三角形特性及三边关系
三角形三边关系、三角形内角和定理
三角形三边关系、三角形角和定理三角形边的性质 （1）三角形三边关系定理及推论定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
（2）表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c则b-c ＜a ＜b+c a-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b（3）应用1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形；③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
2、已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的围：|a-b|＜x ＜a+b 。
3、已知三角形两边长为a 、b(a ＞b)，求周长L 的围：2a ＜L ＜2(a+b)。
4、证明线段之间的不等关系。
复习巩固，引入新课1画出下列三角形是高2、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？3、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对4、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能5、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、06、判断：BD E FB C（1） 有理数可分为正数和负数。
（2） 有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。
7、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？三角形三边的关系一、三角形按边分类（见同步辅导二）练习１、两种分类方法是否正确：不等边三角形 不等三角形三角形 三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形2、如图，从家A 上学时要走近路到学校B ，你会选哪条路线？ ３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ应用举例1已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的围是练习１、三角形的两边为3cm 和5cm ，则第三边x 的围是２、果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为3、长度分别为12cm ，10cm ，5cm ，4cm 的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（ ）A 、5，9，3B 、5，7，3C 、5，2，3D 、5，8，3应用举例21、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm 和6cm ，则它的周长是______cm 。
三角形的三边关系(基础)知识讲解
三角形的三边关系(基础)知识讲解三角形的三边关系（基础）知识讲解三角形是几何中常见的图形之一，由三条边和三个顶点构成。
在三角形中，三条边之间存在着一些特殊的关系，包括边长的关系和角度的关系。
本文将对三角形的三边关系进行知识讲解。
1. 三边关系的定义在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
换句话说，如果一条线段的长度小于另外两条线段的长度之和，那么这三条线段不能构成一个三角形。
2. 三边关系的分类根据三边关系的大小比较，三角形可以分成三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
- 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形称为锐角三角形。
在锐角三角形中，任意两边的和大于第三边。
- 钝角三角形：三个内角中有一个大于90度的三角形称为钝角三角形。
在钝角三角形中，任意两边的和大于第三边。
- 直角三角形：一个内角等于90度的三角形称为直角三角形。
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，符合勾股定理。
3. 三边关系的性质在三角形中，三个内角的和为180度，也就是说，三个内角相加等于180度。
4. 三边关系的应用三边关系在几何推理和计算中有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用：- 判断三角形的存在性：根据三边关系的定义，我们可以通过比较三条线段的长度来判断是否能构成一个三角形。
