()()()nn n n T c c c c a a a a a a a a a =++++=++++11113121231212312112112()()()()2341122334(1)nn n b b b b b b b b bb b b b b b b b b n n n ++++++=++++≤+++++⨯⨯⨯+L L L L1211111111223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=+++++++++⎢⎥⎢⎥⨯⨯+⨯⨯++⎣⎦⎣⎦L L L g 1212111111121112n n b b b b b b n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121212111111e e e 12nn n a a a a a a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L即e n n T S <.【提示】(Ⅰ)求出()f x 的定义域,利用导数求其最大值,得到1e x x +<,取1x n=即可得到答案;(Ⅱ)由11()nn n b n a n n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ,变形求得11b a ,1212b b a a ,123123b b b a a a ,由此推测1212(1)n nnb b b n a a a =+,然后利用数学归纳法证明;(Ⅲ)由n c 的定义、1212(1)n n n b b b n a a a =+、算术-几何平均不等式、n b 的定义及11e nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,利用放缩法证得e n n T S <. 【考点】数列与不等式的综合。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科预测卷及答案(湖北卷)
2015年全国高考湖北卷(理科)数学模拟2015年湖北省高考数学(理科)预测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题..书写,要求字体工整、笔迹清晰。
作..卡上图题可先用铅笔在答题卡...规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效........。
....、草稿纸上答题无效.........,在试题卷考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.(2015•长沙模拟)设复数z满足,则=()A.﹣2+i B.﹣2﹣i C.2+i D.2﹣i2.(2015•株洲一模)给出下列四个命题:命题p1:“a=0,b≠0”是“函数y=x2+ax+b为偶函数”的必要不充分条件;命题p2:函数是奇函数,则下列命题是真命题的是()A. p1∧p2B.p1∨¬p2C.p1∨p2D.p1∧¬p23.(2015•怀化一模)已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|y=lg},在区间(﹣3,3)上任取一实数x,则x∈A∩B的概率为()A.B.C.D.4.(2015•武汉模拟)已知m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,m∥a,则n∥αD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β5.(2015•湖北模拟)以下四个命题中:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的;④若某项测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ≤4)=0.9,则P(ξ≤﹣2)=0.1.其中真命题的个数为()A. 1 B.2C.3D.46.(2015•武汉模拟)10件产品中有3件次品,不放回地抽取2次,在第1次抽出的是次品的前提下,则第2次抽出正品的概率是()A.B.C.D.7.(2015•永州二模)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的上顶点 A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C,若=2,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.8.(2015•湖北模拟)已知函数若x,y满足约束条件,目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是()A.(﹣4,2)B.(﹣4,1)C.(﹣∞,﹣4)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣4)∪(1,+∞)9.(2011•江西校级模拟)已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数,且各个数字之和为12,则这样的四位数的个数是()A. 108 B.128 C.152 D.17410.(2015•黄冈模拟)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b),满足f′(x1)=,f′(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3﹣x2+a是[0,a]上“双中值函数”,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(,3)C.(1,)D.(1,)∪(,3)二.填空题(共6小题)11.(2015•湖北模拟)已知tanβ=,sin(α+β)=,且α,β∈(0,π),则sinα的值为.12.