高中数学必修5北师大版等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式作业(含答案)

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课时作业11：第1课时　等差数列的概念及通项公式

§2.2 等差数列2.2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式一、选择题1.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( )A.b －aB.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4答案 C解析由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a 3. 2.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( )A.15B.22C.7D.29 答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.3.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是( )A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a 7＝2＞0，a 8＝－1＜0.4.若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A.26B.29C.39D.52答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项.∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26，∴x ＋y ＋z ＝39.5.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }是( )A.公差为1的等差数列B.公差为13的等差数列 C.公差为－13的等差数列 D.不是等差数列答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13，所以数列{a n }是公差为13的等差数列. 6.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A.15B.30C.31D.64答案 A解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧ a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15. 方法二由等差中项的定义可得a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.二、填空题7.已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1＝ . 答案n ＋1m ＋1解析设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 8.2－1与2＋1的等差中项是 .答案 2解析设等差中项为a ，则有a ＝2－1＋2＋12＝ 2. 9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为 .答案 a n ＝n ＋44，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n ＋44. 故a n ＝n ＋44，n ∈N ＋. 10.若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝ .答案 24解析设{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415，所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 11.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N ＋)，则该数列的通项为 . 答案 a n ＝1n，n ∈N ＋解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n，n ∈N ＋. 三、解答题12.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由. 解数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列. 13.已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，令b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明因为a n ＝4－4a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，所以a n ＋1－2＝2－4a n ＝2(a n －2)a n(n ≥1，n ∈N ＋)，所以1a n ＋1－2＝a n 2(a n －2)＝12＋1a n －2(n ≥1，n ∈N ＋)，所以1a n ＋1－2－1a n －2＝12(n ≥1，n ∈N ＋)，即b n ＋1－b n ＝12(n ≥1，n ∈N ＋). 所以数列{b n }是等差数列.(2)解由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是首项为1a 1－2＝12，公差为12的等差数列，所以1a n －2＝12＋(n －1)·12＝n 2，解得a n ＝2＋2n. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2＋2n，n ∈N ＋. 四、探究与拓展14.在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)都在直线x －y －3＝0上，则a n ＝ .答案3n2解析由题意得a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，所以a n＝3n，a n＝3n2.15.已知等差数列{a n}：3，7，11，15，….(1)135，4m＋19(m∈N＋)是{a n}中的项吗？试说明理由；(2)若a p，a q(p，q∈N＋)是数列{a n}中的项，则2a p＋3a q是数列{a n}中的项吗？并说明你的理由. 解a1＝3，d＝4，a n＝a1＋(n－1)d＝4n－1，n∈N＋.(1)令a n＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是数列{a n}中的第34项.令a n＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋，∴4m＋19是数列{a n}中的第m＋5(m∈N＋)项.(2)∵a p，a q是数列{a n}中的项，∴a p＝4p－1，a q＝4q－1.∴2a p＋3a q＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，其中2p＋3q－1∈N＋，∴2a p＋3a q是数列{a n}中的第2p＋3q－1项.。

北师大版高中数学必修5同步学案：第1章等差数列的概念及其通项公式

§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列；当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列；当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。

高考数学必修五第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式

§2.2 等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二等差中项的概念思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点等差中项题点等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点等差中项题点等差中项及其应用解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三等差数列通项公式的求法及应用命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 A解析公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案 C解析由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点等差数列的通项公式题点求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案 6766解析设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用解由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 110解析易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的通项公式题点求通项公式解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

必修5——等差数列(第一课时),自己做的

列： 10072，10144，10216，10288， 10072，10144，10216，10288，10360. ④
18，15.5，13，10.5， 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 5.5.
③
二、（一）等差数列的定义、（一等差数列的定义 • 1、定义：一般地，如果一个数列{an},从第2项从第2 定义：一般地，如果一个数列从第起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。表示。等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是 5，5，-2.5，72。 (1)从第2 从第注: (1)从第2项起
（要求：写出解题过程）要求：写出解题过程）
数字量
编号
a1 a
1
d
2 4
n n
15
ann
解方程：解方程：方程思想
(1) －8 (2) 5 (3) －45 (4) 5.2
20
105 45 9.2
26
31
11
3
0.4
思考：解题过程中体现了什么样的思想？思考：解题过程中体现了什么样的思想？
思考？
a1 = 48 a 2 = 53 = 48 + 5 × 1
a 3 = 58 = 53 + 5 = 48 + 5 × 2
a4 = 63 = 58 + 5 = 48 + 5 × 3
a n = 48 + 5 × ( n − 1)
二、（二）等差数列的通项公式、（二
• １、导入：导入： • （２）问题２：类比上面的方法，根据等差数列的定义，问题２类比上面的方法，根据等差数列的定义，如果任意给一个等差数列的首项a1和公差和公差d,那么它的通如果任意给一个等差数列的首项和公差那么它的通项公式是什么？项公式是什么？

2020_2021学年高中数学第一章数列2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式练习(含解析)北师大版必修5

