河北省围场县棋盘山中学九年级数学下册《3.2.1 线段的比 成比例线段 》导学案(无答案) 新人教版
教与学 新教案九年级数学下册 27.2.1 平行线分线段成比例(第1课时)教学设计 (新版)新人教版
平行线分线段成比例(续表)(续表)(续表)【学习目标】 1．知识层面(1)理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；(2)掌握判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．能力层面(1)经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力；(2)通过相似多边形和三角形全等的条件类比，体会类比的教学思想，领会特殊与一般的关系． 【学习重难点】1．重点：掌握相似三角形的概念及判定两个三角形相似的预备定理，会运用预备定理判定两个三角形相似．2．难点：会准确的运用判定两个三角形相似的预备定理来判断两个三角形是否相似. 课前延伸 【知识梳理】1．相似多边形的性质：__对应角相等__，__对应边成比例__．2. 如图27－2－24，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝6 cm ，DB ＝3 cm ，BC ＝9.9 cm ，∠B ＝50°，则∠ADE ＝__50°__，DE ＝____ cm.图27－2－243．已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则∠ADE ＝__∠B __，∠AED ＝__∠C __，DE BC __12__． 课内探究一、课堂探究1(a问题探究，自主学习)1．问题解决：如图27－2－25，在△ABC中，D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，△ADE与△ABC有什么关系？图27－2－25二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)在课堂探究1问题的基础上，改变点D在AB上的位置，先自己画图、测量验证、猜想△ADE 与△ABC是否仍相似．(1)若点D为线段AB上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？(2)若点D为AB延长线上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？归纳：__平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，_所构成的三角形与原三角形相似__．几何语言：如图27－2－26，在△ABC中，∵__DE∥BC__，∴__△ADE∽△ABC__．图27－2－26三、反馈训练(可以设计成必做题与选做题两类，分层要求)1．如图27－2－27，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.图27－2－27 图27－2－282．如图27－2－28，已知在△ABC中，DE∥BC.(1)如果AD＝2，DB＝3，求DE∶BC的值；(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．3．如图27－2－29，在△ABC中，DE∥AB，BD＝8，CD＝6，AE＝4，则CE的长为(B)A . 6B . 163C . 4D . 3图27－2－29 图27－2－304．如图27－2－30，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm, BC ＝12 cm ，求菱形的边长． 课后提升一、课后练习题(1－6为必做题，7、8为选做题)：1．如图27－2－31，AB ∥CD, AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则图中与△CEG 相似的三角形 有( B )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个图27－2－31 图27－2－32 图27－2－33 图27－2－342．如图27－2－32，DE ∥BC ，EO ＝6，OC ＝15，则△OED ∽__△OCB __，相似比为__2∶5__． 3．如图27－2－33，已知在△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，则图3中相似三角形共有__6__对． 4．如图27－2－34，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，求CD 的长.5．如图27－2－35，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝EC ，DB ＝1 cm ，AE ＝4 cm ，BC ＝5 cm ，求DE 的长．图27－2－35 图27－2－366．如图27－2－36，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，求BF ∶FD .word11 / 11 7．如图27－2－37，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，三角形中有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于点G ，AC ＝15，BC ＝10，求GE.图27－2－37 图27－2－388．如图27－2－38，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于点P ，Q .(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP ∶PQ ∶QR .。
冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计
冀教版数学九年级上册25.1《比例线段》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第25.1节《比例线段》是学生在学习了平面几何基本概念和性质的基础上进行的一节内容。
本节通过介绍比例线段的定义、性质和应用，使学生掌握比例线段的知识，培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探究比例线段的规律，从而提高学生的数学思维能力和创新能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对平面几何的概念和性质有一定的了解。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和练习来理解和掌握。
此外，学生可能对比例线段的性质和应用有一定的困难，需要教师的引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究比例线段的规律，培养学生的数学思维能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。
2.难点：比例线段的性质和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例和练习，引导学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
2.问题驱动法：通过提出问题和引导学生思考，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，包括比例线段的定义、性质和应用的实例和练习。
2.练习题：准备一些关于比例线段的练习题，包括不同难度的题目，以满足不同学生的需求。
3.教学道具：准备一些实际的线段模型，以帮助学生更好地理解比例线段的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入比例线段的概念，如两个相似图形之间的对应线段成比例。
引导学生思考：比例线段有什么特点和性质？2.呈现（15分钟）通过PPT展示比例线段的定义、性质和应用的实例。
3.2.1 线段的比,成比例线段湘教版九年级上册
两条线段的比：A
m
B C
n
D
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD长度分别是m、
n，那么就是说这两条线段的比AB:CD=m:n ，或写成
AB m CD n
，其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和
m n
后项．如果把
表示成比值k，那么
AB k 或AB=k×CD. CD
注：设比值k的方法是解决比例问题的一种重要方法.
