成都七中高二数学期中复习综合测试题
成都市第七中学数学高二下期中经典练习题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -3．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 5．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=sin 2α=（ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 6．(0分)[ID ：13624]设,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan( ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-7．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43 D ．328．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心9．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±10．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89C ．79D ．79-11．(0分)[ID ：13568]函数()()f x Asin ωx φ=+（其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象如图所示，为了得到()πg x sin ωx 6⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点( )A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度 12．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角23π，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）A ．3B ．3-C ．-2D ．213．(0分)[ID ：13538]3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825B ．2425±C ．725-D ．72514．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13697]在ABC ∆中， 、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A cB b++=，则A =____________. 18．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________19．(0分)[ID ：13693]已知()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23πθ-=，求sin2αβ-=_______.20．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形．21．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 22．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________24．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________． 25．(0分)[ID ：13641]若向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：13790]已知点()0,2A 、()4,4B 、12OM t OA t OB =+. （1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；（2）若14cos t θ=，2sin t θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）若22t a =，求当OM AB ⊥，且ABM ∆的面积为12时，a 和2t 的值.27．(0分)[ID ：13789]已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =， （1）若25c =，且//a c ，求c 的坐标； （2）若52b =，且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的余弦值. 28．(0分)[ID ：13774]已知向量a →(1=，2)，b →(3=-，4)． （1）求a b +与a b -的夹角；（2）若a →(⊥a b λ→→+)，求实数λ的值．29．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值； （2）若点,M N 满足BM CN BCCD=，求AM AN ⋅的取值范围.30．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24f x x x π=-+． （I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02Bf =，B 为锐角，1b =，2c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．C4．B5．A6．A7．C8．A9．A10．C11．A12．C13．C14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】 【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案． 【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 5．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.6．A解析：A【解析】 【分析】由平方关系得出cos α，再结合诱导公式以及商数关系得出答案. 【详解】4cos 5α==-sin 353tan()tan cos 544απααα⎛⎫-=-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴ 23ωπππ+≤，403ω∴<≤ ， 综上可知403ω<≤. 故选C【点睛】 本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.8．A解析：A【解析】【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．A【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>，∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+==== 故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号． 10．C解析：C【解析】【分析】 根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 本题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.解析：A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得()f x 得解析式，再利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数()()f x Asin ωx φ=+ （其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象， 可得A 1=，12π7ππ4ω123⋅=-，ω2∴=． 再利用五点法作图可得π2φπ3⋅+=，求得πφ3=，()πf x sin 2x .3⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 为了得到()ππg x sin ωx sin 2x 66⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 只需将()f x 的图象上所有点向右平移π12个单位长度，即可， 故选A ．【点睛】本题主要考查由函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题． 12．C解析：C【解析】【分析】 求得22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233a a b π=+=， 所以22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，()2212a b +=，即为2224444412a a b b b b+⋅+=-+=,解得2(1b =-舍去），则2a b ⋅=-，故选C.本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）22a a =. 13．C解析：C【解析】【分析】由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】 由题意可得3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 14．B 解析：B 【解析】 由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CMAC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．D解析：D【解析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案．【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题；对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题；对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题；对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量解析：16-【解析】【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解.【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-，故答案为：16-.【点睛】 本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合 解析：23π. 【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得120cos A +=，解出A 即可. 【详解】 由正弦定理可得tan 2sin 10tan sin A C B B ++=，故sin cos 2sin 10cos sin sin A B C A B B ++=， 通分得到()sin 2sin 0cos sin sin A B C A B B++=，sin 2sin 0cos sin sin C C A B B +=. 因为(),0,B C π∈，所以sin 0sin C B ≠，故120cos A +=即1cos 2A =-. 因为()0,A π∈，故23A π=，填23π. 【点睛】 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=，即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APC SAP AC sin θ=⋅， 12ABC S BC AC sin θ=⋅， 所以1.3APC ABC S S =19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题解析：12- 【解析】【分析】由(0,)απ∈，可得2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12αθ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2αβ-的值． 【详解】 (0,)απ∈，∴(0,)22απ∈．1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=====⋅+， 12αθ∴=．(,2)βππ∈，∴(22βπ∈，)π， ∴(0,)22βππ-∈．1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπθ-∴=====--，222βπθ∴=-，123πθθ-=，∴()2223αβππ--=，化为26αβπ-=-， 1sin sin()262αβπ-=-=-． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式 解析：等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出()sin sin A B C =+，然后利用两角差的正弦公式得出B C =，由此可判断出ABC ∆的形状.【详解】因为()A B C π=-+，所以()sin 2cos sin B C B C π⎡⎤-+=⎣⎦，即()sin 2cos sin B C B C +=，所以sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=，即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以()sin 0B C -=，因为B 、()0,C π∈，(),B C ππ-∈-，所以B C =，因此，ABC ∆是等腰三角形． 故答案为等腰.【点睛】本题考查利用内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换思想来判断三角形的形状，考查推理能力，属于中等题.21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公 解析：13【解析】【分析】本题首先可根据cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果． 【详解】因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题． 22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所 解析：23【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可.【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=， 不妨设()A 1,0，122C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，(),B x y ， 则()1,BA x y =--，12BC x y ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，， 因为BO BA BC λμ=+，所以()1122x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-+-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得121321x y λμλμμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩， 因为B 在圆221x y +=上，所以221322111λμμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()22213122λμμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 所以()()21210433λμλμ+-++≥， 解得23λμ+≤或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤， 故23【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25- 【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】 【分析】求得,ABAC ，然后求得cos ,AB AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式. 【详解】依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x ==cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,15AB AC AB AC x =-=-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题解析：0或-3【解析】 【分析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】由题意，向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为0或3-． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）()(),11,0-∞--；（2）,55⎡-⎢⎣⎦；（3）5a =±，225t =.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出2t 的取值范围；（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质可求出OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）根据OM AB ⊥，转化为0OM AB ⋅=，结合ABM ∆的面积列出方程组，可求出a 与2t 的值. 【详解】（1）点()0,2A 、()4,4B ，()122124,24OM t OA t OB t t t =+=+，若点M 在第二或第三象限，且12t =，则2240440t t <⎧⎨+≠⎩，解得20t <且21t ≠-.因此，实数2t 的取值范围是()(),11,0-∞--；（2）()4,2AB =，()2124,24OM t t t =+，OM ∴在AB方向上的投影为4cos ,OM AB OM OM AB AB⋅⋅===θϕ+==，锐角ϕ满足cos 13ϕ=，sin 13ϕ=.因此，OM 在AB方向上投影的取值范围是⎡⎢⎣⎦； （3）()2124,24OM t t t =+，124240OM AB t t ⋅=+=，且22t a =，216t a ∴=-，()224,8OM a a =-，点M 到直线:240AB x y -+=的距离为2d =，且25AB =ABM ∆的面积为22112041222ABMS AB d a ∆=⋅=⨯=+=， 解得a =2225t a ==.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量投影的计算以及三角形的面积问题，同时也涉及了三角恒等变换思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.27．（1）(2,4)c =或(2,4)c =--；（2）1- 【解析】 【分析】（1）根据共线关系将c 用a 的形式表示，再根据模长完成坐标计算；（2）根据向量垂直关系得到数量积表达式，然后得到a b ⋅的结果，即可求解相应夹角. 【详解】 （1）//a c ，∴设c a λ=，R λ∈，则||||||||ca a λλ==，即|145|λλ=+=，得||2λ=，得2λ=±. 当2λ=时，(2,4)c =；当2λ=-时，(2,4)c =--. （2）(2)(2)a b a b +⊥-，∴ (2)(2)0a b a b +⋅-=，即222320a a b b +⋅-=，即5253204a b ⨯+⋅-⨯=，得52a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则52cos 1||||5a b a b θ-⋅===-⨯.【点睛】向量垂直的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120x x y y +=； 向量平行的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ，则12210x y x y -=.28．（1）34π； （2）1λ=-. 【解析】 【分析】(1)先求a b +与a b -的坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得()0a a b λ⋅+=，解方程即得解. 【详解】（1）∵(1a =，2)，(3b =-，4)， ∴(2a b +=-，6)，(4a b -=，2)-， ∴()()2642202cos 240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，，，； 又∵()0,a b a b ，π+-∈，∴34a b a b π+⋅-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，∴()()1213240λλ⋅-+=，，，则13480λλ-++=，∴1λ=-． 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.29．（1）154;（2）[2,5] 【解析】 【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标， （1）根据坐标直接求出数量积； （2）通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0),(0,0)B A ，13(,)22D ，53(,22C ， （1）因为,M N 分别是,BC CD 上的中点，93(,(,4422M N ∴，933(,),(,442AM AN ∴==，9327315((42884AM AN ∴⋅=⋅=+=；（2）设||||||||BM CN BC CD==,[0,1]λλ∈， 52,,2,2222M N λλ⎛⎫⎛+- ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以25222522AM AN λλλλ⎛⎛⋅=+⋅-=--+ ⎝⎭⎝⎭， 因为[0,1]λ∈，二次函数的对称轴为：-1λ=，2222250205=5251215=2λλλλ∴--+≤--⨯+--+≥--⨯+，所以AM AN ⋅的取值范围是[2,5]． 【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，是中档题．30．(1) [,]()44k k k Z ππππ-+∈;(2)2. 【解析】试题分析:(1)由二倍角公式和诱导公式化简函数()f x ,根据正弦函数的单调递增区间列出不等式,即可求出()f x 的单调递增区间;(2)由02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出角B ,再由余弦定理求出边a ,利用三角形的面积公式求出结果. 试题解析: （I ）由题意知，()21cos 21112sin2cos sin2sin224222x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+=-=- ⎪⎝⎭； 因为222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（II ）因为1sin 022B f B ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以1sin 2B =，又B 为锐角，所以,cos 6B B π==.1b =，2c =，22221cos22a B a +-==⨯⨯a =因此111sin 2222ABC S ac B ∆==⨯=，所以ABC ∆。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高二上学期期中考试文科 数学试卷