等差数列的概念及通项公式A 级基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18[解析] 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d . 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.∴a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.2．等差数列3,1，－1，－3，…，－97的项为( B ) A ．52 B ．51 C ．49D ．50[解析] ∵a 1＝3，a 2＝1，∴d ＝1－3＝－2， ∴a n ＝3＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋5，由－97＝－2n ＋5，得n ＝51.3．(2019·威海检测)已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( B )A ．2B ．3C ．6D ．9 [解析] 由题意2m ＋n ＝10,2n ＋m ＝8，两式相加得3m ＋3n ＝18，∴m ＋n ＝6，∴m ＋n2＝3.4．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7D ．－4[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8. 5．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( A ) A ． 3 B ． 2 C ．33D ．22[解析]a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.6．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( C ) A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0[解析] 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2，x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝(a ＋b2)2，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b . 二、填空题7．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是 0 .[解析] lg(3＋2)＋lg(3－2)＝lg(3－2)＝0，所以lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是0.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为6766升． [解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三、解答题9．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.[解析] 方法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25.解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32.∴这个数列的通项公式为a n ＝4＋32×(n －1)，即a n ＝32n ＋52.∴a 25＝32×25＋52＝40.方法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ， ∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40. 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， (1)数列{1a n}是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .[解析] (1)数列{1a n}是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，∴a n ＝2n.(n ∈N ＋)B 级素养提升一、选择题1．{a n }是首项为a 1＝4，公差d ＝2的等差数列，如果a n ＝2 020，则序号n 等于( A ) A ．1 009 B ．1 012 C ．1 008D ．1 010[解析] ∵a 1＝4，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2， ∴2n ＋2＝2 020，∴n ＝1 009.2．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( D ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52 [解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.3．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( C ) A ．第11项 B ．第12项 C ．第13项D ．第14项[解析] 由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88，令a n ≥0，解得n ≤887＝1247.而a 12＝4，a 13＝－3，故a 13的值最接近零．4．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325. 二、填空题5．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝ 13 . [解析] 由a 5＝a 2＋6得a 5－a 2＝6，故3d ＝6，d ＝2.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13.6．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝ 54.[解析] 设这两个等差数列的公差分别为d 1，d 2. 则a 2－a 1b 3－b 2＝d 1d 2.由等差数列的性质，是y －x ＝4d 1＝5d 2，∴d 1d 2＝54. 三、解答题7．等差数列{a n }中， a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2 ＝24. 8．已知f (x )＝2x x ＋2，在数列{x n }中，x 1＝13，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，试说明数列{1x n}是等差数列，并求x 95的值．[解析] 因为当n ≥2时，x n ＝f (x n －1)，所以x n ＝2x n －1x n －1＋2(n ≥2)，即x n x n －1＋2x n ＝2x n －1(n ≥2)，得2x n －1－2x n x n x n －1＝1(n ≥2)，即1x n －1x n －1＝12(n ≥2)．又1x 1＝3，所以数列{1x n }是以3为首项，12为公差的等差数列，所以1x n ＝3＋(n －1)×12＝n ＋52，所以x n ＝2n ＋5，所以x 95＝295＋5＝150.。

北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

《等差数列的概念及其通项公式(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

250，245，240，235，230，225，220，215，210.
从第2项起，每一项与它的前一项的差都是-5．
数列②中的取值有何规律？
这种取值规律可以通过运算式来体现吗？
5
5
5
5
可以
245-250=240-245=235-240=…=-5.
5
5
5
5
从第2项起，每一项与它的前一项的差都是4．
前面三个数列的公差是多少？
公差d=2
公差d=-5
公差d=4
判断以下数列是否是等差数列？若是，指出公差；若不是，说明理由．（1）7，13，19，25，31；（2）2，4，7，11；（3）-1，-3，-5，-7．
（1）因为13-7＝19-13＝25-9＝31-25＝6，所以这个数列是等差数列，公差为6；（2）因为4-2＝2，7-4＝3，7-4≠4-2，所以这个数列不是等差数列；（3）因为-3-(-1)＝-5-(-3)＝-7-(-5)＝-2，所以这个数列是等差数列，公差为-2．
结构框图
概念
通项公式
等差数列的概念及通项公式
文字语言：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.
符号语言：an＋1an＝d（d为常数，n∈N*），或anan－1＝d（d为常数，n∈N*且n≥2）．
an=a1+( n-1)d
从第2项起，每一项与它的前一项的差都是2．
从第2项起，每一项与它的前一项的差都是-5．
从第2项起，每一项与它的前一项的差都是4．
对于一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数.
对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.

高中数学第二章数列2.2.1等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式学案(含解析)新人教B版必修5

学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列．题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.题型三等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3，由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2B ．3C ．－2D ．－3 答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30°B．60°C．90°D．120° 答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92B ．47C ．46D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52B ．62C ．－62D ．－52 答案 A解析公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52B ．51C ．50D ．49 答案 A解析因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26B ．29C ．39D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15B ．22C ．7D ．29 答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12B.13C.14D.16 答案 A 解析由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A. 二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________．答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案6766解析设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．解设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋26a n －4－2a n ＋2＝a n ＋24a n －8＝a n －2＋44a n －2＝1a n －2＋14，得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式．解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N，则()2121n n Sn a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（）A ．49B ．50C ．51D ．523．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( )A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝．8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（）A ．8B ．7C ．6D ．53、若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（）A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A ）13项（B ）12项（C ）11项（D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为（）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则（） A. 0991>+a a B. 0991<+a a C. 0991=+a a D. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

第一章数列§2 2.2 第1课时等差数列的前n项和北师大版必修五.

