认识抛物线、顶点与对称轴
数学人教版九年级上册认识抛物线、顶点与对称轴
二次函数y=ax 2的图象与性质学习目标：1、会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、探索、归纳二次函数y=ax 2的图像特点与性质。
学习重点：1、画出二次函数y=ax 2 的图象；了解抛物线的含义。
2、根据图象观察、分析出二次函数y=ax 2 的性质；学习难点：用描点法准确地的画出函数y=ax 2的图象，掌握其性质特征。
一、复习回顾：1、下列函数中，是二次函数的有（ ） A ．y=x+1 B ．y=1xC ．y=-6xD ．y=12x 22、一次函数1+=x y •的图象是一条_________．3、画函数图象的一般步骤是_______、__________、_______二、研读P29-P32二次函数y=ax 2 的图象与性质。
三、前置探究：活动一：认识抛物线、顶点与对称轴1、描点法画函数2x y =的图象观察图象,回答问题：（1）图象是一条__________。
（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点？ （3）图象与对称轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? （4）当x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？能举例说说现实生活中的抛物线吗？____________________________________________活动二：动手画图，探寻异同1、请用画函数图象的方法画出函数2212y x y x ==与与的图象.（在同一个平面直角坐标系）☆观察这两个图象，与函数2x y =的图象对比：共同点：______________________________________________________________________________________________________。
不同点：________________________________________________________________________。
高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
求抛物线顶点的公式
求抛物线顶点的公式抛物线是数学中常见的曲线形式，它由一组二次方程定义。
在许多实际问题中，我们需要知道抛物线的顶点坐标，这对于分析和解决问题非常重要。
本文将介绍如何求解抛物线的顶点，并给出相应的公式。
让我们来看一个一般的抛物线方程：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是常数，x和y分别表示抛物线上的点的横坐标和纵坐标。
要求解抛物线的顶点，我们需要找到抛物线的最高点。
由于抛物线是一个开口朝上或朝下的曲线，它的顶点必然位于抛物线的对称轴上。
对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)。
通过将这个x值代入原方程，我们可以求得对应的y值。
这个y值就是抛物线的顶点的纵坐标。
举个例子来说明：假设我们有一个抛物线方程为y = 2x^2 - 4x + 1。
我们可以通过以下步骤求解它的顶点：1. 计算对称轴的横坐标：x = -(-4) / (2 * 2) = 1。
2. 将x = 1代入方程，求得对应的y值：y = 2 * 1^2 - 4 * 1 + 1 = -1。
3. 因此，这个抛物线的顶点坐标为(1, -1)。
这就是求解抛物线顶点的公式。
我们可以总结为以下步骤：1. 计算对称轴的横坐标：x = -b / (2a)。
2. 将对称轴的横坐标代入原方程，求得对应的纵坐标：y = ax^2 + bx + c。
需要注意的是，当抛物线开口朝下时，顶点的纵坐标是抛物线的最大值；当抛物线开口朝上时，顶点的纵坐标是抛物线的最小值。
除了顶点，我们还可以通过顶点求得抛物线的焦点和直径。
焦点是位于对称轴上与顶点等距离的点，它的纵坐标可以通过以下公式求得：y = c - (b^2 - 1) / (4a)。
直径是焦点与顶点之间的距离的两倍。
总结起来，抛物线顶点的公式为：1. 对称轴的横坐标：x = -b / (2a)。
2. 顶点的纵坐标：y = ax^2 + bx + c。
3. 焦点的纵坐标：y = c - (b^2 - 1) / (4a)。
高二抛物线所有知识点
高二抛物线所有知识点抛物线是数学中的一个重要概念，高二学生在学习数学时会接触到抛物线的相关知识点。
下面将详细介绍高二抛物线的所有知识点。
一、概述抛物线是指平面上一个动点到定点的距离与该点到一条定直线的距离之差等于常数的点的集合。
抛物线的形状呈现出一条弧线，它由定点（焦点）和定直线（准线）唯一确定。