(2015•湖北模拟)执行如图所示的程序框图,若输出结果是i=3,则正整数a0的最大值为.13.(2015•武汉模拟)(1+x)(1﹣x)10展开式中x3的系数为.2015年全国高考湖北卷(理科)数学模拟14.(2015•湖北模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”.那么是斐波那契数列中的第项.(2015•湖北模拟)直线l的参数方程是(其中t为参数),圆c的极坐标方程为ρ=2cos 15.(θ+),过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是.16.(2015•武汉模拟)在极坐标系中,点P(2,﹣)到直线l:ρsin(θ﹣)=1的距离是.三.解答题(共7小题)17.(2015•黄冈模拟)设函数f(x)=sin2x+cos(2x+)(Ⅰ)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合;(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=﹣,且C为锐角,求sinA的值.18.(2013•天津)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(2015•武汉模拟)已知{a n}是由正数组成的数列,其前n项和S n与a n之间满足:a n+=(n≥1且n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项a n;(Ⅱ)设b n=()n a n,求数列{b n}的前n项和T n.20.(2014秋•武汉月考)如图,在三棱锥P﹣ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连结GH.(Ⅰ)求证:AB∥GH;(Ⅱ)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值.2015年全国高考湖北卷(理科)数学模拟21.(2013•莱芜二模)已知定点(p为常数,p>O),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点在y轴上.(I)求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值.21.(2015•湖北模拟)已知函数f(x)=ax++(1﹣2a)(a>0)(1)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(2)证明:1+++…+≥ln(n+1)+(n≥1);(3)已知S=1+++…+,求S的整数部分.(ln2014≈7.6079,ln2015≈7.6084)2015年湖北省高考数学(理科)预测试卷参考答案一.选择题(共10小题)二.填空题(共6小题)11.. 12. 3 . 13.﹣75 .14.2016 . 15.2. 16. 3 .三.解答题(共6小题)17.解:(Ⅰ)f(x)=+cos2x﹣sin2x=﹣sin2x,…(2分)∴当sin2x=﹣1时,f(x)max=;…(4分)此时2x=2kπ﹣(k∈Z),∴x的取值集合为{x|x=kπ﹣,k∈Z}.…(6分)(Ⅱ)∵f()=﹣sinC=﹣,∴sinC=,∵C为锐角,∴C=,…(8分)由cosB=得sinB==,∴sinA=sin(﹣B)=cosB+sinB=.…(12分)18.解:(I)设取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片为事件A,则P(A)==所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4P(X=1)=P(X=2)=2015年全国高考湖北卷(理科)数学模拟P(X=3)==P(X=4)==EX==X的分布列为x 1 2 3 4P19.解:(I)∵a n+=(n≥1且n∈N*),两边平方化为.∴,a1>0,解得a1=1.当n≥2时,,∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣,化为(a n+a n﹣1)(a n﹣a n﹣1﹣1)=0,∵a n+a n﹣1>0,∴a n﹣a n﹣1=1,∴数列{a n}为等差数列,∴a n=1+(n﹣1)×1=n.(II)b n=•a n=,∴数列{b n}的前n项和T n=+…+,∴=+…+,∴=++…+﹣,∴T n=1++…+﹣=﹣=.20.(Ⅰ)证明:∵D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,…(1分)∴EF∥AB,DC∥AB,…(2分)∴EF∥DC.又EF⊄平面PCD,DC⊂平面PCD,∴EF∥平面PCD.…(3分)又EF⊂平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,…(4分)∴EF∥GH.又EF∥AB,∴AB∥GH.…(6分)(Ⅱ)解:在△ABQ中,∵AQ=2BD,AD=DQ,∴∠ABQ=90°,即AB⊥BQ.又PB⊥平面ABQ,∴BA,BQ,BP两两垂直.以B为坐标原点,分别以BA,BQ,BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=BQ=BP=2,则B(0,0,0),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),∴=(﹣1,﹣1,2),=(0,﹣1,2).…(8分)设平面PCD的一个法向量为=(x,y,z),由•=0,•=0,得,取z=1,得=(0,2,1).…(10分)又=(0,2,0)为平面PAB的一个法向量,∴cos<n,>==.设平面PAB与平面PCD所成角为θ,则sinθ==.故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为.…(12分)21.解:如图,(Ⅰ)设M(x,y),则BM的中点G的坐标为,B(﹣x,0).又A(),故.