1.4 克莱姆法则
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克莱姆法则
对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相 比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的 。
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
克莱姆法则的证明及应用
对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用 Cramer 法则，有
定理 若其次线性方程组
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn =0,
a21x1
+ a22 x2 + + a2n xn
=0,
an1x1 + an2 x2 + + ann xn =0.
（1-3）
用 D 的第 j 列元素 a1 j , a2 j ,, anj 的代数余子式 A1J , A2J ,, Anj 依次乘所得的 n 个恒等式的两端再相加，得
A1 j : a11k1 + a12k2 + + a1 jk j + + a1nkn =b1, A2 j : a21k1 + a22k2 + + a2 jk j + + a2nkn =b2 Anj : an1k1 + an2k2 + + anjk j + + annkn =bn , 0k1 + 0k2 + + Dk j + + annkn =Dj ,
克莱姆法则及其应用
前言
克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士 数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，， 曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等 代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式， 在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1.4 克莱姆法则
11
11
0 0 1
(1 )2 ( 2)
当 D 0 时，即 1 或 2 时，
此方程组有非零解。
13
例5 试问当λ为何值时，齐次线性方程组
( 3)x1 x2 0 4x1 ( 1)x2 0 4x1 8x2 ( 2)x3 0
r2 r3 0 5 0 6 5 0 6
r3 r4
0 1 2 11 0 3 22
r4 2r1
0 3 3 11
73
x1
73 139
27
3、用克莱姆法则求解方程组
x1 x2 x3 x4 5 解
15 1 1
x1 2x2 x3 x4 2x1 3x2 x3 5
cay
abz
3abc
解 111 1 1
D a b c 0 ba
bc ca ab 0 c(a b)
1 ca b(a c)
1 (a b)(c a)
1 (a b)(b c)(c a)
c b
21
2、用克莱姆法则求解方程组
111
x yz abc
a11
x2
a21 a11
a21
b1 b2 D2 a12 D a22 D 0
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式
的值。同样用此方法可解n元一次方程组。
3
定理1（克莱姆法则） 见教材P37
当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
1 5 1 3 1 6 0 2
解.
1.4 克莱姆( Cramer )法则
24
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
克莱姆法则
例3：求一个顶点在（0，0，0）相邻顶点在（1，0， －1）（1，2，4）（7，1，0）的平行六面体的体积. 解：以（0，0，0）为起点，作三个向量
1 0 2T , 1 2 4T , 7 1 0T
以，， 为列构造三阶行列式
1 17 D 0 2 1 22, 所求的平行六面体体积 D 22.
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x2
D2 D
0 67
0,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 设 ai aj , i, j 1, 2, 3, 4, 求解方程组
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
*
当 D 0 时,方程组 * 有唯一的一个解
x1
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
1 0 2T , 1 2 4T , 7 1 0T
以，， 为列构造三阶行列式
1 17 D 0 2 1 22, 所求的平行六面体体积 D 22.
4 67 , 12
0 D4 1
3 1
04
67,
1 11 6
1 1 5 6 2
1 1 3 5 6
x1
D1 D
67 3
67
1 3
,
x2
D2 D
0 67
0,
x3
D3 D
67 2
67
1 2
,
x4
D4 D
67 67
1.
例3 设 ai aj , i, j 1, 2, 3, 4, 求解方程组
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
而其余xi i j的系数均为0; 又等式右端为Dj .
于是 Dxj Dj j 1,2, ,n.
