《两角差的余弦公式》ppt课件
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两角差的余弦公式PPT优秀课件
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
16
1
65
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
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cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
简记：C ( )
公式的结构特征: 左边是复角α+β 的余弦,右边是单角α、β
的余弦积与正弦积的差.
将 替换为
co s ()cos (())
co cs o )s s(is ni n ) (
3、 在 A B C 中 ， 若 sinA sinB = cosA cosB ,
则 A B C 是 ( ).
( A ) 直 角 三 角 形 ( B ) 钝 角 三 角 形
( C ) 锐 角 三 角 形 ( D ) 不 确 定
1
小 结 作业：讲义
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第1课时两角差的余弦公式)
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
A．
3 2
C．－
3 2
B．12 D．－12
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° ＝12.]
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2．cos(－15°)的值是( )
A.
6－ 2
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37
2．已知 α 为锐角，β 为第三象限 角，且 cos α＝1123，sin β＝－35，则 cos(α －β)的值为( )
A [∵α为锐角，cos α＝1123， ∴sin α＝ 1－cos2α＝153，
A．－6635
B．－6353
∵β为第三象限角，sin β＝－35，
C.6635
D.6353
12
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③12cos
15°＋
3 2 sin
15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝ 22.
13
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14
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构 形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
系和公式 C(α－β)求 cos(α－β)． (2)由已知角π3＋α 与所求角 α 的关系即 α＝π3＋α－π3寻找解题思路．
栏目导航
19
(1)D [因为sin α－sin β＝1－ 23，
5.5.1第一课时两角差的余弦公式课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1、利用公式C 证明：
−
3
（1）cos
− = −;
2
（2）cos − = .
证明：（1） cos
3
2
− =
3
2
+
3
2
= 0 −
(2) cos − = cos 0 − = 0 − 0 = − 0
(1) cos （ 2
− ） = sin
(2)cos （ − ） = − cos
解:cos （
2
− ）
= cos cos
2
+
sin sin =sin
2
cos （ − ） = cos cos + sin sin =−cos
4
例2.已知 = ，
3
=4 × −
=
2 7−3 5
12
5
3
+（−
7
）
4
2
× （ − 3）
∈
3
, 2
2
, 求cos − 的值.
PART 04
小结
小结
差角的余弦公式： （ − ）= +
思考探究：现在我们已经掌握了差角的余弦公式，
如何利用变式得到和角的余弦公式
整理得：
（ − ）= +
（ − ）= +
此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 − 的余弦
的关系，称为差角的余弦公式，简记作：C（ − ）
例1.利用差角的余弦公式证明下列诱导公式
利用差角余弦公式求值
2、利用公式C
人教版高中数学必修4(A版) 两角差的余弦公式 PPT课件
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
练习：
课本P140 1, 2，3，4 题。
应用
3:公式的逆用
cosααcos cos( -β β )=cos +sinα sin cosβ=cos( +sinααsin -β β ) cos12° +sin27° sin12° 的值 例3： 求 cos27°
–cos30 ° cos( 0° -30° ) ≠ cos 0 ° –cos45° cos(270° -45° ) = cos270° 问题2:你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? cos(60° -30° ) = cos60° cos30° +sin60° sin30° cos(90° -45° ) = cos90° cos45° +sin90° sin45°
人教社高中数学必修四
D
问题1：
①如何把实际问题转 化为数学问题？
C
A
B
引例 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，小 山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点 间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（∠CAD） 约为45°，求这座电视发射塔的高度？
D
X 67
45°
A C
在Rt△ABD中， x 30 tan(45°+α)≈ 60 思考：
求cosxcos(x+15° ) +sinx sin(x+15° )的值
6 4
2
这节课，我学到了什么？
知识：掌握了公式Cα-β并会正确应用
能力：通过对公式Cα-β获得过程的探究， 提高了数学的探究能力及分析问题 解决问题的能力 求简 数学 数形结合 思想 分类讨论 方程的思想
人教版高中数学第三章1两角差的余弦公式(共14张PPT)教育课件
2
10
练习： P142 .3
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
学 例3.已知
sinα= 54，α2,，co sβ
=
-
5 13
，
以 β是第三象限角，求cos(α-β)的值
致
用
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
变角: β=α+βα
分析：c o c so s
cα o β s co s sα i α β n sinα
5 4 12 3 135135
16 65
凡 事都 是多 棱镜 ，不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ，就会 有个 好心 境， 若把 很多 事 看开了 ，就 会有 个好 心情。 让聚 散离 合犹 如月 缺月 圆那样 寻常 ，
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β).