成都七中2022～2023学年度高二（上）期期中考试文科数学总分： 150分一 单选题（5分*12）1. 双曲线 x 2−y 24=1的渐近线方程为（ ） A.y =±14x B.y =±12x C.y =±4x D.y =±2x 2. 直线 √3x +y +2=0的倾斜角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π63. 原命题为 “若 x 2+y 2=0, 则x =0, 且y =0”, 则其否命题为（ ）A.若 x 2+y 2≠0, 则x ≠0, 且y ≠0B.若 x 2+y 2=0, 则x ≠0, 且y ≠0C.若 x 2+y 2≠0, 则x ≠0, 或y ≠0D.若 x 2+y 2=0, 则x ≠0, 或y ≠04. 双曲线x 22−y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 位于其左支上， 则|PF 1|−|PF 2|=（ ） A.4 B.2√2 C.−4 D.−2√25. 曲线 x 2+xy +y 2=1（ ）A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称D.不具有对称性 6. 若抛物线 y =ax 2的准线方程为y =1, 则实数a =（ ）A.−14B.−12C.−4D.−27. 已知 p:a =2,q : 直线ax +2y +1=0与x +(a −1)y −2=0平行， 则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8. 过点 (1,−2)且横、纵截距相等的直线其条数为（ ）A.1B.2C.3D.4 9. 若椭圆x 24+y 23=1的弦AB 中点坐标为(1,12), 则直线AB 的斜率为（ ） A.32 B.−32 C.38D.−38 10. 从平面 α内、外分别取定点O 、O ′, 使得直线OO ′与α所成线面角的大小为π4, 若平面α内一动点P 到直线OO ′的距离等于1, 则P 点的轨迹为（ ）A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆11. 过点 P(2,1)的直线l 与曲线y =√1−x 2交于M 、N 两点， 且满足|｜N|=√2, 则直 线l 的斜率为（ ）A.16B.17C.18D.19 12. 椭圆 x 2a 2+y 2=1(a >1)的离心率为√22, 其左、右焦点分别为F 1、F 2, 上顶点为B , 直线BF 1与椭圆另一交点为D , 则△BDF 2内切圆的半径为（ ） A.√26B.√23C.16D.13 二 填空题（5分*4）13. 命题 “ ∃x 0>0,3x 02−ax 0+1≤0” 的否定为___________.14. 在空间直角坐标系中， z 轴上与点A(1,0,0)和点B(0,2,1)距离相等的点的坐标 为___________. 15. 圆 O 1:x 2+y 2−1=0与圆O 2:x 2+y 2−4x =0公共弦所在直线方程为___________. 16. 当 t ∈R 时， 点（0,1)到直线y =2tx −t 2的距离最小值为 ___________.三 解答题部分70分17. （10分）已知命题 p : “方程x 2m +y 21−2m =1表示双曲线”, 命题q:方程x 2m +y 21−m =1表示 椭圆, 若p ∧q 为真命题， 求m 的取值范围.18. （12分）设椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)得右焦点为F , 右顶点为A , 已知椭圆的短轴长为2, 且有|｜A|=3−2√2.（1）求椭圆的方程；（2）设 P 为该椭圆上一动点，M 为P 在x 轴上的射影， 而直线OP 的斜率为k , 其中O 为原点. 记△OPM 的面积为S , 试用k 写出S 的解析式.19. （12分）已知直线 l 的方程为4x −y −6=0, 点P 的坐标为（−2,3).(1) 若直线 l ′与l 关于点P 对称， 求l ′的方程；(2) 若点 P ′与P 关于直线l 对称， 求P ′的坐标.20. （12分）设双曲线 C:y 2−x 2=a 2(a >0)的上焦点为F , 过F 且平行于x 轴的弦其长为4.(1) 求双曲线 C 的标准方程及实轴长；(2) 直线 l:y =kx +1(k ≠±1)与双曲线C 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点， 且满足x 1+x 2=2x 1x , 求实数k 的取值.21. （12分）已知曲线 C 的参数方程为{x =3cosθ−1,y =3sinθ+2(θ为参数）. (1) 求曲线 C 的轨迹方程， 并判断轨迹的形状；(2) 设 P 为曲线C 上的动点， 且有O(0,0),A(1,0), 求|PO|2+|PA|2的取值范围.22. （12分）设抛物线 y 2=2px(p >0)的准线为l,A 、B 为抛物线上两动点，AA ′⊥l,A ′为 垂足，已知｜KA|+|AA ′|有最小值√2, 其中K 的坐标为（0,1).(1) 求抛物线的方程；(2) 当 KA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λKB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R , 且λ≠1)时， 是否存在一定点T 满足TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在， 求出T 的坐标和该定值； 若不存在， 请说明理由.答案1. D【解析】双曲线 x 2−y 24=1的渐近线方程为：y =±2x 2. C【解析】解： 由题意可得： 直线的斜率为 −√3, 即tanα=−√3, 又α∈0,π), 故α=2π33. C【解析】“若 x 2+y 2=0, 则x =0, 且y =0”, 则其否命题为若x 2+y 2≠0, 则x ≠0, 或y ≠04. D【解析】由双曲线的定义得 |PF 1|−∣PF 2|=2a , 则|PF 1|−|PF 2|=±2a =−2√25. C【解析】用 −x 代替曲线中的x ，−y 代替曲线中的y 得，(−x)2+(−x)(−y)+(−y)2=1，即为x 2+xy +y 2=1所以曲线C 关于原点对称；6. A【解析】由 y =ax 2, 变形得：x 2=1a y =2×12a y ∴p =12a , 又抛物线的准线方程是y =1,∴−14a =1, 解得a =−14. 7. A8. B9. B10. D11. B12. B13.∀x >0,3x 2−ax +1>0【解析】命题 “ ∃x 0>0,3x 02−ax 0+1≤0” 的否定为∀x >0,3x 2−ax +1>014. (0,0,2)15.4x −1=016.√3217.m ∈(12,1).【解析】解： 若 p 为真， 有m(1−2m)<0, 即m ∈A =(−∞,0)∪(12,+∞); 若 q 为真， 有{m >0,1−m >0,m ≠1−m,,即 m ∈B =(0,12)∪(12,1). 若 p ∧q 为真， 则有m ∈A ∩B , 即m ∈(12,1).18.（1） x 29+y 2=1（2）S =92∙|k|1+9k 2【解析】 解： (1) 由题设知 b =1, 设椭圆半焦距为c , 即a −c =3−2√2, 又 a 2=b 2+c 2, 可 得a =3,则椭圆的方程为 x 29+y 2=1;(2) 联立 {x 2+9y 2=9,可得 |x p |=3√1+9k 2|y P |=3|k|√1+9k 2y =kx,而 S =12|x P |∙|y P |, 即 S =92∙|k|1+9k219.（1） 4x −y +28=0.（2）(6,1)【解析】解： (1) 设 l ′的方程为4x −y +λ=0, 有√22=√22, 即 λ=28, 或λ=−6（舍去）, 故l ′的方程为4x −y +28=0.(2) 设点 P ′的坐标为（m,n), 有{4∙m−22−n+32−6=0,n−3m+2=−14,计算可得 {m =6,n =1,故P ′的坐标为（6,1).20.（1） C 的标准方程为y 2−x 2=4, 双曲线C 得实轴长也为4. （2）k =3【解析】解： (1) 双曲线 C 的上焦点F 的坐标为(（,√2a), 取y =√2a , 代入y 2−x 2=a 2, 得x =a , 而2a =4, 可知a =2, 故C 的标准方程为y 2−x 2=4, 双曲线C 得实轴长也为4.(2) 联立 {y 2−x 2=4,y =kx +1,可得(k 2−1)x 2+2kx −3=0, 且Δ=(2k)2+4∙3∙(k 2−1)>0,x 1+x 2=−2k k 2−1①, x 1x 2=−3k 2−1①, 将①式、①式代入 x 1+x 2=2x 1x 2， 有−2k k 2−1=−2∙3k 2−1, 计算可得k =3, 且满足Δ>0.21.（1）以 (−1,2)为圆心，3为半径的圆.（2）[1,61]【解析】解： (1) 消去参数 θ, 有(x +1)2+(y −2)2=(3cosθ)2+(3sinθ)2=9, 则曲线C 的轨 迹方程为(x +1)2+(y −2)2=9, 轨迹是以（−1,2)为圆心，3为半径的圆.(2) 设 P 的坐标为（3cosθ−1,3sinθ+2),则 |PO|2+|PA|2=(3cosθ−1)2+(3sinθ+2)2+(3cosθ−2)2+(3sinθ+2)2 =18cos 2θ+18sin 2θ−18cosθ+24sinθ+13=6(4sinθ−3cosθ)+31而 4sinθ−3cosθ=5sin(θ−φ)∈[−5,5], 其中φ为锐角，且 tanφ=34, 故|PO|2+|PA|2的取值范围为[1,61].22.（1） y 2=4x （2）8564. 【解析】解： (1) 设抛物线焦点为 F , 有|｜A|+|AA ′|=|KA|+|AF|≥|KF|=√2, 得p 2=1, 则 抛物线的方程为y 2=4x .(2) 设 A (x 1,y 1),B (x 1,y 1),T(m,n), 直线AB 方程为x =t(y −1),联立 {y 2=4x,x =t(y −1)得y 2−4ty +4t =0,Δ=(4t)2−4∙4t >0,y 1+y 2=4t,y 1y 2=4t , 且有 TA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m )(x 2−m )+(y 1−n )(y 2−n ), 而 TA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =[ty 1−(m +t)][ty 2−(m +t)]+(y 1−n )(y 2−n ) =(t 2+1)y 1y 2−[t(m +t)+n](y 1+y 2)+(m +t)2+n 2 =(t 2+1)(4t)−[t(m +t)+n](4t)+(m +t)2+n 2 =(1−4m)t 2+2(2−2n +m)t +m 2+n 2为满足题设， 取 {1−4m =0,2−2n +m =0, 可得 {m =14,n =98,即存在定点 T (14,98), 使得TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙TB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值8564.。
成都七中数学高二下期中经典测试卷(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13579]当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．42．(0分)[ID ：13577]设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x=的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ） A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真3．(0分)[ID ：13627]已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线2π3x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点11π(,0)12对称 C ．函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 4．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B ．32C ．33D 35．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A 3B ．3C ．34D ．34-6．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．07．(0分)[ID ：13590]在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2B ．2-C ．12D ．12-8．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±9．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89 C ．79D ．79-10．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．511．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．4π C ．3π D ．512π 12．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 13．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=14．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．3π B ．2π C ．23πD ．56π 15．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．2C ．2-D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13716]如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ．18．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω＝________.19．(0分)[ID ：13689]已知平面内两点P 、Q 的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则PQ 的单位向量0a =_____20．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .21．(0分)[ID ：13673]如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,155BA CA BE CE =⋅=⋅，，则BF CF =⋅___________.22．(0分)[ID ：13672]已知1,2a b ==，且()+a a b ⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_________23．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 24．(0分)[ID ：13653]已知3cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________ .25．(0分)[ID ：13651]已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点 则GA GB GC +-=____________ 三、解答题26．(0分)[ID ：13821]已知函数2()cos (23sin cos )sin f x x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m 有解，求实数m 的取值范围． 27．(0分)[ID ：13763]已知4,8a b ==，a 与b 的夹角是120︒ （1）计算,42a b a b +-；（2）当2a b +与ka b -的夹角为钝角时，求k 的取值范围. 28．(0分)[ID ：13759]如图，扇形OAB 的圆心角为3π，半径为1，圆心为原点O ，点A 在x 轴正半轴上.（1）求点B 的坐标；（2）已知1(0,)3M -，直线:3kl y kx =+，点P 在直线l 上，点Q 在弧AB 上，且2+0MP MQ =，求k 的取值范围.29．(0分)[ID ：13825]已知函数()sin()(0,0,0)g x A x k A ωφωφπ=++>><<的部分图象如图所示，将函数()g x 的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到函数()f x 的图象．（1）求函数()g x 的解析式； （2）求函数()f x 在[,]612ππ-上的值域； （3）求使()2f x ≥成立的x 取值的集合．30．(0分)[ID ：13824]在△ABC 中，2222a c b ac +=(1)求B 的大小； (2)2cos A ＋cos C 的最大值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D8．A9．C10．B11．B12．A13．D14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】【分析】根据条件确定PQ位置再分别确定△ABP的面积△ABQ的面积与△ABC 面积之比即得结果【详解】因为所以取AB中点M则P点在线段CM上且CP=4PM因此;因为所以取点N满足中则Q点在线段18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为19．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确21．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D是BC的中点EF是AD上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题22．【解析】【分析】由可求出再根据向量夹角公式即可求出向量与向量的夹角【详解】由得即解得设向量与向量的夹角为所以即故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公24．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题25．4【解析】【分析】由是的中点G 是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G 是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x=-，22110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π⎛⎫<<∴<<∴-=--+⎪⎝⎭ 1tan 2x ∴=时，2tan tan x x -的最大值为14综上，22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题2．C解析：C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.3．C解析：C 【解析】 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【详解】最小正周期是π，22Tπω∴== 它的图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数， ()sin[2()]3f x x πϕ∴=-+为奇函数，则2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin(2)3f x x π∴=-， 由2,32x k k Z πππ-=+∈得5,122k x k Z ππ=+∈， 则()f x 的图象不关于2π3x =对称，故选项A 错误；由2,3x k k Z ππ-=∈得,62k x k Z ππ=+∈， 则()f x 的图象不关于11π(,0)12对称，故选项B 错误； 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈ 取1k =-，得区间7[,]1212ππ--， 由ππ7,[,]2121212ππ⎡⎤--⊂--⎢⎥⎣⎦，知选项C 正确；函数()f x 的零点为,62k x k Z ππ=+∈， 则函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有23π和76π两个零点，故选项D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，单调性、奇偶性、对称中心、对称轴等性质，属于中档题.4．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．