二、抛物线方程1. 标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标可通过完成平方来求得，顶点的横坐标为：x = -b/2a，纵坐标为：y = f(-b/2a)。
对称轴为与抛物线关于顶点对称的直线。
3. 焦点坐标和准线方程焦点的横坐标为：( -b/2a, c - b^2/4a )，纵坐标为：(c - b^2/4a)。
准线方程为：x = -b/2a + p，其中p为焦距。
4. 直径和焦半径直径是抛物线上通过焦点且垂直于准线的一条直线，焦半径是从焦点到抛物线上一点的线段。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于对称轴对称的，也即它的两侧是完全对称的。
2. 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值；当a<0时，抛物线开口向下，且在顶点处取得最大值。
3. 判别式和图像类型判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断抛物线的图像类型：Δ > 0 时，抛物线与x轴交于两点，图像开口向上或向下；Δ = 0 时，抛物线与x轴交于一点，图像开口向上或向下，顶点处有一个最值；Δ < 0 时，抛物线与x轴无交点，图像开口向上或向下。
四、抛物线的平移抛物线f(x)的平移变换为f(x - h) + k，其中(h, k)为平移的距离。
五、抛物线与实际应用抛物线在生活中有广泛的应用，例如：桥梁设计、喷泉设计、抛物面反光镜、运动物体的轨迹等。
六、典型题目解答1. 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
解：已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，通过平方完成可以得到标准方程。
高三抛物线的知识点归纳
高三抛物线的知识点归纳一、抛物线的定义及方程抛物线是二次函数的图像，它的一般方程可以表示为 y = ax^2 + bx+ c。
在这个方程中，a、b、c 是常数，其中 a 决定抛物线的开口方向和大小，b 影响抛物线沿着 x 轴的位置，而 c 则决定了抛物线与y 轴的交点。
二、抛物线的性质1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b/(2a)。
3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式(-b/(2a), -Δ/(4a)) 计算得出，其中Δ = b^2 - 4ac 称为判别式。
4. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义一个焦点和一条准线。
焦点位于距离顶点 a/(4a) 的位置，准线则是与抛物线对称轴平行且距离顶点 a/(2a) 的直线。
三、抛物线的应用1. 物理现象：在物理学中，抛物线常用于描述物体在重力作用下的抛射运动轨迹。
2. 工程建筑：在建筑设计中，抛物线形状常用于拱桥、穹顶等结构，以实现良好的力学性能。
3. 艺术设计：在艺术领域，抛物线因其优美的曲线被广泛应用于雕塑和装饰品的设计。
四、解题技巧1. 确定方程：根据题目条件确定抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。
2. 计算顶点：通过公式 (-b/(2a), -Δ/(4a)) 快速求出抛物线的顶点坐标。
3. 判断交点：通过代入 x 值或 y 值，可以求出抛物线与 x 轴或 y轴的交点。
4. 应用对称性：利用抛物线的对称性简化计算，特别是在求解与抛物线相关的最值问题时。
五、例题分析例1：已知抛物线 y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴方程。
解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*2*3 = 16 - 24= -8。
由于Δ < 0，该抛物线与 x 轴无交点。
抛物线性质和知识点总结
抛物线性质和知识点总结1. 抛物线的定义和基本形式抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c（a≠0）的曲线。
其基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，称为抛物线的系数。
a决定抛物线的开口方向，当a>0时抛物线开口朝上，当a<0时抛物线开口朝下；b决定抛物线的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