作业：P152. 2、3
再见
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
思考题：已知α ， β 都是锐角, c o sα
=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
c o s(α - β ) c o s α c o s β + sin α sin β
例1.利用差角余弦公式求c o s 1 5 的值
学 分析: cos15cos4530
以
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
4
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A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
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巩固练习:
解：
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变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
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0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
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探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
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3.1.1两角差的余弦公式PPT
π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 已知一个角的正弦 的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝ ，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ ＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用 掌握两角差的余弦公式， 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出， 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 函数值.我们希望再引进一些公式， 更多的非特殊角的三角函数值， 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.
5.5.1两角差的余弦公式课件(人教版)
5.5.1 三角恒等变换 第1课时 两角差的余弦公式
学习目标
素养目标
学科素养
1.会用两点间离公式推导出两角差的余弦公式；1.直观想象
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
2.数学运算
自主学习
推导：如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始 边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1、A1、P. 思考：P1、A1、P 点的坐标如何表示？线段 AP 和 A1P1 有什么关系？
3 解析：原式＝2cos30°－ cos2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝ 3cos20°＋cossi2n02°0°－sin20°＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
当堂达标
6.已知 2cos cos 3 ， 2sin sin 2 则 cos __________．
经典例题
题型二 给值求值
跟踪训练2
已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，求 cosα＋π4的值．
解：因为 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，
α＋β∈32π，2π，β－π4∈2π，34π，
所以 cos(α＋β)＝45，cosβ－4π＝－153，
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角
学习目标
素养目标
学科素养
1.会用两点间离公式推导出两角差的余弦公式；1.直观想象
2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．
2.数学运算
自主学习
推导：如图所示，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A(1,0)，以 x 轴非负半轴为始 边作角 α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点 P1、A1、P. 思考：P1、A1、P 点的坐标如何表示？线段 AP 和 A1P1 有什么关系？
3 解析：原式＝2cos30°－ cos2200°°－sin20° ＝2cos30°cos20°＋c2ossi2n03°0°sin20°－sin20° ＝ 3cos20°＋cossi2n02°0°－sin20°＝ c3ocso2s02°0°＝ 3.
当堂达标
6.已知 2cos cos 3 ， 2sin sin 2 则 cos __________．
经典例题
题型二 给值求值
跟踪训练2
已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，求 cosα＋π4的值．
解：因为 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－4π＝1123，
α＋β∈32π，2π，β－π4∈2π，34π，
所以 cos(α＋β)＝45，cosβ－4π＝－153，
P1(cosα，sinα)、A1(cosβ，sinβ)、P(cos(α－β)，sin(α－β))
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角
高中数学必修第一册人教A版《5.5两角差的余弦公式》名师课件
来的圆重合,这一性质叫做圆的旋转对称性．
连接1 1 ,．若把扇形,绕着点旋转角,则点,
分别与点1 , 1 重合．根据圆的旋转对称性可知,与
1 1 重合,从而, 所以＝1 1
ห้องสมุดไป่ตู้究新知
根据两点间的距离公式,得
cos − − 1 2 + s −
复习引入
不用计算器,求cos −375° 的值.
−° = ° = ° + ° = °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. 15 ° = (45 ° − 30 °) = 45 ° − 30 °成立吗?
3. (45 ° − 30 °)能否用45 °和30 °的角的三角函数来表示?
−
=
，求的值
−
=
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又cos(α－β)＝ ， ∴
( − ) =
− (
− ) =
−
由 = − ( − )得
= [ − ( − )] = ( − ) + ( − )
不妨令 ≠ 2kπ＋β, ∈ ． 如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0),
以轴非负半轴为始边作角, , — , 它们的终边分别与单位圆相交于
1 (, ), 1 (, ),((－), (－))．
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原
＝(－ ＝(－
)×(－ )×
)＋(－
＋
×)×
＝＝ －
. .
方法归纳
连接1 1 ,．若把扇形,绕着点旋转角,则点,
分别与点1 , 1 重合．根据圆的旋转对称性可知,与
1 1 重合,从而, 所以＝1 1
ห้องสมุดไป่ตู้究新知
根据两点间的距离公式,得
cos − − 1 2 + s −
复习引入
不用计算器,求cos −375° 的值.
