高中数学求值域的种方法

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北大师版高一数学上册--第一单元 求函数值域的八种方法(教师讲义)(含答案)

北大师版高一数学上册--第一单元 求函数值域的八种方法(教师讲义)(含答案)

高中数学:求函数值域的十三种方法一、观察法(☆ ) 五、判别式法(☆) 二、配方法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 三、分离常数法(☆) 七、函数单调性法(☆) 四、反函数法(☆) 八、图像法(数型结合法)(☆)一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y =的值域。

0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数的值域。

【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是:【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ,而()()331==-f f ,()()020==f f ,()11-=f 所以:{}3,0,1-∈y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ∈,则函数的值域为{}1|-≥y y 。

练习:1、求242-+-=x y 的值域. 2.求函数y =的值域.二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。

x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8]【变式】已知232x x ≤,求函数f x x x ()=++21的最值。

【解析】由已知232x x ≤,可得032≤≤x ,即函数f x ()是定义在区间032,⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。

将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342,其对称轴方程x =-12,顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234,,且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间032,⎡⎣⎢⎤⎦⎥内,如图2所示。

函数f x ()的最小值为f ()01=,最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。

高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的十三种方法
一、观察法(☆
)二、配方法(☆)
三、分离常数法(☆)
四、反函数法(☆)
五、判别式法(☆)
六、换元法(☆☆☆)
七、函数有界性
八、函数单调性法(☆)九、图像法(数型结合法)(☆)十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y
f x 的取值范围。

【例1】求函数1y
x 的值域。

【解析】∵0x ,∴
11x ,∴函数1y x 的值域为[1,)。

【例2】求函数x 1
y
的值域。

【解析】∵0x
∴0x 1显然函数的值域是:),0()0,(【例3】已知函数
112x y ,2,1,0,1x ,求函数的值域。

【解析】因为2,1,0,1x ,而331f f ,02
0f f ,11f 所以:3,0,1y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ,则函数的值域为
1|y y 。

二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c 的函数的值域问题,均可使用配方法。

【例1】求函数225,[1,2]y x x x 的值域。

【解析】将函数配方得:∵
由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,
故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。

求函数值域的方法

求函数值域的方法

求函数值域的十种方法前言:求函数是高中数学的一项基本技能,而且在解高中数学题中是常用到的工具之一,由于求函数值域的方法很多,有时技巧要求很高,致使学生产生畏难情绪.我们试图介绍在求函数值域的十种方法,每一种方法各举了若干个典型例子并配以相应练习,以使学生能举一反三,掌握求函数值域这一高中数学的基本技能.这十种方法是1. 部分分式法;2. 配方法;3. 判别式法; 4. 反函数;5. 函数有界性法;6. 函数单调性法;7. 换元法;8. 数形结合法;9. 不等式法;10. 多种方法综合运用一. 部分分式法(分离常数法)(分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式) 例1、求函数12++=x x y 的值域 解:利用恒等变形,得到:111++=x y ,容易观察知x ≠-1,y ≠1,得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。

注意到分数的分子、分母的结构特点,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

例2、求函数122+--=x x xx y 的值域。

观察分子、分母中均含有x x -2项,可利用部分分式法;则有43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令:)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 注意:在本题中应排除0)(=x f ,因为)(x f 作为分母。

所以 ⎝⎛⎥⎦⎤∈43,0)(x g 故)1,31⎢⎣⎡-∈y练习.求下列函数的值域:(1) 231--=x x y (2) 1122+-=x x y .答案:(1)值域),(),(3131+∞⋃-∞∈y (2)值域y ∈[-1,1] 例3、求函数])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=x b a b a bxa bxa y 的值域。

高中数学:求函数值域的方法十三种(二)

高中数学:求函数值域的方法十三种(二)

高中数学:求函数值域的方法十三种(二)五、判别式法:把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =;通过方程有实数根,判别式0∆≥,从而求得原函数的值域,形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++(1a 、2a 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。