2. 抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或者最高点（开口向下），对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
抛物线的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的焦点和直线方程抛物线的焦点是到抛物线上所有点的距离到抛物线的对称轴的距离相等的点，焦点的坐标为(-b/2a, 1-1/4a)。
抛物线的直线方程是y=mx+n，其中m和n是常数，直线与抛物线有两个交点。
当直线与抛物线相切时，两个交点重合。
当直线与抛物线没有交点时，这个抛物线不与这条直线相交。
4. 抛物线的焦距和离心率抛物线的焦距是抛物线的顶点到焦点的距离，焦距的大小是2|a|；抛物线的离心率是焦距与顶点到焦点的距离的比值，离心率的大小是1。
5. 抛物线的性质抛物线的性质是抛物线的特征，对于抛物线y=ax^2+bx+c，它的性质包括：a）抛物线的开口方向是由a的符号决定的，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b）抛物线的顶点在对称轴上；c）焦点在对称轴上的顶点的上方，离心率等于1；d）与y轴的交点是常数项c；e）抛物线的焦点到直线方程的距离等于抛物线到直线方程的对称轴的距离。
6. 抛物线的知识点抛物线的知识点是在解决抛物线问题时需要掌握的知识，包括：a）抛物线的标准形式、一般形式、顶点形式和焦点形式的相互转化；b）抛物线的顶点、对称轴、焦点和直线方程的求法；c）抛物线与直线的交点和相切点的求法；d）抛物线的焦距和离心率的求法；e）抛物线的方程的实际应用问题。
讨论抛物线的对称性
讨论抛物线的对称性抛物线是一个经典的二次曲线，其对称性在数学中有着重要的地位。
本文将深入探讨抛物线的对称性特征，包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。
一、顶点对称抛物线的顶点是其最高点（对于开口向上的抛物线）或最低点（对于开口向下的抛物线），而这个顶点是整个曲线的对称中心。
具体来说，如果抛物线的顶点坐标为（h，k），则曲线上任意一点P（x，y）关于顶点（h，k）对称的另一点为P'（x'，y'）。
满足以下关系：x' = 2h - xy' = 2k - y这就意味着通过顶点将抛物线分成两个对称的部分。
二、焦点对称抛物线还有一个重要的对称性特征是焦点对称。
焦点是指确定抛物线形状的关键点，我们用字母F来表示。
对于开口向上的抛物线，焦点位于顶点的下方，对于开口向下的抛物线，焦点位于顶点的上方。
焦点对称指的是曲线上任意一点P到焦点F的距离与点P'到焦点F的距离相等，即PF = PF'根据抛物线的性质可知，焦点到定点的距离等于焦半径，即 PF =PD（D为抛物线的顶点到直线y=k的距离）。
三、轴对称抛物线还具有轴对称的性质，其中轴称为对称轴。
对称轴是垂直于焦半径、通过顶点的一条直线。
具体来说，如果抛物线开口向上，对称轴是水平线 y = k；如果抛物线开口向下，对称轴是水平线 x = h。
轴对称指的是关于对称轴对抛物线进行镜像对称，即曲线上任意一点P关于对称轴的镜像点P'，满足以下关系：P'（x，y）= P（x'，y'），其中 x = 2h - x'，y = y'经过以上对抛物线的对称性特征的讨论，我们可以看出抛物线的特殊形状与其对称性密不可分。
这些对称性特征可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并在解决实际问题时提供重要的数学工具。
总结：抛物线的对称性主要包括顶点对称、焦点对称和轴对称三个方面。
顶点对称以抛物线的顶点为中心，将曲线分为两个对称部分；焦点对称表明曲线上任意一点到焦点的距离相等；而轴对称以对称轴为中心，实现曲线的镜像对称。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结1. 定义- 抛物线是二次函数的图像，具有一个顶点和一个对称轴。
- 它是平面上所有与一个固定点（焦点）和一条固定直线（准线）距离相等的点的集合。
2. 标准方程- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k其中 (h, k) 是顶点的坐标，a 是抛物线的开口系数。
- 一般形式：y = ax^2 + bx + c其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
3. 图像特征- 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，开口向下。
- 对称性：抛物线关于其对称轴（垂直于 x 轴的直线）对称。
- 焦点和准线：焦点是抛物线上所有点到准线距离的最小值点，准线是与抛物线焦点等距的一条直线。
