高中数学第三章导数及其应用3.4第1课时变化率问题导数的概念课件新人教A版

[尝试解答] (1)因为次品率 p＝4x3＋x32， 所以当每天生产 x 件时，有 x·4x3＋x32件次品， 有 x 1－4x3＋x32件正品． 所以 T＝200x·1－4x＋3x32－100x·4x3＋x32 ＝25·64xx＋－8x2(x∈N*)．
(2)T′＝－25·（x＋（32x）＋（8）x－2 16）， 由 T′＝0，得 x＝16 或 x＝－32(舍去)． 当 0<x<16 时，T′>0； 当 x>16 时，T′<0; 所以当 x＝16 时，T 最大， 即该厂的日产量定为 16 件，能获得最大盈利．
讲一讲
3．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利 200 元，如果生产出一件次品，则损失 100 元．已知该厂制造 电子元件过程中，次品率 p 与日产量 x 的函数关系是：p＝4x3＋x32 (x∈N*)．
(1)将该厂的日盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将 S 表示为 θ 的函数； (2)当绿化面积 S 最大时，试确定点 A 的位置，并求最大 面积． [尝试解答] (1)BM＝AOsin θ＝100sin θ， AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)． 则 S＝12MB·AB＝12×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
3
m2，此时 AB
＝150 m，即点 A 到北京路一边 l 的距离为 150 m.
(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边 形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用 变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、 体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必 须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由 简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆 分或组合，以便简化求值过程．
练一练 2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比， 已知在速度为 10 km/h 时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速 度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以多大的速度航行时， 能使每千米的费用总和最少？ 解：设燃料费 y＝kv3，因为当 v＝10 时，y＝6，∴k＝5300， ∴y＝5300v3.
函数
导数
[问题思考] 在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函 数在该点处取最值吗？
提示： 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在
该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应
最大值 ．
[课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？
(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应 取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为 h(cm)，底面边长为 a(cm)． 由已知得 a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值．
∴每千米总费用：S＝v15300v3＋96＝5300v2＋9v6， S′＝2350v－9v62. 令 S′＝0 得 v＝20， 当 v∈(0，20)时，S′<0； 当 v∈(20，＋∞)时，S′>0. ∴v＝20 km/h 是 S 的极小值点，也是最小值点， ∴v＝20 km/h 时，每千米的费用总和最少．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
[尝试解答] (1)由题设，隔热层厚度为 x cm，每年能源消
耗费用为 C(x)＝3xk＋5，再由 C(0)＝8，得 k＝40，
因此 C(x)＝3x4＋0 5.
而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件， 建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入 －成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
练一练
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售 量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝ x－a 3＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
提示： 要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆
柱的底面半径为
x，列出圆柱表面积
S＝2πx2＋1
000 x (x
＞0)，求 S 最小时，圆柱的半径、高即可．.
2．归纳总结，核心必记 (1)优化问题 生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、效率最高等 问题，这些问题通常称为优化问题． (2)解决优化问题的基本思路
(1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10（x－6）2 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 所以，当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时 间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据 f′(x) ＝0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后， 函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所 求函数的最小值．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令 S′＝0，
得 cos θ＝12或 cos θ＝－1(舍去)，
此时 θ＝π3 . 当 θ 变化时，S′，S 的变化情况如下表：
π 所以，当 θ＝ 3 时，S 取得最大值 Smax＝3 750
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2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和 外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热 层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系： C(x)＝3xk＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3，6)内的极大值 点，也是最大值点．
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等 于 42，即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品 所获得的利润最大．
1．本节课的重点是利用导数解决生活中的优化问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数解决面积、体积的最值问题，见讲 1； (2)利用导数解决成本最低(费用最省)问题，见讲 2； (3)利用导数解决利润最大问题，见讲 3. 3．在利用导数解决生活中的优化问题时，要注意函数的 定义域应使实际问题有意义，这也是本节课的易错点.
； (2)解决优化问题的基本思路是什么？
；
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1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广
场．如图，圆形广场的圆心为 O，半径为 100 m，并 与北京路一边所在直线 l 相切于点 M.点 A 为上半圆 弧上一点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B.市园林 局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为 S(单位：m2)，
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－（32x＋4050）2， 令 f′(x)＝0，即（32x＋4050）2＝6， 解得 x＝5，x＝－235(舍去)． 当 0≤x<5 时，f′(x)<0， 当 5<x≤10 时，f′(x)>0， 故 x＝5 是 f(x)的最小值点，
第 1 课时 变化率问题、导数的概念
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P101～P104 的内容，回答下列问题． 某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 ml 溶液的圆柱形易 拉罐．
(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ 提示： 计算出圆柱的表面积即可 ．
(2)如何制作使用材料才能最省？
练一练 1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角 形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P， 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F 在 AB 上，是被切去 的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x(cm)．
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0 得 x＝0(舍)或 x＝20. 当 x∈(0，20)时，V′＞0；当 x∈(20，30)时，V′＜0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.