5．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 422ππααα<<∴-=-，故选B.6．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅7．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=， 所以12λμ+=-. 本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．8．A解析：A 【解析】 【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+====故选A ． 【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.10．B解析：B 【解析】【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.11．B解析：B 【解析】函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位得到：()2sin(3)4f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424k k πππϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值为4π 12．A 解析：A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ 【详解】因为2=(),2263T T T ππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-， 所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性14．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=， 即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.15．A解析：A 【解析】 【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象， 所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量解析：16-【解析】 【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解. 【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-， 故答案为：16-. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.17．【解析】【分析】根据条件确定PQ 位置再分别确定△ABP 的面积△ABQ 的面积与△ABC 面积之比即得结果【详解】因为所以取AB 中点M 则P 点在线段CM 上且CP=4PM 因此;因为所以取点N 满足中则Q 点在线段 解析：45【解析】 【分析】根据条件确定P 、Q 位置，再分别确定△ABP 的面积、△ABQ 的面积与△ABC 面积之比，即得结果. 【详解】 因为2155AP AB AC =+，所以41525AB AP AC =+，取AB 中点M ，则P 点在线段CM 上，且CP=4PM ，因此11122215525ACM ABCABP APMABC ABCABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⨯⨯⨯====;因为2134AQ AB AC =+，所以381494AQ AB AC =⋅+，取点N 满足89AN AB =中，则Q 点在线段CN 上，且CQ=3QN ，因此99191818848494AQN ACN ABCABQ ABCABC ABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⨯⨯⨯====; 因此△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为45【点睛】本题考查平面向量表示，考查综合分析求解能力，属中档题.18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】 【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 19．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式解析：43(,)55±-【解析】 【分析】利用向量PQ 的单位向量的计算公式0PQ a PQ=±，即可求解.【详解】由题意，两点,P Q 的坐标分别为(2,4),(2,1)-，可得向量(4,3)PQ =-， 所以向量PQ 的单位向量022(4,3)43(,)554(3)PQ a PQ-=±=±=±-+-.故答案为：43(,)55±-. 【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.21．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D 是BC 的中点EF 是AD 上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题解析：-1 【解析】 【分析】把所用向量都用,BD DF 表示，结合已知求出22,BD DF 的值，则BF CF ⋅的值可求． 【详解】解：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，2,2BE BD DE BD DF CE BD DF ∴=+=+=-+， 3,3BA BD DF CA BD DF =+=-+，2245BE CE DF BD ∴⋅=-=，22915BA CA DF BD ⋅=-=，222,3DF BD ∴==，又,BF BD DF CF BD DF =+=-+，221BF CF DF BD ∴⋅=-=-， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，是中档题．22．【解析】【分析】由可求出再根据向量夹角公式即可求出向量与向量的夹角【详解】由得即解得设向量与向量的夹角为所以即故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角解析：34π 【解析】 【分析】由()+a a b ⊥可求出a b ⋅，再根据向量夹角公式即可求出向量a 与向量b 的夹角． 【详解】由()+a a b ⊥得，()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，设向量a 与向量b 的夹角为θ，所以1cos 22a b a bθ⋅-===-34πθ=．故答案为：34π． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角．23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公解析：13【解析】 【分析】本题首先可根据cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．【详解】因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题．24．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题解析：23+ 【解析】分析：由同角三角函数关系得222sin 11666cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，诱导公式得5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，进而得解.详解：由cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，得22212sin 11166633cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以252sin cos 663παπα+⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.25．4【解析】【分析】由是的中点G 是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G 是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题解析：4GD 【解析】 【分析】由D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，1()2GD GA GB =+，再联立求解即可. 【详解】解：因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD . 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属基础题.三、解答题 26．（1）π；（2）2m ≤. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数()f x 进行化简，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出()f x 的最大值，即可知m 的取值范围. 【详解】（1）22()cos cos sin 2cos 2f x x x x x x x =+-=+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期T=π.（2）由题意可知，不等式()f x m 有解，即()max m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故当262x ππ+=，即6x π=时()f x 取得最大值，且最大值26f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 从而可得2m ≤. 【点睛】对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.27．（1）2）7k >-且12k ≠- 【解析】 【分析】（1）把模转化为向量的平方；（2）两向量的数量积为负，但要去除两向量反向的情形。
成都市七中育才学校数学高二上期中阶段测试(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：12994]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +3．(0分)[ID ：12993]阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．34．(0分)[ID ：12989]抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．565．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 6．(0分)[ID ：12982]我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,157．(0分)[ID ：12974]若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排尾” C ．“甲站排头”与“乙站排尾” D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”8．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．569．(0分)[ID ：12968]下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．4510．(0分)[ID ：12952]运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >11．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．(0分)[ID ：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5613．(0分)[ID ：13018]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1314．(0分)[ID ：13017]若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是（ ） A ．13B ．19C ．112D ．11815．(0分)[ID ：13011]民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A．518B．13C．718D．49二、填空题16．(0分)[ID：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.17．(0分)[ID：13118]古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________18．(0分)[ID：13098]从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.19．(0分)[ID：13097]执行如图所示的程序框图,如果输入3n ，则输出的S为________．20．(0分)[ID：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=_______．21．(0分)[ID ：13050]为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.22．(0分)[ID ：13043]某路公交车站早上在6:30,7:00,7:30准点发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是__________．23．(0分)[ID ：13040]已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；24．(0分)[ID ：13039]甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．25．(0分)[ID ：13122]有一批产品，其中有2件次品和4件正品，从中任取2件，至少有1件次品的概率为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13219]某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计 男生201030女生 10 20 30 合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率． 下面的临界值表供参考：0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）27．(0分)[ID ：13215]假如你的公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元，在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费，现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表： 维修次数 8 9 10 11 12 频数1020303010记x 表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的维修服务次数. （1）若10n =，求y 与x 的函数解析式.（2）若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的值.（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？28．(0分)[ID ：13184]袋子中放有大小和形状相同而颜色互不相同的小球若干个, 其中标号为0的小球1个, 标号为1的小球1个, 标号为2的小球2个, 从袋子中不放回地随机抽取2个小球, 记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b . (1) 记事件A 表示“2a b +=”, 求事件A 的概率；(2) 在区间[]0,2内任取2个实数,x y , 记()2a b -的最大值为M ,求事件“22x y M +<”的概率.29．(0分)[ID ：13147]某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率.30．(0分)[ID ：13153]某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温()℃141286用电量(度)22 26 34 38（I ）求线性回归方程；（参考数据：411120i ii x y==∑，421440i i x ==∑）（II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．B4．D5．B6．C7．A8．A9．C10．D11．A12．A13．C14．C15．C二、填空题16．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为18．【解析】【分析】先求出所有的基本事件再求出满足条件的基本事件根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条共有10个基本事件其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个所以取出的两条对19．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题20．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属21．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形22．【解析】由题意可知小明在和之间到达车站时满足题意由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点点的活动范围在线段23．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意24．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传25．【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式． 2．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．3．B解析：B 【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，， 不满足4i ＞，， 执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，， 经过第四次循环得到05s i ==，， 满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．故选B ． 4．D解析：D 【解析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：1,2,3,4,6五种情况， 故5()6P A B =. 故选：D .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．B 解析：B【解析】【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >. ()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <. 故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.6．C解析：C【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 7．A解析：A【解析】【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是故选A ．【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．8．A解析：A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】 由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A【点睛】 本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.9．C解析：C【解析】【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解.【详解】由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能，因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =，故选：C【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.10．D解析：D【解析】运行该程序，第一次，1,k 2x ==,x==，第二次，2,k3x==，第三次，4,k4x==，第四次，16,k5x==，第五次，4,k6x==，第六次，16,k7x==，第七次，4,k8x==，第八次，16,k9观察可知，k≥．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为5k>．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为4k≥．，则第八次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为9k>．，则第七次结束，输出x的值为4，不满足；若判断框中为7故选D.11．A解析：A【解析】【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．12．A解析：A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．13．C解析：C【解析】【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．14．