*
当 D 0 时,方程组 * 有唯一的一个解
x1
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
用克莱姆法则求解方程 概述及解释说明
用克莱姆法则求解方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文将介绍克莱姆法则在解方程中的应用。
克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，通过使用矩阵和行列式的概念，能够简洁地求得方程组的解。
本文将详细说明该方法的原理、适用条件、算法步骤以及其在不同领域中的应用。
1.2 文章结构文章分为以下几个部分：引言、克莱姆法则概述、克莱姆法则的应用领域、克莱姆法则局限性与优缺点分析以及结论和总结。
下面将对每个部分进行详细说明。
1.3 目的本文旨在全面介绍克莱姆法则，并通过实例和案例分析展示其在实际问题中的应用。
同时，对于该方法所具有的局限性和优缺点进行客观评述，以便读者深入理解和掌握克莱姆法则并对其进行合适的应用选择。
请根据以上内容撰写“1. 引言”部分内容，确保信息传达清晰连贯，并避免包含网址或其他特殊格式。
2. 克莱姆法则概述:2.1 原理说明:克莱姆法则（Cramer's Rule）是一种用于求解线性方程组的方法。
它基于矩阵论和行列式的相关知识，通过分别计算系数矩阵和增广矩阵的行列式来求解未知量。
克莱姆法则适用于含有n个方程、n个未知量的线性方程组，并且假设该方程组有唯一解。
在克莱姆法则中，我们首先需要构建一个系数矩阵A，然后将其与一个列向量B 进行合并形成增广矩阵。
接下来，我们可以通过计算A和B的行列式来求得每个未知量对应的结果。
具体而言，若方程组为Ax=B，则克莱姆法则给出了如下公式：x_i = det(A_i) / det(A)其中，x_i表示第i个未知量的值，det(A_i)表示将第i列替换为B所形成的新矩阵A_i的行列式，det(A)表示原始系数矩阵A的行列式。
2.2 适用条件:克莱姆法则适用于以下条件：- 方程组必须是线性方程组；- 方程组中包含的未知量个数和方程个数相同；- 系数矩阵A必须是一个非奇异矩阵，即其行列式不为零。
2.3 算法步骤:克莱姆法则的求解步骤如下：1. 根据给定的线性方程组，构建系数矩阵A和列向量B。
行列式的计算及克莱姆法则
判断它有无非零解
例4 已知齐次线性方程组
kx + y + z = 0 x + ky + z = 0 x + y + kz = 0
有非零解，求系数 的值 的值。 有非零解，求系数k的值。
注意： 注意：
1 求出解后，一般应代回方程组检验 求出解后， 2 应用克莱姆法则解线性方程组，计算量 应用克莱姆法则解线性方程组， 仍很大， 仍很大，后面我们会给出更一般的解 法。
齐次线性方程组： 齐次线性方程组：常数皆为零的线性方程组 齐次线性方程组的解： 齐次线性方程组的解： 显然，所有未知量皆取零， 显然，所有未知量皆取零，则为齐次线性方程 组的一个解，这个解称为零解 零解； 组的一个解，这个解称为零解； 此外，若未知量的一组不全为零的值也是它的 此外， 这个解称为非零解 非零解。 解，这个解称为非零解。 齐次线性方程组一定有零解， 齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零 解，下面给出定理
Q D1 =
5 2 9 4
=2
D2 =
1 5 3 9
= −6
D1 2 x1 = D = −2 = −1 所以， 所以，该方程组的解为 x = D2 = −6 = 3 2 D −2
x1 − x2 + x3 = 1 例2 解线性方程组 x1 − 2 x2 − x3 = 0 3x + x + 2 x = 7 3 1 2
结论： 结论：
定理1.2 n阶行列式 等于它的任意一行（列） 阶行列式D等于它的任意一行 定理 阶行列式 等于它的任意一行（ 各元素与其代数余子式乘积之和， 各元素与其代数余子式乘积之和，即
a11 D = a21
M
例4 已知齐次线性方程组
kx + y + z = 0 x + ky + z = 0 x + y + kz = 0
有非零解，求系数 的值 的值。 有非零解，求系数k的值。
注意： 注意：
1 求出解后，一般应代回方程组检验 求出解后， 2 应用克莱姆法则解线性方程组，计算量 应用克莱姆法则解线性方程组， 仍很大， 仍很大，后面我们会给出更一般的解 法。
齐次线性方程组： 齐次线性方程组：常数皆为零的线性方程组 齐次线性方程组的解： 齐次线性方程组的解： 显然，所有未知量皆取零， 显然，所有未知量皆取零，则为齐次线性方程 组的一个解，这个解称为零解 零解； 组的一个解，这个解称为零解； 此外，若未知量的一组不全为零的值也是它的 此外， 这个解称为非零解 非零解。 解，这个解称为非零解。 齐次线性方程组一定有零解， 齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零 解，下面给出定理
Q D1 =
5 2 9 4
=2
D2 =
1 5 3 9
= −6
D1 2 x1 = D = −2 = −1 所以， 所以，该方程组的解为 x = D2 = −6 = 3 2 D −2
x1 − x2 + x3 = 1 例2 解线性方程组 x1 − 2 x2 − x3 = 0 3x + x + 2 x = 7 3 1 2
结论： 结论：
定理1.2 n阶行列式 等于它的任意一行（列） 阶行列式D等于它的任意一行 定理 阶行列式 等于它的任意一行（ 各元素与其代数余子式乘积之和， 各元素与其代数余子式乘积之和，即
a11 D = a21
M
克莱姆法则
如何结合其他决策方法提高克莱姆法则的决策效果
结合其他决策方法