本节课学习了两条线段的比，并会求两条线段的比 定义：两条线段的长度之比 表示方法：线段a，b的长度分别为m，n，则a:b=m:n 求法：先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比． 两线段的比值总是正数 讨论线段的比时，不指明长度单位 注意点 对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示
才可求出它们的比
是1∶100的图纸上，长应是 ______，宽应______ ． 75cm 30cm
2、已知图上距离是2米，实际距离是70千米，那么比例 1:35000 尺是___________．
3.已知地图比例尺为1∶6 000 000，图上北京与延安的
距离为12cm．求北京与延安的实际距离.（千米） 分析：(1)用比例尺列出图距与实距比的方程；(2)将图 距与实际距离统一长度单位.
【解析】设北京与延安的实际距离为x厘米根据题意，得
12 1 x 6000000
x= 6000000×12=72000000(cm)=720(km)
答：北京与延安的实际距离为720千米.
【例2】(1).已知:点C在线段AB上,AC:CB=5:3 求:AC∶AB 及 AB∶CB的长． A C B
【解析】在研究线段比的问题时，经常设其中一份长
新安大街的图上长度 新安大街的实际长度 光华大街的图上长度 光华大街的实际长度
数学九年级下册《平行线分线段成比例定理》教案
初中20 -20 学年度第一学期教学设计主备教师审核教师授课周次授课时间课题27.2.1平行线分线段成比例定理课型新授课教学目标了解相似比的定义，理解掌握平行线分线段成比例定理及推论.教学重点理解掌握平行线分线段成比例定理及推论.教学难点探索图形相识的基本性质。
教学方法与手段平行线分线段成比例定理及推论的应用。
教学准备第一课时课时数1课时课堂教学实施设计（教师活动、学生活动）复备内容或集体备课讨论记录(标、增、改、删、调)一．复习旧知:师：相似多边形的主要特征是什么？生：相似多边形的对应角相等，对应边相等.二.明确学习目标:师：那今天我们在了解相似比的基础上学习平行线分线段成比例定理及推论。
三．自学指导：认真阅读课本本节的内容，完成练习并体验知识点的形成过程。
1.什么是相似比？2.阅读探究：什么是平行线分线段成比例定理？平行线分线段成比例定理：三条______截两条直线，所得的_____线段的比_____.3.几何语言表示：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述比例可使用一些简单的形象化的语言“上对上，下对下,全对全”。
另外，根据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同一直线上，也就是“”，这里不要让学生死记硬背，要让学生会看图，达到根据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.4.推论：5.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
几何语言:_________________________________________.四．自学检测：（自学检测1）1.判断题:如图:DE∥BC, 下列各式是否正确（）A. AD/AB=AE/ACB.AD/BD=AE/CEC.AD/AC=AE/ABD. AD/AE=AB/AC2.如图所示，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：(1)△OAC和△OBD的相似比；(2)BD的长．五．巩固练习：如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长六.小结：本节课你学了什么知识?[七.课堂练习1.△ABC与△A′B′C′相似，记作_______________，△ABC与△A′B′C′相似比是k，△A′B′C′与△ABC的相似比是_____.2、三条______截两条直线，所得的____线段的比____.3.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）,所得的_______线段的比______.九.作业教学反思（教学内容、过程、策略）：板书设计：平行线分线段成比例定理定理：推论：。
九年级北数1 成比例线段
【教学说明】在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不
能忽视这一点.
5.已知 a∶b∶c=4∶3∶2,且 a+3b-3c=14.
（1）求 a、b、c；
（2）求 4a-3b+c 的值.