4. 焦点和准线的性质- 焦点：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，焦点坐标为 (h, k+ 1/(4a))。
- 准线：对于标准方程 y = a(x - h)^2 + k，准线的方程为 y =k - 1/(4a)。
5. 顶点- 顶点是抛物线的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
- 顶点坐标可以通过方程的顶点形式直接获得。
6. 对称轴- 对称轴是一条垂直线，其方程为 x = h。
7. 抛物线的变换- 水平变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上平移来改变位置。
- 垂直变换：抛物线可以通过在 x 或 y 方向上缩放来改变大小。
8. 应用- 物理：抛物线运动（如物体在重力作用下的抛射运动）。
- 工程：建筑设计中的拱形结构。
- 经济学：成本和收益分析中的收益最大化问题。
9. 求导与极值- 对于一般形式 y = ax^2 + bx + c，求导得到 y' = 2ax + b。
- 顶点处的导数为零，即 y'(h) = 0，这是找到顶点的方法。
10. 抛物线与直线的交点- 通过解方程组 {y = ax^2 + bx + c, y = mx + n} 可以找到抛物线与直线的交点。
教案抛物线的几何性质
抛物线的几何性质教学目标：1. 理解抛物线的定义和基本性质；2. 学会如何绘制和识别抛物线；3. 掌握抛物线的焦点、准线和顶点等几何性质；4. 能够应用抛物线的几何性质解决实际问题。
教学内容：第一章：抛物线的定义与方程1.1 抛物线的定义1.2 抛物线的标准方程1.3 抛物线的开口方向与焦距第二章：抛物线的绘制与识别2.1 抛物线的绘制方法2.2 抛物线的识别方法2.3 抛物线的对称性第三章：抛物线的焦点与准线3.1 焦点与准线的定义3.2 焦点与准线的关系3.3 焦点与准线的性质第四章：抛物线的顶点与对称轴4.1 顶点的定义与性质4.2 对称轴的定义与性质4.3 顶点与对称轴的关系第五章：抛物线的切线与法线5.1 切线的定义与性质5.2 法线的定义与性质5.3 切线与法线的关系教学过程：一、引入新课1. 通过展示一些实际生活中的抛物线现象，引发学生对抛物线的兴趣；2. 引导学生思考抛物线的特点和性质，激发学生的探究欲望。
二、教学内容的讲解与演示1. 使用PPT或板书，讲解抛物线的定义与方程，并通过图形进行演示；2. 讲解抛物线的绘制与识别方法，引导学生进行实践操作；3. 通过示例，讲解焦点与准线的性质，并引导学生进行实际计算；4. 讲解顶点与对称轴的性质，并引导学生进行实际计算；5. 讲解切线与法线的性质，并引导学生进行实际计算。
三、课堂练习与讨论1. 布置一些有关抛物线几何性质的练习题，让学生独立完成；2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和解题方法；3. 邀请学生上台展示和讲解自己的解题过程，给予肯定和指导。
四、总结与拓展1. 对本节课的教学内容进行总结，强调重点和难点；2. 提出一些与抛物线几何性质相关的拓展问题，激发学生的思考；3. 鼓励学生在课后进行进一步的探究和深入学习。
教学评价：1. 通过课堂讲解、演示和练习，评价学生对抛物线几何性质的理解程度；2. 通过课堂讨论和展示，评价学生的合作能力和表达能力；3. 通过课后拓展问题和作业，评价学生的探究能力和深入学习的能力。
抛物线的基本知识点
抛物线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
高中数学抛物线的顶点和对称轴
高中数学抛物线的顶点和对称轴
二次函数的图象是一条抛物线，这条抛物线是轴对称图形，其顶点的横坐标为，对称轴是直线，可见，对称轴是经过顶点且垂直于x轴的一条直线。
当时，方程有不相等二实数根和，相应的抛物线与x轴有两个不重合的交点和。
而对称轴恰为线段AB 的垂直平分线。
这是因为。
换言之，在这种情况下，对称轴方程也可以改写为。
例1、已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（7，0），顶点为M，且△MAB是等腰直角三角形，求抛物线的解析式。
分析：设与是抛物线图象上的两点，显然直线AB//x轴。
此时抛物线对称轴方程为。
这一点很容易证明。
A、B在x轴上时是一种特殊情况。
解析：由抛物线的对称性知MA=MB，并且。
对称轴为。
△MAB为等腰直角三角形，所以斜边AB上的高即斜边上的中线，则高为
顶点M的坐标为（4，3）或（4，-3）。
当M（4，3）时，设，将A（1，0）代入，求得。
这时，
当M（4，-3）时，同理可得。
这时。
例2、已知不等式对于任何实数x都成立，且抛物线经过和
两点，抛物线的顶点为C，且△ABC是等边三角形，求抛物线的解析式。
解析：成立，说明且，抛物线在x轴下方，且与x轴无交点。
