微分方程--数学建模
数学建模第三章微分方程模型
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（2）
精选ppt课件
51
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（3）
精选ppt课件
52
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（4）
精选ppt课件
53
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（5）
精选ppt课件
54
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（6）
精选ppt课件
55
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（7）
精选ppt课件
39
3-6 疾病传播的机理分析模型（2）
精选ppt课件
40
3-6 疾病传播的机理分析模型（3）
精选ppt课件
41
3-6 疾病传播的机理分析模型（4）
精选ppt课件
42
3-6 疾病传播的机理分析模型（5）
精选ppt课件
43
3-6 疾病传播的机理分析模型（6）
精选ppt课件
44
3-6 疾病传播的机理分析模型（7）
精选ppt课件
45
3-6 疾病传播的机理分析模型（8）
精选ppt课件
46
3-6 疾病传播的机理分析模型（9）
精选ppt课件
47
3-6 疾病传播的机理分析模型（10）
精选ppt课件
48
3-6 疾病传播的机理分析模型（11）
精选ppt课件
49
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（1）
精选ppt课件
50
69
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（1）
精选ppt课件
70
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（2）
精选ppt课件
71
3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（3）
精选ppt课件
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模在常微分方程中的应用
数学建模是指运用数学方法和技巧分析和解决实际问题的过程。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的工具，它用于描述许多实际问题中的变化和发展。
下面将介绍常微分方程在数学建模中的应用。
常微分方程可以用来描述许多自然科学和工程科学中的变化和发展过程。
描述物理学中的运动、天文学中的行星运动和混合和反应过程等。
它们还可以用于解决实际问题，如人口增长、疾病传播、金融模型和生态系统动力学等。
常微分方程的一个重要应用领域是物理学。
在经典力学中，可以通过常微分方程来描述物体在外力作用下的运动。
牛顿第二定律可以用常微分方程的形式表示为：
m*d^2x/dt^2 = F(x,t)
其中m是物体的质量，dx/dt是物体的速度，F(x,t)是物体受到的外力。
这个方程可以用来研究物体的运动轨迹和速度随时间的变化。
常微分方程在工程科学中也有广泛的应用。
热传导方程可以用常微分方程的形式表示为：
d(theta)/dt = k*d^2(theta)/dx^2
其中theta是温度分布，t是时间，k是热传导系数，x是空间位置。
这个方程可以用来研究材料中的温度分布和传热过程。
在生物学和生态学中，常微分方程被用来描述生物种群的增长和相互作用。
Lotka-Volterra方程可以用常微分方程的形式表示为：
dN/dt = r*N - a*N*P
dP/dt = -b*P + c*N*P
其中N是捕食者的数量，P是猎物的数量，t是时间，r、a、b和c是常数。
这个方程可以用来研究捕食者和猎物种群之间的相互作用和稳定性。
《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
《微分方程数学建模》 PPT课件
这份PPT课件将带领您深入了解微分方程数学建模，并探讨其应用与意义。通 过丰富的实例和技巧，让您轻松掌握数学建模的要点。
微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
相关教材
推荐一些优秀的教材，帮助 您进一步学习微分方程和数 学建模。
网络资源
介绍一些优质的网络资源， 供您查阅更多有关微分方程 数学建模的资料。
城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程在数学建模中的应用
微分方程在数学建模中有广泛的应用，具体如下：
1.微分方程可以描述现实世界的变化，揭示实际事物内在的动态关
系。
2.微分方程可以建立纯数学（特别是几何）模型。
3.微分方程可以建立物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型。
4.微分方程可以建立航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型。
5.微分方程可以建立考古（鉴定文物年代）模型。
6.微分方程可以建立交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）
模型。
7.微分方程可以建立生态（人口、种群数量）模型。
8.微分方程可以建立环境（污染）模型。
9.微分方程可以建立资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运
输调度、工业生产管理）模型。
10.微分方程可以建立生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环
系统）模型。
11.微分方程可以建立医学（流行病、传染病问题）模型。
12.微分方程可以建立经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周
期性危机）模型。
13.微分方程可以建立战争（正规战、游击战）模型。
数学建模 微分方程模型讲解
量在初始阶段的增长情况比较相符。
（2）由（3—19）式推得，t=0 时显然 x=0,这一结果自然与
事实不符。产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推
销的，然而，在最初产品还没卖出之时，按照自然推销的方式，
便不可能进行任何推销。事实上，厂家在产品销售之初，往往是
通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。
? 1. 新产品推销模型 ? 一种新产品问世，经营者自然要关心产
品的卖出情况。下面我们根据两种不同 的假设建立两种推销速度的模型。
模型 A 假设产品是以自然推销的方式卖出，换句话说，被卖出的产品
实际上起着宣传的作用， 吸引着未来购买的消费者。 设产品总数与时刻 t 的关
系为 x(t), 再假设每一产品在单位时间内平均吸引 k 个顾客，则 x(t) 满足微
样，从根本上解决了模型 A 的不足。 由（3—20）式易看出， dx ? 0 ，即 x(t) 是关于时刻 t 的单调增
dt
加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越卖越少。另外，
对（3—20）式两端求导，得
d 2x dt 2
?