解：（1）设 a=4k,b=3k,c=2k.∵a+3b-3c=14,∴4k+9k-6k=14,∴7k=14,∴k=2,∴
解得：d=4 或 9 或 1，所以线段 d 的长为 1cm 或 4cm 或 9cm.
3.已知 a = c =3， a − b = c − d 成立吗？
bd
bd
分析：由 a = c =3,得 a=3b,c=3d.所以 a − b = 3b − b =2, c − d = 3d − d =2，因
bd
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例. 【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.
2.如果四条线段 a、b、c、d 成比例，即 a = d .那么 ad＝bc 吗？如果 ad＝ bc
bc，那么 a、b、c、d 成比例吗？ 【归纳结论】如果 a/b=c/d，那么 ad=bc.如果 ad=bc（a、b、c、d 都不等于 0），
1.由下面的格点图可知， AB =_______， BC =_______，这样 AB 与 BC
AB
BC
AB BC
之间有关系_______.
【归纳结论】对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等
于另外两条线段的比，如 a = d （或 a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比 bc
第四章 图形的相似
1 成比例线段
【知识与技能】 1.通过简单实例了解两条线段的比的概念. 2.能用比例的基本性质推出合比等比性质. 3.学会设“k”法解答比例的相关题目. 【过程与方法】 经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题. 【情感态度】 通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系. 【教学重点】 成比例线段的基本性质. 【教学难点】 成比例线段的基本性质.
九年级数学平行线分线段成比例课件
L1//L2//L3
AB BC
=
DE EF
A B
C
D E
L1
L2
F L3
(平行线分线段成比例定理)
! 注意:平行线分线段成比例定理得到的比例式中,
四条线段与两直线的交点位置无关!
基本图形：“8”字形
(1) AB DB BC BF
ab
A
D
l1
B
（E） l2
(2) AB DB
AC DF
C
F
l3
(3) BC BF AC DF
D=E1∥8BC，,D
AE = 10，
求：AD的长。
B
(B组)
A
2、如图: 已知AB⊥BD， ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。
求证：—AECC— ＝ —BDC—C
E C
C
D
E
课堂小结，归纳提炼
1、平行线分线段成比例定理，三 条平行线截两条直线所得的对应 线段 成比例。
2、定理的形象记忆法。
3、定理的变式图形。
平行于三角形一边的直线与其
他两边相交，截得的对应线段
成比例
数学符号语言
DE //BC
AD AB
AE =AC
B
D
A
E
C
思考：
平行于三角形ห้องสมุดไป่ตู้边的直线 E
截其他两边的延长线，所 A
得的对应线段成比例。成
立吗？ 推论的数学符号语言：
B
∵ DE∥BC
∴ —AA—DB ＝ —AA—CE
D C
例：如图：在△ABC中E,F分别是AB和CD上的两点且
4、定理的初步应用。
自己活着，就是为了使别人过得更美好。
比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）【学习目标】1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.会运用比例线段解决简单的实际问题.【要点梳理】线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a mb n=． 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD .成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．比例的基本性质：;a cad bc b d=⇔=（1）2;a bb ac b c=⇔=（2）几个重要的比例定理：a c a bb dc d=⇔=更比定理：a cb db d a c=⇔=反比定理：a c abc db d b d++=⇔=合比定理：--a c a b c db d b d=⇔=分比定理：...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c eb d f b d f +++=++≠++等比定理：=a c a mcb d b md ±=±等比定理：【典型例题】 类型一、线段的比1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．(1)求A B AB ''和B C BC''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？【答案】(1)12，12(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入A B AB ''和B C BC''，即可求得结果； （2）根据A B AB ''和B C BC''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．∵A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12；∵A B AB ''＝B C BC''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若x y =115，求代数式2x yy -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b ca b c -+-+的值．