把①， ②等号两边分别相加，得
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美

高中数学北师大版必修5课件：第1章2.1.1《等差数列的概念》

2．求等差数列的通项公式除课本的归纳法外, 你还知道哪些方法？提示：除课本上用归纳法得到通项公式外，还有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要注意体会并逐步应用． ①累加法因为{an}为等差数列，则有 a n － a n － 1＝ d ， an－1－an－2＝d，
2．等差数列的通项公式
若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d {a }的通项公式为_________________.
n
问题探究 1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“差是同一个常数”这两点？提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1 ＝4＝常数，a3－a2＝3－5＝－2＝常数，a4－ a3＝7－3＝4＝常数，差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心．
数列{an}的通项公式．
2．从函数的观点看，数列的表示方法有列表法， _______ 图像法， ___________ 通项公式法． _______
知新益能
1．等差数列的概念第二项起，每一项与它的前如果一个数列从 _______
同一个常数，那么这个数列就一项的差等于 ___________ 常数叫做等差数列的公叫做等差数列，这个 _____ d 表示．差，通常用字母___
解了题意．
自我挑战
已知等差数列 {an}的首项为 a1，公
差为d且a5＝10，a12＝31，求数列的通项公式.
解：法一：∵a5＝a1＋4d，a12＝a1＋11d，

高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式课件(北师大版必修5)

§2 等差数列
第一章数列
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2.1 等差数列
第一章数列
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第1课时等差数列的概念和通项公式
预习篇课堂篇提高篇
巩固篇课时作业
第一章数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单问题.
第一章数列
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【尝试解答】数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)，即n＝43m－1(n，m∈N＋)．要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
第一章数列
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
第一章数列
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规律方法求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构成等差数列，但整个数列不是等差数列.
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.

2020学年高中数学课时分层作业1数列的概念(含解析)北师大版必修5(2021-2022学年)

课时分层作业（一)（建议用时：60分钟)［基础达标练]一、选择题１.下列说法：①如果已知数列的通项公式，可求出数列中的任何一项；②数列１，-１，１,-1，…与数列－１，1,-1,1,…是同一数列;③所有的数列都有通项公式,且只有一个;④数列1,2,３,…,n是无穷数列．其中正确说法的个数是(）Ａ．1 ﻩ B.２Ｃ.3ﻩ D.4A［①正确;②不正确,数列1，-1,1，－1,…与数列-1,1,-1，1,…不是同一数列；③不正确，有的数列没有通项公式,有的数列的通项公式不止一个；④不正确，数列１,2,3，…,n是有穷数列，共n项,故选A。

］2．已知数列{ａn}的通项公式是a n＝n２＋2,则其第3,4项分别是()A.11,3ﻩＢ.１1，15C．1１,18 Ｄ．1３，18C［a3＝３2＋２＝11,a4＝42＋２=1８。

］3．已知数列{ａｎ}的通项公式为a n=25-２ｎ,下列数中不是数列{aｎ｝的项的是（)Ａ．1 B．-１Ｃ.2ﻩ D.3C [由ａn＝２5－2n,知a11＝3,ａ１2=1，a13=-1,所以2不是数列｛a n}中的项．]4．已知数列的通项公式是aｎ=错误!则该数列的前两项分别是( ) A．2,４ﻩＢ.2，２Ｃ．2,0 D．1,2B[当ｎ=１时,ａ1=２;当ｎ＝2时，ａ2＝22-2=2.]ﻬ5。

如图，各图形中的点的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )A．ａn=n2－ｎ+１ﻩＢ.a n=错误!未定义书签。

C.a n=＼f(ｎ(n＋１)，2) Ｄ.aｎ=错误!C［法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中,点的个数依次为1，３,6，１０，代入验证可知正确答案为C 。

法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系,然后归纳一个通项公式.观察点的个数的增加趋势可以发现，ａ1=错误!,a 2＝错误!未定义书签。