C解析：C【解析】【分析】利用分步计数原理求出所有的基本事件个数，再求出点落在直线x＋y＝4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式即可求出【详解】连续抛掷两次骰子出现的结果共有6636⨯=，其中每个结果出现的可能性都是等可能的，点(,)P m n在直线x＋y＝4上包含的有(1,3),(2,2),(3,1)共三个，所以点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是31 3612=故选：C【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生数学应用、概念理解，数学运算能力，属于中档题.15．C解析：C【解析】【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C .【点睛】 本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题.二、填空题16．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从解析：7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案．【详解】由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为8001650=， 因为在33～48这16个数中取的数是39，所以从33～48这16个数中取的数是第3个数，所以第1组1～16中随机抽到的数是392167-⨯=．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为解析：1 2【解析】五种抽出两种的抽法有2510C=种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12.18．【解析】【分析】先求出所有的基本事件再求出满足条件的基本事件根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条共有10个基本事件其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个所以取出的两条对解析：1 2【解析】【分析】先求出所有的基本事件，，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【详解】从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为51102=.即答案为1 2 .【点睛】本题考查概率的求法，涉及到直线、组合、概率等知识，属于中档题．19．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：3 7【解析】【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)nan n=-+求和的功能，输入3n=时，求3 S.【详解】 根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和， 当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.20．7【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的值【详解】由程序框图可知：则因此输出的为故答案为7【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属 解析： 7【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出a 的值.【详解】由程序框图可知：9863a b =>=，359863,286335a b ∴←=-←=-，73528,21287a b ∴←=-←=-，14217,72114a b ←=-←=-，7147a ←=-，则7a b ==，因此输出的a 为7，故答案为7.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.21．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形 解析：64【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.22．【解析】由题意可知小明在和之间到达车站时满足题意由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点点的活动范围在线段 解析：25【解析】由题意可知，小明在6:507:00-和7:207:30-之间到达车站时满足题意，由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是201402=. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．23．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意解析：45a ≤<【解析】()()12120f x f x x x ->-⇒ log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）为单独递增函数，所以15045log (32)3(5)3aa a a a >⎧⎪->⇒≤<⎨⎪-≥--⎩ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]ab 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围24．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传解析：14【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．记求第3次球恰好传回给甲的事件为A ，可知共有两种情况，，而总的事件数是8， ∴P (A )=28=14. 故答案为14 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.25．【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式 解析：56. 【解析】【分析】 利用古典概型概率公式求出事件“至少有1件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】记事件:A 至少有1件次品，则其对立事件为:A 全都是次品， 由古典概型的概率公式可得()222416C P A C ==，()()151166P A P A ∴=-=-=. 因此，至少有1件次品的概率为56，故答案为56. 【点睛】 本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.三、解答题。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学(理)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________其中正确的命题有______.三、解答题17．已知曲线C的极坐标方程为24cos3r r q=-，A，B是曲线C上不同的两点，且uuu r uuu r，其中O为极点.=OA OB2(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求点B的极径.18．某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量x（%）与生产成本y（元）之间的数据如下表：（2）由题意可得()()()e 2x f x x x a ¢=+-，分2a =-、2a <-和2a >-三种情况讨论()f x ¢的正负，从而即可确定函数单调区间.【详解】（1）解：因为()()()()2e 2e 2x x f x x ax a x a x x a ¢=--+-=+-，∵1x =是函数()f x 的极值点，∴()()()1e 1210a f =+-=¢，解得1a =，当()2,1x Î-时，()0f x ¢<，∴()f x 在()2,1-上递减，当()1,x Î+¥时，()0f x ¢>，∴()f x 在()1,+¥上递增，∴1x =是函数()f x 的极小值点；（2）解：∵()()()e 2x f x x x a ¢=+-，①当2a =-时，()()2e 20x f x x =+³¢在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，②当2a <-时，令()0f x ¢³，解得x a <或2x >-，所以函数()f x 在(),a -¥上单调递增，在(),2a -上单调递减，在()2,-+¥上单调递增，③当2a >-时，令()0f x ¢³，解得<2x -或x a >，所以函数()f x 在(),2-¥-上单调递增，在()2,a -上单调递减，在(),a +¥上单调递增，综上，当2a =-时，函数()f x 在R 上单调递增，当2a <-时，函数()f x 在(),a -¥，()2,-+¥上单调递增，在(),2a -上单调递减，。
四川省成都七中高二数学下学期期中考试试题 文 新人教A版
考试时间：120分 总分：150分（请将选择题的选项填在机读卡．．．上，填空题及解答题的作答写在答题卷．．．上） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ▲ ）A. 简单随机抽样法，分层抽样法B. 系统抽样法，简单随机抽样法C ．分层抽样法，系统抽样法D ．系统抽样法，分层抽样法2、不等式213x +>的解集为（ ▲ ）A. (1,2)-B. (,1)(2,)-∞-+∞C.(,2)(1,)-∞-+∞D. (2,1)-3、命题 “00,()0x R f x ∃∈<”的否定是（ ▲ ）A. 00,()0x R f x ∃∉≥B. ,()0x R f x ∀∉≥C ．,()0x R f x ∀∈≥D ．,()0x R f x ∀∈<4、已知,,a b c R ∈，且0c ≠，则下列命题正确的是（ ▲ ）A. 如果a b >，那么a b c c> B. 如果ac bc <，那么a b < C ．如果a b >，那么11a b > D ．如果22ac bc <，那么a b < 5、在投掷两枚硬币的随机试验中， 记“一枚正面朝上，一枚反面朝上” 为事件A ，“两枚正面朝上” 为事件B ，则事件A ，B （ ▲ ）A. 既是互斥事件又是对立事件B. 是对立事件而非互斥事件C ．既非互斥事件也非对立事件D ．是互斥事件而非对立事件6、若函数3()3f x x ax =+在R 上单增，则a 的取值范围为（ ▲ ）A.[0,)+∞B. (0,)+∞C.(,0]-∞D. (,0)-∞7、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
2019-2020学年四川省成都市第七中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市第七中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设集合[]1,2A =-，{}2,B y y x x A ==∈，则A B =（ ）A ．[]1,4B ．[]1,2C ．[]1,0-D ．[]0,2【答案】D【分析】根据题意，求得[0,4]B =，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合[]1,2A =-，可得{}2,[0,4]B y y x x A ==∈=， 所以[]0,2A B =故选：D2．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i【答案】A【分析】()12i z i -= 【详解】由()12i z i -=得21iz i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容. 3．sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．B ．12C ．12-D 【答案】B【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=--sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B4．抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ） A ．3 B ．23C ．2D ．1【答案】A【解析】28y x =的焦点为()2,0，由点到直线的距离可得：233d ==，故选A. 5．如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x 、2x ，则下列判断正确的是（ ）A ．12x x >，甲比乙成绩稳定B ．12x x <，乙比甲成绩稳定C ．12x x =，甲比乙成绩稳定D ．12x x =，乙比甲成绩稳定 【答案】D【分析】由茎叶图分别求出12,x x ，从而得到12x x =，由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳定. 【详解】由茎叶图知：11111151231281361431266x +++++==21121261271241321351266x +++++==所以12x x =由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳定 故选：D【点睛】本题考查的是茎叶图的知识，较简单. 6．已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=【答案】A【详解】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()2sin[2]2sin 2666g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 令262x k πππ-=+，k Z ∈，求得()23k x k Z ππ=+∈，故函数的图象的一条对称轴的方程为3x π=，故选A.7．直线3230x y +-=截圆224x y +=所得的劣弧所对圆心角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C 【解析】圆心到直线3230x y +-=的距离为，又圆半径为2，所以直线3230x y +-=截圆224x y +=所得的弦长为，可知两半径与弦围成等边三角形，所以所得的劣弧所对圆心角为60°. 8．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e =，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C．4D．3【答案】C【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得44k -<<，再由几何概型概率公式即可得解.【详解】由题意圆221x y +=的圆心(0,0)，半径1r =， 由直线与圆相交可得直线(3)y k x =+与圆心的距离1d =<，解得k <<故所求概率为()21124P ⎛ ⎝⎭===--. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及几何概型概率的求解，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.10．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，()()0xf x f x '-<，记0.3220.322(log 5)(2)(0.2)20.2log 5f f f a b c ===，，，则 （ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C【分析】构造函数()()f x g x x=，可得()g x 在(0,)+∞的单调性，可得答案. 【详解】解:令()()f x g x x =，可得'2()()()g x xf x x f x '-=，由0x >时，()()0xf x f x '-<，可得'()0g x ＜，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又22log 5log 42=＞，0.3122＜＜，240.20.0=，可得0.322log 520.2＞＞，故0.322(log 5)(2()0.2g g g ＜)＜，故c a b <<， 故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，属于基础题.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ 是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．2CD【答案】D【分析】设1PF m =，2QF n =，利用双曲线的定义可得m =，2)n a =，再利用余弦定理可得,a c 的关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||2PQ m =，由双曲线的定义可知2122PF PF m n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得22m a =，(222)n a =-，在12QF F 中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒， 即22222224(22)(222)222(222)12c a a a a a ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭， 所以223c c e a a===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 12．已知不等式1ln a xx a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．e B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C【分析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解.【详解】不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.二、填空题13．已知实数x 、y 满足约束条件2{26x y x y ≥≥+≤,则24z x y =+的最大值为______ ．【答案】20【解析】画可行域如图，目标函数24z x y =+，可看成是直线124zy x =-+的纵截距四倍，直线过()2,4A 点时z 有最大值20.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是： 准确无误的做出可行域（注意边界的实虚）；画出目标函数所对应的直线时要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取到.14．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++的值为______． 【答案】322+【分析】先根据等差中项的性质可知得31212()22a a a ⨯=+，进而利用通项公式表示出212q q =+，求得q ，代入91078a a a a ++中即可求得答案．【详解】解：设1a ，2a ，3a 为1a ，1a q ，21a q ，()10a >∵1a ，312a ，22a 成等差数列，∴1232a a a +=， 所以21112a a q a q +=，所以2210q q --=，0q ∴>，所以21q =+，()()812910678113221a q q a a q a a a q q ++===+++ 故答案为：322+15．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为_____．【答案】4【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：结束循环，因此判断框内①的取值范围为即应填的整数为4. 【解析】循环结构流程图16．点M 在曲线G ：3ln y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为__________. 【答案】2.【分析】设()00,3ln M x x ，得001,N x x ⎛⎫⎪⎝⎭，得001ln 03x x +=，令()1ln 3f x x x=+，利用导数得单调性与最值，从而得出结论．【详解】解：设()00,3ln M x x ，则直线l 的方程为0x x =，由题意得001,N x x ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴00021,ln 333x OM ON OP x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， ∴001ln 03x x +=， 令()1ln 3f x x x =+，则()22113133x f'x x x x -=-=， 由()'0f x =得13x =，∴函数()f x 在103⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，在1+3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， ∴函数()f x 在13x =处取得最小值，且11ln 11ln 3033f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，∴函数()f x 有两个零点，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的的单调性与最值，属于难题．三、解答题17．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．【答案】（1）()2224x y -+=，它是以()2,0为圆心，半径为2的圆；（2.【分析】（1）将4cos ρθ=两边同时乘以ρ可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入即可求解；（2）将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t 的值，12PQ t t -==.