k(M
?
2 x)
dx dt
故令 d 2x
dt 2
?
0 ，得到 x(t0 ) ?
Nm N0
)e? n
易看出，当t→? 时，当Ｎ（t） →Ｎm。这个模型称为Logistic 模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。上面所画的是 Logistic 模型的的图形。
你也可从这个图形中，观察到微分方程解的某些性态。
捕鱼问题
在鱼场中捕鱼，捕的鱼越多，所获得的经济效益越大。但捕捞的鱼过多，
根据上面的假设，我们建立模型
dS ? P ? A(t) ? ??1 ? S (t) ?? ? ? S(t )
数学建模中的差分方程与微分方程
数学建模是一门研究如何用数学方法解决实际问题的学科，它在现代科学、工程技术以及社会经济领域中扮演着重要的角色。
在数学建模的过程中，我们经常会遇到需要描述连续或离散变化的问题，而差分方程与微分方程则成为了解决这类问题的有力工具。
差分方程是描述离散变化的方程，它将一个变量与它在前一时刻或前几个时刻的取值联系起来。
在数学建模中，差分方程常常被用来描述离散的时间或空间变化，比如物种数量的变化、金融市场的波动等。
差分方程最简单的形式是递推式，它用一个前一时刻的变量的值来表示当前时刻的变量的值。
例如，一个典型的一阶差分方程可以写作：$x_{n+1}=f(x_n)$，其中$x_n$表示第$n$个时刻的变量的值，$f(x_n)$表示根据$x_n$计算出的$x_{n+1}$的函数。
通过递推式，我们可以得到变量在不同时刻的取值，进而研究它的变化规律。
微分方程是描述连续变化的方程，它涉及到变量对时间的导数或各个变量之间的关系。
微分方程在数学建模中的应用非常广泛，尤其在物理学、生物学等自然科学领域中经常被用来描述变化的物理现象。
微分方程的形式多种多样，比如一阶线性微分方程、二阶非线性微分方程等等。
一阶微分方程的一般形式可以写作：$\frac{dx}{dt}=f(x,t)$，其中$x$表示一个或多个变量，$t$表示时间，$f(x,t)$表示$x$和$t$的关系。
通过求解微分方程，我们可以得到变量随时间的变化规律，并进一步分析问题。
在实际问题中，差分方程与微分方程往往会相互呼应和融合，一些问题既可以用差分方程描述离散变化，也可以用微分方程描述连续变化。
这时，我们可以通过将差分方程转化为微分方程或将微分方程离散化为差分方程来求解问题。
例如，在人口增长的问题中，我们可以通过建立一个差分方程来描述每一年的人口数量，而利用微分方程的分析方法可以得到人口增长的长期行为。
又例如，在物理学中，连续介质的运动可以用微分方程描述，而粒子的运动可以用差分方程描述。
微分方程及其应用领域中的数学建模分析
微分方程及其应用领域中的数学建模分析微分方程是数学分析的重要内容，它在各个科学领域中都有广泛的应用。
本文将分析微分方程及其在应用领域中的数学建模。
微分方程是描述自变量与相关导数之间关系的方程。
它由一些未知函数及其导数组成，通常用y表示未知函数。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类，在应用中广泛应用于物理、生物、经济等领域。
首先，我们来看物理领域中的应用。
物理学中许多自然现象可以通过微分方程建模，其中最典型的是牛顿第二定律。
牛顿第二定律指出力是质量与加速度的乘积，可以用微分方程表示为F=ma，其中F是物体受到的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
通过解这个微分方程，可以预测物体在受力作用下的运动轨迹。
此外，在电路理论中，欧姆定律也可以用微分方程表示。
欧姆定律指出电流与电压之间的关系为I=V/R，其中I是电流，V是电压，R是电阻。
通过解这个微分方程，可以分析电路中的电流变化。
在生物领域中，微分方程的应用同样重要。
生物学中的许多自然现象可以用微分方程建模，例如生物种群的增长。
假设某个生物种群的增长速率与种群数量成正比，可以用微分方程dy/dt = ky表示，其中y是种群的数量，t是时间，k是比例常数。
通过解这个微分方程，可以预测种群数量的变化。
除了物理和生物领域，微分方程在经济学中也有广泛应用。