- 计算三角形的未知边长：如果已知三角形的两条边和它们之间的夹角，可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来计算第三边的长度。
- 判断三角形的类型：通过三边关系，我们可以判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形，从而更好地进行几何推理。
- 寻找三角形的相似性质：对于两个具有相似三边关系的三角形，它们的对应角度相等，对应边长成比例。
通过对三角形的三边关系进行了解和应用，我们能够更好地理解三角形的性质和几何关系。
掌握这些基础知识，对于解决几何问题和推理证明都有很大的帮助。
希望本文能够对您掌握三角形的三边关系有所帮助。
直角三角形的三边关系
直角三角形的三边关系直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。
在直角三角形中，三边之间存在着特殊的关系，这些关系对于数学和实际应用领域都具有重要意义。
一、勾股定理直角三角形的最重要的定理就是勾股定理，它描述了直角三角形的三边之间的关系。
勾股定理表达式如下：c^2 = a^2 + b^2其中，a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边（斜边是直角三角形中与直角不相邻的边）。
这个定理意味着，如果我们知道了直角三角形的两个直角边的长度，我们就可以计算出斜边的长度。
也就是说，勾股定理提供了计算直角三角形边长的方法。
二、三角函数在直角三角形中，三角函数被广泛应用来描述三边之间的关系。
常见的三角函数有正弦、余弦和正切。
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的对边的比值。
sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与斜边上的邻边的比值。
cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值。
tanA = 对边/邻边通过三角函数，我们可以在直角三角形中计算出任意一个角的大小。
反之，如果我们知道了三角形的某个角度和任意两个边的长度，我们也可以通过三角函数计算出第三边的长度。
三、特殊的三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形还有一些特殊的三边关系。
1. 等腰直角三角形：当直角三角形的两个直角边相等时，称为等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的开根号2倍。
2. 等边直角三角形：当直角三角形的三边都相等时，称为等边直角三角形。
在等边直角三角形中，三个角都是45度。
3. 30-60-90三角形：当直角三角形的两个锐角分别为30度和60度时，称为30-60-90三角形。
在这种三角形中，边的比例关系为1:√3:2。
斜边的长度等于短直角边的开根号3倍。
4. 45-45-90三角形：当直角三角形的两个锐角都为45度时，称为45-45-90三角形。
三角形的特性及三边关系
10cm
6cm
5cm
4cm
小组活动要求:
(1) 从四根小棒中任选三根。 (2) 记录每次使用的小棒的长度。 (3) 摆一摆，看看能否用选定的三根小棒 首尾相连地围成一个三角形。把每次研究的 结果记录在表中。
小棒的长度
能否围成
实验次
三角形
数
第一根 小棒
第二根 小棒
第三根 小棒
画“√” 或“×”
1 10cm 5cm 4cm
A．稳定
B．不稳定
3．判断。
((2) 任意三条线段只要首尾相接就可以围成一个三角形。
( ×) (3) 三条相等的线段不可以围成一个三角形。 ( × ) (4) 某位运动员的两条腿长130厘米，他一步可以走3米。
(× )
4．选择。
(1)下列长度的三条线段，可以围成三角形的是( B )。
1
10cm 5cm 4cm
×
2 10cm 6cm 4cm
×
3 10cm 6cm 5cm
√
4
10cm
6cm
5cm 4cm
小棒的长度
能否围成
实验次
三角形
数
第一根 小棒
第二根 小棒
第三根 小棒
画“√” 或“×”
1
10cm 5cm 4cm
×
2 10cm 6cm 4cm
×
3 10cm 6cm 5cm
√
4
6cm 5cm 4cm
两条线段的长度和与最长线段的长度进行比较，大 于最长线段的长度就能围成三角形，反之则不能。
（讲解源于《典中点》）
夯实基础（选题源于教材P33练一练）
1. 小丽从家去学校走那条路最近？为什么？
三角形三边关系
三角形三边关系三角形是几何图形中最基本也是最重要的图形之一。
三角形的三边关系是三角形性质的基石，掌握好这一基本概念对于理解其他几何概念非常重要。
本文将详细介绍三角形三边关系及其应用。
一、三角形三边关系的定义三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形。