• 将克莱姆法则与直觉决策、群体决策等其他决策方法相 结合 • 实现决策方法的互补和优化，提高决策效果
决策效果评估
• 建立决策效果评估机制，对决策过程进行监督和反馈 • 根据评估结果，不断调整和优化决策方法，提高决策效 果
CREATE TOGETHER
政策方案的选择
• 通过克莱姆法则对政策方案进行评估和选择，实现最优政策效果 • 克莱姆法则有助于提高政策制定的科学性和民主性，增强政策的可信度
克莱姆法则在个人决策中的应用实例
职业规划
• 通过克莱姆法则明确职业目标，分析个人能力和市场需求，制定合适的职业规划 • 克莱姆法则可以帮助个人实现职业发展目标，提高职业满意度
克莱姆法则的发展历程
• 20世纪60年代，克莱姆法则开始受到广泛关注 • 20世纪70年代，克莱姆法则被广泛应用于项目管理领域 • 20世纪80年代，克莱姆法则逐渐成为决策科学的一个重要分支
克莱姆法则的核心要义与基本原理
克莱姆法则的核心要义
• 明确问题：首先需要清晰地定义问题和决策目标 • 收集信息：收集与问题相关的所有信息和数据 • 列出解决方案：根据收集到的信息，提出所有可能的解决方案 • 评估风险：对每个解决方案的风险进行评估，选择风险最小的方案
决策步骤优化
• 对决策步骤进行精简，提高决策效率 • 引入人工智能和大数据技术，辅助决策过程
如何提高克莱姆法则在复杂问题决策中的准确性
提高信息质量
• 采用多种渠道收集信息，确保信息的真实性、可靠性和全面性 • 提高信息处理的能力和技巧，挖掘信息价值
增强决策者的能力
• 培养决策者的批判性思维和创新能力 • 提高决策者的风险意识和风险应对能力
克莱姆法则
2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
若常数项 b1,b2, ,bm不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , , bm 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22
a0,a1,a2,a3. 解 将三次曲线在4点处的值代入其方程, 得到关于a0,a1,a2,a3 的非齐次线性方程组
a0 a1 a2 a3 6,
aa00
a1(1) a2 (1)2 a1(2) a2 (2)2 a3
a3(1)3 (2)3 6,
a21x1
a22 x
2
a2
xn n 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理 如果齐次线性方程组 2 的系数行列式 D 0,则齐次线性方程组2 没有非零解.
即只有零解
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
22 2020/3/11
用Cramer法则求解系数行列式不等于零的n元 非齐次线性方程组, 需要计算n+1个n阶行列式, 它的 计算工作量很大. 实际上关于数字系数的线性方程组 (包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不 相同的线性方程组)的解法, 一般都采用第2章中介绍 的高斯消元法. Cramer法则主要是从理论上具有重要 意义, 特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间 的关系.
克莱姆法则
ll2 1::a a2 1x x b b1 2yy cc1 2 0 0 充 要 条 件 a a1 2
b1 b2
c1 c2 0.
l1:a3xb3yc30
a3 b3 c3
精选课件
37
三点共线充要条件：
x1 y1 1 x2 y2 1 0 x3 y3 1
精选课件
38
同理可得空间直线方程：
x
y
z1
y3 1
精选课件
40
证： 设圆的方程是
A x2 y2 Dx Ey F 0,
圆上任意点为 x, y .则有：
A x 2 y2 Dx Ey F 0
A x12 y12 Dx1 Ey1 F 0
A x22 y22 Dx2 Ey2 F 0
A x32 y32 Dx3 Ey3 F 0
x1D D128713,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2D D 2217084,
x3D D 322771,
x4
D4 271. D 27
精选课件
12
例2 用克莱姆法则解方程组
3x1 5x2 2x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
x13x26x4 9, 2x2x32x4 5,
x14x27x36x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r12r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
精选课件
10
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c12c2 c32c2
35 3 1
1.4克莱姆法则
一、克莱姆法则
二、重要定理
一、克莱姆法则
术语 齐次与非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 0 a x a x a x b 0 21 1 22 2 2n n 2 有线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 0
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 1 无解或解不唯一，则 它的系数行列式必为零. 【注】线性方程组(1)要求方程个数与未知量个数相同!