由题意知GA⊥GM,所以,2015年全国高考湖北卷(理科)数学模拟所以y2=2px.当M点在x轴上时不满足题意,故曲线C的方程为y2=2px(p>0,x≠0);(Ⅱ)设弦EF所在直线方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2).由,得:k2x2+(2kb﹣4)x+b2=0①则.则线段EF的中点为,即.线段EF的垂直平分线方程为.令y=0,x=4,得,得bk=2﹣2k2,所以.所以==.再由①,△=(2kb﹣4)2﹣4k2b2=4k2b2﹣16kb+16﹣4k2b2=16﹣16kb=16﹣16(2﹣2k2)=32k2﹣16>0.得:,即0<.所以,当,即k=时,|EF|2取得最大值,最大值等于36,即|EF|的最大值为6.22.解:(1)∵函数f(x)=ax++(1﹣2a),f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,设g(x)=f(x)﹣lnx,则g(x)=f(x)﹣lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,∴g(x)min≥0,又∵g′(x)=a﹣﹣=,而当=1,即a=时,①当≤1即a时,g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,∴g(x)min=g(1)=0≥0;②当>1即0<a<时,g′(x)=0时x=;且1≤x<时,g′(x)<0,当x>时,g′(x)>0;则g(x)min=g()≥0①,又∵g()≤g(1)=2a﹣1<0与①矛盾,不符题意,故舍.∴综上所述,a的取值范围为:[,+∞).(2)证明:由(1)可知a时,f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,则当a=时,(x﹣)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,令x依次取,,,…,时,则有×(﹣)≥ln ,×(﹣)≥ln ,…×(﹣)≥ln ,由同向不等式可加性可得[(+++…+)﹣(+++…+)]≥ln(n+1),即[(1+++…++n)﹣(n﹣﹣﹣﹣…﹣)]≥ln(n+1),也即[2(1+++…+)+﹣1]≥ln(n+1),也即1+++…+>ln(n+1)+(n≥1).(3)由(2)的结论,可得,S=1+++…+≥ln2015+∈(8,9),又S=1+++…+>dx=lnx|=ln2014≈7.6,则有S的整数部分为9.。
宜昌市2015届高三5月模拟考试数学理科试题及答案(扫描版)
宜昌市2015届高三年级五月模拟考试数学(理工类)参考答案二、填空题11. 2 12.213. 20x y ++= 14.(Ⅰ)14 (Ⅱ)1312n -+ 15. 20 16. 2三、解答题17. 解:(Ⅰ)21sin )62sin()(2-++=x x x f π 11cos 212cos 2222x x x -=++-x 2sin 23= 4分所以()f x 的对称中心为 (2k π,0),()k z ∈ 5分 (Ⅱ)由1()22A f =和x x f 2sin 23)(=得: sin 3A = 7分 ∵ABC ∆为锐角三角形,∴cos 3A = 又()36cos -=-C π,所以36cos =C , 33sin =C 而322sin 36cos 33)sin(sin =+=+=C C C A B 10分由正弦定理得:sin sin a B b A== 12分 18. 解:(Ⅰ)设,2)1(,)1(11d n n na S d n a a n n -+=-+=由3913=+⇒=d a S 1a 、2a 、5a 成等比数列121112)()4(a d d a d a a =⇒+=+⇒ 2,11==∴d a 或13,0a d == 故2,12n S n a n n =-=或3,3n n a S n ==. 6分 (Ⅱ)111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+ 111111(1...)23352121n T n n ∴=-+-++--+ 8分 12+=∴n n T n ,1n n T a λ+≤对一切n N *∈恒成立4141)12()12(122++=+≥⇒+≤+∴nn n n n n n λλ 10分 nn 14+在[)1+∞, 单调递增,91≥∴λ 12分19. (Ⅰ)证:连结QM , ∵点,,Q M N 分别是线段,,PB AB BC 的中点∴//QM PA ,//MN AC , 2分∴//QM 平面PAC ,∴//MN 平面PAC 3分∵MN QM M =, ∴平面//QMN 平面PAC 4分又QK ⊂平面QMN , ∴//QK 平面PAC . 5分(Ⅱ)法一:以B 为原点,以BC 、BA 所在的直线为x 、y 轴,建立空间直角坐标系 则(0,8,0),(0,4,0),(4,0,0),(0,8,8),(0,4,4)A M N P Q ,(,4,0)AK a a =-- 设(,,0)K a b ,45MNB ∠=,则4a b +=,(0,4,4)AQ =-,记(,,)n x y z =为平面AQK 的一个法向量,则0(4)0n A Q y z a x ay n A K ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩,取y z a ==,则(4,,)n a a a =+ 8分 又平面AKM 的一个法向量为(0,0,1)m =设二面角Q AK M --的平面角为θ则cos (m nm n a θ===,解得1a = 10分10分∴(1,3,0)K ,(0,4,0)M , ∴MK 12分 法二:过M 作MH AK ⊥于H ,连QH ,则QHM ∠即为二面角Q AK M --的平面角,设MK x =,且8PA AB BC ===,由s i n A K M H AM M K A M K =∠ 得MH =, 又4QM =,且cos QHM ∠=∴2242tan QM x QHM x+∠===解得x = ∴MK .20. 