(解析式中含有分式和根式。

)【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。

【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数,故有(1)当时,解得:(2)当y=1时,,而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。

【解析】两边平方整理得:(1)∵∴解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵代入方程(1)解得:即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

解法二:2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为:【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。

【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。

由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1,3],故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。

高一数学例析求函数值域的方法

高一数学例析求函数值域的方法

例析求函数值域的方法某某黔江新华中学 侯建新求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关,是高中数学的重点和难点。

注意:求值域要先求定义域。

虽然没有固定的方法和模式,但常用的方法有:一、直接法:从自变量x 的X 围出发,推出()y f x =的取值X 围。

例1:求函数1y =的值域。

0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

二、图像法:对于二次函数在给定区间求值域问题,一般采用图像法。

例2:求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。

(开口方向;区间与对称轴的关系)三、中间变量法:函数式中含有可以确定X 围的代数式。

例3:求函数2211x y x -=+的值域。

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R (定义域优先原则),对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+,∵1y ≠,(特殊情况优先原则)∴211y x y +=--(x R ∈,1y ≠), ∴101y y +-≥-,∴11y -≤<, ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 例4:求y=525+-x x (1≤X ≤3)的值域。

解:y =525+-x x ⇒ x =1255+-y y∵1≤X ≤3 ∴1≤1255+-y y ≤3 (怎么求解?)⇒ y ∈[112,74] 四、分离常数法:分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。

例5:求函数125x y x -=+的值域。

解:(此处要先求定义域)∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++, ∵72025x ≠+,∴12y ≠-,∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

五、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数,且0a ≠)的函数常用此法求解。

高中数学函数值域的求法(9种)

高中数学函数值域的求法(9种)

函数值域的求法求函数的值域时,要明确两点:一是函数值域的概念,二是函数的定义域和对应关系。

常用的方法有:观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。

(1)观察法:有的函数结构并不复杂,可以通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的函数的值域求出函数的值域。

如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。

(2)换元法:运用换元,将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。

例如:形如d cx b ax y +±+=(d c b a ,,,均为常数,0≠ac )的函数常用此法。

(3)配方法:若函数是二次函数的形式,即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数,则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间上二次函数最值得求法。

如求函数32+-=x x y 的值域,因为()2212≥+-=x y ,所以所求函数的值域为[)∞+,2。

(4)判别式法:求形如fex dx c bx ax y ++++=22(f e d c b a ,,,,,不同时为0)的值域,常利用去分母的形式,把函数转化为关于x 的一元二次方程,通过方程有实根,判别式0≥∆,求出y 的取值范围,即得到函数的值域。

(5)数形结合法:有些函数的图像比较容易画出,可以通过函数的图像得出函数的值域;或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。

例如:12--+=x x y 。

(6)分离常数法:形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数,经常采用分离常数法,将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++,再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围,从而确定函数的值域。

如求函数112+-=x x y 的值域时,因为132+-=x y ,且013≠+x ,所以2≠y ,所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。

高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的方法十三种

高中数学:求函数值域的十三种方法一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性八、函数单调性法(☆)九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y x =+的值域。

【解析】∵0x ≥,∴11x +≥, ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数x 1y =的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ,而()()331==-f f ,()()020==f f ,()11-=f 所以:{}3,0,1-∈y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ∈,则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。

【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时, 故函数的值域是:[4,8]【变式】已知,求函数的最值。

【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。

函数的最小值为,最大值为。

图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,(1)求函数()g t(2)当∈t [-3,-2]时,求g(t)的最值。

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式 1、换元法: 例1.已知 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将函数用一个变量代换。

