3.1.2.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课件(人教A版必修4)

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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件

明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β

高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4

2
.
则 tan θ= (��又称为辅助角).
��
∴asin α±bcos α= ��2 + �� 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
�� 2 + �� 2 sin(�� ± ��). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
�� α -�� β 1+�� α�� β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin�� ±
�� 2 +��2
cos�� ,
∵
�� 2 + ��2

高中数学必修四人教版3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式8ppt课件

解析：(1)sin7° cos37° －sin83° sin37° ＝sin7° cos37° － 1 cos7° sin37° ＝sin(7° －37° )＝sin(－30° )＝－sin30° ＝－ 2 ，故选B. (2)sin165° ＝sin15° ＝sin(45° －30° ) ＝sin45° cos30° －cos45° sin30° 6－ 2 2 3 2 1 ＝ × － × ＝ .故选D. 2 2 2 2 4
课堂篇02
合作探究
公式的简单应用
【例1】
化简求值：
(1)cos44° sin14° －sin44° cos14° ； (2)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ； (3)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋ x)．
【分析】
通法提炼三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：
1 1 tanα 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值． 2 3 tanβ
1 1 解：∵sin(α＋β)＝2，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝2.① 1 1 ∵sin(α－β)＝3，∴sinαcosβ－cosαsinβ＝3.② 5 1 由①，②解得sinαcosβ＝12，cosαsinβ＝12， 5 tanα sinαcosβ 12 ∴tanβ ＝cosαsinβ＝ 1 ＝5. 12
2．利用cos(α－β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么方法？该方法中常见的形式有哪些？答：推导过程中，利用了角的代换的方法，常见的形式有： α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)]；α＝2[(β＋α)－(β－α)]； α＋β β α 2 ＝(α－2)－(2－β)．

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件(人教A必修4)

[研一题]
[例 2] β 4 α 12 β α 已知 sin(α－ )＝，cos( －β)＝－，且 α－和－β 分 2 5 2 13 2 2
α＋β 别为第二、第三象限角，求 tan 的值． 2 β 3 [自主解答] 由题意，得 cos(α－ )＝－， 2 5
α 5 sin( －β)＝－， 2 13 β 4 α 5 ∴tan(α－ )＝－，tan( －β)＝， 2 3 2 12
1 已知 sin αcos β＝，求 t＝cos αsin β 的取值范围． 4 [巧思] 因为 sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)，sin αcos β ＋cos αsin β＝sin(α＋β)，所以可利用三角函数的有界性确定 t 的取值范围．
[妙解] 由于 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 1 ＝＋t 4 1 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－t 4 又 sin(α＋β)∈[－1,1]，sin(α－β)∈[－1,1]， 1 －1≤4＋t≤1，故有－1≤1－t≤1， 4 即t 3 3 解得－ ≤t≤ . 4 4
2
4 32 1 1－＝ . 7 7
11 又∵cos(α＋β)＝－，α、β 均为锐角， 14
∴sin(α＋β)＝
5 3 1－cos2α＋β＝， 14
∴sin β＝sin(α＋β－α) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α 5 3 1 11 4 3 3 ＝ × －(－ )× ＝ . 14 7 14 7 2
S(α－β)
α，β∈R α，β∈R
αsin β sin αcos β－cos αsin β
sin(α－β)＝

必修4课件_3.1.2两角和与差的正弦正切公式

1必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，
2注意公式的结构，尤其是符号。
二【探究】
2.T(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin
cos(－ ) cos cos ＋sin sin
二【探究】
2.T(α±β)公式的推导
tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) (、、 k ) 1 tan tan 2
二【探究】
1.S(α±β)公式的推导
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
sin(＋ ) sin cos cos sin sin( - ) sin[ ( )] sin cos cos sin
3.1.2
两角和与差的正弦正切公式
一【引入】
1、两角和与差的余弦公式
cos(＋ ) cos cos －sin sin cos(－ ) cos cos ＋sin sin
2、使用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.符号判断、角的变形.
β = α +β α
a sin x b cos x
a b sin x
2 2
b tan ，所在象限就是点(a, b)所在象限 a
四
【课堂小结】
1.两角差的余弦公式 C＋是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程. 2.公式S ( a + b )与 S ( a 与T T

新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征，并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.