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
小结
1. 用克莱姆法则解线性方程组的两个条件:
① 方程个数等于未知量个数; ② 系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
作业：P34 21(2), 22(2), 23
附 数域 定义 F是由一些数组成的集合，其中 0 F ,1 F ， 若F中任意两个数（可相同）的和、差、积、商（除数 不为0）仍然是F中的数，(也称F对加、减、乘、除运 算封闭),则F称为一个数域.
abc D1 a 2 b 2 c 2 3abc
1 1 a 1 1 b c c1 bc2 cc3 a 2 b c ac ab abc ac ab
1 1 1 D1 a a b c aD, x1 a. D bc ac ab
D3 D2 b, x 3 c. 同理可得 x2 D D
二、重要定理
一、克莱姆法则
术语 齐次与非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 0 a x a x a x b 0 21 1 22 2 2n n 2 有线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 0
二、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 1 无解或解不唯一，则 它的系数行列式必为零. 【注】线性方程组(1)要求方程个数与未知量个数相同!
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
小结
1. 用克莱姆法则解线性方程组的两个条件:
① 方程个数等于未知量个数; ② 系数行列式不等于零. 2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
作业：P34 21(2), 22(2), 23
附 数域 定义 F是由一些数组成的集合，其中 0 F ,1 F ， 若F中任意两个数（可相同）的和、差、积、商（除数 不为0）仍然是F中的数，(也称F对加、减、乘、除运 算封闭),则F称为一个数域.
abc D1 a 2 b 2 c 2 3abc
1 1 a 1 1 b c c1 bc2 cc3 a 2 b c ac ab abc ac ab
1 1 1 D1 a a b c aD, x1 a. D bc ac ab
D3 D2 b, x 3 c. 同理可得 x2 D D
线性代数2.行列式计算,克莱姆法则
=
0 1 1 5 r3 r4 =
0 0 16 60
01 00
1
5
r4 8r3
=
Байду номын сангаас
2 5
01 00
1 2
5 5
=40
0 0 2 5
0 0 16 60
0 0 0 20
可以证明：任一行列式都可以经有限次“行倍加”运算, 化成上三角形行列式,也可化为下三角形行列式
1
a b b ... b b a b ... b 例 计算 n阶行列式 D b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... a
亦可写成： A
O AB
CB
类似可证： A C A B OB
4
注：计算行列式时将行列式性质与展开定理结合起来，效果更好 .
3 1 1 2 例：计算行列式 D 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
解：
c1 2c3
c4 c3
D
5 1 1 1
5 11
11 1 3 1 (1)33 11 1 1
1 b 1 0 1 b 1 0
0
1
c
1
0
1
c1
0 0 1 d 0 0 1 d
1 ab a 0
按第一列展开 (1) 1 c 1
0 1 d
1 ab a 0
r
2
cr3
1
0 1 cd (1 ab)(1 cd) ad
0 1 d 8
例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式
1 1 ... 1
x1 Dn x12
1 3 1 3 2 5 3 1 0 1 1 5 1 4 2 3
0 1 1 5 r3 r4 =
0 0 16 60
01 00
1
5
r4 8r3
=
Байду номын сангаас
2 5
01 00
1 2
5 5
=40
0 0 2 5
0 0 16 60
0 0 0 20
可以证明：任一行列式都可以经有限次“行倍加”运算, 化成上三角形行列式,也可化为下三角形行列式
1
a b b ... b b a b ... b 例 计算 n阶行列式 D b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... a
亦可写成： A
O AB
CB
类似可证： A C A B OB
4
注：计算行列式时将行列式性质与展开定理结合起来，效果更好 .