由点A与点B的纵坐标相等，得对称轴方程为
，线段AB之长为4+2=6。
由△ABC为正三角形，可求得AB边上的高为。
因为抛物线顶点在x 轴下方，故坐标为。
设解析式为。
将代入可求得。
初中抛物线知识点总结
初中抛物线知识点总结一、基本概念1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它具有和直线对称的性质。
抛物线上的每个点到焦点的距离和到直线的距离相等。
2. 抛物线的方程：一般式为y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
3. 抛物线的焦点和直线的关系：抛物线的焦点到直线的距离与焦点到抛物线上的点的距离相等。
二、抛物线的性质1. 定义域和值域：抛物线的定义域为实数集，值域为从最小值开始一直到无穷大。
2. 对称性：抛物线关于y轴对称，焦点关于抛物线的对称轴垂直于x轴的直线对称。
3. 最值点：抛物线的最小值为其顶点的纵坐标，最大值为无穷大。
4. 平行于坐标轴：抛物线在y轴上的交点称为焦点，x轴上的交点称为零点。
三、抛物线的常见类型1. 向上开口的抛物线：当a>0时，抛物线向上开口，顶点为最小值点。
2. 向下开口的抛物线：当a<0时，抛物线向下开口，顶点为最大值点。
3. 零点不相等的抛物线：当b^2-4ac>0时，抛物线零点不相等。
4. 零点相等的抛物线：当b^2-4ac=0时，抛物线零点相等。
5. 零点虚数的抛物线：当b^2-4ac<0时，抛物线零点为虚数。
四、抛物线的应用1. 物体的抛射运动：当物体以一定的初速度和角度抛出时，其运动轨迹为抛物线。
2. 抛物线天花板：在建筑设计中，由于抛物线的稳定性和美观性，抛物线作为天花板的设计元素被广泛应用。
3. 抛物线反射面镜：抛物线反射面镜是一种能够将光线聚焦并反射的镜子，适用于太阳能发电和望远镜等领域。
4. 抛物线型的道路设计：道路设计中经常会用到抛物线的形状，在坡度和曲线的设计中有广泛应用。
五、常见问题分析1. 已知抛物线的焦点和顶点，求抛物线的方程。
解法：由于抛物线的顶点坐标为(x0, y0)，焦点坐标为(x1, y1)，则抛物线的方程为(y-y0)=a(x-x0)^2，带入焦点坐标可求得a的值，从而确定抛物线的方程。
2. 已知抛物线的方程，求抛物线的焦点和顶点坐标。
二次函数的像抛物线的顶点对称轴与焦点
二次函数的像抛物线的顶点对称轴与焦点二次函数是一种常见的二次多项式函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c的形式，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解析几何和物理学中。
本文将重点介绍二次函数的特性，即像抛物线的顶点、对称轴与焦点。
一、二次函数的顶点在二次函数y=ax²+bx+c中，顶点可以通过以下公式求得：x = -b/2ay = c-b²/4a顶点表示了二次函数的最值，即抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标x值由公式x=-b/2a给出。
而顶点的纵坐标y值由公式y=c-b²/4a 给出。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
二、二次函数的对称轴对称轴是指抛物线的几何中心线，它对抛物线进行对称分割。
对称轴的方程可以通过顶点的横坐标x值得到，即为x=-b/2a。
对称轴与y 轴垂直，是抛物线的对称轴线。
三、二次函数的焦点焦点是抛物线与其对称轴的交点，也是抛物线的几何中心。
焦点的具体位置由以下公式给出：焦点的横坐标x = - b / 2a焦点的纵坐标y = (4ac - b²) / 4a四、举例说明假设有一个二次函数y=2x²-4x+1，我们来求解它的顶点、对称轴和焦点。
1. 求顶点：根据公式x=-b/2a，可以计算出横坐标x为-(-4) / (2*2) = 1。
将x=1代入函数中，可以计算出纵坐标y为2 * 1² - 4 * 1 + 1 = -1。
所以二次函数y=2x²-4x+1的顶点为(1, -1)。
2. 求对称轴：对称轴的方程为x=-b/2a，代入具体数值可以得到x=-(-4) / (2*2) = 1。
所以二次函数y=2x²-4x+1的对称轴为x=1。
3. 求焦点：根据公式焦点的横坐标x = - b / 2a，可以计算出横坐标x为-(-4) /(2*2) = 1。
抛物线顶点坐标公式和对称轴公式
抛物线顶点坐标公式和对称轴公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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抛物线对称轴和顶点坐标公式