心) X t 解:设 2 f (x ) X X X ,则1,x 1 。

x 2 X 1 x 2 ,试求 f (X )。

1 t 1,代入条件式可得: f (t )t 2 t 1,t ≠ 1。

故得: 说明:要注意转换后变量围的变化,必须确保等价变形。

2、构造程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出 另一个程,联立求解。

f (X) 例2. ( 1)已知 (2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3X 24X 5 XX)3X 2解:(1)由条件式,以 • 1 消去 X ,则得: X 代2_ X X,则得 8 3x4X 5f(1) X X 24x 3(2) 由条件式,以一 X 代X 则得: X 24x -3。

f( 去说明: 定义域由解析式确定,不需要另外给出。

例4.求下列函数的解析式: (1) (2) (3) ,试求f (X);f(x).3厶 X试求 2f(x)5 3OX) 2f (X)3X 24X5,与条件式联立,,与条件式联立,消,则得: 本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的 已知 已知 已知 f (X )是二次函数,且f (0) f (∙一 X 1) 心) X 3f (x ) 2, f (X 1) f(X) X 1 ,求 f(X); 2 X ,求 f (x), f (x 1), f (x 2) 1 1 亠 2 ,求 X X f (X);(4) 【题意分析】(1) 设法求出a,b,c 即可。

若能将X 2 - X 适当变形,用.XX 1 设 为一个整体,不妨设为 X X , 已知 2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。

由已知f (X)是二次函数,所以可设 f(X) ax 2 bx c(a 0),(2) (3) 1的式子表示就容易解决了。

高中数学:求函数值域的10种常见方法

高中数学:求函数值域的10种常见方法

求函数的值域(常用)一、用非负数的性质例1:求下列函数的值域:(1)y=-3x 2+2;(2)≥-1).练1:函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________.练2:求函数y =练3:求函数的值域。

练4:(1)232+-=x x y (2)]8,5[,452∈+-=x x x y(3)2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域.例1:求下列函数的值域:(1)y=21x x ++(2)y=2211x x -+.练1:求下列函数的值域:(1)13222++=x x y (2)3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性,那么利用单调性求值域是一种简单的方法. 例1:求函数y=3x+x 3的值域.练1:求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2:求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地,对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x),可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值. 例1:求函数y =234x x +的最值.练1:利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域.五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难,我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑. 例1:求函数的值域。

练1:求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2:设02x ≤≤,求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3:求函数的值域.练4:求函数x x y 213--=的值域.六:判别式法例1:求函数的值域。

七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一,求函数值域时其运用也不例外. 例1:若62--=x x y ,求y 的最大、最小值.练1:求函数342+-=x x y 的值域.22x 1x x 1y +++=练2:求函数186122+-++=x x x y 的值域.练3:若(求x-y 的最大、最小值.八、利用已知函数的有界性. 例1:求函数y=25243x x -+的值域.练1:求函数的值域。

高中数学函数值域的种求法总结

高中数学函数值域的种求法总结

高中数学函数值域的种求法总结高中数学中,函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。

求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。

1.利用定义法:根据函数的定义,直接求解函数的取值范围。

例如,对于函数f(x)=x^2,由于平方永远非负,所以其值域为[0,+∞)。

2. 利用图像法:通过绘制函数的图像,观察图像的上下界即可求得函数的值域。

例如,对于函数 f(x) = sin(x),由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间,故其值域为[-1, 1]。

3.利用对称性:对于一些具有对称性的函数,可以利用函数的对称性来快速求解其值域。

例如,对于奇函数f(x)=x^3,由于x^3关于原点对称,故其值域为整个实数轴。

4.利用函数的性质:通过函数的特点和性质来求解其值域。

例如,对于指数函数f(x)=a^x,由于指数函数永远大于0,所以其值域为(0,+∞)。

5. 利用最值的求解方法:对于具有最值的函数,可以通过求解最值来确定函数的值域。

例如,对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c,其中a > 0,由于 a > 0,故二次函数的开口向上,函数的最小值为顶点的 y坐标,可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。

6.利用函数的递增性或递减性:对于递增函数或递减函数,可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。