，a ３＝错误!，ａ4=错误!未定义书签。

,所以猜想a n =错误!,故选Ｃ.］二、填空题６．数列错误!，错误!,错误!,错误!未定义书签。

2022版高中数学第一章数列2等差数列综合拔高练北师大版必修5

综合拔高练五年高考练考点1等差数列的通项公式及性质1.(2016课标全国Ⅰ,3,5分,)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.972.(2020北京,8,4分,)在等差数列{a n}中,a1=-9,a5=-1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…),则数列{T n} ()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项3.(2018北京,9,5分,)设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.考点2等差数列的前n项和公式及其性质4.(2019课标全国Ⅰ,9,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10n2-2nC.S n=2n2-8nD.S n=125.(2018课标全国Ⅰ,4,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= ()A.-12B.-10C.10D.126.(2017课标全国Ⅰ,4,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为 ()A.1B.2C.4D.87.(2020全国Ⅱ理,4,5分,)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) ()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块8.(2020浙江,7,4分,)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且a1≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N+,a下列等式不可能成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.a42=b2b8=.9.(2019课标全国Ⅲ,14,5分,)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则a10a510.(2019江苏,8,5分,)已知数列{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.11.(2020全国新高考Ⅰ,14,5分,)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为.考点3数列的求和12.(2017课标全国Ⅲ,17,12分,)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a a2a+1三年模拟练一、选择题1.()已知数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2.若a k·a k+1<0,则正整数k= ()A.24B.23C.22D.212.(2021山西大学附中高二上质检,)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,若a m+1+a m+a m-1=15,且S m=27,则m的值是()A.7B.8C.9D.103.(2020湖北随州高二上期末,)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序排列得到一个新数列,则这个新数列的项数为()A.15B.16C.17D.184.(2020湖北恩施州高中教育联盟高二上期中,)已知等差数列{a n}的前n项和S n有最大值,且a2021<-1,则a2020满足S n>0的最大正整数n的值为()A.4041B.4039C.2021D.20205.()若数列{a a2}是等差数列,则称数列{a n}为“等方差数列”,给出以下判断:①常数列是等方差数列;②若数列{a n}是等方差数列,则数列{a a2}是等差数列;③若数列{a n}是等方差数列,则数列{a a2}是等方差数列;④若数列{a n}是等方差数列,则数列{a2n}也是等方差数列.其中正确的序号为()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.(2020上海七宝中学高一下期中,)有一个三人报数游戏:首先A报数字1,然后B报两个数字2、3,接下来C报三个数字4、5、6,然后轮到A报四个数字7、8、9、10,依次循环,直到报出10000,则A报出的第2020个数字为 ()A.5979B.5980C.5981D.以上都不对二、填空题7.(2020安徽六安一中高一下期中,)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1>0,S9=-a5,则使得S n≥a n成立的最大正整数n的值为.8.(2020福建福州一中高二下质检,)在等差数列{a n}中,首项a1=3,公差d=2,若某学生对其连续10项求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下9项的和为199,则此连续10项的和为.三、解答题9.()已知无穷等差数列{a n}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项数能被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第503项是{a n}中的第几项?10.(2020江西南昌二中高一下月考,)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a a 2+a n -2.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =2a (a -1)aa a(n ∈N +),求数列{b n }的前n 项和T n ;(3)是否存在实数λ使得T n +2>λS n 对n ∈N +恒成立?若存在,求实数λ的取值范围,若不存在,请说明理由.答案全解全析 §2综合拔高练五年高考练1.C 由a 1+a 2+…+a 9=27,得9a 5=27,即a 5=3,设{a n }的公差为d ,则{a 1+4a =3,a 1+9a =8,解得{a 1=-1,a =1,所以a n =a 1+(n -1)d =n -2,将n =100代入,得a 100=100-2=98.