经济学中的许多问题都可以用微分方程建模，例如经济增长模型和物价变动模型。
通过建立适当的微分方程模型，可以分析经济变量之间的关系，并对经济情况进行预测和决策。
总而言之，微分方程在各个领域中都有广泛的应用。
通过建立合适的微分方程模型，可以描述和分析自然现象和社会现象。
这些模型不仅可以用于预测和决策，还可以用于深入理解问题的本质和规律。
因此，微分方程及其应用领域中的数学建模分析是数学分析的重要内容，也是应用数学的重要工具。
通过不断研究和探索微分方程及其应用，我们能够更好地理解自然界和人类社会的运行规律，为科学研究和社会发展做出贡献。
数学建模中的微分方程及其应用研究
数学建模中的微分方程及其应用研究随着科技的不断发展，数学建模已经成为了一个不可或缺的工具。
数学建模是指将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法来预测和解决问题。
微分方程是数学建模中的关键工具之一。
在本文中，我将介绍微分方程在数学建模中的重要性以及其应用研究。
一、微分方程的定义和分类微分方程是描述一个或多个未知函数及其导数之间关系的方程，通常用来描述自然现象。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是指只涉及一个自变量的导数的方程，例如：$\frac{dy}{dx}= f(x,y)$偏微分方程是指涉及多个自变量的导数的方程，例如：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$二、微分方程在数学建模中的重要性微分方程在数学建模中有着广泛的应用。
它可以用来研究自然现象中的变化关系，例如物理学中的运动规律、化学中的反应过程，甚至是医学中的疾病治疗。
通过微分方程的求解，我们可以得到有关系统的重要信息，比如系统的稳定性、解的性质、系统的动态行为等等。
三、常微分方程在数学建模中的应用常微分方程是数学建模中最常见的工具之一。
在数学建模中，解决一个常微分方程通常需要以下步骤：1. 根据问题描述建立数学模型。
2. 对模型中的常微分方程进行求解。
3. 通过解析解或数值解来得到所需的结果。
以下是常微分方程在数学建模中的一些应用：1. 表示天体运动的牛顿运动定律。
牛顿运动定律可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -G\frac{Mm}{r^2}$其中，$m$ 是天体的质量，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是天体和太阳之间的距离，$G$ 是万有引力常数，$x$ 是天体相对太阳的位置。
通过求解这个方程，我们可以得到天体的运动轨迹。
2. 描述弹簧振动的简谐运动。
弹簧振动可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -kx$其中，$m$ 是弹簧质量，$k$ 是弹簧的弹性系数，$x$ 是弹簧相对平衡位置的偏移量。
数学建模解偏微分方程
数学建模解偏微分方程是指建立数学模型，并通过一系列的数学操作，如离散化，代码实现和可视化，来求解复杂的偏微分方程问题。
这些偏微分方程问题主要包括数学物理方程、偏微分方程数值模拟等。
在解决这些问题时，有许多数学工具和方法可以使用。
首先，建立数学模型是解决偏微分方程的第一步。
这包括根据实际问题的性质，构造相应的偏微分方程，并确定其定解条件。
例如，在求解数学物理方程时，我们可以采用分离变量法，对问题进行分类，并根据具体情况选择合适的数学模型。
接下来，离散化是将偏微分方程转化为离散形式的过程，这是求解偏微分方程的关键步骤。
它通过对偏微分方程进行数值积分，把连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而实现用计算机进行求解。
在离散化的过程中，我们可以选择有限差分方法、有限元方法和有限体积方法等不同的离散方法，其中有限差分方法是最早采用的方法，有限元方法利用变分原理和分片多项式插值，具有求解区域灵活、单元类型灵活、程序代码通用等特点。
然后，代码实现是使用计算机程序来实现我们所建立的离散化偏微分方程，以便进行高效计算。