根据三角形的定义，我们可以知道三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这种性质通常被称为“三角形三边关系”。
二、三角形三边关系的证明证明三角形三边关系有多种方法，其中最经典的是利用“反证法”。
假设三角形三边a、b、c满足a<b+c，我们来证明这与假设矛盾。
假设反面成立，即a≥b+c，那么b+c≥a+c，即b≥a+c-c=a，这与题目中a>b矛盾。
因此，我们的假设是错误的，所以三角形三边关系成立。
三、三角形三边关系的几何应用三角形三边关系在几何学中有着广泛的应用。
例如，它可以用来判断三条线段能否组成一个三角形，或者比较两条线段的长度大小。
它还可以用于解决一些与三角形有关的实际问题，如测量不可直接测量的距离或高度等。
四、总结三角形三边关系是几何学中的一个基本概念，它反映了三角形中任意两边之和与第三边的关系。
这一性质不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在解决实际问题时也具有重要意义。
掌握好三角形三边关系对于理解其他几何概念也是非常有帮助的。
三角形三边的关系在几何学中，三角形是一种基本的图形，其三边之间的关系是构成三角形的核心要素。
本文将探讨三角形三边的关系，以及其在实际生活中的应用。
一、三角形三边的关系三角形三边的关系可以用以下三个基本定理来描述：1、三角形两边之和大于第三边。
这意味着，任意两边之和必须大于第三边，否则不能构成三角形。
2、三角形两边之差小于第三边。
这意味着，任意两边之差必须小于第三边，否则也不能构成三角形。
3、三角形的任意两边之和大于第三边，同时任意两边之差小于第三边。
这个定理实际上是前两个定理的组合。
三角形的特性和分类
三角形的特性和分类三角形是几何学中一种基本的形状，由三条边和三个内角组成。
它拥有一些独特的特性和分类方法。
本文将介绍三角形的特性和分类。
一、特性1. 三角形的内角和为180度：无论三角形是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，其三个内角的和始终为180度。
2. 两边之和大于第三边：对于任意三角形，两边之和大于第三边。
这个特性称为三角形的三角不等式。
3. 直角三角形：如果一个三角形的一个内角是直角（90度），则此三角形被称为直角三角形。
直角三角形拥有著名的勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
4. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则此三角形被称为等腰三角形。
等腰三角形拥有两个等角，即顶角和底角相等。
5. 等边三角形：如果一个三角形的三条边的长度都相等，则此三角形被称为等边三角形。
等边三角形的三个内角都是60度。
二、分类根据边长和角度的不同，三角形可以分为以下几种分类：1. 按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度都相等。
b. 等腰三角形：两条边的长度相等。
c. 一般三角形：三条边的长度都不相等。
2. 按角度大小分类：a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角是90度。
c. 钝角三角形：一个内角大于90度。
3. 混合分类：a. 等腰直角三角形：具有直角的等腰三角形。
拥有一个90度和两个45度的内角。
b. 等腰钝角三角形：具有钝角的等腰三角形。
c. 一般直角三角形：具有直角的一般三角形。
三、举例1. 等边三角形：三条边的长度都相等，且每个内角为60度。
2. 等腰三角形：两条边的长度相等，顶角和底角相等。
3. 一般三角形：三条边的长度都不相等，内角可以是任意大小。
4. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
5. 直角三角形：一个内角是90度，满足勾股定理。
6. 钝角三角形：一个内角大于90度。
四、结论通过对三角形特性和分类的介绍，我们可以认识到三角形的多样性和独特性。
90 30 60 的三角形三边关系
90 30 60 的三角形三边关系
【原创版】
目录
1.90 度角三角形的特性
2.30 度角三角形的特性
3.60 度角三角形的特性
4.三角形的三边关系
正文
在几何学中，三角形是由三条边和三个顶点组成的平面图形。
在这个文本中，我们将讨论 90 度角三角形、30 度角三角形和 60 度角三角形的特性，以及三角形的三边关系。
首先，让我们看看 90 度角三角形。
这种三角形的一个内角是 90 度，也就是说，它的两条直角边的长度比是 3:4:5。
这种三角形在解决直角三角形问题时非常有用，因为它们具有一些特殊的性质，如勾股定理。
接下来是 30 度角三角形。
这种三角形的一个内角是 30 度，另外两个内角分别是 60 度和 90 度。
30 度角三角形的特性在于，其三条边的长度比是 1:√3:2。