3 1 1 2 例：计算行列式 D 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
解：
c1 2c3
c4 c3
D
5 1 1 1
5 11
11 1 3 1 (1)33 11 1 1
1 b 1 0 1 b 1 0
0
1
c
1
0
1
c1
0 0 1 d 0 0 1 d
1 ab a 0
按第一列展开 (1) 1 c 1
0 1 d
1 ab a 0
r
2
cr3
1
0 1 cd (1 ab)(1 cd) ad
0 1 d 8
例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式
1 1 ... 1
x1 Dn x12
1 3 1 3 2 5 3 1 0 1 1 5 1 4 2 3
线性代数 1.4克莱姆法则
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本章大作业： 本章大作业：见TAS，作业 ，
预习 §2.1 消元法
课后习题： 课后习题 P34
22(2), 23
13
10
解
（1） 构造行列式 ）
1 1 1 L 1 1 2 0 L 0 D1 = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n
按第一行展开， 则，对D1按第一行展开，得
D1 = A11 + A12 + L + A1n
n 1 = n! 1 − ∑ . j j=2
11
( i = 1,2,L n)
2
定理1 定理1
克莱姆（ 克莱姆（Cramer）法则 ）
方程的线性方程组(1) 如果含 n 个未知量 n 个方程的线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x a x L a x 21 1 + 22 2 + + 2 n n = b2 (1) LLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn 那么它有唯一解 其解为: 有唯一解, 系数行列式 D ≠ 0 ,那么它有唯一解,其解为:
1) F是一些数的集合； 是一些数的集合； 是一些数的集合 2) 0∈ F ，1 ∈ F ； ∈ 3) F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 中任意两个数的和、 中任意两个数的和
0）仍然是F中的数。(即：关于四则运算封闭 ）仍然是 中的数 即 关于四则运算封闭) 中的数。 实数域R，复数域C, 例 实数域 ，复数域 有理数域 【注】 “代数”研究的主要是代数运算与性质，以数域 代数” 代数 研究的主要是代数运算与性质， 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. “线性代数”在不同的数域上讨论问题会有不同 线性代数” 线性代数 的结论,我们主要在实数域上讨论问题，个别地方扩 的结论,我们主要在实数域上讨论问题， 大到复数域. 大到复数域. 9
本章大作业： 本章大作业：见TAS，作业 ，
预习 §2.1 消元法
课后习题： 课后习题 P34
22(2), 23
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10
解
（1） 构造行列式 ）
1 1 1 L 1 1 2 0 L 0 D1 = 1 0 3 L 0 M M M O M 1 0 0 L n
按第一行展开， 则，对D1按第一行展开，得
D1 = A11 + A12 + L + A1n
n 1 = n! 1 − ∑ . j j=2
11
( i = 1,2,L n)
2
定理1 定理1
克莱姆（ 克莱姆（Cramer）法则 ）
方程的线性方程组(1) 如果含 n 个未知量 n 个方程的线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x a x L a x 21 1 + 22 2 + + 2 n n = b2 (1) LLLLLLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn 那么它有唯一解 其解为: 有唯一解, 系数行列式 D ≠ 0 ,那么它有唯一解,其解为:
1) F是一些数的集合； 是一些数的集合； 是一些数的集合 2) 0∈ F ，1 ∈ F ； ∈ 3) F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 中任意两个数的和、 中任意两个数的和
0）仍然是F中的数。(即：关于四则运算封闭 ）仍然是 中的数 即 关于四则运算封闭) 中的数。 实数域R，复数域C, 例 实数域 ，复数域 有理数域 【注】 “代数”研究的主要是代数运算与性质，以数域 代数” 代数 研究的主要是代数运算与性质， 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. 为对象，保证了代数运算后仍属于该集合. “线性代数”在不同的数域上讨论问题会有不同 线性代数” 线性代数 的结论,我们主要在实数域上讨论问题，个别地方扩 的结论,我们主要在实数域上讨论问题， 大到复数域. 大到复数域. 9
1.4克莱姆法则
（Ⅰ）
如果（Ⅰ）的系数行列式不等于零，即 D
a11 a21
a12 a22
a1n a2n 0
那么，方程组（Ⅰ）有唯一解：
an1 an2
ann
x1
D1 D
, x2
D2 D
,, xn
Dn D
《线性代数》精品课程
例1 解线性方程组
解：方程组的系数行列式
x1 x2 x3 5, 2x1 x2 x3 x4 1, x1 2x2 x3 x4 2,
( 3)x1 x2 2x3 0, x1 x3 0,
2x2 ( 3)x3 0.