在Python中，有许多库可用于此，如SymPy、SciPy和FEniCS等等，这使得我们可以方便地编写和调试代码。
最后，可视化是将计算结果以图像、曲线或表格等形式表示出来，以方便人们理解和分析。
在可视化的过程中，我们可以使用Matplotlib，NumPy等绘图库，生成漂亮的图像和图表，这对于理解和分析偏微分方程的解具有很大的帮助。
总之，数学建模解偏微分方程是一个复杂的过程，需要我们综合运用数学工具和方法，如建模、离散化、代码实现和可视化等。
在求解过程中，我们需要根据问题的性质和具体情况，灵活选择不同的数学模型和离散方法，以便提高计算的准确性和效率。
数学建模中的微分方程求解
数学建模中的微分方程求解数学建模是将真实世界中的问题抽象成数学模型，利用数学方法求解并得出结论的过程。
微分方程作为数学建模中最常用的数学工具之一，广泛应用于物理、生物、工程等领域，成为数学建模不可或缺的一部分。
本文将着重介绍微分方程在数学建模中的求解方法以及常见的数学模型。
一、常见的微分方程求解方法(一) 分离变量法分离变量法是最基本的微分方程求解方法之一。
对于形如$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $的一阶微分方程，我们可以将其分离为$ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx $，进而求解出$ y $的解析解。
例如，对于简单的一阶线性微分方程$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) $，我们可以将其写成$ \frac{dy}{dx} = -p(x)y + q(x) $，然后将$ y $和$ x $分隔开来，即$ \frac{dy}{-p(x)y+q(x)} = dx $，最后将分子和分母积分得到$ y $的解析解。
但是，在实际问题中的微分方程很难一步到位地完成分离变量，需要结合其他的方法。
(二) 特解法特解法是一种特殊的微分方程求解方法，它适用于某些特殊的微分方程。
特解法的思想是先猜出通解的一部分，然后再根据该猜测解答出剩余的部分，得到最终的通解。
例如，对于形如$ y'' + ay' + by = f(x) $的二阶非齐次微分方程，我们可以先猜测一个特解$ y_p $，然后再求出方程的通解$ y = y_c + y_p $，其中$ y_c $是齐次方程的通解。
特解法在实际问题中应用广泛，但对特定问题的适用性并不一定好。
(三) 变量代换法变量代换法是另一种常见的微分方程求解方法，它常用于解决高阶微分方程或无法通过分离变量法解决的微分方程。
变量代换法的思想是将微分方程通过变量代换转化为可分离变量或一阶线性微分方程的形式。
例如，对于形如$ y'' + py' + qy = 0 $的二阶齐次微分方程，我们可以通过变量代换$ z = y' $，将其转化为一阶线性微分方程。
微分方程在数学建模中应用
总结
描述对象特征随时间（空间)变化的特征 分析对象特征的变化规律 根据函数及其变化率之间的关系确定函
数 根据建模目的和问题分析做出简化假设 按照内在规律或用类比的方法建立微风
方程
模型1：马尔萨斯(Malthus)模型
马尔萨斯通过对大量的人口数据进行分析， 做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人
口总数成正比，即人口净增长率 r 基本上是一 常数 ，r b d , b 为出生率，d 为死亡率。
设时刻 t的人口总数为N(t)，时间从 t 到t t
人口增长量为：
N(t t) N(t) rN (t)t
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人 ~ 日 数为, 且使接触的健康人致病 接触率
建模
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
已感染人数 (病人) i(t)
假设
每个病人每天有效接触(足以
使人致病)人数为
建模
i(t t) i(t) i(t)t
di i
dt i(0) i0
i(t) i0et
t i
分析一下
若有效接触的是病人，则不能使病人数增加 ?