−° = ° = ° + ° = °
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式?
2. 15 ° = (45 ° − 30 °) = 45 ° − 30 °成立吗?
3. (45 ° − 30 °)能否用45 °和30 °的角的三角函数来表示?
−
=
，求的值
−
=
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又cos(α－β)＝ ， ∴
( − ) =
− (
− ) =
−
由 = − ( − )得
= [ − ( − )] = ( − ) + ( − )
不妨令 ≠ 2kπ＋β, ∈ ． 如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0),
以轴非负半轴为始边作角, , — , 它们的终边分别与单位圆相交于
1 (, ), 1 (, ),((－), (－))．
任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原
＝(－ ＝(－
)×(－ )×
)＋(－
＋
×)×
＝＝ －
. .
方法归纳
5.5.1两角差的余弦公式课件共18张PPT
2
巩固练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
1.计算下列各式的值.
（1）cos175cos55sin175sin55
1 2
(2)cos( 21)cos( 24) sin( 21)sin( 24) 2 2
(3)已知sin sin 1 ,cos cos 1 ,
例4：求函数f (x) 3 cos x 1 sin x的周期 .
2
2
解：原式
cosx cos
sin
x sin
6
6
cos(x )
6
所以函数的周期是2 .
深化练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosαsinαβsinα
5 4 12 3 16 13 5 135 65
课堂小结
一个公式：两角差的余弦公式
两种思想： 转化化归思想； 数形结合思想.
三种题型： 给角求值； 给值求值； 给值求角.
课堂小结
两角差的余弦公式
对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
分析: cos15 cos 45 30
cos15 cos60 45
思考：你会求sin75 的值吗?
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
例2:利用公式证明：
(1) cos( ) sin;(2) cos( ) cos
2
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
巩固练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
1.计算下列各式的值.
（1）cos175cos55sin175sin55
1 2
(2)cos( 21)cos( 24) sin( 21)sin( 24) 2 2
(3)已知sin sin 1 ,cos cos 1 ,
例4：求函数f (x) 3 cos x 1 sin x的周期 .
2
2
解：原式
cosx cos
sin
x sin
6
6
cos(x )
6
所以函数的周期是2 .
深化练习 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
思考题：已知α，β都是锐角, cosα=
4， 5
cosα+β 5 求cosβ的值 13
变角: β= α+β α
分析：cos cos
cosαβcosαsinαβsinα
5 4 12 3 16 13 5 135 65
课堂小结
一个公式：两角差的余弦公式
两种思想： 转化化归思想； 数形结合思想.
三种题型： 给角求值； 给值求值； 给值求角.
课堂小结
两角差的余弦公式
对于任意角α,β都有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
分析: cos15 cos 45 30
cos15 cos60 45
思考：你会求sin75 的值吗?
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
例2:利用公式证明：
(1) cos( ) sin;(2) cos( ) cos
2
典型例题 cos(α-β) cosαcosβ+ sinαsinβ
第1课时 两角差的余弦公式 课件(共12张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
化简得：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ；
将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立；
所以，对于任意 α，β 有：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，
简记作：C( α − β ) .
思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？
5.5.1.1 两角差的余弦公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点）
2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任
意角 α 的三角函数的恒等关系.
思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三
PQ =
1 − 2
2
+ 1 − 2
2
.
注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再
套公式求解！
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？
若能，请说明理由.
令 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β，
根据勾股定理得：MQ2+MP2
=
M
PQ2，
即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2，
故 PQ 的距离为：
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
o
.
将 α = 2kπ + β（k∈Z）带入上式，易证上式仍然成立；
所以，对于任意 α，β 有：cos (α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ，
简记作：C( α − β ) .
思考：上述差角的余弦公式，在三角函数计算过程中有何作用？
5.5.1.1 两角差的余弦公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.理解两角差的余弦公式的推导过程；（重点）
2. 会利用两角差的余弦公式化简、求值、证明等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
回顾：诱导公式都是特殊角与任意角 α 的和（或差）的三角函数与这个任
意角 α 的三角函数的恒等关系.