【答案】（1） 15 （2） 14【分析】（1）先把原式化为115x y =，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解． 解：（1）∵x y =115， ∵115x y =， ∵1122155y yx y y y --==；（2）设2a =3b =5c=k ，则2,3,5a k b k c k ===，∵23a b ca b c -+-+=2354122335164k k k k k k k k -+==⨯-+⨯． 【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ． 【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．【答案】56AB EF =，52AC DF ， 【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．解：如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，AC 22AB BC =+=2cm ， 则105126AB EF ==， 10252ACDF ==【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．类型二、比例的性质2．已知a b c +＝b c a +＝c ab+＝x ，求x 的值．【答案】1-或2【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可． 解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，此时，x ＝-1， 若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c axc a b a b c，综上所述，x 的值为-1或2．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值． 【答案】24【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．解：∵a ：b ：c =2：3：4，∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15， 解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5c a +，求a b cc a b ---+的值．【答案】－1 【分析】设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k代入a b cc a b---+中进行分式的化简求值即可．解：设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ， 则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ， 三式相加得a +b +c =6k ∵用∵式分别减去上述三个式子，可得出 解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ， 所以a b c c a b ---+＝2332k k kk k k---+＝－1．【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．类型三、比例中项3．已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28 （1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值． 【答案】（1）a ＝12，b ＝8；（2）x ＝6． 【分析】（1）利用:3:2a b =，可设3a k =，2b k =，则3428k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即296x =，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）:3:2a b =∴设3a k =，2b k =，228a b +=，3428k k ∴+=，4k ∴=，12a ∴=，8b =；（2）x 是:a b 的比例中项，296x ab ∴==， x 是线段，0x >，46x ∴=【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．【变式1】已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足438324a b c +++==，且12a b c ++=． （1）求a ，b ，c 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ． 【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）15x =【分析】 （1）根据438324a b c +++==，且12a b c ++=，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值； （2）根据比例中项的性质求解即可． 解：（1）∵438324a b c +++==，且12a b c ++=， ∵438438151215332432499a b c ab c a b c ，∵433a +=，332b ，834c ，∵5a =，3b =，4c =，（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∵25315x ab，∵15x =【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，求线段c 的长.【答案】线段c 的长为7cm ．【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∵ab =c 2，∵a =4cm ，b =7cm ，c ＞0， ∵24728c =⨯=， ∵c 7cm ．