抛物线对称轴和顶点坐标公式抛物线是一种二次函数，其一般的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a≠0。
抛物线的对称轴是指其图像关于其中一直线对称。
对称轴与y轴平行，可以通过以下公式求得抛物线的对称轴的方程。
对称轴方程：x=-b/(2a)对称轴是横坐标的数值，纵坐标则可以通过将对称轴代入原方程中求得。
下面我们来看看如何求抛物线的顶点坐标。
根据对称轴方程我们可以得到对称轴的横坐标，然后将其带入到抛物线的方程中，就可以求得顶点的坐标。
1.首先，我们求对称轴的横坐标。
对称轴方程：x=-b/(2a)可以直接从抛物线的标准方程中得到对称轴的横坐标。
例如：y=2x^2+4x+3对称轴方程：x=-4/(2*2)=-1因此，对称轴的横坐标为x=-12.其次，我们将对称轴的横坐标代入到抛物线的方程中，求得顶点的纵坐标。
根据对称轴的横坐标，我们可以得到抛物线上的一个点坐标。
将这个点的横坐标代入到抛物线的方程中，就可以求得顶点的纵坐标。
例如：对称轴的横坐标为x=-1将x=-1带入y=2x^2+4x+3中：y=2(-1)^2+4(-1)+3=2+(-4)+3=1因此，顶点的坐标为(-1,1)。
总结起来，求抛物线的对称轴和顶点的坐标的步骤如下：1.根据抛物线的标准方程，找出a、b、c的值。
2.求解对称轴的横坐标，使用公式：x=-b/(2a)。
3.将对称轴的横坐标代入抛物线的方程，求解顶点的纵坐标。
4.得到对称轴的横坐标和顶点的纵坐标，即可得到抛物线的对称轴和顶点的坐标。
需要注意的是，抛物线的对称轴方程和顶点坐标公式对于标准形式的抛物线适用。
对于其他形式的抛物线，可能需要先进行换元变换，再进行求解。
一元二次方程对称轴的公式和顶点
一元二次方程对称轴的公式和顶点一元二次方程是数学中常见的一种形式，它的标准形式可以表示为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
一元二次方程的图像是一个抛物线，而对称轴则是这个抛物线的镜像轴，对称轴的公式和顶点是求解和描述这个抛物线性质的重要工具。
我们来讨论一元二次方程的对称轴的公式。
对称轴是抛物线的一条垂直线，它将抛物线分为两个对称的部分。
对称轴的公式可以通过方程的系数来确定。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，对称轴的公式可以表示为x=-b/(2a)。
这个公式的推导可以通过求解方程的顶点来得到。
接下来，我们来探讨一元二次方程的顶点。
顶点是抛物线的最高点或最低点，也是抛物线的转折点。
顶点的坐标可以通过对称轴的公式和方程的系数来计算。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，顶点的x坐标就是对称轴的x值，即x=-b/(2a)；而顶点的y坐标则可以通过将x值代入方程中计算得到。
顶点的坐标可以表示为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中f(x)表示方程的解。
顶点的坐标可以告诉我们抛物线的位置和形状。
通过对称轴的公式和顶点，我们可以得到一元二次方程的很多重要信息。
首先，通过对称轴的公式，我们可以知道对称轴与y轴垂直，且对称轴的位置取决于方程的系数。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴在抛物线的上方；而当a<0时，抛物线开口向下，对称轴在抛物线的下方。
其次，通过顶点的坐标，我们可以知道抛物线的最高点或最低点在何处，以及抛物线的开口方向。
当a>0时，顶点表示抛物线的最低点，抛物线开口向上；当a<0时，顶点表示抛物线的最高点，抛物线开口向下。
除了对称轴和顶点，一元二次方程还有其他重要的性质。
例如，方程的判别式可以告诉我们方程的根的性质。
方程的判别式可以表示为Δ=b^2-4ac，其中Δ大于0表示方程有两个不相等的实数根，Δ等于0表示方程有两个相等的实数根，Δ小于0表示方程没有实数根。
二次函数与抛物线的特性
二次函数与抛物线的特性二次函数和抛物线是数学中常见的概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数和抛物线的特性，包括图像、顶点、对称轴、焦点和直线等方面。
一、二次函数的图像特性二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
这是因为二次函数的一阶项系数b决定了抛物线的方向。
二、抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的坐标可以通过求解二次函数的一阶导数为零来得到。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-b/2a)。
这个顶点坐标可以用来确定抛物线的位置。