例如,对于递增函数f(x)=2x+1,由于斜率大于零,函数单调递增,故值域为(-∞,+∞)。

7. 利用函数的周期性:对于具有周期性的函数,可以利用函数的周期性来求解其值域。

例如,对于正弦函数 f(x) = sin(x),由于正弦函数的值在一个周期内是重复的,故其值域为 [-1, 1]。

8. 利用函数的复合性:对于复合函数,可以将函数拆解成多个简单的函数,然后求解每个简单函数的值域,最后将值域组合起来得到复合函数的值域。

例如,对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1),可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1,然后求解 g(x) 和h(x) 的值域,最后得到 f(x) 的值域。

高中数学09年一轮复习---值域的求解

高中数学09年一轮复习---值域的求解

函数的值域求解一、配方法对于求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠或可转化为形[]2()()()(0)f x ag x bg x c a =++≠的函数的值域(最值)一类问题,我们常常可以通过配方法来进行求解。

例1 求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域。

解:函数的定义域为[]1,4,2242(2)2y x x x =-+-=--+,从而函数为对称轴为2x =的开口向下的二次函数,2min 44422y ∴=-+⨯-=-,max 2y =。

即函数的值域为[]2,2-。

例2 已知函数2()cos 2sin 2f x x x =--,[]0,2x π∈,求函数()f x 的值域。

解:222()cos 2sin 21sin 2sin 2sin 2sin 1f x x x x x x x =--=---=--- 令sin t x =,[]0,2x π∈,[]1,1t ∴∈-,则()22()()211f x g t t t t ==---=-+()[]min min ()(1)4f x g t g ⎡⎤∴===-⎣⎦,[][]max max ()()(1)0f x g t g ==-=,即()f x 的值域为[]4,0-。

二、不等式法利用基本不等式来求函数的值域的方法。

常见的不等式:①20x ≥,0x ≥0≥;②222a b ab +≥或222a b ab +≤(a 、b R ∈);③2223a b c abc ++≥或2223a b c abc ++≤(a 、b 、c R ∈);④a b +≥2a b +或22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(a 、b R ∈); ⑤22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭(a 、b R ∈);⑥a b c ++≥3a b c ++≤或23a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(a 、b 、c R ∈); ⑦222233a b c a b c ++++⎛⎫≤⎪⎝⎭(a 、b 、c R ∈); ⑧()()2222212121122()a a b b a b a b ++≥+(1a 、2a 、1b 、2b R ∈); ⑨2212221211()4a a a a ⎛⎫++≥⎪⎝⎭(1a 、2a R ∈且1a 、20a ≠); ⑩121211()4a a a a ⎛⎫++≥⎪⎝⎭(1a 、2a 、1b 、20b >); 当我们使用不等式法求函数的值域时,我们特别需要注意等号成立的条件及是否能取得“=”。

高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围。

例1:求函数y=x+1的值域。

解析:由于x≥-1,所以x+1≥0,因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2:求函数y=1/x的值域。

解析:显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,y>0;当x<0时,y<0.因此函数的值域是:例3:已知函数y=(x-1)-1,x∈{-1,1,2},求函数的值域。

解析:因为x∈{-1,1,2},而f(-1)=f(3)=3,f(2)=-1,f(1)=-∞,所以:y∈{-1,3}。

注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为x∈R,则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法。

例1:求函数y=x2-2x+5,x∈[-1,2]的值域。

解析:将函数配方得:y=(x-1)2+4,当x=1∈[-1,2]时,y取得最小值4,当x=-1或x=2时,y取得最大值8,因此函数的值域是:[4,8]。

变式:已知f(x)=ax2+bx+c,其中a>0,且在区间[-1,1]内的最小值为1,求函数在[-2,2]上的最值。

解析:由已知,可得a>0,且f(x)在x=0处取得最小值1,即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1,所以a≤4.将f(x)配方得:f(x)=a(x-1)2+1,当x=-2或x=2时,f(x)取得最大值5a+1;当x=1时,f(x)取得最小值1.因此,当a=4时,函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时,函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法:对于一些特殊的函数,可以采用其他方法求解。

例:已知函数f(x)=sinx+cosx,求函数的值域。

高中数学求值域的10种方法

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一.直接法(察看法):对于一些比较简单的函数,其值域可经过察看获得。