解:(Ⅰ)∵10(0.010.020.03)1a ⨯+++=,∴0.04.a =∴平均数10(650.01750.04850.02950.03)82.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 2分 由图可知前两个矩形面积之和为了0.5,则中位数为了80.4分 (Ⅱ)据题意,知评分结果在(40,50],(50,60]内零件各有2个则随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4. 5分11221(0),22339P X ==⨯⨯⨯= 6分1122112211121(1),223322333P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= 7分112211111122111213(2),22332233223336P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= 8分 1122111211111(3),223322336P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= 9分11111(4).223336P X ==⨯⨯⨯=10分∴的分布列为: ∴01234.93366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 12分21. 解:(Ⅰ)由题意MH MF =知,M 点的轨迹为以点(0,1)F 为焦点, 直线:1l y =-为准线的抛物线, 2分 所以曲线Γ的方程为y x 42= 4分(Ⅱ) 当直线AB 斜率不存在时显然不合题意, 故设直线AB 的方程为b kx y +=⎩⎨⎧+==bkx y y x 42, 联立消去y 得0442=--b kx x设 ()()2211,,y x B y x A , k x x 421=+,b x x 4.21-= 6分曲线Γ的方程为241x y =,x y 21=' 切线()11121:y x x x y PA +-=, 切线()22221:y x x x y PB +-= 8分1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭即 ()b k p 2,2-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2111x y x E , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2222x y x F 10分 线段22111222x y x y x x EF -+-=,化简得1221x x EF -= 1121212111||||2164p S EF y x x x x b x x ==-=- 11分2121||2S b x x =- 12分 所以存在λ=21 13分22.解:(Ⅰ)21221()2()x ax f x x x a x a x a-+'=+=>-- ()f x 有两个不同的极值点, ∴令2()221h x x ax =-+,则()h x 有两个大于a 的零点, 2分 2480()02a h a a a ⎧⎪∆=->⎪∴>⎨⎪⎪<⎩a ∴< 4分 (Ⅱ)由(1)知,当2a ≤-时,()f x在(,],[)22a a a +∞上单调递增;在[]2a a上单调递减1112222a a x==-≤--<-又22a x a =<-,故20x <, 6分 注意到2()221h x x ax =-+的对称轴12a x =<-, (1)320h a -=+<,(0)10h =>,可推知210x -<<,∴当[1,0]x ∈-时,{}max ()()max (1),(0)g a f x f f ==-而(0)ln(),f a =-(1)1ln(1)f a -=+--,又由(0)(1)1e f f a e ->-⇒>-,但21e e ->--,故(0)(1)f f >不成立, 综上分析可知,()(1)1ln(1)(2)g a f a a =-=+--≤- 10分(Ⅲ)由(2)知,当2a =-时,2ln(2)1x x ++≤令12n x n ++=,则1(1,0]n x n -=-∈-,211()ln 1n n n n-+∴+<, 2121ln n n n n +∴<-,即2112ln n n n n ++< 12分 21111111112ln ln (2)n n n n n i i i i i i i i i i i i i=====++∴+<+<+∑∑∑∑∑ ∴221352ln(1)4128n i n n n n n i=+++<++∑,即2213511ln(1)824162n i n n n n n i =+++<++∑22351111...8241623n n n n n +∴+<++++++14分。
宜昌市届高三年级五月模拟试题数学(理)
宜昌市2005届高三年级五月模拟试题数 学(理)本试卷分第I 卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分),考试时间120分钟,满分为150分. 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=k n C p k (1-p )n -k球的表面积公式S =4πR 2,其中R 表示球的半径 球的体积公式V =34πR 3,其中R 表示球的半径第I 卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.定义{}|,A B x x A x B -=∈∉且,若{}1,3,5,7,9A =,{}2,3,5B =,则A B -=A .AB .BC .{}1,2,7,9D .{}1,7,9 2.若,4log log 33=+n m 则n m +的最小值是A . 4B .34C .18D .193.命题p :若a 、b ∈R ,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的必要条件。