故选C .2.B 设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 1=-9,a 5=-1,所以4d =a 5-a 1=-1-(-9)=8,解得d =2,所以等差数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =2n -11,所以a 1=-9,a 2=-7,a 3=-5,a 4=-3,a 5=-1,a 6=1,……,a n =2n -11, 且当n ≥6时,a n =2n -11>0恒成立.因为T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…),所以T 1=-9,T 2=63,T 3=-315,T 4=945,T 5=-945,当n ≥6时,T n =a 1a 2a 3a 4a 5a 6…a n <0恒成立,且n 越大,T n 的绝对值越大,因此,在数列{T n }中,T 4最大;当n ≥6时,T n <0,所以数列{T n }无最小项,故选B . 3.答案 a n =6n -3解析设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =6+5d =36,所以d =6,所以a n =a 1+(n -1)d =6n -3. 4.A 设{a n }的公差为d ,依题意得,4a 1+4×32d =0①,a 1+4d =5②,联立①②,解得a 1=-3,d =2.所以a n =2n -5,S n =n 2-4n.故选A .5.B 设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3S 3=S 3-a 3+S 3+a 4,即S 3=a 4-a 3,∴3a 1+3×22×d =d ,∴d =-3,∴a 5=a 1+4d =-10.6.C 设等差数列{a n }的公差为d ,由等差数列的前n 项和公式及题知,S 6=(a 1+a 6)×62=48,则a 1+a 6=16=a 2+a 5,又a 4+a 5=24,所以a 4-a 2=2d =24-16=8,解得d =4.7.C 由题意可设每层有n 个环,则三层共有3n 个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a 1=9为首项,9为公差的等差数列{a n },且项数为3n.不妨设上层扇面形石板总数为S 1,中层总数为S 2,下层总数为S 3, ∴S 3-S 2=[9(2a +1)·a +a (a -1)2×9]-[9(a +1)·a +a (a -1)2×9]=9n 2=729,解得n =9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+27×262×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3402(块).故选C .8.D 对于A,a 2,a 4,a 6成等差数列,∴A 成立;对于B,由b n +1=S 2n +2-S 2n =a 2n +2+a 2n +1,可得b n +1-b n =a 2n +2+a 2n +1-(a 2n +a 2n -1)=a 2n +2-a 2n +a 2n +1-a 2n -1=4d ,故{b n }是等差数列,则b 2,b 4,b 6也成等差数列,∴B 成立;对于C,a 42=(a 1+3d )2=a 12+6a 1d +9d 2,a 2a 8=(a 1+d )·(a 1+7d )=a 12+8a 1d +7d 2,所以a 42-a 2a 8=2d 2-2a 1d =2d (d -a 1),当d =a 1时,a 42=a 2a 8成立;对于D,a 42=(a 1+a 2+12a )2=(2a 1+13d )2=4a 12+52a 1d +169d 2,b 2b 8=(a 1+a 2+4d )(a 1+a 2+28d )=(2a 1+5d )(2a 1+29d )=4a 12+68a 1d +145d 2,∴a 42-b 2b 8=24d 2-16a 1d =8d 2(3-2·a1a )≥8d 2>0,∴a 42≠b 2b 8,∴D 不可能成立.故选D .9.答案 4解析设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 2=3a 1, ∴a 2=a 1+d =3a 1,∴d =2a 1, ∴S 10=10a 1+10×92d =100a 1,S 5=5a 1+5×42d =25a 1,又∵a 1≠0,∴a10a 5=4.10.答案 16解析设数列{a n }的公差为d ,则{(a 1+a )(a 1+4a )+a 1+7a =0,9a 1+9×82a =27, 解得a 1=-5,d =2,所以S 8=8×(-5)+8×72×2=16.11.答案 3n 2-2n解析 ∵数列{2n -1}的项为1,3,5,7,9,11,13,…,数列{3n -2}的项为1,4,7,10,13,…, ∴数列{a n }是首项为1,公差为6的等差数列, ∴a n =1+(n -1)×6=6n -5, ∴数列{a n }的前n 项和S n =(1+6a -5)×a2=3n 2-2n.12.解析 (1)因为a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n ,故当n ≥2时,a 1+3a 2+…+(2n -3)a n -1=2(n -1), 两式相减得(2n -1)a n =2, 所以a n =22a -1(n ≥2).又由题设可得a 1=2,适合上式, 所以{a n }的通项公式为a n =22a -1(n ∈N +). (2)设{a a2a +1}的前n 项和为S n ,由(1)知aa 2a +1=2(2a +1)(2a -1)=12a -1-12a +1, 则S n =11-13+13-15+…+12a -1-12a +1=2a2a +1.三年模拟练一、选择题1.B 由已知得a n +1-a n =-23,所以数列{a n }是以15为首项,-23为公差的等差数列,所以a n =-23n +473,由此可知{a n }为递减数列. 所以由a k ·a k +1<0得{a a >0,a a +1<0,即{-23a +473>0,-23(a +1)+473<0,解得22.5<k <23.5,又k ∈N +,所以k =23.2.C ∵{a n }是等差数列,∴a m -1+a m +a m +1=3a m =15,∴a m =5, ∴S m =a (a 1+a a )2=a (1+5)2=27,∴m =9.