思考：如果把特殊角换为任意角 β，那么任意角 α 与 β 的和（或差）的三
PQ =
1 − 2
2
+ 1 − 2
2
.
注：公式使用过程中，可先建立直角坐标系，将任意两点的坐标标出，再
套公式求解！
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：如果已知任意角 α、β 的正弦、余弦，你能由此推出 α – β 的余弦吗？
若能，请说明理由.
令 ≠ 2kπ + β，k∈Z，如图，以 x 轴非负半轴为始边作角 α，β，α – β，
根据勾股定理得：MQ2+MP2
=
M
PQ2，
即：(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = PQ2，
故 PQ 的距离为：
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
o
.
1 第1课时 两角差的余弦公式(共34张PPT)
解：(1) 23cos 75°＋12sin 75° ＝cos 30°cos 75°＋sin 30°sin 75°
＝cos(30°－75°)＝cos(－45°)
＝
2 2.
(2)cosπ4＋θcos θ＋sinπ4＋θsin θ ＝cos[π4＋θ－θ]＝cos π4＝ 22.
探究点 2 给值求值 (1)已知 cos α＝13，α 是第四象限角，sin β＝35，β 是第二象限角，求
2．已知 sinα＋π4＝45，且54π<α<74π，求 cos α 的值．
解：因为54π<α<74π，
所以32π<α＋π4<2π.所以 cosα＋π4>0，
所以 cosα＋π4＝ 1－sin2α＋π4＝ 1－1265＝35，
所以 cos α＝cosα＋π4－π4＝
cosα＋π4cos
π4＋sin
(变条件)若把本例(2)中的“α，β∈0，π2”改为“α，β∈π2，π”，求 cos β
的值．
解：因为 α，β∈π2，π，所以 π＜α＋β＜2π， 由 cos(α＋β)＝－6156，得 sin(α＋β)＝－6635，
又 sin α＝45， 所以 cos α＝－35， 所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－6156×－53＋－6635×45 ＝－230245.
给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的 三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活 地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋2 β＋α－2 β； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
《两角差的余弦公式》课件
1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式 将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两 角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量 夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进 行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期 性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角 恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式 的几何意义，能够熟练应用公式 进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关 于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需 要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问 题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05
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§3.1.1两角差的余弦公式
问 题 探 究 一
不用查表和计算器，求 cos15 的值.
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos15 ° =cos(45 °-30 °)=cos45 ° -cos30 ° 成立吗? 3. cos (45 ° -30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角 函数来表示?
(1)向量的数量积
OA ___________________________ OB
-1
x
1
OA cosα ,sinα
OB cosβ ,sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
OA OB cos cos sin sin
y 1 A α -β α -1 o B
β
1 x
∴ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
推导的不严谨之处？
设OA与OB的夹角为 ，则
图（1）可知：
-1
2k
结 cos( -β ) cosα cosβ + sinα sinβ α 论 归 差角的余弦公式 C 纳
αβ
注意：1.公式的结构特点；
2.式子中α ,β 是任意的； 3.式子的逆用,变形用。
第一关
学 cos15 cos 60 45 以 cos 致 解： 15 cos(45 30) cos45 cos30 sin 45 sin 30 用
0
cos(α -β )cosα -cosβ 如何用任意角α 与β 的正弦、余弦来表示 cos(α -β )？
课题：两角差的余弦公式
独立思考以下问题：
问 题 探 究 二
若a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a ____________ b
16 65
A
sin
OM=OB+BM =OB+CP =OAcos+APs in =coscos+sins in
P
cos
C
B
O
M
1
x
cos cos
+
sin sin
证明二（向量方法） OA cosα ,sinα , OB cosβ ,sinβ
5 4 cos 已知α ，β 都是锐角, cosα = ， α +β 13 5
拓展
求cosβ 的值
分析： cos
α 变角:
cos βcosα sin βsinα α α
5 4 12 3 13 5 13 5
图（2）可知：
终边 A
y
O
2k
即 2k
终边 终边 A B
y
O
终边 B
x
x
cos cos
cos cos cos sin sin
(1)
(2)
对于任意角
α , β
4 ,α∈( ,),cosβ= 例2， 已知sinα＝ 2 5 第三象限角，求cos(α-β)的值。
4 解:由sinα＝ 5 α∈( ,),得 , 2
应用
5 , β是 13
3 4 cos 1 sin 2 1 5 5
2
2
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
有向线段分别表示：AP=sinβ
y
cosβ
OA=cosβ sinβ P
1
A
O
P x
证明一
y 1 P1
证明的前提： ，，-都是锐角，且 ＞
第三关
(1) cos ） __________ （ 4 (2) cos ） ____________ （ (3) cos（ ） cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____) (4) cos（ ） ） cos(_____)cos(_____)____sin(_____)sin(_____) （
（2）单位圆上的点的坐标表示 OA 由图可知： (________________), OA ______ OB (________________), OB ______
y 1 α -β α β o B 1 A
a ______________ b
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
12 5 sin 1 cos2 1 13 13
- 5 ，β是第三象限的角，得 又由cosβ= 13
例1、利用差角余弦公式求 分析: cos15 cos 45 30
cos15 的值
2 3 2 1 2 2 2 2
6 4
2
第二关
若β 固定，分别用 π ,
π 代替α ，你将会发现什么结论呢？ 2
(1) cos( ) _________________________________ (2) cos( ) _________________________________ 2
§3.1.1两角差的余弦公式
问 题 探 究 一
不用查表和计算器，求 cos15 的值.