【详解】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=得：224x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 它是以()2,0为圆心，半径为2的圆（2）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y x +=整理得250t -+=， 设其两根分别为1t 、2t ，则12t t +=125t t =， ∴12PQ t t =-==【点睛】关键点点睛：求弦长PQ 关键点是利用直线参数方程中t 的几何意义，设P 、Q 两点对应的参数为12,t t ，则12PQ t t -==，所以将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t 的值代入即可求弦长.18．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且3C π=，4c =.（Ⅰ）若3sin 4A =，求a ； （Ⅱ）若ABC 的面积等于a ，b . 【答案】（Ⅰ）a =（Ⅱ）4a b ==.【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理可知：342a =，进而可得结果；（Ⅱ）由ABC∆的面积等于1sin 2ABC S ab C ∆==，可得16ab =，再由余弦定理可得结果.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理a c sinA sinC=可知：334a=，从而求得23a=（Ⅱ）由ABC∆的面积等于43，可知13432ABCS absinC ab∆===，从而16ab=①，由余弦定理2222c a b abcosC=+-可得，2216a b ab+-②，联立①②得4a b==.19．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25.【分析】（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i iix x p==∑（其中i x表示第i组的中间值，i p表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案； （2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 20．已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =. （1）求常数,a b 的值；（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.【答案】（1）29a b =⎧⎨=⎩；（2）0c 或4c =.【分析】（1）求出()'f x ，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解.【详解】（1）2()36'=++f x x ax b ，由题意知2(1)0360(1)0130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或29a b =⎧⎨=⎩. （2）当2,9a b ==时，2()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，x (,3)-∞-3-(3,1)--1-(1,)-+∞()'f x+-+()f x极大值 极小值由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0. 由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--， 递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，(1)20=f .由数形结合可得0c 或4c =.【点睛】本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.21．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，离心率为22，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点. （1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12y x =-（2）存在；定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，可得椭圆方程,与直线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，进而可得直线OM 的方程；（2）直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合平面向量数量积公式可得在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值，再验证直线l 的斜率为0的情况即可. 【详解】（1）由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=，于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，从而1212423x x y y +=++=，故211,,332OM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222 -102m m y y ++=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩所以()()()()()210201212012012112QA QB x x x x y y my my x my my x y y ⋅=--+=++-++++ ()()()()()2222121200000022121121112122mm y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+++()22002231212x m x xm --=+-++，由023112x --=，得054x =，故此时点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，716QA QB ⋅=-；②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭.综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值. 【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径. 22．已知函数()()21ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的零点个数； （2）求证：()20f x x +>.【答案】（1）()f x 有两个零点，（2）证明见解析【分析】（1）抽象函数判断零点的个数，需要综合考虑导数，单调性，极值最值等等，还有特殊值的分析．（2）构造新函数，求新函数的最值，即可证明． 【详解】解：（1）()f x 定义域为()0,+∞，()211'2ln 12ln 1x f x x x x x-=+-=+-．定义域在()0,+∞上，()'10f =， ∴01x <<时，()'0f x <；1x >时，()'0f x >，∴()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1， ∵()110f =-<，222222212112151ln 2120f e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，∵()()21ln 10f e e e e e =--=->，∴()f x 在()1,e 内有1个零点， ∴()f x 有两个零点，证明：（2）令()()()221ln g x f x x x x x =+=-+，则()g x 定义域为()0,+∞，()211'2ln 12ln 3x g x x x x x -=++=-+， 令()12ln 3h x x x =-+，则()221'0h x x x =+>，∴()h x 在()0,+∞上是增函数，()120h =>，11ln402h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，即()0001'2ln 30g x x x =-+=，∴0013ln 22x x =-， ∴()00,x x ∈时，()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()'0g x >， ∴()g x 的单调减区间为()00,x ，单调增区间为()0,x +∞， ∴()()()()0000000min 00135121ln 2122222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫==-+=--+=--⎪⎝⎭，令()51222m x x x =--，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()()()22221212114'20222x x x m x x x x+--=-+==≤对12x ≥成立，∴()m x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()5112022m x m >=--=，∴()min 0g x >，∴()20f x x +>.【点睛】（1）抽象函数大多数由基础函数进行加减乘除混合运算得来的，求导时应注意求导法则．（2）证明不等式成立问题，一般采取构造新函数的方法，可求导、单调性，求最值问题．。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()1i i 4i z -+=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．已知点(6,9)P -在抛物线22(0)x py p =≠上，则点P 到其焦点F 的距离PF =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．函数()2sin ππy x x x =--≤≤的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在等比数列{}n a 中，2874a a a ⋅=，则212325log log log a a a ++=（ ） A ．6B ．8C ．10D ．125．从一个三棱台的9条棱中任取2条，它们所在直线互为异面直线的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．166．已知函数()(0xf x a ax a =->且1)a ≠在区间(),1-∞上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．2e -B ．1e -C ．eD ．2e7．已知圆柱内接于表面积为36π的球（圆柱的上､下底面圆周都在球面上），当圆柱的体积最大时，其高等于（ ）A B ．C ．3D ．8．“肝胆两相照，然诺安能忘.”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若,A B 两点关于点()1,1P 成中心对称，则称(),A B 为一对“然诺点”，同时把(),A B 和(),B A 视为同一对“然诺点”.已知a ∈Z ，函数(2)e ,1()2,1x x x f x ax x -⎧-<=⎨->⎩的图象上有两对“然诺点”，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10a >，58S S >，则下列结论一定成立的有（ ） A ．120S > B ．130S < C ．68S S >D ．75S S <10．在二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的有（ ）A ．常数项等于240B ．3x 项的系数等于160C ．偶次项系数之和等于365D ．系数绝对值最大的是第5项11．已知0ab ≠，函数()()2(1)f x ax b x =--在1x =处取得极大值，则下列不等式可以成立的有（ ）A ．22a ab b <<B ．22b ab a <<C ．22b a ab <<D ．22a b ab <<三、填空题12．某同学决定用圆周率π的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有组. 13．已知,A B 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右顶点，直角ACD V 的顶点C 在y 轴上，顶点D 在双曲线的一条渐近线上，且斜边CD 的中点为B ，则双曲线的离心率为. 14．牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数()y f x =的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列{}n x 的递推关系为：1n x +是曲线()y f x =在点()(),nnx f x 处的切线在x 轴上的截距，其中*n ∈N.（1）若()21e xf x -=，并取11x =，则{}n x 的通项公式为；（2）若取11x >，且{}1-n x 为单调递减的等比数列，则()f x 可能为.四、解答题15．如图，在四棱锥E ABCD -中，面ABCD 为正方形，面ABE 为等边三角形，,M N 分别是AB 和DE 的中点.(1)求证：直线//MN 平面BCE ；(2)若BC AE ⊥，求二面角A CE D --的余弦值.16．“一花一世界，一叶一追寻.”为庆祝建校120周年，激发同学们对校园的热爱､对艺术的追求，学校某学生社团举办了“校园一隅”自然景观摄影比赛.经过初赛的激烈角逐，有3名女生和2名男生的摄影作品（每人一件）闯入决赛.决赛采用抽签的方式决定顺序，由5名选手依次对自己的摄影作品进行创作陈述，最终评出特等奖2件（事先假定每件作品获奖的可能性相同）.(1)求至少有1名男生的摄影作品最终获得特等奖的概率； (2)求决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作陈述的概率；(3)若当2名男生都陈述结束时，还有k 名女生没有陈述的概率为0.2，求k . 17．已知,1,2,3,,n k n ∈=N L å，并补充规定00C 1=.(1)化简：11C C k n k n k --.(2)在数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足()21n n S n a =+. ①求{}n a 的通项公式；②设1212C C C C k nn n n n k n n b a a a a =+++++L L ，求数列{}n b 的前n 项和n T.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()0,1P -，直线3y kx =+与C 交于,A B 两点，连结,PA PB . (1)求PAB V 面积的最大值；(2)设直线,PA PB 分别与x 轴交于点,M N ，线段MN 的中点为Q ，求直线PQ 与直线AB 的交点H 的轨迹方程.19．已知函数()()()2ln 1,e 2.71828f x ax x =++≈为自然对数的底数. (1)设0a =，求()tan =f x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内的实根个数；(2)若对任意()0,2x f x x >>都成立，求a 的取值范围； (3)设()202440492024!e ,45m n =⋅=，比较m 与n 的大小.。
四川省成都市成都市第七中学2021-2022高二数学上学期期中试题 文(含解析)
四川省成都市成都市第七中学2021-2022高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利x ，忘记了n的值，但输出v 用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得1的值为56，则可推断出输入n的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出【答案】C【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当1i =-时，不满足条件0i ≥时跳出循环，输出v 的值，由此列方程求出n 的值． 【详解】解：初始值为n ，1x =，模拟程序运行过程如下；1v =，1i n =-满足条件0i ≥，111v n n =⨯+-=，2i n =- 满足条件0i ≥，1222v n n n =⨯+-=-，3i n =- 满足条件0i ≥，()221335v n n n =-⨯+-=-，4i n =-⋯满足条件0i ≥，()()()()111232112n n v n n n -=+-+-+-+⋯++=+，0i =满足条件0i ≥，()()11110122n n n n v ⎛⎫--=+⨯+=+⎪⎝⎭，1i =- 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为()11562n n -+=，即()1110n n -=，解得11n =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i ，v 值是解题的关键，属于中档题．2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲；②剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本， 分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲，有246C =种情况，②剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法； 故选：B ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁【答案】C 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图中频率之和为1计算出数据位于[)25,30的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以，数据位于[)25,30的频率为()10.010.070.060.0250.2-+++⨯=， 前两个矩形的面积之和为0.0150.20.25⨯+=， 前三个矩形的面积之和为0.050.20.0750.6++⨯=， 所以，中位数位于区间[)30,35，设中位数为a ，则有()0.050.2300.070.5a ++-⨯=，解得33.6a ≈（岁），故选C ．【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)如下表所示：则小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为（ ） A. 5818377y x =+B.11.4 5.9y x =+ C. 804077y x =+D.8.624.1y x =+【答案】B 【解析】 【分析】由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求． 【详解】解：()12358912 6.56x =+++++=，()130406090120140806y =+++++=．616222222222162303405608909120121406 6.58011.423589126 6.56i i i i i x y xy b x x ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++++-⨯-∑∑，8011.4 6.5 5.9a y b x =-=-⨯=．∴小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为11.4 5.9y x =+．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 5.对具有线性相关关系的两个变量x ，y ，测得一组数据如表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+，则m n += （ ）A. 119B. 120C. 129D. 130【答案】B 【解析】 【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m n +的值． 【详解】解：()12456855x =++++=，()115020607055m ny m n ++=++++=， ∴样本点的中心的坐标为1505,5m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入线性回归方程，得15010.55 1.55m n++=⨯+，解得120m n +=．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A. e m =0m =xB. e m =0m <xC. e m <0m <xD. 0m <e m <x【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有（）A. 27个B. 28个C. 29个D. 30个【答案】B【解析】【分析】根据题意，按四位数的千位数字不同,分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况，①四位数的千位数字为3，其百位数字1时，有3152,3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，此时,有23620+⨯=个符合条件的四位数；②四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有628+=个符合条件的四位数；则有20828+=个符合条件的四位数；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合计数原理，先排E ，F ，G ，然后根据A ，B ，C ，D 的情况讨论． 