故选C.3.B 等差数列2,6,10,…,190的公差为4,等差数列2,8,14,…,200的公差为6,所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成的新数列的公差为12,首项为2,设该数列为{a n },则其通项公式为a n =12n -10,由12n -10≤190,解得n ≤503,而n ∈N +,所以n 的最大值为16,即新数列的项数为16.故选B.4.B 因为等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值,所以d <0.又a 2021a 2020<-1,所以a 2020>0,a 2021<0,a 2020+a 2021<0.所以S 4039=4039(a 1+a 4039)2=4039×2a 20202=4039a 2020>0,S 4040=4040(a 1+a 4040)2=4040(a 2020+a 2021)2<0,所以满足S n >0的最大正整数n 的值为4039.5.B ①中,常数列既是等方差数列,又是等差数列,故①正确;②③中,∵{a n }是等方差数列,∴a a 2-a a -12=p (p 为常数),得到{a a 2}是首项为a 12,公差为p 的等差数列,∴{a a 2}是等差数列,故②正确,③不正确; ④中,∵{a n }是等方差数列,∴{a a 2}是等差数列,∴a a +12-a a 2=a a +22-a a +12=a a +32-a a +22=…=a 2a 2-a 2a -12=p , a 2(a +1)2-a 2a 2=a 2(a +1)2-a 2a +12+a 2a +12-a 2a 2=2p (p 为常数),∴{a 2n }是等方差数列,故④正确.故选B . 6.答案 B信息提取 ①A 第n (n ∈N +)次报数的个数为3n -2;②B 每次比A 多报1个数,C 每次比B 多报1个数;③求A 报出的第2020个数字.数学建模以三人报数游戏为背景,建立等差数列模型,应用数列模型解决求值问题.首先分析出A 第n 次报数的个数,得到A 第n 次报完数后总共报数的个数,计算出A 是第n 0次报数中会报到第2020个数字,再计算当A 第n 0次报数时三人总的报数次数m ,再推算出此时报数的最后一个数S m ,再推出A 报出的第2020个数字.解析由题可得A 第n (n ∈N +)次报数的个数为3n -2, 则A 第n 次报完数后总共报数的个数T n =a [1+(3a -2)]2=a (3a -1)2,令T n ≥2020,则n ≥37,得T 37=2035,而A 第37次报数时,三人总共报数次数为36×3+1=109, 当A 第37次报完数时,三人总的报数个数S m =1+2+3+ (109)109×(109+1)2=5995,即A 报出的第2035个数字为5995,故A 报出的第2020个数字为5980.故选B. 二、填空题 7.答案 10解析设{a n }的公差为d ,则由S 9=-a 5,得9a 1+9×82d =-(a 1+4d ),即a 1+4d =0,∴a 5=0,d <0.由S n ≥a n 可知,S n -a n ≥0,即S n -1≥0,则S 10-1=S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=0,S 8>0.∴满足S n ≥a n ,即S n -1≥0成立的最大正整数n 的值为10.8.答案 220解析由题意知,数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,设连续10项为a i +1,a i +2,a i +3,…,a i +10,i ∈N, 设漏掉的一项为a i +k ,1≤k ≤10,k ∈N +,则由等差数列前n 项和公式得,(a a +1+a a +10)×102-a i +k =199,又因为a i +1=2i +3,a i +10=2i +21,a i +k =2i +2k +1,所以9i -k =40,即9i =40+k ,因为1≤k ≤10,所以41≤9i ≤50,即4<419≤i ≤509<6,又i ∈N,所以i =5,k =5,a i +k =a 10=2×10+1=21,所以此连续10项的和为220. 三、解答题9.解析 (1)∵a 1=3,d =-5,∴a n =8-5n.数列{a n }中项数被4除余3的项是{a n }中的第3项,第7项,第11项,……,∴b 1=a 3=-7,b 2=a 7=-27. (2)设{a n }中的第m 项是{b n }中的第n 项,即b n =a m ,则m =3+4(n -1)=4n -1, ∴b n =a m =a 4n -1=8-5×(4n -1)=13-20n , 即{b n }的通项公式为b n =13-20n. (3)b 503=13-20×503=-10047,设它是{a n }的第t 项,则-10047=8-5t ,解得t =2011,即{b n }中的第503项是{a n }中的第2011项. 10.解析 (1)当n =1时,由题意得2a 1=a 12+a 1-2,解得a 1=2或a 1=-1(舍去).当n ≥2时,2a n =2(S n -S n -1)=(a a 2+a n -2)-(a a -12+a n -1-2),整理可得(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, ∴a n -a n -1=1,∴{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,∴a n =2+(n -1)×1=n +1. (2)由(1)得a n =n +1,∴b n =2a (a -1)a (a +1)=2a +1a +1-2aa . ∴T n =(222-2)+(233-222)+…+(2a +1a +1-2aa )=2a +1a +1-2.(3)假设存在实数λ,使得T n +2>λS n 对一切正整数n 恒成立, 即存在实数λ,使得λ<2a +2a (a +1)(a +3)对一切正整数n 恒成立,只需满足λ<[2a +2a (a +1)(a +3)]min即可,令f (n )=2a +2a (a +1)(a +3)(n ∈N +),则f (n +1)-f (n )=2a +2(a 2-8)a (a +1)(a +2)(a +3)(a +4). 当n ≥3时,f (n +1)>f (n ); 当1≤n ≤2时,f (n +1)<f (n ).∴f (1)>f (2)=815,f (3)=49<f (4)<f (5)<f (6)<…,∴当n =3时,f (n )取得最小值,最小值为f (3)=49,所以λ<49.。