高中数学人教A版必修4课件：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第2课时)

3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
本节课利用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等体会三角恒等变换特点的过程，
理解推导过程，掌握其应用.并重点学习如何用辅助角公式研
究形如f(x) ＝asinx＋bcosx的性质．注意辅助角的求取要点和准确性.在解题时首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个象限.
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、正切公式
运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用． π π π π 例如，化简：sin4－3xcos3－3x－cos6＋3x· sin4＋3x. π π π π 解原式＝sin4－3xcos3－3x－sin3－3x· cos4－3x π π ＝sin4－3x－3－3x π π ＝sin4－3 π π π π ＝sin 4cos 3－cos 4sin 3 2－ 6 2 1 2 3 ＝ 2 ×2－ 2 × 2 ＝ 4 .
(2)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋x)；
解
(1)原式＝sin 14° cos 16° ＋sin(90° －14° )· cos(90° －16° )
＝sin 14° cos 16° ＋cos 14° sin 16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin 30° ＝2.

高一数学人教A版必修4课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

第三章三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.填要点·记疑点1.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝2.两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝ .tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan(α＋β)(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)tan(α－β)探要点·究所然情境导学某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.解　设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，在Rt△ABD中，探究点一　两角和与差的正切公式的推导当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得探究点二　两角和与差的正切公式的变形公式思考　两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.练习：直接写出下列式子的结果：1(2)tan 75°＝；例1　求下列各式的值：(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟　公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.跟踪训练1　求下列各式的值：例2　若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值.解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，反思与感悟　此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.∴△ABC为等腰钝角三角形.反思与感悟　三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.跟踪训练3　已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan A ＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.证明　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan A tan B tan C.即tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C.4当堂测·查疑缺 123BB2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )A.1B.2C.－2D.不确定解析　(1＋tan A)·(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1－tan A tan B＋tan A tan B＝2.呈重点、现规律(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.3.公式T(α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.。

数学必修4人A教版3.1.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(41张)

S(α＋β)
S2α
C(α＋β)
C2α
正切
2tanα tan2α＝__1_－_t_a_n_2_α__
T(α＋β)
T2α
[总结]对倍角公式的理解： ①成立的条件：在公式 S2α、C2α 中，角 α 可以为任意角，T2α 则只有当 α≠k2π＋π4(k∈Z)时才成立． ②倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍形式，其他如 4α 是 2α 的二倍、α 是α2的二倍、3α 是32α的二倍等等都是适用的．
(5)原式＝2sin20°·cos22s0in°·2c0o°s40°·cos80° ＝2sin40°4·csoins4200°°·cos80° ＝2sin88s0in°·2s0in°80° ＝s8isni1n6200°°＝18. [规律总结] 解决此类问题的关键是利用非特殊角与特殊角间的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
计算：4cotsa2n1122°－°－2s3in12°. [解析] 原式＝2ssiinn1122°°c－os132c°ocso1s22°4°
＝212sicno1s22°4－°·si2n32c4o°s12° ＝2sin112°－60°＝－4.
2sin48°
• 给值求值
若
cos(
π 4
－
x)
＝
－
4 5
sinα＝－13，cosβ＝
7 4.
则 sin(α－β)＝________.
[答案]
6 2－ 7 12
• ●自主预习
• 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
简记
正弦余弦
sin2α＝_2_s_in_α_c_o_s_α__
cos2α＝cos2α－sin2α ＝_2_c_o_s_2_α_－__1_ ＝_1_－__2_s_i_n_2α__

人教A版高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)PPT

解： sin 5 ,sin 10 ,且，（0，）
5
10
2
cos 1 sin2 2 5 ,cos 1 sin2 3 10
5
10
cos( ) cos cos sin sin
2 5 3 10 5 10 2 5 10 5 10 2
又由已知可得 (0, ),
小试牛刀
1、设
cos
3 5
，
sin
4
5 ，且 13
,
0,
2
，则cos
4
56 ___6_5______;
2、设t tan tan tan tan ,且 5 ，
4
则t ____1______;
3、若 x ，求函数 y sin x 3 cos x
2
2
的最大值和最小值.
2
,
变式 : 在ABC中, A是锐角，且 sin A 5 , 5
sin B 10 , 求角C. 10
分析:由cosC cos (A B) cos( A B)
及例2.结果可得 cos C 2 , 2
又 C (0, ), C 3
4
例7、化简：(1)
3 sin
x
1 cos x
sin( x
f ( x)的周期及最大值;
2
x
6
2
x
3
2
解 : (1) f ( x)
2 2
1 2
sin(2
x
3
)
3 2
cos(2
x
3
)
2 2
sin(2 x
3
)
cos
3
cos(2
x
3
) sin