【详解】解：E ，F ，G 分别有4，3，2种方法，①当A 与F 相同时，A 有1种方法，此时B 有2种，()1C 若与F 相同有C 有1种方法，同时D 有3种方法， ()2若C 与F 不同，则此时D 有2种方法，故此时共有：()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；②当A 与G 相同时，A 有1种方法，此时B 有3种方法，()1若C 与F 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法，()2若C 与F 不同，则D 有1种方法，故此时共有：()432131211216⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；③当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种方法，()1若B 与F 相同，则C 必须与A 相同，同时D 有2种方法； ()2若B 不同于F ，则B 有1种方法，(Ⅰ)若C 与F 相同则C 有1种方法同时D 有2种方法；(Ⅱ)若C 与F 不同则必与A 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法；故此时共有：()432111*********⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦种方法； 综上共有240216144600++=种方法． 故选：C ．【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数7n =，3m =，那么输出的p 等于______.【答案】210 【解析】 【分析】讨论k 从1开始取，分别求出p 的值，直到不满足3k <，退出循环，从而求出p 的值. 【详解】解：模拟程序的运行，可得7n =，3m =，1k =，1p =5p =，满足条件3k <，执行循环体，2k =，30p = 满足条件3k <，执行循环体，3k =，210p = 不满足条件3k <，退出循环，输出p 的值为210．故答案为：210．【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题．10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．【答案】46 【解析】 【分析】由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数． 【详解】解：由茎叶图得： 该样本的中位数是：4547462+=． 故答案为：46．【点睛】本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则APQ 的周长取值范围为______ 【答案】(]6,8 【解析】 【分析】首先判断直线PQ 的斜率不能为0，设直线PQ 的倾斜角为θ，()0,θπ∈，求得F ，A 的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ 经过圆与y 轴的交点B ，C 的倾斜角，分别讨论①当πθ0,3时，②当2(3πθ∈，)π时，③当2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，P ，Q 的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得APQ 的周长的范围．【详解】解：显然直线PQ 的斜率不能为0，设直线PQ 的倾斜角为θ，()0,θπ∈，由半椭圆方程为()221043x y x +=≥可得()1,0F ，圆弧方程为：22(1)4(0)x y x -+=<的圆心为()1,0，半径为2，且()1,0A -恰为椭圆的左焦点，24PA PF a +==， 与y 轴的两个交点为(0,3B -，(3C ， 当直线PQ 经过B 时，3PQ k tan θ=3πθ=；当直线PQ 经过C 时，3PQ k tan θ==-23πθ=． ①当πθ0,3时，Q 、P 分别在圆弧：22(1)4(0)x y x -+=<、 半椭圆()221043x y x +=≥上，AFQ △为腰为2的等腰三角形，则2sin 422AQ QF sinθθ==，APQ 的周长()424646,822L QA QF PF AP sinsin θθ=+++=++=+∈；②当2,3πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，P 、Q 分别在圆弧：22(1)4(0)x y x -+=<、 半椭圆()221043x y x +=≥上，APF 为腰为2的等腰三角形，且2sin 90422AP FP cos θθ⎛⎫=︒-= ⎪⎝⎭，APQ 的周长()42646,82L QA QF PF AP AP cosθ=+++=++=+∈；③当2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，P 、Q 在半椭圆()221043x y x +=≥上， APQ 的周长428L QA QF PF AP =+++=⨯=．综上可得，APQ 的周长取值范围为(]6,8． 故答案为：(]6,8．【点睛】本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______ 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，②，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4名大学生中录用3人，有3443224A =⨯⨯=种录取情况； ②4名大学生全部录用，有23436636C A =⨯=种录取情况， 则有243660+=种录用种数； 故答案为：60．【点睛】本题考查分步计数原理应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：组频数 6 26 38 22 8（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.质量指标值的样本方差为22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学120 118 116 122 124物理79 79 77 82 83附()121(),()ni iiniix x y yb a y b xx x==--==--∑∑．22121()1()ni iiniiy yRy y==-=--∑∑．()1已知该生物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；()2我们常用2R 来刻画回归的效果，其中2R 越接近于1，表示回归效果越好．求2R ．()3已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？ 【答案】（1）3104y x =-；（2）0.9375；（3）89分.【解析】 【分析】()1计算x 、y ，求出回归系数b 、a ，写出回归方程； ()2利用回归方程计算y 对应的y 值，求出相关系数2R 的值；()3利用回归方程计算132x =时y 的值即可．【详解】解：()1计算()11201181161221241205x =⨯++++=， ()17979778283805y =⨯++++=；()()()()()()5152222221()01214322433(1)(1)(3)234()i i i i i x x y y b x x ==--⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯===-+-+-++-∑∑； 380120104a yb x =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程是3104y x =-；()2由题意，填表得y计算相关系数2222212222221()(1)0.500.501151110.9375(1)(1)(3)231616()ni i i n i i y y Ry y ==--++++=-=-=-==-+-+-++-∑∑；所以2R 接近于1，表示回归效果越好；()3第6次考试该生的数学成绩达到132，计算3310132108944y x =-=⨯-=，预测他的物理成绩为89分．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.如图，椭圆221132x y C +=：，抛物线222(0)C y px p =>：，过2C 上一点(P 异于原点)O 作2C 的切线l 交1C 于A ，B 两点，切线l 交x 轴于点Q ．()1若点P 的横坐标为1，且1112AQ BQ -=，求p 的值． ()2求OAB 的面积的最大值，并求证当OAB 面积取最大值时，对任意的0p >，直线l 均与一个定椭圆相切． 【答案】（1）6；（2）62. 【解析】 【分析】()1不妨设(2.P p 计算出AQ ，BQ 的长度代入条件计算出p 值；()2设()00,P x y 则()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0.x ty x =-表示出OAB 的面积，求出其最大值，验证直线l 与椭圆221.322x y +=相切；【详解】解：()1点(1,P，由对称性不妨设(P ．于是l px p =+，于是()1,0.Q -所以点Q 是1C 的左焦点． 设.AQO α∠=焦准距为2m =．类比抛物线的焦半径算法可得,11m m AQ BQ cos cos eeαα==-+． 于是11212cos cos AQ BQ m αα-====6p =． ()2设()00,.P x y 于是l ：00y y px px =+．于是()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0x ty x =-． 联立()22222000123426032x y t y x ty x x ty x⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩． 设()11,A x y ，()()22220,.2423B x y t x =-+．()22200122311622OABx t x SOQ y y x +-+=-==≤=．当且仅当220232t x +=取等，且满足0.>所以OAB ．注意到220232t x +=即为2202320.t x +-=这个等式类似于()22012223t x =-+；于是猜想椭圆221.322x y +=联立2201322x y x ty x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22200234230t y tx y x +-+-=；()()()222222000164223122230t x t x t x =-+-=-+=；故当OAB面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆221322x y+=相切．【点睛】本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。
四川省成都市成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
四川省成都市成都市第七中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．121232a b c --+ D ．7．已知椭圆方程为2222x y a b+=二、多选题9．我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．图中的x 值为0.020B ．这组数据的极差为50C ．得分在80分及以上的人数为400D ．这组数据的众数的估计值为8210．下列说法正确的是（）A ．对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B ．若a b a c ⋅=⋅ 且0a ≠，则b c= C ．对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D ．对任意向量,,a b c，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c11．甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A ．平均数为67B ．平均数为66C ．方差为296D ．方差为28712．已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A ．该四面体相对的棱两两垂直B ．该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C ．该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D ．该四面体三组对棱平方和相等三、填空题四、解答题17．已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．(1)求点A 的轨迹方程；(2)若AB AC ⊥，求ABC 的面积．18．如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．(1)求DE 的长；(2)求点D 到平面ABC 的距离．19．现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．(1)求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，取的两名男生不在同一组．．．．．，求()P A ．20．已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B (1)若//PQ 平面1A CM (2)请在下列条件中任选一个，求①平面BPQ 与平面②直线AC 与平面BPQ三点的圆的位置关系，并说明理由．。
成都市第七中学数学高二上期中经典练习题(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：13007]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：12998]用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127B ．23C ．827D ．493．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n4．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 5．(0分)[ID ：12985]某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件6．(0分)[ID ：12983]AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1007．(0分)[ID ：12971]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4558．(0分)[ID ：12958]已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．59．(0分)[ID ：12955]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．360310．(0分)[ID ：12942]已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<11．(0分)[ID ：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A ．15B ．24125C ．48125D ．9612512．(0分)[ID ：12937]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn13．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>14．(0分)[ID ：13019]设点(a,b)为区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为 A ．13B ．2 3C ．1 2D ．1 415．(0分)[ID ：13009]一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于11222422226C C C C +的是 ( ) A ．P(0<X≤2) B ．P(X≤1) C ．P(X=1)D ．P(X=2)二、填空题16．(0分)[ID ：13127]在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.17．(0分)[ID ：13107]连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．18．(0分)[ID ：13098]从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.19．(0分)[ID ：13089]如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．20．(0分)[ID ：13088]假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________21．(0分)[ID ：13064]根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．22．(0分)[ID ：13060]已知x ，y 取值如表，画散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为35y x =-，则m 的值为__________．x0 13 5 6y 1 2m 3m - 3.8 9.223．(0分)[ID ：13051]执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．24．(0分)[ID ：13050]为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.25．(0分)[ID ：13042]如图程序框图的输出结果是_________.三、解答题26．(0分)[ID ：13218]某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下： 零件数x /个 10 20 30 40 50 60 加工时间y /min647077829097（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr---==∑∑()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，y a bx =+42.0≈27.5≈27．(0分)[ID ：13212]为检验,A B 两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取6件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于90分为优品.前5件的评分记录如下，第6件暂不公布.（1）求所抽取的A 生产线上的6个产品的总分小于B 生产线上的第6个产品的总分的概率；（2）已知,A B 生产线的第6件产品的评分分别为90,97.①从A 生产线的6件产品里面随机抽取2件，设非优品的件数为η，求η的分布列和数学期望；②以所抽取的样本优品率来估计B 生产线的优品率，从B 生产线上随机抽取3件产品，记优品的件数为X ，求X 的数学期望.28．(0分)[ID ：13191]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180ii x==∑，101120i i y ==∑，101184i ii x y==∑，1021720i i x ==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，其中x ，y 为样本平均值.）29．(0分)[ID ：13162]已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.30．(0分)[ID ：13142]地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．C7．C8．C9．B10．A11．C12．C14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：17．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题18．【解析】【分析】先求出所有的基本事件再求出满足条件的基本事件根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条共有10个基本事件其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个所以取出的两条对19．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相20．【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为xy则所有事件集可表示为0≤x≤50≤y≤5由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x21．6【解析】因为所以输出22．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据23．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次：不满足条件；第三次：不满足条件；……第二十四次：不满足条件；故判断框内的条件是答案：27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略24．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形25．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆三、解答题27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．C解析：C【解析】由题意可得：每个实数都大于13的概率为12133p=-=，则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.5．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+上且2b =-，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.6．C解析：C 【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ．7．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组， 所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件.【详解】 由题意可得：14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92. 