抛物线的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的一条直线。
对称轴的方程可以通过将二次函数的一阶项系数b置零来得到。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
三、焦点和直线焦点是抛物线上所有点到直线（称为准线）的距离之和相等的点。
焦点与抛物线的顶点和对称轴有着密切的关系。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，焦点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-b/2a) + 1/4a。
焦点的坐标可以通过将二次函数的一阶项系数b和常数项c置零来得到。
准线是与抛物线平行且与对称轴相交于焦点的直线。
准线的方程可以通过将二次函数的一阶项系数b和常数项c置零来得到。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，准线的方程为y = c - 1/4a。
四、二次函数和抛物线的应用二次函数和抛物线在数学和物理学中有着广泛的应用。
在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹。
在工程学中，二次函数可以用来建模和解决实际问题，如计算机图形学中的曲线生成和控制。
抛物线的顶点坐标怎么求
抛物线的顶点坐标怎么求一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）我们称y为x的二次函数。
a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
|a|决定开口大小，|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点坐标P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a三、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）。
6.抛物线与x轴交点个数：Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b²－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）四、二次函数（抛物线）y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)他们的图象形状相同，只是位置不同。
抛物线的基本知识点
抛物线的基本知识点抛物线是初中数学的重要知识点，主要涉及以下几方面内容：1.定义：指有一个公共的焦点、一条对称轴的两个顶点的二次函数图像，叫抛物线。
2.顶点：在对称轴上，到图象两交点距离相等的点。
3.开口方向：抛物线与X轴的交点叫抛物线的顶点。
4.对称轴：对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=-b/2a。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。
6.与坐标轴的交点：把二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)化为顶点式y=a(x-h)^2+k，则y轴与图像的交点为(0，k)，x轴与图像的交点为h，h，-b/2a。
7.抛物线与坐标轴的交点：把二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)化为顶点式y=a(x-h)^2+k，当h=0时，抛物线与x轴的交点为(0，k)，当k=0时，抛物线与y轴的交点为(0，h)，即抛物线的交点为(0，h)，(h，0)，(0，k)，(k，0)。
以上是抛物线的基本知识点，如果在学习过程中遇到问题，可以咨询数学老师。
抛物线的基本知识点汇总抛物线是初中数学的重要知识点，主要涉及以下内容：1.定义：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=—b/2a，顶点坐标为（—b/2a，（4ac—b²）/4a）。
2.与坐标轴的交点：令y=0，求得方程（__），再令x=0，求得方程（____）。
（____）与（__）的交点为抛物线与y轴的交点，即抛物线在y轴上的截距。
3.开口方向：开口向上，a>0；开口向下，a<0。
4.对称轴：对称轴为直线x=-b/2a。
5.顶点坐标：顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b²）/4a）。
6.增减性：在直线x=-b/2a左边，y单调递减；在右边，y单调递增。
7.焦半径：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。