高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

tan32°= ( )
A. 3 m C. 3 (m-1)
B. 3 (1-m) D. 3 (m+1)
【解析】选B.因为28°+32°=60°, 所以tan60°=tan(28°+32°)= tan28＋ tan32＝3，
1tan 28tan 32
因为tan28°·tan32°=m,
所以tan28°+tan32°= 3(1-m).
所以A+B= .
4
【补偿训练】已知tanα ,tanβ 是方程x2+3 3 x+4=0 的两根,且α ,β ∈ ( , ), 则α +β =________.
22
【解析】因为tanα,tanβ是方程x2+3 3x+4=0的两根,
所以
tantan3
30,
tantan40.
3
3
答案: 1
3
【方法技巧】公式T(α ±β )的逆用及变形应用的解题策
略
(1)“1”的代换:在T(α ±β )中,如果分子中出现“1” 常利用1=tan 来代换,以达到化简求值的目的,
4
如 1 1 －＋ t ta a n n ＝ ta n ( 4 ) ； 3 1 t－ a n t a ＋ n 3 ＝ 3 ta n ( ＋ 4 ） .
【解析】1.选C.由cosα=- 4 且α∈ ( 得 , t a) , nα=
3,
5
所以
tan(
) 4
Байду номын сангаас
3 1 1(43)1

1. 7
2
4
4
2.选B.因为cosB=3 1 0 ,

数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4)

两角和与差的正弦、 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式余弦、
ks5u精品课件
问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些两角差的余弦公式是什么基本变式？基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
ks5u精品课件
思考5 正切函数与正弦、思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系，出发，存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
ks5u精品课件
理论迁移
3 是第四象限角，例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
4
ks5u精品课件
求下列各式的值：例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与差的三角系列公式的基础，在联系，就自然掌握了公式的形成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算的结构相同，符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.

人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二) (共42张PPT)

那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的，不怕真小人，就怕伪君子！不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。意志力是人的一条救生索，它可以帮助我们脱离困境，引导我们走向胜利。珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。让生活的句号圈住的人，是无法前时半步的。不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。
不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。你在学习上这种尝试精神很可贵。每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。
一个人想要平庸，阻拦他（她）的人很少；一个人想要出众，阻拦他（她）的人就很多。那些与周围关系融洽的人，大都很平庸，与周围人关系紧张的人，大都很出众。人都允许一个陌生人的发迹，却不能容忍一个身边人的晋升，因为同一层次的人之间存在着对比、利益的冲突，而与陌生人不存在这方面的问题。穿着饮食可以因陋就简，而搞学问是不能因陋就简的。人生，不可能一帆风顺，有得就有失，有爱就有恨，有快乐就会有苦恼，有生就有死，生活就是这样。萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执着。万物皆为我所用，但非我所属。成功的秘密在于始终如一地忠于目标。未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。用自己的双手去创造生活，用辛勤的汗水实现人生的梦想。

高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

3．
1 tan15 1 tan 45 tan15
教例 2、化简 2 cos x 6 sin x
学
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我
过们能否发现规律呢？
1
3
程
2 cos x 6 sin x 2 2 cos x
sin x 2 2 sin 30 x
2
2
及思考： 2 2 是怎么得到的？
1 tan tan
及
tan(
tan tan )
1 tan tan
方
（二）新课讲授
法
例 1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（ 1）、 sin 72 cos42 cos72 sin 42 ；
学生回答
（ 2）、 cos20 cos70
sin 20
sin 70
1
；（ 3）、
tan15
．
1 tan15
分析：逆用两角和与差正弦、余弦和正切公式 1
3
问题与情境及教师活动
学生活动
解：（ 1）、
sin 72 cos42 cos72 sin 42 sin 72 42
sin 30 1 2
（2）、cos20 cos70 sin 20 sin 70 cos 20 70 cos90 0 ；
（3）1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15
tan 60
（ 1）求 f (x) 的最值。（ 2）求 f (x) 的周期 .
（ 3）求 f (x) 的单调性。教
学分析：将函数化为 f x
1 4 sin x
2
3 cos x
2
4sin( x 60 )

人教a版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)(含答案)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

2019-2020学年高中数学人教A版必修4课件：3.1.2.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第十八页，编辑于星期日：点十四分。
类型三给值求角例 3 已知 tan α＝17，sin β＝ 1100，且 α，β 为锐角，求 α＋2β 的值．
第十九页，编辑于星期日：点十四分。
【解析】 ∵tan α＝17<1 且 α 为锐角，∴0<α<π4.
又∵sin
β＝
10 10 <
1500＝
22且
第一页，编辑于星期日：点十四分。
两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－__ta_n__α_ta_n_ β
两角差的正切
tan(α－β)＝ tan α－tan β
1＋__ta_n__α_ta_n_ β
简记符号 T(α＋β) T(α－β)
使用条件 α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z) α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
第十三页，编辑于星期日：点十四分。
类型二给值求值
例 2 (1)已知 tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么 tanα＋π4等于 ()
A.1138 B.1232
33 C.22 D.18
(2)
已
知
sin sin
α＋cos α－cos
α α
＝
3
，
ta
tan(β － 2α) ＝
方法归纳给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．