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
Malthus模型呈现的是J型增长，只适应 于短期内，并无外界因素影响。而Logistic 模型呈现S型，适应于中长期且有外界因素 影响。
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是 为了研究种群数量的增长情况而建立的， 但它们也可用来研究其他实际问题，只要 这些实际问题的数学模型有相同的微分方 程即可。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
简述建立微分方程的一般步骤
简述建立微分方程的一般步骤建立微分方程是研究数学建模和物理问题的重要方法，它能够描述自然现象、工程问题和经济现象等，通过数学模型的建立，可以求解相应的微分方程来获得问题的解析解或数值解。
下面将简要介绍建立微分方程的一般步骤。
一、问题的分析和建模：建立微分方程的第一步是对问题进行仔细的分析和审视，明确问题的性质、要求和约束条件等。
然后根据问题的特点，选择适当的数学模型进行建模。
数学模型分为确定性模型和随机模型，确定性模型基于确定性关系描述问题的行为，而随机模型则基于概率论描述问题的随机性行为。
二、定义变量和关系：在建立数学模型之前，需要定义所需的变量和它们之间的关系。
这些变量可以是时间、空间、强度、速度等物理量。
关系可以使用线性关系、非线性关系或微分关系来描述，并且可以是常微分方程或偏微分方程，具体取决于问题的性质和要求。
三、进行合理的假设：在建立数学模型时，通常需要进行一些合理的假设，以简化问题的复杂性。
假设可以是物理上的近似，也可以是数学上的简化。
合理的假设可以使问题的分析和求解更加容易和快速。
四、应用物理定律和数学关系：在数学建模的过程中，需要应用物理定律和数学关系来描述事物之间的相互作用和变化。
对于物理问题，常见的相关定律包括牛顿定律、欧姆定律、热传导定律等；对于数学关系，常见的包括导数、积分、微积分中的基本定理等。
根据问题的特点和要求，选择合适的物理定律和数学关系进行应用。
五、将现有的关系转化为微分方程：在应用物理定律和数学关系的基础上，将问题中已知的关系转化为微分方程。
这一过程涉及到微分运算、积分运算和代数运算。
通常需要使用导数或偏导数来表示物理变量的变化率，然后使用代数关系来将不同变量联系起来。
最终得到的微分方程称为问题的数学描述。
六、确定边界条件和初值条件：建立微分方程后，需要确定相应的边界条件和初值条件。
边界条件是在方程适用区域边界上给出的条件，用于限制解函数的取值；初值条件是在方程适用区域内某一点给出的条件，用于确定解函数的初始状态。
微分方程模型——数学建模真题解析
练习题： 1、在一所大学，某个教师每天从图书馆借出一本 书，而图书馆每周收回所借图书的10%。2年后， 这个教师手中有大约多少本图书馆的书？ 2、某学院的教育基金，最初投资P元，以后按利 率r的连续复利增长。另外，每年在基金开算的时 间，都要投入新的资本A/年求7年的累计资金数 量。 另外，如果每年在基金开算的时间，把其中20% 用于奖学金的发放，求7年后累计资金数量。 3、一场降雪开始于中午前的某个时刻，降雪量稳 定。某人从正午12点开始清扫人行道，他的铲雪 速度(m3/小时)和路面宽度都不变，到下午2点他 扫了1000米，到下午4点又清扫了500米。雪是什 么时间开始下的？另外，如果他在下午4点开始回 头清扫，什么时间回到开始清扫的地点？
2004C题 饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检 疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、 呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定， 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／ 百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是 小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或 等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等 于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合 新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒， 为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭 遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。 如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则 称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
微分方程在数学建模中的应用
35微分方程在数学建模中的应用黄 羿（吉首大学湖南吉首416000）摘 要：高等数学在很多领域有着成功的应用，因此，通过建立实际应用模型，将高等数学课程中的微分方程理论与实际相结合，可以增加学生学习新知识的兴趣，提高课堂授课效果。
关键词：数学教学；理论与实际；教学方法中图分类号：O175文献标识码：A 文章编号：1000-9795（2010）04-0315-02收稿日期：5作者简介：黄 羿（），女，湖南岳阳人，从事微分方程与动力系统方向的研究。
一、数学建模与微分方程概述数学建模(Mathematical Modeling)是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机的发明和计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用也越来越重要，而且已经渗透到各个领域，可以毫不夸张的说，数学和数学建模无处不在。
经典的数学建模理论认为数学建模一般由下列六个步骤组成。
1.建模准备:包括进行调查研究，明确问题，搜集信息，查阅文献资料，初步确定问题属于哪一类模型。
2.分析与简化:分析问题，分析信息与资料，抓住主要因素，忽略次要因素，简化问题。
3.模型建立:用数学语言刻画所研究问题的因果关系，得到问题的数学描述，通常是所研究问题的主要因素的变量之间的一个关系式或其他的数学结构。
4.模型求解:选择合适的方法求解上述数学模型，多数情况下很难获得其解析解，而只能得到其数值解，这就需要应用各种数值方法，各种软件系统和计算机。
5.模型检验与评价:包括模型是否易于求解，是否能反映和解决实际问题等。
6.模型应用:就是把经过改进的模型及其解应用于实际系统，看是否达到预期的目的.若不够满意，则建模任务尚未完成，仍需继续努力。
二、微分方程在数学建模中的应用(一)人口预测模型由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长。
为了得到人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多。
因此，先把问题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型。
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
数学建模之微分方程建模与平衡点理论-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分方程列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。
（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
一、模型的建立与求解1.1传染病模型（1）基础模型假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。
每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。
