克莱姆法则及证明

第7节克莱姆（Cramer）法则

一、线性方程组

元线性方程组是指形式为：

（1）

的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，，;

称为方程组的系数，称为常数项。

线性方程组的一个解是指由个数组成的有序数组，当个未知量分别用代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解方程组。

为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些问题：

(1).这个方程组有没有解？

(2).如果这个方程组有解，有多少个解？

(3).在方程组有解时,解之间的关系,并求出全部解。

本节讨论方程的个数与未知量的个数相等(即)的情形。

二、克莱姆法则

定理1（克莱姆法则）如果线性方程组

（2）

的系数行列式：

那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成：

（3）

其中是把中第列换成常数项所得的行列式，即

。

分析：定理一共有3个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是：

第一，把代入方程组，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3）是一个解，即证明了结论与。

第二，证明如果是方程组（２）的一个解，那么一定有

。这就证明了解的唯一性，即证明了结论。

证明：先回忆行列式的一个性质，设阶行列式，则有：

接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列式按第列展开得：

，

其中是行列式中元素的代数余子式。现把

代入第个方程的左端，得：

这说明将（3）代入第个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。

其次，设是方程组（2）的一个解，那么，将代入（2）后，得到个恒等式：

（4）

用系数行列式的第列的代数余子式依次去乘（4）中个恒等式，得到：

将此个等式相加，得：

从而有：。这就是说，如果是方程组（2）的

一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。

三、齐次线性方程组

在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为就是它的解，这个解称为零解；其他的，即不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。所以，对于齐次线性方程组，需要讨论的问题，不是有没有解，而是有没有非零解。这个问题与齐次线性方程组解的个数是有密切关系的。如果一个齐次线性方程组只有零解，那么这个方程组就只有唯一解；反之，如果某个齐次线性方程组有唯一解，那么由于零解是一个解，所以这个方程组不可能有非零解。

对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有

推论1 如果齐次线性方程组

（5）

的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。

推论2 齐次线性方程组

有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。

四、例子

例1解线性方程组

解：方程组的系数行列式：

所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因

所以这个线性方程组的唯一解为：

例2解线性方程组

解：方程组的系数行列式：

所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因

所以这个线性方和组的唯一解为：

例3已知三次曲线在四个点处的值分别为：，试求其系数。

解：将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于的线性方程组：

它的系数行列式是范德蒙行列式：

所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因

所以，即所求的三次曲线方程为。

例4如果齐次线性方程组

有非零解，那么必须满足什么条件？

解：由克莱姆法则知，齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零，因此有

又由：，从而必须满足的条件为。

注用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的元非齐次线性方程组，需要计算

个阶行列式，它的计算工作量很大。实际上关于数字系数的线性方程组（包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组）的解法，一般都采用后续章节介绍的方法来求解。克莱姆法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系。