命题q :函数()02112≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y x 的值域是)1,0[,则A .p 或q 为假B .p 且q 为假C .p 且q 为真D .非p 或非q 为真 4.已知()()=+=-⎪⎭⎫⎝⎛<<=βαβαπαπαtan ,21tan ,22532sin 则 A . 2- B .1- C . 112-D . 112 5.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则c b a ++的值为 A .1 B .2 C .3 D .46.已知221log [(1)]4y ax a x =+-+的定义域是一切实数,则实数a 的取值范围是A .35)+B .35(-C .3535((,)-+-∞+∞D .3535-+7.球面上有三个点,其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的16,经过这三个点的小圆周长为π4,那么这个球的半径为A .4 3B .2 3C .2D . 3 8.将正方体AC 1的6个面涂色,任何相邻两个面不同色,现在有5种不同的颜色,并且涂好了过顶点A 的3个面的颜色,那么余下3 个面的涂色方案共有 A . 15种 B .14种 C .13种 D .12种 9.已知集合{}Nn i i i z z A n ∈++++==,12 ,{}1212,,B z z z z A ωω==⋅∈, (1z 可以等于2z ),从集合B 中任取一元素,则该元素的模为2的概率为A .31 B .41 C .73 D .7210.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点,双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。
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宜昌市2015届高三年级五月模拟考试
数学(理工类)参考答案 一、选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A C D
B B A D B C
D
二、填空题 11. 2 12.
32
13. 20x y ++= 14.(Ⅰ)14 (Ⅱ)1312n -+ 15. 20 16. 2
三、解答题
17. 解:(Ⅰ)2
1sin )62sin()(2-++=x x x f π 311cos 21sin 2cos 22222x x x -=++-x 2sin 2
3= 4分 所以()f x 的对称中心为 (
2
k π,0),()k z ∈ 5分 (Ⅱ)由1()22
A f =和x x f 2sin 23)(=得: 3sin 3A = 7分 ∵ABC ∆为锐角三角形,∴6cos 3
A =, 又()3
6cos -=-C π,所以36cos =C , 33sin =C 而322sin 36cos 33)sin(sin =+=+=C C C A B 10分
由正弦定理得:sin 42sin a B b A
=
= 12分 18. 解:(Ⅰ)设,2
)1(,
)1(11d n n na S d n a a n n -+=-+=由3913=+⇒=d a S 1
a 、2a 、5a 成等比数列121112)()4(a d d a d a a =⇒+=+⇒ 2,11==∴d a 或13,0a d == 故2,
12n S n a n n =-=或3,3n n a S n ==. 6分 (Ⅱ)
111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+ 111111(1...)233
52121n T n n ∴=-+-++--+ 8分 12+=∴n n T n ,1n n T a λ+≤对一切n N *∈恒成立
4141)12()12(122++=+≥⇒+≤+∴n
n n n n n n λλ 10分 n
n 14+
在[)1+∞, 单调递增,91≥∴λ 12分
19. (Ⅰ)证:连结QM , ∵点,,Q M N 分别是线段,,PB AB BC 的中点
∴//QM PA ,//MN AC , 2分
∴//QM 平面PAC ,∴//MN 平面PAC 3分
∵MN QM M =, ∴平面//QMN 平面PAC 4分
又QK ⊂平面QMN , ∴//QK 平面PAC . 5分
(Ⅱ)法一:以B 为原点,以BC 、BA 所在的直线为x 、y 轴,建立空间直角坐标系 则(0,8,0),(0,4,0),(4,0,0),(0,8,8),(0,4,4)A M N P Q ,(,4,0)AK a a =-- 设(,,0)K a b ,45MNB ∠=,则4a b +=,(0,4,4)AQ =-,
记(,,)n x y z =为平面AQK 的一个法向量,则
0(4)0n A Q y z a x a
y n A K ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩,取y z a ==,则(4,,)n a a a =+ 8分 又平面AKM 的一个法向量为(0,0,1)m =
设二面角Q AK M --的平面角为θ
则223cos 9
(4)2m n
a
m n a a θ===++,解得1a = 10分
∴(1,3,0)K ,(0,4,0)M , ∴MK 的长度为2. 12分 法二:过M 作MH AK ⊥于H ,连QH ,则QHM ∠即为二面角Q AK M --的
平面角,设MK x =,且8P
A A
B B
C ===,由s i n A K M H A M M K A M K =∠ 得2224216x
MH x x =++, 又4QM =,且3cos 9
QHM ∠= ∴224216tan 26QM x x QHM MH
x
++∠===, 解得2x =. ∴MK 的长度为2.