高中数学课时作业5等差数列的前n项和(第一课时)北师大版必修5

课时作业(五)1．若等差数列{a n }的前3项和S 3＝9且a 1＝1，则a 2等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析设公差为d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3×22d ＝9，解得d ＝2，则a 2＝a 1＋d ＝3.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧3（a 1＋4）2＝6，a 1＋2d ＝4，解得d ＝2. 3．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30 B ．45 C ．90 D ．186答案 C解析 ∵a 2＝6，a 5＝15， ∴d ＝a 5－a 25－2＝15－63＝3.∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3n. ∴b n ＝a 2n ＝6n.∴{b n }的前5项和为5（b 1＋b 5）2＝5（6＋30）2＝90.4．(2015·聊城七校联考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝10，a 2－a 3n 为( ) A ．8＋n －n 2B ．9n －n 2C ．5n －n 2D.9n －n 22答案 B解析 ∵a 2－a 3＝2，∴公差d ＝a 3－a 2＝－2. 又a 1＋a 4＝a 1＋(a 1＋3d)＝2a 1－6＝10， ∴a 1＝8，∴S n ＝－n 2＋9n.5．等差数列{a n }中，a 9＝3，那么它的前17项的和S 17＝( ) A ．51 B ．34 C ．102 D ．不能确定答案 A解析 S 17＝17a 9＝17×3＝51.6．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( ) A ．64 B ．100 C ．110 D ．120答案 C解析由a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，得d ＝2.所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 1＋a 2＋8d ）2＝10×（4＋8×2）2＝100，故选B.7．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是( )A ．137B ．217C ．267D ．347答案 B解析记某连续7项为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7；则 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝0，∴a 4＝0. ∴a 1＝a 4－3d ＝0－3·(－57)＝157.8．等差数列{a n }中，前n 项和S n ＝an 2＋(a －1)·n＋(a ＋2)，则a n 等于( )A ．－4n ＋1B ．2an －1C ．－2an ＋1D ．－4n －1答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，且S n ＝an 2＋(a －1)·n＋(a ＋2)，∴a ＋2＝0，a ＝－2，∴S n ＝－2n 2－3n. ∴a n ＝－4n －1.9．{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 0042 003·a 2 004<0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 008答案 B解析 ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2，∴S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003(a 2 003＋a 2 004)＞0.又S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007·a 2 004<0.∴选B.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9答案 C解析由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a m 2，从而有a m2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m－1，得(2m －1)a m ＝m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 8＝________．答案 48解析设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋2d ＝3，解得a 1＝－1，d 8＝8a 1＋8×72d ＝8×(－1)＋8×72×2＝48.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．答案 13解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d)＝2，所以a 4＝13.13．在等差数列{a n }中，若公差d ＝1，S 2n ＝100，则a 12－a 22＋a 32－a 42＋…＋a 2n －12－a 2n 2＝________．答案－100解析原式＝(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＋(a 3＋a 4)(a 3－a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )(a 2n －1－a 2n ) ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n )·(－1) ＝－S 2n ＝－100.14．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d. 解析 (1)因为S n ＝n·32＋n （n －1）2·(－12)＝－15，整理，得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)．所以a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.15．设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．解析 (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧S12＝12a 1＋12×112d>0，S13＝13a 1＋13×122d<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d>0， ①a 1＋6d<0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③将③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d>0，3＋d<0，解得－247<d<－3.(2)S 6的值最大，理由如下：由d<0可知数列{a n }是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大．由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 16．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式．解析 (1)由S 14＝98，得2a 1＋13d ＝14. 又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20.因此，{a n }的通项公式是a n ＝22－2n(n∈N *)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14≤77，a 11>0，a 1≥6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d≤11，a 1＋10d>0，a 1≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d≤11， ①－2a 1－20d<0， ②－2a 1≤－12. ③由①＋②，得－7d<11，即d>－117.由①＋③，得13d≤－1，即d≤－113.于是－117<d ≤－113.又d∈Z，故d ＝－1. ④将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1＝11或a 1＝12.所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是a n ＝12－n 和a n ＝13－n(n∈N *)．。

北师大版高中数学必修5第一章《数列》等差数列(二)

课堂小结课堂小结通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会有何体会？师通过今天的学习，你学到了什么知识有何体会？通过今天的学习,明确等差中项的概念明确等差中项的概念;进一步熟练生通过今天的学习明确等差中项的概念进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质. 掌握等差数列的通项公式及其性质 (让学生自己来总结，将所学的知识结合获取知识的让学生自己来总结，让学生自己来总结将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力培养学生的概括能力和语言表达能力) 整合培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本习题1-2 A组9，B组1 布置作业课本习题组，组预习内容：课本下节内容；预习提纲：预习内容：课本下节内容；预习提纲：①等差数列的项和公式；等差数列前n项和的简单应用项和的简单应用。前n项和公式；②等差数列前项和的简单应用。项和公式教后反思：五、教后反思：
通项公式的应用：通项公式的应用： ①可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项；等差数列中的任意一项； ②已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项。一项。
a+b A= ⇔ 2A = a + b 有 ____________________ 2
如果在 a 和 b 之间插入一个数 A，使 a、A、b 成等差数列，，、、成等差数列，等差中项。则 A 叫做 a、b 的__________。、
(4). 1，2，3，2，3，4，……； 1， ……；不是 (5). 0，0，0，0，0，0，…… 0，是d=0 (6). a, a, a, a, ……； ……；是d=0

2017-2018学年高中数学第一章数列 1.2 等差数列 1.2.1.1 等差数列的概念和通项公式讲义北师大版必修5

��1 + ��1 + �� = 3,
��1 + 2�� + ��1 + 3�� = 5,
解得
a1=
5 4
,
��
=
12.
所以a7+a8=a1+6d+a1+7d=9.
答案:9
12345
5若{an}为等差数列,且a15=8,a60=20,求a75.
题型一题型二题型三
题型二等差数列的通项公式【例2】在等差数列{an}中, (1)an=2n+3,求a1和d; (2)a7=131,a14=61,求a100,并判断0是不是该数列的项. 分析:(1)在an的表达式中,令n=1即可得到a1,然后再令n=2求出a2, 而d=a2-a1,或者根据等差数列的定义求d; (2)利用等差数列的通项公式和已知条件,可以列方程解决.
解得
��1 = 191, �� = -10.
故an=a1+(n-1)·d=-10n+201.
所以a100=-10×100+201=-799.
令-10n+201=0,解得n=20.1∉N+, 故0不是该数列的项.
题型一题型二题型三
反思在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素;有关等差数列的问题,若条件与结论间的关系不明显,则均可化成有关a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
=
24.
A.an=4-2n B.an=2n-4 C.an=6-2n D.an=2n-6
解析:通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=6-2n.