解：若方程组存在非零解，则由定理2知，它的系数行列式
3 1 2 D 0 1 0,
0 2 3
( 9) 0
0或 9
《线性代数》精品课程
an1xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
Hale Waihona Puke （Ⅱ）x1 x2 xn 0
一定是（Ⅱ）的解，叫齐次方程组（Ⅱ） 的零解。
如果有一组不全为零的数是（Ⅱ）的解，则它叫做齐次方程 组（Ⅱ）的非零解.
齐次线性方程组（Ⅱ）一定有零解，但不一定有非零解.
《线性代数》精品课程
例2 解线性方程组
2xx11
x2 3x2
x3 4x3
0 0
3x1 4x2 5x3 0
《线性代数》精品课程
定理2
• 若齐次方程组（Ⅱ）系数行列式 D 0 ,
则齐次方程组只有零解.即（Ⅱ）有非零解 时，系数行列式 D 0
Ax 0有非零解 D 0
《线性代数》精品课程
例３ 问 取何值时，齐次线性方程组有非零解？
2111
2 1 1 1
D3 1
浙江财经大学§1.4 克莱姆( Cramer )法则
D2 D
,
x3
Hale Waihona Puke D3 D,L, xn
Dn D
也是方程组(1)的唯一解.
4
克莱姆法则 （n条方程n个未知量）
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a
21 x1
a22
x2
a2n xn
b2
(1)
(1)非
齐
次
线
性
方
程
组 a21x1
a22 x2
a2n xn b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
推论1：当系数行列式D 0时，方程组有唯一解。
推论2：方程组无解或有无穷多解时，系数行列式D 0。
系数行列式D 0时，克莱姆法则失效！
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
设线性方程组
a21
x1
a22 x2
a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项b1,b2 , ,bn不全为零, 则称此方程组为
2 1 5 1 0 7 5 13
系 数 行 列 式D 1 3
0
6 1 3
0
6
0 2 1 2 0 2 1 2
1 4 7 6 0 7 7 12
7 5 13
3 5 3
2 1 2 0 1 0
7 7 12
7 7 2
[高等教育]14克莱姆法则_OK
![[高等教育]14克莱姆法则_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/9150519825c52cc58ad6be1a.png)
设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组
或表示为
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 (*)
ann xn bn
n
aij x j bi i 1, 2, , n
j 1
2021/8/18
3
定理1
上课
手机 关了吗？
2021/8/18
1
复习：行列式按某行(列)展开定理及推论
D … 按第 i 行 ai1Ai1+ai2Ai2+
+ainAin
展开
… 按第 j 列 a1jA1j+a2jA2j+
+anjAnj
展开
推论
… ai1As1+ai2As2+ +ainAsn=0 (i≠s) … a1jA1t+a2jA2t+ +anjAnt=0 (j≠t)
23 =72
1 2 (2)2 (2)3
D0=576, D1=-72, D2=-144, D3=72
∴a0=8, a1=-1, a2=-2, a3=1
202y1=/8f/(1x8)=8-x-2x2+x3
18
作业：P33： 10(2), 11, 12, 13
2021/8/18
复习 Ch 1 做《练习卷》 (下次习题课带来)
a1n b1 a12
a1n
a21 x1 a22 x2 a2n xn a22
a2n b2 a22
a2n
an1 x1 an2 x2 ann xn an2
ann bn an2
ann
＝D1 同理
《线性代数》精品课件：1-4-克莱姆(Gramer)法则
§1.5 行列 式的 应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念
• 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
知识回顾：行列式的性质
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
n
D ,当i j,
aik Ajk
k 1
0
,当
i
j;
于是
Dx3 D3 .
x3
D3 D
.
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13
由上页 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n
n
n
ak1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念
• 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
知识回顾：行列式的性质
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列 式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
n
D ,当i j,
aik Ajk
k 1
0
,当
i
j;
于是
Dx3 D3 .
x3
D3 D
.