例 1.求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ,∴x11,∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】1.求以下函数的值域:① y 3x 2( 1 x 1) ;② f ( x)2 4 x ;x;○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 , xx1【参照答案】① [ 1,5];② [2,);③ (,1)(1,) ;{1,0,3} 。

4二.配方法:合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。

形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题,均可使用配方法。

例 2.求函数y x24x 2( x[ 1,1] )的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ,∴ 3 x2 1 ,∴1 (x2)29,∴ 3(x 2)2 6 5 ,∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 ( x[ 1,1])的值域为 [3,5]。

例 3 .求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不如设:f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得: f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4,从而得出: y0,2 。

说明:在求解值域 (最值 ) 时,碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制,本题为:f ( x)0 。

例 4 .若x 2 y4, x0, y0,试求 lg x lg y 的最大值。

【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。

利用两点(4,0) , (0,2) 确立一条直线,作出图象易得:x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ,y=1 时, lg xlg y 取最大值 lg 2 。

值域_求值域的方法大全及习题加详解

值域_求值域的方法大全及习题加详解

求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则,求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法(1)、直接观察法:利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

(★★)例2、 求函数x 3y -=的值域。

(★★) 答案:值域是:]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. (★★)解:}210{≤<y y(2)、配方法:二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意)(x f 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

(★★)例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

(★★★)解:将函数配方得:4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

(★★★★)(配方法、换元法)解:………所以当41=x 时,y 有最小值-2。

故所求函数值域为[-2,+∞)。

例4、设02x ≤≤,求函数1()4321xx f x +=-+g 的值域.解:12()4321(23)8xx x f x +=-+=--g,02x ∵≤≤,24x 1∴≤≤.∴当23x =时,函数取得最小值8-;当21x =时,函数取得最大值4-,∴函数的值域为[84]--,. 评注:配方法往往需结合函数图象求值域. 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

高中数学求函数值域的10种常见方法

高中数学求函数值域的10种常见方法

高中数学求函数值域的10种常见方法
一、显函数法:
须先将函数写成显函数的形式,然后通过分析函数表达式的特征,确定其值域。

二、图像法:
一般通过函数的图像来确定其值域,可以在纸上绘制函数的图像,或者利用数学软件进行绘图分析。

三、函数增减性:
通过函数的增减性来确定其值域,即分析函数在定义域上的单调性。

四、函数的周期性:
若函数具有周期性,则值域受周期性的限制。

五、函数的有界性:
若函数在定义域上有上下界,则其值域也受到该有界性的限制。

六、反函数法:
通过求函数的反函数,获得原函数的值域。

七、导数法:
通过求函数的导数,分析其在定义域内的极值和拐点,得出值域的上下界。

八、极限法:
通过求函数在定义域两端的极限,确定函数值域的范围。

九、变量替换法:
可将复杂的函数转化为简单的函数,通过分析简单函数的值域,确定复杂函数的值域。

十、函数值的性质:
根据函数的性质和定义,通过推理和证明,确定函数值域。

以上是求函数值域的十种常见方法,根据不同的题目和函数形式,我们可以选择适用的方法来解决问题。

在实际应用中,经常需要综合运用多种方法来确定函数的值域。

高中数学求值域的10种方法

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法一.直接法(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例1.求函数1y =的值域。

【解析】0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1.求下列函数的值域:①32(11)y x x =+-≤≤; ②x x f -+=42)(;③1+=x xy ;○4()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-;②[2,)+∞;③(,1)(1,)-∞+∞;○4{1,0,3}-。

二.配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。

例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴23(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。

例3.求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:]0,2y ⎡∈⎣。

说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。

例4.若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得:2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一:求函数解析式1、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式,可将函数用一个变量代换。

例1. 已知,试求、解:设,则,代入条件式可得:,t ≠1、故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形。

2、构造程组法:对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式,可以据此构造出另一个程,联立求解。