建模：t 到t t +∆病人人数增加()()()x t t x t x t t λ+∆-=∆ （1）0,(0)dxx x x dtλ== （2） 解得：0()t x t x e λ= （3）所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。
（2）SI 模型假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。
人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。
2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。
有效接触后健康者变为病人。
依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模：diNNsi dtλ= （4） 由于()()1s t i t += （5）设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型0(1),(0)dii i i i dtλ=-= （6） 解得：01()111kti t e i -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭（7）用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2~dii dt图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当12i =时di dt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭②t →∞时人类全被感染。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i(t t ) i(t ) i(t )t
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
11
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
2013-1-20
引例 如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
2013-1-20 应用数学学院 2
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
阻滞增长模型(Logistic模型)
模型检验
用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 x(1990 x x(1990 rx(1990 1 x(1990 / xm ] ) ) ) )[ )
x(2000 274.5 )
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
2013-1-20 应用数学学院 7
第五章
5.1
微分方程模型
传染病模型
5.2
5.3 5.4 5.5
经济增长模型
正规战与游击战 药物在体内的分布与排除 香烟过滤嘴的作用
5.6 人口预测和控制
5.7
烟雾的扩散与消失
5.8 万有引力定律的发现
function y=ill(t,x) lambda=1;mu=0.3; y=[lambda*x(1)*x(2)-mu*x(1),-lambda*x(1)*x(2)]’
ts=0:50; x0=[0.02,0.98]; [t,x]=ode45('ill',ts,x0); [t,x] plot(t,x(:,1), t,x(:,2)),grid,pause plot(x(:,1),设 建模
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
2013-1-20 应用数学学院 22
5.2
经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 技术 f(t) = f0 劳动力 L(t)
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
17
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
2013-1-20 应用数学学院
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
2013-1-20 应用数学学院 6
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
0
t
x (t )
2013-1-20
xm xm rt 1 ( 1)e x0
应用数学学院
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
5
阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
2013-1-20 应用数学学院
F为待定函数
23
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
Q(K , L) f 0 F (K , L) 每个劳动 z Q 每个劳动 y K 力的产值 力的投资 L L
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据
2013-1-20
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
应用数学学院 3
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
di si dt
s(t ) i(t ) 1
2013-1-20 应用数学学院
di i (1 i ) dt i (0) i0
12
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
2013-1-20
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
20
应用数学学院
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
2013-1-20 应用数学学院 8
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i (s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
2013-1-20 应用数学学院 15
1 i (t )
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
i
1
di/dt < 0
i0 0 i0
0
1-1/
1 i
1 , 1 1 i ( ) 0, 1
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
2013-1-20 应用数学学院
控制人口过快增长
1
常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt x(t )
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
19
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
提高 r0
群体免疫
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
2013-1-20 应用数学学院
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
2013-1-20
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
应用数学学院 14
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt i
>1
i0
1-1/
di 1 i[i (1 )] / dt
>1