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.10．A解析：A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++， ()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.11．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.12．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 13．A解析：A 【解析】 【分析】由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150b b b n++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．【详解】 利用特殊法解决．假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150． 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =，⋯这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =， 即这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数k b 分别为： 2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和， 即12112k k b b b b a a -++⋯++=+， 从而121502222215015022b b b n ++⋯++++⋯+⨯===．12150222221502150150150b b b ++⋯++++⋯+⨯===．对照选项，只有（A ）正确． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．14．A解析：A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：若f （x ）=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数， 则02122a b a >⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，即020a a b >⎧⎨-≥⎩，则A （0，4），B （4，0），由4020a b a b +-=⎧⎨-=⎩得8343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即C （83，43），则△OBC 的面积S=14423⨯⨯=83． △OAB 的面积S=14482⨯⨯=． 则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为P=OBC OABS S =13， 故选：A ．15．B解析：B 【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P （X=1）和P （X=0），即可判断等式表示的意义． 【详解】由题意可知112224222226261,0C C C P X P X C C ⋅====：（）（） ， ∴11222422225C C C C +表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P （X≤1）， 故选B ． 【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．二、填空题16．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【解析】 【分析】 【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 17．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题解析：5 6【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305 366=.【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.18．【解析】【分析】先求出所有的基本事件再求出满足条件的基本事件根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条共有10个基本事件其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个所以取出的两条对解析：1 2【解析】【分析】先求出所有的基本事件，，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【详解】从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为51102=.即答案为1 2 .【点睛】本题考查概率的求法，涉及到直线、组合、概率等知识，属于中档题．19．【解析】【分析】不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相切大圆直径是菱形的高也等于正三角形的高圆半径为由几何概型概率公式可得结果【详解】依题意不妨设小圆与正三角形相切小圆的半径为大圆与菱形相【解析】【分析】不妨设2AB=AB=，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为1222AB ⨯=，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，不妨设2AB =，AB =， 大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，可得大圆半径为12AB =由几何概型概率公式可得该点落在图中阴影区域内的概率为：2222P ππ⨯⨯+⨯⨯==. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.20．【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为xy 则所有事件集可表示为0≤x ≤50≤y≤5由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x解析：1625【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论． 【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y ．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25， 阴影部分的面积2125252162-⨯-=（） ，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为1625． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．21．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =22．3【解析】由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心(3)在分析两个变量的相关关系时可根据样本数据解析：3 【解析】由题意可得：0135635x ++++== ，回归方程过样本中心点，则：=3354y ⨯-= ，即：()123 3.89.245m m ++-++= ，解得：3m = .点睛：(1)正确理解计算,a b 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．23．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次：不满足条件；第三次：不满足条件；……第二十四次：不满足条件；故判断框内的条件是答案：27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略解析：27 【解析】依次运行框图所示的程序，可得第一次：1331log 4log 4,4S k =⨯==，不满足条件； 第二次：2343log 4log 5log 5,5S k =⨯==，不满足条件； 第三次：3353log 5log 6log 6,6S k =⨯==，不满足条件； ……第二十四次：243263log 26log 27log 273,27S k =⨯===，不满足条件； 故判断框内的条件是27?k ≥。
2021-2022学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(理科)(附答案详解)
2021-2022学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知：直线l1：ax+y+3=0，l2：x−y+l=0，若l1//l2，则a的值为()A. 1B. −1C. −13D. 132.双曲线x22−y2=1的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±x D. y=±2x 3.若直线l的方程为2x+y+3=0，则直线l的纵截距为()A. 32B. −32C. 3D. −34.若方程x2+y2−ax+2y−54a=0表示圆，则a的取值范围为()A. (1,4)B. (−4,−1)C. (−∞,−4)∪(−1,+∞)D. (−∞,1)∪(4,+∞)5.焦点为(−2,0)，(2,0)，离心率为√22的椭圆的标准方程为()A. x26+y22=1 B. x28+y24=1 C. x26+y24=1 D. x28+y22=16.已知抛物线x2=4y的焦点为F，若抛物线上一点P到y轴的距离为2，则|PF|的值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2−2x−3=0相切，则p的值为()A. 12B. 1C. 2D. 48.已知椭圆C：y2a +x2b=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(0,c)，(b,0)的直线的距离为12c，则椭圆C的离心率为()A. 12B. 14C. 34D. √329.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C：y2=2x有且只有一个公共点，则这样的直线l共有()A. 一条B. 两条C. 三条D. 四条10. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(c,0)，满足b >√3c ，若点P 为椭圆上一点，记|PF|的最大值为m ，记|PF|最小值为n ，则mn 的取值范围为( )A. (1,3)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (3,+∞)11. 如图，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，AB 是圆M ：(x +2)2+(y −1)2=52的一条直径，若双曲线C 过A ，B 两点，且离心率为2，则直线AB 的方程为( )A. 6x +y +11=0B. 4x +y +7=0C. 3x +y +5=0D. 2x +y +3=012. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，I 为△F 1PF 2的内心，点G 满足：GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若GI ⃗⃗⃗⃗ =λF 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)且cos∠F 1PF 2=35，记△PF 1F 2的外接圆半径为R ，则R 的值为( )A. 52B. 2C. 3D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如果直线y =x +a 与圆x 2+y 2=1有公共点，则实数a 的取值范围是______． 14. 平面上一动点P(x,y)满足√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4，则P 的轨迹方程为______．15. 已知焦点在x 轴的双曲线的渐近线为y =±2x ，半焦距为5，则双曲线的标准方程为______．16. 动圆P 与圆M ：(x −2)2+y 2=25和圆N ：(x +2)2+y 2=1同时相切，则动圆P 的圆心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l 1：x +y +3=0，直线l 2：x −y +1=0，记两条直线的交点为P ．(Ⅰ)求两条直线交点P 的坐标；(Ⅱ)若过点P 的直线l 被圆x 2+y 2=9截得的弦长为2√5，求直线l 的方程．18.已知圆M经过三点A(2,1)，B(4,3)，C(−2,3)．(Ⅰ)求圆M的一般方程；(Ⅱ)已知圆P：x2+y2−6x−4y+9=0，判断圆P和圆M的位置关系，并说明理由．19.如图，双曲线C：x2−y2=1的焦点为F1、F2，过左焦3点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点．(Ⅰ)求弦长|AB|的值；(Ⅱ)求△ABF2的周长．20.已知椭圆的长轴为2√2，短轴为2，焦点在x轴上．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点P(2,0)斜率不为零的直线l与椭圆相交于A，B两不同点．(ⅰ)若k=1，求弦长|AB|的值；2(ⅱ)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．21.如图抛物线C：x2=2py经过定点A(2,1)，过x轴上一点B(2,0)的直线l与抛物线C交于两不同点D，E，直线AD交x轴于点M，直线AE交x轴于点N．(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；=−3，求直线l的方程．(Ⅱ)记点M，N的横坐标分别为x M，x N，若x Mx N22.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x22−y2=1的焦距相同，且椭圆Γ经过点P(√3,12).(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程；(Ⅱ)如图1，椭圆Γ的长轴两个端点为A1，A2，垂直于x轴的直线x=m与椭圆Γ相交于C，D两点(D在C的上方)，记k A1D =k1，k A2C=k2，求证：k1⋅k2为定值，并求9k1+k2的最小值；(Ⅲ)如图2，已知过G(23,0)的动直线与椭圆Γ相交于M，N两点，求证：直线A1M，A2N 的交点在一条定直线上运动．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵l1//l2，∴−a−1=0，解得a=−1．经过验证两条直线平行，∴a=−1．故选：B．由l1//l2，可得−a−1=0，解得a并且经过验证即可得出．本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由题双曲线x22−y2=1.可知a=√2，b=1，渐近线方程为y=±ba x=±√22x，故选：A．直接利用双曲线的标准方程求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：直线l的方程为2x+y+3=0，化为：y=−2x−3，则直线l的纵截距为−3．故选：D．化为斜截式即可得出．本题考查了直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：方程x2+y2−ax+2y−54a=0表示圆，则须满足D2+E2−4F>0，即(−a)2+4−4×(−54a)>0，解得a<−4或a>−1，故选：C．由题意方程x2+y2−ax+2y−54a=0表示圆，只须满足D2+E2−4F>0，再求a的范围即可．本题考查圆的一般方程，属于容易题．5.【答案】B【解析】解：焦点为(−2,0)，(2,0)，离心率为√22，可得c=2，a=2√2，所以b=√a2−c2=2，所以椭圆方程为：x28+y24=1．故选：B．利用椭圆的焦点坐标结合离心率，求解a，b，得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基础题．6.【答案】B【解析】解：抛物线上一点P到y轴的距离为2，所以点P的横坐标为±2，又抛物线的方程为x2=4y，则点P的纵坐标为1，抛物线的准线方程为y=−1，由抛物线的定义可知，|PF|=1+1=2．故选：B．先求出点P的纵坐标，然后利用抛物线的定义求解即可．本题考查了抛物线标准方程的理解与应用，抛物线定义的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2−2x −3=0化成标准方程，得(x −1)2+y 2=4， ∴圆心为C(1,0)，半径r =2， 又∵抛物线y 2=2px(p >0)， ∴抛物线的准线为x =−p2， ∵抛物线的准线与圆相切，∴圆心到准线的距离等于半径，得|1−(−p2)|=2，解得p =2或p =−6(舍负)． 故选：C ．将圆化成标准方程，得到圆心为C(1,0)，半径r =2.再由抛物线方程求得抛物线的准线为x =−p2，根据准线与圆相切建立关于p 的等式，求解可得p 的值． 本题考查抛物线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．8.【答案】D【解析】解：因为经过两点(0,c)，(b,0)的直线的方程为cx +by −bc =0， 又原点到直线cx +by −bc =0的距离为12c ，所以√c 2+b 2=12c ，整理得c 2=3b 2，所以a 2=b 2+c 2=4b 2， 所以e 2=c 2a 2=3b 24b 2=34.又0<e <1，所以e =√32，故选：D ．先求得经过两点(0,c)，(b,0)的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得c 2=3b 2，由椭圆的离心率公式计算可得选项． 本题主要考查椭圆离心率的求解，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：①设直线l 的斜率存在且等于k ，则当k =0时，直线l 的方程为y =2，满足直线与抛物线y 2=2x 仅有一个公共点； 当k ≠0时，直线l 是抛物线的切线，设直线l 的方程为y =kx +2， 代入抛物线的方程可得：k 2x 2+(4k −2)x +4=0，由△=(4k −2)2−4k 2⋅4=0得k =14，故切线方程为y =14x +2．②当斜率不存在时，直线方程为x =0，经过检验可得此时直线也与抛物线y 2=2x 相切．故选：C ．设直线l 的斜率等于k ，则当k =0时，直线l 与其对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有一个公共点；再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决本题的关键是熟练掌握只有一个公共点的概念，即直线与抛物线相切或者直线与抛物线的对称轴平行，易错点在于忽视与对称轴平行的情况，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为b >√3c ，所以√a 2−c 2>√3c ，即a 2>4c 2，所以0<e =ca <12， 由已知得|PF|的最大值为m =a +c ，|PF|最小值为n =a −c ， 则mn =a+ca−c =1+e1−e =−1+21−e ，又由0<e <12得12<1−e <1，所以1<11−e <2，所以2<21−e <4，所以1<−1+21−e <3，所以mn 的取值范围为(1,3)， 故选：A ．由已知得a 2>4c 2，即可求得0<e <12，继而由m =a +c ，n =a −c ，表示mn =−1+21−e ，由此可求得mn 的取值范围得选项．本题主要考查椭圆的定义及其应用，椭圆中的范围问题等知识，属于中等题．11.【答案】A【解析】解：由题意可知，双曲线的离心率为2， 则e =ca =2，令a =m ，c =2m ， 则b 2=c 2−a 2=3m 2， 所以双曲线的方程为x 2m 2−y 23m 2=1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 因为点A ，B 在双曲线上，则3x 12−y 12=3m 2①，3x 22−y 22=3m 2②，①−②可得，3(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 1−y 2)③， 因为AB 为圆M 的直径， 则M(−2,1)为AB 的中点， 所以x 1+x 22=−2,y 1+y 22=1代入③可得，y 1−y 2x1−x 2=3×(−4)÷2=−6，所以直线AB 的斜率为−6， 又直线经过点M(−2,1)，所以直线AB 的方程为y −1=−6(x +2)，即6x +y +11=0． 故选：A ．由离心率将双曲线方程化为x 2m 2−y 23m 2=1，然后利用“点差法”求解直线AB 的斜率，由点斜式求解直线AB 的方程即可．本题考查了双曲线标准方程的应用，双曲线离心率定义的应用，圆的标准方程的运用，圆与双曲线位置关系以及直线与双曲线位置关系的应用，“点差法”的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P(x 0,y 0)， 由题意得，a =1，sin∠F 1PF 2=45， ∵点G 满足：GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴点G 为△PF 1F 2的重心，则G(x 03,y3)，又∵GI ⃗⃗⃗⃗ =λF 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， ∴GI ⃗⃗⃗⃗ //x 轴，则I 的坐标轴为y 03 ∴S △PF 1F 2=12|F 1F 2|⋅|y 0|=c ⋅|y 0|， 设|PF 1|=m ，则|PF 2|=m +2a =m +2， ∴S △PF 1F 2=12(|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)⋅|y 0|3=12(2m +2+2c)⋅|y 0|3，∴c ⋅|y 0|=12(2m +2+2c)⋅|y 0|3，∴2c =m +1，由余弦定理得cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=m 2+(m+2)2−4c 22m⋅(m+2)=35，∴m 2+(m+2)2−(m+1)22m(m+2)=35，整理得m 2+2m −15=0， 解得m =3或−5(舍去)， ∴c =m+12=2，由正弦定理知2R =2csin∠F 1PF 2=445=5，∴R =52， 故选：A ．