例2。

(1)已知,试求;(2)已知,试求;解:(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:。

(2)由条件式,以-x 代x 则得:,与条件式联立,消去,则得:。

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定,不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:(1)已知就是二次函数,且,求;(2)已知,求,,;(3)已知,求;(4)已知,求。

【题意分析】(1)由已知就是二次函数,所以可设,设法求出即可。

(2)若能将适当变形,用得式子表示就容易解决了、(3)设为一个整体,不妨设为,然后用表示,代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得,由,得恒等式,得。

故所求函数得解析式为。

(2)1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ,又。

(3)设, 则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

(4)因为 ①用代替得 ②解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有:(1)解析式类型已知得,如本例⑴,一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式,顶点式与标根式得选择;(2)已知求得问题,法一就是配凑法,法二就是换元法,如本例(2)(3);(3)函数程问题,需建立关于得程组,如本例(4)、若函数程中同时出现,,则一般将式中得用代替,构造另一程。

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一:求函数解析式1、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式,可将函数用一个变量代换。

例1、 已知,试求。

解:设,则,代入条件式可得:,t ≠1。

故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法:对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式,可以据此构造出另一个程,联立求解。

例2、 (1)已知,试求; (2)已知,试求; 解:(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:。

(2)由条件式,以—x 代x则得:,与条件式联立,消去,则得:.说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定,不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:(1)已知就是二次函数,且,求; (2)已知,求,,; (3)已知,求; (4)已知,求. 【题意分析】(1)由已知就是二次函数,所以可设,设法求出即可。

(2)若能将适当变形,用得式子表示就容易解决了。

(3)设为一个整体,不妨设为,然后用表示,代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得, 由,得恒等式,得。

故所求函数得解析式为。

(2)1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f , 又。

(3)设,则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

(4)因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有:(1)解析式类型已知得,如本例⑴,一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式,顶点式与标根式得选择;(2)已知求得问题,法一就是配凑法,法二就是换元法,如本例(2)(3); (3)函数程问题,需建立关于得程组,如本例(4)。

若函数程中同时出现,,则一般将式中得用代替,构造另一程。

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高中数学求值域的种方法 Revised by Liu Jing on January 12, 2021求函数值域的十种方法一.直接法(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例1.求函数1y =的值域。

【解析】∵0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】1.求下列函数的值域:①32(11)y x x =+-≤≤; ②x x f -+=42)(; ③1+=x xy ;○4()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x 。

【参考答案】①[1,5]-;②[2,)+∞;③(,1)(1,)-∞+∞;○4{1,0,3}-。

二.配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。

例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。

【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴23(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。

∴函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。

例3.求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:]0,2y ⎡∈⎣。

说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:0)(≥x f 。

例4.若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。

利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得:2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而,y=1时,y x lg lg +取最大值2lg 。

【练习】2.求下列函数的最大值、最小值与值域:①142+-=x x y ;②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ;④]5,0[,142∈+-=x x x y ;○5xx x y 422++=,]4,41[∈x ;○6y =。

【参考答案】①[3,)-+∞;②[2,1]-;③[2,1]-;④[3,6]-;○573[6,]4;○6[0,2] 三.反函数法:反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。

适用类型:分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例5.求函数12+=x xy 的值域。

分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x ,从而便于求出反函数。

12+=x xy 反解得y y x -=2,故函数的值域为(,2)(2,)-∞+∞。

【练习】1.求函数2332x y x +=-的值域。

2.求函数ax b y cx d +=+,0,d c x c ⎛⎫≠≠- ⎪⎝⎭的值域。

【参考答案】1.22(,)(,)33-∞+∞;(,)(,)a a cc-∞+∞。

四.分离变量法:适用类型1:分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。

例6:求函数125xy x -=+的值域。

解:∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++,∵72025x ≠+,∴12y ≠-,∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

适用类型2:分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式。

例7:求函数122+--=x x xx y 的值域。

分析与解:观察分子、分母中均含有x x -2项,可利用分离变量法;则有22221111x x x x y x x x x --+-==-+-+ 21113()24x =--+。