这种三角形在解决特定问题时也非常有用，如在解决等边三角形的问题时。
然后是 60 度角三角形。
这种三角形的一个内角是 60 度，另外两个内角分别是 30 度和 90 度。
60 度角三角形的特性在于，其三条边的长度比是 1:√3:2。
这种三角形在解决特定问题时也非常有用，如在解决正三角形的问题时。
最后，让我们来看看三角形的三边关系。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个性质在解决各种三角形问题时都非常有用。
总的来说，90 度角三角形、30 度角三角形和 60 度角三角形都有其独特的特性和应用。
三角形的特性及三边关系
三角形三边关系
我是等边三角形， 一边长是6cm
其他两边长是多少？
第 一 关
把下列边长能组成一个三角形的蘑菇放到箩筐里
三角形
3cm 2cm
6cm 8cm
采蘑菇
第 二 关
X X
★下面各组长度的线段首尾
检
顺次连接，能否构成三角形？
验
自
1. 10cm 5cm 5cm (
)
10cm，20cm，30cm 15cm，20cm，30cm
想一想
5cm，20cm，30cm
点我有链接
实战演练
下列每组数表示三根小木棒的长度，其中，三
根小木棒能摆成一个三角形的一组是 （ B ）
A、 3cm ,1cm , 2cm , B、3cm , 3cm , 4cm C、2cm , 3cm , 5cm D 、2cm , 3cm , 6cm
三角形的特性
三角形具有稳定性
操作探究
学 具
一根长为18厘米的彩色纸条任意剪成3 段，要求是保证是整厘米数。
温馨提示：
1.和你的同桌交流你的剪法。 2.动手拼纸条，看能否拼成三角形。 3.根据实验状况填写表格，得出纸条长度之间 的关系。 4.限时5分钟。
合作探究
选三根纸条，依次首尾相接来构造三角形，在能够拼成 三角形的相应位置处打“√”，不能的打“×”。
己
2. 1.5cm 2cm 3cm (√ )
3. 4cm 1cm 1cm ( )
√ 4. 3cm 3cm 3cm ( )
第 三 关
★★一个等腰三角形的两
检
条边分别是5，9，那么
验
它的周长是：
自 己
__1_9__或___2_3___
三角形三边关系完整版
在建筑、桥梁、机械等领域中，经常利用三角形的稳定性来增强结构的稳定性和 承重能力。例如，在建筑中，常常将钢架结构或桁架结构设计成三角形形状，以 提高其稳定性和承载能力。
7
02
三角形三边关系定理
2024/1/26
8
三角形两边之和大于第三边
任意两边之和大于第三边
在三角形中，任意两边长度之和必然大于第三边的长度。这 是三角形存在的基本条件之一。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已知两边及夹角相等，可以直接应用SAS全等条件进行证明。
2024/1/26
19
ASA和AAS全等条件介绍
ASA全等条件
两角和它们的夹边对应相等的两 个三角形全等。
2024/1/26
AAS全等条件
两角和一角的对边对应相等的两个 三角形全等。
应用举例
在证明两个三角形全等时，如果已 知两角及夹边相等或两角及一角的 对边相等，可以分别应用ASA或 AAS全等条件进行证明。
注意事项
在构造相似三角形时，需要确保 对应角相等或对应边成比例。
2024/1/26
27
06
典型例题解析与拓展 延伸
2024/1/26
28
基础题型解析与技巧指导
已知两边求第三边
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边的性质，通过代数运算求解第三边的取值范围。
已知三边判断形状
通过比较三边长度，判断三角形形状（等边、等腰或 一般三角形），并理解各种形状三角形的性质。
2024/1/26
SSS相似条件
如果两个三角形三组对应 边成比例，则这两个三角 形相似。
探讨
SAS和SSS相似条件在实际 应用中相对较少，但仍然 具有一定的理论价值。
三角形的三边关系
三角形的三边关系在几何学中，三角形是最基础和重要的图形之一。
三角形由三条线段组成，这些线段相交在三个点处，同时也确定了三个内角。
在三角形中，三条边之间存在着一些重要的关系，本文将探讨三角形的三边关系。
1. 三角形边长的关系在任意三角形ABC中，三边的长度满足以下关系，称为三角形的三边关系：a +b >c (1)a + c >b (2)b +c > a (3)其中a、b和c分别表示三角形的三条边的长度。
这些不等式反映了三角形中任意两边之和大于第三边的规律。
这个规律非常重要，因为它是构成一个合法三角形的必要条件。
如果在三角形中存在a + b = c，a + c = b或b + c = a的情况，则这个三角形被称为退化三角形。
此时，三条边形成一条直线，无法构成一个真正的三角形。
2. 三角形边长的大小关系除了满足不等式关系外，三角形的边长还具有一定的大小关系。