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二次函数y=ax 2
的图象与性质
学习目标：
1、会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、探索、归纳二次函数y=ax 2的图像特点与性质。
学习重点：1、画出二次函数y=ax 2 的图象；了解抛物线的含义。
2、根据图象观察、分析出二次函数y=ax 2 的性质；
学习难点：用描点法准确地的画出函数y=ax 2的图象，掌握其性质特征。
一、复习回顾：
1、下列函数中，是二次函数的有（ ） A ．y=x+1 B ．y=
1x
C ．y=-6x
D ．y=12x 2
2、一次函数1+=x y •的图象是一条_________．
3、画函数图象的一般步骤是_______、__________、_______
二、研读P29-P32二次函数y=ax 2 的图象与性质。
三、前置探究：
活动一：认识抛物线、顶点与对称轴
1、描点法画函数2
x y =的图象
观察图象,回答问题：
（1）图象是一条__________。
（2）图象是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点？ （3）图象与对称轴有交点吗？
如果有,交点坐标是什么? （4）当x 取什么值时,y 的值最小?
最小值是什么? 你是如何知道的？
能举例说说现实生活中的抛物线吗？____________________________________________
活动二：动手画图，探寻异同
1、请用画函数图象的方法画出函数2
212
y x y x =
=与与的图象.（在同一个平面直角坐标系）
☆观察这两个图象，与函数2x y =的图象对比：
共同点：__________________________________________________________________________
____________________________。
不同点：________________________________________________________________________。
当a ＞0时，二次函数2ax y =的图象有的特点是：_________________________________
______________________________________.
2、画出的函数22
2
2,
1,x y x y x y -=-=-=的图象 (在同一个平面直角坐标系)
☆观察这三条抛物线：
共同点：________________________________________________________________________。
不同点：_____________________________________________________。
当a ＜0时，二次函数2ax y =的图象有的特点是：__________________________________
__________________________________________。
活动三：概括归纳
二次函数y ＝ax 2﹙a ≠0﹚的性质
四、巩固练习
1、函数2
3
2x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，
y 随着x 的 ；在对称轴的右侧，y 随着x 的 ，当x=0时，函数y 的值最____，最____值是 。
2、函数2
4
1x y -
=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧， y 随着x 的 ；在对称轴的右侧，y 随着x 的 ，当x=0时，函数y 的值最_____，最____值是 。
3．二次函数()2
3x m y -=的图象开口向下，则m___________．
4.已知A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，两点都在二次函数 y ＝－1
2x 2的图象上，则y 1，y 2的大小关系是 ．
5、已知函数 2
2x y =，24x y =，25x y = ，的图象如图所示。
抛物线①②③分别对应哪个函数？
抛物线
y ＝ax 2
(a>0)
y ＝ax 2
(a<0)
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 Y 的最值
增减性 当x<0时，y 随x 的增大而_______ 当x>0时，y 随x 的增大而_______
当x<0时,y 随x 的增大而_______ 当x>0时，y 随x 的增大而________
开口大小 a 越大，开口______ a 越大，开口______
①
②
③
y。