故线段c 的长为7cm ．【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．类型四、成比例线段4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．2cm 2cm 、2 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论． 解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，122时，212x =2x =； ∵若四条线段的长度大小为： 1，x 22212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12x ，2212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12，2 ，x 时，122x ⨯=22x = 2cm 2或2． 【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．【变式1】如图，在ABC 中，12cm,6cm,5cm AB AE EC ===，且AD AEDB EC=，求AD 的长．【答案】72cm 11AD =． 【分析】利用比例线段得到6125AD AD =-，然后根据比例性质求AD ．解：AD AE BD EC=，即AD AEAB AD EC =-，∴6125AD AD =-，7211AD ∴=cm ． 【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【变式2】若P 在线段AB 上，点Q 在AB 的延长线上，10AB =，且32AP AQ PB BQ ==，求PQ 的长．【答案】24 【分析】根据AP AQ BP BQ =＝32，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长. 解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，∵AB ＝10，∵AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10， ∵x ＝1，∵AP ＝6，BP ＝4. ∵AQ BQ ＝32，∵可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ， ∵1032y y +=， 解得y ＝20，∵PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．。
九年级数学 平行线分线段成比例 知识点精讲 教案 课件
九年级数学平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
1简介编辑平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。
[1]图12定理证明编辑设三条平行线与直线m 交于A、B、C 三点，与直线n 交于D、E、F 三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
3定理推论编辑过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
01平行线分线段成比例的基本事实1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图02平行线分线段成比例的基本事实的推论1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
成比例线段说课稿
成比例线段说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“成比例线段”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“成比例线段”是初中数学中的重要内容，它是在学生学习了线段的比的基础上进行的。
这一内容不仅是后续学习相似三角形的基础，也为解决实际问题提供了有力的工具。
本节课在教材中的地位和作用主要体现在以下几个方面：1、知识的承上启下：成比例线段是对线段比的进一步深化和拓展，同时也是相似三角形等知识的预备知识。
2、培养学生的数学思维：通过对成比例线段的探究和学习，有助于培养学生的观察、分析、归纳和推理能力。
3、解决实际问题：成比例线段在实际生活中有广泛的应用，如地图比例尺、建筑设计等。
二、学情分析授课对象是初中____年级的学生，他们已经掌握了线段的比的基本概念和运算，具备了一定的观察能力和逻辑思维能力。
但对于成比例线段这一较为抽象的概念，学生可能在理解和应用上存在一定的困难。
在教学中，要充分考虑学生的认知水平和心理特点，通过具体的实例、直观的图形，引导学生逐步理解和掌握成比例线段的概念和性质。
三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解成比例线段的概念，能判断四条线段是否成比例。
（2）掌握比例的基本性质，并能进行简单的应用。
2、过程与方法目标（1）通过观察、计算、比较等活动，培养学生的观察能力、分析能力和逻辑推理能力。
（2）经历探究比例的基本性质的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神。
（2）让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重难点1、教学重点（1）成比例线段的概念。
（2）比例的基本性质。
2、教学难点（1）判断四条线段是否成比例。
（2）灵活运用比例的基本性质进行计算和推理。
冀教版九年级上册数学《比例线段》教学说课复习课件
知识讲解
1.用样本估计总体
为了估计全校初中女生的平均身高,九年级(一)班8个课外学习小
组采用随机抽样的方法,分别抽取容量为25和100的样本,样本平均数
用 x25 和 x100 表示,结果(单位:cm)如下表:
小组 序号
1
2
3
4
5
6