1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos15 ° =cos(45 °-30 °)=cos45 ° -cos30 ° 成立吗? 3. cos (45 ° -30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角 函数来表示?
(1)向量的数量积
OA ___________________________ OB
-1
x
1
OA cosα ,sinα
OB cosβ ,sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
OA OB cos cos sin sin
y 1 A α -β α -1 o B
β
1 x
∴ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
推导的不严谨之处？
设OA与OB的夹角为 ，则
图（1）可知：
-1
2k
结 cos( -β ) cosα cosβ + sinα sinβ α 论 归 差角的余弦公式 C 纳
αβ
注意：1.公式的结构特点；
2.式子中α ,β 是任意的； 3.式子的逆用,变形用。
第一关
学 cos15 cos 60 45 以 cos 致 解： 15 cos(45 30) cos45 cos30 sin 45 sin 30 用
0
cos(α -β )cosα -cosβ 如何用任意角α 与β 的正弦、余弦来表示 cos(α -β )？
课题：两角差的余弦公式
独立思考以下问题：
问 题 探 究 二
若a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a ____________ b
16 65
A
sin
OM=OB+BM =OB+CP =OAcos+APs in =coscos+sins in
P
cos
C
B
O
M
1
x
cos cos
+
sin sin
证明二（向量方法） OA cosα ,sinα , OB cosβ ,sinβ
5 4 cos 已知α ，β 都是锐角, cosα = ， α +β 13 5
拓展
求cosβ 的值
分析： cos
α 变角:
cos βcosα sin βsinα α α
5 4 12 3 13 5 13 5
图（2）可知：
终边 A
y
O
2k
即 2k
终边 终边 A B
y
O
终边 B
x
x
cos cos
cos cos cos sin sin
(1)
(2)
对于任意角
α , β
4 ,α∈( ,),cosβ= 例2， 已知sinα＝ 2 5 第三象限角，求cos(α-β)的值。
4 解:由sinα＝ 5 α∈( ,),得 , 2
应用
5 , β是 13
3 4 cos 1 sin 2 1 5 5
2
2
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
有向线段分别表示：AP=sinβ
y
cosβ
OA=cosβ sinβ P
1
A
O
P x
证明一
y 1 P1
证明的前提： ，，-都是锐角，且 ＞
第三关
(1) cos ） __________ （ 4 (2) cos ） ____________ （ (3) cos（ ） cos(_____)cos(_____)_____sin(_____)sin(_____) (4) cos（ ） ） cos(_____)cos(_____)____sin(_____)sin(_____) （
（2）单位圆上的点的坐标表示 OA 由图可知： (________________), OA ______ OB (________________), OB ______
y 1 α -β α β o B 1 A
a ______________ b
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
12 5 sin 1 cos2 1 13 13
- 5 ，β是第三象限的角，得 又由cosβ= 13
例1、利用差角余弦公式求 分析: cos15 cos 45 30
cos15 的值
2 3 2 1 2 2 2 2
6 4
2
第二关
若β 固定，分别用 π ,
π 代替α ，你将会发现什么结论呢？ 2
(1) cos( ) _________________________________ (2) cos( ) _________________________________ 2