7-克莱姆法则

个方程依次相加， 在把 n 个方程依次相加，得
n n n ∑ ak 1 Akj x1 + ⋯ + ∑ akj Akj x j + ⋯ + ∑ akn Akj xn k =1 k =1 k =1 = ∑ bk Akj ,
k =1 n
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 阶行列式， 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 ⋯ a1 , j −1 b1 a1 , j +1 ⋯ a1n D j = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 ⋯ a n , j −1 bn a n , j +1 ⋯ a nn
r1 − 2r2 r4 − r2
0 7 − 5 13 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 0 7 − 7 12
7 − 5 13 = −2 −1 2 7 − 7 12
c1 + 2c2
c3 + 2c2
−3 −5 3 − 0 −1 0 −7 −7 −2
−3 3 = = 27, −7 −2
8 1 −5 1 9 −3 0 −6 D1 = − 5 2 −1 2 0 4 −7 6 = 81,
(1)
a11 a12 ⋯ a1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ≠0 的系数行列式不等于零， 的系数行列式不等于零，即D = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 a n 2 ⋯ a nn
有解，并且解是唯一的， 那么线性方程组(1) 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,⋯ , x n = . D D D D
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组 取何值时，
(1 − λ ) x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 0 , 2 x 1 + (3 − λ ) x 2 + x 3 = 0 , x + x + (1 − λ ) x = 0 , 1 2 3
有非零解？ 有非零解？
解
1− λ D= 2 1
2 8 −5 1 1 9 0 −6 D2 = 0 − 5 −1 2 1 0 −7 6 = −108,
2 1 8 1 1 −3 9 −6 D3 = 0 2 −5 2 1 4 0 6
2 1 −5 8 1 −3 0 9 D4 = 0 2 −1 −5 1 4 −7 0 = 27,
D2 − 108 x2 = = = −4, D 27
等价, 由于方程组 (2 ) 与方程组 (1) 等价 故
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,⋯ , x n = . D D D D
也是方程组的 (1) 解.
二、重要定理
定理1 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 一定有解, 则 (1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 (1) 无解或有两个不同的 定理2 则它的系数行列式必为零. 解，则它的系数行列式必为零.
3
−2 3−λ 1
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
−3+λ 1− λ 0
ห้องสมุดไป่ตู้
4 1 1− λ
= (1 − λ ) + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )(− 3 + λ ) = (1 − λ ) + 2 (1 − λ ) + λ − 3
3 2
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
三、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (1)方程个数等于未知量个数; 方程个数等于未知量个数 (2)系数行列式不等于零. (2)系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
D4 27 x4 = = = 1. D 27
= −27,
D1 81 ∴ x1 = = = 3, D 27
D3 − 27 x3 = = = −1, D 27
例2 用克拉默法则解方程组 3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + x4 = 3, 3 x + 4 x = 4, 2 4 x1 + x2 + x3 + x4 = 11 6 , x1 − x2 − 3 x3 + 2 x4 = 5 6 .
由代数余子式的性质可知, 由代数余子式的性质可知 上式中 x j的系数等于 D ,
而其余 xi (i ≠ j )的系数均为0; 又等式右端为 D j .
于是
Dx j = D j ( j = 1,2,⋯, n ).
(2 )
当 D ≠ 0 时,方程组 (2 ) 有唯一的一个解 方程组
Dn D1 D2 D2 x1 = , x2 = , x3 = ,⋯ , x n = . D D D D
则称此方程组为非 若常数项 b1 , b2 ,⋯, bn不全为零 , 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 齐次线性方程组 若常数项 b1 , b2 ,⋯, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组 此时称方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = bn
1 3 0 4 67 = , D4 = 1 1 2 1 2
5 2 3 3 0 4 = 67, 1 1 11 6 −1 − 3 5 6
D1 3 = 1, ∴ x1 = = D 67 3 67 D3 2 = 1, x3 = = D 67 2
67
D2 0 x2 = = = 0, D 67
D4 67 x4 = = = 1. D 67
证明
用 D中第 j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,⋯ , Anj 依次乘方程组 (1)的 n个方程 , 得
(a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1 n x n ) A1 j = b1 A1 j (a x + a x + ⋯ + a x ) A = b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n ) Anj = bn Anj
非齐次与齐次线性方程组的概念
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = bn
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1 n x n = 0 a x + a x + ⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = 0
定理
有非零解. 有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3 x − 6 x = 9, 1 2 4 2 x 2 − x 3 + 2 x 4 = − 5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
解
2 1 −5 1 1 −3 0 −6 D= 0 2 −1 2 1 4 −7 6
(2 )
如果齐次线性方程组 (2 ) 的系数行列式 D ≠ 0 则齐次线性方程组 (2 ) 没有非零解. 没有非零解.
定理 如果齐次线性方程组 (2 ) 有非零解,则它 有非零解, 的系数行列式必为零. 的系数行列式必为零. 系数行列式 D = 0
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a x + a x + ⋯+ a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = 0
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默 法则解方程组?为什么 此时方程组的解为何? 法则解方程组 为什么?此时方程组的解为何 为什么 此时方程组的解为何
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解 不能 此时方程组的解为无解或有无穷多解. 此时方程组的解为无解或有无穷多解
解
3 5 2 0 3 0 D= 1 1 1 1 −1 − 3
1 4 = 67 ≠ 0, 1 2
3 4 D1 = 11 6 56
5 2 3 0 1 1 −1 − 3
3 3 2 1 0 4 0 4 67 = , D2 = 1 3 1 11 6 1 2 1 5 6 −3
1 4 = 0, 1 2
3 5 3 0 3 4 D3 = 1 1 11 6 1 −1 5 6