不妨令:)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 。

注意:在本题中若出现应排除0)(=x f ,因为)(x f 作为分母.所以4()0,3g x ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝故)1,31⎢⎣⎡-∈y 。

另解:观察知道本题中分子较为简单,可令222111x x t x x x x-+==+--,求出t 的值域,进而可得到y 的值域。

【练习】1.求函数132222++++=x x x x y 的值域。

【参考答案】1.10(2,]3五、换元法:对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。

其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。

例8:求函数2y x =+解:令t =0t ≥),则212t x -=,∴22151()24y t t t =-++=--+。

∵当12t =,即38x =时,max 54y =,无最小值。

∴函数2y x =+为5(,]4-∞。

例9:求函数2y x =+ 解:因21(1)0x -+≥,即2(1)1x +≤。

故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈,∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β=。

∵ππβππβ4544,0≤+≤≤≤,sin()124πβ∴-≤+≤,0)114πβ∴≤++≤+故所求函数的值域为]21,0[+。

例10.求函数34221x x y x x -=++的值域。

解:原函数可变形为:222121211x x y x x -=-⨯⨯++ 可令X=βtan ,则有222221sin 2,cos 11x x x xββ-==++ 当28k ππβ=-时,max 14y = 当28k ππβ=+时,min 14y =- 而此时βtan 有意义。

故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41例11. 求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++,,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域。

解:(sin 1)(cos 1)y x x =++令sin cos x x t +=,则21sin cos (1)2x x t =-由sin cos )4t x x x π=+=+且,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得:2t ≤≤∴当t =时,max 32y =+t =34y =故所求函数的值域为33422⎡++⎢⎣。

例12. 求函数4y x =+的值域。

解:由250x -≥,可得||x ≤故可令,[0,]x ββπ=∈ ∵0βπ≤≤ 当4πβ=时,max 4y =当βπ=时,min 4y =故所求函数的值域为:[44六、判别式法:把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =;通过方程有实数根,判别式0∆≥,从而求得原函数的值域,形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++(1a 、2a 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。

例13:求函数2231x x y x x -+=-+的值域。

解:由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=,当1y =时,此方程无解;当1y ≠时,∵x R ∈,∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥, 解得1113y ≤≤,又1y ≠,∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤七、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。

例14:求函数y x =-解:∵当x 增大时,12x -随x的增大而减少,x 的增大而增大,∴函数y x =1(,]2-∞上是增函数。

∴1122y ≤=,∴函数y x =1(,]2-∞。

例15. 求函数y =解:原函数可化为:1x 1x 2y -++=令1,121-=+=x y x y ,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以21y y y +=在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值222=显然0y >,故原函数的值域为]2,0(适用类型2:用于求复合函数的值域或最值。

(原理:同增异减)例16:求函数)4(log 221x x y -=的值域。

分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:2()4(()0)t x x x t x =-+≥配方得:2()(2)4()0,4)t x x t x =--+∈所以(由复合函数的单调性(同增异减)知:),2[+∞-∈y 。

八、利用有界性:一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等。

例17:求函数cos sin 3xy x =-的值域。

解:由原函数式可得:sin cos 3y x x y -=,可化为: 即sin ()x x β+=∵x R ∈∴sin ()[1,1]x x β+∈-即11-≤≤解得:44y -≤≤故函数的值域为44⎡-⎢⎣⎦注:该题还可以使用数形结合法。

cos cos 0sin 3sin 3x x y x x -==--,利用直线的斜率解题。

例18:求函数1212xxy -=+的值域。

解:由1212x xy -=+解得121xy y -=+, ∵20x >,∴101yy->+,∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。

九、图像法(数形结合法):其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。

例19:求函数|3||5|y x x =++-的值域。

解:∵22|3||5|822x y x x x -+⎧⎪=++-=⎨⎪-⎩(3)(35)(5)x x x <--≤<≥, ∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示,由图像知:函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞例20. 求函数y = 解:原函数可化简得:|2||8|y x x =-++上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2),(8)B -间的距离之和。

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