2010北京市海淀高三一模数学(理科)试题及答案

北京市海淀区高三年级数学一模(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．在复平面内，复数z=(1-i)（i 是虚数单位）对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在同一坐标系中画出函数log ,,x a y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是 （ ）3．在四边形ABCD 中，,AB DC =且0AC AD =，则四边形ABCD 是 （ ）A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,。

若以圆点O 为极点，x 轴半轴为极轴建立坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ） A ．(1,)3π-B ．4(2,)3πC ．(2,)3π-D ．4(2,)3π-5．一个体积为 棱柱的左视图的面积为 （ ）A ．B ．8C ．D ．126．已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该 等差数列的公差为 （ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 （ ） A ．1- B ．1 C ．2D ．12班级 姓名8．已知数列1212:,,...,(...,3)n n A a a a a a a a n ≤<<<≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题： ①数列0，1，3具有性质P ； ②数列0，2，4，6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列123,,a a a 123(0)a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a +=其中真命题有 （ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100名学生，统计他们每天平均学习时间，绘成 频率分布直方图（如图）。

则这100名同学中学习 时间6~8小时的人数为 。

10．如图，AB 为O 的直径，且AB=8，P 为OA 的中点，过点P 作O 的弦CD ，且:3:4,CP PD =则弦CD的长度为 。

11．给定下列四个命题： ①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真；③若a b <，则22am bm <； ④若集合AB A =，则A B ⊆。

其中真命题的是 （填上所有正确命题的序号）12．在二项式25()a x x-的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 。

13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等要三角形，若1||10PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的离心率的取值范围为 。

314．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1},A x y x y =+≤{(,)|4,0,340}B x y x y x y =≤≥-≥则：（1）点集1111{(,)|3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为 。

（2）点集12121122{(,)|,,(),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=++∈∈所表示的区 域的面积为 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程； 15．（本小题满分13分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，(0,||)ωϕπ><部分图像如图所示。

（I ） 求,ωϕ的值； （II ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间。

16．(本小题满分13分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（I ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X(元)． 求随机变量X 的分布列和数学期望。

17．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，112AA AC AC ===，AB BC =，且,AB BC O ⊥为AC 中点。

（I ） 证明：1AO ⊥平面ABC ； （II ） 求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值； （III ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置。

18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x a x =+，其中a 为常数，且1a ≤-。

（I ） 当1a =-时，求()f x 在2[,]e e （ 2.718e = 28...）上的值域； （II ） 若()1f x e ≤-对任意2[,]x e e ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

519．（本小题满分13分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||F F =2点3(1,)2在该椭圆上。

（I ） 求椭圆C 的方程；（II ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AF B 的面积为7，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221, 12 2n n n a n a n a n -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数，为奇数2,3,4,...n = （I ） 求567,,a a a 得值； （II ）设212n n n a b -=，试求数列{}n b 的通项公式； （III ） 对任意的正整数n ，试讨论n a 与1n a +的大小关系。