7
8
x25 158.5 161.5 160.2 160.0 160.9 160.4 159.0 159.5
2.比例的基本性质
问题：如果线段a、b、c、d 成比例，即 a c ， 那么ad＝bc 吗？反过来，如果线段a、b、bc、dd
满足ad＝bc，那么这四条线段成比例吗？
如果线段a、b、c、d成比例，即
ac，
bd
那么ad=bc吗？
在等式两边同时乘bd，得ad=bc.
由此可得到比例的基本性质：
如果
ac bd
你发现这些形状相同 的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同 • 2、图形之间的“放大、缩小” • 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小”
• 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用“线 段长度的比”来描述图形的大小关系。
知识讲解
1.线段的比与成比例线段
如果选用同一个度量单位，量得两条线段AB,CD的长度分别
c d
,
那么 ad = bc
如果ad = bc（a 、 b、 c、d）都不等于0，那么 a c , bd
等比性质
如果 a c .... m (b d ... n 0)，
bd
n
那么 a c ... m b b d ... n a
23.4 用样本估计总体
XX
学习目标
九年级数学《3.2.1线段的比,成比例线段》学案 人教新课标版
3.2.1线段的比，成比例线段姓名【温故知新】（1）、什么是比？怎样表示比？说出比中各部分的名称。
（2）、什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分的名称。
【学习目标】 理解线段的比和成比例线段的定义、判定及应用。
【自学自测】 自学指导：认真阅读教材第64—65面，并完成知识梳理、基础过关、能力提升。
知识梳理：（1）线段之比就是它们 之比，线段a=3cm ，b=4cm ，则线段a 、b 的比表示为 ： ； 若a=m ，b=n ，则线段a 、b 的比表示为 ： 。
（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（3）“在相同时刻的物高与影长成比例”这句话的意义：“即在同一时刻，两物体高的比等于它们的 的比。
基础过关：（1）在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：3，则AP ：AB= ，AB ：PB= ；（2）若线段AB=0.3，CD=0.75，则AB ：CD= ；若AB=2m ，CD=25㎝，则AB ：CD= ；（3）AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是 ；（4）：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，甲、乙两地的实际距离是 ㎞；（5）：已知线段 a=3cm, b=4cm ,c=5cm, d=2.4cm.那么这四条线段是否成比例？（6）：已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=2。
求：BC AB 、ABAC 。
能力提升：已知三条线段的长分别为1cm ，3cm ，3cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段长能够组成一个比例式，也就是这四条线段是成比例线段。
课堂突破：要成功就要有突破！【讨论答疑】【课堂小结】1.你学会了：；2.存在问题：。
【当堂达标】必做题：1、若线段AB=0.5，CD=0.8，则AB：CD= ；若AB=1m ，CD=40㎝，则AB：CD= ；2、求下列线段的比值：（1）直角三角形斜边上的中线与斜边的比值等于；（2）三角形中位线与第三边的比值等于；（3）正方形的一边与它的一条对角线的比值等于。
成比例线段教学设计与反思.docx
《4.1 成比例线段》的教学设计学校科目数学设计者教学对象 九年级学生 教材版本 北师大版 设计时间课题（本学科 组确定的研 初中数学作业批改的几点建议究主题）一、教学内容分析(简要说明课题来源、学习内容、这节课的价值以及学习内容的重要性)教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求，理解并掌握比例 的基本性质及其简单应用。
学好本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学 习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
二、教学目标(从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度对该课题预计要达到的 教学目标做出一个整体描述) 1. 知识与技能：掌握两条线段的比和比例线段的概念，及比例的基本性质；2. 过程与方法：通过学生自主探索、探究总结出比例的基本性质，并运用性质进行简单的计算； 3. 情感态度与价值观：培养学生的数学应用意识，体会数学与社会的密切联系三、学情分析(说明学生在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备(学习起 点)，以及学生的学习风格、特点等。
最好说明教师是以何种方式进行学生特征分析，比如说是 通过平时的观察、了解，或是通过预测题目的编制使用等)大部分学生学习能力一般，甚至较差，极少部分学生有一定分析探究问题的能力，对于模仿学习较易 掌握，在成比例线段的学习之前，学生已经学习了形状相同的图形的概念，引导学生由形状相同的图 形再过渡到只是大小不同，从而引入新课线段的比，探索成比例线段及比例的基本性质及简单的运用。
四、教学策略选择与设计(说明本课题设计的基本理念、主要采用的教学与活动策略。
) 通过学生自主探索，师生共同形成性质结论，从而掌握比例的基本性质。
主要在教学过程 中采用学生活动探索为主的教学手段，从而得出结论，进而即时反馈，检测学生的掌握程 度，最后采用课堂批改作业，检查学生对知识的领会程度。