陕西省榆林市神木县第六中学高中数学 1.2.1等差数列学案北师大版必修5

等差数列
一．学习目标:
1、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式并能进行准确的计算。

2、能在具体情境中，对等差数列做出准确地判断。

二．学习重点: 能根据等差数列的概念，通项公式并能进行准确的计算
三．学习难点: 能根据等差数列的概念，通项公式并能进行准确的计算
四、自主学习
1、等差数列的定义: 。

2、等差数列通项公式及及其推导:
通项公式: ;
3、等差中项: ；
4、等差数列判断方法：
①、定义法②、通项法③、等差中项法
五、合作与探究
1、证明数列13-=n a n 是等差数列。

2、在数列{}n a 中，111,22.n n n a a a +==+设1.2
n n n a b -=证明：数列{}n b 是等差数列。

五、练习与展示
1.在数列}{n a 中，21=a ，1221+=+n n a a ，则通项=n a ___________，=101a .
2.在等差数列}{n a 中，首项11=a ，公差为3=d ，如果2005=n a ，则=n .
3、在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d =___________
4、在等差数列中已知13d =-，a 7=8，则a 1=_______________
5.等差数列{}n a 中，已知311=a ，33,452==+n a a a ，则n =_____.
6、在等差数列}{n a 中，
(1)已知153,334515==a a ，求61a ；
(2)前三项是
x x x 1,65,11+，求11a .。

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学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等差数列32，－12，－52，…的第10项为( )
A ．－372
B ．－332 C.372 D.332
【解析】由a 1＝32，d ＝－12－32＝－2，得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.
当n ＝10时，a 10＝－2×10＋72＝－332.
【答案】 B
2．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )
【导学号：47172060】
A ．a n ＝2n －5
B ．a n ＝2n －3
C ．a n ＝2n －1
D ．a n ＝2n ＋1
【解析】 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项，
∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0.
∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，
∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.
【答案】 B
3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
【解析】由题意有⎩⎨⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＝2，∴⎩⎨⎧
a 1＝5，d ＝－1，
∴a 11＝5＋(n －1)(－1)＝6－n ，
∴a 6＝6－6＝0.
【答案】 B
4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项
起为负数，则它的公差为( ) 【导学号：47172061】
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－6
【解析】设a n ＝23＋(n －1)d ，则
⎩⎨⎧ a 6＞0a 7＜0，即⎩⎨⎧
23＋5d ＞023＋6d ＜0
，解得－435＜d ＜－356，又因为d ∈Z ，所以d ＝－4.
【答案】 C
5．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 3＋a 4＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．7 【解析】由题意可得⎩⎨⎧ 3a 1＋6d ＝1053a 1
＋9d ＝99，即⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝35，a 1＋3d ＝33，
解得⎩⎨⎧ a 1＝39，d ＝－2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39＋(－2)(n －1)＝41－2n ，故a 20＝41－2×20＝1.
【答案】 B
二、填空题
6．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________.
【解析】由题意知
⎩⎨⎧ a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 1＋5d ＝7，即⎩⎨⎧ 2a 1＋9d ＝22，a 1
＋5d ＝7，解得⎩⎨⎧
a 1＝47，d ＝－8，
∴a 5＝a 1＋4d ＝47－32＝15. 【答案】 15
7．已知数列{a n }为等差数列，且a 9－2a 5＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________.
【解析】 a 9－a 5＝4d ，a 5＝a 3＋2d ，
∴a 9－2a 5＝(a 9－a 5)－(a 3＋2d )＝－1，
∴4d －2d ＝－1，即d ＝－12.
【答案】－12
8．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1
＝________.
【解析】 ∵数列x ，a 1，a 2，y 成等差数列，
∴y －x ＝3(a 2－a 1)，∴a 2－a 1＝13(y －x )，
∵x 、b 1、b 2、b 3、y 成等差数列，
∴y －x ＝4(b 2－b 1)⇒b 2－b 1＝14(y －x )，
∴a 2－a 1b 2－b 1＝13(y －x )14(y －x )
＝43. 【答案】 43
三、解答题
9．在等差数列{a n }中，
(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；
(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.
【解】 (1)由题意知⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩
⎨⎧ a 1＝－5，d ＝1. (2)∵⎩⎨⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，∴⎩⎨⎧ a 1＝1，d ＝2.
∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
∴a 9＝2×9－1＝17.
10．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n ＋2n ，a 1＝1，设b n ＝a n 2
n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式.
【导学号：47172062】。