设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P(x 0,y 0)，根据点G 满足：GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得G(x 03,y03)，再由GI ⃗⃗⃗⃗ =λF 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得I 的坐标轴为y 03，设|PF 1|=m ，则|PF 2|=m +2a =m +2，利用△PF 1F 2的面积得到2c =m +1，结合椭圆定义，由余弦定理可求出m 的值，进而得到c 的值，再利用正弦定理即可求出△PF 1F 2的外接圆半径．本题主要考查了双曲线的定义，考查了三角形重心和内心的性质，以及余弦定理和正弦定理的应用，是中档题．13.【答案】−√2≤a ≤√2【解析】解：由题意可知圆的圆心坐标为(0,0)，半径为1，因为直线y =x +a 与圆x 2+y 2=1有公共点，所以√12+(−1)2≤1， 解得−√2≤a ≤ √2． 故答案为：−√2≤a ≤√2．由题意利用点到直线的距离小于半径，求出a 的范围即可．本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．14.【答案】x 24+y 23=1【解析】解：动点P(x,y)的坐标满足√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4， ∴动点P(x,y)到A(−1,0)和B(1,0)的距离之和等于4>|AB|=2， ∴动点P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题得c =1，2a =4，∴a =2，b 2=4−1=3．∴动点P的轨迹方程是x24+y23=1．故答案为：x24+y23=1．分析得到动点P的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆，再利用待定系数法分析求解．本题主要考查椭圆的定义，轨迹方程的求解，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．15.【答案】x25−y220=1【解析】解：设焦点在x轴的双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，由渐近线为y=±2x，半焦距为5，可得ba=2，a2+b2=c2=25，解得a=√5，b=2√5，所以双曲线的方程为x25−y220=1．故答案为：x25−y220=1．设焦点在x轴的双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，由渐近线方程和a，b，c的关系，可得a，b的方程组，解方程可得所求．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】x29+y24=1【解析】解：圆M圆心为M(2,0)，半径为5，圆N的圆心为N(−2,0)，半径为1，圆M：(x−2)2+y2=25和圆N：(x+2)2+y2=1内切，∵P与圆M：(x−2)2+y2=25和圆N：(x+2)2+y2=1同时相切，∴|PN|−1=5−|PM|，|PM|+|PN|=6∴P的轨迹为到定点M，N距离和为常数6的点的集合，即M的轨迹是椭圆：a=3，c=2，则b=√5，P的轨方程为：x29+y24=1．故答案为：x29+y24=1．利用动圆P同时与圆M及圆N相切，判断两个圆的位置关系，可得的轨迹为到定点M，N 距离和为常数6的点的集合，从而可得方程．本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)联立{x +y +3=0x −y +1=0，可知：x =−2且y =−1，∴点P 的坐标为P(−2,−1)；(2)设过点P(−2,−1)的直线l 的方程为：y +1=k(x +2)，整理可得：kx −y +2k −1=0，由直线l 被圆x 2+y 2=9截得的弦长为2√5，可得圆心到直线l 的距离为2，由点到直线的距离公式可得：d =2=2，解得k =−34， ∴所求直线方程为3x +4y +10=0；当直线l 的斜率不存在时，即x =−2时，满足条件； 综上：所求直线l 的方程为x =−2或3x +4y +10=0．【解析】(1)先联立直线x +y +3=0与x −y +1=0的方程，求交点坐标； (2)利用圆中的弦长公式先求出圆心O 到直线l 的距离，再利用点到线的距离公式可求直线l 的方程．本题考查求直线的交点坐标与直线与圆的位置关系，属基础题．18.【答案】解：(I)设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将A(2,1)，B(4,3)，C(−2,3)代入方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 可得{2D +E +F =−54D +3E +F =−25,−2D +3E +F =−13解得D =−2，E =−8，F =7，故所求的圆的方程为：x 2+y 2−2x −8y +7=0． (II)∵圆P ：x 2+y 2−6x −4y +9=0， 将其化为标准方程为(x −3)2+(y −2)2=4， 记圆P 的圆心为 O 1，半径为r 1． 可知该圆的圆心O 1(3,2)，半径r 1=2． 同理将圆M ：x 2+y 2−2x −8y +7=0， 将其化为标准方程为(x −1)2+(y −4)2=10， 记圆M 的園心为O 2，半径为r 2， 可知该圆的圆心O 2(1,4)，半径r 2=√10．∵√10−2<|O 1O 2|=2√2<√10+2， ∴圆M 与圆P 两圆相交．【解析】(1)由题意利用待定系数法求圆的一般方程即可， (2)由两圆的半径的大小与圆心距判断即可．本题考查圆的一般方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)双曲线C ：x 2−y 23=1的焦点为F 1(−2,0)，过左焦点F 1倾斜角为30°的直线l 的方程为y =√33(x +2)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1<x 2，联立方程组{y =√33(x +2)3x 2−y 2=3，可得8x 2−4x −13=0， 所以{△>0x 1+x 2=12x 1x 2=−138，所以|x 2−x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(12)2−4×(−138)=√274=3√32， 故|AB|=2|x 2−x 1|=√1+13×3√32=3；(Ⅱ)记△ABF 2的周长为C △ABF 2， 则C △ABF 2=|AB|+|AF 2|+|BF 2|，因为|BF 2|=√(x 2−2)2+y 22， 又y 22=3x 22−3，所以|BF 2|=√4x 22−4x 2+1=|2x 2−1|，因为点B 在双曲线的右支，则|BF 2|=2x 2−1，同理可得，点A 在左支上，所以|AF 2|=|2x 1−1|=−(2x 1−1)， 故|BF 2|+|AF 2|=2(x 2−x 1)=2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2×3√32=3√3，所以C △ABF 2=|AB|+|AF 2|+|BF 2|=3√3+3， 故△ABF 2的周长为3√3+3．【解析】(Ⅰ)求出双曲线的焦点，求出直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，由弦长公式求解即可；(Ⅱ)利用两点间距离公式以及点在双曲线上，分别求出|BF 2|，|AF 2|，结合韦达定理求解即可．本题考查了双曲线标准方程的应用、直线与双曲线位置关系的应用，弦长公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意，2a =2√2，2b =2，则a =√2，b =1．∴椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)(ⅰ)由题意可得k 存在且k ≠0，设直线l ：y =k(x −2)， 联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=2，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2=0． 由Δ=64k 4−4(1+2k 2)(8k 2−2)>0，解得−√22<k <√22．x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，则|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(8k 21+2k 2)2−4(8k 2−2)1+2k 2=2√2⋅√1+k 2⋅√1−2k 21+2k 2．当k =12时，|AB|=2√53；(ⅱ)由(ⅰ)知，|AB|=2√2⋅√1+k 2⋅√1−2k 21+2k2， 坐标原点O 到直线l 的距离d =2，则S △AOB =12|AB|⋅d =2√2⋅√1+k 2⋅√1−2k 21+2k 2√1+k2=2√2⋅|k|√1−2k 21+2k 2．令1k =m ，可得|m|>√2，则S △AOB =2√2⋅√m 2−2m 2+2， 令√m 2−2=t(t >0)，则S △AOB =2√2⋅t t 2+4=2√2⋅1t+4t≤√22． 当且仅当t =2，即m =±√6，k =±√66时上式等号成立．∴△AOB 面积的最大值为√22．【解析】(Ⅰ)由题意求得a 与b 的值，则椭圆方程可求；(Ⅱ)(ⅰ)由题意可得k 存在且k ≠0，设直线l ：y =k(x −2)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可求得|AB|； (ⅱ)由(ⅰ)知，|AB|，再求出原点O 到直线l 的距离，代入三角形面积公式，利用换元法与基本不等式求△AOB 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)代点A(2,1)入抛物线方程，易知抛物线的方程为x 2=4y ，不妨设直线l ：y =k(x −2)，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，x 1<x 2， 联立{y =k(x −2)x 2=4y ，可得x 2−4kx +8k =0， 所以{△>0x 1+x 2=4k x 1x 2=8k ，由△>0可知k >2或k <0，因为直线l 不过点(−2,1)，故k ≠−14，综上，k 的取值范围为(2,+∞)∪(−∞,−14)∪(−14,0)．(Ⅱ)因为k AD =y 1−1x 1−2=x 1+24，所以y −y 1=x 1+24(x −x 1)，令y =0，可知x M =−4y 1x 1+2+x 1=2x 1x 1+2，同理x N =2x 2x2+2，所以xMx N=2x 1x1+2⋅x 2+22x 2=x 1x 2+2x1x 1x 2+2x 2=−3，所以2x 1x 2+x 1+3x 2=0，又xMx N=−3，可知x 1<0，x 2>0， 所以k <0，所以x 1−x 2=−√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=−4√k 2−2k ， 所以x 1+x 2=4k ，故x 2=2k +2√k 2−2k ， 可知12k +2√k 2−2k =0，即−6k =√k 2−2k ， 所以35k 2=−2k ，解得k 1=0(舍)或k 2=−235，满足△>0且k <0， 所以直线l 的方程为y =−235(x −2)．【解析】(Ⅰ)由题意知抛物线的方程为x 2=4y ，不妨设直线l ：y =k(x −2)，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，x 1<x 2，联立直线与抛物线的方程，得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得{△>0x 1+x 2=4k x 1x 2=8k，即可得出答案． (Ⅱ)写出直线AD 的方程y −y 1=x 1+24(x −x 1)，令y =0，可知x M ，同理x N ，则xMx N=2x 1x1+2⋅x 2+22x 2=x 1x 2+2x1x 1x 2+2x 2=−3，即可解得k ，进而可得答案．本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】(Ⅰ)解：因为椭圆和双曲线的焦距相同，则c 2=a 2−b 2=3①，将点P(√3,12)代入椭圆的方程，可得3a +14b =1②，由①②可得，a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)解：不妨设D(x 1,y 1)，则C(x 1,−y 1)，则k 1=y 1x 1+2,k 2=−y1x 1−2，由题意可知，k 1>0，k 2>0， 所以k 1k 2=−y 12x 12−4=14(x 12−4)x 12−4=14， 则9k 1+k 2≥2√9k 1k 2=3，当且仅当9k 1=k 2，即k 1=16,k 2=32时取等号， 所以k 1⋅k 2为定值14，9k 1+k 2的最小值为3；(Ⅲ)证明：不妨设直线MN 的方程为x −23=my ，M(x 2,y 2)，N(x 3,y 3)， 联立方程组{x −23=myx 2+4y 2=4， 可得9(m 2+4)y 2+12my −32=0， 所以{△>0y 2+y 3=−12m 9(m 2+4)y 2y 3=−329(m 2+4)，因为k A 1M =y2x 2+2，则直线A1M的方程为y=y2x2+2(x+2)，同理可得，直线A2N的方程为y=y3x3−2(x−2)，因为k A2N k A1N=−14，则y3x3−2=−14⋅x3+2y3，所以x+2x−2=−14(x3+2)(x2+2)y3y2，因为(x3+2)(x2+2)y2y3=(my3+83)(my2+83)y2y3=−8，所以x+2x−2=−14×(−8)=2，解得x=6，故直线A1M，A2N的交点在一条定直线x=6上运动．【解析】(Ⅰ)利用焦点坐标以及点在椭圆上，列出关于a，b的方程组，求解即可；(Ⅱ)利用两点间斜率公式表示出k1，k2，计算k1⋅k2即可，然后利用基本不等式求解最值，即可得到答案；(Ⅲ)设直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，求出直线A1M，A2N的方程，再利用k A2N k A1N=−14，表示出x+2x−2，结合韦达定理进行化简，即可证明．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
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成都七中高二数学期中复习综合测试题（时间120分钟 总分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为 ( ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.（理科） 函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是 ( ) A. []0,1- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,03.（文科） 函数x e x x f ⋅-=)(的一个单调递增区间是 ( ) A. []1,2-- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,04.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A.5B.42C.3D.56. （理科）方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条6. （文科）方程22ay b x c =+中的{}3,2,1,2,,-∈c b a ，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( ) A.18条 B.12条 C.16条 D.20条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =， 则AOB ∆的面积为 ( )A.22B.2C.322D.228．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 （ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．设2:()e l n 21x p f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分,请把答案填在横线上）11．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=12. 已知双曲线x 2 －y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则 ∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为13.设P 为直线3b y x a =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =14.已知双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的左、右两顶点为1A ,2A ,虚轴上、下两端点为1B ,2B ,左、右两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12SS =15．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）x高二数学第九周综合测试题（理科）答卷1 234567891011. 12. 13. 14. 15.16.已知双曲线221: 1.4y C x -= (1)求与双曲线1C 有相同的焦点,且过点(4,3)P 的双曲线2C 的标准方程；(2)直线:l y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A B 、两点.当3OA OB =时,求实数m 的值.17．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。
（1）试确定a,b 的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x >0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足MF →•FB →=2-1， （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心. 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.19.(文科做)已知椭圆C：22xa+22yb=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为22，直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N (1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值.19.(理科做).在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.（1）求椭圆E的方程；（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C 相切时，求P的坐标.20. 已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。
（2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数a ，使[]0,1-∈x ，函数有最小值－3？21.已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．成都七中第九周数学单元测试题（时间120分钟 总分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为 ( C ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( D )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.（理科） 函数x e x x f -⋅=)(的一个单调递增区间是 ( A ) A. []0,1- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,03.（文科） 函数x e x x f ⋅-=)(的一个单调递增区间是 ( A ) A. []1,2-- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,04.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( D )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)A.5B.42C.3D.56. （理科）方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( B ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条6. （文科）方程22ay b x c =+中的{}3,2,1,2,,-∈c b a ，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( C ) A.18条 B.12条 C.16条 D.20条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =; 则AOB ∆的面积为 ( C )A.22B.2C.322D.228．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．设2:()e l n 21x p f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分,请把答案填在横线上）11．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=3212. 已知双曲线x 2 －y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则 ∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为23。