数字滤波器(DF)

N k =1
z
−1
x' (n) = ∑ak x' (n − k) + x(n)
y(n) = ∑bk x' (n − k)
k =0 M
对 上 式 行 变 ： 以 两 进 Z 换 X ' (z) = X ' (z)∑ak z
k= 1 M N −k
+ X (z)
Y(z) = X ' (z)∑bk z−k
H(Z) =
N1 N2
∑1−c Z ∑(1− d Z
k =1 k k =1 k
Ak
+ −1
Bk (1− gk Z −1)
−1
* )(1− dk Z −1)
+
M −N k =0
∑
Gk Z −k
其中， A , Bk , gk , ck , Gk k 当M〈N时，不包含
M −N k =0
* 均为实数，dk 与 dk 复共轭；
β
2[
N ] 2
Z−1
特点：每节结构可控制一对零点。 所需系数 多，乘法次数也多。
y(n) = x(n) ⊗h(n) = x(n) ∗h(n),0 ≤ n ≤ N1 + N2 − 2
由卷积定理得Y（k）=X（k）H（k） 所以有
3、频率抽样型 从略 4、快速卷积结构 x 如果， (n) 的长为N1 ，h（n）的长为N2。 将 x(n) 补L-N1个零值点，h（n）补L-N2零值点， 只要L ≥N1+ N2-1,就有
−k
=1 = A kN1
∏(1− p z )∏(1− q z
−1
k k
M1
M2
−1
)(1− qk z )
∗ −1
∗
−1
∏(1−c z )∏(1− d z
−1
k k
k =1 N2
−1
)(1− dk z )
k =1
k =1
其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭 零点，dk ，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2
k =0
因 ， ' (z) = 此 X
X (z) 1− ∑ak z
k= 1 M N −k
Y(z) H(z) = = X (z)
bk z−k ∑ 1− ∑ak z
k= 1 k =0 N −k
3、级联型 先将系统函数按零、极点进行因式分解
M
H(Z) =
∑b z
k
−k
1− ∑ak z
k =1
k =0 N
Gk Z −k 项；M=N时，该项为G。 ∑
当M=N时，将两个一阶实极点合为一项，将共 轭极点化成实系数二阶多项式，H（Z）可表为
[( N+1) / 2]
H(Z) = G0 +
∑
k =1
γ 0k +γ1k Z −1 = G0 + −1 −2 1−α1k Z −α2k Z
[( N+1) / 2]
∑H (Z)
1+ β1k z + β2k z H(z) = A∏ = A∏Hk (z) −1 −2 k 1−α1k z −α2k z k
−1 −2
当（M=N=2）时
1+ β11z + β21z H(z) = A −1 −2 1−α11z −α21z
−1
−2
x(n)
A
B
y(n)
−1
α11 Z
Z
β11 β21
α21
∑bkx(n − k)
N
k =1
∑ ak y(n − k)
2直接 型（正准型 ） 直接II型 直接
x(n)
x' (n)
b0
y(n)
x(n)
b0
y(n)
b1
a
a
1
z z
−1 −1
z
z
−1
b1 b2
a
a
1
z z
−1 −1
−1
2
2
b2
bM−1
bM−1
aN−1
z z
−1
−1
bM
aN−1 z−1 bM
aN
aN
X (e jω )
H(ejω)为矩形窗时 为矩形窗时 的情形
0
H(e jω )
ωc
π
ω
0
Y(ejω )
ωc
π
ω
0
ω
c
π
ω
二、数字滤波器的系统函数与差分方程
1、系统函数
M
Y(z) H(z) = = X (z)
∑b z
k
−k
1− ∑ak z
k =1
k =0 N
−k
X(z)
H(z)
Y(z)
2、差分方程 对上式进行 Z反变换，即得
h(N-2)
h(N-1)
y(n)
用转置定理可得另一种结构
Z
−1
Z
−1
Z
h(N-3)
−1
Z
−1
y(n)
x(n)
h(N-1)
h(N-2)
h(2)
h(1) h(0)
2、级联型 将H（Z）分解为实系数二阶因子的乘积形式
H(Z) = ∑h(n)Z
n=0
N−1
−n
= ∏(β0k + β1k Z + β2k Z )
N M k k k =0
y(n) =
∑a y(n − k) + ∑b x(n − k)
k =1
3、滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列x （n）进行一定的运算操作。 从而得到输出序列 y(n) 实现滤波从运算上看,只需三种运算： 加法、单位延迟、乘常数。 因此实现的方法有两种： （1）利用通用计算机编程，即软件实现; （2）数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
k k =1
当N为奇数时，包含一个一阶节，即
α2k = γ1k = 0
例：M=N=3时，为奇数，故
α21 = γ11 = 0
γ 02 +γ12Z −1 H(Z) = G0 + + = H1(z) + H2 (z) + H3 (z) −1 −2 −1 1−α11Z 1−α12Z +α22Z
γ 01
所以：
再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子， 则得
H(z) = A
(1−pk z−1)∏(1+β1k z−1+β2k z−2) ∏
M1 M2 k=1 N1
(1−ck z−1)∏(1−α1k z−1−α2k z−2) ∏
k=1 k=1
k=1 N2
为了方便，分子取正号，分母取负号；这样，流图上 的系数均为正。 最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将 一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有
§ 5-1 数字滤波器结构的表示方法
一. 数字滤波器的概念 滤波器： １.滤波器： 滤波器 指对输入信号起滤波作用的装置。
h(n)
y(n) = x(n) ∗ h(n) ,
y(n)
对其进行傅氏变换得: 对其进行傅氏变换得
Y(e jω) = X (e jω) ⋅ H(e jω)
2、当输入、输出是离散信号， 滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h（n）时， 这样的滤波器称作数字滤波器。
§5-2 无限长单位冲激响（IIR）滤波器的
基本结构
一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应h（n）是无限长的。 2、系统函数H（z）在有限Z平面（ 0 < Z < ∞ ） 上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。
二、基本结构 1、直接I型 （1）系统函数
M
Y(z) H(z) = = X (z)
例如，
y(n) = a1 y(n −1) + a2 y(n − 2) + b0 x(n)
b0 1
2
y(n)
Z−1
x(n) 6
y (n )
a1y(n −1 + a2y(n − 2) )
7
5
a2y(n − 2)
a1
a1y(n-1)
3 4
a2
Z−1 y(n − 2)
y(n −1)
和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：7
y(n) = a1 y(n −1) + a2 y(n − 2) + b0 x(n)
x(n) b0 b0x(n) y(n)
Z −1
a1
a1 y(n −1)
y(n −1)
Z −1
a2 y(n − 2)
a2
y(n − 2)
2、信号流图法 三种基本的运算： 单位延时：
Z
乘常数：
−1
a
相加：
这种表示法更加简单方便。
Y(z) = β01 + β11 z−1 + β 21 z−2 X (z)
y(n) = β01 x(n) + β11 x(n −1) + β21 x(n − 2)
一般情况： 一般情况：
β01 β02
−1
β
−1
0[
N ] 2
y(n)
Z
−1
x(n)
β11 Z
β12 Z
β
N 1[ ] 2
β21
Z−1
Z−1 β22
−1
−2
−1
−2
−1
−2
x(n)
A
y(n)
α11
Z
Z
−1
β11
α12
Z-1