五、课前对学生的要求（目的让学生有目标性的学习）结合生活实际预习课本例题并思考例题中提出的问题，不懂之处做好标记六、教学重点及难点(说明本课题的重难点) 1.教学重点：比例线段的概念. 2.教学难点：根据具体问题发现等量关系，找出比例式． 七、教学过程(这一部分是该教学设计方案的关键所在，在这一部分，要说明教学的环节及所需 的资源支持、具体的活动及其设计意图以及那些需要特别说明的教师引导语。
河北省围场县棋盘山中学九年级数学下册《3.2.2 比例的基本性质 黄金分割》导学案(无答案) 新人教
【重点难点】 重点：比例的基本性质。
难点：黄金分割的运用。
【知识回顾】1．在比例尺为1:1000的地图上相距3cm 的A 、B 两地，求它们的实际距离？2．已知线段a=4cm,b=9cm,且a:c=c:b,求线段c 的长度？【定向学习】阅读教材，并完成课后练习和下列练习：1. 若（a-b ）:a=1:15,求a:b2. 已知8==d c b a ，求d dc b b a ++和的值？3. 若432c b a ==，求b a cb a -++的值？4. 若AB=a,C 是AB 上的黄金分割点，且AC 〉BC ，求BC 的长？【归纳整理】1. 比例的基本性质：若d c b a =，则ad=bc.若c b b a =，则b 是线段a,c 的比例中项。
2. 合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a +=+，dd c b b a -=-。
3. 等比性质：若,........nm d c b a === 则ba n db mc a =++++++............。
4. 连比性质：若a:b:c=m:n:e,则e c n b m a ==. 5.熟悉黄金分割中有关概念。
【检测训练】1．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________．2．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________．3．设实数x ，y ，z 使│x -2y│+（3x-z ）=0成立，求x ：y ：z 的值．4.若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且(1:7:2)(:)(:)-=-+-b c b a c a ,试判断△ABC 的形状。
5．人体的下半身（脚底到肚脐的长度）与身高的比例越接近0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美，某女士身高1.68米，下半身1.02米，她应选择多高的高跟鞋看起来更美？【学后反思】谈谈你对这节课的收获，疑惑或建议。
平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用
平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用广西桂林市灌阳县新街初级中学541604唐荣保随着中学新课改的不断推进,数学教学上,也一改以往"记定理,解死题"的"传统",开始重视培养学生灵活运用熟知的数学定理解决日常生活中实际问题的能力.教学不再是套公式,死运算的陈旧芝麻,而是融生活性,趣味性,技巧性于一体.下面以平行线等分线段与分线段成比例这两个初中数学中常用的简单定理为例,看看它们在解决生活实际问题中的应用.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.如图1所示:即已知直线,:,,J,若AB=BC,则DE=E定理的作用:可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.平行线分线段成比例定理:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.如图1所示:图11,J2,J3即已知直线,J,,,J,,,贝0AB:BC=DE:EF.定理的作用:可以用来证明同一直线上的线段成比例,可以等比例划分线段.上述两定理常用来解决近年出现的一些地形规划和均匀切割等要求学生利用尺规作图的生活实例题.正确理解和掌握定理,这一类题便迎刃而解,下面举例说明.例1正在修建的中山北路有一形状如图2所示的三角形空地需要绿化.拟从点A出发,将AABCB分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草.请你帮助规划出方案(保留作图痕迹,不写作法).点拨分析题意知应使以A为顶点,高为h的三角形面积相等,由三角形面积公式知应将底边BC三等分.过点作射线BM.BE:EF=FG.EEt}GCFFtGC,由平行线等分线段定理可得BE=EF=FC.作法:1.过点B作射线BM,在BM上顺次截取BE:EF=FG:2.连结GC;3.分别过点E,F作EE∥GC,FF∥GC,交BC于E,F;4.连结AE,AF;则△A的,/XAEF,AAFC为所求作的三角形.例2某工厂需将一块长50cm,宽40cm的长方形钢板ABCD精确地分成九个面积相等的小长方形,请用一把长60cm的刻度尺完成(保留作图痕迹),并说明理由.点拨由题意知须分别三等分钢板的长,宽,由平行线等分线段定理即可作出.作法:1.将一长60cm的直尺EF的两头分别放在4D,BC上;2.在钢板上分别点出EF的三等分点P,Q使EP=20ClTI,EQ=40cm;3.平移EF至EF,点出三等分点P,Q使EP=20cm,EQ:40cm;4.分别连结P,P,Q,Q作直线0,n;同理可作直线b,b.因此由直线n,o,b,b将长方形钢板精确地分成九等分(图3所示).例3两户人家分一块梯形稻田CABCD(如图4),一户两口人,另一户三口人,要求按人口数平均分配,并且所分得的稻田都要从与AD相邻的水渠引水灌溉,问应如何分./'/.,//,,/a',,譬≮Jp,lfD,,,a/?Q'i,,,,/6～,,,,b,,,图3,/,,,G,,^图中学数学杂志2010年第8期舅舅目缓蹴舅名舅舅配?要求精确作图(保留作图痕迹,不写作法),阐述分配方法的合理性.