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4
4
答案：-3
【想一想】利用公式T(α ±β )求值的关键是什么？其中的角α ，
β 有什么要求？提示：(1)利用公式T(α〒β)求值的关键是借助已知条件求出 tanα，tanβ的值，然后代入公式求解. (2)公式T(α〒β)中的角α，β可以是一个“整体”，也可以是一个单纯的角，求解时要结合公式的特点求解.
(1)公式T(α ±β )的右侧为分式形式，其中分子为tanα 与 tanβ 的和或差，分母为1与tanα tanβ 的差或和. (2)
同号
tan( ) tan tan 1 tantan
异号符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
两角和与差的正切公式的简单运用
【技法点拨】利用公式T(α ±β )化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式. T(α ±β )是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换.
(1)tanα+tanβ=tan(α＋β)(1- tanαtanβ)；
（2） 1 tantan tan tan ； tan（） tan tan . tan（）
(3)tanα+tanβ+ tanαtanβtan(α＋β)= tan(α＋β)；
（4）tantan 1
tan60 tan45 3 1 2 3. 1 tan60tan45 1 3
答案： 2 3
tan60－tan18 3. 原式＝＝tan（60－ 18）＝tan42. 1 ＋tan60tan18
答案：tan42°
【想一想】你能写出两角和的正切公式的所有变形吗？提示：两角和的正切公式有如下几种变形：
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式并能应用. 2.能够熟练地正用、逆用和变形应用两角和与差的正切公式.
1.本课重点是两角和与差的正切公式的推导及应用. 2.本课难点是公式的变形应用.
两角和与差的正切公式 C(α -β ):cos(α -β )= cosα cosβ +sinα sinβ S(α -β ):sin(α -β )=
1 tantan 1 2
答案：-3 3.若 tan( ) 2, 则tanα =________.
4
tan tan 【解析】 4 2, 所以tanα=-3. tan( ) 4 1 tantan 4 答案：-3
公式T(α ±β )的结构特征和符号规律
系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
【典例训练】
1.已知 tan（＋）＝ 2 ，tan（－）＝ 1 ，那么tan(＋ ) 等于
5 4 4 4
( (A)
13 18
)
(B)13
2.(2012²北京高一检测)已知tanα =2，则 tan（） ______ .
sinα cosβ -cosα sinβ
利用商
数关系
tan tan 1 tantan
T( ) : tan( )
运用
代换
tan tan 1 tantan
T( ＋ )：tan(＋)
利用商数关系
C(α ＋β )：cos(α ＋β )= cosα cosβ -sinα sinβ
给值求值问题【技法点拨】给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换:分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的
三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.
(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求
角间的关系，如用α =β -(β -α )、2α =(α +β )+(α -β )等关
S(α +β ): S(α +β )= sinα cosβ +cosα sinβ
1.公式T(α ±β )中，α ，β 的使用范围是什么？提示：从公式的推导过程来看，要使公式成立，角α，β以及
α＋β都不能等于 k (k Z)，且tanαtanβ≠1
2
(或tanαtanβ≠-1).
2.已知tanα =1，tanβ =2，则tan(α ＋β )=__________. 【解析】tan( ) tan tan 1 2 3.
3
)
(B)1
(C) 3
(D) 6
2.计算tan105°=___________.
3.化简 3 tan18 ___________ .
1 3tan18
【解析】1.选B. 原式＝tan10°tan20° ＋（－ 3 1 tan10tan20） tan(10°＋20°) ＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1. 2.tan105°=tan(60°+45°)
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用. 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、 “ 3 ”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如
“1 tan ”、“ 3 tan ”，这样可以构造出利用公式的条件， 4 3
从而可以进行化简和求值.
【典例训练】 1.tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)等于( (A) 1
4 3.(2012²银川高一检测) 1 tanA 5, 则tan（ A） _________ . 1 tanA 4
22
(C)
3 22
(D)
3 18
【解析】1.选 3 ＝ 5 4 ＝ . 2 1 22 1 ＋ 5 4 tan 1 2 1 2.tan（） 3. 4 1 tan 1 2 tanA 1 tanA 4 3. tan（ A） 5. 1 tanA 1 tan tanA 4 4 答案： 5 tan