20. 解:(Ⅰ)∵10(0.010.020.03)1a ⨯+++=,∴0.04.a =
∴平均数10(650.01750.04850.02950.03)82.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 2分 由图可知前两个矩形面积之和为了0.5,则中位数为了80.
4分 (Ⅱ)据题意,知评分结果在(40,50],(50,60]内零件各有2个
则随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4. 5分
11221(0),22339P X ==⨯⨯⨯= 6分
11221122
11121(1),223322333P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= 7分
112211111122
111213(2),22332233
223336P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= 8分 112211
12
11111(3),223322336P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= 9分
11111(4).223336P X ==⨯⨯⨯=
10分
∴X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 19 13 1336 16 136 ∴111311501234.93366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 12分
21. 解:(Ⅰ)由题意MH MF =知,
M 点的轨迹为以点(0,1)F 为焦点, 直线:1l y =-为准线的抛物线, 2分 所以曲线Γ的方程为y x 42= 4分
(Ⅱ) 当直线AB 斜率不存在时显然不合题意, 故设直线AB 的方程为b kx y +=
⎩⎨⎧+==b
kx y y x 42, 联立消去y 得0442=--b kx x 设 ()()2211,,y x B y x A , k x x 421=+,b x x 4.21-= 6分
曲线Γ的方程为241x y =
,x y 21=' 切线()11121:y x x x y PA +-=
, 切线()22221:y x x x y PB +-= 8分
1212,24x x x x P +⎛⎫
⎪⎝⎭即 ()b k p 2,2-, ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,2111x y x E , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2222x y x F 10分 线段2
2111222x y x y x x EF -+
-=,化简得1221x x EF -= 1121212111||||2164p S EF y x x x x b x x ==-=- 11分
2121||2
S b x x =
- 12分 所以存在λ=
2
1 13分
22.解:(Ⅰ)21221()2()x ax f x x x a x a x a
-+'=+=>-- ()f x 有两个不同的极值点, ∴令2()221h x x ax =-+,则()h x 有两个大于a 的零点, 2分 2480()02
a h a a a ⎧⎪∆=->⎪∴>⎨⎪⎪<⎩2a ∴<- 4分 (Ⅱ)由(1)知,当2a ≤-时,()f x 在2222(,],[,)22
a a a a a --+-+∞上单调递增; 在2222[,]22a a a a --+-上单调递减 2221222112222
a a a a a x ----==-≤--<- 又22222,22
a a x a a a +-=-<=-,故20x <, 6分 注意到2()221h x x ax =-+的对称轴12
a x =<-, (1)320h a -=+<,(0)10h =>,可推知210x -<<,
∴当[1,0]x ∈-时,{}max ()()max (1),(0)g a f x f f ==-
而(0)ln(),f a =-(1)1ln(1)f a -=+--,
又由(0)(1)1e f f a e ->-⇒>
-,但21
e e ->--,故(0)(1)
f f >不成立, 综上分析可知,()(1)1ln(1)(2)
g a f a a =-=+--≤- 10分 (Ⅲ)由(2)知,当2a =-时,2ln(2)1x x ++≤
令12n x n ++=,则1(1,0]n x n -=-∈-,211()ln 1n n n n
-+∴+<, 2121ln n n n n +∴<-,即2112ln n n n n ++< 12分 21111111112ln ln (2)n n n n n i i i i i i i i i i i i i =====++∴+<+<+∑∑∑∑∑ ∴221352ln(1)4128n i n n n n n i
=+++<++∑,即2213511ln(1)824162n i n n n n n i =+++<++∑
2235111ln 11...8241623n n n n n n +∴++<++++++
14分。