畏,,M',,.,～,CG图4点拨根据题意分析知两户人家所分得的田块是以AD为上底,BC下底,面积比为2:3的梯形, 由梯形的面积公式知在高为h的情况下需分别把AD,BC分成长度为2:3的两段,利用平行线分线段成比例定理即可作出.合理性:梯形ABCD的高为h,1,).s两口之家=÷×詈(AD+Bc)h,一1s三口之家=寺×÷(AD+Bc)h,.,故.s两口之家:S三口之家2:3.数学来源于生活,并且应用于生活.从上述三例可以看出,数学教学应朝着培养学生运用所学知识解决生活中实际问题的方向发展,而不应拘泥于繁琐的代数运算和几何证明.在大力提倡素质教育的今天,学生所学能为用,素质教育理念的真谛才能得到贯彻.作者简介唐荣保,男,广西桂林市人,1954年7月生, 中教一级.聚焦中考数学中的"课题学习"问题安徽蒙城县双涧中学233521张雷"课题学习"是全日制义务教育《数学课程标准(实验稿)》在"实践与综合应用"课程领域设置的全新的课程内容,帮助学生综合运用已有的知识和经验,经过自主探索和合作交流,解决与生活经验密切联系的,具有一定挑战性和综合性的问题,以发展学生解决问题的能力,加深学生对"数与代数", "统计与概率","空间与图形"内容的理解,体会各部分内容之间的联系.《课程标准》认为:数学本身就是一个过程,只有通过大量的数学活动,学生才能形成对数学的全面的认识.因此过程本身就是一个课程目标."课题学习"问题已经成为近年来各地中考命题的热点,值得关注.但实际教学中很多教师对这类问题却有无从下手之感,现结合近两年年中考试题举例说明一下这类问题的常见考查类型及解法,以期待对教学有实际帮助.1中考对"课题学习"的评价在中考中较为注重通过"重要数学活动经验" 和"数学基本思想"的考查来了解"课题学习"的教学情况.数学活动考查的主要方面包括:数学活动过程中所表现出来的思维方式,思维水平,对活动对象,相关知识与方法的理解深度;从事探究与交流的意识,能力和信心等;能否通过观察,实验,归纳,类比等活动获得数学猜想,并寻求证明猜想的合理性; 能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程.2中考对"课题学习"的考查呈现方式一般呈现的方式有:1.设置情境,探究结论,然后利用如探究出结论求解给出问题;2.设置多层次的问题,"暴露"数学活动过程;3.迁移活动过程中的思想方法,间接考查学生的数学活动过程;4.通过试题解答的结果,进行数学活动过程的考查;5.设计一些包含活动过程的问题,在活动中进行有关过程性目标的考查.2.1突出迁移应用《课程标准》强调"从学生已有的生活经验出49。
初中数学(北师大版)九年级-1成比例线段1(课件免费下载)
年级 九 学科 数学 备课人： 总排 节 月 日教学 内容成比例线段(一)教 学 过程设计5.议一议：如果a,b,c,d 四个数成比例，即a/b=c/d ，那么ad=bc 吗？反过来如果ad=bc ，那么a,b,c,d 四个数成比例吗？比例的基本性质 如果 = ,那么ad=bc 。
如果ad=bc(a,b,c,d 都不等于零)，那么 =6.例题1： 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a 的值应当是多少？ 二、课堂巩固1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是______2、一条线段的长度是另一条线段长度的53，则这两条线段之比是______3、已知a 、b 、c 、d 是成比线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则c=____4、如果y x 52=，那么y x=____5、已知a:b:c=2:3:4,且a+b+c=15，则a=___,b=___,c=___.三、回顾与思考这节课我们学习了哪些知识?你有什么收获?你有什么发现、探索?学生活动 学习 目标有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心；让学生巩固课堂上所学的知识。
让学生利用所学的知识来解决实际生活中的问题让学生巩固课堂上所学的知识。
重点理解线段比的概念及其求解。
难点求线段的比，注意线段长度单位要统一教 学 过 程 设 计一、新课讲解1、请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比AB:CD =m:n ,或写成nmCD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么k CDAB=,或AB=k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。
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C
O
A B
【定向学习】
阅读教材，收集知识点，并完成下列练习：
1. 线段a=2cm,线段b=3cm，则a:b=________.
2.若武汉至长沙的距离是500km,在地图上的距离是5cm,则这幅地图的比例尺是________ 。
3.下列各组线段是成比例线段的为________。
（1）1、2、3、4
（2）1 、6、3、2
（3）1.5、 2 、2.5 、3
（4）3、4、5、6
【归纳整理】
1.归纳本节的知识点：
2.如何断定四条线段成比例线段？
方法一：先将四条线段的长度从小到大排列，前两者之比是否等于后两者之比。
方法二：先将四条线段的长度从小到大排列，两端之积是否等于中间之积。
【检测训练】
1．已知线段a=2，b=3，c=5时，若a，b，c，d四条线段成比例，则d=_______．
2．若2a=3b，则（a-b）：（a+b）的值是________．
3．在线段A B上取一点P，使AP：PB=1：4，则AP：AB=_____，AB：PB=_______．
4．求下列各式中的x:
（1）3：x=6：x；
（2）5：2=（3-x）：x
5.Rt△ABC中,∠C=90°、AB=5,BC=5,求AB与AC的比值？
6．现有3条线段分别为5cm 、10cm、12cm，请你找出另外一条线段，使他们成比例线段。
【学习反思】
(请你写出来,与同学和老师说说)
1.本节课我的收获：
2.我的疑问（或建议）。