7海淀区高三年级数学（理）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④ 12．1 13．12(,)35 14．π；18π+.三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， ………………2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π………………6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =………………9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈.……………12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.……………13分16．（本小题满分13分）解：设指针落在A ,B ,C 区域分别记为事件A ,B ,C .则111(),(),()632P A P B P C ===. ………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.111()()632P P A P B ∴=+=+=………………6分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12. （Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………………7分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯= ………………10分………………12分其数学期望115110306090120404318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .………13分 17． （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为11A A AC =，且O 为AC 的中点， 所以1AO AC ⊥. ………………1分又由题意可知，平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且1AO ⊂平面11AA C C ， 所以1AO ⊥平面ABC . ………………4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，112,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1,1,2OB AC ∴== 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0)O A A C C B - 则有：11(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0).AC AA AB =-==………………6分 设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n，则有10000AA y x y AB ⎧⎧⋅==⎪⎪⇔⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩n n ，令1y =， 得1,x z =-= 19所以(1,1,=-n . ………………7分 11121cos ,|||A C A C A C ⋅<>==n n |n ………………9分因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C 所成锐角互余，所以sin θ=………………10分 （Ⅲ）设0001(,,),,E x y z BE BC λ==………………11分即000(1,,)(1x y z λ-=-，得00012x y z λλ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩所以(1,2),E λλ=-得(1,2),OE λλ=- ………………12分 令//OE 平面1A AB ，得=0OE ⋅n ，………………13分即120,λλλ-++-=得1,2λ=即存在这样的点E ，E 为1BC 的中点.………………14分18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1a =-时，()ln ,f x x x =-得1()1,f x x '=-………………2分令()0f x '>，即110x->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，………………4分而(e)e 1f =-，22(e )e 2f =-，所以函数()f x 在2[e,e ]上的值域为2[e 1,e 2]--………………6分（Ⅱ）由()1,a f x x '=+令()0f x '=，得10,ax+=即,x a =-当(0,)x a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)a -上单调递减；当(,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(,)a -+∞上单调递增； ……………7分 若1e a ≤-≤，即e 1a -≤≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e )e 1f ≤-即可，所以有2e 2e 1a +≤-，即2e e 12a -+-≤而22e e 1(e 3e 1)(e)022-+---+--=<，即2e e 1e 2-+-<-，所以此时无解.………………8分若2e e a <-<，即2e e a ->>-，易知函数()f x 在[e,]a -上为减函数，在2[,e ]a -上为增函数， 要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f ≤-⎧⎨≤-⎩，即21e e 12a a ≤-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩， 由22e e 1e e 1(1)022-+--++--=<和222e e 1e e 1(e )022-+-+---=>得22e e 1e 2a -+--<≤.………………10分若2e a -≥，即2e a ≤-，易得函数()f x 在2[e,e ]上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x ≤-对2[e,e ]x ∈恒成立，只需(e)e 1f ≤-即可， 所以有e e 1a +≤-，即1a ≤-，又因为2e a ≤-，所以2e a ≤-.……………12分 综合上述，实数a 的取值范围是2e e 1(,]2-+--∞.……………13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ..……………1分532422a ∴=+=..……………3分2,a ∴=又1c = 2413b =-=，……………4分故椭圆的方程为22143x y +=. .……………5分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意..……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=， .……………7分11显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k -+=-⋅=++ .……………8分又||AB ==即22212(1)||3434k AB k k+==++， .……………9分 又圆2F的半径r ==.……………10分所以2221112(1)||22347AF Bk S AB r k ∆+==⨯==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±所以，r ==.……………12分故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=. .……………13分（Ⅱ）另解：设直线l 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t +=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -==243t =+.……………9分又圆2F的半径为r ==，.……………10分所以21212121||||||27AF BS F F y y y y ∆=⋅⋅-=-==，解得21t =，所以r==……………12分故圆2F的方程为：22(1)2x y-+=. .……………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵1a=，21121a a=+=，31222a a=+=，42123a a=+=，∴52325a a=+=；63125a a=+=；73428a a=+=. ………………3分（Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n，都有：12121111221222n nnn nn na ab b+--++++===+，∴112n nb b+-=.∴数列{}n b是以121112ab-==为首项，12为公差的等差数列.∴12nnb-=. …………………………………………………………7分（Ⅲ）对于任意的正整数k，当2n k=或1,3n=时，1n na a+<；当41n k=+时，1n na a+=；当43n k=+时，1n na a+>. ……………………………………8分证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a====可知1,3n=时，1n na a+<；其次，对于任意的正整数k，2n k=时，()()122112120n n k k k ka a a a a k a k++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k=+时，14142n n k ka a a a+++-=-[来源:学#科#网Z#X#X#K]()()()()221221212122222212212k kk kk kk a ak a ak a k a++=++-+=+-=++-++=所以，1n na a+=. …………………10分43n k=+时，14344n n k ka a a a+++-=-13()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>.综上可知：结论得证.…………………12分 对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下：1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，满足（＊）式。