根据三边关系，我们可以判断三角形的边长大小如下：如果a > b且a > c，则角C最大，边a是最长边；如果b > a且b > c，则角A最大，边b是最长边；如果c > a且c > b，则角B最大，边c是最长边；如果a = b = c，则三角形是等边三角形，三条边相等；如果a^2 = b^2 + c^2，则角A为直角，三角形是直角三角形；如果b^2 = a^2 + c^2，则角B为直角，三角形是直角三角形；如果c^2 = a^2 + b^2，则角C为直角，三角形是直角三角形。
3. 三角形边长之间的比例关系三角形的边长也可以存在一定的比例关系。
常见的三角形边长比例关系有以下几种：等腰三角形：两边相等的三角形，即a = b或b = c或c = a；等腰直角三角形：除了两条直角边相等以外，还有一边也与它们相等；等边三角形：三边都相等的三角形，即a = b = c；相似三角形：三个内角分别相等且边长成比例的三角形。
三角形的特性
三角形的特性三角形是一种基本的几何形状，由三条线段组成，每两条线段之间都形成一个角。
在数学、物理、工程等领域中，三角形具有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形的特性，包括其基本性质、分类、面积公式以及在实际问题中的应用。
一、基本性质1.三角形的内角和三角形的内角和为180度。
这意味着，在任何三角形中，三个内角的度数之和总是等于180度。
这一性质是解决许多与三角形相关的问题的基础。
2.三角形的边长关系（1）任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a。
（2）任意两边之差小于第三边：-ab-<c，-ac-<b，-bc-<a。
3.三角形的重心、外心、内心和垂心三角形具有四个重要的特殊点：重心、外心、内心和垂心。
这些特殊点在解决三角形相关问题时具有重要意义。
（1）重心：三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接顶点与对边中点的线段。
重心将每条中线分为两段，其中靠近顶点的线段长度是远离顶点的线段长度的2倍。
（2）外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，其中垂直平分线是垂直于边且将边平分的线段。
外心是三角形外接圆的圆心。
（3）内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，其中角平分线是从一个顶点出发，将相邻两边的角平分的线段。
内心是三角形内切圆的圆心。
（4）垂心：三角形的垂心是三条高的交点，其中高是从一个顶点垂直于对边的线段。
垂心在解决与三角形高度相关的问题时具有重要意义。
二、三角形的分类根据边长关系，三角形可以分为三类：等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。
1.等边三角形等边三角形的三条边长相等。
在等边三角形中，三个内角也相等，均为60度。
等边三角形具有高度的对称性，其重心、外心、内心和垂心重合于同一点。
2.等腰三角形等腰三角形有两条边长相等。
根据等腰三角形的顶角和底角的大小，可以将其进一步分为锐角等腰三角形、直角等腰三角形和钝角等腰三角形。
3.不等边三角形不等边三角形的三条边长均不相等。
三角形的特性_三边的关系
26.jpg
由三条线段围成的图形 （每相邻两条线段的端点相连）
叫做三角形。
顶点 边 顶点 角
边
角 边
角
顶点
三角形有（3）条边，（3）个顶点,（ 3 ）个角。
小结：一个三角形由边、角、顶点三部分组成。
A
B
三角形ABC
C
顶点
三 角 形 的 高
高
底
从三角形的一个顶点到它 的对边做一条垂线，顶点和垂 足之间的线段叫三角形的高， 这条对边叫做三角形的底。
1.先找顶点和相对应的底边； 2.要用直角三角板画垂线； 3.要在垂足上标上直角符号。
通过画高：我们发现三角形的底和这一底上的 高是一组互相垂直的线段。
Hale Waihona Puke 通过实验操作发现： 四边形容易变形，三角形 不容易变形，所以三角形 具有稳定性。
三角形的三边关系
小明会选择哪条路到学校最近呢？
探究新知：三角形两边之和大于第三边
三角形任意两边的和大于第三边
说说你的收获
三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边。
8
7 6
8
6
7
8+7>6 7+6>8 8+6>7
当两张纸条的长度和大于第三 张小棒时，能围成三角形。
9
5
4
9
5 4
9+5>4 9+4>5 5+4＝9
当两张纸条的长度和等于第三张小 不能围成三角形。 棒时，
10
6 3
10
6 3
10+3>6 10+6>3
6+3＜10
三角形三边的关系是什么
三角形三边的关系是什么
三边的关系
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
设三角形三边为a，b，c则a+b>c，a>c-b，b+c>a，b>a-c，a+c>b，c>b-a。
三角形判定方法
若一个三角形的三边a，b，c（a<b<c）满足