证明
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj
依次乘方程组1的n个方程,得
a11 x1 a12 x2 a1n xn A1 j b1 A1 j
a21 x1 a22 x2 a2n xn A2 j b2 A2 j
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13
由上页 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0
7 7 2
3 3
27,
7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 108,
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
在把 n 个方程依次相加，得
n
n
n
ak1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn
k1
k1
k1
n
bk Akj ,
k 1
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
克莱姆法则举例
克莱姆法则举例
克莱姆法则是一个线性代数中的定理，用于求解线性方程组的解。
下面是一个简单的克莱姆法则应用举例：
假设我们有以下线性方程组：
2x + 3y - z = 10
4x + 5y + z = 20
x - y + 3z = 15
我们可以将这个方程组表示为矩阵形式：
A = [[2, 3, -1], [4, 5, 1], [1, -1, 3]]
B = [10, 20, 15]
根据克莱姆法则，我们可以计算出方程组的解为：
x = 3
y = 2
z = 5
具体计算过程如下：
克莱姆法则的公式是：x = (A的行列式值/ B的行列式值) * B的各元素值。
A的行列式值= [[2,3,-1],[4,5,1],[1,-1,3]] = 253 - 313 - (-1)41 - (-1)52 = 30 - 9 + 4 + 10 = 35。
B的行列式值= [[10],[20],[15]] = 10*20 - (-15)*10 = 200 +
150 = 350。
因此，克莱姆法则的计算公式为：x = (35 / 350) * [10, 20, 15] = (1/10) * [10, 20, 15] = [3, 6, 4.5]。
通过克莱姆法则，我们可以准确地求解出线性方程组的解。
在这个例子中，我们得到的解是：x = 3, y = 2, z = 5。
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1
充分必要条件是齐次方程组（1）有非零解。
6
例3
解齐次方程组
x1 3x2 2 x3 0 2 x1 x2 3x3 0 3x 2 x x 0 2 3 1
解
1 3
3 2
2 3 42 0 1
D 2 1
因此方程组只有零解
x1 x2 x3 0
解：系数行列式
1 1 1 1 1 1 D a 1 1 0 1 a 1 a 1 1 a 0 0 a 1
(a 1)
2
a 1时方程组有惟一解。
若a=1，则系数行列式D=0，此时克莱姆法则失效， 需要换方法讨论方程组解的情况。具体第三章讨论。
5
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件：
D
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
,
称为方程组的系数行列式。
3
当 D 0 时，方程组有且仅有一个解 Dj xj j 1,2,, n D
其中
a11 a1 j 1 D j ai1 aij 1
b1 bi
a1 j 1 aij 1
解
上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
3
D 4 4
即
1
0 0
1
8
( 2)( 2 3 4)
2
பைடு நூலகம்
2
( 1) 2 ( 2) 0
λ=-2 或 λ=1 时方程组有非零解.
9
从而当
作业
P42 1 (1)(2) 2
10
定理2 齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
一定有解。 D 0 则（1）只有惟一的零解。 定理3
7
例4
取何值时下列齐次方程组有非零解
x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 x x x 0 3 1 2
解
1 1 1 1 1 1 1 1 D 1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式
的值。 同样用此方法可解n元一次方程组。
2
定理1（克莱姆法则） 当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an 2 x2 ann xn bn a11 a12 a1n
(1 ) 2 ( 2)
当 D 0 时，即 1, 此方程组有非零解。
8
2 时，
例5
试问当λ为何值时，齐次线性方程组
( 3) x1 x2 0 有非零解． 4 x1 ( 1) x2 0 4 x 8 x ( 2) x 0 1 2 3
a1n ain
an1 anj 1 bn
anj 1 ann
注意 克莱姆法则法则解 n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数＝方程的个数 2、D 0
4
x1 x2 x3 a 例1 a 取何值时，线性方程组 ax1 x2 x3 1 x x ax 1 3 1 2 有惟一解.
第一章
第四节 克莱姆法则
1
一、克莱姆法则
a11x1 a12 x2 b1 二元一次线性方程组 a21x1 a22 x2 b2
b1 a12 b2 a22 D1 x1 a11 a12 D a21 a22
a11 b1 D2 a21 b2 x2 D a11 a12 a21 a22