a^2+b^2>c^2，则这个三角形是锐角三角形；
a^2+b^2=c^2，则这个三角形是直角三角形；
a^2+b^2<c^2，则这个三角形是钝角三角形。
三角形分类
按角分
1、锐角三角形：三个角都小于90度。
2、直角三角形：其中一个角等于90度。
3、钝角三角形：其中一个角一定大于90度，钝角大于九十度且小于一百八十度。
按边分
不等边三角形：3条边都不相等。
等腰三角形：有2条边相等。
等边三角形：3条边都相等。
三角形三个边关系
三角形三个边关系
三角形的三个边的关系可由三角形的三边关系定理来描述。
该定理有三个部分：
1. 三角形两边之和大于第三边：如果一个三角形的两边之和大于第三边，则该三角形是存在的。
即，如果a、b和c是一个三角形的三个边的长度，那么a + b > c、b + c > a、a + c > b。
2. 两边之差小于第三边：如果一个三角形的两边之差小于第三边，则该三角形是存在的。
即，如果a、b和c是一个三角形的三个边的长度，那么a - b < c、b - c < a、a - c < b。
3. 两边之和等于第三边：如果一个三角形的两边之和等于第三边，则该三角形是退化的（也称为直线）。
即，如果a、b和c是一个三角形的三个边的长度，那么a + b = c、b + c = a、a + c = b。
三角形三边定义及关系
三角形三边定义及关系三角形，作为几何学中最基础且最重要的图形之一，具有丰富的性质和内涵。
本文将深入探讨三角形三边的定义及关系，以期帮助读者更好地理解这一概念。
一、三角形的定义三角形是由三条边构成的闭合二维图形。
这三条边两两相交，且每条边的两个端点都在其他两条边的某一侧。
三角形是最简单的多边形之一，也是构建更复杂图形的基础。
二、三边定义1.边的长度三角形的每条边都有确定的长度。
在欧几里得平面几何中，边的长度是实数，且不同的边长对应不同的三角形。
2.边的方向三角形的三条边都有一定的方向性。
在几何图形中，方向由边的两个端点和其延伸方向共同决定。
三角形的三条边两两相交，形成了三个角，分别称为锐角、直角和钝角。
三、边与边之间的关系1.定量关系三角形的任意两边之和大于第三边。
这是三角形的一个重要性质，也是判断三条线段能否构成三角形的依据。
此外，任意两边之差小于第三边。
2.定性关系除了定量关系外，三角形各边之间还存在定性关系。
例如，三角形中的角平分线将对应边分为两段，这两段的比例与角的正弦值成正比。
四、应用场景三角形三边定义及关系在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，建筑学中经常用到三角形的稳定性，这是由于三角形的三条边可以互相支撑，形成一个稳定的结构。
此外，航海、测量和工程设计中也经常用到三角形的知识。
五、与其他几何图形的区别三角形是多边形中最简单的一种，其性质与其他多边形存在明显差异。
例如，四边形有四条边和四个角，其各边之间的关系与三角形不同。
此外，三角形各内角的和为180度，而四边形各内角的和为360度。
这些性质上的差异使得三角形在几何学中具有独特的地位。
六、学习方法与技巧1.实践与理论相结合：在学习三角形三边定义及关系时，应结合实际案例进行思考和实践，以便更好地理解和掌握知识。
2.注重基础概念：在学习过程中，要注重对基础概念的掌握和理解，如三角形的定义、边的长度和方向等。
只有掌握了这些基础概念，才能更好地理解后续的定理和性质。
三角形三边关系定理是什么
三角形是数学考试的重点图形之一，很多同学对于三角形的一些知识了解的并不扎实，那么我们一起来看看三角形三边关系都有哪些知识点？
三角形三边关系
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
直角三角形三边关系：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
数学学习方法
每一节的数学单元里面都有数学定义，这些数学定义一定要把握住才行，因为
好多的数学错题基本上都是由于自己对定义了解程度不够。
很多家长都信奉题海战术，总是会给孩子布置很多题目，但这样的效率是很低的。
做题也是要有技巧地做，做到举一反三。
很多孩子在做错题的时候，都只是简单改正，没有去思考背后的原因。
因此，如果孩子做错题，要引导他们进行总结方法，从而从根源上解决错题。
以上就是有关于三角形三边关系和数学学习的相关知识，供大家参考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《三角形特性及三边关系》教学设计教学目标：1、结合具体情境，了解三角形在生活中的应用，通过实验感知三角形具有稳定性。
2、总结三角形的定义。
3、结合具体操作，探索三角形三边的关系，发现三角形任意两边之和大于第三边，并能利用这一规律判定三条线段能否围成三角形。
4、通过小组内动手、动脑、合作的探索活动，获取数学知识，逐步培养学生自主探索的能力。
教学重点：三角形的组成和定义，三角形三边的关系。
教学难点：引导探索三角形边的关系，并发现“三角形任意两边之和大于第三边”的性质。
教学准备：三角形框架，四边形框架，学生每人自备三根整厘米数小棒。
教学过程：一、创设情境，激发兴趣。
出示主题图师：同学们请看，这是一幅建筑工地的场景图，从图中你观察到哪种平面图形最多？（出示课件）生：三角形。
师：为什么塔吊上要设计成三角形呢？二、操作感知，理解概念。
（一）学习三角形的稳定性。
我们先来做一个实验。
每个学生准备一个三角形框架和一个四边形框架，让学生分别拉一拉，观察这两个框架有什么变化？师小结：用力拉三角形框架时，形状不容易改变，我们就说三角形具有稳定性。
（板书：稳定性）这幅图中的塔吊就是运用了三角形的稳定性这一特性。
你知道吗？生活中还有很多物体运用了三角形的稳定性。
我们看，（出示图片）哪些地方运用了三角形的稳定性。
（课本85页第1题）（二）总结三角形的概念1、师：三角形对于我们来说并不陌生，那你知道什么样的图形才是三角形？预设：由三条边组成的图形。
师举反例强调围成。
怎样围成的呢？（首尾相连，也就是每相邻两条线段的端点相连。
板书：围成）因此，我们可以得出：由三条线段围成的图形叫做三角形。
（师补充板书）2、介绍三角形各部分的名称。
师：大家看，（手指黑板上的三角形）围成三角形的这三条线段，我们就叫它边；（板书：边）这三个点呢，我们就叫它们顶点；那这三个呢？（角）。
（三）三角形任意两边之和大于第三边。
1、师：三角形在我们的生活中具有广泛的应用。
那么，三角形的三边有什么关系呢?今天，我们就借助学具小棒来研究三角形三边的关系。
下面，请同学们从学具袋中拿出小棒，用这三根小棒来围三角形。
师：怎么样？同学们，围成了吗？说说你们组出现了什么情况。
（找生到投影仪上摆）师：都是三根小棒，为什么有的能围成三角形，有的却不能呢？带着你的小棒，在小组内一起研究一下。
并把结果记录在表格中。
（教师巡视指导，围法、记录）2、师：同学们已经围好了，现在停下来，请收起你们的小棒。
说说你们组出现什么情况？先告诉大家你们围成三角形了吗？3、选不能围成三角形的情况，在展台上展示出来。
师：给大家围一围，（学生围）能告诉大家小棒的长度吗？我们先把他们记录下来。
师：哪个组再来说说。
（没有围成三角形，小棒的长度分别是多少，我们也把他记录下来。
师：我们一起来看看这些小棒的长度，你有什么发现？（四人讨论一下）（我发现，两条较短的边的和小于或者等于最长的边，这三根小棒就不能围成三角形。
）师：那反过来说，怎样能让这三根小棒就能围成三角形？（只要两条较短的边的和大于最长的边，）你们同意他的观点吗？4、选能围成三角形的情况，在展台上展示出来。
并把小棒的长度记录下来。
引导学生得出结论。
任意三角形的两边之和大于第三边。
三、巩固练习1、师：我们看大屏幕，有这样三根小棒，能围成三角形吗？为什么？（课本85页的第2题）师：我们是否要把三条线段中的每两条线段都相加后才能作出判断？有没有快捷的方法？（用较小的两条线段的和与第三条线段的大小关系来检验）。
这是进行判断的技巧。
2、师：其实，三角形的三边关系还可以帮助我们解决生活中的实际问题。
去海边情境图（课本87页第10题）：你能用今天的数学知识解释一下吗？3、小猴只有8cm和12cm两根木条，再拿一根多长的木条就可以钉成一个三角形呢？看谁的答案多？（引导学生总结出规律，第三根小棒的长度是大于它们的差小于它们的和）四、总结。
师：同学们回顾一下，我们今天都那些知识。
（什么是三角形？三角形各部分的名称；三角形具有稳定性；三角形任意两边之和大于第三边。
）板书设计：三角形特性及三边关系由三条线段围成的图形叫做三角形。
三角形任意两边之和大于第三边。
【教学目标】1.探究三角形三条边之间的关系，知道三角形任意两条边的和大于第三边。
2.根据三角形三条的关系解释生活中的现象，提高运用数学知识解决实际问题的能力；提高观察、思考、抽象概括能力和动手操作能力。
3.通过学生动手操作、猜想、实验、验证及小组讨论等活动，培养学生主动探索、勇于实践、敢于发现、合作交流的良好品质；通过学生积极参与探究活动，激发学生学习数学的兴趣，在数学的探索与发现中体验快乐。
【教学重难点】探索发现三角形三条边之间的关系。
【教具准备】多媒体课件、实验报告、学具袋等。
【教学过程】一、创设情境1.课件出示第82页例3情境图。
（1）这是小明上学的路线图。
请大家仔细观察，小明上学可以怎样走？有哪几条路线？（给路线标出①、②、③）（2）在这三条路线中，哪条路线最近？为什么？（3）你们都认为小明上学走第②条路最近，除了刚才说的，还有没有其他的原因呢？2.提出猜想。
连接小明家、邮局、学校三地，近似一个什么图形？为了表达方便，我们用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点。
小明上学的第②条路线就是三角形的ABC中的哪条边？第①条路线我们又可以看成是这个三角形的哪条边？根据大家刚才的判断，第①条路线比第②条路线长，也就是说，AB+BC＞AC。
那么是不是所有的三角形两边的和都会大于第三边呢？三角形的三条边之间到底有什么关系？今天这节课，咱们就一起来探索三角形的三条边之间的关系。
（板书课题：三角形三边的关系）二、探究发现1.复习三角形的定义：谁先来说一说，什么样的图形叫三角形？你会摆三角形吗？（请一人上来用小棒摆一个三角形，让学生评价）2.开展实验：（1）拿出学具袋，同桌两个人一组合作测量学具袋中每根小棒的长度。
（2）出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师提问：“每次任意取出三根小棒”是什么意思？）实验报告单（3）小组活动，教师巡视，适当指导。
（4）汇报交流。
各小组派代表汇报，互相补充，填写实验结果。
3.小组讨论。
同样是用三根小棒来摆三角形，为什么有的能摆成，有的却摆不成呢？观察、比较一下这两组实验结果，你能发现三角形的三边之间有什么关系吗？四人小组讨论交流，教师参与学生的讨论。
4.全班交流。
（1）怎样的三根小棒能摆成三角形？各小组派代表汇报一下你们组的发现。
（引导学生发现规律：三角形任意两边的和大于第三边。
）（2）这边的各组小棒为什么不能摆成三角形呢？（强调“任意两边的和”。
）5.教师小结：今天这节课，同学们真是太了不起了！你们通过动手实验、观察分析、讨论交流，自己探索出了三角形三边的关系就是──“三角形中任意两边的和大于第三边”。
三、应用深化1.解释应用：现在你能不能用所学的知识解释一下为什么小明上学走中间这条路最近呢？2.完成课本第86页第4题。
学生独立完成，反馈，问：你是怎样判断的？3.拓展：如果一个三角形的两条边分别长3厘米和5厘米，另一条边可能是几厘米？（取整厘米数）4.实践活动：巧手做衣架。
一、复习出示三角形你对三角形有哪些了解？定义（围成：首尾相连）特性：稳定性按角的分类按边的分类师：△除了这些特点之外，还有一个很隐蔽的特性，今天，就让我们共同来揭开奥秘。
二、新授1、出示学具磁力棒，共12㎝。
2、如果让你把这条12㎝长的线段任意分成三段，会有哪些种分法？（学生汇报，教师选择不同位置填写）板书：摆成的图形比较三边的关系摆成的图形比较三边的关系3，4，5 2，3，7 其他组2，5，5 2，4，6 其他组4，4，43、这么多种分法是不是都能围成三角形呢，你可以选择几组数据尝试着摆一摆，并把三边的长度和摆图形的结果这两项填写在表格中。
教师巡视，选择中间代表性五组填图。
4、汇报：介绍每组数据围成的结果。
（1）围成的，学生都能认可，可介绍特殊名称。
（2）不能围成的。
（2，3，7）特点：够不着。
（2，4，6）可能情况：a.线段多余类（认为摆成了）；b.两条线段类（认为不能摆成）。
出现的问题让学生探讨，投影例证。
思考类似这样的情况还有哪些？5、过渡：都是把12cm分成3段，有的就能围成三角形，有的就围不成三角形，能不能围成三角形与什么有关系呢？（边的长短、线段长短）板书部分课题：边的关系6、观察这些数据，能围成的三角形的三边特点？不能围成三角形的三边特点？有学生会提到:两边之和之类的描述。
用两条边的和去和第三条边去比，是一个探究的好办法。
以围不成（或围成）为例，把两条边的和与第三边比一比。
7、仿照三角形的比较方法，把你的实验记录单补充完整。
学生板演。
8、观察算式，你还有没有其他的想法？9、先汇总几种结论，再分析对不对，最后，统一三边关系。
哪句话能准确、全面地概括三角形三条边的关系？充实板书：三角形任意两边的和大于第三边。
10、过渡：和同学们一起思考、讨论，老师也受益很多，应用结论，我们来解决一些实际问题。
三、练习1、判断下面每组线段能否围成三角形。
并说明原因（单位：厘米）（1）3，4， 6 三组算式（2）2，4，5 预设抢答。
为什么那么快？比较较短两边与第三边的关系。
（3）5，7，11 能（4）3，3，6 行不行？2、 5m，8m这第三边可以是多少？（两边之差）3 < 第三边< 13（两边之和）3、摆一摆，填一填（1）3根同样长的小棒，能否摆成一个三角形？它是什么三角形？（2）4根同样长的小棒，能否摆成一个三角形？5根、6根呢？（3）完成表格。
四、总结：有关三角形的知识还有很多，让我们携手前行，继续探索它的奥秘！一、（出示主题图）问：这是什么地方？（工地）繁忙的工地塔吊林立，不久后这里将竖起座座高楼。
仔细观察，塔吊上什么图形最多？（三角形）——点题：三角形的认识及三边关系。
二、探究新知。
1、三角形的特性。
工地是危险的地方，请同学们上下学的路上远离工地。
正因为工地危险，所以才时时处处讲安全第一。
塔吊上这么多的三角形是否就是安全的保证呢？咱们来做个实验吧。
拿出三角形、平行四边形学具让学生推拉，对比说明三角形具有稳定性，平行四边形易变形。
然后拿出一根小棒把平行四边形分成两个三角形，让学生再推拉，再次证明三角形具有稳定性。
（板书）问：同学们现在知道塔吊上为什么有这么多三角形吗？（安全）想一想：生活中我们在哪些地方见过三角形稳定性的应用？2、三角形各部分之间的关系。
（1）（指三角形框架）问：数一数，三角形有几条边？你能画出一个三角形吗？（老师画一个不封闭的三角形）问：看，这个图形也有三条边，它是三角形吗？（强调围成）延长使它成为一个完整的三角形。